第14章 数学活动(三)利用全等设计图案&教学活动(四)用全等三角形证明拼图猜想-【勤径学升】2026-2027学年八年级上册数学同步练测(人教版)

同步练测 八年级数学（上册）】 数学活动（三）利用全等设计图案 [答案P10] 1.某同学学习了全等三角形后，利用全等三角形绘制出了如图所示的图案，第1个图案由2个全等三角形 组成，第2个图案由4个全等三角形组成，第3个图案由7个全等三角形组成，第4个图案由12个全等 三角形组成….则第6个图案中全等三角形的个数为 () △ △△ △△△ △△△△ △△ △△△△ △△△△△△△△ … 第1个 第2个 第3个 第4个 1题图 A.25 B.38 C.70 D.135 2.如图①，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件： (1)涂黑部分的面积是原正方形面积的一半； (2)涂黑部分中存在全等图形 如图②所示是一种涂法，请在图④，⑤，⑥中分别设计另外三种不同的涂法.（在所设计的图案中，若 涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图②与图③) 2题图① 2题图② 2题图③ 2题图④ 2题图⑤ 2题图⑥ 3.如图，在湖泊的岸边有A,B两点，难以直接度量出A,B两点间的距离，请你利用全等三角形的知识设计 一种量出A,B两点间距离的方案，并说明你这样设计的理由. 3题图 38 见此图标园微信扫码难题轻松解练出好成绩 第十四章全等三角形 数学活动（四）用全等三角形证明拼图猜想 [答案P10] 1.在数学活动“用全等三角形证明拼图猜想”中，小明同学剪了一组全等的钝角三角形，拼在一起后如图 所示 (1)观察可以发现，△ABC兰 (2)连接AA',可以发现BC与AA'有什么位置关系？请证明你的猜想. 1题图 2.如图①，已知△ABC≌△ADC (1)若∠B+∠D=200°，∠BAD=64°，求∠BCA的度数. (2)如图②，连接BD,与AC交于点O. （I)求证：BD⊥AC; (Ⅱ)若四边形ABCD的面积为15，AC=5,请直接写出BD的长. 2题图① 2题图② 见此图标目园微信扫码准题轻松解练出好成绩 39同步练测·八年级数学（上册） ∴.CF=BA,∠ABD=∠FCD .·∠BAC=∠BCA, .∠ACE=∠ABC+∠BAC= ∠FCD+∠BCA=∠ACF. .AB=CE,..CF=CE. 在△ACF和△ACE中， 22---- CF=CE, 3题答图① ∠ACF=∠ACE, AC=AC. .△ACF≌△ACE(SAS), ∴.∠CAF=∠CAE,即AC平分∠DAE. (2)解：AE=2AD.理由如下： 如答图②，延长AD至点G,使GD=AD,连接GC ∴.AG=2AD. 易得△ABD≌△CCD, .∠G=∠BAD. ·LE=∠BAD,∴∠E=∠G. B AC平分LDAE, .∴.∠CAG=∠CAE. .AC=AC. 3题答图② .△ACG≌△ACE(AAS),.AE=AG, ..AE=2AD. 4.解：方法一：如答图①，在AB上截取AE,使AE=AC,连 接PE. 在△AEP和△ACP中， AE=AC, ∠1=∠2， (AP=AP, E B .∴.△AEP≌△ACP(SAS), D .PE=PC. 4题答图① 在△PBE中，BE>PB-PE,即AB-AC>PB-PE, .AB-AC>PB-PC. 方法二：如答图②，延长AC到M,使AM=AB,连接PM. 在△ABP和△AMP中， (AB=AM, ∠1=∠2 AP=AP, ∴.△ABP≌△AMP(SAS), .PB=PM. 在△PCM中，CM>PM-PC, 4题答图② 即AB-AC>PM-PC, .AB-AC>PB-PC. 5.解：(1)ASA (2)如答图①，延长AE交BC于 点F.易得△AEC≌△FEC, D .∴.∠EFC=∠EMC=65° E .∠EFC=∠B+∠DAE, .∴.∠DAE=∠EFC-∠B=65°- 5题答图① 35°=30°. 、1 (3)BE=2CD.证明如下： ·10· 如答图②，延长BE,CA交于点G, 则∠BAG=180°-∠BAC=90°. ·BE⊥CD, .∴.∠BED=90°=∠BAC .:∠BDC=∠ABG+∠BED= ∠ACD+∠BAC, .LABG=∠ACD. D .AB=AC, B .△ABG≌△ACD(ASA), 5题答图② ∴.BG=CD.易得△CBE≌△CGE, .BE=EG=- 数学活动（三）利用全等设计图案 1.B 2.解：如答图①，②，③所示（答案不唯一）. 2题答图①2题答图② 2题答图③ 3.解：设计方案（如答图）： ①先在平地上取一个可直接到达A,B两点的点C,连接 AC,BC; ②分别延长AC至E,BC至D,使EC=AC,DC=BC; ③连接DE,测出DE的长，即得A,B两点间的距离. 设计理由： EC=AC, 在△EDC和△ABC中 ∠ECD=∠ACB, DC=BC. .△EDC≌△ABC(SAS), .'ED=AB, .A,B两点间的距离等于ED的长 3题答图 数学活动（四） 用全等三角形证明拼图猜想 1.解：(1)△A'CB (2)BC∥AA'.证明如下： ,:△ABC≌△A'CB, .∠ACB=∠A'BC,AB=A'C,AC=A'B. (AB=A'C, 在△ABA'和△A'CA中， A'B=AC, A4'=A'A, .△ABA'≌△A'CA(SSS),∴.∠BA'A=∠CAA' (180p-∠B0C),∠c=7(1s0-∠A0a0. :LACB=2 且∠BOC=∠AOA',∠ACB=∠CAA', .BC∥AA' 2.(1)解：：△ABC≌△ADC, ∴.∠B=∠D,∠BCA=∠DCA,∠BAC=∠DAC .∠B+∠D=200°，.∠B=∠D=100° ∠BAD=64,LBMC= -∠BAD=32° 2 在△ABC中，∠BCA=180°-∠B-∠BAC=180°-100°- 32°=48°. (2)(I)证明：△ABC≌△ADC ∴.AB=AD,∠BAO=∠DAO (AB=AD 在△AB0和△AD0中， ∠BAO=∠DAO, A0=A0, .△ABO≌△ADO(SAS),.∠AOB=∠AOD. 又：∠A0B+∠A0D=180°， .∠AOB=∠AOD=90°，即BD⊥AC (Ⅱ)解：BD的长为6.解析：BD⊥AC,.Sg边形ABCD Sauc+Sa4c=2AC·B0+ 1 24C·D0= 2AC·(B0+ D0)=1 AC·BD.:Sg边形ABcD=15,4C=5,15= ×5· 2 BD,解得BD=6. 易错政坚特训二 1.C :愿易错点拨 本题易忽略全等三角形中的对应关系而出错.在 △ABC≌△DEF中，BC与EF是对应边，根据全等三角 形对应边相等，直接可得EF=BC=7. 2.100° :易错点拨 本题易误判全等三角形的对应关系，错找∠F的 对应角.解题时需找准对应关系，结合平行线性质与三 角形内角和定理来解题 3.C :区易错点拨 本题易误选选项A,B,误用SSA判定全等.已知 AB=AD,AC=AC,选项A,B条件均为两边及其中一边 的对角相等，无法判定全等；只有选项C(BC=DC)可 通过SSS判定；D仅为公共边，不能作为新增条件. 4.B 易错点拨 本题易误认为两边及其中一边的对角相等就能证 明全等，需认真审题，以免出错 5.C :易错点拨 本题易混淆全等三角形的判定与性质：误将面积 相等、三个角分别相等、S$A作为全等判定依据，本题 只有③正确，因此共有3个错误说法， 参考答案及解析 6.1或1.5 :易错点拨 ①易漏分两种全等三角形的对应情况，即AB= CP,BP=CQ与AB=CQ,BP=CP,而导致答案不完整； ②易忽略点P在线段BC上的运动范围，未验证解的合 理性，出现不符合实际的错误结果。 7.2或5 :易错点拨 本题易因分类不全出错，点E在直线BC上运动， 需分点E在B点左侧、右侧两种情况讨论，不能只考虑 单一方向，否则会漏解，导致结果不完整 8.解：如答图，过点P作PM⊥OB于点M,PN⊥OA于点N. OP平分∠AOB,PM⊥OB,PN⊥ OA,∴.PM=PN 在Rt△PND和RL△PME中， D (PN=PM, PD=PE, ∴.Rt△PND≌Rt△PME(HL), ∴.∠PEM=∠PDN. E .·∠0EP=120°， 8题答图 ∴.∠PEM=∠PDN=60°， .∠0DP=120°. 当点D'在点N的上方时，易得∠0D'P=60°. 综上所述，∠0DP的度数为120°或60°. :似易错点拨 本题易忽略点D在点N上方的可能，只考虑点D 在点N下方的一种情况.解题时需结合角平分线的性 质，分两种情况讨论PD=PE. 章未核心考点训练 1.B2.C3.C4.A5.C6.99° 7.证明：DE∥AC,∠BDE=∠C I∠BDE=∠C, 在△BDE和△ACB中 BD=AC, ∠E=∠ABC, ∴.△BDE≌△ACB(AAS), ∴.BE=AB. 8.证明：E为BD的中点，∴BE=ED. .·∠ABD=∠CED=90° .△ABE和△CED都是直角三角形 在Rt△ABE和Rt△CED中， (AE=CD, BE=ED, ∴.Rt△ABE≌Rt△CED(HL), .∴.∠AEB=∠CDE. 9.(1)证明：，∠BAC=∠DAE, .∠BAC+∠DAC=LDAE+∠DAC,即∠BAD=∠CAE. (AB=AC, 在△ABD和△ACE中， ∠BAD=∠CAE, AD=AE, .△ABD≌△ACE(SAS). (2)解：根据题意，可知∠DAE=∠BAC=58. ·11