2.1 认识实数 一课一练2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 同步练，初中数学新授课用。以“概念理解-技能应用-综合拓展”分层设计，覆盖实数分类、估算、数轴表示等核心知识点，通过辨析题、作图题、阅读题培养抽象能力、几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|实数概念、分类、相反数|单选题1-3考无理数辨析，填空题12-13巩固分类，培养抽象能力| |提升|无理数估算、数轴表示、简单计算|单选题5-7考估算，填空题14-15结合数轴与勾股定理，发展几何直观| |综合|绝对值化简、知识迁移应用|解答题19-20含阅读理解与作图，需推理与知识整合，提升推理意识|

2.1 认识实数 一课一练2026-2027学年北师大版 八年级数学上册 一、单选题 1．在下列实数中，属于无理数的是（    ） A．2 B． C． D． 2．有下列说法：①无理数是无限小数，无限小数是无理数；②无理数包括正无理数、和负无理数；③带根号的数都是无理数；④无理数是含有根号且被开方数不能被开尽的数；⑤是一个分数．其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．我国南北朝时期著名的数学家、天文学家祖冲之采用刘徽的“割圆术”将圆周率精确到小数点后第七位，还得到了的两个近似值：（约率）和（密率），这个记录在世界上保持了1100多年．其中，约率是（    ） A．整数 B．负分数 C．无理数 D．正分数 4．是的（      ） A．相反数 B．倒数 C．绝对值 D．算术平方根 5．估算的值在（    ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 6．的相反数是（    ） A． B． C． D．3 7．如图，数轴上表示的点落在（     ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 8．已知是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（   ） A． B． C． D． 9．在实数、、0、中，最大的实数是（   ） A． B．0 C． D． 10．如图，已知，则点在数轴上所表示的数为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．满足的整数可以是______（写一个符合题意的数即可）． 12．_____和_____统称为实数． 13．在实数：，，，，，，中整数有________，分数有________，无理数有________． 14．已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简：______． 15．如图，在数轴上，点对应的数是，点对应的数是，线段于点，且线段长为个单位长度，若以点为圆心，长为半径作弧交数轴于和之间的点，则点表示的数为______． 三、解答题 16．如图，在数轴上找出表示的点E．（要求：不写作法，保留作图痕迹） 17．把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． (1)正实数：{ }； (2)负实数：{ }； (3)有理数：{ }； (4)无理数：{ }． 18．有五个实数：，，，，4，其中四个已经在数轴上分别用点表示． (1)点表示数_______，点表示数_______，点表示数________； (2)将上面五个数按从小到大的顺序，用“”连接：________． 19．如图，小聪在数轴上表示一个无理数．他先在数轴上方以单位长度为边长画了四个一样的小正方形，再依次连接其中四个顶点，，，（其中点与原点重合），又得到一个正方形（阴影部分）．最后以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点． (1)正方形的面积是 ，点表示的数是 ； (2)请在数轴上继续找出表示的点；（保留作图痕迹） (3)在（2）的基础上，若数轴正半轴上的点表示的数为，且，求的值． 20．阅读下列材料并解决有关问题． 我们知道，．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式. 如化简代数式时，可令和，分别求得，（称分别为与的零点值）．在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况： ； ； ． 从而化简代数式可分以下种情况： 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 综上讨论， . 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)分别求出和的零点值； (2)化简． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D A D A B B C C 1．【答案】C 【知识点】无理数 【详解】解：∵整数和分数都属于有理数，无限不循环小数是无理数； ∴A选项中2是整数，属于有理数，不符合要求； B选项中0.3是有限小数，可化为分数，属于有理数，不符合要求； C选项中是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，符合要求； D选项中是分数，属于有理数，不符合要求． 2．【答案】A 【知识点】实数概念理解 【分析】根据无理数、分数的概念判断． 【详解】解：无限不循环小数是无理数， 错误． 是有理数， 错误． 是有理数， 错误． 也是无理数，不含根号， 错误． 是一个无理数，不是分数， 错误． 故选：． 【点睛】本题考查实数的概念，掌握无理数是无限不循环小数是求解本题的关键． 3．【答案】D 【知识点】实数的分类 【分析】本题主要考查了实数的分类，直接根据实数的分类方法即可得到答案． 【详解】解：是正分数，是有理数， 故选：D． 4．【答案】A 【知识点】相反数的定义、实数的性质 【分析】本题考查了实数概念，相反数定义，根据相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，由 与 只有符号不同，因此是相反数关系，熟知相反数定义是解题的关键． 【详解】解：∵相反数是指两个数符号不同，但绝对值相等， ∴的相反数是， ∴是的相反数， 故选：． 5．【答案】D 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查无理数的估算，通过比较与相邻整数的平方根，确定其范围，进而计算的范围． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∴，即， 故选：D． 6．【答案】A 【知识点】相反数的定义、实数概念理解 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数， 根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 7．【答案】B 【知识点】实数与数轴、无理数的大小估算 【分析】根据，结合数轴求解即可； 【详解】解：， ， 根据数轴的意义，得落在段②； 8．【答案】B 【知识点】无理数、计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查多项式的运算，多项式乘多项式．由已知条件展开 得到 为有理数，从而 为有理数，据此求解即可．理解有理数加或减有理数结果为有理数是解题的关键． 【详解】解：∵ 为有理数， ∴ 为有理数（有理数加有理数仍为有理数）， A、不确定是不是有理数，故A不符合题意； B、是有理数，故B符合题意； C、不确定是不是有理数，故C不符合题意； D、不确定是不是有理数，故D不符合题意． 故选：B． 9．【答案】C 【知识点】实数的大小比较 【分析】本题考查了实数的大小比较；根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小可得答案． 【详解】解：∵在实数、、0、中， ∴最大的实数是， 故选：C． 10．【答案】C 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】本题主要考查实数与数轴，数轴上两点间距离，勾股定理，根据两点间距离及点的位置判断出点所表示的数是关键．由题意可得，，，点表示的数为，点表示的数为，进而得到，根据勾股定理求出，结合点所表示的数及、间距离可得点所表示的数． 【详解】解：由题意可得，，，点表示的数为，点表示的数为， ， ， ， 点在数轴上所表示的数为， 故选：C． 11．【答案】（答案不唯一） 【知识点】无理数的大小估算 【分析】本题考查了无理数的估算． 先估算的取值范围，再找出满足的整数即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，且为整数， ∴可以是、或． 故答案为：（答案不唯一）． 12．【答案】 有理数 无理数 【知识点】实数概念理解 【分析】根据实数的定义：有理数和无理数，统称为实数，进行作答即可． 【详解】解：根据实数的定义：有理数和无理数，统称为实数， 故答案为：有理数，无理数． 【点睛】本题考查实数的定义．熟练掌握有理数和无理数，统称为实数是解题的关键． 13．【答案】 ，， ， ， 【知识点】实数的分类 【分析】先化简题目中的算术平方根，再根据整数、分数、无理数的定义对各数进行分类即可. 【详解】解：， 整数是正整数、零、负整数的统称， 整数有：，，； 分数包括有限小数与无限循环小数， 分数有：，； 无理数是无限不循环小数， 无理数有：，. 14．【答案】 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、实数与数轴 【详解】解：由数轴可知：， ∴， ∴． 15．【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】先由勾股定理求出，再由题意得到，最后由数轴上的点表示对应的实数方法计算即可． 【详解】解：在中，，则由勾股定理可得， 以点为圆心，长为半径作弧， ， 则点表示的数为． 16．【答案】 如图，点即为所求， 【知识点】实数与数轴 【分析】取，，其中垂直于数轴，再以点为圆心，为半径画弧与数轴相交于点，点即为所求． 【详解】略 17．【答案】(1)，，，（两个1之间依次增加一个7） (2)， (3)，， (4)，，（两个1之间依次增加一个7） 【知识点】有理数的定义、无理数、实数的分类 【分析】（1）根据正实数的定义确定，正实数包括正有理数和正无理数； （2）根据负实数的定义确定，负实数包括负有理数和负无理数； （3）根据有理数的定义确定，有理数包括整数和分数； （4）根据无理数的定义确定，无理数是无限不循环小数． 【详解】（1）正实数：{，，，（两个1之间依次增加一个7）}； （2）负实数：{，}； （3） 有理数：{，，}； （4）无理数：{，，（两个1之间依次增加一个7）}． 18．【答案】(1)，， (2) 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较 【分析】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，正确利用数轴比较大小是解题关键． （1）根据A、B、D在数轴上的位置即可判断出答案； （2）根据数轴是数从左到右是从小到大的顺序即可得出答案． 【详解】（1）解：根据A、B、D在数轴上的位置， 可知，点A表示数，点B表示数，点D表示数， 故答案为：，，； （2）由数轴可知：， 故答案为：． 19．【答案】(1)； (2) 如图，点为所求； (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、实数与数轴、勾股定理与无理数 【分析】（1）用割补法进行计算正方形的面积即可；再根据勾股定理求出边长即可得到答案； （2）以原点为圆心，正方形的边长为为半径画弧，交数轴负半轴于点，即可得到答案； （3）由题意可得：，再根据，得到答案即可． 【详解】（1）解：个小正方形的总面积是，阴影正方形的面积等于个小正方形面积的一半， 即； 根据勾股定理，正方形边长， 以原点为圆心，以正方形的边长为半径画弧，与数轴正半轴交于点，因此点表示的数为； （2）略 （3）解：由题意可得：， ，数轴正半轴上的点表示的数为， ， ． 20．【答案】(1)和的零点值分别为、； (2)． 【知识点】实数的性质 【分析】（）令和，求出的值即可求解； （）根据零点值分、和三种情况解答即可求解； 本题考查了绝对值的性质，解绝对值方程，理解零点值的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：令和， 解得，， 和的零点值分别为、； （2）解：在实数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下种情况：、和， 当时， ； 当时， ；     当时， ； 综上，． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $