专题13 相似相关压轴题分类训练（折叠求值最值综合动点5类40道）2026-2027学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（新北师大版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦相似三角形核心，通过折叠、辅助线、最值、综合、动点5类40道压轴题，系统构建从图形变换到动态问题的解题逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |折叠问题|16道|矩形/三角形折叠后利用对称性质|折叠全等与相似判定结合，培养空间观念| |辅助线求解|8道|正方形中构造线段关系|通过辅助线（如垂线、平行线）构建相似模型，发展推理能力| |最值问题|8道|动点/图形运动中的线段最值|相似比转化与几何最值模型（如将军饮马）结合，强化模型意识| |综合问题|7道|多结论判断与图形性质综合|相似与四边形、三角形性质融合，提升数学思维的综合性| |动点问题|9道|双动点运动中的相似判定|动态过程中相似条件的分类讨论，培养数学眼光的敏锐性|

专题13相似相关压轴题分类训练 (折叠求值最值综合动点5类40道) 专题目录 【类型1相似相关折叠问题】 【类型2相似相关含辅助线求解】 -11 【类型3相似相关最值问题】- 26 【类型4相似相关综合问题】 -39 【类型5相似相关折叠问题】 -53 【类型1相似相关折叠问题】 1.如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别在四条边上，且AH>DH.将∠A、∠B分别沿EH、EF 折叠，折叠后点A、点B重合于点M.同样操作，将∠C∠D分别沿GF、GH折叠，折叠后点C、点D 重合于点N.若AB=12,FH=20,则AH的值为() H A.12 B.14 C.16 D.18 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质等知 识，由四边形ABCD是矩形，得∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC,AB=CD=12,AD川BC,所以 ∠AHF=∠CFH,然后通过折叠的性质可得∠AHE=∠MHE,∠BEF=∠MEF,AE=ME,AH=MH, BE=ME,BF=MF,∠CFG=∠HFG,∠DGH=∠NGH,∠CGF=∠NGF,DG=NG,CF=HF, CG=BG,DH=N,从而得出BE=DG=6,然后正明△DGH2BEF(ASA),所以DH=BF,则 DH-BH-BF-MFDH-H-BF-MF-x CF-AH-y +y=20 ，得到 ,再证明 DG DH 6xx+y=20 x=18x=2 ADGH∽aCFG,所以CF=CG,即y6,联立y=36,解得y=2或y=18,最后又AH>DH, 第1页共72页 即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键. 【详解】解：，四边形ABCD是矩形， :∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC,AB=CD=12,ADI BC, ∴.∠AHF=∠CFH, :将∠A∠B分别沿EH、EF折叠，折叠后点A、点B重合于点M, ∴.∠AHE=∠MHE,∠BEF=∠MEF,AE=ME,AH=MH,BE=ME,BF=MF, 4E-BE-14B-6. 2 ,将∠C∠D分别沿GF、GH折叠，折叠后点C、点D重合于点VN, .∠CFG=∠HFG,∠DGH=∠NGH,∠CGF=∠NGF,DG=NG,CF=HF,CG=BG,DH=NH DG-CG-CD-6, ∴.BE=DG=6, .∠DGN+∠CGN=180°， ∴.∠NGH+∠CGF=90° ,∠CFG+∠CGF=90°， ∴.∠CFG=∠BGH=∠DGH, 同理：∠BEF=∠MEF=∠AHE, ,∠AHF=∠CFH, 、.∠AHE=∠FHE=∠HFG=∠CFG. .∠DGH=∠BEF, ,△DGHH≌△BEF(ASA) .DH=BF, ∴.DH=BH=BF=MF, DH=BH=BF=MF=x,CF=AH=y, FH FN+NH=20, .x+y=20 ,∠C=∠D=90°，∠DGH=∠CFG, ∴.△DGHACFG. 第2页共72页 DG DH ∴.CF-CG' 6_x ·y6 .y=36, x+y=20 x=18x=2 联立xy=36,解得：y=2或y=18, AH DH, x=2 y=18, .AH=18, 故选：D 2.如图，四边形ABCD是一张矩形纸片.折叠该矩形纸片，使AB边落在AD边上，点B的对应点为点 F,折痕为AE,展平后连接EF:继续折叠该纸片，使FD落在FE上，点D的对应点为点H,折痕为FG, 展平后连接HG.若矩形HECG∽矩形ABCD,AD=1,则CD的长为(). F A D H B E 5-1 5+1 A.0.5 B.V3-1 C.2 D.2 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的性质、翻折的性质及相似多边形性质，熟练应用矩形和相似多边形性质是解 题关键，设CD=x,则 C=1-x,CG=x-(1-x) 根据两矩形相似求出即可. 【详解】解：在矩形ABCD中，设CD=x, 则AB=CD=x,AD=BC=1, 由翻折得AB=AF=x,∠AFE=∠B=∠BAF=90° 第3页共72页 ∴四边形ABEF是正方形， 同理，四边形DFHG是正方形， :BE=AB=x,DF=DG=1-x, CE=1-x,CG=x-(1-x)=2x-1 ·矩形HECG∽矩形ABCD EC CG 1-x2x-1 BCCD,即1 x 解得：x=5-1 2 (负值舍去)， 经检验，x=5-1 2是原方程的解， “CD=5-1 2 故选：C 3.如图，己知矩形纸片ABCD,AD=2CD=I0,点E在CD上，把纸片沿AE折叠，点D的对应点D恰 好落在BC上，则DE的长度为() D 20-10W3 A.3 c.10-55 D.2.5 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质等知识，灵活运用各知 CE CD' 识点是解答本题的关健.由勾股定理求出BD'=55得CD'=10-5V5,证明AMBD%DCE得BD=AB, CE=10V3-1 代入数值求出 ,进而可求出DE的长度。 【详解】解：，四边形ABCD是矩形， .AD=BC=10,AB=CD=5,∠B=∠C=90° 由折叠的性质知，AD'=AD=10,DE=D'E,∠AD'E=∠D=90° 第4页共72页 :BD'=Vi02-3=5V3 CD'=10-5V3 :∠AD'B+∠BAD'=90°，∠AD'B+∠CD'E=90° ∴∠BAD'=∠CD'E △ABD'aD'CE, CE CD' BD=AB CE_10-53 .555, .CE=10W3-15 :DE=5-(05-1S)=20-10N5 故选B 4.如图，在等边△ABC中，AB=5,点D,E分别是AB,AC上的点，将△ADE沿着DE折叠得到△FDE, 点F落在边BC上，若当BF:CF=1:4时，则AE的长为() 10 A.3 B.3 C.2 D.4 【答案】C 【分析】本题考查等边三角形的性质、折叠的性质与相似三角形的判定及应用，关键是通过角度关系推导 相似三角形，结合边长比例列方程求解。 【详解】解：？△ABC是等边三角形，AB=5, ∴.BC=AB=5,∠A=∠B=∠C=60°. .BF CF=1:4. 第5页共72页 .BF=1,CF=4 由折叠的性质，得AD=DF,AE=EF,∠DFE=∠A=60°， ,∠DFE=60°， ∴.∠DFB+∠EFC=180°-60°=120°. 又.∠B=60°， ∴.∠BDF+∠DFB=180°-60°=120°， ∴.∠BDF=∠EFC 又.∠B=∠C=60°， ∴.△BDF∽ACFE 设AE=x,则EF=x,EC=5-x;设AD=DF=y,则DB=5-y. BDBF_DF5-y=1=y 由相似三角形的性质，得CF=CEEF,即45-xx, 15 7 ·5-x4+x,即55-x)=x+4,解得x=2: 经检验，x=2是原分式方程的解。 7 故4E的长为2： 故选：C 5.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC上一点，AB=AD,将△ACD沿AC折叠得到△ACE,连 接BE,BE与AD相交于点F,若BD=5,CD=2,则BF的长为() E D B 21V5 A.4V5 B.5 C.11 D.25 【答案】C 【分析】连接ED交AC于点M并延长，作BN⊥ED,AH⊥BC,结合已知条件可得四边形ABNM是矩 第6页共72页 9 3V5 形，再根据等腰三角形的性质求 CH=2,可证明△BHAAHC,进而得出 H= 2,然后根据勾股 定理求出AB,再证明△CMD∽aCAB,根据相似三角形的对应边成比例求出DM,可得DE,根据勾股定 DE 答案 【详解】如图，连接ED交AC于点M并延长，作BN⊥ED的延长线于点V,作AH L BC于点H. D :△ACD沿AC折叠得到△ACE, 点D,E对称， .DE⊥AC, ∴.AB∥DE. .∠BAC=90°， .∠N=90°， ∴四边形ABNM是矩形， .AB=MN AB=AD,BD=5. H=DH-克， ..CH= ,∠BAC=90°， ∴.△BHA∽aAHC, BH AH AH HC' 第7页共72页 2 AH 即AH9, 2 解得 H-35 2, AB=A+B=70=AD=MN 2 :△ACD沿着AC折叠得到△ACE, 点D,E对称， .DE⊥AC, ∴.AB∥DE, .△CMD∽ACAB. DM CD .ABCB· DM_2 即707， 2 解得DM=V而 7 :DE=2DM=2√7 AM-VAD-DAI5/ =BN 14 ·EN=MN+ME=9i4 14, BE=VEN+BN2 7. DE Il AB ∴.△DEFP△ABF 第8页共72页 ·DM2 AB7 DE4 :.AB 7' BF=7BE- 721521W5 111 11711. 故选：C 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理，折叠的性质，作出辅 助线构造相似三角形是解题的关键. 