第十三章 三角形 章节复习-2026-2027学年人教版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦三角形章节核心知识，通过基础巩固、中档综合、提高探究三层设计，实现从概念理解到推理应用的递进，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|三角形三边关系、内角和、基本概念|选择1-4直接考查定义辨析，填空7-9强化计算，夯实基础| |中档|等腰三角形、直角三角形性质综合|选择5-6结合图形分析，填空10-12融入分类讨论，提升应用能力| |提高|角平分线、新定义（准互余三角形）综合证明|解答13-17需多步推理，如16题新定义应用，培养创新意识与逻辑思维|

第十三章 三角形 章节复习 班级：__________ 姓名：____________ 第1页 学科网（北京）股份有限公司 一．选择题（共6小题） 1．下列长度的三条线段可以组成三角形的是（　　） A．3，4，2 B．12，5，6 C．2，5，9 D．5，2，7 2．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是（　　） A．72° B．85° C．65° D．80° 第2题图 第6题图 3．在验证“三角形内角和定理”时，四位同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能验证“三角形的内角和是180°”的是（　　） A．过点C作EF∥AB B．延长AC到F，过点C作CE∥AB C．过AB上一点D作DE∥BC，DF∥AC D．过AB上一点D作DE∥BC 4．下列说法正确的是（　　） A．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这个点到这条直线的距离 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 D．任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线 5．具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C． D．∠A＝∠B＝3∠C 6．如图，一个顶角为50°的等腰三角形，切去顶角后得到一个四边形．则∠1+∠2＝（　　） A．130° B．180° C．230° D．310° 二．填空题（共6小题） 7．已知三角形的三边长分别为2，a，4，则化简|a﹣1|+|a﹣7|的结果为　 　． 8．已知△ABC是等腰三角形，若AB＝8cm，AC＝4cm，则△ABC的周长是　 　cm． 9．Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝2∠A，则∠B＝　 　°． 10．如图，∠B＝∠D＝90°，AD与BC交于点E，AE＝3，EC＝2，AB＝2.5，则CD的长是　 ． 11．等腰三角形的底边长与其腰长的比值称为这个等腰三角形的“优美比”．若等腰三角形的周长为16，其中一边长为4，则它的“优美比”为　 　． 12．已知△ABC的三边分别为a，b，c，化简：|a+b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|＝　 　． 三．解答题（共5小题） 13．如图，在△ABC中，∠BCD＝28°，∠ACB＝76°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，求∠AEC的度数． 14．如图，在△ABC中，BC＝8，AB＝1． （1）求周长C的取值范围； （2）已知BD是△ABC的中线，若△ABD的周长为10，求△BCD的周长． 15．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F． （1）若∠CAD＝40°，求∠AEF的度数； （2）求证：∠AEF＝∠AFE． 16．定义：若三角形的两个内角α与β满足α﹣β＝90°，则称该三角形为“准互余三角形”，α与β为“准互余角”．例如：在△ABC中，∠B＝100°，∠C＝10°，∠B﹣∠C＝90°，则△ABC为“准互余三角形”，∠C与∠B为“准互余角”． （1）若△ABC为“准互余三角形”，∠A＝110°，∠A和∠B是“准互余角”，求∠C的度数； （2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AD平分∠BAC，试说明△ABD是“准互余三角形”． 17．如图，∠BCD和∠BAD的角平分线交于点P． （1）求证：∠PCB+∠P＝∠PAB+∠B； （2）若∠B＝44°，∠D＝58°，求∠P的度数． 参考答案与解析 一．选择题（共6小题） 1．解：A．∵3+2＞4，故能构成三角形，符合题意； B．∵5+6＜12，故不能构成三角形，不符合题意； C．∵2+5＜9，故不能构成三角形，不符合题意； D．∵5+2＝7，故不能构成三角形，不符合题意； 故选：A． 2．解：∵在△ABC中，∠A＝50°，∠ABC＝70°， ∴∠C＝60°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC∠ABC＝35°， ∴∠BDC＝180°﹣60°﹣35°＝85°． 故选：B． 3．解：∵EF∥AB， ∴∠FCB＝∠B，∠ECA＝∠A， ∵∠ECA+∠ACB+∠FCB＝180°， ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°，故A不符合题意， ∵CE∥AB， ∴∠ECB＝∠B，∠FCE＝∠A， ∵∠FCE+∠ECB+∠ACB＝180°， ∴∠A+∠B+∠ACB＝180°，故B不符合题意， ∵DE∥BC，DF∥AC， ∴∠BDF＝∠A，∠C＝∠AED，∠AED＝∠EDF，∠ADE＝∠B， ∴∠C＝∠EDF， ∵∠ADE+∠EDF+∠BDF＝180°， ∴∠A+∠B+∠C＝180°，故C不符合题意， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，不能证明“三角形的内角和等于180°”，故D符合题意， 故选：D． 4．解：A．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这个点到这条直线的距离，故A选项错误； B．三角形的角平分线是线段，故B选项错误； C．三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形的一边上，故C选项错误； D．任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线，故D选项正确； 故选：D． 5．解：∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°，且∠A+∠B＝∠C， ∴∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故A不符合题意； ∵∠A﹣∠B＝∠C， ∴∠A＝∠B+∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+∠A＝180°， ∴∠A＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故B不符合题意； ∵∠A∠B∠C， ∴∠B＝2∠A，∠C＝3∠A， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+2∠A+3∠A＝180°， ∴∠A＝30°， ∴∠C＝3×30°＝90°， ∴△ABC是直角三角形， 故C不符合题意； ∵∠A+∠B+∠C＝180°，且∠A＝∠B＝3∠C， ∴3∠C+3∠C+∠C＝180°， ∴∠C， ∴∠A＝∠B＝3， ∵在△ABC中，∠A、∠B、∠C都是锐角， ∴△ABC是锐角三角形，而不是直角三角形， 故D符合题意， 故选：D． 6． 解：如图： 在三角形ABC中，∠A+∠B＝180°﹣∠C＝180°﹣50°＝130°， 四边形中，∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠B）＝360°﹣130°＝230°． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 7．解：由三角形三边关系定理得4﹣2＜a＜4+2， 即2＜a＜6． ∴|a﹣1|+|a﹣7|＝a﹣1+7﹣a＝6． 故答案为：6． 8．解：根据等腰三角形定义分两种情况讨论如下： 当腰长为AC＝4cm时，底边长为AB＝8cm，由于4+4＝8，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能构成三角形，舍去； 当腰长为AB＝8cm时，底边长为AC＝4cm，满足三角形三边关系，可以构成三角形，此时△ABC的周长为8+8+4＝20（cm）． 故答案为：20． 9．解：∵∠B＝2∠A， ∴3∠A＝90°， ∴∠A＝30°， ∴∠B＝90°﹣30°＝60°， 故答案为：60． 10．解：∵∠B＝90°，即AB⊥BC， ∴以CE为底时，△AEC的高为AB，， ∵∠D＝90°，即CD⊥AD， ∴以AE为底时，△AEC的高为CD，， ∴， ∴CE•AB＝AE•CD， 把AE＝3，CE＝2，AB＝2.5，代入得： 2×2.5＝3•CD， ∴， 故答案为：． 11．解：分两种情况讨论： 当4为腰长时，底边长为16﹣4﹣4＝8，则4+4＝8，不满足三角形三边关系，故舍去． 当4为底边长时，则16﹣4＝12，腰长为12÷2＝6此时6+6＝12＞4，6+4＝10＞6，满足三角形三边关系，则“优美比”为． 故答案为：． 12．解：由题意得，a+b＞c，c+a＞b， ∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0， ∴原式＝a+b﹣c+（b﹣c﹣a） ＝a+b﹣c+b﹣c﹣a ＝2b﹣2c． 故答案为：2b﹣2c． 三．解答题（共5小题） 13．解：∵∠ACB＝76°，∠BCD＝28°， ∴∠ACD＝∠ACB﹣∠BCD＝48°， ∵CD是边AB上的高， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴∠B＝180°﹣∠BDC﹣∠BCD＝62°，∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝42°， ∵AE是∠CAB的平分线， ∴∠CAE＝∠EAB＝21°， ∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝21°+62°＝83°． 14．解：（1）∵BC＝8，AB＝1． ∴BC﹣AB＜AC＜BC+AB， ∴7＜AC＜9， ∴7+8+1＜C＜9+8+1 即16＜C＜18， 答：周长C的取值范围是16＜C＜18； （2）∵BD是△ABC的中线， ∴AD＝CD， ∵△ABD的周长为10， ∴AB+AD+BD＝10， 即1+AD+BD＝10， ∴AD+BD＝9， ∴BC+BD+CD＝BC+BD+AD＝8+9＝17， 答：△BCD的周长为17． 15．解：（1）解：∵∠BAC＝90°，∠CAD＝40°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝90°﹣40°＝50°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD＝40°， ∵BE平分∠ABC， ∴， ∴∠AEB＝180°﹣∠ABE﹣∠BAE＝70°，即∠AEF＝70°； （2）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°， ∴∠CBE+∠BFD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ABE+∠AEF＝90°， ∴∠AEF＝∠BFD， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠AEF＝∠AFE． 16．解：（1）∵∠B和∠A是“准互余角”， ∴∠B＝110°﹣90°＝20°， ∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣20°﹣110°＝50°； （2）∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵∠C＝90°， ∴∠BDA＝∠C+∠DAC＝∠DAB+90°， ∴∠BDA﹣∠DAB＝90°， ∴△ABD是“准互余三角形”． 17．（1）证明：∵∠PCB+∠P+∠PNC＝∠PAB+∠B+∠ANB＝180°，∠PNC＝∠ANB， ∴∠PCB+∠P＝∠PAB+∠B； （2）解：由（1）的结论得到：∠D+∠MCD＝∠P+∠PAM，∠B+∠BAN＝∠P+∠PCN， ∴∠D+∠MCD+∠B+∠BAN＝∠P+∠PAM+∠P+∠PCN， ∵PC平分∠BCD，PA平分∠BAD， ∴∠MCD＝∠PCN，∠BAN＝∠PAM， ∴∠D+∠B＝2∠P， ∵B＝44°，∠D＝58°， ∴∠P（∠B+∠D）＝51°． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/9/10 16:12:44；用户：18183704378；邮箱：18183704378；学号：43037871 $