第07讲 基本不等式 讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本高中数学讲义聚焦基本不等式核心知识点，先系统梳理重要不等式与基本不等式的内容及等号成立条件，明确算术平均数与几何平均数的概念，再构建“一正二定三相等”的最值求解条件，形成从概念到应用的完整学习支架。 该资料亮点在于题型分类细致，涵盖直接应用、“1”的代换、配凑法等6类经典题型，结合矩形菜园篱笆等实际问题，培养学生用数学眼光观察现实、用数学思维推理运算的能力。课中辅助教师高效授课，课后助力学生通过分层练习查漏补缺，强化知识应用。

第07讲 基本不等式 目录 一、两个不等式 1 二、基本不等式与最值 1 题型1 直接利用基本不等式求最值 2 题型2 “1”的代换求最值 3 题型3 配凑法求最值 5 题型4 消参法求最值 6 题型5 恒成立问题 6 题型6 实际问题 7 01 学习新知 一、两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 二、基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 02 经典题型 题型1 直接利用基本不等式求最值 1. (多选)下列说法正确的是(　　) A.对∀a，b∈R成立 B.若a>0，b>0且a≠b，则a+b>2 C.对∀a，b∈R，a2+b2≥2ab D.若x>2，则x+≥2中可以取等号 2. 若x>0，则x+的最小值为　　　　　　；  3. 若x<0，则x+的最大值为　　　　. 4. 若x>2，则x+的最小值为　　　　. 5. 若x<2，则x+的最大值为　　　　. 6. 若x>1，则2-x-的最大值为　　　　. 7. 设、满足，且、都是正数，则的最大值为（    ） A．5 B．10 C．25 D．50 8. 设，求二次函数的最大值. 9. 若0<a<2，则的最大值为　　　　　　. 10. 若0<a< ，则的最大值为　　　　. 11. 已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 12. 已知实数满足，则最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 13. 已知x>0，a>0，4x+在x=3时取得最小值，则a的值为　　　　　. 题型2 “1”的代换求最值 14. 若x>0，y>0，且=1，则x+y的最小值为　　　　. 15. 若x>0，y>0，x+y=1，则的最小值为　　　　　　　　. 16. 若x>0，y>0，xy=9x+y，则x+y的最小值为　　　　　. 17. 若x>1，y>9，xy=9x+y-8，则x+y的最小值为　　　　　　. 18. 若x>1，y>9，xy=9x+y-8，则xy的最小值为　　　　　　. 19. 已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 20. 已知且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．16 D． 21. 若，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D．9 22. 已知，则的最小值为 ． 23. 若正数a，b，c满足，则的最小值为 ，此时，的一组值可以为 ． 题型3 配凑法求最值 24. 已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 25. 函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 26. 求的最小值． 题型4 消参法求最值 27. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 28. 已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 29. 已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 题型5 恒成立问题 30. 对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31. 若，恒成立，则最小值为（    ） A． B． C． D． 32. 设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是（    ） A． B．2 C．1 D． 题型6 实际问题 33. (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 34. 小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 基本不等式 目录 一、两个不等式 1 二、基本不等式与最值 1 题型1 直接利用基本不等式求最值 2 题型2 “1”的代换求最值 5 题型3 配凑法求最值 9 题型4 消参法求最值 10 题型5 恒成立问题 11 题型6 实际问题 12 01 学习新知 一、两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 当且仅当“”时取“” 基本不等式 当且仅当“”时取“” 叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 注意：“当且仅当时，等号成立”是指若，则即只能有 二、基本不等式与最值 已知都是正数，则（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值 注意：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1），（2）和(积)为定值，（3）存在取等号的条件，简称“一正二定三相等” 02 经典题型 题型1 直接利用基本不等式求最值 1. (多选)下列说法正确的是(　　) A.对∀a，b∈R成立 B.若a>0，b>0且a≠b，则a+b>2 C.对∀a，b∈R，a2+b2≥2ab D.若x>2，则x+≥2中可以取等号 答案　BC 解析　A项，当a=-1，b=-1时，不等式不成立； D项x+≥2=2时取等号的条件为无解，不等式中不可取等号. 2. 若x>0，则x+的最小值为　　　　　　；  解析　(1)因为x>0， 所以x+≥2=4， 当且仅当x=即x=2时，等号成立，因此所求的最小值为4. 3. 若x<0，则x+的最大值为　　　　. 答案　-4 解析　x+=- 因为x<0，则-x>0， 故有-x+≥2=4， 所以-≤-4，当且仅当-x=-即x=-2时，等号成立. 故原式的最大值为-4. 4. 若x>2，则x+的最小值为　　　　. 答案　6 解析　因为x>2，所以x-2>0， 则x+=x-2++2≥2+2=6， 当且仅当x-2=即x=4时，等号成立， 所以x+的最小值为6. 5. 若x<2，则x+的最大值为　　　　. 答案　-2 解析　因为x<2，所以2-x>0， 则x+=x-2++2 =-+2≤-2+2=-2， 当且仅当2-x=即x=0时，等号成立， 所以x+的最大值为-2. 6. 若x>1，则2-x-的最大值为　　　　. 答案　-1 解析　2-x-=1+1-x- =1- 由x>1，得x-1>0， 可得(x-1)+≥2=2， 当且仅当=x-1，即x=2时，等号成立， 故2-x-≤1-2=-1，即2-x-的最大值为-1. 7. 设、满足，且、都是正数，则的最大值为（    ） A．5 B．10 C．25 D．50 【答案】C 【详解】因为、满足，且、都是正数， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 故选：C. 8. 设，求二次函数的最大值. 【答案】4 【详解】由公式可得，该式对都成立， 故，当且仅当即时等号成立. 所以当时，二次函数有最大值4. 9. 若0<a<2，则的最大值为　　　　　　. 解析：当0<a<2时，2-a>0， 则=1， 当且仅当2-a=a，即a=1时，等号成立， 因此所求的最大值为1. 10. 若0<a< ，则的最大值为　　　　. 答案　 解析　当0<a<时，1-2a>0， 原式= = 当且仅当1-2a=2a，即a=时，等号成立，故原式的最大值为. 11. 已知且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【详解】且，则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，的最小值为8. 故选：D 12. 已知实数满足，则最小值为（    ） A．4 B．8 C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当且，即时等号成立. 故选：B 13. 已知x>0，a>0，4x+在x=3时取得最小值，则a的值为　　　　　. 答案　36 解析　∵x>0，a>0，∴4x>0>0， ∴4x+≥2=4当且仅当4x=即x=时，等号成立. 又∵4x+在x=3时取得最小值， ∴=3，∴a=36. 题型2 “1”的代换求最值 14. 若x>0，y>0，且=1，则x+y的最小值为　　　　. 答案　16 解析　方法一　(巧用“1”的代换求最值) ∵=1，x>0，y>0，∴x+y=(x+y)=10+≥10+2=16， 当且仅当即x=4，y=12时，等号成立. 即x+y的最小值为16. 方法二　(分离消元法求最值) ∵=1，∴y==9+ ∵x>0，y>0，∴x>1， ∴x+y=x+9+=(x-1)++10≥2+10=16， 当且仅当x-1=即x=4时，等号成立， 此时，y=12，x+y的最小值为16. 15. 若x>0，y>0，x+y=1，则的最小值为　　　　　　　　. 答案　16 解析　∵x+y=1，x>0，y>0， ∴(x+y)=10+≥10+2=16， 当且仅当即x=y=时，等号成立， 即的最小值为16. 16. 若x>0，y>0，xy=9x+y，则x+y的最小值为　　　　　. 答案　16 解析　∵x>0，y>0，xy=9x+y，∴=1， 因为x>0，y>0，∴x+y=(x+y)=10+≥10+2=16， 当且仅当即x=4，y=12时，等号成立. 即x+y的最小值为16. 17. 若x>1，y>9，xy=9x+y-8，则x+y的最小值为　　　　　　. 答案　12 解析　由xy=9x+y-8得(x-1)(y-9)=1， 又x>1，y>9， ∴x+y=(x-1)+(y-9)+10≥2+10=12， 当且仅当x-1=y-9=1，即x=2，y=10时，等号成立，即x+y的最小值为12. 18. 若x>1，y>9，xy=9x+y-8，则xy的最小值为　　　　　　. 答案　16 解析　由xy=9x+y-8得y=∴xy=x· 令t=x-1，则x=t+1且t>0， ∴xy=(t+1)·==9t++10≥2+10=16， 当且仅当9t=即t=即x=y=12时，等号成立，即xy的最小值为16. 19. 已知为正实数且，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【详解】因为为正实数且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 20. 已知且，则的最小值为（    ） A．12 B． C．16 D． 【答案】C 【详解】因为，则，且， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 21. 若，则的最小值是（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】A 【详解】因为，可得，且， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 故选：A. 22. 已知，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】， 当且仅当，即， 即当时等号成立. 故答案为： 23. 若正数a，b，c满足，则的最小值为 ，此时，的一组值可以为 ． 【答案】 / （答案不唯一） 【详解】由题意得，即，所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 故答案为：，（答案不唯一，只要满足，即可） 题型3 配凑法求最值 24. 已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，因为， 故，则，当且仅当， 也即取得等号，故的最小值为. 故选：D. 25. 函数的最大值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．-1 【答案】D 【解析】将函数的解析式进行变形，再利用基本不等式，即可得答案； 【详解】 ， 当且仅当,即等号成立. 故选：D. 26. 求的最小值． 【答案】4 【详解】， 当且仅当，即时，等号成立． 所以的最小值是4． 题型4 消参法求最值 27. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为正实数x，y满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：A. 28. 已知，且，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由得， 故， 当且仅当时，等号成立. 故选：C 29. 已知正数x，实数y满足，则的最小值为 . 【答案】/0.75 【详解】由正数x，实数y满足，得， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值. 故答案为： 题型5 恒成立问题 30. 对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式恒成立 ，，且 当且仅当，即时取等号 ，即解得故实数的取值范围是 故选：C 31. 若，恒成立，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可得， 又注意到， 当且仅当，即时取等号.则. 故选：C 32. 设，，不等式恒成立，则实数m的最小值是（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】D 【详解】∵，，不等式恒成立， 即恒成立，∴只需, ∵，当且仅当时取等号. 所以， ∴，∴m的最小值为， 故选：D 题型6 实际问题 33. (1)用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ (2)用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解　设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，篱笆的长度为2(x+y)m. (1)由已知得xy=100.由， 可得x+y≥2=20，所以2(x+y)≥40， 当且仅当x=y=10时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40 m. (2)由已知得2(x+y)=36，矩形菜园的面积为xy m2. 由=9，可得xy≤81， 当且仅当x=y=9时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2. 34. 小明的爸爸要在家用围栏做一个面积为16 m2的矩形游乐园，当这个矩形的边长为多少时，所用围栏最省，并求所需围栏的长度. 解　设矩形围栏相邻两条边长分别为x m，y m，围栏的长度为2(x+y)m. 方法一　由已知得xy=16， 由可知x+y≥2=8， 所以2(x+y)≥16， 当且仅当x=y=4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 方法二　由已知xy=16，得y= 所以2(x+y)=2≥2×2=16. 当且仅当x=y=4时，等号成立， 因此，当这个矩形游乐园是边长为4 m的正方形时，所用围栏最省，所需围栏的长度为16 m. 2 学科网（北京）股份有限公司 $