第15章 教学活动(五)美术字与轴对称&教学活动(六)利用轴对称设计图案&教学活动(七)等腰三角形中相等的线段-【勤径学升】2026-2027学年八年级上册数学同步练测(人教版)

60°，则顶角为120 60° 309 4题答图① 当顶角为锐角时，如答图②，可求得其顶角为60°， 609 30°- 4题答图② 综上所述，该等腰三角形的顶角为120°或60°. 5.30°或90° 6.解：0C平分∠A0B,∠A0B=80°， ∠A0B=40°， :.LAOC=2 分三种情况（如答图）： 当C0=CP,时，∠0PC=∠C0P,=40°. 0 B 当P20=CP2时，∠0CP2=∠C0P2=40°， 6题答图 .∠0P2C=180°-∠C0P2-∠0CP2=100° 当B0=0C时，∠0CP,=∠0P,C=180°-40 2 =70° 综上所述，∠0PC的度数为40°或100°或70° 7.40°或140° 8.解：AB=AC, .∴.∠ABC=∠C. 设LABC=∠C=x. ,:DE是边AB的垂直平分线，·AD=BD, .∠ABC=∠BAD=x. 若△ACD为等腰三角形，如答图①. 当AD=CD时，∠C=∠CAD=x. .'∠ABC+∠BAC+∠C=180°， .x+x+x+x=180°， .x=45°，即∠ABC=45 若△ACD为等腰三角形，如答图 D ②，当AC=DC时，∠CAD= 8题答图① ∠CDA. .·∠ABC=∠BAD=x, .∠CDA=∠CAD=2x. .'∠ABC+∠BAC+ ∠C=180°， .∴.x+x+2x+x=180°， D .x=36°，即∠ABC=36° 8题答图② 综上所述，∠ABC的度数为45°或36. 专题5构造等腰三角形的常用方法 1.解：A是线段EF的中点.理由如下： 如答图，连接AD,则AD⊥BC. EF∥BC,∴.AD⊥EF. 参考答案及解析 又：DE=DF, .AD是△DEF中EF边的中线， .A是线段EF的中点. 2.(1)证明：AD⊥BC于点D, ∴.△ABD和△CDG都是直角三角形. BE=CE,∴.∠B=∠CCD, .∠BAG=∠CGD=∠AGE,.AE=GE, 1题答图 .△AEG为等腰三角形 (2)解：如答图，作EHBC,交AD于点H. 在△EHG和△CDG中， LEHG=L CDG, ∠EGH=∠CGD, EG=CG, .∴.△EHG≌△CDG(AAS), ∴.HG=DG. 2题答图 AE=EG,EH LAD,..AH=HG=DG. .DG=5, .AG=10. 3.证明：如答图，延长AD到点G,使DG=AD,连接CG AD为中线，.BD=CD. 又∠ADB=∠CDG,AD=GD, .△ADB≌△GDC(SAS), .AB=GC,∠EAF=LG. .AE=EF,∴.∠EAF=∠EFA. ·∠EFA=∠CFG,.∠G=∠CFG, 3题答图 ..CF=CG,..AB=CF. 4.证明：(1)如答图①，过D作DE⊥BA,交BA延长线于点E, DF⊥BC于点F. E BD平分∠EBF,DE⊥BE,DF⊥ BF, ∴.DE=DE .:∠BAD+∠C=180°，∠BAD+ ∠EAD=180°，∴.∠EAD=∠C. 4题答图① ∠E=∠DFC=90°，.△DEA≌△DFC(AAS), .AD=CD. (2)如答图②，在BC上截取BK=BD,BT=BA,连接 DT,DK. .'AB=AC,∠BAC=100°， D .∠ABC=∠C=40°. :BD平分∠ABC, TK E1∠ABC=20°， ÷LDBK=21 4题答图② .BD=BK,∴.∠BKD=∠BDK=80° ∠BKD=∠C+LKDC,.∠KDC=∠C=40°， ∴.DK=CK BD=BD,∠DBA=∠DBT,BA=BT, .△DBA≌△DBT(SAS), .AD=DT,∠A=∠BTD=100°，.∠DTK=∠DKT=80°， .DT=DK,∴.AD=CK, ,∴.BD+AD=BK+CK=BC ·17. 同步练测·八年级数学（上册） 专题6“手拉手”（共顶点）模型的等腰三角形 1.解：(1)∠A0B=∠C0D=60°， ,∴.∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC, .∠AOC=∠BOD A0=B0, 在△AOC和△BOD中， ∠AOC=∠BOD, OC=0D. .△AOC≌△BOD(SAS),.∴.AC=BD,∠OAC=∠OBD .∴.∠OAC+∠AOB=∠OBD+∠APB, .∠OAC+60°=∠OBD+∠APB, .∠APB=60° (2)AC=BD ∠a 2.(1)证明：·∠BAC=∠DAE,∠BAC+∠CAD=∠BAD, ∠DAE+∠CAD=∠CAE,∴·∠BAD=∠CAE. (AB=AC, 在△ABD和△ACE中 ∠BAD=∠CAE, AD=AE, .△ABD≌△ACE(SAS),∴.BD=CE,LAEC=∠ADB=90 ,'AE=AD,∴.∠ADE=∠AED. ∠AED+∠FEC=90°，∠ADE+∠BDF=90°， .∴.∠BDF=∠FEC (2)解：如答图，在EF上截取EG=FD,连接CG '△ABD≌△ACE,∴.BD=CE. BD=CE 在△BDF和△CEG中， ∠BDF=∠CEG, DF=EG .△BDF≌△CEG(SAS), .LBFD=∠ECC,BF=CG. B :∠CGF=180°-∠EGC,LEFC= 2题答图 180°-∠BFD. .∠EFC=∠CGF,.CG=CF, 6ec:号9ce5 3.解：(1)△ACE BD=CE (2)BD⊥CE.理由如下： .·∠BAC=∠DAE=90°，∴，∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE, ..∠CAE=∠BAD. (AB=AC. 在△ABD和△ACE中 ∠BAD=∠CAE AD=AE. .∴.△ABD≌△ACE(SAS),∴.BD=CE,∠ABD=∠ACE. ·.·∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE. .·.∠BPC=∠BAC=90° .BD⊥CE. (3)AD=5. 专题7轴对称—将军饮马 1.B2.63.B4.4 5.解：(1)(I)100° (I)当∠M0W=90时，GH=10.理由如下： .P0=5,∴.G0=H0=5. ·18… 当∠M0N=90时，∠G0H=180°， .点G,O,H在同一直线上， .GH=G0+H0=10. (2)∠APB的度数为60°.解析如答图，分别作点P关 于OM,ON的对称点P',P",连接OP,OP',OP,P'P",P'P 交OM,ON于点A,B,连接PA,PB,则 AP=AP',BP=BP",此时△PAB周长 P 的最小值等于P'P"的长.由对称性， 可得OP'=OP"=OP,∠P'OA=∠POA, LP OB LPOB,.ZP'OP" 2LM0N=2×60°=120°，.∠0P'P"=09 ∠0P"P'=(180°-120)÷2=30°， .∠OPA=∠OP'A=30°，∠BP0= ∠OP"B=30°，.∠APB=30°+ 5题答图 30°=60°. 6.D7.B 数学活动（五）美术字与轴对称 1.B2.C3.B4.呆5.26.中，田，口（答案不唯-） 7.解：如答图. w甲a画a)目 4金田美 7题答图 数学活动（六）利用轴对称设计图案 1.B2.B3.C 4.解：①X;②w;③w④w 5.解：A与B的坐标：横坐标互为相反数，纵坐标相等， C与D的坐标：横坐标互为相反数，纵坐标相等 点E的坐标是(-8,6) .F(8,6). 6.解：如答图①，②.（画法不唯一）》 6题答图① 6题答图② 数学活动（七）等腰三角形中相等的线段 (1)证明：AB=AC,D为BC的中点， .AD平分∠BAC :DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, ∴DE=DF (2)证明：，AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB. :△CFA和△BEA都为等边三角形， .∴.∠FCA=∠EBA=60°， ·∠ABC-∠EBA=∠ACB-∠FCA,即LGBC=∠GCB, ,GB=GC,.点G在BC的垂直平分线上 :AB=AC,,点A在BC的垂直平分线上， .AD垂直平分BC, D为BC的中点. (3)解：AE=AF+AC.证明如下： 如答图，在AE上截取AH=AF,连接FH,FC. ·.·AB=AC,∠ABC=30°， ∴.∠ACB=∠ABC=30°， ∴.∠BAC=180°-30°-30°=120° :点D为BC的中点， ∴.∠BAD=∠CAD= 1 2 ∠BAC= 答图 60°，AD垂直平分BC, ∴.∠EAF=∠CAD=6O°，FB=FC,∴.∠FBC=∠FCB, .∴∠FBC-∠ABC=∠FCB-∠ACB,∴.∠FBA=∠FCA. FB=FE,..FE=FC, 六.∠FEC=∠FCE,∴.∠FEA=∠FBA :AH=AF,∠FAH=60°，△FAH是等边三角形， ∴.AH=HF=AF,∠AHF=60°， .∠EHF=180°-60°=120°，∠BAF=180°-∠BAD=120°， ∴.∠EHF=∠BAF,∴.△EHF≌△BAF(AAS), ∴.EH=AB,∴.EH=AC ·AE=AH+EH, .AE=AF+AC. 易错政坚特训三 1.B :易错点拨 : 本题易误判对称图形的对应边一定平行，忽略了 轴对称仅保证对应点连线被对称轴垂直平分、对应角 相等：对应边可能相交，不一定平行 2.C :易错点拨 易误判圆的组合图形的对称轴为无数条，忽略轴 对称图形需沿直线对折后完全重合，本题中只有过中 心与每个圆的圆心的直线才是对称轴，共3条. 3.B :易错点拨 易混淆关于坐标轴与其他直线对称的坐标规 律.关于y轴对称的点，纵坐标相同、横坐标互为相反 数；关于x轴对称的点，横坐标相同、纵坐标互为相反 数，切勿记混， 4.解：(1)点(-1,0)关于直线1对称的点的坐标为(3,0). (2)点(2,1)关于直线1对称的点的坐标为(0,1). (3):直线1平行于y轴，且P和Q两点关于直线1成轴 对称， .P,Q两点的纵坐标相等，且两点到直线1的距离相等， .n=-3,5-1=1-m,解得m=-3,n=-3. 参考答案及解析 :易错点拨 易误用关于y轴对称的点的坐标规律，忽略对称 轴是直线x=1而非y轴.关于直线x=a对称的点，纵 坐标不变，横坐标到直线x=a的距离相等 5.证明：.·AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC .DE=DF. 在R△ABD和R△AFD中，AD=AD, (DE=DF, .Rt△AED≌Rt△AFD(HL),.AE=AF. .DE=DF,AE=AF, .AD垂直平分EF :易错点拨 易混淆“垂直”和“平分”两个条件，仅证明 DE=DF或AE=AF,就直接判定AD是EF的垂直平分 线，忽略了需同时证明“点到线段两端距离相等”且 “两点才能确定条直线”二者缺不可 6.C :易错点拨 本题易漏数等腰三角形的个数，易只根据AB= :AC,BD=BC=AD,DE=AE直接判断，忽略BD=BE. 7.B :易错点拨 本题需按“AB=AC,AB=BC,AC=BC”三种情况全 面分析，易忽略点C在x轴正负半轴的不同位置，造成 符合条件的点C计数不全 8.6 :易错点拨… 本题易因分类讨论不全漏解，需分AB为腰（分别 以A,B为圆心，AB为半径画圆找格点)和AB为底（作 AB的垂直平分线找格点)两类情况，易漏数部分格点， 导致计数错误 章末核心考点训练 1.C2.A3.100 4.解：由题知M,N分别为点P关于直线AB,BC的对称点， 1 BM=PB=3,BN=BP=3,∠ABP=2∠PBM,∠CBP= 分∠PBN∠ABC=-z.MBx. 又MN=6,∴.BM+BN=MW,∴点B在MN上， ∠MBN=180,∠ABC= 2×180°=90. 5.A6.A7.A8.D9.B 10.解：(1)根据题意，可得∠BAC=90°-75°=15°，∠CBE= 90°-60°=30°，AB=15×2=30(海里)， ,∠C=30°-15°=15°，∴.∠BAC=∠C, .BC=AB=30海里， .B处到灯塔C的距离为30海里。 (2)会有触礁的危险.理由如下： 如答图，过C作CD⊥AB交AB的延长线于点D. ·19·同步练测 八年级数学（上册）】 数学活动（五） 美术字与轴对称 [答案P18] 1.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是 )》 强本节 用 2.传统汉字在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是 知物c由 学 3.中国好多汉字有一种对称美，在美术字“最美中国心”中，其中可以看作是轴对称图形的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，把纸张沿黑色部分剪下后展开，所得字是 4题图 5.美术字中，汉语拼音字母“H”可以看作轴对称图形，则它的对称轴的条数是 6.在美术字中，有些汉字是轴对称图形.请列举3个是轴对称图形的汉字： 7.如图所示的汉字都是“对称字”，被遮住了一半.请补全这些汉字 3 6 7题图 64 见此图标园微信扫码难题轻松解练出好成绩 第十五章轴对称 数学活动（六） 利用轴对称设计图案 [答案P18] 1,“二十四节气”是根据太阳在黄道（即地球绕太阳公转的轨道）上的位置来划分的，是在我国春秋战国时 期订立的一种用来指导农事的补充历法，下列四幅“二十四节气”标识图中，文字上方所设计的图案是轴 对称图形的是 ( 惊蛰 立春 雨水 芒种 2.剪纸是我国古老的民间艺术之一.像如图这样把一张纸连续对折三次.剪出来的是 2题图 NV A. 0 3 3.如图所示的图案中，不是利用轴对称设计的图案有 3题图 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，欣赏下列各组图案，是成轴对称的，在图案下方的括号内打“√”，不是的打“×” FFF子沙 ①( ② ④( 4题图 5.如图所示的图案关于y轴对称.图案上顶点A与B,C与D的坐标分别有什么关系？点E的坐标是(-8， 6),写出点F的坐标. A-6,10 B6.10 0 -12-10-8-6-之，46802 244 D341 5题图 6.如图①，7个相同的涂色方块组成了一幅轴对称图案.请在图②，③中，用7个涂色方块设计出另外两种 不同的轴对称图案 6题图① 6题图② 6题图③ 见此图标目园微信扫码准题轻松解练出好成绩 65 同步练测 八年级数学（上册） 数学活动（七）】 等腰三角形中相等的线段 [答案P18] 【活动初探】 在学习第十五章《轴对称》数学活动时，我们利用等腰三角形的轴对称性发现等腰三角形中有许多相等的 线段或角，因此利用图形的轴对称性可以探究图形中边与角的数量关系. (1)如图①，在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F.求证：DE=DF: 【变式再探】 (2)如图②，在△ABC中，AB=AC,△CFA和△BEA都为等边三角形，CF与BE相交于点G,连接AG并延 长，交BC于点D.求证：D为BC的中点. 【类比深探】 (3)如图③，在△ABC中，AB=AC,点D为BC的中点，∠ABC=30°，点F为直线AD上一动点，点E为射线 CA上一动点（点E不与点A,C重合），FB=FE,连接BE.当点F在点A上方时，猜想并证明AE,AF, AC之间的数量关系. 图① 图② 图③ @知识精讲 @AI匹配资源 EAI智能工具 BAI方法指导 眼抖音/微信扫码进阶 66 见此图标园微信扫码难题轻松解练出好成绩