精品解析：湖北襄阳市第六中学2026-2027学年高三上学期9月月考数学试题

湖北襄阳市第六中学2026-2027学年高三上学期9月月考 数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. 0 C. 或 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】解：，或， 解得或，经检验符合题意， 或． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】不等式可化为，整理得 ， 解得，即该不等式的解集为. 分式不等式等价于， 解得，即该不等式的解集为. 因为不包含于，也不包含于，所以是既不充分也不必要条件. 3. 已知等差数列满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的下标和性质求解. 【详解】由等差数列的性质，，由题知，则. 4. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】根据同一函数需同时满足定义域相同、对应法则相同的判定准则，逐一分析各选项的两组函数即可得出结论. 【详解】选项A：与的定义域均为，但对应法则不同，故不是同一函数. 选项B：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 选项C：与的定义域均为，对应法则也完全一致，故是同一函数. 选项D：的定义域为，的定义域为，二者定义域不同，故不是同一函数. 5. 已知，则下列各不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断A、B、C选项的正误，利用不等式的基本性质结合基本不等式可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，取，，则，A选项错误； 对于B选项，取，，则，B选项错误； 对于C选项，若为负数，则无意义，C选项错误； 对于D选项，，则，所以，D选项正确. 故选：D. 【点睛】本题考查不等式正误的判断，考查了不等式的基本性质与基本不等式的应用，属于基础题. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，排除错误选项B，再利用特殊点法，排除错误选项AC，进而得解. 【详解】根据题意， 令，则的定义域为R， 又，所以为奇函数，排除B； 当时，，排除C； 当时，，排除A. 故选：D. 【点睛】识图常用的方法 （1）定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题； （2）定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题； （3）函数模型法：由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 7. 已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 8. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，然后结合赋值法求出，，再研究函数的周期性，即可得到问题的答案. 【详解】因为函数的定义域为，且①， ①式中，用替换，可得：② 由①②得：，所以函数为偶函数. ①式中，令，可得：； 另：令，可得：，所以； 令可得：，所以； 令可得：，所以. ①式中，用替换，可得：， 迭代可得：，即. 所以，故是以6为周期的周期函数. 所以，， 所以. 故选：D 【点睛】方法点睛：对于函数方程的问题，采用“赋值法”可求一些特殊的函数值，这往往是问题的突破口. 二、多选题 9. 已知函数，其导函数为，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. “是周期函数”的否定是真命题 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出导函数，根据奇函数、偶函数的定义即可判断AB；通过导数即可判断C；根据周期函数的定义即可判断D. 【详解】已知函数，其导函数为，则， 对于A，由于，所以是奇函数，故A正确； 对于B，由于，所以是偶函数，故B正确； 对于C，由于，令，则， 再令，则在上恒成立，所以在上单调递增， 所以当时，，即；当时，，即； 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以在上恒成立，因此在上单调递增，故C错误； 对于D，由于，若是周期函数，则存在实数，对任意，有， 即，化简得， 显然，当时，左边代数式趋于无穷，右边代数式值域为，矛盾， 因此不是周期函数，则命题“是周期函数”是假命题， 所以命题“是周期函数”的否定是真命题，故D正确. 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 由所确定的实数集合为 B. 同时满足的整数解的集合为 C. 集合可以化简为 D. 中含有三个元素 【答案】BC 【解析】 【分析】利用绝对值的意义，去绝对值符号，即可判定A；解不等式得到x的取值范围，用列举法表示出整数解的集合即可判定B；由，，，用列举法可判定C；用试根的方式找出满足条件的元素可判断D. 【详解】解：对于选项A， 当都是正数时，原式 当都是负数时，原式 当两正一负时，原式 当两负一正时，原式故A错误； 对于选项B，由，得， 所以符合条件的整数解的集合为，故B正确； 对于选项C，由，，， 可以得到符合条件的数对有，，，故C正确； 对于选项D，当时，；当时， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以集合A含有四个元素2，1，0，，故D错误. 故选：BC. 11. 已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 2是的一个周期 C. 图象关于对称 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，由与，得，是偶函数，A正确.选项B，由，推出，周期为，不是，B错误.选项C，有对称中心，周期为，半个周期平移后得到对称中心，C 正确.选项D，每项函数值之和为，前项和为，剩余两项得；除以余，故，D正确. 【详解】令， 因为为奇函数，所以， 即， 令，解得，即， 得到，即， 所以关于点中心对称. 因为为偶函数，所以， 即，关于直线轴对称. 