第13章 专题1 与角平分线有关的模型-【勤径学升】2026-2027学年八年级上册数学同步练测(人教版)

第十三章三角形 专题1与角平分线有关的模型 [答案P2] 类型1/双内角平分线 类型2/双外角平分线 模型展示 模型展示 B 点P是∠ABC,∠ACB 平分线的交点 ∠BPC=90° 2<A 点O是∠DBC与LBCE 平分线的交点 ∠0=900 2<A 1.如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=∠a, 3.如图①，已知点A,B分别在∠MON的边ON,OM ∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P,则 上（不与点O重合），AD平分∠BAN,BC平分 ∠P= ∠ABM,直线AD,BC相交于点C. A0-24a (1)若∠M0N=90°，试猜想∠ACB= (2)如图②，在(1)的基础上，若∠M0N每秒变小 10°，经过了ts(0<t<9). (I)试用含t的代数式表示∠ACB的度数； c0ra 1题图 (Ⅱ)当t取何值时，∠MON与∠ACB的度数 D.360°-∠a 相等 2.如图①，在∠MAN中，B,C分别是AM,AN上的点 (B,C不与点A重合)，∠ABC,∠ACB的平分线 交于点P (1)若∠MAN=90°，求∠P的度数； (2)如图②，若LA= ∠P,求∠A的度数 2 3题图① 3题图② M 2题图① 2题图② @知识精讲 @AI匹配资源 EAI智能工具 BAI方法指导 眼抖音/微信扫码进阶 见此图标目园微信扫码准题轻松解练出好成绩 11 同步练测 八年级数学（上册） 类型3/内外角平分线 类型4/共顶点角平分线与高夹角 模型展示 模型展示 DE D 2(2C-2B) 点O是∠ABC的平分线与 角∠ACD的平分线的交点 →∠0= AE⊥BC,AD平分∠BAC→∠DAE= ∠A 2 (∠C>∠B) 4.如图，已知△ABC,∠A=60°，∠ABC的平分线与外 6.如图①，在△ABC中，AD为BC边上的高，AE为 角∠ACM的平分线交于点D,则∠D= ∠BAC的平分线，已知∠B=20°，∠C=50° (1)求LEAD的度数； (2)若将“题中的条件∠B=20”改为“∠ABC= 100”,如图②，其他条件不变，请直接写出 4题图 ∠EAD的度数. 5.如图①，在△ABC中，∠ABC的平分线与 △ABC的外角∠ACE的平分线相交于点D. (1)判断∠D与∠A的数量关系，并加以证明； (2)若∠DBC的平分线与△DBC的外角 6题图① 6题图② ∠DCE的平分线相交于点G(如图②)，直 接写出∠G与∠A的数量关系. 5题图① 5题图② 12 见此图标园微信扫码难题轻松解练出好成绩同步练测·八年级数学（上册） :B0,C0分别是∠ABC,∠ACB的三等分线， ∠0BC=号∠ABc,∠0G8= 3∠ACB, ∠0Bc+L0c8=(∠4c+L40)=号x120=40. .∴.∠B0C=180°-（∠0BC+∠OCB)=140° (3)·∠ABC+∠ACB=180°-∠A,B0,C0分别是∠ABC, LACB的n等分线， ∠0BC=1∠ABC,∠0CB= -∠ACB, :∠OBC+∠OCB=1∠ABC+1∠ACB=1(∠ABC+ n ∠ACB)=1(180°-∠A), n ·∠B0C=180°-(L0BC+∠0CB)=180°-1(180°- ∠A)=180(n-1)+L∠A n n 课时2直角三角形的性质与判定 基础达标练 1.D2.A3.B4.50 5.解：DF⊥AB,.∠FDB=90. :∠F=40°，∠FDB+∠F+∠B=180°，∴.∠B=50. .:∠A=30°，∠B=50°，.∠ACB=180°-∠A-∠B=100°， .:.∠ACF=180°-∠ACB=80° 6.B7.C8.直角 9.(1)解：在△ABC中，∠A=70°，∠ABC=50°， .∠C=180°-70°-50°=60°. (2)证明：DEBC, .∠DBC=∠BDE=30°， .∴.∠BDC=180°-∠DBC-∠C=180°-30°-60°=90°， .△BDC是直角三角形. 能力进阶练 1.C2.C3.20° 4.(1)解：∠ACB=90°，∠CFE=70°， ∴.∠CAF=180°-90°-70°=20. AF平分∠CAB交CD于点E, .∠CAB=2∠CAF=40°， .∠B=90°-40°=50°. (2)证明：：∠ACB=90°，∴.∠CAF+∠CFE=90. ,CD⊥AB ∴.∠ADE=90°，∴.∠DAE+∠AED=90°. AF平分∠CAB交CD于点E, .∴，∠CAF=∠DAE,∴.∠CFE=∠AED. .∠AED=∠CEF， ,∴.∠CEF=∠CFE. 5.(1)证明：BD平分∠ABC,∴.∠ABC=2∠ABD. 在△ABC中，∠ACB=80°， .∠A+∠ABC=180°-∠ACB=180°-80°=100°， 即∠A+2∠ABD=100°， ·2 .△ABD为“奇妙三角形”. (2)证明：∠C=80°，.∠A+∠B=100° △ABC为“奇妙三角形”， .∠C+2∠B=100°或∠C+2∠A=100°， .∠B=10°或∠A=10°. 当∠B=10°时，∠A=90°，△ABC是直角三角形. 当∠A=10时，∠B=90°，△ABC是直角三角形. 由此证得△ABC是直角三角形. (3)解：∠C的度数为80°或100 13.3.2三角形的外角 基础达标练) 1.A2.D3.A4.C5.B6.B7.165°8.60 9.解：(1)：CE平分∠ACD,BE平分∠ABC, .LACD=2LECD,∠ABC=2∠EBC. .:∠ECD=∠E+∠EBC. ∴.LACD=2LE+2LEBC=2LE+∠ABC ∠ACD=∠A+∠ABC,∴.∠A=2∠E. ∠A=80°，，∠E=40. (2)由(1)得∠A=2∠E=2×30°=60°. 能力进阶练) 1.C2.B3.74°4.62° 微专题2运用“飞镖型”“8字型”求角度 1.65°2.19°3.40°4.210 专题1与角平分线有关的模型 1.B 2.解：(1)∠MAN=90°， ∴.∠ABC+∠ACB=90°. :∠ABC和∠ACB的平分线交于点P, L∠CBP=7∠ABC,LBCP= 2∠ACB, LP=180°-(LCBP+LBCP)=180°-7(LABC ∠ACB)=135°. (2):∠ABC和∠ACB的平分线交于点P, ∠CBP=LAC,∠BCP=7LACB, 1 六∠P=180-(LcBP+∠BcP)=180-之（∠ABc+ L4AcB)-=180(1s80-LA)=0+74M .∠A= 2P, .∠P=90°+ 11 2×2∠P,∠P=120°， 1 .∠A= -∠P=60 2 3.解：(1)45° (2)(I)在(1)的基础上，若∠M0N每秒变小10°， 经过了ts后，∠M0N=90°-(10t)°. :AD平分LBAN,BC平分∠ABM, .∴.∠BAN=2∠CAB,∠ABM=2∠CBA .'∠BAN=∠MON+∠ABO,∠ABM=∠MON+∠BAO .∠M0N=180°-∠BA0-∠AB0=180°-2∠CAB+ 2∠MON-2∠CBA, 六∠CAB+LCBA=90+ 2∠M0w ∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA, 、..∠ACB=90e-2∠10N=90°-2[90°-(10r)7=90o_ 45°+(5t)°=(45+5t)°，即∠ACB=(45+5t)°. (Ⅱ)根据题意，可得90-10t=45+5t,解得t=3. ,.当t=3时，∠MON与∠ACB的度数相等. 4.30° ∠4证明如下： 1 5.解：(1)∠D= 在△ABC中，∠ACE=∠A+∠ABC, 在△DBC中，∠DCE=∠D+∠DBC. ·∠ABC的平分线与∠ACE的平分线相交于点D, ∠nBC=LAC,∠ncE=LACE, 2 1 .∠A=∠ACE-∠ABC,∠D=∠DCE-∠DBC= ·∠ACE- 2 是∠ABc,即∠D=(∠Acs-∠ABc)=7LA, ∠D= 2<4 (2)z=号A 6.解：(1)∠B=20°，∠C=50°，.∠BAC=110. :AE为LBMC的平分线…∠CE=子LBMC=50 :AD为BC边上的高，∴，∠ADC=90°， .∴.∠CAD=90°-∠C=90°-50°=40°， ∴.∠EAD=∠CAE-∠CAD=55°-40°=15° (2)∠EAD的度数为25°.解析：∠ABC=100°，∠C= 50°，.∠BAC=30°.AE为LBAC的平分线，.∠BAE= 2∠BAC=159.AD为BC边上的高，∠ADB=90, ·∠ABC=∠ADB+∠BAD,,∠BAD=100°-90°=10°， .∴.∠EAD=∠BAE+∠BAD=15°+10°=25°. 数学活动（一）搭等边三角形 1.(1)1721(2)8105 2.解：(1)（2n+1) (2)不存在.理由如下： 当n=4时，2n+1=2×4+1=9(根)， .搭4个三角形所需磁力棒的根数为9， .不存在用6根磁力棒能组成4个等边三角形 (3)64 (4)7解析根据题意，可得9-6=3， ,在小梦搭成的三棱锥的基础上，在一 等边三角形外用3根磁力棒搭成一个三 棱雏，如答图，在小梦搭成的三棱锥的 基础上，又增加了3个等边三角形，.4+ 2题答图 3=7,,最多可以组成7个等边三角形. 参考答案及解析 数学活动（二）多边形的三角剖分 1.B 2.解：(1)如答图所示，五边形的三角剖分有5种不同的方法. E E B B 2题答图 (2)验证前面得到的结果如下： 四边形的三角剖分有2种方法（即D4=2),五边形的三 角剖分有5种方法（即D5=5), D4+15 D421 4×4-65 42 1=4×4-6即 nD_4n-6(n≥3)： D n 由公式可得04x5-6 20-6 D55D6= ×5=14. 5 D24×6-6 24-6 D 6D2=2 ×14=42, 6 .六边形和七边形的三角剖分方法数分别是14,42. 易错攻坚特训一 1.C :易错点拨 等腰三角形已知一边求腰长，必须分“已知边为 腰”“已知边为底边”两种情况，最后一定要用三边关 系检验能否围成三角形 2.B :易错点拨 遇到“周长固定，剪三段围成三角形”的题目，第 一步先算出周长的一半，所有边都必须小于这个数，不 符合的直接排除， 3.解：三角形各边均大于0， .x+5>0,x-2>0,x-8>0, .x>8. 根据三角形三边之间的关系，由x-2+x-8>x+5,得x>15:由 x-2+x+5>x-8,得x>-11;由x+5+x-8>x-2,得x>1.综上所 述，x的取值范围是x>15. ·3·