专题02 特殊平行四边形相关动点问题分类训练（5种类型30道）2026-2027学年九年级数学上册期末复习高频考题专项训练（北师大版，重庆专用）

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形动点问题，分5类系统训练，以题载法构建从性质应用到综合探究的逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |动点定值问题|6题|探究线段和/角度等不变量|正方形/矩形性质→构造全等/对称→证明定值| |动点存在性问题|6题|判断特殊图形/角度存在性|方程思想→几何性质建立等量关系→求解验证| |动点数量关系|6题|探究线段间和差/比例关系|旋转/翻折变换→全等/相似推理→提炼数量规律| |动点最值问题|6题|求线段/面积最小值|对称/轨迹思想→转化为定点距离问题→应用几何性质| |面积相关动点问题|6题|面积计算与动态变化|图形分割→面积公式→函数关系或定值分析|

专题02 特殊平行四边形相关动点问题分类训练 （5种类型30道） 专题目录 【类型1 动点定值问题】 1 【类型2 动点存在性问题】 3 【类型3 动点探究数量关系】 6 【类型4 动点最值问题】 9 【类型5 面积相关动点问题】 12 【类型1 动点定值问题】 1．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形（提示：可过E点向CD、BC作垂线）； （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； （3）若F点恰为BC中点，求CG的长度． 2．【问题情境】 在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形，直线经过点A，并绕点A旋转，作点关于直线的对称点，直线交直线于点F，连接、． 【操作发现】 （1）如图1，若，则________，________． 【拓展应用】 （2）如图2，当直线在正方形的外部时 ①判断的度数是否为一个定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． ②求证：． 3．如图，过点的直线交正方形的边于点（不与点，点重合），点是点关于直线的对称点，连接并延长交的延长线于． (1)求证：． (2)若点为中点，求的度数． (3)设，，若正方形的边长确定，当直线的位置变化时，试探究代数式的值为定值． 4．数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． 【问题情境】数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动，已知矩形纸片宽．（每个小组的矩形纸片规格相同） 【动手实践】 (1)如图1，A小组将矩形纸片折叠，点落在边上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形．试判断四边形的形状，并加以证明； (2)如图2，B小组将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次过点折叠使点落在折痕上的点处，得到折痕，连结，展平后得到四边形，请求出四边形的面积； 【深度探究】 (3)如图3，C小组将图1中的四边形剪去，然后在边，上取点，，将四边形沿折叠，使点的对应点始终落在边上（点不与点，重合），点落在点处，与交于点． 探究：当在上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由，如不变，请求出该定值． 5．如图1，正方形的边长为．、F分别为边、上的动点，的周长为，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点A作，垂足为．求的最小值． 6．如图，在矩形中，，，点是边上一点，过点作于点，交于点，连接，．    (1)如图，当四边形为菱形时，求长； (2)如图， ①判断四边形的面积是否为定值，若是，写出说理过程，并求出该定值；若不是，请说明理由； ②试用几何推理说明四边形周长有最小值，并求出最小值． 【类型2 动点存在性问题】 7．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动；同时点从点出发，以每秒3个单位的速度向点运动．规定其中一个动点达到端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段的长； (2)若四边形为矩形，求的值； (3)是否存在某个时刻，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 8．如图，四边形中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点，连接交于点，连接，设运动时间为秒． (1)连接，，当为何值时，四边形为平行四边形； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使得平分，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (4)将沿翻折，得到在运动过程中，是否存在某时刻，使四边形为菱形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，等腰梯形中，，，，，动点从点出发沿方向向终点运动，动点同时以相同速度从点出发沿方向向终点运动． (1)求的长； (2)探究：在边上是否存在点使得四边形是菱形？若存在，请找出点；不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，求：线段的中点运动的路程． 10．如图1，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，将沿翻折，点A落在点E处，直线与直线交于点F． (1)当点E落在边上时，求的长度； (2)如图2，在四边形中，G、H、I、J分别是边的中点，求证：四边形是一个矩形； (3)点P在边上运动过程中，是否存在线段与线段相等的情况？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由． 11．在矩形中，，，点E为上的动点（不与B，C重合），连接，将沿翻折得，点B对应点F． (1)如图1，若E为中点，求证：； (2)如图2，是否存在点F在矩形内，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求的长；若不存在，说明理由； (3)如图3，在上取点G（不与A，D重合），将四边形沿翻折，使得点B的对应点F落在上，当点是的三等分点时，求此时线段的长． 12．在矩形中，，，点是线段上的一个动点，连接并延长交射线于点．将沿直线翻折得到，延长与射线交于点． (1)【问题探究】如图1，求证：； (2)【拓展延伸】如图2，当时，求的长； (3)【发散思维】连接，在点的运动过程中，是否存在以为腰的等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出的长． 【类型3 动点探究数量关系】 13．小丽同学在学习了特殊平行四边形后，对菱形进行了深入探究．如图1，在菱形中，连接对角线，在对角线上取动点，在射线上取动点，连接，，，且使． (1)【初步探究】小丽同学发现：如图2，当，且为对角线的中点时，线段与线段之间存在一定的数量关系，请直接写出此时线段与线段之间的数量关系； (2)【再次探究】小丽同学又发现：如图3，当，且为对角线上任意一点时，线段与线段之间仍存在一定的数量关系，请写出这个数量关系，并帮助小丽同学给予证明； (3)【深入探究】小丽同学进一步发现：在图1中，当，且为对角线上任意一点时，线段与线段之间还存在一定的数量关系，请帮助小丽同学直接写出这个数量关系． 14．（1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且 ，将绕点逆时针旋转，得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为___________； （2）如图②正方形，，猜想，，的数量关系，并证明你的结论． （3）如图③，在菱形中，，点，分别是边，上的动点(不与端点重合)，且，连接分别与边，交于，． 当 时，直接写出，，之间的数量关系 ． 15．我校数学拓展学习小组倡导“刷题不如回头看”，立足旧题归纳总结、反思精进，优化解法、多题归一，做到举一反三、推陈出新． 【问题提出】M是正方形边上的一个动点（不与A，B重合），，且交正方形外角的平分线于点N，探究与的数量关系． 【问题猜想】 (1) ；（填“>”，“<”或者“=”） 【问题探究】 (2)如图1，当M是上的中点时，探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当M为延长线上的任意一点时，探究与的数量关系，并说明理由． 16．综合与实践 (1)【问题发现】 在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接通过观察图形，直接写出与的数量关系：_________． (2)【类比探究】 兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接请判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长． 17．【教材呈现】下面是湘教版八年级下册教材中的部分内容： 如图1，在正方形中，点是对角线上的动点（与点，不重合），连接．将射线绕点顺时针旋转，交直线于点． (1)小华通过观察、实验，发现线段，，存在以下数量关系：． 小华想证明这个发现成立，于是与同学们进行了交流讨论，得到以下思路： 将线段绕点逆时针旋转，得到线段，如图2，要证，，之间的数量关系，只需证，，满足对应的数量关系即可． 请根据上述思路证明． (2)【类比探究】如图3，点是等边三角形的边上任意一点，连接．将线段绕点逆时针旋转，得线段，连接．请探究线段，，之间的数量关系并予以证明； (3)【拓展探究】如图4，菱形中，，点在菱形内部，连接，将射线绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，延长交于点，连接．请写出、、之间的数量关系，并予以证明． 18．综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，正方形中，点在上，，交直线于点．试猜想线段与的数量关系． (1)【建立模型】 同学们发现，过点分别作，，垂足为，，可以由平分，用角平分线的性质定理辅助解决这个问题．请在图1中补全图形，解答上述问题． (2)【模型应用】 小敏受此问题启发，并提出新的问题：如图2，延长交直线于点，请你判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)【模型迁移】 小睿深入思考小敏提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图2，在（2）的条件下，当为直线上一动点，猜想线段，，之间的数量关系并直接写出结论． 【类型4 动点最值问题】 19．（1）如图1，正方形中，E、F分别是、上的动点，且，与交于点G，直接写出与的关系： （不要求证明） （2）利用上述结论解决以下问题： 【问题1】 在（1）的条件下，在上截取的平分线交于点N，连接，如图2，求证：． 【问题2：延伸】 ①如图3，已知正方形的边长为2，点E，F分别是边，上的两个动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． ②如图4，在正方形中，M为上一点，且，E、F分别为、上的动点，且，若，求的最小值． 20．如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，，连接． (1)如图1，连接．若，，，求的面积； (2)如图2，若点为线段的中点，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 21．在正方形中，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，为点关于直线的对称点． (1)如图，连接，作射线交射线于点． ①若，求的大小（用含的式子表示）； ②判断线段，和之间的数量关系，并证明你的结论； (2)已知，连接，若，，是正方形的对角线上的两个动点，且，连接，，直接写出的最小值． 22．【问题情境】： （1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，求证： 【类比探究】： （2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、请判断线段与有怎样的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，直接写出的最小值． 23．如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点． (1)如图①，过点作交边于点．当点在边上时，猜想与的数量关系__________，证明你的猜想； (2)如图②，在（1）的条件下，过点作，垂足为点，在点的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值：若变化，试说明理由． (3)如图③，若点是射线上的一个动点，且始终满足，设，请直接写出的最小值． 24．如图，在菱形中，，点E、F、G分别在边、上，，平分，点H是线段上一动点（与点A不重合）． (1)求证：； (2)当，时，求周长的最小值． 【类型5 面积相关动点问题】 25．【问题发现】 （1）若四边形是菱形，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与有怎样的数量关系？并说明理由； 【类比探究】 （2）若四边形是正方形，点P是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰，其中，，如图2.当点P在对角线上，点E恰好在边所在直线上时，则与之间的数量关系？并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，如图3，在正方形中，，当P是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积． 26．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点为轴正半轴上一动点，点的横坐标记作，过点作交的延长线于，交轴于点． (1)判断四边形的形状为______________，并说明理由； (2)若四边形是菱形时，求的值； (3)连接，若的面积是面积的倍，求的值． 27．操作与探究 【初步尝试】 (1)如图1，四边形是正方形，点是对角线上一动点，求证：． 【深入探究】 (2)如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，过点分别作，，垂足分别为点，，试探究：当点运动到什么位置时，四边形为正方形？请直接写出的位置，并证明你的结论． 【拓展应用】 (3)如图3，延长，交于点，与交于点，为的中点，连接，试判断的形状．当时，写出的面积与的数量关系（无需证明，直接写出结果即可）． 28．如图1，在边长为8的正方形中，点，，分别是，，上的动点，将和分别沿和所在的直线折叠，点，的对应点分别为，．小聪进行了以下探究： (1)如图2，当点与点重合，点和恰好都落在对角线上． ①求的长． ②求四边形的面积与四边形的面积之比． (2)如图3，若点为的中点，点恰好落在上，且，求的长． 29．已知正方形的边长为6，点E为上一点，连接． (1)如图1，过点B作于点H，交于点G，连接，，若点E为中点，求四边形的面积； (2)如图2，点F，R分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，连接，若，求线段的长； (3)如图3，点Q是边上的一个动点，，过点Q作于点P，连接，试求线段的最小值，且直接写出此时四边形的面积． 30．正方形ABCD的边长为6，点E是BC边上一动点，点F是CD边上一动点，过点E作AF的平行线，过点F作AE的平行线，两条线交于点G． (1)如图1，若BE＝DF，求证：四边形AEGF是菱形； (2)如图2，在（1）小题条件下，若∠EAF＝45°，求线段DF的长； (3)如图3，若点F运动到DF＝2的位置，且∠EAF依然保持为45°，求四边形AEGF的面积． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 特殊平行四边形相关动点问题分类训练 （5种类型30道） 专题目录 【类型1 动点定值问题】 1 【类型2 动点存在性问题】 16 【类型3 动点探究数量关系】 31 【类型4 动点最值问题】 53 【类型5 面积相关动点问题】 72 【类型1 动点定值问题】 1．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形（提示：可过E点向CD、BC作垂线）； （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； （3）若F点恰为BC中点，求CG的长度． 【答案】 （1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， ∴∠MEN=90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM=EN， ∵∠DEF=90°， ∴∠DEN=∠MEF， ∵∠DNE=∠FME=90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF=DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； （2）CE+CG的值是定值，定值为4；（3）CG=． 【分析】（1）作出辅助线，得到EN=EM，然后判断∠DEN=∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE=EF即可； （2）同（1）的方法判断出△ADE≌△CDG得到CG=AE，即：CE+CG=CE+AE=AC=4． （3）连接DF，过点G作GM⊥BH于点M，利用勾股定理求得DF和FG的长，继而求得CM和CG的长度． 【详解】解：（1）略 （2）CE+CG的值是定值，定值为4，理由如下： ∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE=DG，AD=DC， ∵∠CDG+∠CDE=∠ADE+∠CDE=90°， ∴∠CDG=∠ADE， 在△ADE和△CDG中，， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE=CG， ∴CE+CG=CE+AE=AC=AB=4是定值． （2）连接DF，过点G作GM⊥BH于点M， ∵F为BC的中点， ∴CF=BC=2， ∴DF=， ∵,且DG=FG， ∴FG=， ∵△ADE≌△CDG， ∴∠DAE=∠DCG=45°， ∴∠GCM=45°， ∵，CM=GM， 即， 解得：CM=1， ∴CG=． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等． 2．【问题情境】 在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形，直线经过点A，并绕点A旋转，作点关于直线的对称点，直线交直线于点F，连接、． 【操作发现】 （1）如图1，若，则________，________． 【拓展应用】 （2）如图2，当直线在正方形的外部时 ①判断的度数是否为一个定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． ②求证：． 【答案】（1）；45 （2）①的度数是定值，； ②证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴， 由（2）①已证：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴． 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握正方形和轴对称的性质是解题关键． （1）先根据正方形的性质可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，，由此即可得； （2）①设，先根据正方形的性质可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得，，然后根据等腰三角形的性质可得，，由此即可得； ②连接，先根据正方形的性质和勾股定理可得，再证出，，然后根据勾股定理和等量代换即可得证． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：；45． （2）①解：设， ∵四边形是正方形， ∴， 由轴对称的性质得：， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 所以的度数是一个定值，这个定值为． ②略 3．如图，过点的直线交正方形的边于点（不与点，点重合），点是点关于直线的对称点，连接并延长交的延长线于． (1)求证：． (2)若点为中点，求的度数． (3)设，，若正方形的边长确定，当直线的位置变化时，试探究代数式的值为定值． 【答案】(1)证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由对称得到， ∴， ∴； (2) (3)解：过点E作，交的延长线于点F， 设正方形的边长为a， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 整理得， ∴， ∴当直线的位置变化时，代数式的值为定值（为正方形边长的2倍）． 【分析】（1）根据正方形的性质得到，推出，由对称得到，由此证得，即可得到结论； （2）由对称得，由此得到垂直平分，结合（1）的，得到是等边三角形，即可求出； （3）过点E作，交的延长线于点F，设正方形的边长为a，表示出，，，根据勾股定理得到，整理得，即可求出，故当直线的位置变化时，代数式的值为定值（为正方形边长的2倍）． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵四边形是正方形， ∴ 由对称得， ∵点为中点， ∴垂直平分， ∴， 由（1）， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3）略 4．数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． 【问题情境】数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动，已知矩形纸片宽．（每个小组的矩形纸片规格相同） 【动手实践】 (1)如图1，A小组将矩形纸片折叠，点落在边上的点处，折痕为，连接，然后将纸片展平，得到四边形．试判断四边形的形状，并加以证明； (2)如图2，B小组将矩形纸片对折使与重合，展平后得到折痕，再次过点折叠使点落在折痕上的点处，得到折痕，连结，展平后得到四边形，请求出四边形的面积； 【深度探究】 (3)如图3，C小组将图1中的四边形剪去，然后在边，上取点，，将四边形沿折叠，使点的对应点始终落在边上（点不与点，重合），点落在点处，与交于点． 探究：当在上运动时，的周长是否会变化？如变化，请说明理由，如不变，请求出该定值． 【答案】(1)四边形是正方形，理由如下： 四边形是矩形， ， 由折叠得， ， 四边形是矩形， 由折叠得， 矩形是正方形； (2) (3)的周长不会变化，理由如下： 连接，作于，连接，如图2， 由折叠得：，， ， 设， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ，， ∴， ， ， 即：的周长是8，不会变化． 【分析】（1）根据邻边相等的矩形证得结果； （2）先判定是等边三角形，进而求得的面积，进一步求得结果； （3）连接，作于，连接，先证明，从而得出，，进而证明，从而，进一步得出结论； 【详解】（1）解：略； （2）解：如图1，连接， 由折叠得：，，是的垂直平分线， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ∴，， ， ， ； （3）解：略． 5．如图1，正方形的边长为．、F分别为边、上的动点，的周长为，是延长线上的一点，且． (1)求证：； (2)试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)如图2，若为边的中点，过点A作，垂足为．求的最小值． 【答案】(1) 证明：正方形， ，， ， ， 在和中， ∴， ， ， ， ； (2)的大小是定值，定值为 (3) 【分析】（1）证可得，由此即可得出结论； （2）由题易得，可推，进而可得，则可证，即可得解； （3）先证明，求出，根据两点之间线段最短可得，由最小值求出最小值． 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、两点之间线段最短等问题，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：的周长为8， ， 正方形ABCD的边长为4， ， ， ， ， ， ， 由（1）得，， ， 在和中， ， ， ， 的大小是定值，定值为； （3）解：连接AM， 正方形ABCD的边长为4， ，， 是的高， ， 是的高， 由（2）得，， ， ， 由（2）得，， ， 为边BC的中点， ， ， ， ， 解得， 的最小值为 6．如图，在矩形中，，，点是边上一点，过点作于点，交于点，连接，．    (1)如图，当四边形为菱形时，求长； (2)如图， ①判断四边形的面积是否为定值，若是，写出说理过程，并求出该定值；若不是，请说明理由； ②试用几何推理说明四边形周长有最小值，并求出最小值． 【答案】(1) (2)解：①是 ， ∵四边形为矩形， ∴． 作的中垂线交于，垂足为O，连接，如图， ∴，． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴． 根据（1）得，， ∴， ， ∴四边形的面积． ②由①得， ∴为定值． 如图，在上截取，过作且， 易得． ∴． ∴． 又∵， ∴是定点． 作矩形， ，， 当在同一条直线上时，的值最小， 即的值最小，即四边形的周长最小． 又∵， ∴四边形周长的最小值为20． 【分析】（1）设，则，根据勾股定理求解即可； （2）①作的中垂线交于，连接，证明即可； ②根据两点间线段最短，求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形． ∴． ∵， ∴设． ∵四边形为矩形， ∴． 得， 解得，即． （2）解：①略； ②略 【类型2 动点存在性问题】 7．如图，在四边形中，，，，，．点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动；同时点从点出发，以每秒3个单位的速度向点运动．规定其中一个动点达到端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的式子表示线段的长； (2)若四边形为矩形，求的值； (3)是否存在某个时刻，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意列代数式即可； （2）根据，列方程即可解答； （3）当四边形为平行四边形或四边形为等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得； （2）解：根据题意可得，运动的时间为秒， 若四边形为矩形， 则， 可得， 解得； （3）解：如图，当四边形为平行四边形时，， 此时， 即， 解得； 如图，当四边形为等腰梯形时，，过点作，过点作 则四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得； 综上，或． 8．如图，四边形中，，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点作于点，连接交于点，连接，设运动时间为秒． (1)连接，，当为何值时，四边形为平行四边形； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使得平分，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (4)将沿翻折，得到在运动过程中，是否存在某时刻，使四边形为菱形，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， (3) (4)存在， 【分析】（1）根据，构建方程求解； （2）过点作于点．证明，由此构建方程求解； （3）根据求解； （4）根据，构建方程求解． 【详解】（1）解：当时，四边形是平行四边形， 则有， ； （2）如图，过点作于点． 平分，，， ， ， ，， ， ， ：：， ； （3）， ， ， ， ， ， ， ， 由题意， ； （4）存在． 理由如下：将沿翻折得， ，， 当时有四边形为菱形， ， 解得， ，四边形为菱形． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了梯形的性质，平行四边形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 9．如图，等腰梯形中，，，，，动点从点出发沿方向向终点运动，动点同时以相同速度从点出发沿方向向终点运动． (1)求的长； (2)探究：在边上是否存在点使得四边形是菱形？若存在，请找出点；不存在，请说明理由； (3)在整个运动过程中，求：线段的中点运动的路程． 【答案】(1)； (2)存在，； (3)． 【分析】（）首先过点作交于，得四边形是平行四边形，即可求得的长，继而可得是等边三角形，则可求得的长； （）若存在满足条件的点，则必须等于，即可求得恰为等边三角形，过点作于点，延长交于点，连接，则垂直平分，继而可得，则可求得的长； （）分析可得的中点运动的轨迹分为两部分；当在上时，的中点关于对称的一条线段，长度是相同的，起点是的中点、终点是的中点；当在上时，的中点始终不动，则可求得线段的中点运动的路程． 【详解】（1）解：过点作交于， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：存在满足条件的点，则必须等于， 设动点与的运动时间为， 于是， ∴， 此时，点的位置如图所示，恰为等边三角形， 则， 过点作于点，延长交于点，连接，则垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴，即， ∴四边形是菱形， ∴存在满足条件的点，且； （3）解：的中点运动的轨迹分为两部分； 当在上时，的中点关于对称的一条线段，长度是相同的，起点是的中点、终点是的中点； 当在上时，的中点始终不动，此段中点运动的距离为， ∴线段的中点运动的路程为． 【点睛】此题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，以及直角三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 10．如图1，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，将沿翻折，点A落在点E处，直线与直线交于点F． (1)当点E落在边上时，求的长度； (2)如图2，在四边形中，G、H、I、J分别是边的中点，求证：四边形是一个矩形； (3)点P在边上运动过程中，是否存在线段与线段相等的情况？若存在，请直接写出线段的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)证明：如下图，连接， 由折叠可知，， ∴垂直平分，即， ∵G、H分别是边的中点， ∴为的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵G、J分别是边的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是一个矩形； (3)存在，线段的长度为或 【分析】（1）首先根据矩形的性质可得，再由折叠可知，，在中，由勾股定理解得的长度，进而可得；设，则，在中，由勾股定理解得的值，即可获得答案； （2）连接，易得垂直平分，再根据三角形中位线的性质可得，进而证明四边形为平行四边形；再证明，即可证明结论； （3）分点在下方和点在上方两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，， ∴， 由折叠可知，， ∴在中，， ∴， 设，则， 在中，可得， ∴，解得， ∴； （2）略 （3）解：分两种情况讨论： 情况1，当点在下方时，如下图，连接， 由折叠可知，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 在中，可得， ∴，解得， ∴线段的长度为； 情况2，当点在上方时，如下图，连接， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 在中，可得， ∴，解得， ∴线段的长度为． 综上所述，线段的长度为或． 11．在矩形中，，，点E为上的动点（不与B，C重合），连接，将沿翻折得，点B对应点F． (1)如图1，若E为中点，求证：； (2)如图2，是否存在点F在矩形内，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求的长；若不存在，说明理由； (3)如图3，在上取点G（不与A，D重合），将四边形沿翻折，使得点B的对应点F落在上，当点是的三等分点时，求此时线段的长． 【答案】(1)证明：E为中点， ， 由翻折性质得：、， ， ， 在中，， ， ， ； (2)存在，的长为或 (3)的长为或 【分析】（1）根据翻折的性质和等腰三角形的性质易证得，从而得出结论； （2）分情况讨论：当时：易得到点在的垂直平分线上，取中点，连接，过点作于点，由勾股定理求出的值，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解的值；当时：点在的垂直平分线上，取中点，连接，过点作于点、于点，同理求出的值； （3）设，由折叠的性质知，分两种情况讨论，在中，由勾股定理列式即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由翻折性质得：、、， 四边形是矩形， 、， ①当时： ， ， 点在的垂直平分线上， 取中点，连接，过点作于点， 、， 在中，由勾股定理得： ， 、， 、， ， 设，则， 在中，， 由勾股定理得：， 解得， ； ②当时： 点在的垂直平分线上， 取中点，连接，过点作于点、于点， 、， 、， 在中，由勾股定理：， 设，则， 在中，由勾股定理：， 解得， ， 综上所述，的长为或； （3）解：设， 由折叠的性质知， ∴，， 当时， 在中，由勾股定理得， 即， 解得； 当时， 在中，由勾股定理得， 即， 解得； 综上，线段的长为或． 12．在矩形中，，，点是线段上的一个动点，连接并延长交射线于点．将沿直线翻折得到，延长与射线交于点． (1)【问题探究】如图1，求证：； (2)【拓展延伸】如图2，当时，求的长； (3)【发散思维】连接，在点的运动过程中，是否存在以为腰的等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出的长． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ，． 沿翻折得到， ， ， (2) (3)存在，的长为或 【分析】（1）根据矩形的性质，得到平行线，利用平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定解答即可； （2）设，则，．由（1）可知．利用勾股定理建立方程求解即可； （3）分和两种情况，利用勾股定理求解即可， 【详解】（1）略 （2）解：四边形是矩形， ，，． 设，则，． 由（1）可知． 在中，由勾股定理，得， 即， 解得， ． （3）解：存在，的长为或． 分两种情况讨论． ①当时，如图1． 由翻折的性质，得，． ，． ， ， ，， ， ， ． 由（1）可知，． ②当时，如图2． 由翻折的性质，得，． 设，则， ． 在中，， 即，解得． 由（1）可知， ． 又， ． 综上所述，存在以为腰的等腰三角形，的长为或． 【类型3 动点探究数量关系】 13．小丽同学在学习了特殊平行四边形后，对菱形进行了深入探究．如图1，在菱形中，连接对角线，在对角线上取动点，在射线上取动点，连接，，，且使． (1)【初步探究】小丽同学发现：如图2，当，且为对角线的中点时，线段与线段之间存在一定的数量关系，请直接写出此时线段与线段之间的数量关系； (2)【再次探究】小丽同学又发现：如图3，当，且为对角线上任意一点时，线段与线段之间仍存在一定的数量关系，请写出这个数量关系，并帮助小丽同学给予证明； (3)【深入探究】小丽同学进一步发现：在图1中，当，且为对角线上任意一点时，线段与线段之间还存在一定的数量关系，请帮助小丽同学直接写出这个数量关系． 【答案】(1) (2)． 证明如下：如图，延长至点，使，连接，， ∵菱形，， ，， 在和中， ， ， ， ∵菱形，， ∴菱形是正方形， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在等腰直角三角形中， ∴， ； (3) 【分析】（1）根据题意可得四边形是正方形，根据正方形的性质，即可求解； （2）延长至点，使，连接，，证明得出菱形是正方形，证明得出，，进而证明是等腰直角三角形，根据勾股定理可得，等量代换即可得出结论； （3）仿照（2）的方法，延长至点，使，连接，，过点作于点，证明得出，，进而根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 如图 ∵四边形是菱形， ∵ ∴四边形是正方形， ∵为对角线的中点 ∴ ∵ ∴重合， ∴ ∴ （2）略 （3）， 如图，延长至点，使，连接，，过点作于点， ∵四边形是菱形 ∴，， ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，同理可得 ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴， 又∵ ，， ， ， ∴ 又∵ ， ∴ ∴ ∴ 14．（1）如图①，在正方形中，，分别是，边上的动点，且 ，将绕点逆时针旋转，得到，可以证明，进一步推出，，之间的数量关系为___________； （2）如图②正方形，，猜想，，的数量关系，并证明你的结论． （3）如图③，在菱形中，，点，分别是边，上的动点(不与端点重合)，且，连接分别与边，交于，． 当 时，直接写出，，之间的数量关系 ． 【答案】（1）（1）； （2）；证明： 在正方形中，， 将绕着点D逆时针顺序旋转，得到，连接，如图， 则， ∴，，，， ∴， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （3）； 【分析】（1）证明，可得出和的数量关系，即可得出结论； （2）将绕着点D逆时针顺序旋转，得到，则，，，再证明得到，从而利用勾股定理得到，即； （3）将绕点顺时针旋转，此时与重合，转到点，在上取，连接，，利用，有，再证明，则，再证明是直角三角形即可． 【详解】解：（1）结论：； 理由：绕点逆时针旋转，得到，， ，， ，， ， 、、三点共线， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）略 （3）将绕点顺时针旋转，此时与重合，转到点，在上取，连接，，如图， ， 又，， ， ，， 四边形是菱形，， ，， ， ，， ∴， ∵， ∴； 在和中， ， ，； ∵， ∴， ∴； ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是学会运用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 15．我校数学拓展学习小组倡导“刷题不如回头看”，立足旧题归纳总结、反思精进，优化解法、多题归一，做到举一反三、推陈出新． 【问题提出】M是正方形边上的一个动点（不与A，B重合），，且交正方形外角的平分线于点N，探究与的数量关系． 【问题猜想】 (1) ；（填“>”，“<”或者“=”） 【问题探究】 (2)如图1，当M是上的中点时，探究与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，当M为延长线上的任意一点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)= (2)解：， 理由：如图，作的中点P，连接， ∴ ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵P，M分别是，的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴． (3)解： ， 理由：如图，延长使， ∵四边形是正方形 ∴，，， ∴，， ∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【分析】（1）在边上取一点F，使得，连接，证明，即可得出结论； （2）作的中点P，连接，证明，即可得出结论； （3）延长使，证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，在边上取一点F，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是正方形的外角的平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）略 （3）略 16．综合与实践 (1)【问题发现】 在学习了“特殊平行四边形”后，兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接通过观察图形，直接写出与的数量关系：_________． (2)【类比探究】 兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．如图2，已知矩形，，，为对角线上一动点，过点作垂直于的射线，点在射线上，且，连接请判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】 在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)； 理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； (3)的长为或1 【分析】（1）由可证，可得； （2）通过证明，可证，即可求解； （3）分两种情况：①当四边形关于所在直线对称时，②当四边形为矩形时，由轴对称的性质及直角三角形的性质可求出的长． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）略 （3）解：分以下两种情况讨论： ①当四边形关于所在直线对称时，如图3，此时交于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； ②当四边形为矩形时，如图4， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，线段的长为或1． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题． 17．【教材呈现】下面是湘教版八年级下册教材中的部分内容： 如图1，在正方形中，点是对角线上的动点（与点，不重合），连接．将射线绕点顺时针旋转，交直线于点． (1)小华通过观察、实验，发现线段，，存在以下数量关系：． 小华想证明这个发现成立，于是与同学们进行了交流讨论，得到以下思路： 将线段绕点逆时针旋转，得到线段，如图2，要证，，之间的数量关系，只需证，，满足对应的数量关系即可． 请根据上述思路证明． (2)【类比探究】如图3，点是等边三角形的边上任意一点，连接．将线段绕点逆时针旋转，得线段，连接．请探究线段，，之间的数量关系并予以证明； (3)【拓展探究】如图4，菱形中，，点在菱形内部，连接，将射线绕点顺时针旋转，得到线段，连接，，延长交于点，连接．请写出、、之间的数量关系，并予以证明． 【答案】(1)解：将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，则， 由旋转可知， 四边形是正方形， ，，， ， ， ，， ， ，即， 将射线绕点顺时针旋转，交直线于点， ， ， 又，， ， ， ； (2)解：， 证明：是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，， ， ， 在与中，， ， ， ，即； (3) 解：， 理由如下： 如下图所示，在上取点，使，连接， 四边形是菱形， ， 由旋转可知， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， ， 如图所示，过点作， 在中，，， 则，， 在中，，，则， ， ． 【分析】（1）将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接，，则，构造全等三角形，根据全等三角形的性质可知，，，利用勾股定理即可证明结论成立； （2）由旋转可知，，可证，根据全等三角形的性质可知，根据等边三角形的性质可得； （3）在上取点，使，连接，过点作，构造全等三角形，根据全等三角形的性质和含角的直角三角形的性质找到边之间的关系． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 18．综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，正方形中，点在上，，交直线于点．试猜想线段与的数量关系． (1)【建立模型】 同学们发现，过点分别作，，垂足为，，可以由平分，用角平分线的性质定理辅助解决这个问题．请在图1中补全图形，解答上述问题． (2)【模型应用】 小敏受此问题启发，并提出新的问题：如图2，延长交直线于点，请你判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)【模型迁移】 小睿深入思考小敏提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图2，在（2）的条件下，当为直线上一动点，猜想线段，，之间的数量关系并直接写出结论． 【答案】(1) (2)； 理由∶延长交于，延长交于， 正方形中，， ， ， 同理可证， 同（1）可证明四边形是矩形，四边形是正方形，， ， ， ， ， ； (3)①当在对角线上，时，；时，；②当在线段或的延长线上时， 【分析】（1）根据题中提供的方法，证明，进而证明四边形是正方形，进而可得，即可证明，进而可证明结论； （2）延长交于，延长交于，同法证明，即可得出结论； （3）作，交直线于，证明，由（1），（2）可知，证明，可得，分以下三种情况：①当在对角线上，时，当时；②当在线段的延长线上时；③当在线段的延长线上时，分别求得它们的关系即可． 【详解】（1）解：如图，过点分别作，，垂足为，， ， 正方形中，平分， ， 四边形是正方形， ，即， ， ，即， ， ， ； （2）略 （3）解：作，交直线于， ， ， ， ，平分， ， ，， ， 由（1），（2）可知， ， ， ， ， ①当在对角线上，时，如上图， ； 当时， 如图 同理可得； ②当在线段的延长线上时， 如图， 同理可得； ③当在线段的延长线上时， 如图， 同理可得； 综上所述，①当在对角线上，时，；时，；②当在线段或的延长线上时，． 【类型4 动点最值问题】 19．（1）如图1，正方形中，E、F分别是、上的动点，且，与交于点G，直接写出与的关系： （不要求证明） （2）利用上述结论解决以下问题： 【问题1】 在（1）的条件下，在上截取的平分线交于点N，连接，如图2，求证：． 【问题2：延伸】 ①如图3，已知正方形的边长为2，点E，F分别是边，上的两个动点，且满足，连接，，则的最小值为 ． ②如图4，在正方形中，M为上一点，且，E、F分别为、上的动点，且，若，求的最小值． 【答案】（1），； （2）问题1：如图，过作，与交于点， 四边形是正方形，则 ， 由（1）得：， ， ， ，则是的垂直平分线， ，则， 平分 ， ， ， ，则， ， ； 问题2：①；② 【分析】（1）根据正方形的性质证明即可得到答案； （2）问题1：如图，过作，与交于点，由正方形的性质结合已知条件证明，是等腰直角三角形，从而可得结论； 问题2：①连接，由（1）可知，，延长至，使得，连接，则垂直平分，得，则，当在上时取等号，再根据勾股定理即可求解； ②设，则，，最小值可以看作在平面直角坐标系中，点到定点，距离之和最小，进而求得． 【详解】解：（1）在正方形中，，， 又∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴，则， ∴， 故答案为：，； （2）问题1： 略 问题2：①在正方形中，， 连接，由（1）可知，， 延长至，使得，连接，则垂直平分， ∴，    则，当在上时取等号， ∵，则， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； ②如图，    作于， ∵，， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 在中，， ∴ ， 最小值可以看作在平面直角坐标系中，点到定点，的距离之和最小， 如图，    作J的对称点，连接， 则与x轴的交点是H点，此时最小， 作轴于T， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，轴对称的性质等知识，正确作图和掌握相关图形的判定与性质是解题的关键． 20．如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，，连接． (1)如图1，连接．若，，，求的面积； (2)如图2，若点为线段的中点，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)解：； 证明：如图2，过点作的延长线于点，作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵点为线段的中点， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴； (3)解：存在最小值；最小值为；理由如下： 如图3，在的延长线上截取，连接，在上截取，连接， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴ ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点轨迹在如图4与夹角为的直线上，作点关于直线的对称点，延长交直线于点，连接，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴当取最小值时，，，三点共线，最小值为， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∴在中，． 【分析】（1）利用含角直角三角形的性质设，则，即可利用勾股定理解出各边的长，过点作于点，证明，得到，即可求出的长，再由三角形面积公式运算即可； （2）过点作的延长线于点，作于点，证明， 得到，，证明四边形是矩形，得到，，即可证出为等腰直角三角形，再利用勾股定理建立关系即可； （3） 在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，证明可得到，即可推出点轨迹在如图4与夹角为的直线上，作点关于直线的对称点，延长交直线于点，连接，由，可得到当取最小值时，，，三点共线，最小值为，利用勾股定理运算求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴在中，设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴， 过点作于点，如图所示： ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）略 （3）略 21．在正方形中，是边上的一个动点（不与点，重合），连接，为点关于直线的对称点． (1)如图，连接，作射线交射线于点． ①若，求的大小（用含的式子表示）； ②判断线段，和之间的数量关系，并证明你的结论； (2)已知，连接，若，，是正方形的对角线上的两个动点，且，连接，，直接写出的最小值． 【答案】(1)①； ②解：， 证明：过点A作于点G，如下图：则， ∵， ∴， ∵， 由①可知，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即； (2)． 【分析】（1）①由轴对称的性质可得出，由正方形的性质可得出，，由三角形内角和定理即可得出； ②过点A作于点G，则，由等腰三角形三线合一的性质可得出，由①可知，，，即可求出，进一步可得出，由勾股定理可得出，由线段的和差关系可得出，变形即可得证； （2）由对称得，，结合等腰三角形的性质得点E为的中点，过点A作，且，则四边形为平行四边形，那么的最小值就等于，当点G，M，E三点共线时，取最小值，由题意得，过点G作交于点Q，作交延长线于点H，则四边形为矩形，有，，求得，对应有，，利用勾股定理求得，即可求得的最小值． 【详解】（1）解：①∵点P与点B关于直线对称， ∴垂直平分，，且， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴； ②略； （2）解：根据题意，作图如下， 由对称性得，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 则， ∴E为的中点， ∵， ∴， 过点A作，且，则四边形为平行四边形， ∴，， ∴的最小值就等于， ∴当点G，M，E三点共线时，取最小值， ∵， ∴， 过点G作交于点Q，作交延长线于点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 则的最小值为． 22．【问题情境】： （1）如图1，四边形是正方形，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作正方形，连接、，求证： 【类比探究】： （2）如图2，四边形是矩形，，，点E是边上的一个动点，以为边在的右侧作矩形，且，连接、请判断线段与有怎样的数量关系，并说明理由； 【拓展提升】： （3）如图3，在（2）的条件下，连接，直接写出的最小值． 【答案】 （1）证明：四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）判断：，理由如下： 四边形是矩形，四边形是矩形， ，， ， ，，， ， ， ． ， ； （3） 【分析】（1）根据正方形的性质证明和全等，即可得到； （2）根据矩形的性质证明，得到，即可证得结论； （3）过点E作，垂足为点K，过点G作交BC的延长线于点L，先证明∽，证得是固定值，进而证得点G的运动轨迹是直线，然后将的最小值转化为求的最小值，即点B，G，三点同一直线时，，取得最小值，求即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）如图，过点 E作，垂足为点 K，过点 G作交 BC的延长线于点 L，则， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点G的运动轨迹是直线， 作点 D关于直线的对称点，则， 当点 B， G，三点同一直线时，的值最小，即为， 由（2）得， ， ， 的最小值为的最小值，即， ，， ， ， ， 的最小值为 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题关键是在判断三角形全等和相似时出现“手拉手”模型证明对应角相等及利用三边关系来转化线段的数量关系求出最小值． 23．如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点． (1)如图①，过点作交边于点．当点在边上时，猜想与的数量关系__________，证明你的猜想； (2)如图②，在（1）的条件下，过点作，垂足为点，在点的运动过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值：若变化，试说明理由． (3)如图③，若点是射线上的一个动点，且始终满足，设，请直接写出的最小值． 【答案】(1) ；证明：连接，如图1所示： 四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ； (2)点在运动过程中，的长度不变，值为 (3) 【分析】（1）连接，证，得，再证，则，即可得出结论； （2）连接，如图2．首先证得，则有，只需求出的长即可得解； （3）过点作，使，连接，过点作，交延长线于，证是等腰直角三角形，得，再证，得，则三点共线时，最短，即最短，然后由勾股定理即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：的长度不变.理由如下：连接，与相交于点，如图2. 四边形是正方形， ， ，即 ， ，即， ， 在和中， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， 点在运动过程中，的长度不变，值为； （3）解：过点作，使，连接，，过点作，交延长线于，如图3所示： 四边形是正方形， ，， 是等腰直角三角形，， 在和中， ， 、、三点共线时，最短，即最短， 此时，， 在中，由勾股定理得： 的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 24．如图，在菱形中，，点E、F、G分别在边、上，，平分，点H是线段上一动点（与点A不重合）． (1)求证：； (2)当，时，求周长的最小值． 【答案】(1)证明：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴和均为等边三角形， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵平分， ∴， 在和中，， ∴； (2) 【分析】（1）先根据证明得到，再结合角平分线，即可利用证明； （2）过点D作交的延长线于M，连接，根据题意可得点E和点G关于对称，由此可得，要使的周长最小，则最小，当、、三点共线时，最小，最小为，根据勾股定理求出的长即可； 【详解】（1）略 （2）解：如图， 过点D作交的延长线于M，连接， ∵，， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴点和点关于对称， ∴， 要使的周长最小，则最小， 当、、三点共线时，最小，最小为， 在中，，， ∴ ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理得，， ∴周长的最小值为． 【类型5 面积相关动点问题】 25．【问题发现】 （1）若四边形是菱形，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边，如图1，当点E在菱形内部或边上时，连接，则与有怎样的数量关系？并说明理由； 【类比探究】 （2）若四边形是正方形，点P是射线上一动点，以为直角边在边的右侧作等腰，其中，，如图2.当点P在对角线上，点E恰好在边所在直线上时，则与之间的数量关系？并说明理由； 【拓展延伸】 （3）在（2）的条件下，如图3，在正方形中，，当P是对角线的延长线上一动点时，连接，若，求的面积． 【答案】 （1），理由如下： ∵四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴； （2），理由如下： 如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【详解】（1）略 （2）略 （3）连接交于，过点作于， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 26．如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，点是线段的中点，点为轴正半轴上一动点，点的横坐标记作，过点作交的延长线于，交轴于点． (1)判断四边形的形状为______________，并说明理由； (2)若四边形是菱形时，求的值； (3)连接，若的面积是面积的倍，求的值． 【答案】(1)平行四边形， 证明：点是线段的中点， ， ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形； (2) (3) 【分析】（1）根据线段中点的定义和平行线的性质可证明，得到，即可得证； （2）先求出、的坐标，进而得到，，，根据勾股定理得到，根据菱形的性质得到，据此列方程即可求解； （3）根据点是线段的中点，得到，设，，，根据平行四边形的性质可得点是线段的中点，根据中点坐标公式推出，设点到边上的高为，由，得到，则，点是的中点，根据中点坐标公式列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：令，则， ， ， 令，则， 解得， ， 又点为轴正半轴上一动点，点的横坐标记作， ，， 在中，， 四边形是菱形， ， ， 解得； （3）点是线段的中点，，， ，即， 设，，， 四边形是平行四边形， 点是线段的中点， ， 则， 设点到边上的高为，则点到边上的高为， ，即， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，即点是的中点， ， ． 27．操作与探究 【初步尝试】 (1)如图1，四边形是正方形，点是对角线上一动点，求证：． 【深入探究】 (2)如图2，在正方形中，点是对角线上一动点，过点分别作，，垂足分别为点，，试探究：当点运动到什么位置时，四边形为正方形？请直接写出的位置，并证明你的结论． 【拓展应用】 (3)如图3，延长，交于点，与交于点，为的中点，连接，试判断的形状．当时，写出的面积与的数量关系（无需证明，直接写出结果即可）． 【答案】(1)证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ． (2) 当运动到中点时，四边形为正方形； 证明：四边形是正方形， ， ， ， ， 四边形是矩形． 当为中点时， ， 在和中， ， ． ， 四边形为正方形． (3)是直角三角形； 【分析】（1）由正方形性质得，对角线平分，故，又为公共边，即可证． （2）由正方形得，又，，四边形是矩形．当为中点时，，，，证，得，故四边形是正方形． （3）由正方形得，，故为中点，得，故，等量代换得．由(1)全等得，又，故，为直角三角形．当时，，故为等腰直角三角形，，面积为． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：四边形是正方形， ，， ， 为中点， ， ， 由（1）得， ， ， ， ，即是直角三角形． 当时，则， ， 是等腰直角三角形，即， 的面积． 28．如图1，在边长为8的正方形中，点，，分别是，，上的动点，将和分别沿和所在的直线折叠，点，的对应点分别为，．小聪进行了以下探究： (1)如图2，当点与点重合，点和恰好都落在对角线上． ①求的长． ②求四边形的面积与四边形的面积之比． (2)如图3，若点为的中点，点恰好落在上，且，求的长． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①利用正方形对角线得到，结合翻折推出为等腰直角三角形，求出线段； ②分别表示出四边形和梯形的面积，化简得到面积比值； （2）由折叠得到线段长度，利用勾股逆定理判定直角，再作辅助线构造直角三角形，设未知数，依靠勾股定理列方程求出． 【详解】（1）解：①由折叠性质可知：，，， 在正方形中，，则对角线， ， 在中，（正方形对角线平分内角）， 是等腰直角三角形，即， ，即线段的长为，         ②由①可得，， ， 所以， ， 因为, 所以, 所以， ， 面积比为：， 所以四边形的面积与四边形的面积比值为． （2）解：如图所示，连结． 沿翻折， ，，，． ， ． 为中点， ．由翻折性质得． 在中，由勾股定理得： ， ． ， ， ， ， ，即． 过点作于点． ， 四边形为矩形． ，． 设，根据翻折性质（由点在上且翻折点为）可得：．则，故，． 在中，由勾股定理得：， ∴， 展开得：， 整理得：，解得：， ∴的长为． 29．已知正方形的边长为6，点E为上一点，连接． (1)如图1，过点B作于点H，交于点G，连接，，若点E为中点，求四边形的面积； (2)如图2，点F，R分别在正方形的边，上，把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，过点A作于点O，连接，若，求线段的长； (3)如图3，点Q是边上的一个动点，，过点Q作于点P，连接，试求线段的最小值，且直接写出此时四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)最小值，四边形的面积为 【分析】（1）利用证直角三角形全等得到等长线段，将四边形面积分为与的面积之和求解； （2）利用翻折性质得等线段，构造矩形通过证三角形全等转化线段长，设未知数结合勾股定理求出，再利用两次勾股定理分别计算线段长最终可得到； （3）延长线段构造全等三角形推出点为中点，利用两点之间线段最短得到最小值，再作垂线利用勾股定理求出线段长，从而得出直角三角形面积，借助全等三角形面积相等进行等量代换，用正方形总面积减去面积即可得到四边形面积． 【详解】（1）解：正方形的边长为6，点E为中点， ， ， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形的面积， ， ， ， ， ； （2）解：如图，延长，交于点H，过点F作于点M， 四边形为正方形， ， ， 四边形与四边形为矩形， ，， ，， 把正方形沿直线翻折，使得的对应边恰好经过点A，， ，，，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ，解得， ． ， ， ； （3）解：如图，延长，交的延长线于点N，连接，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即D为的中点， ， ， ， 当点B，P，D在一条直线上时，取得最小值，此时， 如图，当取得最小值时，过点P作于点K， 四边形为正方形， ， ， ，， ， 解得或（舍去）， ， ， ， ， ， 正方形的面积四边形的面积， 四边形的面积正方形的面积． 30．正方形ABCD的边长为6，点E是BC边上一动点，点F是CD边上一动点，过点E作AF的平行线，过点F作AE的平行线，两条线交于点G． (1)如图1，若BE＝DF，求证：四边形AEGF是菱形； (2)如图2，在（1）小题条件下，若∠EAF＝45°，求线段DF的长； (3)如图3，若点F运动到DF＝2的位置，且∠EAF依然保持为45°，求四边形AEGF的面积． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴四边形AEGF是平行四边形． ∵四边形ABCD是正方形， ∴，， 又∵ ∴， ∴， ∴四边形AEGF是菱形； (2) (3)四边形AEGF的面积为30 【详解】（1）略 （2）解：过点F作于点H， ∵四边形AEGF为菱形， ∴AC平分， ∴． 又∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∴． ∵于点D，于点H， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点A作AE的垂线，交CD的延长线于点K，过点F作于点P， ∴． ∵， ∴． ∵四边形ABCD是正方形， ∴，， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴，． 又∵，，， ∴， ∴， 设． 又∵，，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴等腰直角三角形中，． 又∵四边形AEGF为平行四边形， ∴． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $