15.4 探究与发现与数学活动 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“三角形边角不等关系”与“轴对称应用”，通过观察图片导入，联系等腰三角形“等边对等角”旧知，引导学生探究“大边对大角”“大角对大边”，搭建从已知到未知的学习支架。 其亮点在于融合折叠实验与几何推理，如通过折叠验证“大边对大角”培养几何直观，严谨证明过程发展逻辑推理。数学活动中设计轴对称图案提升创新意识，等腰三角形线段探究强化推理能力。学生能发展核心素养，教师可借助丰富案例与分层练习优化教学。

第十五章 轴对称 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 15.4 探究与发现与数学活动 1 第十五章 轴对称 探究与发现 三角形中边与角之间的不等关系 2 学习目标 1. 通过折叠实验和几何推理，理解并掌握三角形中“大边对大角”“大角对大边”的不等关系，能运用这两个结论解决简单的边角大小比较问题. 2. 经历“观察—猜想—验证—证明—应用”的探究过程，体会轴对称变换在转化不等关系中的作用，发展几何直观和逻辑推理核心素养. 3. 通过解决与三角形边角不等关系相关的实际问题，感受数学的严谨性和实用性，培养从具体到抽象的思维能力和合作探究精神. 3 情境导入 仔细观察这些图片，你发现了什么共同的几何结构？ 4 新知探究 学习了等腰三角形，我们知道： 在一个三角形中，等边所对的角相等； 反过来，等角所对的边也相等. 那么，不相等的边(或角)所对的角(或边)之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 5 新知探究 如图，在△ABC中，如果AB>AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折痕交 BC 于点E. C A B D(C) E C A B AB > AC ∠C=∠ADE 6 新知探究 C A B E D(C) ∵ ∠ADE = ∠C， 且∠ADE＞∠B（想一想为什么）， (因为∠ADE是△BDE的外角， 依据：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.) ∴∠C＞∠B. 想一想：如何证明这个结论？ 7 新知探究 已知：在△ABC中，AB＞AC，求证：∠C＞∠B. C A B 证明：在AB上截取AD，使AD=AC， 连接CD，作CD的垂直平分线，连接AE. 在△ADE和△ACE中， AD=AC，AE=AE，DE=CE， ∴△ADE≌△ACE（SSS）， ∴∠ADE=∠ACE. ∵∠ADE是△BDE的外角， ∴∠ADE＞∠B， ∴∠C＞∠B. D E 8 新知探究 讨论：如果在一个三角形中两个角不等，它们所对的边会有怎样的关系呢？请同学们大胆猜想. 从上面的过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把研究两个量之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较小量相等的问题，这是几何中研究不等问题时常用的方法. 9 新知探究 已知：在△ABC中，∠C＞∠B，求证：AB＞AC. C A B 证明：在∠C内作∠BCD = ∠B，CD交AB于点D. ∵∠BCD = ∠B， ∴BD = CD（等角对等边）. 在△ACD中，AD + CD＞AC（三角形两边 之和大于第三边）， 又∵BD = CD，∴AB = AD + BD＞AC， 即大角所对的边较大. D 10 新知探究 结论： 在一个三角形中：等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等. 在不等边的三角形中： 大边对大角，小边对小角；大角对大边，小角对小边. 11 新知探究 利用上面两个结论，回答下面的问题： (1)在△ABC中，已知BC > AB > AC，那么∠A， ∠B， ∠C有怎样的大小关系？ 在△ABC 中，根据 “大边对大角” 的性质（即三角形中，较长的边所对的角较大）： ∵BC＞AB＞AC， ∴∠A＞∠C＞∠B. 12 新知探究 (2)如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形吗？为什么？ 结论：最大边所对的角是锐角，则这个三角形一定是锐角三角形. 理由：三角形中，最大的边所对的角是最大的角 （由 “大边对大角” 可知）. 若最大的角是锐角，则其余两个角也一定是锐角. 三角形的三个角都是锐角时，该三角形为锐角三角形. 13 新知探究 (3)直角三角形的哪一条边最长？为什么？ 结论：直角所对的边（斜边）最长. 理由：直角三角形的三个角中，直角是最大的角（直角为 90°，其余两个角为锐角，均小于 90°）. 根据 “大角对大边” 的性质，最大的角（直角）所对的边是最长的边，这条边称为斜边. 因此，直角三角形中斜边最长. 14 课程小结 大边对大角：在△ABC 中，若 AB＞AC，则∠C＞∠B.通过折叠实验直观感知，借助全等及外角性质证明. 大角对大边：在△ABC 中，若∠C＞∠B，则 AB＞AC.类比前者思路，构造辅助角证明. 15 随堂演练 1. 在△ABC 中，若 AB - BC＞0，且∠A + ∠B = 2∠C，则△ABC 是钝角三角形，且 AB 边所对的角最大。（ ） 2. 在△ABC 中，AB = 8，BC = 5，AC 的取值范围是整数，且△ABC 中最大角与最小角的差最小，则 AC 的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 √ C 16 随堂演练 3.在△ABC 中，AB = 10，AC = 12，BC 边上的高 AD = 8，则 BC 的长为 . 4.已知在△ABC 中，AB＞AC，点 D 是 BC 上一点，且 BD＞DC，比较∠BAD 与∠CAD 的大小关系为 . 16或4 ∠BAD ＞ ∠CAD 17 随堂演练 5. 如图，在△ABC 中，AB＞AC，AE 平分∠BAC，F 是 AE 上任意一点（不与 A 重合）.比较△ABF 和△ACF 的周长大小，并说明理由. 答：△ABF 的周长＞△ACF 的周长. 理由： △ABF 的周长 = AB + BF + AF， △ACF 的周长 = AC + CF + AF， 消去公共边AF，只需证：AB+BF>AC+CF. 在AB上截取AD=AC， ∵AB=BD+AD=BD+AC， ∴只需证BD+BF>CF. E A B C F D 18 随堂演练 ∵ AE 平分∠BAC， ∴ ∠BAF = ∠CAF， 又 AB＞AC，AF 为公共边，根据“大边对大角”的逆推：在∠BAF=∠CAF的条件下，AB>AC 可推出 BF>CF（角相等时，对边越长，邻边越长，本质是 “三角形边角关系” 的延伸）. ∵ BD+BF>BF>CF（因BD>0，且已证 BF>CF），故BD+BF>CF成立. ∴ △ABF 的周长＞△ACF 的周长. E A B C F D 19 第十五章 轴对称 数学活动 20 学习目标 1. 通过观察美术字、字母及数字的轴对称特征，准确绘制对称轴，能举例说明生活中的轴对称现象，发展几何直观与空间观念. 2. 经历利用轴对称设计图案的过程，结合折叠、描图等操作探索图案形成规律，能独立完成基本图形的轴对称变换，并尝试与平移组合设计图案，培养创新意识与审美表达能力. 3. 针对等腰三角形底边中点到两腰距离的关系进行猜想与证明，类比探究中线、角平分线等线段的等量关系，运用轴对称性质完成至少1个拓展结论的推理，提升逻辑推理与数学表达素养. 21 课程导入 情境导入 22 活动1：美术字与轴对称 在美术字中，有些文字、字母和数字是轴对称的. 如图，画出这些文字、字母和数字的对称轴. 米 田 喜 非 A H W 8 23 活动1：美术字与轴对称 猜一猜下列几个未写完的美术字是什么文字或字母？把它们补齐. 羊 王 平 BED 24 活动1：美术字与轴对称 你能再写出几个轴对称的美术字吗？画出它们的对称轴，并与同学交流. 中 木 天 且 兰 全 里 十 叟 苦 25 活动2 利用轴对称设计图案 利用轴对称，可以由一个基本图形得到与它成轴对称的另一个图形，重复这个过程，可以得到美丽的图案. 26 活动2 利用轴对称设计图案 下面这个图案是由基本图形经过怎样的变换得到的？ 27 活动2 利用轴对称设计图案 如图，在一张半透明的纸上画一个图形，将这张纸折叠，描图，再打开纸，看看得到了什么？ 28 活动2 利用轴对称设计图案 请同学们拿出半透明纸和彩笔，自己动手设计一个轴对称图案. 设计完成后，改变折痕的位置，重复几次折叠和描图的过程，看看又能得到什么新的图案？ 对称轴方向和位置发生变化，得到的图形的方向和位置也会发生变化. 29 活动2 利用轴对称设计图案 对称轴的位置不同，由同样的基本图形得到的图案也不同. 我们也可以利用多次轴对称进行图案设计. 30 活动2 利用轴对称设计图案 有时，将平移和轴对称结合起来，可以设计出更丰富的图案，许多镶边和背景图案就是这样设计的. 展开你的想象，借助信息技术工具，从一个或几个图形出发，利用轴对称或与平移进行组合，设计一些图案，并与同学交流. 31 活动2 利用轴对称设计图案 作品欣赏 32 活动3 等腰三角形中相等的线段 猜想一下，等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？ A B C D E F 将等腰三角形 ABC 沿对称轴 AD 折叠，观察 DE 与 DF 的关系. 你能证明这个结论吗？ DE = DF B E B E 33 活动3 等腰三角形中相等的线段 A B C D E F 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 边的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E ，F. 求证：DE = DF. 证明： ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB =∠DFC = 90°. 在△ABC 中，∵AB = AC，∴∠B =∠C. ∵D 是BC 边的中点，∴ DB =DC. ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴DE =DF. 34 活动3 等腰三角形中相等的线段 如果 DE，DF 分别是 AB，AC 上的中线，它们还相等吗？ A B C D E F B D E E B DE = DF 你能证明这个结论吗？ 35 活动3 等腰三角形中相等的线段 A B C D E F 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E，F 分别是 BC，AB，AC 边的中点. 求证：DE = DF. 证明： ∵AB = AC， ∴∠B =∠C. ∵点 D，E，F 分别是 BC，AB，AC 边的中点， ∴DB = DC，BE = AE，CF = AF. ∴BE = CF. ∴△BDE ≌△CDF（SAS）． ∴DE = DF. 36 活动3 等腰三角形中相等的线段 如果 DE，DF 分别是∠ADB，∠ADC 的平分线，它们还相等吗？ A B C D E F E B E B DE = DF 你能证明这个结论吗？ 37 活动3 等腰三角形中相等的线段 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 是 BC 边的中点，DE，DF 分别是∠ADB，∠ADC 的平分线. 求证：DE = DF. 证明： ∵AB = AC， ∴∠B =∠C. ∵点 D 是 BC 边的中点， ∴DB = DC. ∴AD 是底边的高， ∴∠ADB =∠ADC = 90°. A B C D E F 38 活动3 等腰三角形中相等的线段 A B C D E F ∵DE，DF 分别是∠ADB，∠ADC 的平分线， ∴∠BDE = ∠ADB，∠CDF = ∠ADC， ∴∠BDE =∠CDF. ∴△BDE ≌△CDF（ASA）． ∴DE = DF. 39 活动3 等腰三角形中相等的线段 由等腰三角形是轴对称图形，利用类似的方法，还可以得到等腰三角形中哪些线段相等？证明你的结论. 例如：等腰三角形两腰上的高相等. A B C E D 40 活动3 等腰三角形中相等的线段 A B C E D 已知：在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E. 求证：BD=CE. 证明：∵△ABC是等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB. ∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC=∠BDC=90°. 在△BEC和△CDB中， ∠BEC=∠BDC，∠ABC=∠ACB，BC=CB. ∴△BEC≅△CDB(AAS) . ∴BD=CE. 41 课程小结 一、轴对称图形 定义：沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形. 对称轴：折叠时所沿的直线 (虚线表示). 二、利用轴对称设计图案 方法：1.基本图形 + 轴对称变换 + 重复. 2.轴对称 + 平移. 关键：1.对称轴的位置和数量. 2.基本图形的选择. 42 课程小结 三、等腰三角形中相等的线段 猜想：底边中点到两腰的距离相等. 验证：折叠. 证明：△BDE ≌ △CDF (AAS) => DE = DF. 拓展：中线、角平分线等. A B C D E F 43 随堂演练 1. 在方格纸上画出下列汉字的对称轴（如果存在）： 大 下 左 未 亚 X 44 随堂演练 2. 如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD，CE分别是两腰上的中线.  求证：BD=CE. A B C E D 证明：∵AB=AC，BD，CE分别是两腰上的中线， ∴AE=AB，AD= AC，则AE=AD. 在△ABD和△ACE中，  ∴△ABD≅△ACE(SAS)， ∴BD=CE. 45 随堂演练 3. 证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高. 解：如图，在底边BC上任取一点为D，连接AD，过D作DE⊥AB， DF⊥AC. ∵ △ABD的面积= ×DE×AB ， △ADC的面积=  ×DF×AC ，AB=AC.  ∴△ABC的面积 =△ABD+△ADC=  ×(DE+DF)×AB， A B C E F D 46 随堂演练 又∵△ABC的面积=  ×(AB边上的高)×AB ∴  ×(AB边上高)×AB=  ×(DE+DF)×AB ∴AB边上的高=DE+DF . ∴底边上任意一点到两腰距离之和等于一条腰上的高. A B C E D F 47 课后作业 1. 在方格纸上画出 5 个不同的轴对称美术字，并准确画出它们的对称轴. 2. 利用轴对称设计一个简单的剪纸图案，并写出设计思路. 3. 找出你身边的3个轴对称图形，并简要说明理由. 4. 搜集一些具有轴对称特点的建筑或艺术作品图片，并分析其设计理念. 48 第十五章 轴对称 人教版八年级（初中）数学上册 授课老师：XXX 15.4 探究与发现与数学活动 49 $