6.如图，△ABC中，∠C=90°，D、E是AB,BC上两点，将△ABC沿DE折叠，使点B落在AC边上点 F处，并且DF IIBC,若CF=3,BC=9,则AB的长是() D 25 45 A.4 B.15 C.4 D.9 【答案】C 【分析】由折叠得到EB=EF,∠B=∠DFE,根据CE+EB=9,得到CE+EF=9,设EF=x,得到 CE=9-x,在直角三角形CEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出 EF与CE的长，由FD与BC平行，得到一对内错角相等，等量代换得到一对同位角相等，进而确定出EF 与AB平行，由平行得比例，即可求出AB的长。 【详解】解：由折叠得到EB=EF,∠B=∠DFE, 在Rt△ECF中，设EF=EB=x,得到CE=BC-EB=9-x, 根据勾股定理得： EF2=FC2+EC2x2=32+9-} ,即 解得：x=5, ∴EF=EB=5,CE=4. .FD//BC, ·.∠DFE=∠FEC, 第9页共72页 ∠FEC=∠B, .EF//AB, EF CE .AB BC, 则4B=8c.5x9、45 CE 44. 故选：C 【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），涉及的知识有：勾股定理，平行线的判定与性质，平行线分 线段成比例，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键. 7.如图是一张矩形纸片ABCD,点E为AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点本B的对应点 BF 2 AD 分别为从，B,AE与BC相交于点G,B4的延长线过点C:若GC=3,则AB的值为(） G B A 2V2 B.2.5 D.3 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换、矩形的性质、平行线分线段成比例定理，连接FG,过点G作GT⊥AD于 点7：设=x”D=y:设时-2让：CG-3,则E=DE-之，山折叠的任质可得：1=E-式。 CG GA' BF=BF=2k,∠AEF=∠GEF,由C,A,B共线，GA∥FB',得出CF=FB,推出 35k-1 ,22k2,得到y-12+322-0解得：y 或（舍去），推出 y=8k 再利用 y=4k AE=DE=4k 勾股定理求出GT,可得结论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键」 【详解】解：如图，连接FG,过点G作GT⊥AD于点T,设AB=x,AD=y, 第10页共72页 E G BF 2 .设BF=2k,CG=3k 点E为AD中点， AE=DE=。y 2 由折叠的性质可得： EA=EA=2y,BF=BF=2k,∠AEF=∠GEF' ~四边形ABCD是矩形， ∴AD∥CB,∠BCD=∠D=90°， ∴，∠AEF=∠EFG. .∠GEF=∠GFE. ∴.EG=FG=y-5k, 6M--0-5)=5-2. 1 C,A,B共线，GA∥FB, CG GA' CFFB· 张、 2 y-2k 2k .y2-12y+32k2=0 解得：y=8k或)=k(舍去)， .AE DE=4k, GT⊥AD ∴.∠GTD=∠BCD=∠D=90°， .四边形CDTG是矩形， ∴.CG=DT=3k, .ET=k, 第11页共72页 :EG=8k-5k=3k, :.AB=CD=GT=(3k)2-k2=22k AD 8k =2√2 AB 22k 故选：A 8.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6,BC=8,将△ABC沿DE折叠，使点C落在边AB上的点C处， 并且CDI‖BC,则CD的长是() D 40 50 5 A.9 B.9 C.4 D.4 【答案】A 【分析】先判定四边形C"DCE是菱形，再证明△BC"E∽aBAC,即可求解. 【详解】解：在Rt△ABC中， AC=V62+82=10 ..C'D II BC ·.∠C'DE=∠DEC=∠DEC', ∴EC'=DC, ..EC=EC', ..C'D=EC, .C'D=EC=EC=DC" ·.四边形C"DCE是菱形： ∴.CE∥AC ∴.△BC'E∽ABAC BE CE ·BCAC 第12页共72页 设CD=x, BE CE CD x ∴.810-1010 .BE= 4 又BC=x+4x=8 4 5 40 解得x= 9… 故选：A, 【点睛】本题考查了折叠问题，菱形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定：熟练掌握以上 知识是解题的关键 【类型2相似相关含辅助线求解】 9.如图，正方形ABCD中，点E为AB边的中点，连接DE交对角线AC于点M,连接CE.F为BC上一 CH 点，连接DF,DF分别交AC、CE于点N、H,且满足DF⊥CE,连接MH·则Mi为() D M H 2V26 3v13 A.13 B.13 , 3 D.4 【答案】B 【分析】过点M作MG1C 于点G,设正方形的边长为2，根据勾股定理得 E=5a 证明 0C2,CD(4,机据等面积法求出7-25。，聚帮句服定理每0m-4 a，证明 △AEM∽aCDM,△EMG∽aEDH,根据比例式求出MG、EG的长，再根据勾股定理求出MH的长，即可 求解。 第13页共72页 【详解】解：如图，过点M作MG⊥CE于点G, D M B F 设正方形的边长为2a, :四边形ABCD是正方形， .∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=BC=CD=AD=2a, :点E为AB边的中点， .'AE=BE=a, CE-BE+BC-5a ,DF⊥CE ·∠FDC+∠DCH=90°. ·∠ECB+∠DCH=90°， ∴.∠FDC=∠ECB. 又，BC=CD,∠EBC=∠FCD=90°， △EBC≌AFCD(ASA) DF=CE=5a .S.r-CF.CD-1DF-CH. 2 2 CH=CF.CD 25 DF CE-CH.DMC 5 AEl/CD, ∴.△AEM∽aCDM, 第14页共72页 EM AE I MD CD 2 EM 1 ·ED3 ,MG⊥CE,DF⊥CE, .MGII DF .△EMGAEDH, EG MG EM 1 ·EH DH ED3, ,MG= :EG=5 15, GH=2 54, ∴.MH=VMG+GH2= 2v65 150, 2 CH 5 a313 :MH 2W65 13· 15 10.如图，在正方形ABCD中，点M为正方形ABCD外部一点，连接CM、DM、AM,将aCMD沿 DM翻折至正方形ABCD所在平面内，点C的对应点E恰好落在线段AM上，连接BE,若AM=I2, CD=3V10 则AABE 的面积为() A D E B M A.810 B.9 C.90 D.10 【答案】B 第15页共72页 AC=AD2+CD2=6V5 ANDM ∠AMC=90° 【分析】先求出 ，再证 是等腰直角三角形，求出 得 MC=ME=6,然后证明△MOB△COM,求出OB= OM,进而借助勾股定理求出OM=2, 2 OB=0OE=4,AB=6,即可求解。 【详解】解：连接AC,过点D作DN⊥AM交于点N M ,四边形ABCD是正方形， CD=AD=3V10 4C=AD+CD=6 由折叠性质得，AD=CD=DN=3WO,∠EDM=∠CDM,∠EMD=∠CMD, ∴.△AED是等腰三角形， .∠ADN=∠EDN, ANDM ZNDE+ZEDM =-ZADE+-ZEDC-ZADC=4S 2 2 ∴△NDM是等腰直角三角形， .DN=NM,∠EMD=45°， .∠AMC=90°， Rt△AMC MC=AC2-AM2=6 在 中，由勾股定理得， .MC=ME=6. ∴.AE=12-EM=6, ,∠AB0=∠CM0=90°，∠AOB=∠COM, .△AOB∽△COM, 第16页共72页 AB OB 310 ∴.CMOM 6 .:OB=0 OM 2 则OC=BC-0B=3i0-COM 2 在Rt△OMC中，由勾股定理得，MC2+OM2=OC2, 解得OM=2或OM=18(舍)， OB=10 OE=EM-OM=6-2=4 :m-合m-合489a0=合×x3i0xi0=9 102 【点晴】本题考查综合性知识，关键在于“构造辅助线”，即连接AC,过点D作ON L AM交于点N. 1.如图，在正方形ABCD中，MB=4,延长BC至点B,使CE=BC,连接DE连接AE交CD于点 HM P,过点B作DE的垂线，分别交AE:CD于点H,M,垂足为C,则DG的值为() D G M F A C E 5 5 5 5 A.14 B.12 C.14 D.1 【答案】A 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， ·AB=BC=CD=AD=4,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°， ..CE=BC 2 ∴CE=2,BE=6, 在Rt△DCE中，DE=VCD2+CE=25 第17页共72页 BG⊥DE,CD⊥CE, ∴.∠BGE=∠DCE=90°， ,∠DEC=∠BEG, ∴△DCEP△BGE 需 252 6 GE' 解得：GE= 5, :DG-45 5 在R△BGE中，BG=VBE2-GE-I25 :∠DGB=∠DCE=90°，∠CDE=∠GDM, .ACDEAGDM. 45 .DG_GM,即5_=GM, CD CE 42 解得：GM=2 5 BM=BG-GM=25 在Rt△BCM中， CM=BM2-BC2=2 ∴点M是CD的中点， ,AD∥BE, △ADF∽△ECF, AD DF CE CF =2,即点F为CD的三等分点， m MF=CM-CF=2 , ,AB∥CD 第18页共72页 ,△ABH∽aFMH, 425-MH AB=BH,即2MH, FM MH 3 解得：MH=2 7 25 HM_75 DG4V514: 5 故选：A 12.如图，在正方形ABCD中，点E为正方形内部一点，连接AE、BE,将线段AE绕点A逆时针旋转90° 得到线段AF,点F落在BE的延长线上，BE的延长线交AD于点M,连接CF交BD于点N,若 FN AM:AB=1:3,则CW的值为() 4 2 3V10 25 A.5 B.2 C.10 D. 【答案】A 【分析】连接DF,过点F作FH∥AD,交BD的延长线于点⊥，先证明△AFD∽aAEB,得到 ∠ABM=∠FDM,∠AEB=∠AFD=135°，进而推出∠DFM=135°-45°=90°，利用tan/MDF=tan∠ABM AM MF 1 得到AB=DF=3,设AM=xAB=3x,MF=a,DF=3a,进而得到DM=AD-AM=2x=V0a,求 出a=10 、x,正明求出FH二5DM=5，再止明。WaCB” 得到 第19页共72页 12 4 N三以==即可 CN 【详解】解：连接DF,过点F作FH∥AD,交BD的延长线于点H, M N ,正方形ABCD」 .AB=BC=AD,ZBAM =90,ADlI BC. ∴.FH∥BC, 由旋转知，AF=AE,∠EAF=90° ∴.∠AEF=∠AFE=45°，∠BAE=∠DAF=90°-∠DAE, ∴.∠BEA=180°-∠AEF=135°， △AFD≌△AEB(SAS) :.∠ABM=∠FDM,∠AEB=∠AFD=135°， :.∠DFM=135°-45°=90°，tan∠MDF=tan∠ABM, AM MF 1 .AB DF 3' AM=x AB=3x,MF=a,DF=3a. AD=BC-4B-3x BMAB+BM10x DM=MF2+DF3=10d DM=AD-AM=2x. .VIOa=2x _V10 ∴.a 5 第20页共72页 .BF BM+MF= 6W10 ,FH∥AD, ∴.△BMD∽aBFH, BM DM 5 ∴BF=FH6, FH-SDM- 12 x 5 ,FH∥BC, .△FNH∽aCNB, 12 4 ON-BC-3x-5 故选：A 【点睛】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解 直角三角形等知识点，解题的关键是添加辅助线构造全等和相似三角形. 13.如图，四边形ABCD是正方形，点E是线段CD上一点，连接AE并延长至点F,连接AC、CF,连 接F分别交4C、CD于点G,若CB=F,Sm=30,F=10,则线段BG的长度为() G H 2 40 30 A.7 B.4 C.7 D.7 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点和准确添 加适当的辅助线是解题的关键。 过点F作FN LDC交DC于点N,由S求出N的长度，由约股定理得出CN、BN 的长度，通过假设 未知数，结合△ADEAFNE,求出正方形的边长，即可得BC的长度，再通过aBCG∽aFNG可求出NG的 第21页共72页 长度，最后计算出EG的长度 【详解】解：过点F作FN⊥DC交DC于点N,如下图所示： D N 习F G H ÷CE=CF=10S.r=30 ÷2 xCExNF=30 解得FN=6, .CN=CF2-FN-8 .EN=CE-CN=2, 令DE=x,则AD=BC=DC=x+I0, :∠ADE=∠FNE=90° ∠AED=∠FEN, ∴△ADESAFNE, DE AD .NE FN' x=x+10 .26 解得x=5 .BC=x+10=15」 令NG=y,则CG=8-y, 同理可证△BCG∽△FNG, 158-y :.6y' 16 解得y=7, 第22页共72页 :EG=EW+WG=2+16-30 77, 故选D。 14.如图，在正方形ABCD中，AE⊥FG于点H,连接BH,且BA=BH,K在CD上，∠KGF=4S°，若 HE BG=EK,则GK为() D H K B 5 2√2 v10 √2 A.4 B.5 C.5 D.2 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行 线分线段成比例等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键。 延长CB至点M,使得BM=DE,连接AM,EM,易证△AME为等腰直角三角形，所以AM∥GF, ∠AME=∠AEM=45°，再根据∠AME=∠FGK=45°，可证LEMC=∠KGC,从而GK‖ME,由平行线分 CG CK 线段成比例可得CMCE,进而设参求解可知G、K分别为CMCE中点，由中位线可得 GK-IME- -AE 2 2,即可求解. 【详解】解：如图，延长FG,AB交于点N, 第23页共72页 G 必 :AB=BH.∠BAH=∠BHA GF⊥AE,.LAHN=90° ∴.90°-∠BAH=90°-∠BHA,即∠DAE=∠BHN=∠N. ∴.BN=BH=BA=AD .△DAE≌△BNG(ASA.DE=BG 如图，延长CB至点M,使得BM=DE,连接AM,EM, ∠ABM=∠D=90°，AB=AD, ∴.△ABM≌△ADE(SAS) ∴.∠BAM=∠DAE,AM=AE :.∠BAM+∠BAE=∠DAE+∠BAE=90° ∴.△AME为等腰直角三角形. .∠AME=∠AEM=45° GF⊥AE,∴AM∥GF .∠AMB=∠HGC ∠AME=∠FGK=45°， .∴.∠EMC=∠KGC ∴.GM∥KE BG=DE=BM=EK=x,CK=y, .DE=BG,CD=CB. ∴.GC=CE=x+y ∴.CM=x+y+x+x=3x+y 第24页共72页 CG CK 由平行线分线段成比例可得CMCE, x+y=y 3x+yx+y,解得x=y ..CG=MG=2x,DE=EK=CK=x. ∴.AD=CD=3x .AE=VAD2+DE2=(3x)+x2=10x ..ME=AE2+AM2=25x .G、K分别为CM、CE中点， :.GK-ME-J5x 2 .BCI AD NB BG 1 NAAF2 .AF =2BG=2x cos∠DAE=4D=3x-3V10 AE 10x 10, ∴cos∠FAH=Al-=AH3V10 AF2x10,解得 AH=30 E=AE-AH=10x-30=2i0 5 2V1 =5 HE x2√2 一= GK 5x 5 故选：B 15.如图，在正方形ABCD中，点M为CD边上一点，CM=3DM,连接BM,延长AD,BM交于点N,点 F为BM边上一点，过点C作CE⊥CF交BN于点E,作CG⊥BW于点H,交AN于点G.若BF=4, CE=CF,则AG的长为() 第25页共72页 A G D ME D B A.4 B.5 C.6 D.3 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角函数的应用，三角形相似的判定和性 质，勾股定理，熟练掌握判定和性质，三角函数的应用是解题的关键 连接DE,证明△BCFO,DCE(SMS,得DE=BF=4,∠CED=135°，证明DE∥CG,得到 ADEM∽CHM,继而求得CH=12,BH=16,BC=2O,根据tan∠DGC=tan2BC立=DG=3,得● DG=15,解答即可. 【详解】解：连接DE, ,正方形ABCD ∴.AB=BC=CD=DA,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°， CE⊥CF. .∠BCF=90°-∠FCM=∠DCE, .CE=CF, ·.∠CFE=∠CEF=45°， .∠CFB=135°， CB=CD ∠BCF=∠DCE CF=CE △BCF≌ADCE(SAS) ∴.DE=BF=4,∠CED=135°， .∠DEF=90°， .CG⊥BN, 第26页共72页 DE∥CG. ∴.ADEMACHM, DE DM CHCM· .CM=3DM,DE=4, 14 3CH· 解得CH=12, ,CG⊥BN,∠CFE=∠CEF=45°， .∠CFE=∠FCH=45°. ∴.FH=CH=12, D N B .BH=BF+FH=16. BC=BH+CH=20 .'AD=CD=BC=20. :tan∠BCH=BH-4 CH 3, ,'正方形ABCD .DAll BC. ∴.∠DGC=∠BCH tan∠DGC=tan∠BcH=CD_4 DG 3 204 :DG 3 解得DG=15, 故AG=AD-DG=5, 故选：B 第27页共72页 16.如图，四边形ABCD为正方形，点E为边BC上靠近点B的三等分点，连接AE,DE,DE与正方形 对角线4C交于点R,连接BF与4E交于点G,若BF=,则4G的长度为() G 15V10 55V10 1513 A.3 B.11 C.42 D.11 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，设BE=a,证明aCEF∽△ADF,根据相 EF 2 似三角形的性质并结合三等分点的定义可求出ED5,过F作FH⊥BC于H,证明&EFHAEDC,根据 相似三角形的性质可求出BH一，H=,在RtBFH中，根据勾股定理得出 4 不可-气o:号仔，求-.则85：根器限定理来6-子而，长r交0的张 5 线于M,证明△B5∽△MDF,根据相似三角形的性质可求出DM= 9 20,进而求出4W=2a,证明 50-AG = △BEG∽AMAG' 根据相似三角形的性质得出？。 AG,然后解方程即可. 【详解】解：，点E为边BC上靠近点B的三等分点，设BE=a, .'BC=3BE=3a,CE=2BE =2a, ,四边形ABCD为正方形， ∴.AB=BC=AD=3a,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=90° 第28页共72页 △CEFP△ADF, EF CE 2 ∴.DFAD3, EF2 .ED5· 过F作FH⊥BC于H, D E H 则FH∥DC, .△EFH∽aEDC, EH FH EF EH FH 2 ∴.EC=DCED,即2a3a5, .EH-sa FH=5a 4 6 5, 5, 在RtABFH中，BF2=BH+FH, gj 解得a=3(负值舍去)， AB=5, AE-VAB+BE-510 3 延长BF交AD的延长线于M, -----M G E H 第29页共72页 :AD∥BC, ∴.△BEF∽△MDF, BE EF a_2 ·DMDF,即DM3 解得DM=3 0, 9 .AM AD+DM= 0, ,AD∥BC, .△BEGP△MAG, 0-AG BE_EG =3 即 AG AM AG 解得4G=50 11 故选：B 【类型3相似相关最值问题】 17.