专题11 一元二次方程应用题 分类训练01（增长率工程行程围栏比赛5类40道）2026-2027学年北师大版九年级数学上册（重庆专用）

**基本信息** 聚焦一元二次方程应用题5大类型（增长率、工程、行程、几何围栏、比赛），40道题系统覆盖核心情境，以题载法构建“实际问题→等量关系→方程模型”的解题逻辑，培养模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |增长率问题|8题/第1题|含单双增长率、利润结合，涉及下降率/增长率公式|基于“初始量×(1±x)^n=终量”构建方程，体现抽象能力| |工程问题|8题/第9题|涉及效率变化、时间调整，含合作与单独施工|通过“效率×时间=工作量”建立等量关系，培养推理意识| |行程问题|8题/第17题|含匀变速、相遇追及，结合几何图形|运用“路程=平均速度×时间”建模，发展几何直观| |几何围栏问题|8题/第25题|含靠墙、开门、面积最值，涉及矩形边长计算|依据面积公式与周长约束列方程，强化空间观念| |比赛问题|8题/第33题|单双循环赛制，场次计算与实际情境结合|利用组合数公式“n(n-1)/2”转化为方程，提升数据意识|

专题11 一元二次方程应用题分类训练01 （增长率工程行程围栏比赛5类40道） 专题目录 【类型1 增长率问题】 1 【类型2 工程问题】 2 【类型3 行程问题】 5 【类型4 几何图形围栏问题】 7 【类型5 比赛问题】 9 【类型1 增长率问题】 1．某工厂一月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，三月份的生产成本是289万元，假设每月生产成本的下降率相同．求每月生产成本的下降率． 2．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到4.32万辆．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 3．为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 4．“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 5．某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． (1)求每期海水稻亩产量的平均增长率． (2)农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 6．【背景素材】某工厂一车间对某款新能源汽车的关键零部件进行智能化、一体化加工，生产效率大幅提升．车间技术员记录了以下两组信息： 素材1 该车间4月份生产该零件100个，到6月份产量增加至144个，且每月增长率相同． 素材2 该零件的生产成本为每个30元．市场调研发现：当售价定为每个40元时，每月可销售600个；若售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． 【任务驱动】 (1)任务一：求该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率． (2)任务二：工厂为了提升利润，计划调整售价，并要求月销售利润达到10000元．同时，为了让更多消费者买得起，价格尽可能实惠．请你计算该零件的实际售价应定为每个多少元？ 7．依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高．该店7月份酥饼总销量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋． (1)求该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率． (2)门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋．市场调研显示：售价每下调1元，单日销量多卖出10袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价多少元？ 8．为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． (1)该纪念品今年1月份的销售量为700件，3月份的销售量为1008件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． (2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价2元，每天可多售出4件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【类型2 工程问题】 9．为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的3月12日，通过立法确定的节日．今年3月某县举办了大型植树活动，现有相邻的、两个社区计划共种树78棵，已知社区每天可以种植6棵树，社区每天可以种植12棵树． （1）由于人员调动，要求社区种植天数至少是社区种植天数的倍，当种植结束时，社区至多种植多少天？ （2）、两个社区种植一棵树的所需费用分别为500元和750元，在（1）问社区最多种植天数基础上，社区最少种植了5天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入67500元，社区每天种植棵数不变，种植天数比（1）问中社区最多天数多；社区每为种植棵数下降，种植天数比（1）问中社区最少种植天数多，求的值． 10．某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 11．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 12．年初，武汉爆发了新型冠状病毒引起的肺炎，并迅速在全国传染开来，与此同时医护人员一直坚守在抗击肺炎的前线，为我们保驾护航！罗曼·罗兰说：“凡是行为善良与高尚的人，定能因之而担当患难．”他们是最可亲可敬的人！由此，医疗物资护目镜的需求量大大增加，两江新区某护目镜生 产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗，在接到单位的返岗通知后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用自己的实际行动践行着一份责任和担当．已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线．原计划生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个． （1）若生产线一共工作小时，且生产护目镜的总数量不少于个，则生产线至少生产护目镜多少小时？ （2）原计划生产线每天均工作小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个．这样一天生产的护目镜将比原计划多个，求该厂实际每天生产护目镜的时间． 13．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍． （1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？ （2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数） 14．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 15．由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 16．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值． 【类型3 行程问题】 17．一辆正以8米/秒的速度沿直线行驶汽车，突然速度每秒增加1米/秒． (1)汽车行驶5秒时的速度为______米/秒． (2)求汽车行驶了18米时的速度． (3)当汽车行驶了x秒，行驶的距离为y米时，直接写出y关于x的函数解析式． （提示：距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） 18．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 19．是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 20．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 21．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 22．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 23．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 24．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【类型4 几何图形围栏问题】 25．为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点．如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门．围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材14米．请求出这个快递投放点的边和的长． 26．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： (1)如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? (2)如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 27．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设． (1)的长用含的代数式表示为 m； (2)现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 28．某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 29．小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 30．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； (3)能否围成面积为的花圃？请说明理由． 31．某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 32．综合与探究：剪纸艺术中的数学问题 剪纸是我国传统民间艺术，某同学有一张长为、宽为的长方形卡纸． 操作过程： 为制作花边图案，该同学在长方形卡纸的四个角各截去一个相同大小的小正方形，剩余中间的长方形剪纸图案区域（阴影部分）面积为． 探究问题： (1)设剪去的小正方形的边长为，请用含x的代数式表示剩余图案阴影区域的长和宽；长为_______________，宽为_______________． (2)求出剪去的小正方形的边长； (3)若剩余图案阴影区域需要再裁剪出边长为的小正方形贴纸，直接写出最多可以裁剪多少个． 【类型5 比赛问题】 33．我校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛．比赛组织者应邀请多少个队参赛． 34．2025年，我国各地“城超”（城市足球超级联赛）热闹非凡，人气火爆．某省“城超”联赛小组赛赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），若小组赛一共进行了156场比赛，则共有多少个球队参加比赛？ 35．“滇超联赛”是一项覆盖全省、全域联动的足球赛事，本届“滇超联赛”汇聚全省多个州市代表队，赛程长达8个月，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），赛事主办方计划安排120场比赛，则共有多少个州市代表队参加比赛？ 36．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 37．九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． (1)依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； (2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 38．象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 39．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 40．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 一元二次方程应用题分类训练01 （增长率工程行程围栏比赛5类40道） 专题目录 【类型1 增长率问题】 1 【类型2 工程问题】 7 【类型3 行程问题】 14 【类型4 几何图形围栏问题】 22 【类型5 比赛问题】 30 【类型1 增长率问题】 1．某工厂一月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，三月份的生产成本是289万元，假设每月生产成本的下降率相同．求每月生产成本的下降率． 【答案】每月生产成本的下降率为 【分析】设每月生产成本的下降率为，根据题意，得，解方程求解即可． 【详解】解：设每月生产成本的下降率为，根据题意，得， 故， 解得，（舍去）． 答：每月生产成本的下降率为． 2．随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车10月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，12月份的销售量达到4.32万辆．