精品解析：湖北武汉市第二中学2026-2027学年高三上学期八月月考数学试卷

2026年武汉二中高三上学期八月月考数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式化简集合,即可根据元素与集合的关系求解. 【详解】由可得， 结合，由于,故 故 2. 已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的概念，复数的除法公式和共轭复数得概念，计算求解. 【详解】由得， 则，虚部为. 故选：C. 3. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，已知角的终边在第一象限，且，将角的终边按照逆时针方向旋转，得到角的终边，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平方关系求出，根据两角和的正弦公式求解. 【详解】因为是第一象限角，所以，所以， 又由题意可知， 所以， 故选：C. 4. 已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，解得或，再由为非奇非偶函数，确定函数 ,然后再利用裂项相消法求解. 【详解】由题意得：， 解得或， 而当时，为偶函数，不合题意； 当时，为非奇非偶函数，符合题意， 则， 则． 5. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ）（残差=观察值－估计值） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算新的数据的平均值，后得到经验回归方程，再结合残差概念计算即可. 【详解】∵， ∴增加两个样本点后的平均数为； ∵，∴， ∴增加两个样本点后y的平均数为， ∴，解得， ∴新的经验回归方程为，则当时，， ∴样本点的残差为 故选：B. 6. 已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题设，结合且，应用二倍角正切公式、双曲线离心率求法求解. 【详解】 在中，而，则， 所以，故， 所以. 故选：B 7. 已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，推出函数的图象关于点对称以及关于轴对称，即可依次求得的值，根据周期性即可求得答案. 【详解】因为为奇函数，所以． 对上述等式两边求导得， 即，所以的图象关于轴对称． 因为为偶函数，所以． 对上述等式两边求导得，即， 所以的图象关于点中心对称， 所以为周期为4的函数，且． 由，，以及对称性可得，， 则， 则． 8. 已知实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】讨论函数与图象的位置关系，分析可能成立的结论. 【详解】令， 则，令， 则，所以单调递增， 对于选项，当时，，所以在单调递减， 所以，即函数始终在函数上方， 如图， 若，则，A错误，B正确； 对于选项，因为，，且单调递增， 所以，， 且时，，时，， 所以在单调递减，又，所以在恒成立， 当时，单调递增， 因为，， 所以，， 所以时，恒成立；时，恒成立， 即时，函数始终在函数下方； 时，函数始终在函数上方. 如图， 若，则，或，正确； 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 一组数据1，1，2，3，5，8，，的第百分位数为4 B. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1 C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BD 【解析】 【详解】选项A：第百分位数位置为，故取5， 第百分位数是第5个数5，故A错误； 选项B：样本相关系数的绝对值越接近1，代表两个随机变量的线性相关程度越强，故B正确； 选项C：独立性检验中，在的显著水平下， 无法判断与有关联，故C错误； 选项D：正态分布关于均值对称，， 已知，则， 由对称性可知， ，故D正确． 10. 已知函数，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 曲线的对称轴为， C. 在上单调递增 D. 在处取得极小值 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意整理可得.对于A：整理可得，结合正弦函数奇偶性分析判断；对于B：令运算求解即可；对于C：令，结合正弦函数单调性分析判断；对于D：根据三角函数极值与最值之间的关系分析判断. 【详解】由题意可得：. 对于选项A：因为为奇函数，故A正确； 对于选项B：令，，解得，， 所以曲线的对称轴为，，故B正确； 对于选项C：令， 因为，则， 而在上单调递减，所以函数在上单调递减，故C错误； 对于选项D：因为， 在处取得极小值，故D错误. 故选：AB. 11. 已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上.下列结论正确的有（ ） A. E的准线方程为 B. 若与E没有公共点，则 C. 若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D. 若，则面积的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据抛物线方程得，进而得出准线方程；B选项，设直线为，和抛物线方程联立消去，令求解；C选项，先根据直线和抛物线相切，求出切点，假设过焦点，则得到，根据两直线的夹角的公式推出的正切值，从而判断；D选项，可将问题转化为抛物线上一点到直线的距离最小值来处理. 【详解】A选项，，则，故准线，A选项正确； B选项，设直线为，则， 联立得到，， 直线和抛物线无交点，则， 结合，解得，B选项正确； C选项，由联立方程， 若与相交于唯一点，只可能是相切， 则，解得， 此时，解得，进而得，则， 若过焦点（如图），由于，，而， 根据倾斜角的定义，，， 而，此时的正切值为， 即，这与为等边三角形矛盾，C选项错误； D选项，当，此时直线方程为， 设，则到的距离为， 即等边三角形的高的最小值为，此时面积，D选项正确. C选项方法二：求得，则，， 则， 则，抛物线E的焦点不在直线上，故C错误. D选项方法二：到的最小距离可转化为抛物线和平行的切线，求得两平行线的距离即可， 由于，设直线为， 联立，得到， 由，此时直线为， 由平行线的距离公式可推出直线间距离为，其余同上. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量、满足，且在方向上的数量投影为，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据投影得到， ，确定，计算得到答案. 【详解】在方向上的数量投影为，故， 又因为，其中， 所以 ，（ ）， ，故的最小值为8. 13. 已知数列和通项公式分别为，，将数列和的公共项按照从小到大的顺序排成一个新数列，则数列的通项公式_____； 【答案】 【解析】 【分析】利用两个数列的通项公式得出公共项的关系，借助二项式定理及整除问题求出. 【详解】令数列的第项与数列的第项相等，即，则， 由， 显然是3的正整数倍，由，得是3的倍数， 则，因此为正奇数，即，于是， 所以数列的通项公式. 故答案为： 14. 如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为3和6的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】通过轴截面来分析解决圆台的上下底面半径及高，求得圆台的体积，再求容器中水的体积. 【详解】作几何体的轴截面图如图，，分别是大球和小球的球心， 是圆台的轴截面等腰梯形两腰和的延长线的交点， ，分别是球和球与圆台侧面的切点，，分别是与圆台上下底面的切点， 则，，，， 且，，， 过点作交于，显然，四边形为矩形， 且，， 在中，，，， 由，得，则，. 在中，，， 在中，， 在中，，， 因此圆台的上底面半径，下底面半径，高， 圆台的体积， 而球的体积，球的体积， 所以容器中水的体积. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）辅助角公式结合角的范围即可求解； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理即可求解. 【小问1详解】 由， 有，即， ，， ，； 【小问2详解】 由（1）的结论有， 又，， 由三角形面积公式有 ，， 在中，由余弦定理有 ，， 的周长. 16. 如图，在四棱锥中，与交于点，点在平面内的投影为点，若为正三角形，且，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 由题意可得， ， ，即． 又点在平面内的投影为点， 即平面， 又平面，， 又，，平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）分别证明与垂直后可得证线面垂直； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，，两两垂直，建立以为原点如图所示的空间直角坐标系，如图所示， 设， 在中，由得，所以，因此中有，， 所以由 得，， 所以，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则有取得， 直线与平面所成角的正弦值为 ． 17. 现将个黑球与个白球分装入甲､乙两袋中，通过掷骰子来决定每次操作，掷出奇数点则从甲袋中取一个球，掷出偶数点则从乙袋中取一个球，每次取出的球不放回. （1）若，且甲袋中放有2个黑球与2个白球，求操作一次取出的球是白球的概率； （2）若且甲袋中均为黑球，乙袋中均为白球， （i）操作5次时，求取出白球个数的数学期望； （ii）设事件为“当白球取完时，黑球剩余数量不少于2个”，求. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）先确定每个袋子的装球情况，再结合全概率公式求解即可. （2）（i）先确定取出白球的个数服从二项分布，再结合二项分布的期望公式求解即可，（ii）结合题意得到掷骰子至多次就出现了次偶数，进而得到，再利用二项分布的对称性得到，最后求出即可. 【小问1详解】 当时，由题意得甲袋中2黑2白，乙袋中3黑2白. 则由全概率公式得. 【小问2详解】 （i）由题意得取到白球等价于选中乙袋， 设取出白球个数为，则， 由二项分布的期望公式得. （ii）由题意得事件等价于前次操作中就已经摸出所有白球， 即掷骰子至多次就出现了次偶数， 不妨设掷骰子掷满次，用表示其中掷出偶数的次数， 则，由题意得， 因为，所以解得， 故. 18. 椭圆，过右焦点且与轴垂直的直线被截得的长度为． （1）求的离心率． （2）为坐标原点，给定点，在上，过点作轴的垂线，垂足为，与交于点．当在上运动时，的轨迹为． （ⅰ）求的方程，并说明M是什么曲线； （ⅱ）是否有中心点？当为何值时，有中心点？当有中心点时，平移到，使为的中心点，说明的形状. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ）当时，轨迹的方程为 ，为抛物线去掉与轴交点，无中心点； 当时，有中心点，平移到，使为的中心点时，此时的方程为，当 时，形状为椭圆去掉与轴交点，当 时，形状为双曲线去掉与轴交点. 【解析】 【分析】（1）利用过右焦点垂直于轴的直线被所截线段长为，通过求出坐标解出线段的长，求得再求出离心率； （2）（i）方法一：通过联立方程求出点的坐标，再反解出点的坐标代入椭圆方程，从而求出的轨迹的方程；方法二：设点通过点共线得出向量共线，利用共线坐标关系，得出相应的表达式，代回已知方程中化简即可得出轨迹方程，对参数进行分类讨论即可； （ii）先讨论在不同取值时，中心存在的情况；再假设中心点坐标为，求出中心坐标的表达式，再通过平移求出的方程，再讨论不同情况下的形状. 【小问1详解】 设椭圆的右焦点为，其中， 那么过右焦点且垂直于轴的直线为，代入椭圆得 ， 即，所以， 由于截线段长为，解得，故，离心率. 【小问2详解】 （i）方法一：由（1）知椭圆方程为，由于点满足 ， 且，过作轴的垂线，交轴于点 ， 那么当时，点，点与点重合； 当时，直线方程为：， 直线方程为：，即 联立，解得：，即点， 设，则由， 代入椭圆方程得，即 两边乘以 得，整理得， 把点代入，仍然成立，故轨迹的方程为； 方法二：由于，点在轴上，故直线必有斜率， 设直线方程为，，那么点， 由于轴，则， 由于点三点共线，则， 因为点在直线上，所以， 从而， 把代入椭圆方程：， 得，即， 整理化简，得， 故轨迹的方程为； 当时，，则方程表示椭圆去掉与轴交点； 当时，，则方程表示双曲线去掉与轴交点； 当时，轨迹的方程为，为抛物线去掉与轴交点； （ii）当即时，轨迹的方程为，为抛物线去掉与轴交点，无中心点； 当即且0时，设轨迹的中心点为，那么 若点在轨迹上，那么点，也在轨迹上，则 ， 两式相减得：， 整理得：， 要使等式恒成立，则即中心点为， 所以有中心点当且仅当且0，且中心坐标为. 将平移使其中心与原点重合，设平移后的点为， 那么，即， 代入轨迹方程可得， 整理化简得：，即的方程为：， 当时，，则方程表示椭圆去掉与轴交点， 当时，，则方程表示双曲线去掉与轴交点， 综上，当时，轨迹的方程为，为抛物线去掉与轴交点，无中心点； 当时，有中心点，平移到，使为的中心点时，此时的方程为， 当 时，形状为椭圆去掉与轴交点，当 时，形状为双曲线去掉与轴交点. 19. 已知：若是开区间上的可导函数，且导函数是上的单调函数，则对任意的，且，关于的方程（）存在唯一解，将这个解记为. （1）求； （2）求证：对任意的，且，有； （3）已知，，若对任意的，且，都有，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）设， 则，， 所以， 要证，即证， 即证，即证， 令，则，代入得：， 两边同时除以得，整理得：， 令，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递增，， 所以，在上单调递增，，不等式成立， 所以； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程求解； （2）将要证的不等式转化为证，利用导数进行证明即可； （3）同（2）将要证的不等式进行转化，再根据导数进行证明. 【小问1详解】 由题可知，则， 令，解得， 所以 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ，令，则， 当时，，所以在上单调递增，即在上单调递增， 由（2）知， 设，则待证不等式等价于， 即需证， 令，则， 所以原不等式等价于，， 设， 则，， 所以，令， 则， 若在区间上单调递增，则时有， 即，于是在上单调递增，， 进而单调递增，，不等式成立， 令，则，令， 则，即，令，则， 在上单调递增，又， 故当时，， 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年武汉二中高三上学期八月月考数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足（其中i为虚数单位），则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，已知角的终边在第一象限，且，将角的终边按照逆时针方向旋转，得到角的终边，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知变量x和变量y的一组成对样本数据为，其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线方程斜率为3，则在新的回归直线方程的估计下，样本数据所对应的残差为（    ）（残差=观察值－估计值） A. 2 B. C. D. 6. 已知分别为双曲线的左、右焦点，的渐近线上一点满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知函数及其导函数的定义域均为，若为奇函数，为偶函数，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 一组数据1，1，2，3，5，8，，的第百分位数为4 B. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数的绝对值越接近于1 C. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验：，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 10. 已知函数，则（ ） A. 函数为奇函数 B. 曲线的对称轴为， C. 在上单调递增 D. 在处取得极小值 11. 已知抛物线：，斜率为的直线经过点，等边三角形的顶点A在E上，顶点,均在上.下列结论正确的有（ ） A. E的准线方程为 B. 若与E没有公共点，则 C. 若与的唯一公共点为，则E的焦点在直线上 D. 若，则面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量、满足，且在方向上的数量投影为，则的最小值为__________． 13. 已知数列和通项公式分别为，，将数列和的公共项按照从小到大的顺序排成一个新数列，则数列的通项公式_____； 14. 如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为3和6的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角，，的对边分别为，，，且. （1）求； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 如图，在四棱锥中，与交于点，点在平面内的投影为点，若为正三角形，且，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 现将个黑球与个白球分装入甲､乙两袋中，通过掷骰子来决定每次操作，掷出奇数点则从甲袋中取一个球，掷出偶数点则从乙袋中取一个球，每次取出的球不放回. （1）若，且甲袋中放有2个黑球与2个白球，求操作一次取出的球是白球的概率； （2）若且甲袋中均为黑球，乙袋中均为白球， （i）操作5次时，求取出白球个数的数学期望； （ii）设事件为“当白球取完时，黑球剩余数量不少于2个”，求. 18. 椭圆，过右焦点且与轴垂直的直线被截得的长度为． （1）求的离心率． （2）为坐标原点，给定点，在上，过点作轴的垂线，垂足为，与交于点．当在上运动时，的轨迹为． （ⅰ）求的方程，并说明M是什么曲线； （ⅱ）是否有中心点？当为何值时，有中心点？当有中心点时，平移到，使为的中心点，说明的形状. 19. 已知：若是开区间上的可导函数，且导函数是上的单调函数，则对任意的，且，关于的方程（）存在唯一解，将这个解记为. （1）求； （2）求证：对任意的，且，有； （3）已知，，若对任意的，且，都有，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $