2.1 认识实数 课后练习 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、能力提升、综合拓展三层设计，实现从实数概念到综合应用的递进，培养抽象能力、几何直观与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|无理数识别、实数性质（相反数/绝对值）、大小比较|直接应用定义，如单选题1-5判断无理数与实数分类，填空题11-13巩固估算与概率，强化抽象能力| |提升层|实数与数轴对应、估算、概念辨析|结合数轴对称（题8）、勾股定理表示无理数（题15），通过推理深化几何直观，如单选题6-7辨析概念| |拓展层|分类讨论、综合应用|解答题20分类讨论绝对值，题19结合勾股定理解决数轴与长度问题，培养创新意识与应用能力|

2.1 认识实数 课后练习2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列实数中，是无理数的是（     ） A．3.14 B． C． D． 2．的绝对值是（   ） A． B． C． D． 3．若有一个实数为，则它的相反数为（    ） A． B． C． D． 4．我国数学家祖冲之是世界上最早把圆周率精确到小数点后第7位数字的科学巨匠，以下关于圆周率的说法正确的是（    ） A．它是一个有理数 B．这个小数不能在数轴上表示出来 C．它大于 D．它是一个实数 5．在实数2，0，，中，最小的数是（    ） A．2 B．0 C． D． 6．估计的值应在（    ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 7．下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④17的平方根是﹣，其中正确的是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．如图，数轴上表示2，的对应点为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知，则点在数轴上所表示的数为（   ） A． B． C． D． 10．若为无理数，但是有理数，则下列结论正确的是（   ） A．是有理数 B．是有理数 C．是无理数 D．是无理数 二、填空题 11．若有理数a满足，则a的值可为__________．（写出一个即可） 12．“若a是实数，则”这一事件是______．（填“必然事件”“不可能事件”或“随机事件”） 13．从、0.2、、、0.3、这6个数中任意选取一个数，那么取到的数是分数的概率是________． 14．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则________．（填“”“”或“”） 15．如图，A、B为数轴上两点，，过点B作，且．以点A为圆心、的长为半径作圆弧交数轴于点P．若点P所表示的数是，则点A表示的数是__________． 三、解答题 16．如图，在下面数轴上标出表示的点． 17．把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 18．如图，已知点表示的数为，点向右运动个单位长度到达点，点表示的数为． (1)在数轴上画出点； (2)点表示的数为________，其绝对值为________； (3)利用数轴比较大小：________（填“”“”或“”），所以点在点________．（填“左侧”或“右侧”） 19．阅读下列材料，并回答问题，事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动： （1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为______． （2）如图，于，，，，，求的长度． （3）如图，点在数轴上表示的数是多少？请用类似的方法在图数轴上画出表示数的点（保留作图痕迹） 20．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，______；当时，______； (2)若实数a不等于零，求的值； (3)若实数a、b均不等于零，试求的值． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C D D A A B C D 1．【答案】B 【知识点】无理数 【分析】根据定义判断各选项即可，无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，有限小数、无限循环小数都属于有理数． 【详解】解：选项A．是有限小数，属于有理数， 选项B．是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数， 选项C．是分数，属于有理数， 选项D．是整数，属于有理数． 2．【答案】B 【知识点】实数的性质 【分析】本题考查了实数的性质，根据绝对值的定义，负数的绝对值是其相反数求解即可． 【详解】解： 故选B． 3．【答案】C 【知识点】相反数的定义、实数概念理解 【分析】根据相反数的定义化简即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的相反数为， 故选：C． 【点睛】本题考查了实数，相反数，掌握一个数a的相反数是是解题的关键． 4．【答案】D 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较、实数概念理解、实数的分类 【分析】本题考查了圆周率的基本性质、有理数与实数的定义、数轴与实数的对应关系以及实数的大小比较，解题的关键是熟记无理数、实数的概念及数轴的性质，通过逐一验证每个选项的正确性得出答案． 先明确圆周率是无限不循环小数，属于无理数；再根据有理数、实数的定义判断选项A和D；依据“实数与数轴上的点一一对应”判断选项B；通过计算的近似值（约）与的近似值（约）比较，判断选项C． 【详解】解：A、∵是无限不循环小数，属于无理数，而有理数是整数（正整数、、负整数）和分数的统称，   ∴此选项不符合题意；   B、∵实数与数轴上的点一一对应，是实数，   ∴能在数轴上表示出来，此选项不符合题意；   C、∵，，且，   ∴，此选项不符合题意；   D、∵实数包括有理数和无理数，是无理数，   ∴是实数，此选项符合题意；   故选：D． 5．【答案】D 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小． 正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：， ∴所给的实数中，最小的数是， 故选：D． 6．【答案】A 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算． 通过确定的取值范围，再计算的范围即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， 即， ∴的值在5和6之间． 故选：A． 7．【答案】A 【知识点】实数与数轴、实数概念理解 【分析】根据实数的有关概念完成即可． 【详解】①实数与数轴上的点一一对应，故①错误； ②无理数是无限不循环小数，π也是无理数，故②错误； ③负数的立方根是负数，故③错误； ④17的平方根是±，故④错误； 故选：A． 【点睛】本题考查实数的有关概念，实数与数轴上的点一一对应；无限不循环小数是无理数，整数和分数统称为有理数；任意实数都有立方根；一个正实数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根为零． 8．【答案】B 【知识点】实数与数轴、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】设点C表示的数为x，根据对称得出，得出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设点C表示的数为x， ∵数轴上表示2，的对应点分别是A、B，点B关于点A的对称点为C， ∴， 即， 解得． 即点C表示的数为． 9．【答案】C 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题主要考查实数与数轴，数轴上两点间距离，勾股定理，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．由题意可得，，，点表示的数为，点表示的数为，进而得到，根据勾股定理求出，结合点所表示的数及、间距离可得点所表示的数． 【详解】解：由题意可得，，，点表示的数为，点表示的数为， ， ， ， 点在数轴上所表示的数为， 故选：C． 10．【答案】D 【知识点】无理数、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了无理数的运用，掌握无理数与有理数的和差均为无理数是解题的关键． 由是有理数，展开得为有理数，设其为，则 为有理数．选项 D的表达式可化为 ，进一步利用已知条件化为 ，由于有理而无理，故无理，因此D正确．其他选项均可能为无理数或不满足条件，据此即可解答． 【详解】解：∵是有理数，设为， ∴为有理数． 对于选项 D：， ∵ ， 又 ∵ 为有理数， 为无理数， ∴ 为无理数， 故是无理数，选项D正确，符合题意． 其他选项： A．，含无理项，故是无理数，不符合题意； B．，含无理项，故是无理数，不符合题意； C．，为有理数，故不是无理数，不符合题意． 故选：D． 11．【答案】1.5（答案不唯一） 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题主要考查无理数的估算，根据题意可得，得到可以为2.25，即，进而求出a的值． 【详解】解：∵a为有理数， ∴为有理数， ， ∴， ∴可以为2.25，即， ∴， ∴a的值可为1.5． 故答案为：1.5（答案不唯一）． 12．【答案】随机事件 【知识点】实数概念理解、事件的分类 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断判断即可． 【详解】解：∵a是实数， ∴， ∴“若a是实数，则”这一事件是随机事件， 故答案为：随机事件． 13．【答案】 【知识点】实数的分类、根据概率公式计算概率 【分析】本题主要考查了概率的计算，实数的分类．先找出分数的个数，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：∵在、0.2、、、0.3、这6中，分数有共3个， ∴取到的数是分数的概率是. 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】实数与数轴 【分析】根据数轴上点的位置确定，的取值范围，利用绝对值的性质即可得出结论． 【详解】解：由数轴可知，，，且， 所以 ． 15．【答案】 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】首先在直角三角形中，利用勾股定理可以求出线段的长度，然后根据即可求出的长度，接着可以求出数轴上点所表示的数． 【详解】 解：在中，， ， 点所表示的数是， 点所表示的数是． 故答案为：． 16．【答案】解：画图如下： ． 【知识点】实数与数轴、勾股定理与无理数 【详解】解：∵， ∴构造直角边分别为的直角三角形，则斜边为， 画图略． 17．【答案】有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 【知识点】有理数的分类、无理数、实数的分类 【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实数包括负有理数和负无理数解答． 【详解】解：有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 18．【答案】(1) 在数轴上画出点为： (2)，； (3)，右侧． 【知识点】求一个数的绝对值、实数与数轴、实数的大小比较 【分析】本题考查了数轴上表示数，绝对值定义，实数比较大小，掌握知识点的应用是解题的关键． （）在数轴上表示点即可； （）由点向右运动个单位长度到达点，则有点表示的数为，然后通过绝对值定义即可求解； （）根据数轴特点即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：点表示的数为，其绝对值， 故答案为：，； （3）解：根据数轴可知，，点在点的右侧， 故答案为：，右侧． 19．【答案】（1）10； （2）； （3）， 点B即为所求 【知识点】勾股定理与无理数 【分析】（1）依据勾股定理进行计算，即可得到这个直角三角形斜边长； （2）依据勾股定理得AD=，进而得出BD=AD=； （3）依据勾股定理，即可得到点A表示的数以及点B的位置． 【详解】解：（1）由勾股定理可得，这个直角三角形斜边长为10 故答案为：10 （2）∵ ∴∠ADC=90° 在中， （3）点在数轴上表示的数是： 在Rt△OBC中，OB=OC= 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方是解题的关键． 20．【答案】(1)1， (2)1或 (3)2或0或 【知识点】求一个数的绝对值、带有字母的绝对值化简问题、实数的性质 【分析】本题考查了绝对值，实数的运算，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）把a的值代入计算即可； （2）分两种情况讨论：当时，当时，分别化简绝对值即可； （3）分四种情况讨论：当，时，当，时，当，时，当，时，分别化简绝对值即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 故答案为：1，； （2）当时，； 当时，； 即当实数a不等于零时，的值是1或； （3）当，时，； 当，时，； 当，时，； 当，时，； 综上，的值为2或0或． 学科网（北京）股份有限公司 $