求从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 【答案】 【分析】本题是“平均增长率”应用题，可利用“复利增长模型”建立方程再求解．已知初始值是10月销售量3万辆，经过2个月后的终值为12月份的销售量4.32万辆，设月平均增长率为x，则列出一元二次方程，再通过解方程即可求出一元二次方程的两个根，最后应注意增长率为正数，应舍去负根． 【详解】解：设从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）； 答：从10月份到12月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为． 3．为了减轻百姓医疗负担，某制药厂将一种药剂价格逐年降低．年这种药剂价格为元，年该药剂价格为元． (1)求年到年这种药剂价格的年平均下降率； (2)该制药厂计划年对此药剂继续降价，药剂价格的下降率与年到年的平均下降率相同，求该药剂在年的价格． 【答案】(1) 年到年这种药剂价格的年平均下降率为 (2) 该药剂在年的价格为元 【分析】（1）设年到年这种药剂价格的年平均下降率为，根据题意列方程求解即可； （2）根据题意列出算式求解即可． 【详解】（1）解：设年到年这种药剂价格的年平均下降率为， 解得 ，（不符合题意，舍去） ． 答：年到年这种药剂价格的年平均下降率为． （2）解：（元） 答：该药剂在年的价格为元． 4．“乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． (1)求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； (2)为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 【答案】(1) (2)购买的这种乒乓球台的台数为200台 【分析】（1）设该市参加乒乓球运动人数的年均增长率为，利用在世乒赛结束后的两个月参加健身运动的人数在世乒赛结束后的首月参加乒乓球运动的人数该市参加乒乓球运动人数的年均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购买台这种乒乓球台，求出购买100台这种乒乓球台所需费用，由该值等于24万元，利用总价单价数量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合每台售价不得少于1000元，即可确定结论． 【详解】（1）解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得：， 解得（不符合题意，舍去）， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； （2）解：（元）元， ∴购买的乒乓球台数超过100台． 设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由题意得：， 解得， 又， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台． 5．某地农业研究所培育海水稻，其中第一期试验田亩产量为，在每期亩产量平均增长率保持不变的情况下，第三期亩产量达到． (1)求每期海水稻亩产量的平均增长率． (2)农业研究所将收获的海水稻对外售卖，且海水稻的进价为每千克4元．经市场调研发现：若售价定为每千克8元，则日销售量为200千克；若售价每提高0.5元，则日销售量减少10千克．当海水稻的定价为每千克多少元时，每天可获利960元？ 【答案】(1)平均增长率为 (2)海水稻的定价为每千克10元或12元 【分析】（1）设平均增长率为，根据“第三期亩产量达到”建立等式求解即可． （2）设海水稻的定价为每千克元，根据“每天可获利960元”建立等式求解即可． 【详解】（1）解：设平均增长率为， 则， 解得：（负值舍）， 答：每期海水稻亩产量的平均增长率为． （2）解：设海水稻的定价为每千克元，则每千克的利润为元， 根据题意可知，日销售量减少千克，则日销售量为千克， 则：，即， 解得：或12， 答：海水稻的定价为每千克10元或12元． 6．【背景素材】某工厂一车间对某款新能源汽车的关键零部件进行智能化、一体化加工，生产效率大幅提升．车间技术员记录了以下两组信息： 素材1 该车间4月份生产该零件100个，到6月份产量增加至144个，且每月增长率相同． 素材2 该零件的生产成本为每个30元．市场调研发现：当售价定为每个40元时，每月可销售600个；若售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． 【任务驱动】 (1)任务一：求该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率． (2)任务二：工厂为了提升利润，计划调整售价，并要求月销售利润达到10000元．同时，为了让更多消费者买得起，价格尽可能实惠．请你计算该零件的实际售价应定为每个多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)该零件的实际售价应定为每个元 【分析】（1）本题为平均增长率问题，设月平均增长率为未知数，根据4月产量和6月产量的关系列一元二次方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果； （2）本题为销售利润问题，利用“总利润单个利润月销售量”的关系列一元二次方程求解，结合“价格尽可能实惠”的要求，选择较小的解即可． 【详解】（1）解：设该车间4月份到6月份生产该零件数量的月平均增长率为， 根据题意得：， 解得，（增长率为负不符合实际，舍去） 答：月平均增长率为． （2）解：设该零件的实际售价应定为每个元，则单个利润为元，售价上涨了元， 因此月销售量为个， 由月销售利润为元， 列方程得：， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵要求价格尽可能实惠，需选取较小的售价， ∴， 答：该零件的实际售价应定为每个(元)． 7．依托金华双龙景区暑期文旅热潮，本地老字号酥饼门店线上线下销量持续走高．该店7月份酥饼总销量15万袋，9月份销量增长至21.6万袋． (1)求该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率． (2)门店酥饼进货成本每袋18元，日常售价25元/袋时，单日可卖出60袋．市场调研显示：售价每下调1元，单日销量多卖出10袋．门店计划降价清库存，若要单日销售总利润达到400元，则每袋酥饼需要降价多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)每袋酥饼需要降价元 【分析】（1）设月平均增长率为，根据增长规律得到9月销量的表达式，结合题干给出的9月销量列方程，解方程即可得到结果； （2）设每袋酥饼需要降价元， 根据题意列一元二次方程，解方程即可得到结果． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：该门店7月到9月酥饼总销量的月平均增长率为； （2）解：设每袋酥饼需要降价元， 则每袋酥饼的利润为元，单日销售量为袋， 由题意得，， 整理得，， 解得，或（不符合题意，舍去） 答：每袋酥饼需要降价元． 