专题06 数轴动点 压轴题02 2026-2027学年北师大版七年级数学上册（重庆专用）

**基本信息** 聚焦数轴动点5类核心问题，以题载法构建“概念-模型-应用”逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |动点定值问题|6道|消元法证定值，距离公式转化|从数轴距离概念到动态定值证明| |探究数量关系|6道|分类讨论位置关系，中点/三等分点性质|由静态数量关系到动态变化规律| |多动点问题|6道|多变量坐标表示，绝对值处理距离|单动点到多动点的运动叠加模型| |求时间|6道|相遇/追击方程模型，分段讨论临界值|运动过程到时间变量的方程转化| |线段的运动|6道|整体平移坐标表示，中点动态计算|点运动到线段运动的几何直观拓展|

专题06 数轴动点压轴题02 （定值&数量关系&多动点&求时间&线段运动5类30道） 专题目录 【类型1 动点定值问题】 1 【类型2 探究数量关系】 9 【类型3 多动点问题】 19 【类型4 求时间】 29 【类型5 线段的运动】 37 【类型1 动点定值问题】 1．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想． ①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，其中表示点A和点B之间的距离．若A，B位置不确定时，则，若点A在B的右侧，即，则； ②点A向右运动m个单位长度（）后，点A表示的数为：，点A向左运动m个单位长度（）后，点A表示的数为：． 【问题情境】如图：在数轴上点A表示数，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（t＞0）． (1)运动t秒后，点A表示的数为 （用含t的式子表示）； (2)若t秒钟过后，点B到点A的距离与点B到点C的距离相等，求t值； (3)当点C在点B右侧时，的值是否为定值？若是定值，直接写出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)是定值． 【分析】本题考查整式的加减运算，一元一次方程的应用，熟练掌握两点间的距离公式，数轴上的动点问题，是解题的关键： （1）根据数轴上的动点，左移减，右移加，列出代数式即可； （2）分点B在点A和点C之间和点C与点A重合两种情况，列出方程进行求解即可； （3）表示出，求出的值即可． 【详解】（1）解：由题意，运动t秒后，点A表示的数为：； 故答案为：； （2）解：由题意可知，t秒时，A点所在的数为：，B点所在的数为：，C点所在的数为：． ①当点B在点A和点C之间时，则 ． 解得； ②当点C与点A重合时，则 ． 解得； 综上，当或点B到点A的距离与点B到点C的距离相等； （3）解：是定值； ∵点C在点B右侧，点B在点A右侧， ∴，， ∴． 2．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 如图，线段、都在数轴上，且（单位长度），（单位长度），点从出发沿射线方向，以6个单位长度/秒的速度运动；同时，点从出发沿射线方向，以2个单位长度/秒的速度运动，在点、运动的过程中，线段、随之运动．已知点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是16．    (1)如图，当点、分别与点、重合时，则点在数轴上表示的数是________，点在数轴上表示的数是________． (2)运动秒后． ①点在数轴上对应的数为________，点在数轴上对应的数为________．（用含的代数式表示）． ②当运动到（单位长度）时，求出此时点在数轴上表示的数． (3)若点是线段上的任意一点，在整个运动过程中，是否存在的值为定值？若存在，求出该定值以及定值所持续的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；20 (2)①；；②4或16 (3)存在的值为定值4，定值持续的时间为秒 【分析】（1）根据点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是16，，，结合数轴，即可作答； （2）①由（1）可知，开始运动时，A表示的点为：，则D表示的点为：，根据运动的特点直接列式即可作答；②在①中已经求出点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，即可得点对应的数为，点对应的数为，根据，可得，解方程即可求解； （3）当线段的端点均在线段上时，存在定值，此时：，设持续时间为秒，则，解方程即可求解． 【详解】（1）∵点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是16，，， ∴则A表示的点为：，则D表示的点为：， 故答案为：；20； （2）①由（1）可知，开始运动时，A表示的点为：，则D表示的点为：， ∵出发沿射线方向，以6个单位长度/秒的速度运动；同时，点从出发沿射线方向，以2个单位长度/秒的速度运动， ∴经过秒后，运动的距离为：，运动的距离为：， ∴经过秒后，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为， 故答案为：；； ②在①中已经求出点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为， ∵，， ∴点对应的数为，点对应的数为， ∵， ∴， 解得或4； 当时，； 当时，； ∴当运动到个单位长度时，在数轴上表示的数为4或16． （3）存在，定值为， 当线段的端点均在线段上时，存在定值， 此时：， 设持续时间为秒， 则， 解得， ∴存在的值为定值4，定值持续的时间为秒． 【点睛】本题综合考查了两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程等知识点，解题的关键是表示出点运动后到达的点表示的数． 3．如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为3，，． (1)则点A对应的数是___________、点B对应的数是___________； (2)动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒8个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．M在线段上，且，N在线段上，且，设运动时间为． ①求点M、N对应的数（用含t的式子表示）； ②猜想的长度是否与t无关为定值，若为定值请求出该定值，若不为定值请说明理由； ③探究t为何值时，． 【答案】(1)，1 (2)①M点对应的数为，N点对应的数为；②与t无关，为定值8；③或 【分析】（1）由图及已知，根据数轴上两点间的距离即可求得两点对应的数； （2）①由题意可求得、的长度，从而由A、C对应的数即可求得M、N对应的数； ②由题意可求得点Q对应的数，从而可得的长度，根据结果即可作出判断； ③分别表示出、的长度，由等式可得关于t的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由于点C对应的数为3，且，由图知，点B对应的数为：； 由及点A在原点的左边，则点A对应的数为：； 故答案为：，1； （2）解：①由于动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒8个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动，则，， 又，， 所以，， 所以点M对应的数为：，点N对应的数为：； ②的长度与t无关，为定值8，理由如下： 由于， 所以点Q对应的数为：， 则； 即的长度与t无关，为定值8； ③因点M对应的数为：，点N对应的数为：， 则，， 由于， 所以， 解得：或； 即当或时，． 【点睛】本题是数轴上动点问题，考查了数轴上两点间的距离，解含绝对值的方程，数轴的点表示的数等知识，数轴上两点间的距离关系式是解题的关键． 4．已知数轴上两点A，B对应的数分别是a、b，其中a、b分别为单项式的系数和次数．点P为数轴上的一动点． （1）A、B两点的距离______； （2）在数轴上是否存在点P，使？若存在，请求出点P对应的数；若不存在，请说明理由． （3）若点P以每秒1个单位的速度从点O出发向右运动，同时点A以每秒5个单位的速度向左运动，点B以每秒20个单位的速度向右运动，在运动的过程中，M．N分别是AP，OB的中点，现有以下两个判断①的值是定值；②的值是定值，其中只有一个结论正确，请判断出正确结论，并求出该定值． 【答案】（1）；（2）存在，或；（3）的值是定值，正确，． 【分析】（1）先根据单项式的系数与次数的含义求解，再利用数轴上两点之间的距离公式求解即可得到答案； （2）设点对应的数为 再利用两点之间的距离公式表示：， 再由建立方程求解即可得到答案； （3）由点在数轴上的左右移动规律，先分别表示运动过程中对应的数，再利用M．N分别是AP，OB的中点，表示对应的数，利用两点间的距离公式求解，从而可得答案． 【详解】解：（1） 单项式的系数和次数分别是： 故答案为： （2）如图，设点对应的数为 则 或 当时， 当时， 点对应的数为：或 （3）①的值是定值，正确，；②的值不是定值，理由如下： 如图， 运动过程中，对应的数为： 对应的数为： 为的中点， 对应的数为： 同理：运动过程中，对应的数为： 为的中点， 点对应是数为： ＞ ＞， 同理： 是定值， 而不是定值． 【点睛】本题考查的是单项式的系数与次数，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，数轴上线段的中点对应的数，绝对值方程的应用，一元一次方程的解法，掌握以上知识是解题的关键． 5．如图，在数轴上点表示有理数，点表示有理数，已知，互为相反数，且是多项式的二次项系数． (1)求，； (2)数轴上有两个动点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点在点处追上点，求点表示的有理数． (3)在（）的条件下，点相遇之前，是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)是定值， 【分析】本题考查了数轴，相反数，一元一次方程的应用，整式的加减，列代数式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据多项式的定义即可求出的值，再由相反数的定义即可求出的值； （）设运动了秒，点追上点，根据题意列出方程，然后求解即可； （）设运动时间为秒，则，由题知对应的数为，对应的数为，则，，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：因为是多项式的二次项系数， 所以， 因为，互为相反数， 所以； （2）解：设运动了秒，点追上点，则， 解得， 所以点表示的有理数为； （3）解：为定值，理由， 设运动时间为秒，则， 由题知对应的数为，对应的数为， 所以，， 所以， 所以为定值． 6．如图，已知数轴上有三个点，它们表示的数分别是，，，表示点A到点C的距离，根据阅读完成下列问题： (1)填空：_______，_______． (2)在数轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由； (3)若点A在数轴上以每秒3个单位长度向左运动，点C在数轴上以每秒1个单位长度向右运动．经过秒后，是否存在常数m，使得为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)6，1 (2)点P对应的数为或 (3)当时，定值为 【分析】此题考查一元一次方程的实际运用，以及数轴与绝对值，正确理解的变化情况是关键． （1）根据数轴两点间的距离公式可求结果； （2）可设点P为x，分三种情况列出方程即可求解； （3）先求出点A表示的数为，点C表示的数为，从而得出，从而得出当时，． 【详解】（1）解：，， 故答案为：6，1； （2）设点P为x， ①若点P在A、B之间，，不符合题意； ②若点P在点A左边，，解得； ③若点P在点B右边，，解得． ∴点P对应的数为或； （3）∵运动时间为，A的速度为每秒3个单位长度，C的速度为每秒1个单位长度， ∴点A表示的数为，点C表示的数为， ， ， 当时，， 当时，定值为． 【类型2 探究数量关系】 7．如图，已知数轴上A，B两点分别表示有理数a，b，其中a，b满足． (1)若点C是的中点，数轴上点C表示有理数c，请直接写出a，b，c所表示的数； (2)若动点C从点A出发，沿着射线方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，当动点C运动多少秒时满足？ (3)小李同学在学习完中点知识后发现：点C在线段所在直线上运动，点P为的中点，点Q为的中点，的长度与的长度存在的数量关系．小李联系教材“三等分点”这一知识认为：若点C在线段所在直线上运动，点P为上靠近C点的三等分点，点Q为上靠近C点的三等分点，此时的长度与的长度也存在某种数量关系，请你帮助小李找出其存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)秒或15秒 (3)， 理由如下： 如图，当点C在点A左侧时， 则，， ； 如图，当点C在点线段上时， 则，， ； 如图，当点C在点B右侧时， 则，， ， 综上所述，； 【分析】本题主要考查了数轴上的动点问题，绝对值的非负性质，数轴上两点间的距离，解一元一次方程方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由非负数的性质，求出，再由点C是的中点，进而计算可得出； （2）设点C运动时间为秒，分当点在线段上时和当点在线段延长线上时两种情况列方程，解方程可得答案； （3）分当点C在点A左侧时，当点C在点线段上时及当点C在点B右侧时三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 点C是的中点， ； （2）解：设点C运动时间为秒， 动点C从点A出发，沿着射线方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动， 设表示的数为， 当点在线段上时，则，． ， ． 解得； 当点在线段延长线上时，则，． ， ． 解得； 综上，当动点C运动秒或15秒时满足； （3）略 8．【背景知识】数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律，例如：若数轴上点A，B分别对应数a，b．则A，B两点之间的距离为． 【问题情境】如图，数轴上点A，B分别对应数a，b．其中． 【综合运用】 (1)当时，线段的长度是__________； (2)若该数轴上另有一点N对应着数n． ①在（1）的条件下，若点N在点A，B之间，且满足，则数n是__________； ②当，且时，探究a与n之间的数量关系． 【答案】(1)10 (2)①；②或． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、一元一次方程、合并同类项． （1）根据两点之间的距离公式计算即可； （2）①根据两点之间的距离公式，得出，，再根据，列出一元一次方程，解出即可得出答案； ②根据题意，列出方程整理即可得出结论． 【详解】（1）解：∵当，时， ∴线段； 故答案为：10； （2）解：①∵数轴上另有一点N对应着数n，点N在点A，B之间，，， ∴，， 又∵， ∴， 解得：， ∴数n是； 故答案为：； ②∵， ∴， 整理得或， 即或． 9．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 【答案】(1) (2)①；②不变；值为 (3)当时，，当时，，当时， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题： （1）根据两点间的距离公式即可求解； （2）①由点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒2个单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，再根据两点间的距离公式即可得到答案； ②由点以每秒单位长度的速度向右运动，得到运动秒后，点表示的数为，从而得到，再计算出，即可得到答案； （3）分别表示出的长度，然后分情况讨论得出之间的关系，即可得到答案． 【详解】（1）解：在数轴上点表示的数分别为，，， ，，， 故答案为：； （2）①点以每秒个单位长度的速度向左运动，点以每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：， 点与点之间的距离为：； ②点以每秒单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：， ， ， 的值不会随着时间的变化而改变； （3）点以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动， 运动秒后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， ，，， 当时，， 当时，， 当时，， 随着运动时间的变化，之间存在类似于（1）的数量关系． 10．在数轴上O为数轴的原点，点A、B在数轴上对应的数分别表示为a、b，且、4为最大负整数，． (1) ， ． (2)如图1，数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上表示的数． (3)如图2，在数轴上有两个动点P、Q，点P、Q同时分别从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位长度/秒，点Q的运动速度为n个单位长度/秒，取线段的中点为点C，在运动过程中，若线段的长度为固定的值，直接写出m与n的数量关系． 【答案】(1)，3 (2)或 (3) 【分析】根据最大负整数即可列出方程求得a和b； 设点M对应的数为x，分情况：①当点M在点A的左侧时，则，，根据列方程求解；②当点M在线段之间时，则，，同理求解；③当点M在点B右侧时，不满足题意； 设运动时间为t秒，根据题意得、和，即可求得点C表示的数，点P表示的数，则，结合题意即可求得m和n的关系． 【详解】（1）解：∵、为最大负整数， ∴， ∴，， 故答案为：，3； （2）设点M对应的数为x，点A对应的数为，点B对应的数为3， ①当点M在点A的左侧时， 则，， ∵点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍， ∴， ∴， 解得； ②当点M在线段之间时， 则，， ∵点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍， ∴， ∴， 解得； ③当点M在点B右侧时，不满足题意， 综上所述：点M对应的数为或； （3），理由如下： 设运动时间为t秒，根据题意得：，， ∴， ∵点C为线段的中点， ∴， 点C表示的数为：， 点P表示的数为：， ∴， ∵线段的长度总为一个固定的值， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查数轴上动点，涉及最大负整数、解一元一次方程、两点之间的距离和线段中点，解题的关键是分类讨论思想的应用和动态的两点之间的距离表示． 11．已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且AB＝12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒． (1)解决问题：①当t＝1秒时，写出数轴上点B，P所表示的数； ②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？ (2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在P、Q上运动过程中，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）． 【答案】(1)①B点表示的数为-4；点P表示的数为5；②点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度 (2)P在Q右侧时有：2MN+PQ＝12；P在Q左侧时有：2MN﹣PQ＝12 【分析】（1）①根据已知可得B点表示的数为8﹣12；点P表示的数为8﹣3t； ②点P运动x秒时，与Q相距2个单位长度，则AP＝3x，BQ＝2x，根据AP+BQ＝AB﹣3，或AP+BQ＝AB+3，列出方程求解即可； （2）根据点P在点A、B两点之间运动，故MN＝MQ+NP﹣PQ，由此可得出结论． 【详解】（1）①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB＝12， ∴点B表示的数是8﹣12＝﹣4， ∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P表示的数是8﹣3×1＝5． ②设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度， 则AP＝3x，BQ＝2x， ∵AP+BQ＝AB﹣3， ∴3x+2x＝9， 解得：x＝1.8， ∵AP+BQ＝AB+3， ∴3x+2x＝15 解得：x＝3． ∴点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度． （2）2MN+PQ＝12或2MN﹣PQ＝12；理由如下： P在Q右侧时有：MN＝MQ+NP﹣PQ＝ AQ+ BP﹣PQ＝ （AQ+BP﹣PQ）﹣ PQ＝ AB﹣ PQ＝ （12﹣PQ）， 即2MN+PQ＝12． 同理P在Q左侧时有：2MN﹣PQ＝12． 【点睛】本题考查了数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 12．已知在数轴上有两点，点表示的数为，点在点的左边，且．若有一动点从数轴上点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单 位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为秒，解决以下问题： 写出数轴上点所表示的数； 若点分别从两点同时出发，问点运动多少秒与点相距个单位长度？ 探索问题：若为的中点，为的中点，当点在线段上运动过程中，探索线段 与线段的数量关系（写出过程）． 【答案】（1）-4；（2）秒或秒时相距个单位；（3）在右侧，；在左侧， 【分析】（1）根据已知可得B点表示的数为8-12； （2）点P运动x秒时，与Q相距2个单位长度，则AP=3x，BQ=2x，根据AP+BQ=AB-3，或AP+BQ=AB+3，列出方程求解即可； （3）根据点P在点A、B两点之间运动，故MN=MQ+NP-PQ，由此可得出结论． 【详解】（1）①∵点A表示的数为8，B在A点左边，AB=12， ∴点B表示的数是8-12=-4； （2）设点P运动x秒时，与Q相距3个单位长度， 则AP=3x，BQ=2x， ∵AP+BQ=AB-3， ∴3x+2x=9， 解得：x=1.8， ∵AP+BQ=AB+3， ∴3x+2x=15 解得：x=3． ∴点P运动1.8秒或3秒时与点Q相距3个单位长度． （3）2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下： P在Q右侧时有：MN=MQ+NP-PQ=AQ+BP-PQ=（AQ+BP-PQ）-PQ=AB-PQ=（12-PQ）， 即2MN+PQ=12． 同理P在Q左侧时有：2MN-PQ=12． 【点睛】此题考查数轴和一元一次方程的应用，用到的知识点是数轴上两点之间的距离，解题关键是根据题意画出图形，注意分两种情况进行讨论． 【类型3 多动点问题】 13．综合与探究： 【背景知识】在学习绝对值后，我们知道，表示数在数轴上的对应点与原点的距离．如图1，如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而，即也可理解为5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，|5－3|表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示数的点之间的距离，一般地，点、在数轴上分别表示数、，那么、之间的距离可表示为． 【问题解决】请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上表示1和8的两点之间的距离是____；数轴上表示和的两点之间的距离是____； （2）数轴上点表示的数是2，、两点的距离为10，则点表示的数是____； （3）的几何意义是数轴上表示有理数____的点与表示的点之间的距离． 【拓展延伸】 （4）若点，，在数轴上分别表示数，，，，，．点，，同时开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为秒钟时，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1）7，；（2）12或；（3）；（4）不变，1.5 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，理解新定义，找准数量关系，正确列出方程是解题关键． （1）根据数轴上两点间距离直接求解． （2）设点表示的点为，然后根据数轴上两点距离进行求解． （3）根据数轴上两点的几何意义直接求解． （4）根据题中的条件列式求解． 【详解】解：（1）由题意得： 数轴上表示1和8的两点之间的距离是； 数轴上表示和的两点之间的距离是． 故答案为：7，； （2）设点表示的点为， 根据题意得：， 或， 解得：或， 故答案为：12或； （3）由可知：其几何意义是数轴上表示有理数的点与表示的点之间的距离． 故答案为：． （4）不变； 理由：由题意得：,, , , , , , ， 故的值不随着时间的变化而改变，值为1.5． 14．我们知道，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，如图，点，在数轴上分别对应的数为，，则，两点间的距离表示为，根据以上内容解决问题： (1)若数轴上两点，表示的数为和，则，两点之间的距离可用含的式子表示为_____； (2)若，分别表示，点在数轴上对应的数． ①的最小值为_____； 此时的最大值为_____； ②若，求的最大值． (3)点，在数轴上对应的数为和，为原点，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（点在点，之间，点在点，之间），运动时间为，点运动到点时，点立即停止运动；点为点，之间一点，且满足，若在点，N运动过程中，点到点的距离总为一个固定的值，求的值． 【答案】(1) (2)①；；② (3) 【分析】（1）根据题意中的数轴上两点之间距离公式即可列出代数式； （2）①根据绝对值的意义可得表示数轴上表示数的点到表示数和表示数的点的距离之和，即可得的取值范围及的最小值； ②先确定中的取值范围及最小值、中的取值范围及最小值，结合，即可得取最小值，取最小值时，方程成立，即，，从而得出当取最大值，取最大值时，最大，代入数值即可求出最大值； （3）根据题意可得，，可得，根据，可求出，进而得出，根据点运动过程中为一个固定的值，得到，由，即可得出结论。 【详解】（1）解：∵点，在数轴上分别对应的数为，时，，两点间的距离表示为， ∴若数轴上两点，表示的数为和，则，两点之间的距离为， 故答案为：； （2）解：①∵表示数轴上表示数的点到表示数和表示数的点的距离之和， ∴当时，有最小值，最小值为：，此时的最大值为， 故答案为：；； ②由①的方法可知： 当时，有最小值为：， 当时，有最小值为：， ∵， ∴当取最小值，取最小值时，， 此时，， ∴当取最大值，取最大值时，最大，最大值为：； （3）解：根据题意可得： 点的路程为：，点的路程为：，且， 又∵点，在数轴上对应的数为和， ∴， ∵点在点，之间，且， ∴， ∴， ∵点到点的距离总为一个固定的值，即总为一个固定的值， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查数轴上两点之间距离的计算，绝对值的意义，代数式及求代数式的值，整式的混合运算等知识的综合，理解整式的基础知识，掌握两点之间距离的计算，整式的混合运算法则是解题的关键． 15．数轴是初中数学的一个重要工具，若点、在数轴上分别表示实数、，则、两点之间的距离表示为，且； 回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是_____； ②在①的情况下，如果，那么为_____； (2)代数式的最小值是_____． (3)若点、、在数轴上分别表示数、、，是最大的负整数，且， ①计算、、的值． ②点、、同时开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】(1)①；②或， (2)； (3)①，，；②的值不随着时间的变化而改变，值为． 【分析】本题考查了数轴与绝对值，非负数的性质，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）①根据数轴上两点之间的距离表示出来即可；②结合①列方程求解即可； （2）根据绝对值的意义可知当在和之间的线段上时，距离和最小，即可求解； （3）①根据最大的负整数可得，再根据绝对值的非负性可得，； ②由题意可得，，从而得出，即可求解． 【详解】（1）解：①数轴上表示和2的两点和之间的距离是， 故答案为：； ②，如果，则， 解得：或， 故答案为：或， （2）解：代数式表示到的距离与到的距离之和， 即当在和之间的线段上时，距离和最小， 此时， 即代数式的最小值是， 故答案为：； （3）解：①是最大的负整数， ， ，， ，； ②由题意可知，秒钟过后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 则，， ， 的值不随着时间的变化而改变，值为． 16．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，则在数轴上A、B两点之间的距离，如数轴上表示-3和1两点之间的距离是．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ． (3)若数轴上点A表示的数是，把点A向左移动个单位得到点C，点C表示的数是 ． (4)若数轴上两点A、B对应的数分别是、，现在点A、点B分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度同时向右运动，当点A与点B之间的距离为个单位长度时，求点A所对应的数是多少？ 【答案】(1)， (2)（书写形式不唯一） (3) (4)或 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的实际应用，数轴上两点之间的距离等知识点，正确运用数轴上两点之间的距离公式求解是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式求解； （2）根据数轴上两点之间的距离公式求解； （3）根据数轴上的点移动规律“左减右加”求解即可； （4）设运动时间为秒，则由题意得，再解方程即可． 【详解】（1）解：数轴上表示和两点之间的距离是，数轴上表示和的两点之间的距离， 故答案为：，； （2）解：数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：（书写形式不唯一）； （3）解：数轴上点A表示的数是，把点A向左移动个单位得到点C，点C表示的数是， 故答案为：； （4）解：设运动时间为秒，则由题意得， ∴或， 解得或， ∴或， ∴点A所对应的数是或． 17．如图，在数轴上三个点、、分别表示的数为、、，其中是最大的负整数，、满足． (1)先在数轴上画出点、、，再将数轴折叠，使点与点重合，则折叠后点与数 表示的点重合． (2)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度向左运动，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，若点与点之间的距离表示为，同理、分别表示与、与之间的距离．设秒后，时，求的值． (3)当时，直接写出的值是 ． 【答案】(1)6 (2)3 (3)或0 【分析】（1）结合题干信息分析出、、的值，再根据、的中点与和对称点的中点一样，即可求解； （2）根据点、点、点的运动速度和方向，依次用含的式子表示出来，再结合数轴上求线段长度的公式依次表示出线段、、，最后结合题干等式即可求解； （3）代入、的值，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得，， 是最大的负整数， ， 设的对称点为 将数轴折叠，点和点重合， 、的中点与和的中点相等 即， 解得： 故答案为：6； （2）点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动， 秒钟过后，点表示的数为：，点表示的数为：，点表示的数为：， 点表示的数点表示的数点表示的数 ，，， ， ， 解得， 的值为3； （3），， ， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 当时，， 此方程无解， 的值是或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查数轴的动点问题、动点的表示、线段长度的求法、对称的性质、解一元一次方程、分类讨论思想、数形结合思想等知识点，属于代数、几何的综合运用，具有一定难度．解题的关键是根据题干信息表示出动点代表的数和动点形成的线段． 18．我们知道：如果A、B两点在数轴上对应的数分别为、，C为线段AB的中点，则点C在数轴上对应的数x可以表示为：，已知M、N两个点对应的数分别为和2． (1)如图1，两个点同时出发沿着数轴运动，点M向左运动，点N向右运动，M、N的速度分别每秒4个单位长度和2个单位长度，若t秒后它们之间的距离为15个单位长度，求t的值； (2)如图2，两个点出发沿着数轴运动，点M比点N晚出发1秒，点M向右运动，点N向左运动，M、N的速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度，求点N出发几秒后“”为MN的中点； (3)如图3，三个定点P、Q、H在数轴上对应的数分别为、8和4，M、N两个点同时出发沿着数轴运动点M向左运动，点N向右运动，速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度．当M到达点P时返回，N到达点Q时返回，直到M、N相遇时停止运动，且M返回时速度变为每秒2个单位长度，N返回时速度变为每秒1个单位长度．在M、N出发的同时，动点K也从点P出发沿着数轴以4个单位每秒的速度向右运动，到H点时停止运动，求M、N从开始出发到M、N相遇的整个运动过程中，M、N、K其中一个点分别为另外两个点为端点的线段中点时对应的时间t（写出计算过程） 【答案】(1)2 (2)6 (3)或或10 【分析】对于（1），先分别表示两个点的运动路程为，再根据两点之间的距离列出方程，求出解即可； 对于（2），先分别表示出两个点的运动路程，即可表示对应的点，再根据中点定义列出方程，求出解； 对于（3），第一种情况：当点K与点H重合之前，分别表示表示出三个点在数轴上的数，分点M是中点和点K是中点两种情况列出方程，求解；第二种情况：当点M与点P重合之后，表示两个点对应的数，再根据点N是中点列出方程，求出解． 【详解】（1）点M，N对应的数是，，根据题意，得 ， 解得； （2）点M，N对应的数是，，根据题意，得 ， 解得． 所以，点N出发6秒后“”为的中点； （3）点M，N在返回之前，即，点M，N，K对应的数是， 当点M是中点时，， 解得； 当点K时中点时，， 解得． 之后点K在H处，点N返回，点M继续向P点运动， 当点M与点P重合时，点N返回并于点H重合， 点M，N继续运动所对应的数是， 当点N为中点时，， 解得， ∴． 所以或或10． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，中点的定义，一元一次方程的应用，根据中点的定义列出方程是解题的关键． 【类型4 求时间】 19．【阅读材料】 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的思想解决一些问题．例如：数轴上表示5的点与表示2的点之间的距离为，数轴上表示5的点与表示-2的点之间的距离为． 【理解运用】 如图所示，点A，B分别表示数，7，根据阅读材料完成下列各题：    (1)线段的长是____________； (2)若在直线上存在点C，使得，则点C对应的数值是__________； (3)动点M，N分别从点A，B同时出发以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点M，N重合时，求它们运动的时间是多少？ (4)在（3）的条件下，当时，求它们运动的时间是多少？ 【答案】(1)8 (2)5或9 (3)运动时间为8时，M，N重合 (4)4或12 【分析】（1）直接利用数轴上两点之间的距离公式进行计算即可；     （2） 设对应的数为，则，由，再建立方程求解即可；      （3）设运动时间为t时，M点对应数值表示为，N点对应数值表示为，由两数重合可得两数相等，再建立方程求解即可； （4）设运动时间为t时，M点对应数值表示为，N点对应数值表示为，再分两种情况：①当点M在点N左侧时，②当点M在点N右侧时，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，B分别表示数，7， ∴线段的长是； （2）设对应的数为，则， ∵， ∴， ∴或， 解得：或； （3）设运动时间为t时，M点对应数值表示为，N点对应数值表示为 由题意得      解得       答：运动时间为8时，M，N重合． （4）设运动时间为t时，M点对应数值表示为，N点对应数值表示为 ①当点M在点N左侧时      解得：        ②当点M在点N右侧时 ，        解得：        答：运动时间为4或12，． 【点睛】本题考查的是数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，熟练的利用两点之间的距离建立方程是解本题的关键． 20．如图，点O为数轴的原点，点A，B是数轴上的两点，点A表示的数为，．若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着数轴运动，设点P和点Q运动的时间为秒．    (1)试确定点B表示的数； (2)若点P和点Q运动的时间，且点Q沿着数轴向左运动，求点P和点Q之间的距离； (3)当点P，Q之间的距离为5个单位长度，且点P在点Q的右边时，求点P，Q运动的时间t． 【答案】(1)6 (2)3 (3)或 【分析】（1）由题意知，点B表示的数为，计算求解即可； （2）当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，然后计算距离即可； （3）由题意知，分①点P，Q相向运动，②点P，Q同向运动，两种情况求解；①当点P，Q相向运动且点P在点Q的右边时，则点P表示的数为，点Q表示的数为，根据题意，得，计算求解即可；②同理可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，点B表示的数为， ∴点B表示的数为6； （2）解：当时，点P表示的数为，点Q表示的数为， ∴点P和点Q之间的距离为， ∴点P和点Q之间的距离为3； （3）解：由题意知，分①点P，Q相向运动，②点P，Q同向运动，两种情况： ①当点P，Q相向运动且点P在点Q的右边时，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意，得， 解得； ②当点P，Q同向运动且点P在点Q的右边时，则点P表示的数为，点Q表示的数为， 根据题意，得， 解得； 综上所述，点P，Q运动的时间t为或． 【点睛】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用．熟练掌握在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用． 21．综合与实践： 如图，实数、、在数轴上表示的点分别是点A、B、C，且、、满足． (1)直接写出、、的值； (2)若点沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．试探究：的值是否随着时间的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围； (3)若点沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．是否存在某一时刻，满足点和点之间的距离是点和点之间的距离的？若存在，直接写出时间的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)值不随着时间的变化而变化，始终 (3)存在，或 【分析】本题考查了实数与数轴，非负数的性质，两点间的距离公式，一元一次方程的应用，分类构造方程是解题关键． （1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得的值，根据两点间的距离，可得答案； （2）t秒时，点表示，点B表示，点表示，根据根据两点间的距离公式计算计算即可； （3）先把A、B、C用表示，点表示，点B表示，点表示， 当A、相遇时，，解得，当、相遇时，，解得， 分类讨论4种情况，当时，当时，当时，当时，构造方程计算即可． 【详解】（1）解：依题意，． 所以； （2）解：秒后，点始终在点的左侧，∴， 点始终在点的右侧，∴， ∵是定值， ∴的值不随着时间的变化而变化，始终， （3）解：∵点A沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒， ∴秒后A表示的数为，表示的数为，表示的数为， 当A、相遇时，，解得， 当、相遇时，，解得， ∴当时，，， ∵，，解得； 当时，，， ∵，∴，解得； 当时，，， ∵， ∴，解得，舍去； 当时，，解得（舍弃）． 故答案为：或． 22．已知数轴上的、两点分别对应的数字为、，且、满足．    (1)直接写出、的值； (2)从出发，以每秒个长度的速度沿数轴正方向运动，何时，，三点中其中一个点到另外两个点的距离相等？求出相应的时间t； (3)数轴上还有一点对应的数为，若点从出发，以每秒个单位的速度向点运动，同时，从点出发，以每秒个长度的速度向正方向运动，点运动到点立即返回再沿数轴向左运动．当时，求运动的时间． 【答案】(1)， (2)时间为或秒 (3)当时，点运动的时间为或或 【分析】（1）根据绝对值和乘方的非负数的性质即可求解； （2）分为和两种情况求距，再利用距离除以速度等于时间进行求解； （3）根据点运动时间设未知数，利用点和点的运动情况借助数轴上两点间的距离列方程即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ，； （2）当时，是线段的中点， 此时点表示的数为：， 点的运动时间为：， 第二种情况：时， ， ， ， 点的运动时间为：， 所以时间为或秒； （3）设时，， 分四种情况讨论： ①点、点向右运动，点在点左侧， ，解得：； ②点、点向右运动，点在点右侧， ，解得：（舍去）； ③点向左运动，点在点右侧， ，解得：； ④点向左运动，点在点左侧， ，解得：， 综上所述，当时，点运动的时间为：或或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴上两点之间的距离、非负数的性质，解决本题的关键是根据两点间距离找等量关系． 23．已知数轴上三个点对应的数分别为，且满足；动点在数轴上从出发，以每秒1个单位长度的速度向终点移动． (1)求的值； (2)当点到点的距离是点到点距离的一半时，求点移动的时间； (3)当点移动到点时，点从点出发以每秒3个单位长度的速度在数轴上向点移动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，移动到终点．当两点之间的距离为5个单位长度时，直接写出点移动的时间． 【答案】(1)，， (2)6秒或18秒 (3)3.5秒或8.5秒或10.75秒或13.25秒 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，掌握非负数的性质，再结合数轴解决问题． （1）根据绝对值和偶次幂具有非负性可得，，，解方程可得、、的值； （2）分两种情况讨论可求点的对应的数； （3）分类讨论：当点在点的右侧，且点还没追上点时；当在点左侧时，且点追上点后；当点到达点后，当点在点左侧时；当点到达点后，当点在点右侧时，根据两点间的距离是5个单位长度，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵， ，，， 解得：，，； （2）解：， ∵点到点的距离是点到点距离的一半， ∴ ∴①点在之间，， 所以（秒）； ②点在的延长线上，， 所以（秒）． 故当点到点的距离是点到点距离的一半时，点移动的时间为6秒或18秒； （3）解：， ， ， （秒）， （秒）， 故点比点先到达点， 设点移动的时间为秒，则点表示的数为， 当点到达点之前时，点表示的数为，此时， ∴或， 解得或； 当点到达点之后时，点表示的数为，此时， ∴或， 解得或； 综上所述：点移动的时间为3.5秒或8.5秒或10.75秒或13.25秒． 24．已知数轴上A、B、C三个点对应的数分别为a、b、c，且满足|a+10|+|b+4|+（c﹣5）2＝0；动点P在数轴上从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动． （1）求a、b、c的值； （2）当点P到B点的距离是点A到B点距离的一半时，求P点移动的时间； （3）当点P移动到B点时，点Q从点A出发以每秒3个单位长度的速度在数轴上向C点移动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，移动到终点A．当P、Q两点之间的距离为3个单位长度时，求Q点移动的时间． 【答案】（1）；（2）或秒；（3）或或或 【分析】（1）根据非负数的性质求得的值； （2）根据题意设的移动时间为，分别求得的距离，列出方程进而求解即可 （3）根据点到达点前后进行分类讨论，进而分别得出结果． 【详解】解：（1）∵|a+10|+|b+4|+（c﹣5）2＝0； ∴ （2）设的运动时间为秒，根据题意点表示的数为，则的距离为， ，当点P到B点的距离是点A到B点距离的一半时， 解得或 点移动时间为或秒； （3）， 的速度为3个单位每秒，点的速度为1个单位每秒，设点的移动时间为， 则点表示的数为， 当点到达点之前，点表示的数为，此时 根据题意， 解得或 当点从点返回时，点表示的数为，此时 根据题意， 解得或 综上所述，的移动时间为或或或 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及利用数轴确定点的位置，利用分类讨论得出结果是解题的关键． 【类型5 线段的运动】 25．如图，在数轴上有两条线段，，其中线段的长为2个单位长度，线段的长为1个单位长度，且点表示的数是，点表示的数是15．    (1)在数轴上，点表示的数是______，点表示的数是______，线段的长为______个单位长度； (2)在数轴上，若线段以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右做匀速运动，同时线段以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左做匀速运动．当点与点重合时，点与点表示的数是多少？ (3)在数轴上，若线段以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左做匀速运动，同时线段以每秒2个单位长度的速度沿数轴也向左做匀速运动．设运动时间为秒，为线段的中点，当点在点的右侧时，则点表示的数为多少？ 【答案】(1)，14，27 (2) (3) 【分析】（1）根据数轴上两点距离公式求解即可； （2）设当点与点重合时，运动时间为秒，此时点表示的数是，点表示的数是，根据点与点重合，列方程求解，即可获得答案； （3）首先求得点在点的右侧时的取值范围，然后根据中点的定义求出点在数轴上表示的数即可． 【详解】（1）解：∵，点表示的数是， ∴点表示的数是， ∵，点表示的数是15， ∴点表示的数是14， ∴． 故答案为：，14，27； （2）设当点与点重合时，运动时间为秒， 此时点表示的数是，点表示的数是， ∵点与点重合， ∴， 解得秒， ∴此时点表示的数是， 即当点与点重合时，点与点表示的数是； （3）根据题意，运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是， 当点与点重合时，可有， 解得 秒， ∴当秒时，点在点的右侧， ∵为线段的中点， ∴点表示的数是， ∴当点在点的右侧时，则点表示的数为． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点的距离、用数轴表示有理数、一元一次方程的几何应用等知识，熟练掌握数轴上两点的距离公式是解题的关键． 26．已知关于x的多项式是二次多项式．如图1．在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a，b，．有两条动线段和（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边）．，，线段从点B开始沿数轴向左运动，同时线段从点A开始沿数轴向右运动，当点Q运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，当点P运动到点C时，线段同时停止运动，设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)直接依次写出a，b的值：__________，__________； (2)如图2，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右匀速运动，当C、Q、M中任意一点为其他两点构成线段的中点时，求时间t； (3)如图3，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右运动，当两条线段有重合部分时，线段的速度变为原来的倍，线段的速度变为原来的2倍，当重合部分消失后速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1时所对应的t的值． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】本题考查两点间距离，列代数式，一元一次方程的应用，熟练掌握线段上两点间距离的求法，能够准确表示数轴上的点是解题的关键． （1）由已知可得即可求； （2）分点Q在到达点B前或到达点B后，两种情况分别求解即可； （3）分四种情况：①当点P与点M第一次相遇后，点Q在点M右侧1个单位长度处；②当点P与点M第一次相遇后，点P在点N左侧1个单位长度处；③当点P追上点N后，点P在点N左侧1个单位长度处；④当点P追上点N后，点Q在点M右侧1个单位长度处，四种情况分别建立方程求解即可． 【详解】（1）解：关于x的多项式是二次多项式， ， ， 故答案为：，； （2）解：点Q在到达点B前： ①当点Q为中点时，， 点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边，，， 点Q表示的数为：，点M表示的数为：， ， ，即， 解得：； ②当点M为中点时，， ， ，即， 解得：（不合题意，舍去）； 点Q在到达点B时：， 点Q在到达点B后： 点Q表示的数为：，点M表示的数为：， ①当点M为中点时，， ， ，即， 解得：（舍去，不符合题意）； ②当点Q为中点时，， ， ，即， 解得：； 当点P运动到点C时，线段同时停止运动， 此时：， 综上，t的值为或； （3）解：当点Q与点M第一次重合时，则， 解得， ∴此时点Q表示的数为，点M表示的数为5， ∴点P表示的数为，点N表示的数为 当时，Q表示的数为，P表示的数为， 当时（两条线段有交点），Q表示的数是，P表示的数是， N表示的数是，M表示的数是， 当点P与点N第一次重合时，则， 解得， ∴此时点Q表示的数为，点N表示的数为； ①Q未到达B，若Q在M右边1个单位时，， 解得， ②Q未到达B，N在P右侧1个单位时，， 解得； 当点Q到达点B时，则， 解得， ∴此时点N表示的数为，点P表示的数为， 当点P追上点N时，则， 解得， ∴此时点P表示的数为； ∴当（两条线段有交点），点P表示的数为，点Q表示的数为，点N表示的数为，点M表示的数为； ③当点P在点N左侧1个单位长度时，则， 解得； ④当点Q在点M右侧1个单位长度时，则 解得； 综上所述，t的值是或或或． 27．