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6,AB=10,I为Rt△ABC的内心，连接M、MN,则 M+MN的最小值为 B N A 【答案】5.2 【详解】解：分别作D⊥BC,E⊥AC,垂足分别为点D、E、F,使F=I"F,交AB于点M,交IN于 点G, 第30页共72页 B M D E F⊥AB,IF=F, .M='M, ∴.M+MN=IM+MN. 当I'、M、N三点共线，IW最短 I为Rt△ABC的内心，ID⊥BC,ID⊥BC,IF⊥AB, ∴.ID=IE=IF, 设D=IE=F=r, 又：D⊥BC,IE⊥AC, ∴四边形CED是正方形， CD=IE=CE=ID=r, ,Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6, AB=10 .BD=6-r,AE=6-r, 在Rt△BID和Rt△BIF中， ∴.△BID≌△BIF(HL), .'BD=BF, 同理AE=AF, AB=AF +BF, 6-r+(8-r）=10. 解得，r=8, 又，I℉=F, ∴.'=4， 又：IF⊥AB,IN⊥AC, .∠I'=∠A, 又.∠C=90°，IN⊥AC, 第31页共72页 .BC∥IN, :D⊥BC, G⊥IN, ∴四边形CDGN为矩形， △lI'GABAC, .'GN =CD=2, III'G BAAC· 4I'G 即，108’ 1G=3.2, ∴IN=I'G+GW=5.2. ∴.M+MN的最小值为5.2. 故答案为：5.2 18.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2,点E,F分别在AB,BC边上运动，连接DF,EF, 2DM=3MF,2EN=3NF,则MW的最小值是 0 B 2525 【答案】5/5 DE'=3 【分析】连接DE,过点D作DE'1AB于点E,先解直角三角形，得到 ,再由平行线分线段成 比例得到MN /I DE证明AFN∽AFDE,求得MN=DE,当DELB时，DE有最小眉，N有 5 最小值，此时点E与E重合，即可求解 【详解】解：如图，连接DE,过点D作DE'⊥AB于点E, 第32页共72页 M F 的 在菱形ABCD中，AB=2, .AD=AB=2, 在RtADE'中，∠A=60°， ∠ADE=30° DE'=V22-12=N5, 2DM =3MF,2EN =3NF, DM 3 EN 3 MF2 NF2 .MN∥DE .△FMW∽△FDE, MN 2 .DE5, :w=号nE ∴，当DE⊥AB时，DE有最小值，MN有最小值，此时点E与E重合， :DE 的最小值为V5 2v5 :MW的最小值是S, 19.如图，矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点E,F将对角线BD三等分，点P是矩形ABCD边上的动 点.则PE+PF的最小值为 A 第33页共72页 【答案】 智分丽 【分析】由勾股定理得BD的长，分两种情况讨论，即①作F关于BC垂直对称点M并过EM交BC于点 H,当点P在BC边上时位于H点时，PE+PF=HE+HM最小，②作点F关于DC的对称点M,连接EM 交DC于点H,当点P在DC边上位于H点时，PE+PF=HE+HM最小，然后根据矩形性质、相似三角形 的性质与判定及勾股定理，即可求解。 【详解】解：，四边形ABCD是矩形， .AB=CD=3,BC=AD=4,∠C=∠ABC=90° :BD=CD2+BC2=32+42=5 BC//AD ①作点F关于BC的对称点M,连接EM交BC于点H,连接MF交BC于点O,则MF⊥BC, MF=2OF,当点P在BC边上位于H点时，此时PE+PF=HE+HM最小， W-- O:H(P) M 由图可知：HE+HF=HE+HM=EM, 过点E作EN∥AD,延长MF与EN交于点N, ∴.∠NEF=∠ADB, :∠ABC=90°， .AB⊥BC, :MF⊥BC, AB∥MN. .ABD=∠NFE, :.△ENF∽△DAB,∠ENF=∠BAD=9O°， EN EF 1 ·ADBD3' :EN =4D=4 31 3, 第34页共72页 :点E,F将对角线BD三等分， EF=38D-3 BF=E ∴.FN=√EF2-EW2=1 :BC∥AD,EN∥AD .EN∥BC, ∴、∠NEF=∠OBF,∠FNE=∠FOB. .aENF≌aBOF, ..OF=NF =1, .MF=20F=2, .MN=FN+FM=1+2=3. ∴.EM=VEW2+MW2 +3-97 , ·PE+PF=V7 3； ②作点F关于DC的对称点M,连接EM交DC于点H,FM交CD于点O,则CD⊥FM,OF=OM, 当点P在DC边上位于H点时，此时PE+PF=HE+HM最小， HOP ==-M B 由图可知：HE+HF=HE+HM=EM, 过点E作EN∥CD,MF与EN交于点N, 同①可得△ENF∽△DCB, EN=CD=1ENF=BCD-909 ∠MNE=90°， 点E,F将对角线BD三等分， EF=IBD=5 3 3, 第35页共72页 ·FN=VEF2-EN2=4 , :FM⊥CD,∠BCD=90°， :∠BCD=∠FOD=90°， .∠FDO=∠BDC ∴△FDOn△BDC. OF DF 2 ·BC=ND3, :.OF-28C=8 3 39 w=PM-PN=20F-N=2号手4， ..EM=EN2+MN2=+2=17 ∴PE+PF=7 7、7 3 V97 :PE+PF的最小值3： v97 故答案为： 3 【点睛】此题考查的是轴对称一最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，掌握 轴对称的性质及勾股定理是解决此题的关键 20.如图，△ABC是等边三角形，AB=6,AD是边BC上的高，点E在边AD上，连接BE,以BE为边在 其下方作等边△BEF,连接DF、CF,则DF的最小值为一· 【答案】2 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，准确添加辅助线，找出等量关系是解题 第36页共72页 的关键。 取AB中点为M,连接ME,证明出△MBE≌aDBF,由此可得DF=ME,故需判断ME的最小值，当 ME⊥AD时，ME最小，此时ME为△ABD中位线，可得出结果. 【详解】解：取AB中点为M,连接ME,如下图所示： M 9 ,△ABC与△BEF为等边三角形， .AB=AC=6,BE=BF,∠ABC=∠EBF=60 ,'∠ABC=∠ABE+∠EBD,∠EBF=∠EBD+∠DBF, ∴∠ABE=∠DBF, :AB=AC=6,M为AB中点，AD是边BC上的高， .BM=BD=3. 又，BE=BF, △MBE≌ADBF(SAS) ∴.DF=ME, 当ME⊥AD时，ME最小，即DF最小， ,ME⊥AD,AD⊥BC, 、.ME N BD,且M为AB中点， AM AE ·BM=DE =1,即AE=DE' ∴.ME为△ABD中位线， 、、E=BD二2、 故答案为：2 21.如图，点D在等腰直角三角形ABC内，DB=3,DC=4,∠BDC=135°，B、F分别在AB和AC上 第37页共72页 满足4F=V5A,则2DE+D 的最小值为 D V34 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定性质，勾股定理，三角形三边关系求最值，难度较大，解题的关键 在于构造相似三角形进行转化. CH⊥CD,CH=V2BDDH,FH △BEDACFH 过点C作 ,使 ，连接 ,证明 ,推出 F=2DE,则 √2DE+DF=HF+DF≥DH ,可知当点D,F,H在同一条直线时， √2DE+DF DH 取最小值，最小值为 再由勾股定理求解即可。 【详解】解：如图，过点C作CH1CD,使CH=2BDDH,FH ，使 ，连接 E D .CH⊥CD, .∠HCA+∠ACD=90°， :∠BDC=135°， .∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=45°， :△ABC是等腰直角三角形， ∠ABC+∠ACB=135° AC=2AB ,由勾股定理得 ∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB-(∠DBC+∠DCB)=135°-45°=90° .∠HCA=∠ABD, 第38页共72页 AF-AE AC=5AB .CF =2BE, CF_CH=N2,而∠HCA=LABD BE BD .△BED∽aCFH, HF_CH-2 ·DEBD HF=2DE √2DE+DF=HF+DF≥DH ∴当点D,F,H在同一条直线时，V2DE+DF取得最小值，最小值为DH, 在Rt△DCH中，CH=V2BD=32DC=4 中， DH=C+DCR-4 VDE+DF 的最小值是V34 V34 故答案为： 22.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,E为BC的中点，连接BD,若点M是线段BD上一动点， EM+ -BM 的最小值为 D M b E 8 【答案】5 第39页共72页 【分析】本题考查了与轴对称有关的最短路径问题，涉及到了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知 识，解愿关键是正确作出辅助线，找出最短路径并求解。本题应先求出号BM,再确定出最小值为GH 5 利用相似三角形的判定与性质和面积法进行求解即可. 【详解】解：在矩形ABCD中，AB=2,BC=4, :CD=AB=2.BD=V2+4=25 ,E为BC的中点， .BE=CE=2, 如图，过M点作MN⊥BC于N, △BMNP△BDC, BM MN BD DC' BM MN .252 MN=5 M, 片BM+5BM=EM+AM. 作△BCD关于BD的轴对称图形，记为△BFD,G为BF的中点，连接GE与BD交于点R, GM=EM,GE⊥BD」 ∴.GM+MN=EM+MN, 过G点作GH⊥BC于H, 则GM+MN≥GH, GE⊥BD ∴∠BRE=∠C=90°， 又：∠RBE=∠CBD, .△RBEACBD, ∴ARBE的面积aCBD的面积=(BE:BD=- S.=1BCCD=1> ×4×2=4 第40页共72页 9we写x4- 1 5 8 SABGE= 5 GH:BE=8 5, :GH=8 59 .EM+5 BM的最小值为5， 8 8 故答案为5· D G B HN E 3 23.如图，在平面直角坐标系中，一次函数'一4x+6与y轴交于点A,与x轴交于点B,点D是A40B内 任意一点，且OD=4,则D+2BD的最小值为一， D B、x 2W10 【答案】 【分析】根据一次函数解析式求出点A和点B的坐标，得到OA和OB的长度，在OB上取点M使得 OM2,构造on,从而得到MD=云BD,将求AD十2D的最小值转化为求D+MD的最小 2 2 第41页共72页 值，根据两点之间线段最短，当A,D,M三点共线时和最小，最小值为线段AM的长，利用勾股定理 计算即可. 【详解】解：在OB上取一点M,使得OM=2,连接DM,AM,如图所示： M B 、3 把x=0代入y=4+6可得：y=6, .A0,6) .0A=6, 把y=0代入y=寻+6可得：0= -x+6 4 解得：x=8, .B(8,0) .OB=8, OM 2 1 OD 4 1 0D=42,0B82 OM OD :OD OB' 又：'∠DOM=∠BOD」 .△MDAODB, MD OD 1 DBOB2· AD BD=AD+MD 根据两点之间线段最短可知，当A,D,M三点共线时，AD+MD取得最小值，最小值为线段AM的长， 第42页共72页 在R△A0M中，AM=VOA+OM2=V6+22=210 24.如图，BABCD中，AD=4,∠ADB=60°，E、F为对角线BD边上两个动点（不与点B、D重合）， 连接AE、CF.若DE:BF=2:1,则AE+2CF的最小值为 【答案】 4v7 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以点D为顶点，DB 为一边在DB的上方作∠TDE=60°，且使DT=2BC,连接AT,过点T作TH⊥AD,交AD的延长线于 点H,证明△TDE和aCBF相似得TE=2CF,则AE+2CF=AE+TE≤AT,由此得当AE+TE为最小时， AE+2CF为最小，因此当A,E,T在同一条直线上时，AE+TE为最小，最小值是线段AT的长，故得 MB+2CF的最小值是线段Ar的长，先求出∠TDH=60°，则∠D7H=30°，进而得DH=2D7=4, TH=45,AH=8,然后在 Rt△ATH 中由勾股定理求出AT即可得出答案 【详解】解：以点D为顶点，DB为一边在DB的上方作∠TDE=6O°，且使DT=2BC,连接AT,过点T 作TH⊥AD,交AD的延长线于点H,如图所示： 四边形 是平行四边形， B ABCD AD=4 .BC=AD=4,AD∥BC, ∠ADB=60°， .∠CBF=∠ADB=60° ∴.DT=2BC=8,∠TDE=∠CBF=60° 第43页共72页 DT ·BC =2 又DE:BF=2:l, DT_DE=2 BC BF .△TDE∽aCBF, TE_DE=2 ·CFBF ∴.TE=2CF .AE+2CF=AE+TE≤AT ∴.当AE+TE为最小时，AE+2CF为最小，当A,E,T在同一条直线上时，AE+TE为最小，最小值是 线段AT的长， ∴.AE+2CF的最小值是线段AT的长， :∠DAB=∠TDE=60°， .∠TDH=60°， TH⊥DH, .在RtATDH中，∠DTH=90°-∠TDH=30° :DH=)Dr=4,7H=Nm-D7=8-4=45, 2 在RtAATH中，AH=AD+DH=8, AT=VAH+IH2=82+(43=4W万， AE+2CF 4V7 的最小值是 47 故答案为： 【类型4相似相关综合问题】 25.如图，在矩形ABCD中，过点A作AE⊥BD,垂足为F,交BC于点E,CE=3BE,下列结论： ①△BEF∽△DBA;②3BF=DF； ③EF:CD=1:25.@SES=9:2 ；④ 其中正确的结论有() 第44页共72页 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】C 【分析】设BE=a,则CE=3a,BC=AD=4a,利用相似三角形△ADF∽aEBF得出线段比例关系，结合 勾股定理和面积公式逐一判断结论 【详解】解：设BE=a, .CE=3BE .BC=4a, ·四边形ABCD是矩形， ∴.AD=BC=4a,AD‖BC,∠DAB=∠ABC=∠C=90°，AB=CD. ∴.∠ADB=∠EBF, AE L BD, .∠EFB=90°=∠DAB △BEF△DBA,故①正确： :ADI/BC. ∴△ADFr△EBF, DFAD04,即pF:4BF,故②错 BF BE a .DF =4BF, ∴.BD=5BF :∠ABF=∠ABD,∠AFB=∠BDA,∠ADF=∠ADB,∠AFD=∠BAD, 、△ABF∽aDBA,△FDA∽△ADB AB BD AD BD ∴.BFAB'DFAD' AB2 BF.BD=5BF2,AD2=DF.BD=20BF2 .AD=5BF 第45页共72页 AD=4a. ·2V5BF=4a解得BF 25 50, .AB=5BF =2a ..CD=AB=2a, 在Rt△BEF中， EF CD-5 a:2a=l1:2V5,故③正确： 在Rt△ABF中， =-r-w-0-4g5。 5 a -8w号脉-x4g5x25a-c. 2 5-ax 5 -a= 5 .Snmcork=S.wco-8.mr=Ad-d=19 d 5 5 5aamr8m0:号-19：4，放6猎碳 综上所述，正确的结论有①③，共2个， 26.如图，DABCD的对角线AC,BD交于点O,AB=AC,BD=6,E,F分别为线段BO,OD上两 点，连接AE,AF,CE,BE=2,BF=4.下列说法中：①AE为∠BAC的角平分线；②AE⊥AD;③ CE=AF;④AF=3,正确的个数是() E O F A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 第46页共72页 【分折1由平行四边形的性债可得0=0-D6=3.且OM=0CAD/BC再钻合线段的和 A01E01 差可知E0=OF=1、EF=FD=2,ED=4:①易得AB2'EB2, AO EO 1 如图：过B作BG∥4E交OA延长线于G,利用平行线等分线段定理以及平行线的性质可得AG=EB2, ∠EA0=∠G,∠ABG=∠BAE,进而得到AG=AB,即∠G=∠ABG,从而得到LEA0=∠BME,即可判断@： ②利用等腰三角形三线合一的性质可得AE⊥BC,再结合AD∥BC可得AE⊥AD,即可判断②；③如图： 连接CF，,易证四边形AECF是平行四边形，利用平行四边形的性质可判断③：由EF=FD=2,ED=4、 AE⊥AD,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AF=2,即可判断④. 【详解】解：ABCD的对角线AC,BD交于点O,BD=6, :B0=0D=2BD=2X6=3,且OA=0C,4D∥BC 2 2 BE=2, ∴.E0=B0-BE=3-2=1: BF=4, .OF=BF-BO=4-3=1,FD=BD-BF=2 ∴E0=OF=1,EF=2, ·EF=FD=2,ED=4, ①：AB=AC,OA=OC,BE=2,E0=1, A0 1 EO 1 ·AB2’EB2' 如图：过B作BG∥AE交OA延长线于G, AO EO 1 ·AGEB2,∠EA0=∠G,∠ABG=∠BAE, AO AO 1 ·AGAB2,即AG=AB, ∴.∠G=∠ABG, .∠EAO=∠BAE,即AE为∠BAC的角平分线，故①正确： 第47页共72页 E O ②：AB=AC, :△ABC是等腰三角形， :AE为∠BAC的角平分线， .AE⊥BC, ,AD∥BC, ∴AE⊥AD,即②正确： ③如图：连接CF, .OA=OC,EO=OF=1. ∴四边形AECF是平行四边形， :.EC=AF,即③正确： E ④：在Rt△AED中，EF=FD=2,ED=4 :4-D=243,即0错误 综上，正确结论有①、②、③，共3个，即选项C符合题意 27.如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC,垂足为点F,连接DF,分析下列四个结论： DCr=2aF:②AB=Dr:③0F=号 BC;④S对边形Dr= =)S8r,其中正确的结论有() 第48页共72页 E B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定和 性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键.依据△AEF∽aCBF,即可得出CF=2AF,可 判断O①：过D作DM‖BE交AC于点N,证明DM垂直平分CF,从而可得出AB=CD=DF,可判断②： 依据△BAE∽△ADC,可得出 2BC-ABB BC DF=2B ，即 2 ，从而可推出 2 ,可判断③；连接 EF AF 1 CE,由△AEF∽ACBF,得出BFCF=2·设AAEF的面积为S,则△4BF的面积为2S,△CEF的面积 为2S,从而可求出△ACE的面积为3S,进而可求出△CDE的面积为3S,四边形CDEF的面积为5S,即 得出S网边形CDr= Sr,可判断@. 【详解】解：：四边形ABCD为矩形，E是AD边的中点， .AE∥BC,BC=AD=2AE, .△AEFACBF, AF AE AE 1 CFBC2AE2,即CF=2AF,故①正确： 如图，过点D作DM‖BE交AC于点N, 第49页共72页 E B M :DE∥BM, ∴.四边形DEBM为平行四边形， :BM =DE=IBC 2 ∴.BM=CM .DM II BE CN_CM-1, NF BM ∴.CW=NF :BE⊥AC, .DM⊥AC, .DM垂直平分CF, .AB=CD=DF,故②正确： :BE⊥AC,∠BAD=90°， ∴.∠ABE=∠DAC ,∠BAE=∠ADC=90°， .△BAE∽△ADC. AB AD 六AECD,即AEAD=ABCD' 28C2=1B, AB-BC 2 .AB=DF. 第50页共72页 :DF= BC,故③正确： 如图，连接CE, E D F B .'△EFACBF EF AF 1 ·BFCF2· 设△AEF的面积为S,则△ABF的面积为2S,△CEF的面积为2S, ·△4CE的面积为3S ,点E为AD中点， ∴.△CDE的面积为3S, ∴.四边形CDEF的面积为5S, .S号SM,故④精 2 综上可知正确的结论有3个， 故选C. 28.如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E,F分别是BC,CD的中点，DE,AF交于点G,AF的 为耳，连接BG:pH:给出下列结论：①4FLDE:②DG=5:③HD∥BG:④△4BG∽△D 其中正确的结论有() A D E A.①②③④ B.①④ C.②③④ D.①②③ 第51页共72页 【答案】B 【详解】解：：四边形ABCD为正方形， ∴.∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD=BC :E,F分别是BC,CD的中点， .DF-CD-C2 在△ADF和△DCE中， AD=CD ∠ADF=∠DCE DF=EC .△ADF≌△DCE(SAS). .∠DAF=∠CDE, ∠ADG+∠CDE=∠ADC=90°， ∴.∠ADG+∠DAF=90°， ∠AGD=90°， AF⊥DE,①结论正确： AD=4.DF-CD-2 AF=VAD2+DF2=V42+22=25 AD:DF--DG. :.DG=AD-DF_4x2 45 AF2√55，②结论错误： :H为AF的中点，∠ADC=90°， :.DH=HF=AF-5 ∴.∠HDF=∠HFD, ·AB∥CD .∠HFD=∠BAG, 第52页共72页 ∴.∠HDF=∠HIFD=∠BAG, :aG=a⑩-DG=4- 4v5 8V5 8V5 4G545 DF 2 5 … AB AB 45 DHHF-5· AB AG DH DF .△ABG∽△DHF,④结论正确： ∴.∠ABG=∠DHF :AB=44G=85 , AB≠AG, ∴.∠ABG≠∠AGB, .∠AGB≠∠DHF, ∴.HD与BG不平行，③结论错误，综上可知，正确的结论为：①④， 故选：B 29.如图，在ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于点E,BF⊥CD于F,DE,BF相交于点H,BF, AD G 的延长线相交于点.下列结论：① DB=2BE:②∠A=∠BHE:®MB=BM:④MB-BF=BCBE ⑤DG=HE.其中正确的有() D G E A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】C 【详解】解：DH⊥BC, 第53页共72页 ∠DEB=90°， ∠DBC=45°. .∠BDE=45°=∠DBE. ∴.BE=DE 由勾股定理得：DB2=DE2+BE2, 即DB=V2DE,故①正确： :DE⊥BC,BF⊥CD」 ∴.∠DEC=∠HFD=90° ∴.∠DHF+∠EDC=90°，∠EDC+∠C=90°， .∠DHF=∠C, ~四边形ABCD是平行四边形， AB=CD,∠A=∠C, :∠DHF=∠BHE, .∠A=∠BHE,故②正确： 在△BHE和△DCE中， ∠HBE=∠CDE BE=DE ∠BEH=∠DEC· ∴.△BHE≌△DCE(ASA) .BH DC,EH =EC, .AB=CD, .AB=BH,故③正确： ,:LBFC=∠BEH=90°，∠EBH=∠FBC, ∴.△EBH∽△FBC, 、BHBE AB BE ·BCBF,即BC=BF, 、.AB·BF=BC·BE,故④正确： ,LBEH=∠GDH=90°，∠BHE=∠GHD, ∴.△BHE∽△GHD, 第54页共72页 HE EB HE DE .HDDG,则HDDG, a b 若DG=HB=a,DE=b,则b-aa,即a2=b(b-a, 整理得a2+ab=,即心+ab+8-6 4 4 24 -b 22， a=5- -b HE-5-1DE 2,即： 2 结合题意可知，HE不一定等于2 5,-DE,故⑤不正确： 综上，正确的有①②③④，共4个， 故选：C 30.如图，在矩形ABCD中，过点D作AC的垂线交AC于点E,交AB于点F,连接BE,CF,下列结论： AD 2 ①△4EF∽△CDA:②DF平分∠AFC:③∠ACF=∠ABE:④若F是AB的中点，则CD3·其中正确 的结论有() D B A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【详解】对于结论①，四边形ABCD是矩形， AB∥CD, ∴∠ACD=∠BAC .DF⊥AC, ∴.∠AEF=∠CDA=90° 第55页共72页 :△AEF∽aCDA,故结论①符合题意： 对于结论②，若DF平分∠AFC成立，则有∠AFD=∠CFD, :AB∥CD ∴.∠AFD=∠CDF .∠CFD=LCDF. ∴.CF=CD」 而根据现有条件无法说明CF=CD,故结论②不符合题意： 对于结论③，，四边形ABCD是矩形， ∴.∠ABC=90° DF⊥AC, .∠AEF=90°， ∴.∠AEF=∠ABC :∠EAF=∠BAC, ∴.△AEF∽AABC AEAF AB AC AE AB AF AC :∠CAF=∠BAE, ∴.△AEB∽△AFC. ∠ACF=∠ABE,故结论③符合题意； 对于结论④， ~四边形ABCD是矩形， .AB∥CD .AEF△CED, EF AF DE CD :F是AB的中点， EF AF 1 DECD2· 设EF=x,则DE=2x,DF=3x 第56页共72页 在RtAAEF和Rt△DAF中， [∠AFE=∠DFA ∠ABF=∠DAF=90 ∴△AEF△DAF, AF EF DFA,即AF2=EF.DF=3x2, ..AF=3x ..CD=2V3x 在Rt△DAF中，由勾股定理，得 AD=DF2-AF2=3x)2-(3x)2=6x AD 6x CD2√3x2,故结论④不符合题意. 综上可知，符合题意的结论有①③， 31.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC与BD相交于点O,M、N分别为AC、 BD的中点，∠ACD=15°，AC=8,OD=OM.以下结论中①A、B、C、D四点共圆；②MN⊥BD: gN=2,④4B=4w5,⑥BADCC0D 正确的个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【分析】连接BM,DM,由直角三角形斜边中线的性质可得BM=DM-4C=M-CM,即可判断O, 证出MN是BD的垂直平分线，即可判断MN⊥BD,即可判断②；根据题意得到∠DCM=∠CDM=15°， 第57页共72页 ∠OM=∠DM4二30°，在R△DN中，即可判断w=专M=2,即可判斯@：根据题点证出MN是 BD的垂直平分线，然后得到△ABC为等腰直角三角形，再由勾股定理求解AB的长度，即可判断④；先证 出∠ABD=∠ACD,∠ADB=∠ODC,则△BADACOD,即可判断⑤. 【详解】解：如图所示，连接BM,DM。 ∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别为ACBD的中点， DM-DM-2AC=AM-CM, ∴，A、B、C、D四点共圆，故①正确； N是BD的中点， ∴.MN是BD的垂直平分线， .MN⊥BD.故②正确： ZACD-15,-C-C ∴.∠DCA=∠CDM=15°， ·∠DMA=30° .OD=OM. ∴.∠ODM=∠DMM=30° AC-8 DM-14 AC 2 .DM=4. 在Rt△DMN中， ∠DWM=90°，∠WDM=30° 8N三)DM=2.故③正确 在RtADNM,∠DM=30°， ∴.∠DMN=60° 第58页共72页 .∠DM0=30°， .∠OMW=30°， ,MN是BD的垂直平分线， ∴∠BMW=∠DMN=6O°， ∴.∠BM0=90° .∠BMC=180°-∠BM0=90°， BM⊥AC. .AB=BC AC=8, .BA2+BC2=AC2=64,即2BA2=64 :.AB=4V2(舍负)，故④错误： .AM=BM,∠AMB=90° ∴.∠ABM=∠BAM=45°， .∠DBM=30°. .∠ABD=15°， ∴.∠ABD=∠ACD, .∠AOB=∠DOC :∠BDC=∠BAM=45°， ,∠ADC=90°. ∴.∠ADB=45°， ·∠ADB=LODC, .△BADACOD,故⑤正确： ∴.正确的有4个， 故选：C 【类型5相似相关折叠问题】 32.如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,CE平分∠ACD,分别交AD,BD于点E, G EFIAC CD F OE ①EF=AE②∠AOE=∠AEO③2OG=AE ,交于点，连接，下列结论： 第59页共72页 ④AB-(2+)DG；其中结论正确的序号是(） E A.②③④ B.①②④ c.①③g D.①②③ 【答案】c 【详解】解：：CE平分∠ACD,EFI‖AC, D A.∴.∠FCE=∠ACE∠ACE=∠FEC .∠FCE=∠FEC, :·△CFE是等腰三角形， ..CF=EF, ~四边形ABCD是正方形， ∠DCA=∠DAC=45°，AC⊥BD,OA=OC, ∴.∠DFE=∠DCA,∠FED=∠DAC, ∠DFE=LDEF=45°， :DF DE, .DC=DA, :.CF=AE, EF=AE,故①正确： 连接FO, 第60页共72页 E ,当∠AOE=∠AEO .AO=AE=EF=CF=CO, :EF∥AC, ∴.四边形CFEO是平行四边形， ..OE=CF=AE=AO, :.△AE0为等边三角形， ∴.∠OAE=60°，与正方形性质矛盾， :,∠AOE≠∠AE0,故②错误： B G M 作CA的垂线MA和CE的延长线交于M点， ∴.BD∥AM, CO_CG=1 ..AO MG ..CG=MG. .GO为△CAM的中位线， ∴AM=2G0 :CM为∠ACD的平分线， ∴.∠DCE=∠ACM,又∠CDE=∠CAM=90°， ∴.∠CED=∠M,又LCED=∠AEM, ∴.∠AEM=∠M, 第61页共72页 ..MA=AE, ∴AE=2G0,故③正确， B D E 设G0=x, .AE EF =2G0. .EF AE=2x, AC⊥BD,AC∥EF, ∴.BD⊥EF, DF =DE, .FN=EN, DN=NE=EF =X :.DE=2x :AC∥EF, .△DFEADCA, .EF_DE ACAD· :AC=V2(2+2)x=2(2+x :.0D=0A=(V2+1x .DG=D0-0G=√2x AB=DA=DE+AE=2x+2x :AB=(2+)DG,故④正确。 第62页共72页 故正确的为①③④ 故选：C 33.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm,BC=4cm,一动点P从C出发沿若CB方向以1cmS的速度 运动，另一动点P从A出发沿者4C方向以2cm的速度运动，P、两点同时出发，运动时间为⊙，当 △PC2.，△ACB 相似时，运动时间的值为() B A.2 B.3 c.3或3.2 D.2或3.2 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形判定与性质的应用，运动时间为t,则得到CP=t,C9=8-21,当△PC2与 △ACB相似时，有∠CP2=∠B或∠CP2=∠A,列方程即可得到结论.利用分类讨论及方程的思想解决问 题是解题的关键。 【详解】解：运动时间为t,则CP=1,C0=8-2t, :∠PC0=∠ACB=90°，AC=8,BC=4, ∴.当△PCQ与△ACB相似时，有∠CPO=∠B或∠CP2=∠A, CP CO 当∠CPg=∠B时，则有CBCA· t8-21 ·48’ 解得：1=2： CP CO 当∠CPg=∠A时，则有CA=CB, t8-2t .84” 解得：t=3.2: 综上所述，当点P、Q同时运动2秒或3.2秒后，△PCQ与△ACB相似. 第63页共72页 故选：D 34.如图，点D是等腰R1△ABC斜边BC上的一个动点，以AD为边作等腰Rt△ADE,斜边AE交BC于 F,则图中相似三角形共有()对. B F D A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】D 【分析】依据等腰直角三角形的性质，∠BAC=∠ADE=90°，∠B=∠C=∠E=∠DAE=45°，再根据“有两组角 对应相等的两个三角形相似”，即可找到相似三角形. 【详解】，△ABC和△ADE是等腰直角三角形 ∴.∠BAC=∠ADE=90°，∠B=∠C=∠E=∠DAE=45 则△ABC一△DAE 又，∠AFB=∠DFE,∠B=∠E=45° ∴.△ABF-△DEF :∠ADF=∠ADB,∠B=∠DAE=45° ∴.△ABD△FAD 同理，得△FCA一△FAD ∴.△ABD-△FCA 综上所述，图中相似三角形共有5对， 故选D 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定以及等腰直角三角形的性质的运用，关键是掌握有两组角对应 相等的两个三角形相似 35.在正方形ABCD中，E,F为AD,CD上的动点（不与顶点重合），且AE=CF,连结BE,作 FG⊥BE,分别交射线BA,线段BE于点G,H.在点E,F运动的过程中，下列线段比值不变的是 (). 第64页共72页 E D G H GH AE EH DE A.EH B.BG C.FH D.GH 【答案】B 【分析】过点F作FMBC交BA于点M,交BE于点N,利用正方形性质以及AE=CF证明 AE △MBE≌aMFG(ASA),得到EA=MG,BE=FG,BG为定值；再结合FG⊥BE,通过相似证明 GH BG BH △GHB∽AEAB,推出AEBE=AB,设AB=BC=AD=CD=a,AE=x,BG=2x,从而得到其余选项比 值随E、F移动改变」 【详解】解：过点F作FM IBC交BA于点M,交BE于点N, E D 则四边形BCFM为矩形， ∴.BC=FM,CF=BM,∠FMG=∠BAE=90°， 又∠BHF=∠FMB=90°，∠BNM=∠FNH, ,:∠GFM=∠ABE 又四边形ABCD是正方形， ∴.FM=BC=AB △ABE≌AMFG(ASA) .'AE=MG,BE=FG. 第65页共72页 .BG=MG+BM=AE+CF=2AE. AE ∴在点E,F运动的过程中，BG为定值，为2，B正确： 又∠BAE=∠GHB=90°，∠ABE=LGBH, ·△GHBO△EAB. GH BG BH AE BE AB· AB=BC=AD=CD=a,AE=x,BG=2x. 2ax 则DE=AD-AE=a-x,FG=B=后+R, GH=AE-BG 2x BH=AB-BG BE va+x2, BE Va+x2, EH=BE-BH=a+x2axd+x-2ax (a-x) va+x va+x2 va+x2, FH-FG-GH-V@+x2x-+x-2x_(a-x)(a+x) a2+x2 va2+x2 va+x2, GH 2x2 EH(a-x不是定值，A错误： EH (a-x)2 a-x FH(a-x)(a+x)a+x不是定值，C错误； ED (a-x)va2+x2 GH 2x2 不是定值，D错误， 36.如图，在等腰Rt△ABC中，直角边AB=AC=I,D为BC的中点，E为AB边上的动点，DF⊥DE交 AC于点F,M为EF的中点，当点E从点B运动到点A时，点M所经过的路线长为() M B D 第66页共72页 1冷 2 B.2 C.2 D.2 【答案】B 【分析】如图所示，连接D,AM,MD,勾股定理求出BC=VAB+AC=V ,然后由M为EF的中 点得到AM=DM,得到点M在线段AD的垂直平分线上，交AB于点G,交AC于点H,即AD⊥GH交 于点O,GH为点M所经过的路线长，然后利用平行线分线段成比例得到GH为△ABC的中位线，进而求 解即可 【详解】解：如图所示，连接AD,AM,MD A E B D ,在等腰Rt△ABC中，直角边AB=AC=1, .∠BAC=90° BC=AB2+AC2=2 :DF⊥DE交AC于点F,M为EF的中点， .AM-E DM-EF .AM=DM ∴点M在线段AD的垂直平分线上，交AB于点G,交AC于点H,即AD⊥GH交于点O, :.GH为点M所经过的路线长 ∴.0A=D0 D为BC的中点 ∴.AD⊥BC GH∥BC AG AO AH ∴GBOD CH =1 :.GH为△ABC的中位线 第67页共72页 GH=IBC-2 2 2 ② “点M所经过的路线长为2 故选：B 【点睛】此题考查了勾股定理，平行线分线段成比例，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线的性质 等知识，解题的关键是掌握以上知识点. 37.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm,D为BC的中点，若动点E以1cms的 速度从A点出发，沿AB向B点运动，设E点的运动时间为秒，连接DE,当以B、D、E为顶点的三角 形与△ABC相似时，t的值为() A D B A.2或3.4 B.3.5或3.2 C.2或3.5 D.3.2或3 【答案】C 【分析】此题考查了含30°角的直角三角形的性质.此题属于动点问题，难度适中，注意掌握分类讨论思 想与数形结合思想的应用 由Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm,可求得AB的长，由D为BC的中点，可求得 BD的长，然后分别从若∠DEB=90°与若∠EDB=90°时，去分析求解即可求得答案. 【详解】解：：Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm, ∴.AB=2BC=4(cm), :BC=2cm,D为BC的中点，动点E以lcms的速度从A点出发， BD-BC=1(cm).BE=4B-AE=4-1(cm): 若∠BED=90°， :∠ABC=60°， ∴.∠BDE=30° 第68页共72页 .BE= BD=(cm) 2 23.5 .AE=AB-BE=4-1- .t=3.5 若∠BDE=90°时， :∠ABC=60°， .∠BED=30°， ∴.BE=2BD=2(cm). ∴.AE=AB-BE=4-2=2 t=2, 综上可得：t的值为2或35. 故选：C 38.如图，在正方形ABCD的AB边上有一动点P,连接CP,将△CBP沿直线CP翻折到正方形ABCD所 在平面内，得到△CEP,连接DE,过点D作DF⊥CP于点F,连接EF.若正方形ABCD的边长为3， 且AP=2,则△DEF的面积为() D B 27 27 27V10 27V10 A.10 B.5 C.10 D.5 【答案】A 【分析】利用相似三角形求出CF和DF,由折叠对称性确定E到CP的垂足H的位置，发现EH∥DF,将 E到DF的距离转化为线段HF的长，通过线段减法直接求出高. 【详解】解：正方形ABCD的边长为3，AP=2,PB=1, .BC=3,∠B=90° 在Rt△CPB中，CP=VCB2+PB2=+i=I0 第69页共72页 将△CBP沿CP折叠得到△CEP, ∴.E为B关于CP的对称点， 连接BE交CP于H,由轴对称图形的性质可知EH⊥CP于H, D H B 在Rt△CPB中，BH⊥CP ∴.∠BCP=∠PCB,∠PBC=∠BIHC=90° ∴.△CBHACPB, CH CB CB CP, CH=CB-9-910 CP√1010， DF⊥CP于F, ∴.∠DFC=90°. :正方形中∠BCD=90° ∴.∠DCF+∠BCP=90° 又在Rt△CPB中∠CPB+∠BCP=90°， ∴.∠DCF=∠CPB 又：∠DFC=∠CBP=90° ∴.△DCFACPB, DC CF DF .CP PB CB, 3 CF DF 即0=1=3， 19.DF 解得CF=3 10 EH⊥CP,DF⊥CP, ∴.EH∥DF, 第70页共72页 ∴·点E到直线DF的距离等于H到直线DF的距离， H在CP上，DF⊥CP于F, ∴.H到直线DF的距离为HF, 又cpi0<910CHB在c:之间 1010 HF-CH-CF=9/10_310_61030 101010 5 8 o-xDFxMF-号×io4302 Γ210510 39.在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6cm,BC=8cm,动点P从点A沿线段AB向点B移动从点B沿 线段BC向点C移动，两点同时开始移动，点P的速度为lcm/s,点Q的速度为2cms.当Q到达点C时两 点同时停止运动.若此过程中有P9/AC.则当P吧/AC时运动的时间是() B C A.2s B.2.4s C.3s D.1s或3s 【答案】B 【分析】利用平行线分线段成比例定理，代值构建方程求解即可得到结论， 【详解】解：设运动时间为秒， PQ∥AC, BP BO BABC· AP=tcm BO=2tcm AB=6cm BC=8cm .6-t_21 6=8,解得1=2.4： 故选：B 【点晴】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理列出线段比例. 40.如图，在△ABC中，AB=8cm,BC=16cm,动点P从点A出发沿AB边运动，速度为2cms,动点O 第71页共72页 从点B开始沿BC边运动，速度为4ms；,如果P,Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也 随之停止运动，那么经过 秒时，以点，B,P为顶点的三角形与△ABC相似. 【答案】2或0.8 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似.利用时 间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键，分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程 求解即可， 【详解】解：设经过t秒时，以△OBP与△MBC相似， BP=(8-2t)cm BO=4tcm ,∠PBO=∠ABC 、BP_B≌ 8-2141 当BABC时，△BPQ∽aBAC,即8=16： 解得：1=2s, BP BO 8-2t41 当BC=BA时，△BPQ∽aBCA,即16=8： 解得：1=0.8s, 即经过2秒或0.8秒时，△QBP与△ABC相似. 故答案为：2或0.8 第72页共72页 专题13 相似相关压轴题分类训练 （折叠求值最值综合动点5类40道） 专题目录 【类型1 相似相关折叠问题】 1 【类型2 相似相关含辅助线求解】 3 【类型3 相似相关最值问题】 6 【类型4 相似相关综合问题】 8 【类型5 相似相关折叠问题】 10 【类型1 相似相关折叠问题】 1．如图，在矩形中，点分别在四条边上，且．将分别沿折叠，折叠后点、点重合于点．同样操作，将分别沿折叠，折叠后点、点重合于点．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点B的对应点为点F，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点D的对应点为点H，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 3．如图，已知矩形纸片，，点E在上，把纸片沿折叠，点D的对应点恰好落在上，则的长度为（   ） A．3 B． C． D．2．5 4．如图，在等边中，，点分别是上的点，将沿着折叠得到，点落在边上，若当时，则的长为（   ） A．3 B． C． D．4 5．如图，在中，，D是上一点，，将沿折叠得到，连接，与相交于点F，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 6．如图，中，，、是，上两点，将沿折叠，使点落在边上点处，并且，若，，则的长是（    ） A． B．15 C． D．9 7．如图是一张矩形纸片，点为中点，点在上，把该纸片沿折叠，点的对应点分别为，与相交于点，的延长线过点．若，则的值为（　　） A． B．2.5 C． D．3 8．如图，在中，，，，将沿折叠，使点落在边上的点处，并且，则的长是（    ） A． B． C． D． 【类型2 相似相关含辅助线求解】 9．如图，正方形中，点为边的中点，连接交对角线于点，连接．为上一点，连接，分别交、于点、，且满足．连接．则为（     ） A． B． C． D． 10．如图，在正方形中，点M为正方形外部一点，连接、、，将沿翻折至正方形所在平面内，点C的对应点E恰好落在线段上，连接，若，，则的面积为（     ） A． B．9 C． D．10 11．如图，在正方形中，，延长至点E，使，连接．连接交于点F，过点B作的垂线，分别交，于点H，M，垂足为G，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．如图，在正方形中，点E为正方形内部一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，点F落在的延长线上，的延长线交于点M，连接交于点N，若，则的值为（　　） A． B． C． D． 13．如图，四边形是正方形，点是线段上一点，连接并延长至点，连接、，连接分别交、于点，若，，，则线段的长度为（    ） A． B．4 C． D． 14．如图，在正方形中，于点，连接，且在上，，若，则为（　　）    A． B． C． D． 15．如图，在正方形中，点M为边上一点，，连接，延长交于点N，点F为边上一点，过点C作交于点E，作于点H，交于点G．若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．3 16．如图，四边形为正方形，点E为边上靠近点B的三等分点，连接，，与正方形对角线交于点F，连接与交于点G，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【类型3 相似相关最值问题】 17．如图，中，，，，I为的内心，连接、，则的最小值为 ________． 18．如图，在菱形中，，，点E，F分别在，边上运动，连接，，，，则的最小值是____________． 19．如图，矩形中，，，点，将对角线三等分，点是矩形边上的动点．则的最小值为____________． 20．如图，是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，以为边在其下方作等边，连接、，则的最小值为_____． 21．如图，点D在等腰直角三角形内，，，，E、F分别在和上满足，则的最小值为______． 22．如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，若点M是线段上一动点，则的最小值为______． 23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与y轴交于点，与轴交于点，点是内任意一点，且，则的最小值为____． 24．如图，中，，，、为对角线边上两个动点（不与点、重合），连接、．若，则的最小值为______________． 【类型4 相似相关综合问题】 25．如图，在矩形中，过点作，垂足为，交于点，，下列结论： ①；②； ③；④， 其中正确的结论有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 26．如图，的对角线，交于点，，，，分别为线段，上两点，连接，，，，．下列说法中：①为的角平分线；②；③；④，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 27．如图，在矩形中，E是边的中点，，垂足为点F，连接，分析下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．如图，在边长为4的正方形中，点E，F分别是，的中点，，交于点G，的中点为H，连接，．给出下列结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（   ） A．①②③④ B．①④ C．②③④ D．①②③ 29．如图，在中，，于点，于，，相交于点，，的延长线相交于点．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 30．如图，在矩形中，过点D作的垂线交于点E，交于点F，连接，，下列结论：①；②平分；③；④若F是的中点，则．其中正确的结论有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 31．如图，在四边形中，，对角线与相交于点，、分别为、的中点，，，．以下结论中①、、、四点共圆；②；③；④；⑤，正确的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【类型5 相似相关折叠问题】 32．如图，在正方形中，对角线，交于点，平分，分别交，于点，，，交于点，连接，下列结论：；；；；其中结论正确的序号是（ ） A． B． C． D． 33．如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着方向以的速度运动，、两点同时出发，运动时间为；当与相似时，运动时间的值为（    ） A． B． C．或 D．或 34．如图，点D是等腰斜边BC上的一个动点，以AD为边作等腰，斜边AE交BC于F，则图中相似三角形共有（    ）对． A．2 B．3 C．4 D．5 35．在正方形中，，为，上的动点（不与顶点重合），且，连结，作，分别交射线，线段于点，．在点，运动的过程中，下列线段比值不变的是（   ）． A． B． C． D． 36．如图，在等腰中，直角边，D为的中点，E为边上的动点，交于点F，M为的中点，当点E从点B运动到点A时，点M所经过的路线长为（   ） A． B． C． D． 37．如图，中，，，，为的中点，若动点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，设点的运动时间为秒，连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（   ） A．2或3.4 B．或 C．2或 D．或3 38．如图，在正方形的边上有一动点，连接，将沿直线翻折到正方形所在平面内，得到，连接，过点作于点，连接．若正方形的边长为3，且，则的面积为（     ） A． B． C． D． 39．在中，，，，动点从点沿线段向点移动从点沿线段向点移动，两点同时开始移动，点的速度为cm/s，点的速度为cm/s．当到达点时两点同时停止运动．若此过程中有．则当时运动的时间是（　　） A．2s B．2.4s C．3s D．1s或3s 40．如图，在中，，，动点从点出发沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为；．如果，两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，那么经过_______秒时，以点，，为顶点的三角形与相似． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $