第15章 轴对称 数学活动&小结-【教材笔记】2026-2027学年八年级上册数学课前预习笔记（人教版·新教材）

数学活动 活动1美术字与轴对称 可能是一条，也可能是多条 在美术字中，有些文字、字母和数字是轴对称的，如图1，画出这些 文字、字母和数字的对称轴，或者把它们补齐. 米田喜非 A H W 8 图1 你能再写出几个轴对称的美术字吗？画出它们的对称轴，并与同学交流 活动2利用轴对称设计图案 利用轴对称，可以由一个基本图形得到与它成轴对称的另一个图形， 重复这个过程，可以得到美丽的图案（图2、图3） 激款為激源黑 图2 图3 自己动手在一张半透明的纸上画一个图形，将这张纸折叠，描图，再 打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置并重复几次，你又得到了什 么？与同学交流一下. 88 教材笔记数学八年级上册BJ 我们也可以利用多次轴对称进行图案设计.对称轴的位置不同，由同 样的基本图形得到的图案也不同，如图4和图5所示 sesesasase 8 图4 图5 有时，将平移和轴对称结合起来，可以设计出更丰富的图案，许多镶 边和背景的图案就是这样设计的（图6）· 图6 展开你的想象，借助信息技术工具，从一个或几个图形出发，利用轴 对称或与平移进行组合，设计一些图案，并与同学交流· 活动3等腰三角形中相等的线段 ~>指的是垂线段的长度 猜想一下，等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？如图7，你可 以将等腰三角形ABC沿对称轴AD折叠，观察DE与DF的关系，并证明 你的结论 D 图7 如果DE,DF分别是AB,AC上的中线或∠ADB,∠ADC的平分线， 它们还相等吗？由等腰三角形是轴对称图形，利用类似的方法，还可以得 到等腰三角形中哪些线段相等？证明其中的一些结论 第十五章轴对称 89 小结 一、 本章知识结构图 生 作对称轴 」画法 中的 轴对称 画轴对称的图形 原理、步骤 关于坐标轴对称的 称 特征 点的坐标的关系 性质、判定 等腰三角形 等边三角形 性质、判定 区别、联系 回顾与思考 类比的裁学思想←~ 轴对称是一种图形变化，它在现实生活中有广泛的应用·本章我们类 比研究平移的思路与方法，首先学习了轴对称的概念及其性质，然后学习 了画对称轴和轴对称的图形的方法.在此过程中，我们还学习了线段的垂 直平分线的性质和与之相关的尺规作图.最后利用轴对称研究等腰三角形， 重点研究了等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法 等腰三角形是特殊的三角形，也是轴对称图形.利用它的轴对称性， 我们不仅发现了等腰三角形的一些性质，而且从中找到了证明这些性质的 思路.借助图形的变化研究图形的性质，是几何中常用的方法，有助于增 强空间观念和几何直观，提升推理能力. 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧， 1.在现实世界中存在着大量的轴对称现象，你能举出一些例子吗？成 轴对称的图形有什么特点？ 2.在我们学过的几何图形中，有哪些是轴对称图形？它们的对称轴与 这个图形有怎样的位置关系？ 3.对于成轴对称的两个图形，对称点所连线段与对称轴有什么关系？ 如何作出与一个图形成轴对称的图形？ 90 教材笔记数学八年级上册RJ 4.在平面直角坐标系中，如果两个图形关于x轴或y轴对称，那么对 称点的坐标有什么关系？请举例说明， 5.利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通过 全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些特殊 性质？ 复习题150 复习巩固 1.下列图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的对称轴.1.如图所示 >是 、是 (第1题) 2.下列各命题都成立，写出它们的逆命题.这些逆命题成立吗？ (1)如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数； (1)如果两个实数的积是正数，那么这两个实裁都是正数，不成立， (2)等边三角形是锐角三角形； (2)锐角三角形是等边三角形，不成立 (3)如果两个角是直角，那么它们相等； (3)如果两个角相等，那么这两个角是直角，不成立 (4)角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 (4)角的乎分线上的点到角两边的距离相等， 成 3.如图，D,E分别是AB,AC的中点，CD L AB,垂足为D,BE⊥AC,垂足 为E.求证AC=AB 3.证明：如图，连接BC.·D是AB的中点，CD⊥AB .,CD所在直线是线段AB的垂直平分线，∴.AC=BC.同理可得AB=BC.∴，AC=AB. 2 D E -2 43 (第3题) (第4题) 4.如图所示的点A,B,C,D,E中，哪两个点关于x轴对称？哪两个点关于y 轴对称？4.点A和点B关于x轴对称，点B和点E关于y轴对称 第十五章轴对称 91 5.如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=80°，延长CB至D,使DB=BA, 延长BC至E,使CE=CA,连接AD,AE.求∠D,∠E,∠DAE的度数. 25°.y40°.115° B D (第5题) (第6题) (第7题) 6.如图，AD=BC,AC=BD,求证：△EAB是等腰三角形.6.略. 7.如图，在△ABC中，∠ACB=90,CD是高，∠A-30.求证BD=4AB. 综合运用 8.作出下列轴对称图形的对称轴.8.如图所示 7.证明：.：∠ACB-90°，∠A=30° BC号AB ∠B=60° 义CD⊥AB,.∠BCD=30° BD-=)BC,六BD-=AB (第8题) 9.如图，从图形I到图形Ⅱ是进行了平移还是轴对称？如果是轴对称，找出对称 轴；如果是平移，是怎样的平移？ 将图形I先向 图形I和图形Ⅱ 左平移5个单位 关于y轴对称. 长度，再向下平 -4-20 移3个单位长 度，得到图形Ⅱ 2 (1) 2 将图形I先向 右平移5个单位 长度，再向下平 图形I和图形Ⅱ 移3个单位长 关于x轴对称. 度，得到图形Ⅱ (3) (4 (第9题) 92 教材笔记数学八年级上册BJ 10.如图，AD是△ABC的角平分线，DE,DF分别是△ABD和△ACD的高.求 证：AD垂直平分EF 10.证明：·AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,∴.DE-DF又AD=AD,..Rt△AED≌ Rt△AFD(HL),.AE=AF,·.点A,D都在线段EF的垂直平分线上，.AD垂直 平分EF (第10题) (第11题) (第12题) 11.如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D,E,F,使AD=BE=CF 求证：△DEF是等边三角形 11.路.提示：由△DBE≌△ECF≌△FAD,可得DE-EF-FD,从而△DEF是等边三角形. 12.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E,使CE=CD.求证 DB=DE. )BD平分∠ABC,BD⊥AC 12.证明：△ABC是等边三角形，BD是中线 .∠ACB=∠ABC=60°，BD平分∠ABC ∠CBD5∠ABC30P.CE-CD,∠E-∠CDE5∠ACB=30P,∠E=∠CBD,.DB-DE 拓广探索 I3.如图，△ABC是等腰三角形，AC=BC,△BCD和△ACE是等边三角形，AE 与BD相交于点F,连接CF并延长，交AB于点G.求证：G为AB的中点. 13.证明：，AC=BC,∴.∠CAB=∠CBA.又△BCD和△ACE是等边三角形，∴.∠CAE ∠CBD,∴.∠CAB-∠CAE=∠CBA-∠CBD,即∠FAB=∠FBA,∴，A-FB,∴.CF垂直平分AB G为AB的中点. G (第13题) (第14题) 14.如图，直线1,4是两条平行的直线，图形G是一条封闭的曲线.先作图形G 关于直线1对称的图形，得到图形G,再作图形G1关于直线，对称的图形， 得到图形G2.图形G,可以由图形G平移得到吗？如果可以，平移的方向与直 线1,2有什么关系？平移的距离是多少？ 14.可以.平移的方向与直线1,12垂直，平移的距离是平行线11,2之间距离的两倍. 第十五章轴对称