对数轴上的点和线段，给出如下定义：点M是线段a的中点，点N是线段b的中点，称线段MN的长度为线段a与b的“中距离”．已知数轴上，线段AB＝2（点A在点B的左侧），EF＝6（点E在点F的左侧）． （1）当点A表示1时， ①若点C表示－2，点D表示－1，点H表示4，则线段AB与CD的“中距离”为3.5，线段AB与CH的“中距离”为 ； ②若线段AB与EF的“中距离”为2，则点E表示的数是 ． （2）线段AB、EF同时在数轴上运动，点A从表示1的点出发，点E从原点出发，线段AB的速度为每秒1个单位长度，线段EF的速度为每秒2个单位长度，开始时，线段AB，EF都向数轴正方向运动；当点E与点B重合时，线段EF随即向数轴负方向运动，AB仍然向数轴正方向运动．运动过程中，线段AB、EF的速度始终保持不变．设运动时间为t秒． ①当t＝2.5时，线段AB与EF的“中距离”为 ； ②当线段AB与EF的“中距离”恰好等于线段AB的长度时，求t的值． 【答案】（1）①；②或；（2）①；②或或 【分析】（1）①先在数轴上分别表示，再求解中点对应的数，再求解即可；②设的中点对应的数为 结合对应的数为： 再列绝对值方程 解方程即可得到答案； （2）①分别求解的中点运动s后对应的数，利用新定义即可得到答案；②分两种情况讨论，当时，的中点对应的数为： 的中点对应的数为： 而 当时，线段EF随即向数轴负方向运动，的中点对应的数为： 再分别列方程求解即可. 【详解】解：（1）①如图，在数轴上表示如下： 为的中点，为的中点， 对应的数为： 对应的数为 线段AB与CH的“中距离”为； ②设的中点对应的数为 对应的数为： 或 解得：或 点E在点F的左侧 对应的数为：或 （2）①如图，设运动时间为s，当点E与点B重合时， 解得： 当时，的中点对应的数为： 的中点对应的数为： 即线段AB与EF的“中距离”为 ②当时，的中点对应的数为： 的中点对应的数为： 而 当时，线段EF随即向数轴负方向运动， 的中点对应的数为： 即 或 解得：或 【点睛】本题考查的是新定义情境下的数轴上的两点之间的距离，绝对值方程的应用，一元一次方程的应用，数轴上线段的中点对应的数的理解与表示，数形结合及清晰的分类讨论是解本题的关键. 28．如图，有两条线段，AB＝2（单位长度），CD＝1（单位长度）在数轴上，点A在数轴上表示的数是﹣12，点D在数轴上表示的数是15． （1）点B在数轴上表示的数是　　，点C在数轴上表示的数是　　，线段BC的长＝　　； （2）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t秒，当0＜t＜24时，M为AC中点，N为BD中点，则线段MN的长为多少？ 【答案】（1）﹣10，14，24；（2）点B与点C在数轴上表示的数是；（3） 【分析】（1）根据AB、CD的长度结合点A、D在数轴上表示的数，即可找出点B、C在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式可求出线段BC的长度； （2）找出运动时间为t秒时，点B、C在数轴上表示的数，利用两点重合即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）找出运动时间为t秒时，点A、B、C、D在数轴上表示的数，进而即可找出点M、N在数轴上表示的数，利用两点间的距离公式可求出线段MN的长． 【详解】解：（1）∵AB=2，点A在数轴上表示的数是-12， ∴点B在数轴上表示的数是-10； ∵CD=1，点D在数轴上表示的数是15， ∴点C在数轴上表示的数是14． ∴BC=14-（-10）=24． 故答案为：-10；14；24． （2）当运动时间为t秒时，点B在数轴上表示的数为t-10，点C在数轴上表示的数为14-2t， ∵B、C重合， ∴t-10=14-2t， 解得：t=8． 此时，， 答：点B与点C在数轴上表示的数是． （3）当运动时间为t秒时，点A在数轴上表示的数为-t-12，点B在数轴上表示的数为-t-10，点C在数轴上表示的数为14-2t，点D在数轴上表示的数为15-2t， ∵0＜t＜24， ∴点C一直在点B的右侧． ∵M为AC中点，N为BD中点， ∴点M在数轴上表示的数为，点N在数轴上表示的数为， ∴MN=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了两点间的距离、解一元一次方程以及数轴，解题的关键是：（1）根据点与点之间的位置关系找出点B、C在数轴上表示的数；（2）由两点的关系列出一元一次方程；（3）根据点的运动找出运动时间为t秒时，点M、N在数轴上表示的数． 29．如图，数轴上点，对应的实数分别为和8，数轴上一条线段从点出发（刚开始点与点重合），以每秒1个单位的速度沿数轴在，之间往返运动（点到达点立刻返回），线段，设线段的运动时间为秒． (1)如图1，当时，求出点对应的有理数和点与点之间的距离； (2)如图2，当线段从点出发时，在数轴上的线段从点出发在点的右侧，刚开始点与点重合），以每秒2个单位的速度沿数轴在，之间往返运动（点到达点立刻返回），，点为线段的中点，点为线段的中点． ①当点第一次到达原点之前，若点、点到数轴原点的距离恰好相等，求的值； ②我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当，两点第一次在整点处重合时，请求出此时点对应的数． 【答案】(1)点A对应的有理数为，点与点之间的距离为10 (2)①1或；②2 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离． （1）根据起始点求出点和点对应的数，进而可得答案； （2）①分别用含的代数式表示出点和点，再分情况列方程即可； ②当时，点与点重合时不在整点处；当时，由题意得，解方程可得答案． 【详解】（1）解：点起始点在处，当时， ， 点对应的有理数为， ∵， ∴点起始点在处， 当时， ， 点对应的有理数为， 点与点之间的距离为； （2）解：①∵点起始点在处，点起始点在处，点P为中点， ∴点起始点在处， ∵运动时间为秒，线段的运动速度为1， ∴当点第一次到达原点之前， 此时点一直往右运动， 点对应的有理数为， ∵点D起始位置为8，， ∴点C起始位置为， ∵点Q为中点， ∴点起始点在6处， 当运动时间为秒时， ，线段速度为2， 此时点一直往左运动， 点对应的有理数为， 点、点到数轴原点的距离相等，， 当原点是中点时，， 解得， 当、重合时，， 解得． 综上，的值是1或； ②当时，由①可得点与点重合时不在整点处； 当时，由题意得， 解得， 此时，故点对应是有理数为． 30．如图，数轴上点M，N对应的实数分别为﹣6和8，数轴上一条线段AB从点M出发（刚开始点A与点M重合），以每秒1个单位的速度沿数轴在M，N之间往返运动（点B到达点N立刻返回），线段AB＝2，设线段AB的运动时间为t秒． (1)如图1，当t＝2时，求出点A对应的有理数和点B与点N之间的距离； (2)如图2，当线段AB从点M出发时，在数轴上的线段CD从点N出发（D在C点的右侧，刚开始点D与点N重合），以每秒2个单位的速度沿数轴在N，M之间往返运动（点C到达点M立刻返回），CD＝4，点P为线段AB的中点，点Q为线段CD的中点． ①当P点第一次到达原点O之前，若点P、点Q到数轴原点的距离恰好相等，求t的值； ②我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当P，Q两点第一次在整点处重合时，请求出此时点C对应的数． 【答案】(1)点A对应的有理数为-4，点B与点N之间的距离为10 (2)①t的值是1或；②点C对应是有理数为2 【分析】（1）根据起始点求出点A和点B对应的数，进而可得答案； （2）①分别用含t的代数式表示出点P和点Q，再分情况列方程即可； ②当0＜t≤5时，点P与点Q重合时不在整点处；当5＜t≤10时，由题意得-5+t=-4+2（t-5），解方程可得答案． 【详解】（1）解：点A起始点在-6处，当t=2时， ∵-6+1×2=-4， ∴点A对应的有理数为-4，点B起始点在-4处，当t=2时， ∵-4+1×2=-2， ∴点B对应的有理数为-2， ∴点B与点N之间的距离为10； （2）①点P起始点在-5处，当运动时间为t秒时， ∵0＜t≤5， ∴此时点P一直往右运动， ∴点P对应的有理数为-5+t， 点Q起始点在6处，当运动时间为t秒时， ∵0＜t≤5， ∴此时点Q一直往左运动， ∴点Q对应的有理数为6-2t， ∵点P、点Q到数轴原点的距离相等， ∴当原点是PQ中点时，-5+t+6-2t=0， 解得t=1， 当P、Q重合时，-5+t=6-2t， 解得t=， 综上，t的值是1或； ②当0＜t≤5时，由①可得点P与点Q重合时不在整点处； 当5＜t≤10时，由题意得-5+t=-4+2（t-5）， 解得t=9， 此时，点Q对应是有理数为4，故点C对应是有理数为2． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数轴动点压轴题02 （定值&数量关系&多动点&求时间&线段运动5类30道） 专题目录 【类型1 动点定值问题】 1 【类型2 探究数量关系】 3 【类型3 多动点问题】 6 【类型4 求时间】 9 【类型5 线段的运动】 11 【类型1 动点定值问题】 1．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想． ①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，其中表示点A和点B之间的距离．若A，B位置不确定时，则，若点A在B的右侧，即，则； ②点A向右运动m个单位长度（）后，点A表示的数为：，点A向左运动m个单位长度（）后，点A表示的数为：． 【问题情境】如图：在数轴上点A表示数，点B表示数1，点C表示数9，点A、点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（t＞0）． (1)运动t秒后，点A表示的数为 （用含t的式子表示）； (2)若t秒钟过后，点B到点A的距离与点B到点C的距离相等，求t值； (3)当点C在点B右侧时，的值是否为定值？若是定值，直接写出这个定值；若不是定值，请说明理由． 2．“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 如图，线段、都在数轴上，且（单位长度），（单位长度），点从出发沿射线方向，以6个单位长度/秒的速度运动；同时，点从出发沿射线方向，以2个单位长度/秒的速度运动，在点、运动的过程中，线段、随之运动．已知点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是16．    (1)如图，当点、分别与点、重合时，则点在数轴上表示的数是________，点在数轴上表示的数是________． (2)运动秒后． ①点在数轴上对应的数为________，点在数轴上对应的数为________．（用含的代数式表示）． ②当运动到（单位长度）时，求出此时点在数轴上表示的数． (3)若点是线段上的任意一点，在整个运动过程中，是否存在的值为定值？若存在，求出该定值以及定值所持续的时间；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知点A、B、C是数轴上三点，O为原点．点C对应的数为3，，． (1)则点A对应的数是___________、点B对应的数是___________； (2)动点P、Q分别同时从A、C出发，分别以每秒8个单位和4个单位的速度沿数轴正方向运动．M在线段上，且，N在线段上，且，设运动时间为． ①求点M、N对应的数（用含t的式子表示）； ②猜想的长度是否与t无关为定值，若为定值请求出该定值，若不为定值请说明理由； ③探究t为何值时，． 4．已知数轴上两点A，B对应的数分别是a、b，其中a、b分别为单项式的系数和次数．点P为数轴上的一动点． （1）A、B两点的距离______； （2）在数轴上是否存在点P，使？若存在，请求出点P对应的数；若不存在，请说明理由． （3）若点P以每秒1个单位的速度从点O出发向右运动，同时点A以每秒5个单位的速度向左运动，点B以每秒20个单位的速度向右运动，在运动的过程中，M．N分别是AP，OB的中点，现有以下两个判断①的值是定值；②的值是定值，其中只有一个结论正确，请判断出正确结论，并求出该定值． 5．如图，在数轴上点表示有理数，点表示有理数，已知，互为相反数，且是多项式的二次项系数． (1)求，； (2)数轴上有两个动点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度在数轴上向右匀速运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点在点处追上点，求点表示的有理数． (3)在（）的条件下，点相遇之前，是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 6．如图，已知数轴上有三个点，它们表示的数分别是，，，表示点A到点C的距离，根据阅读完成下列问题： (1)填空：_______，_______． (2)在数轴上是否存在点P，使得？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由； (3)若点A在数轴上以每秒3个单位长度向左运动，点C在数轴上以每秒1个单位长度向右运动．经过秒后，是否存在常数m，使得为定值？若存在，请求出m的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【类型2 探究数量关系】 7．如图，已知数轴上A，B两点分别表示有理数a，b，其中a，b满足． (1)若点C是的中点，数轴上点C表示有理数c，请直接写出a，b，c所表示的数； (2)若动点C从点A出发，沿着射线方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，当动点C运动多少秒时满足？ (3)小李同学在学习完中点知识后发现：点C在线段所在直线上运动，点P为的中点，点Q为的中点，的长度与的长度存在的数量关系．小李联系教材“三等分点”这一知识认为：若点C在线段所在直线上运动，点P为上靠近C点的三等分点，点Q为上靠近C点的三等分点，此时的长度与的长度也存在某种数量关系，请你帮助小李找出其存在的数量关系，并说明理由． 则，， ； 则，， ； 则，， ， 综上所述，； 8．【背景知识】数轴是初中数学学习的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律，例如：若数轴上点A，B分别对应数a，b．则A，B两点之间的距离为． 【问题情境】如图，数轴上点A，B分别对应数a，b．其中． 【综合运用】 (1)当时，线段的长度是__________； (2)若该数轴上另有一点N对应着数n． ①在（1）的条件下，若点N在点A，B之间，且满足，则数n是__________； ②当，且时，探究a与n之间的数量关系． 9．如图所示，在数轴上点表示的数分别为，，，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为 (1)则______，______，______； (2)点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点、点分别以每秒个单位长度和5单位长度的速度向右运动．请问： ①运动秒后，点与点之间的距离为多少？用含t的代数式表示 ②的值是否随着运动时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变；请求其值； (3)由第（1）小题可以发现，三条线段的长度之间满足的数量关系．若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和每秒个单位长度的速度向右运动．请问：随着运动时间的变化，三条线段的长度之间又存在怎样的数量关系，请直接写出答案． 10．在数轴上O为数轴的原点，点A、B在数轴上对应的数分别表示为a、b，且、4为最大负整数，． (1) ， ． (2)如图1，数轴上有一点M，若点M到点B的距离是点M到点A的距离的3倍，求点M在数轴上表示的数． (3)如图2，在数轴上有两个动点P、Q，点P、Q同时分别从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的运动速度为m个单位长度/秒，点Q的运动速度为n个单位长度/秒，取线段的中点为点C，在运动过程中，若线段的长度为固定的值，直接写出m与n的数量关系． 11．已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为8，点B在A点的左边，且AB＝12．若有一动点P从数轴上点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为t秒． (1)解决问题：①当t＝1秒时，写出数轴上点B，P所表示的数； ②若点P，Q分别从A，B两点同时出发，问点P运动多少秒与Q相距3个单位长度？ (2)探索问题：若M为AQ的中点，N为BP的中点．当点P在P、Q上运动过程中，探索线段MN与线段PQ的数量关系（写出过程）． 12．已知在数轴上有两点，点表示的数为，点在点的左边，且．若有一动点从数轴上点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发，以每秒个单 位长度的速度沿着数轴向右匀速运动，设运动时间为秒，解决以下问题： 写出数轴上点所表示的数； 若点分别从两点同时出发，问点运动多少秒与点相距个单位长度？ 探索问题：若为的中点，为的中点，当点在线段上运动过程中，探索线段 与线段的数量关系（写出过程）． 【类型3 多动点问题】 13．综合与探究： 【背景知识】在学习绝对值后，我们知道，表示数在数轴上的对应点与原点的距离．如图1，如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离．而，即也可理解为5、0在数轴上对应的两点之间的距离．类似的，|5－3|表示5与3之差的绝对值，也可理解为5与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离．如的几何意义是数轴上表示有理数3的点与表示数的点之间的距离，一般地，点、在数轴上分别表示数、，那么、之间的距离可表示为． 【问题解决】请根据绝对值的意义并结合数轴解答下列问题： （1）数轴上表示1和8的两点之间的距离是____；数轴上表示和的两点之间的距离是____； （2）数轴上点表示的数是2，、两点的距离为10，则点表示的数是____； （3）的几何意义是数轴上表示有理数____的点与表示的点之间的距离． 【拓展延伸】 （4）若点，，在数轴上分别表示数，，，，，．点，，同时开始在数轴上运动，若点以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设运动时间为秒钟时，点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 14．我们知道，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值，如图，点，在数轴上分别对应的数为，，则，两点间的距离表示为，根据以上内容解决问题： (1)若数轴上两点，表示的数为和，则，两点之间的距离可用含的式子表示为_____； (2)若，分别表示，点在数轴上对应的数． ①的最小值为_____； 此时的最大值为_____； ②若，求的最大值． (3)点，在数轴上对应的数为和，为原点，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（点在点，之间，点在点，之间），运动时间为，点运动到点时，点立即停止运动；点为点，之间一点，且满足，若在点，N运动过程中，点到点的距离总为一个固定的值，求的值． 15．数轴是初中数学的一个重要工具，若点、在数轴上分别表示实数、，则、两点之间的距离表示为，且； 回答下列问题： (1)①数轴上表示和2的两点和之间的距离是_____； ②在①的情况下，如果，那么为_____； (2)代数式的最小值是_____． (3)若点、、在数轴上分别表示数、、，是最大的负整数，且， ①计算、、的值． ②点、、同时开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为，点与点之间的距离表示为．请问：的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 16．点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，则在数轴上A、B两点之间的距离，如数轴上表示-3和1两点之间的距离是．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ． (2)数轴上表示和的两点之间的距离表示为 ． (3)若数轴上点A表示的数是，把点A向左移动个单位得到点C，点C表示的数是 ． (4)若数轴上两点A、B对应的数分别是、，现在点A、点B分别以个单位长度/秒和个单位长度/秒的速度同时向右运动，当点A与点B之间的距离为个单位长度时，求点A所对应的数是多少？ 17．