由轴对称得， 由中心对称得， 联立得， 把换成得到， 则，所以的周期，故B错误. 因为的对称中心为，所以， 又周期， ，， 由， 令得到，即， 即， 所以图象关于对称，C正确. 由，则， 又，则， 则，对比， 得到 ，即， 所以是偶函数，A正确. 周期，先看一个周期内， 由， 令得到， 由为奇函数，令得到， 又都是对称中心，故， 一个周期：， 中，有项，包含个完整周期加上， 个周期的和为， 又，，故， 所以每项之和为，前项和为， 余下两项， 因为，所以，解得， 则，D正确. 三、填空题 12. 若集合，且，则实数a取值的集合为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知：集合可以是，逐一分析求解即可. 【详解】由，所以集合可以是， 当时，则，解得； 当时，可得； 当时，可得； 所以取值的集合为. 故答案为：. 13. 若关于的不等式在上恒成立，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题设，转化不等式恒成立，分类讨论即可求出答案. 【详解】不等式在上恒成立， 当，即时， ，即恒成立，所以； 当，即时， ，即恒成立，所以； 综上. 14. 函数，，给出下列四个结论： ①函数的值域为； ②时，存在区间，使得在上单调递减； ③时，至少有一个极值点； ④若关于方程的解集有5个元素，则的取值范围为． 其中正确结论的序号是__________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】对于①：根据对数函数的值域分析判断即可；对于②：分析可知在，内单调递增，即可判断；对于③：根据单调性分析极值点即可；对于④：解得、、，然后分类讨论进行求解. 【详解】对于①：当时，则且可以取到全体正实数， 可知在内的值域为，即函数的值域为，故①正确； 对于②：若，， 当时，在单调递增； 当时，在单调递增； 所以不存在区间，使得在上单调递减，故②错误； 对于③：当时，，， 因为时，在单调递增，在单调递减， 可知是函数的一个极值点，所以至少有一个极值点，故③正确； 对于④：方程，则，或者， 解得、、. 当时， ，、、 分别解得、、，三个解均满足条件； （i）当时，，，在上单调递增， （舍去）， （舍去）， ， 所以关于方程的解集有个元素，所以不符合. （ii）当时，， 当时，在单调递增，在单调递减， ，， 所以有个解，此时、均至少有个解， 则关于方程的解集至少有个元素，所以不符合. （iii）当时，， 当时，在单调递增， ，此时恒成立， 即无解，则需、均有一解， 所以，解得. 综上所述，的取值范围是，所以④正确. 四、解答题 15. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，． （1）求的值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角公式可得解. （2）根据余弦定理可得，由可得，进而可得面积. 【小问1详解】 在中，由正弦定理， 又， 所以，即， 解得； 【小问2详解】 由（1）得，则， 又由余弦定理，， 解得， 所以. 16. 如图，在直四棱柱中，底面为梯形，，，，，与交于点． （1）证明：直线平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：取的中点，连接、、， 则，且，即， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，则，， 又平面，平面，所以直线平面. （2） 【解析】 【分析】取的中点，连接、、，通过证明四边形为平行四边形得到，最后证得直线平面； （2）分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，再求平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直四棱柱中，底面，且， 如图，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 设是平面一个法向量，则，， ，取得为平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，， 取得为平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为，那么， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 在推进文化强国建设与中国式现代化的时代背景下，全民阅读已确立为国家文化战略，纳入法治保障体系，成为提升国民素养、厚植民族精神的基础性、战略性工程.为探究中学生阅读习惯与学业成绩是否存在关联，某校抽取成绩优良、成绩一般的同学各100名进行调查统计.记事件A=“成绩优良”，B=“有固定阅读习惯”，据统计，. （1）补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否推断阅读习惯与学业成绩水平有关？ 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 100 成绩一般 100 合计 （2）为宣传全民阅读，从上述“有固定阅读习惯”的同学中以学业成绩水平按比例分层抽样，组建6人宣传小组.每次宣传时，需从宣传小组中选3人进行分享，记参与分享的同学中成绩优良的人数为 ，求 的分布列与期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）补全列联表如下： 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 80 20 100 成绩一般 40 60 100 合计 120 80 200 依据小概率值的独立性检验，可以推断阅读习惯与学业成绩水平有关. （2） 的分布列为： 1 2 3 期望. 【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式，结合已知数据计算可完成列联表，然后计算卡方，对照临界值表即可得出结论； （2）利用超几何分布概率公式求出概率和分布列，然后可得期望. 【小问1详解】 由题可知，，，所以，得， 又，所以，得， 结合已知可得列联表： 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 80 20 100 成绩一般 40 60 100 合计 120 80 200 零假设阅读习惯与学业成绩水平没有关系. 因为， 所以，依据小概率值的独立性检验，没有充足的证据证明假设成立， 即阅读习惯与学业成绩水平有关系，且该结论犯错误的概率不超过. 【小问2详解】 有固定阅读习惯中成绩优良的有人，成绩一般的有人， 所以组建的6人宣传小组中，成绩优良的有人，成绩一般的有人， 则的可能取值为：， ，， ， 所以 的分布列为： 1 2 3 期望. 18. 已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）设过点的直线的方程为，，， 由，得，， 所以，． 因直线的斜率分别为， 因为 则的倾斜角互为补角，故；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用题设条件建立关于的方程组，求解即得椭圆方程； （2）（ⅰ）设直线的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，化简计算推得的斜率之和为0即得证；（ⅱ）结合图形，得到的面积为，利用韦达定理代入，借助于求导判断函数的单调性即可求得面积最大值. 【小问1详解】 由可得① 由点在上，则② 联立①②得，， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）因，则 ， 令，设， 则， 所以在上单调递减，则， 故当，即时，取到最大值. 19. 已知函数. （1）判断函数的单调性； （2）已知在上的最小值为2，求k的值； （3）若恒成立，求k的取值范围. 【答案】（1） 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递减； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数，分和研究单调性； （2）根据，，和时函数在上的单调性判断最值，求k的值； （3）若恒成立，即恒成立，设，利用导数求函数的最大值即可. 【小问1详解】 由题意知的定义域为， 且， 当时，时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 当时，，故在上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递减； 【小问2详解】 由（1）知， 当，则在上单调递减， 所以，则，矛盾舍去， 当，，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，得，矛盾舍去， 若，则在上单调递增， 所以，则，符合题意， 综上； 【小问3详解】 若恒成立， 即恒成立， 设， 则， 令，则， 所以在上单调递增， ， 所以在上有唯一零点，即, 所以， 令，则， 当时，，即在上单调递增， 所以由，得， 所以， 当时，，，则在上单调递增， 当时，，，则在上单调递减， 所以， 由恒成立， 所以，即k的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北襄阳市第六中学2026-2027学年高三上学期9月月考 数学试题 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. 0 C. 或 D. 1 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知等差数列满足，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 5. 已知，则下列各不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，且，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、多选题 9. 已知函数，其导函数为，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. 在上单调递减 D. “是周期函数”的否定是真命题 10. 下列四个命题中正确的是（ ） A. 由所确定的实数集合为 B. 同时满足的整数解的集合为 C. 集合可以化简为 D. 中含有三个元素 11. 已知函数的定义域为，且满足为奇函数，为偶函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. 为偶函数 B. 2是的一个周期 C. 图象关于对称 D. 三、填空题 12. 若集合，且，则实数a取值的集合为______ 13. 若关于的不等式在上恒成立，则__________． 14. 函数，，给出下列四个结论： ①函数的值域为； ②时，存在区间，使得在上单调递减； ③时，至少有一个极值点； ④若关于方程的解集有5个元素，则的取值范围为． 其中正确结论的序号是__________． 四、解答题 15. 在中，角、、所对的边分别为、、，已知，，． （1）求的值； （2）求的面积． 16. 如图，在直四棱柱中，底面为梯形，，，，，与交于点． （1）证明：直线平面． （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 在推进文化强国建设与中国式现代化的时代背景下，全民阅读已确立为国家文化战略，纳入法治保障体系，成为提升国民素养、厚植民族精神的基础性、战略性工程.为探究中学生阅读习惯与学业成绩是否存在关联，某校抽取成绩优良、成绩一般的同学各100名进行调查统计.记事件A=“成绩优良”，B=“有固定阅读习惯”，据统计，. （1）补全列联表，依据小概率值的独立性检验，能否推断阅读习惯与学业成绩水平有关？ 有固定阅读习惯 无固定阅读习惯 合计 成绩优良 100 成绩一般 100 合计 （2）为宣传全民阅读，从上述“有固定阅读习惯”的同学中以学业成绩水平按比例分层抽样，组建6人宣传小组.每次宣传时，需从宣传小组中选3人进行分享，记参与分享的同学中成绩优良的人数为 ，求 的分布列与期望. 参考公式与数据：，其中. 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知椭圆的左焦点为，的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）已知，，过点的直线与交于，两点（，不在轴上）． （ⅰ）求证：； （ⅱ）求面积的最大值． 19. 已知函数. （1）判断函数的单调性； （2）已知在上的最小值为2，求k的值； （3）若恒成立，求k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $