第01讲 2.1等式性质与不等式性质专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以不等式性质为核心，构建“概念-性质-应用”逻辑链，通过作差法等方法体系实现从基础判断到实际应用的层级突破，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|4知识点|作差法比大小、性质应用规则（符号分类）|从不等式概念生成到实数比较原理，推导性质体系| |题型精讲|5题型（含典例+变式）|性质判断法、范围限定技巧、实际问题建模|题型覆盖性质应用、大小比较、取值范围及建模，形成方法-题型对应链|

第01讲 2.1等式性质与不等式性质 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点一：不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 知识点二：实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点三：不等式的探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识点四：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 第三部分 题型精讲 题型01由已知条件判断所给不等式是否正确 【典例1】（25-26高一下·广西柳州·期末）已知，，，，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（25-26高一下·四川成都·期中）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（24-25高一上·广西河池·期中）给出下列不等式，其中错误的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【变式3】（多选）（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）若，且，则下列不等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型02由不等式的性质比较数（式）大小 【典例1】（2026年高一数学秋季开学分班-学情自测卷02（北京专用）【范围：人教B版必修一第1~2章】）已知，下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（25-26高二下·重庆璧山·期末）已知，，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【变式1】（2026·北京·三模）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·北京朝阳·期中）已知，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3】（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 题型03作差法比大小 【典例1】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【典例2】（25-26高一上·甘肃陇南·阶段检测）设，，，，则、的大小关系为______． 【变式1】（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【变式2】（25-26高一下·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【变式3】（24-25高一上·广西河池·期中）比较与的大小. 题型04利用不等式求值或取值范围 【典例1】（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高一上·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【变式1】（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 【变式3】（2026高一·全国·专题练习）已知，，求的取值范围． 题型05用不等式表示不等关系 【典例1】某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 【典例2】（24-25高一上·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）如图，在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L（单位m）大于宽W（单位：m）的4倍．矩形地基应满足哪些不等关系？请用不等式组表示． 【变式2】（2024高一下·浙江·专题练习）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表 家电名称 空调 彩电 冰箱 工时 产值（千元） 4 3 2 问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？ 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（2026年高一数学秋季开学分班-学情自测卷01（北京专用）【范围：人教A版必修一1~2章】）若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·重庆·期末）命题：，，命题：，则是的（     ）条件 A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 3．（25-26高一下·湖南株洲·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·上海·期中）设，给出下列命题：①若，则，②“”是“”的充要条件，③若，则，④若，则，⑤若，则，其中真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25高一上·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三下·山西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 三、填空题 9．（2026·上海静安·模拟预测）不等式解集为_________ ． 10．（25-26高一下·广东·期末）已知，且，则的最大值是________． B能力提升 1．（多选）（25-26高二下·甘肃兰州·期末）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（25-26高一上·四川成都·期中）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）（1）已知，，则的取值范围是________． （2）已知，，则的取值范围是________． 5．（25-26高二下·辽宁鞍山·期末）两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同； 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同； 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． (1)若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额． (2)请问，采用哪种策略更经济？说明理由． C综合素养 1．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 2．（25-26高一下·广东·阶段检测）火车站有某公司待运的甲种货物306吨，乙种货物230吨．现计划用、两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节型货箱，5吨甲种货物和7吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列方案满足要求的是（   ） A．货箱27节，货箱23节 B．货箱26节，货箱24节 C．货箱31节，货箱19节 D．货箱30节，货箱20节 3．（多选）（2026高一·全国·专题练习）（多选题）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 4．（25-26高一上·上海·开学考试）若关于的不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是__________． 5．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 2.1等式性质与不等式性质 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点一：不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 知识点二：实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点三：不等式的探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识点四：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 第三部分 题型精讲 题型01由已知条件判断所给不等式是否正确 【典例1】（25-26高一下·广西柳州·期末）已知，，，，则下列不等式一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用举反例判断ACD，分和判断B. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，当时，由于，则， 当时，由于，则，B正确； 对于C，当时，，C错误； 对于D，当时，，D错误. 【典例2】（多选）（25-26高一下·四川成都·期中）已知，，则下列不等式恒成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据不等式的性质及特值法逐项分析判断即可. 【详解】对于A：，，则，故，A正确. 对于B：当，，，时，，故B错误. 对于 C：因为，所以，所以，C正确. 对于D：当，，，时，，，故，D错误. 【变式1】（25-26高一下·湖南长沙·期中）已知，，，则下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，因为，所以，因为，所以，A错误； 对于B，因为，，所以，同乘以 ，所以，B正确； 对于C，因为，，所以，C错误； 对于D，因为，，所以，D错误. 【变式2】（多选）（24-25高一上·广西河池·期中）给出下列不等式，其中错误的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【答案】ACD 【详解】选项A：取反例：令 ，，此时 ，满足 ，但  ，与结论矛盾，因此该不等式错误. 选项B：根据不等式的基本性质可得 ，该结论恒成立，因此该不等式正确. 选项C：当 时，；当 时， ，因此该不等式错误.. 选项D：取反例：令 ，，，，满足 的条件， 但 ，，此时 ，与结论矛盾，因此该不等式错误. 【变式3】（多选）（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）若，且，则下列不等式中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对于A，若，，满足，则，A不一定成立； 对于B，若，，满足，取，则，B不一定成立； 对于C，若，则，C不一定成立； 对于D，，，又，，D一定成立. 题型02由不等式的性质比较数（式）大小 【典例1】（2026年高一数学秋季开学分班-学情自测卷02（北京专用）【范围：人教B版必修一第1~2章】）已知，下列不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵ ，根据不等式性质，不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变， ∴ ， 不等式两边加同一个常数，不等号方向不变， ∴ ，因此A错误； ∵ 不等式两边减同一个常数，不等号方向不变， ∴ ，因此B正确； ∵ 不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变， ∴ ，因此C正确； 不等式两边减，得，因此D正确． 【典例2】（多选）（25-26高二下·重庆璧山·期末）已知，，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【详解】对A，当时，可得；当时，可得；当时，可得.故A错误； 对B，由可得，两边同除以，不等号方向不变，可得.故B正确； 对C，当时，C选项的结论不成立，故C错误； 对D，因为，，所以，， 所以，所以，故D正确. 【变式1】（2026·北京·三模）已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A、B，当时，，所以，故A、B均不正确； 对于C、D，因为，所以，又，所以，所以，即，C正确，D错误； 【变式2】（25-26高二下·北京朝阳·期中）已知，则下列结论中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，判断选项. 【详解】A.若，当，，当，，故A错误； B. 若，则，故B正确； C. 若，当，则，故C错误； D. 当且仅当时，才有，故D错误. 【变式3】（25-26高一下·贵州遵义·开学考试）若，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】若，则，故A错误，B正确； 因为，所以，则，故C错误； 因为，所以，故D错误. 题型03作差法比大小 【典例1】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】利用作差法可判断. 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 【典例2】（25-26高一上·甘肃陇南·阶段检测）设，，，，则、的大小关系为______． 【答案】 【分析】利用作差法可得出、的大小关系. 【详解】因为，，所以 ， 当且仅当时，等号成立，故. 故答案为：. 【变式1】（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【详解】由， 因为，所以，， 所以，即. 【变式2】（25-26高一下·四川成都·期中）已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【详解】，故 【变式3】（24-25高一上·广西河池·期中）比较与的大小. 【答案】 【详解】 题型04利用不等式求值或取值范围 【典例1】（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 【典例2】（23-24高一上·内蒙古包头·阶段检测）已知，． (1)求y的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过待定系数法将表示为与的线性组合，分别求出各部分范围后相加； （2）由已知求出的取值范围，再与的范围相乘得到结果； （3）将表示为与的线性组合，求出范围后再相加. 【详解】（1）设，则， 所以，解得， 所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则， 所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 【变式1】（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可知， 由可得，又， 所以，即的取值范围是. 【变式2】（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用不等式待定系数配凑求解 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 【变式3】（2026高一·全国·专题练习）已知，，求的取值范围． 【答案】 【详解】因为，所以； 由． 所以， 即． 所以的取值范围为. 题型05用不等式表示不等关系 【典例1】某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 【答案】 【分析】设该车工3天后平均每天需加工个零件，由前3天加工的零件个数与后12天加工的零件个数和大于总个数即得． 【详解】设该车工3天后平均每天需加工个零件，加工天共加工个零件， 15天里共加工个零件， 因为在规定的时间内超额完成任务， 则． 故不等关系表示为． 【典例2】（24-25高一上·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 【答案】(1)共有三种方案： 方案一，安排型货厢28节，型货厢22节； 方案二，安排型货厢29节，型货厢21节； 方案三，安排型货厢30节，型货厢20节. (2)安排型货厢30节，型货厢20节时运费最少 【分析】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货厢的节数，可分为三种方案； （2）根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少. 【详解】（1）设安排两种货厢分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货厢28节，型货厢22节； 方案二，安排型货厢29节，型货厢21节； 方案三，安排型货厢30节，型货厢20节. （2）共有三种方案，运费分别为： 安排两种货厢分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货厢分别为29节，21节，运费为万元. 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元. 易知安排型货厢30节，型货厢20节时，运费最少，为31万元. 【变式1】（2026高一·全国·专题练习）如图，在一个面积小于的矩形地基的中心位置上建造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L（单位m）大于宽W（单位：m）的4倍．矩形地基应满足哪些不等关系？请用不等式组表示． 【答案】 【详解】因为仓库的长L大于宽W的4倍，所以， 因为矩形地基面积小于，所以， 则所求不等式组为. 【变式2】（2024高一下·浙江·专题练习）某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按120个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产60台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表 家电名称 空调 彩电 冰箱 工时 产值（千元） 4 3 2 问每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单位）？ 【答案】空调30，彩电270，冰箱30，最高产值1050. 【分析】设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为x台、y台、z台,建立三元一次方程组,则总产值．由于每周冰箱至少生产60台,即,所以.又生产空调器、彩电、冰箱共360台,故有台,即可求得,具体的x,y,z的值． 【详解】解：设每周应生产空调、彩电、冰箱的数量分别为台、台、台，则有 总产值 ,而, , 即. 故每周生产空调30，彩电270，冰箱30，最高产值1050. 【变式3】（24-25高一上·全国·课后作业）用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于，设靠墙的一边长为．试用不等式表示其中的不等关系． 【答案】 【分析】根据题意可得，以及菜园面积，即可得不等关系. 【详解】由于矩形菜园靠墙的一边长为，而墙长为18m， 则，菜园的另一条边长为． 可得菜园面积， 依题意有，即， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（2026年高一数学秋季开学分班-学情自测卷01（北京专用）【范围：人教A版必修一1~2章】）若，则下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】选项A：不等式两边同时加，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，A不符合要求； 选项B：不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，该不等式一定成立，B不符合要求； 选项C：不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，因此一定不成立，C符合要求； 选项D：对，不等式两边同时减，可得，与已知条件一致，该不等式一定成立，D不符合要求． 2．（25-26高二下·重庆·期末）命题：，，命题：，则是的（     ）条件 A．充分必要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】利用不等式同向相加可判断充分性，通过举反例否定其必要性，从而可判断两个命题之间的关系. 【详解】因为，所以，又因为，所以，即可以推出，所以充分性成立； 取，满足，但是不满足，即推不出，所以必要性不成立， 故是的充分不必要条件. 3．（25-26高一下·湖南株洲·开学考试）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， 因为， 所以， 所以，因此， 因为， 所以，即. 4．（25-26高一上·上海·期中）设，给出下列命题：①若，则，②“”是“”的充要条件，③若，则，④若，则，⑤若，则，其中真命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】对于①，取，满足，而，①是假命题； 对于②，，②是真命题； 对于③，，③是真命题； 对于④，取，满足，而，④是假命题； 对于⑤，由，得，由，则，⑤是真命题. 5．（24-25高一上·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，而，则. 6．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解每个选项中的绝对值不等式对照题意判断即可. 【详解】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 7．（25-26高三下·山西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简，再应用不等式性质计算求解. 【详解】原式的分子和分母同时除以，得， 由条件得，，所以，即， 所以， 所以，则则的取值范围是. 故选：D. 二、多选题 8．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法错误的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AB 【详解】对于A，若，当时，则，A错误； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则，C正确， 对于D，， 因为，所以，所以，D正确. 三、填空题 9．（2026·上海静安·模拟预测）不等式解集为_________ ． 【答案】 【分析】通过对绝对值|2x﹣1|的讨论，分类讨论求解不等式，再把两种情况取并集即可. 【详解】当时，原不等式可化为，即0＞0，矛盾，舍去； 当时，左边≥0，右边＜0，显然左边＞右边，因此； 综上可知，不等式|2x-1|＞2x-1解集为. 10．（25-26高一下·广东·期末）已知，且，则的最大值是________． 【答案】5 【详解】当取最小值，取最大值3的时候，的最大值为5． B能力提升 1．（多选）（25-26高二下·甘肃兰州·期末）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由，，得，则，故A正确； 对于B，由，，得，则，故B正确； 对于C，由，，得，则，故C错误； 对于D，由，，得，，则，故D正确. 2．（多选）（25-26高一上·四川成都·期中）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】对于A， ，即 ，故A正确； 对于B，由 ，得 ， 所以，即 ，故B正确； 对于C，当 时，得 ， 所以 ，即 ， 所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故C错误； 对于D，当 时，得 ，所以 ， 即 ，所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故D正确. 3．（2026高三·全国·专题练习）某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元销售，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润.已知这种商品的售价每提高1元，销售量就相应减少10件.若把提价后商品的售价设为x元，用x表示每天的利润不低于300元的不等关系为______. 【答案】 【详解】提价后商品的售价为元，则提高了元，销售量减少了件， 则利润为元（）， 则，化简得. 销售量为非负，结合提价要求得， 故. 4．（25-26高三·全国·一轮复习）（1）已知，，则的取值范围是________． （2）已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】（1）根据不等式的性质进行求解即可； （2）先根据已知条件判断的符号，然后将等式变形为，代入不等式中求出结果即可. 【详解】（1）因为，所以，因为， 所以，所以的取值范围是. （2）因为，所以. 因为，所以，即，解得. 将代入中得，即， 得，所以，所以的取值范围是. 故答案为：（1）；（2）. 5．（25-26高二下·辽宁鞍山·期末）两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略． 策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同； 策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同； 已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为． (1)若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额． (2)请问，采用哪种策略更经济？说明理由． 【答案】(1)采用策略①购买的产品总量为，总金额为；策略②购买的产品总量为，总金额为 (2)采用策略②比采用策略①更经济,理由如下： 采用策略①，两次购买物品的数量均为m，则两次的平均价格为； 采用策略②，两次购买的金额均为n，购买物品的数量为， 则两次平均价格为， 因为，，于是， 当时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与采用策略②一样经济； 当时，，采用策略②比采用策略①更经济． 【分析】（1）代入数值计算，直观对比两种策略采购数据； （2）通用推导平均价格，作差比较大小判断经济性，再分情况讨论得出结论． 【详解】（1）因为，，，， 采用策略①，两次购买物品的数量均为，且第一次、第二次购买的价格分别为，， 则采用策略①购买的产品总量为，总金额为； 采用策略②，两次购买的金额均为，其中第一次、第二次购买的价格分别为，，则策略②购买的产品总量为，总金额为． （2）略 C综合素养 1．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）记小明走路去学校的速度为，跑步去学校的速度为，方式一为一半的路程走路，一半的路程跑步，方式二为一半的时间走路，一半的时间跑步，则（    ） A．方式二比方式一先到学校 B．方式一比方式二先到学校 C．两种方式到学校的时间一样 D．无法确定哪种方式先到学校 【答案】A 【分析】利用作差法比较大小即可． 【详解】设方式一用时间为，方式二用时间为，小明到学校的距离为， 则，得到， 则，得到， 故方式二比方式一先到学校． 2．（25-26高一下·广东·阶段检测）火车站有某公司待运的甲种货物306吨，乙种货物230吨．现计划用、两种型号的货箱共50节运送这批货物．已知7吨甲种货物和3吨乙种货物可装满一节型货箱，5吨甲种货物和7吨乙种货物可装满一节型货箱，据此安排、两种货箱的节数，下列方案满足要求的是（   ） A．货箱27节，货箱23节 B．货箱26节，货箱24节 C．货箱31节，货箱19节 D．货箱30节，货箱20节 【答案】D 【分析】设安排种型号的货箱节，种型号的货箱节，根据题意列出、满足的约束条件，求出的取值范围，进而得出答案. 【详解】设安排种型号的货箱节，种型号的货箱节， 则，，， 则， 解得，， 解得， 所以，则或或，共3种方案， 满足题意的只有D选项． 3．（多选）（2026高一·全国·专题练习）（多选题）若实数a，b满足，则下列说法正确的有（ ） A．的取值范围为 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABC 【分析】利用不等式的性质判断AB；求得，然后利用不等式的性质判断CD； 【详解】对于A，由， 两式相加得，即，故A正确； 对于B，由，得，又， 两式相加得，即，故B正确； 对于CD，设， 所以，解得，则， 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即，故C正确，D错误. 4．（25-26高一上·上海·开学考试）若关于的不等式组的所有整数解之和为12，则的取值范围是__________． 【答案】或 【分析】先求解不等式组得到解集，再根据整数解的和为12确定所有可能的整数解集合，进而推导的取值范围. 【详解】由，得； 当时，所有的整数解为，所以； 当时，所有的整数解为，所以； 综上，的取值范围是或. 5．（25-26高一下·广东揭阳·阶段检测）（1）已知，，求，，的取值范围． （2）已知，，比较与的大小 【答案】（1），，；（2） 【分析】（1）利用不等式的性质求解； （2）利用作差法比较大小. 【详解】（1）由①，②，得， 由②得：③， 由①+③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故，，. （2） 因为，，则，故． 学科网（北京）股份有限公司 $