如图，在数轴上三个点、、分别表示的数为、、，其中是最大的负整数，、满足． (1)先在数轴上画出点、、，再将数轴折叠，使点与点重合，则折叠后点与数 表示的点重合． (2)点、、开始在数轴上运动，若点以每秒1个单位长度向左运动，点和点分别以每秒2个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，若点与点之间的距离表示为，同理、分别表示与、与之间的距离．设秒后，时，求的值． (3)当时，直接写出的值是 ． 18．我们知道：如果A、B两点在数轴上对应的数分别为、，C为线段AB的中点，则点C在数轴上对应的数x可以表示为：，已知M、N两个点对应的数分别为和2． (1)如图1，两个点同时出发沿着数轴运动，点M向左运动，点N向右运动，M、N的速度分别每秒4个单位长度和2个单位长度，若t秒后它们之间的距离为15个单位长度，求t的值； (2)如图2，两个点出发沿着数轴运动，点M比点N晚出发1秒，点M向右运动，点N向左运动，M、N的速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度，求点N出发几秒后“”为MN的中点； (3)如图3，三个定点P、Q、H在数轴上对应的数分别为、8和4，M、N两个点同时出发沿着数轴运动点M向左运动，点N向右运动，速度分别每秒1个单位长度和2个单位长度．当M到达点P时返回，N到达点Q时返回，直到M、N相遇时停止运动，且M返回时速度变为每秒2个单位长度，N返回时速度变为每秒1个单位长度．在M、N出发的同时，动点K也从点P出发沿着数轴以4个单位每秒的速度向右运动，到H点时停止运动，求M、N从开始出发到M、N相遇的整个运动过程中，M、N、K其中一个点分别为另外两个点为端点的线段中点时对应的时间t（写出计算过程） 【类型4 求时间】 19．【阅读材料】 数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的思想解决一些问题．例如：数轴上表示5的点与表示2的点之间的距离为，数轴上表示5的点与表示-2的点之间的距离为． 【理解运用】 如图所示，点A，B分别表示数，7，根据阅读材料完成下列各题：    (1)线段的长是____________； (2)若在直线上存在点C，使得，则点C对应的数值是__________； (3)动点M，N分别从点A，B同时出发以每秒3个单位长度和每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点M，N重合时，求它们运动的时间是多少？ (4)在（3）的条件下，当时，求它们运动的时间是多少？ 20．如图，点O为数轴的原点，点A，B是数轴上的两点，点A表示的数为，．若点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着数轴运动，设点P和点Q运动的时间为秒．    (1)试确定点B表示的数； (2)若点P和点Q运动的时间，且点Q沿着数轴向左运动，求点P和点Q之间的距离； (3)当点P，Q之间的距离为5个单位长度，且点P在点Q的右边时，求点P，Q运动的时间t． 21．综合与实践： 如图，实数、、在数轴上表示的点分别是点A、B、C，且、、满足． (1)直接写出、、的值； (2)若点沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．试探究：的值是否随着时间的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围； (3)若点沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．是否存在某一时刻，满足点和点之间的距离是点和点之间的距离的？若存在，直接写出时间的值；若不存在，说明理由． 22．已知数轴上的、两点分别对应的数字为、，且、满足．    (1)直接写出、的值； (2)从出发，以每秒个长度的速度沿数轴正方向运动，何时，，三点中其中一个点到另外两个点的距离相等？求出相应的时间t； (3)数轴上还有一点对应的数为，若点从出发，以每秒个单位的速度向点运动，同时，从点出发，以每秒个长度的速度向正方向运动，点运动到点立即返回再沿数轴向左运动．当时，求运动的时间． 23．已知数轴上三个点对应的数分别为，且满足；动点在数轴上从出发，以每秒1个单位长度的速度向终点移动． (1)求的值； (2)当点到点的距离是点到点距离的一半时，求点移动的时间； (3)当点移动到点时，点从点出发以每秒3个单位长度的速度在数轴上向点移动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，移动到终点．当两点之间的距离为5个单位长度时，直接写出点移动的时间． 24．已知数轴上A、B、C三个点对应的数分别为a、b、c，且满足|a+10|+|b+4|+（c﹣5）2＝0；动点P在数轴上从A出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动． （1）求a、b、c的值； （2）当点P到B点的距离是点A到B点距离的一半时，求P点移动的时间； （3）当点P移动到B点时，点Q从点A出发以每秒3个单位长度的速度在数轴上向C点移动，Q点到达C点后，再立即以同样的速度返回，移动到终点A．当P、Q两点之间的距离为3个单位长度时，求Q点移动的时间． 【类型5 线段的运动】 25．如图，在数轴上有两条线段，，其中线段的长为2个单位长度，线段的长为1个单位长度，且点表示的数是，点表示的数是15．    (1)在数轴上，点表示的数是______，点表示的数是______，线段的长为______个单位长度； (2)在数轴上，若线段以每秒1个单位长度的速度沿数轴向右做匀速运动，同时线段以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左做匀速运动．当点与点重合时，点与点表示的数是多少？ (3)在数轴上，若线段以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左做匀速运动，同时线段以每秒2个单位长度的速度沿数轴也向左做匀速运动．设运动时间为秒，为线段的中点，当点在点的右侧时，则点表示的数为多少？ 26．已知关于x的多项式是二次多项式．如图1．在数轴上有A、B、C三个点，且A、B、C三点所表示的数分别是a，b，．有两条动线段和（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P在点Q的左边，点M在点N的左边）．，，线段从点B开始沿数轴向左运动，同时线段从点A开始沿数轴向右运动，当点Q运动到点B时，线段立即以相同的速度返回，当点P运动到点C时，线段同时停止运动，设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段和保持长度不变）． (1)直接依次写出a，b的值：__________，__________； (2)如图2，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左匀速运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右匀速运动，当C、Q、M中任意一点为其他两点构成线段的中点时，求时间t； (3)如图3，若线段以每秒1个单位的速度从点B开始沿数轴向左运动，同时线段以每秒3个单位的速度从点A开始沿数轴向右运动，当两条线段有重合部分时，线段的速度变为原来的倍，线段的速度变为原来的2倍，当重合部分消失后速度恢复，请直接写出当线段和重合部分长度为1时所对应的t的值． 27．对数轴上的点和线段，给出如下定义：点M是线段a的中点，点N是线段b的中点，称线段MN的长度为线段a与b的“中距离”．已知数轴上，线段AB＝2（点A在点B的左侧），EF＝6（点E在点F的左侧）． （1）当点A表示1时， ①若点C表示－2，点D表示－1，点H表示4，则线段AB与CD的“中距离”为3.5，线段AB与CH的“中距离”为 ； ②若线段AB与EF的“中距离”为2，则点E表示的数是 ． （2）线段AB、EF同时在数轴上运动，点A从表示1的点出发，点E从原点出发，线段AB的速度为每秒1个单位长度，线段EF的速度为每秒2个单位长度，开始时，线段AB，EF都向数轴正方向运动；当点E与点B重合时，线段EF随即向数轴负方向运动，AB仍然向数轴正方向运动．运动过程中，线段AB、EF的速度始终保持不变．设运动时间为t秒． ①当t＝2.5时，线段AB与EF的“中距离”为 ； ②当线段AB与EF的“中距离”恰好等于线段AB的长度时，求t的值． 28．如图，有两条线段，AB＝2（单位长度），CD＝1（单位长度）在数轴上，点A在数轴上表示的数是﹣12，点D在数轴上表示的数是15． （1）点B在数轴上表示的数是　　，点C在数轴上表示的数是　　，线段BC的长＝　　； （2）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当点B与C重合时，点B与点C在数轴上表示的数是多少？ （3）若线段AB以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t秒，当0＜t＜24时，M为AC中点，N为BD中点，则线段MN的长为多少？ 29．如图，数轴上点，对应的实数分别为和8，数轴上一条线段从点出发（刚开始点与点重合），以每秒1个单位的速度沿数轴在，之间往返运动（点到达点立刻返回），线段，设线段的运动时间为秒． (1)如图1，当时，求出点对应的有理数和点与点之间的距离； (2)如图2，当线段从点出发时，在数轴上的线段从点出发在点的右侧，刚开始点与点重合），以每秒2个单位的速度沿数轴在，之间往返运动（点到达点立刻返回），，点为线段的中点，点为线段的中点． ①当点第一次到达原点之前，若点、点到数轴原点的距离恰好相等，求的值； ②我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当，两点第一次在整点处重合时，请求出此时点对应的数． 30．如图，数轴上点M，N对应的实数分别为﹣6和8，数轴上一条线段AB从点M出发（刚开始点A与点M重合），以每秒1个单位的速度沿数轴在M，N之间往返运动（点B到达点N立刻返回），线段AB＝2，设线段AB的运动时间为t秒． (1)如图1，当t＝2时，求出点A对应的有理数和点B与点N之间的距离； (2)如图2，当线段AB从点M出发时，在数轴上的线段CD从点N出发（D在C点的右侧，刚开始点D与点N重合），以每秒2个单位的速度沿数轴在N，M之间往返运动（点C到达点M立刻返回），CD＝4，点P为线段AB的中点，点Q为线段CD的中点． ①当P点第一次到达原点O之前，若点P、点Q到数轴原点的距离恰好相等，求t的值； ②我们把数轴上的整数对应的点称为“整点”，当P，Q两点第一次在整点处重合时，请求出此时点C对应的数． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $