第13章 易错攻坚特训一&章末核心考点训练&综合与实践 确定匀质薄板的重心位置-【勤径学升】2026-2027学年八年级上册数学同步练测(人教版)

.∴.∠BAN=2∠CAB,∠ABM=2∠CBA .'∠BAN=∠MON+∠ABO,∠ABM=∠MON+∠BAO .∠M0N=180°-∠BA0-∠AB0=180°-2∠CAB+ 2∠MON-2∠CBA, 六∠CAB+LCBA=90+ 2∠M0w ∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA, 、..∠ACB=90e-2∠10N=90°-2[90°-(10r)7=90o_ 45°+(5t)°=(45+5t)°，即∠ACB=(45+5t)°. (Ⅱ)根据题意，可得90-10t=45+5t,解得t=3. ,.当t=3时，∠MON与∠ACB的度数相等. 4.30° ∠4证明如下： 1 5.解：(1)∠D= 在△ABC中，∠ACE=∠A+∠ABC, 在△DBC中，∠DCE=∠D+∠DBC. ·∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点D, ∠nBC=LAC,∠ncE=LACE, 2 1 .∠A=∠ACE-∠ABC,∠D=∠DCE-∠DBC= ·∠ACE- 2 是∠ABc,即∠D=(∠Acs-∠ABc)=7LA, ∠D= 2<4 (2)z=号A 6.解：(1)∠B=20°，∠C=50°，.∠BAC=110. :AE为LBMC的平分线…∠CE=子LBMC=50 :AD为BC边上的高，∴，∠ADC=90°， .∴.∠CAD=90°-∠C=90°-50°=40°， ∴.∠EAD=∠CAE-∠CAD=55°-40°=15° (2)∠EAD的度数为25°.解析：∠ABC=100°，∠C= 50°，.∠BAC=30°.AE为LBAC的平分线，.∠BAE= 2∠BAC=159.AD为BC边上的高，∠ADB=90, ·∠ABC=∠ADB+∠BAD,,∠BAD=100°-90°=10°， .∴.∠EAD=∠BAE+∠BAD=15°+10°=25°. 数学活动（一）搭等边三角形 1.(1)1721(2)8105 2.解：(1)（2n+1) (2)不存在.理由如下： 当n=4时，2n+1=2×4+1=9(根)， .搭4个三角形所需磁力棒的根数为9， .不存在用6根磁力棒能组成4个等边三角形 (3)64 (4)7解析根据题意，可得9-6=3， ,在小梦搭成的三棱锥的基础上，在一 等边三角形外用3根磁力棒搭成一个三 棱雏，如答图，在小梦搭成的三棱锥的 基础上，又增加了3个等边三角形，.4+ 2题答图 3=7,,最多可以组成7个等边三角形. 参考答案及解析 数学活动（二）多边形的三角剖分 1.B 2.解：(1)如答图所示，五边形的三角剖分有5种不同的方法. E E B B 2题答图 (2)验证前面得到的结果如下： 四边形的三角剖分有2种方法（即D4=2),五边形的三 角剖分有5种方法（即D5=5), D4+15 D421 4×4-65 42 1=4×4-6即 nD_4n-6(n≥3)： D n 由公式可得04x5-6 20-6 D55D6= ×5=14. 5 D24×6-6 24-6 D 6D2=2 ×14=42, 6 .六边形和七边形的三角剖分方法数分别是14,42. 易错攻坚特训一 1.C :易错点拨 等腰三角形已知一边求腰长，必须分“已知边为 腰”“已知边为底边”两种情况，最后一定要用三边关 系检验能否围成三角形 2.B :易错点拨 遇到“周长固定，剪三段围成三角形”的题目，第 一步先算出周长的一半，所有边都必须小于这个数，不 符合的直接排除， 3.解：三角形各边均大于0， .x+5>0,x-2>0,x-8>0, .x>8. 根据三角形三边之间的关系，由x-2+x-8>x+5,得x>15:由 x-2+x+5>x-8,得x>-11;由x+5+x-8>x-2,得x>1.综上所 述，x的取值范围是x>15. ·3· 同步练测·八年级数学（上册） :易错点拨 先让所有边长都大于0，求出初步范围；判断三条 边的大小关系，找出最长边：用“两短边之和大于最长 边”列不等式；综合所有条件，取交集，得到最终范围. 4.解：(1)根据三角形三边之间的关系，得到8-4<a<8+4, .4<a<12 (2),4<a<12,∴.a=8 当a=8时，△ABC的周长为4+8+8=20 :易错点拨 遇到三角形边长问题，先定范围，再讨论特殊情况（如 :等腰)，最后一定要用三角形三边之间的关系验证 5.80°或40° :易错点拨 在不清楚比∠A大20°的这个角是∠B还是∠C 时，需要分类讨论，并结合三角形的内角和是180°，准 确得出∠B的度数 6.125°或85 :易错点拨 本题射线CP位置不唯一，需分在CD左侧和右侧 两种情况求解.很多同学思维固化，只算一种位置，忽 略分类讨论，造成漏解。 7.解：如答图①，当CE⊥BC时. ∠A=60°，∠ACB=42°，∴.∠ABC=78. BF平分LABC,∠CBE= 2 LABC=39°， .∠BEC=90°-39°=51° 如答图②，当CE⊥AB于点M时 ∠ABE= 2∠ABC=39, .∠BEC=90°+39°=129°. 如答图③，当CE⊥AC时. ·.·∠CBE=39o,∠ACB=42°」 .∠BEC=180°-39°-42°-90°=9° 综上所述，∠BEC的度数为9°，51°或129 C D 7题答图① 7题答图② 7题答图③ :易错点拨 未按CE垂直于△ABC的三边分三种情况讨论，易 遗漏或错算其中一种，导致答案错误 章未核心考点训练 1A2.B3C4105号g 6.6 4 7.解：设腰长为xm,则底边为(x-3)m, 由题意可得2x+(x-3)=30, 解得x=11, .腰长为11m, ·4· .底边长为11-3=8(m). .11+8>11, .此时能构成三角形 答：花坛各边的长度为11m,11m,8m. 8.C9.2 1 10.解：(1)AD是△ABC的高，∠ADB=90°. ∠BAD=55°，∴.∠ABC=90°-55°=35°， ,∠BAC=180°-35°-62°=83. CE是△ACB的角平分线，∠ACB=62°， ∴.∠ECB= 2∠ACB=310, .∠AEC=∠ABC+∠ECB=35°+31°=66°. (2):F是AC的中点，.AF=FC △BCF与△BAF的周长差为3， ..(BC+CF+BF)-(AB+AF+BF)=3,..BC-AB=3. ,AB=7, ..BC=3+7=10. 11.C12.A13.B14.4 15.(1)解：如答图①，连接BC 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， 在△DBC中，∠D+∠DBC+∠DCB=180°， ∴.∠A+∠ABD+∠ACD+∠D=∠A+∠ABC+ ∠DBC+LACB+LDCB+∠D=（LA+BC ∠ABC+∠ACB)+(∠D+∠DBC+∠DCB)= D 180°+180°=360°， 15题答图① .∠A+∠B+∠C+∠D的度数和为360° (2)(I)证明：如答图②，连接AD并延长至 点K 易得∠BDK=∠B+∠BAD,∠CDK=∠C+ ∠CAD, B .∠BDC=∠BDK+∠CDK=∠B+∠BAD+ K ∠C+∠CAD=∠BAC+∠B+∠C. 15题答图② (Ⅱ)解：∠BDC=2∠B.解析：∠AFB=∠C+∠FDC, ∠BED=∠A+∠C,∠A=∠FDC,.LAFB=∠BED. ,·∠B=∠AFB,∴.∠B=∠BED,∴.∠BDC=∠B+∠BED= 2∠B. 综合与实践确定匀质薄板的重心位置 1.A 2.解：(1)1：3 (2)A0:0D=2:1.证明如下： AD是△ABC的中线 ∴.BD=CD,.SAABD=SAACD,S△BD0=S△cD0, .S△AOB=S△4C0. :CE,BF分别是△ABC的中线， .S△0ME=S△0BE,S△AF0=S△CF0, .S△OME=S△0BE=S△AP0=S△cF0 同理可得，S△OAB=S△OBE=S△AF0=S△GP0=S△0BD=S△c0D, .S△A0B=S△OAE+S△0BR=2S△0BD· :△AOB的边A0上的高与△BOD的边OD上的高相同， ∴.A0:0D=S△40B:S△0BD=2:1. 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 基础达标练) 1.B2.A3.△ABC≌△A'B'C 4.解：AB的对应边是AC,BE的对应边是CD,AE的对应边 是AD. ∠B的对应角是∠C,∠BAE的对应角是∠CAD,∠E的对应 角是∠D. 5.C6.B7.50 8.解：(1)△ABC和△DEF的对应边为AB和DE,BC和EF AC和DF,对应角为∠A和∠D,∠B和∠DEF,∠ACB 和∠F. (2).·在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°， ∴.∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-78°-35°=67. .·△ABC≌△DEF,BC=18. .∠F=∠ACB=67°，EF=BC=18. 能力进阶练) 1.A2.C3.A 4.解：·△CBD≌△EBD,∴.BE=BC=6cm,CD=DE. AB=8 cm,.'.AE=AB-BE=8-6=2(cm), .△ADE的周长为AD+DE+AE=AD+DC+AE=AC+AE=5+ 2=7(cm). 5.解：如答图.△ABC≌△DEF, H ..∠B=∠E=60°，∠C= ∠F=40°. .DFBC,∴.∠1=∠C .∠1=LF,∴.ACEF, .∴.∠2=∠E=60°. .·∠BAC=180°-∠B-∠C= 5题答图 180°-60°-40°=80°， .∴.∠BAD=∠BAC-∠2=80°-60°=20° 6.解：(1)△ABD≌△CFD,.AD=CD. .AD=12,∴.CD=AD=12. BD=4...BC=BD+CD=16. 1 SAANG=2BC·AD= 2X16x12=96 (2)AB⊥CF.理由如下： .AD⊥BC,∴.∠CDF=90°，.∠BAD+∠B=90° .·△ABD≌△CFD,∴.∠BAD=∠FCD, .∠FCD+∠B=90°，∴.∠BEC=180°-（∠FCD+∠B)=90°， ∴.AB⊥CF. 14.2三角形全等的判定 课时1用“SAS”判定三角形全等 基础达标练) 1.D2.∠A=∠D3.∠CAD∠CAD AC=AE SAS 4.A5.C (AB=AE, 6.证明：在△ABC和△AED中 ∠BAC=∠EAD, AC=AD, 参考答案及解析 .△ABC≌△AED(SAS), .BC=DE. AB=DF, 7.(1)证明：在△ABC和△DFE中 ∠A=∠D, AC=DE, .△ABC≌△DFE(SAS),.∠ACB=∠DEF, .AC∥DE. (2)解：△ABC≌△DFE,.CB=EF, .BF+EC=BE+CE+CF+CE=2BE+2CE=2BC. 1 BC=-2(BF+EC)=- ×(15+7)=1, .BC的长为11 能力进阶练) 1.A2.B3.C4.90 5.证明：AB⊥BD,ED⊥BD, .∴.∠B=∠D=90°. (AB=CD, 在△ABC和△CDE中 ∠B=∠D BC=DE. ∴.△ABC≌△CDE(SAS),∴.∠A=∠DCE. 在△ABC中，∠A+∠ACB=90°， ∴.∠DCE+∠ACB=90. .:∠ACB+∠ACE+∠DCE=180°， .∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE)=180°-90°=90°， .AC⊥CE 6.(1)证明：△ABC的三边相等，三个内角也相等，∠BAC+ ∠ABC+∠ACB=180°， .1 六∠BAC=LABC=∠ACB=3×180°=60°，AB=AC=BC, .∠CAE=∠ABD=180°-60°=120°. (AB=CA, 在△ABD和△CAE中， ∠ABD=∠CAE, BD=AE, .△ABD≌△CAE(SAS), ..AD=CE. (2)解：△ABD≌△CAE,.∠E=LD. ∠EAF=∠DAB,∠E+∠EAF+∠AFE=∠D+∠DAB+ ∠ABD=180°，∴.∠AFE=∠ABD=120°， .∠CFA=180°-∠AFE=60°. 课时2用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 基础达标练) 1.C2.D 3.证明：∠1=∠2， ∴.∠1+∠AED=∠2+∠AED,即∠AEC=∠BED. I∠A=∠B, 在△AEC和△BED中，{AE=BE, (∠AEC=∠BED, .△AEC≌△BED(ASA). 4.证明：AD∥CE,∴.∠A=∠ECB. C是线段AB的中点，.AC=CB. .5…第十三章三角形 易错攻坚特训一 [答案P3] 易错点1/忽略三角形三边之间的关系 易错点2/三角形形状不明确时，求角度未分类 1.用一根长为20cm的铁丝围成等腰三角形，若一 讨论 边长为6cm,则该等腰三角形的腰长为() 5.在△ABC中，∠A=60°，其中一个角的度数比 A.6 cm B.7 cm ∠A大20°，则∠B= C.6cm或7cm D.8 cm 6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD平 2.把一根10厘米长的小棒剪成三段，首尾相接围 分∠ACB.从点C画射线CP交AB于点E,当 成一个三角形，第一剪不符合要求的是( ∠ECD=20时，∠AEC的度数为 买 B 口 D 3.三角形的三边长分别为x+5,-2,x-8,求x的取 6题图 值范围。 7.如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ACB=42°，D为边 BC延长线上一点，BF平分∠ABC,E为射线 BF上一点.若直线CE垂直于△ABC的一边，求 ∠BEC的度数， 4.在△ABC中，已知三边长分别为4,8，a. 7题图 (1)求a的取值范围； (2)若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长 见此图标目园微信扫码准题轻松解练出好成绩 15 同步练测 八年级数学（上册）】 章末核心考点训练 [答案P4] 核心考点1/三角形三边之间的关系及稳定性 核心考点2三角形的中线、角平分线、高 1.下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定性的 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，D,E是AC上两点， 是 且AE=DE,BD平分∠EBC,下列说法中不正确 的是 W 活动衣架 拉杆 三脚架 太阳能热水器 C D 2.如图，某公园内有两处观景台A,B,测量小组在 8题图 公园内选取一点P,测得PA=240m,PB=180m, A.BE是△ABD的中线 据此估计观景台A,B之间的距离可能为（ B.BD是△BCE的角平分线 A.50m C.∠1=∠2=∠3 B.220m D.BC是△BDE的高 C.450m 9.（广东东莞期末)如图，AD是△ABC的中线， D.30m 2题图 DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,DF=2DE,则 3.小亮有两根长度为5cm和9cm的木棒，他想钉 AC 一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木 AB 棒，你认为他应该选择 () A.3 cm B.4 cm C.9 cm D.16 cm 4.已知△ABC的三边长a,b,c满足(a-2)2+|b-4= 0,若c为偶数，则△ABC的周长是 9题图 5.新定义我们称等腰三角形的腰长与其底边长的 10.如图，AD是△ABC的高，CE是△ACB的角平分 比值为这个等腰三角形的“和谐比”，若等腰三角 线，F是AC的中点，∠ACB=62°，∠BAD=55°， 形ABC的周长为20，其中一边长为6，则这个等 其中BC>AB. 腰三角形的“和谐比”为 (1)求∠AEC和LBAC的度数； 6.若a,b,c表示一个三角形的三边的长，且它们都 (2)若△BCF与△BAF的周长差为3，AB=7,求 是自然数，其中a≤b≤c,b=3,则满足此条件的 BC的长 三角形共有 个 7.某校计划在校园内修建一个等腰三角形花坛，其 周长为30m,底边比腰短3m,求花坛各边的 长度 10题图 16 见此图标园微信扫码难题轻松解练出好成绩 第十三章三角形 核心考点3/三角形的内角和定理及外角 ∠An-1BC与LAn-1CD的平分线交于点An,得 11.小明在验证三角形三个内角的和等于180°时， ∠An要使∠An的度数为整数，则n的最大值 为 撕下∠2，使其顶点与∠1的顶点重合，一条边与 ∠1的一条边重合（如图）.下表是操作和证明 过程，则相应依据正确的是 14题图 15.问题情境 “综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图 11题图 ①，在平面内有∠BAC,点D在平面上，连接 解：由操作可知LC=∠2， BD,CD,求∠A+∠B+∠C+∠D的度数和 根据“（①）”， 数学思考 所以AD∥BC. (1)请你解答老师提出的问题. 根据“（②）”， 深入探究 所以∠DAB+∠B=180° (2)老师让同学们移动点D,并提出新的问题. A.①两直线平行，内错角相等；②同旁内角互 (I)“善思小组”提出问题：如图②，求证： 补，两直线平行 ∠BDC=∠A+∠B+∠C. B.①内错角相等，两直线平行；②同旁内角互 (Ⅱ)“智慧小组”提出问题：如图③，延长 补，两直线平行 CD交AB于点E,延长BD交AC于点F.若 C.①内错角相等，两直线平行；②两直线平行， ∠A=∠FDC,∠B=∠AFB,请直接写出 同旁内角互补 ∠BDC与∠B的数量关系. D①两直线平行，内错角相等；②两直线平行， 同旁内角互补 12.如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1= A.105° B.75° C.60° D.45° 15题图①15题图②15题图③ 45 60°△ 12题图 13题图 13.如图，点D,E分别在△ABC的边AB,AC上，把 △ADE沿直线DE翻折后得到△A'DE.如果 ∠DEC=103°，那么∠A'EC的度数是（) A.24° B.26° C.28 D.30° 14.如图，在△ABC中，∠A=48°，∠ABC与 ∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1;∠A,BC与 LA,CD的平分线交于点A2,得∠A2… 见此图标目园微信扫码准题轻松解练出好成绩 17 同步练测 八年级数学（上册）】 综合与实践确定匀质薄板的重心位置 .[答案P4] 1.如图，将一块透明的三角形匀质薄板（记作△ABC)放人正方形网格中，其三个顶点都在网格线的交点 上，在点D,E,F,G(都在网格线的交点上)中，该三角形薄板的重心是 () 1题图 A.点D B.点E C.点F D.点G 2.综合与实践：悬挂法确定匀质薄板的重心 材料准备：厚度均匀的三角形薄板、细线、笔、直尺、量角器等。 实践操作：如图①，用一根细线从质地均匀的三角形薄板的重心处穿过，并将其悬挂在支架上，观察发现 三角形薄板正好保持水平.数学兴趣小组对产生这一现象的原因进行了探究，请你帮助他们解决问题. (1)我们学习过三角形的重心是三角形三条中线的交点，通过悬挂法实验可再次验证这一事实.如图②， 在△ABC中，AD,CE,BF分别是△ABC的三条中线，点O是△ABC的重心，可以得到SABo:SAMc= (2)小景通过测量发现三角形重心到顶点的距离和到对边中点的距离存在特殊的数量关系，结合(1)中 的结论，试猜想线段A0和D0的数量关系，并用你所学的数学知识进行证明. 2题图① 2题图② 18 见此图标园微信扫码难题轻松解练出好成绩