8．为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． (1)该纪念品今年1月份的销售量为700件，3月份的销售量为1008件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． (2)该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价2元，每天可多售出4件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)售价应降低20元 【分析】（1）设月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程并求解，结合实际即可获得答案； （2）设降价元，则单件利润为元，每日销量为件，根据题意列出一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案． 【详解】（1）解：设月平均增长率为， 根据题意，可得， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴， 答：月平均增长率为； （2）解：设降价元，则单件利润为（元），每日销量为（件）， 根据题意，可得， 整理可得， 解得，， 要求尽快减少库存，选择降价更多的，降价元， 答：售价应降低20元． 【类型2 工程问题】 9．为保护人类赖以生存的生态环境，中国植树节定于每年的3月12日，通过立法确定的节日．今年3月某县举办了大型植树活动，现有相邻的、两个社区计划共种树78棵，已知社区每天可以种植6棵树，社区每天可以种植12棵树． （1）由于人员调动，要求社区种植天数至少是社区种植天数的倍，当种植结束时，社区至多种植多少天？ （2）、两个社区种植一棵树的所需费用分别为500元和750元，在（1）问社区最多种植天数基础上，社区最少种植了5天．在实际种植过程中，社区决定加大投入，种更多的树，总费用共投入67500元，社区每天种植棵数不变，种植天数比（1）问中社区最多天数多；社区每为种植棵数下降，种植天数比（1）问中社区最少种植天数多，求的值． 【答案】（1）A社区至多种植3天；（2）a的值为40 【分析】（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78-x）棵树，根据B社区种植天数至少是A社区种植天数的倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，进而可得出的取值范围，取其中的最大值即可得出结论； （2）根据投入的总费用=种植每棵树所需费用×植树棵树，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：（1）设A社区种植x棵树，则B社区种植（78-x）棵树， 依题意得：， 解得：x≤18， ∴≤3． 答：A社区至多种植3天； （2）依题意得：500×6×3（1+5a%）+750×12（1-a%）×5[1+（a+30）%]=67500， 整理得：2.25-90a=0， 解得：=0（不合题意，舍去），=40． 答：a的值为40． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 10．某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 【答案】(1)乙分拣机至少工作小时 (2)的值为 【分析】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键． （1）设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时，根据题意，列出不等式，求解即可； （2）根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时， 根据题意列不等式， 解得 答：乙分拣机至少工作小时； （2）根据题意，甲分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时；乙分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时， 根据题意列方程，， 解得（不符合题意，故舍去）， 答：的值为． 11．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 【答案】(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 12．年初，武汉爆发了新型冠状病毒引起的肺炎，并迅速在全国传染开来，与此同时医护人员一直坚守在抗击肺炎的前线，为我们保驾护航！罗曼·罗兰说：“凡是行为善良与高尚的人，定能因之而担当患难．”他们是最可亲可敬的人！由此，医疗物资护目镜的需求量大大增加，两江新区某护目镜生 产厂家自正月初三起便要求全体员工提前返岗，在接到单位的返岗通知后，员工们都毫无怨言，快速回到了自己的工作岗位，用自己的实际行动践行着一份责任和担当．已知该厂拥有两条不同的护目镜加工生产线．原计划生产线每小时生产护目镜个，生产线每小时生产护目镜个． （1）若生产线一共工作小时，且生产护目镜的总数量不少于个，则生产线至少生产护目镜多少小时？ （2）原计划生产线每天均工作小时，但现在为了尽快满足我市护目镜的需求，两条生产线每天均比原计划多工作了相同的小时数，但因为机器损耗及人员不足原因，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个，生产线每增加小时，该生产线每小时的产量将减少个．这样一天生产的护目镜将比原计划多个，求该厂实际每天生产护目镜的时间． 【答案】（1）生产线至少生产口罩小时；（2）该厂实际每天生产口罩的时间为． 【分析】（1）设生产线至少生产口罩小时，根据生产护目镜的总数量不少于个列出不等式求解即可； （2）设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为，根据实际一天生产的护目镜将比原计划多个列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设生产线至少生产口罩小时 解得： 答：生产线至少生产口罩小时. （2）解：设该厂实际每天生产口罩比原计划多的时间为 解得： 生产时间： 答：设该厂实际每天生产口罩的时间为. 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系和等量关系，列出不等式和方程． 13．随着铁路运量的不断增长，重庆火车北站越来越拥挤，为了满足铁路交通的快速发展，该火车站从去年开始启动了扩建工程，其中某项工程，甲队单独完成所需时间比乙队单独完成所需时间多5个月，并且两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍． （1）求甲、乙队单独完成这项工程各需几个月？ （2）若甲队每月的施工费为100万元，乙队每月的施工费比甲队多50万元，在保证工程质量的前提下，为了缩短工期，拟安排甲、乙两队分工合作完成这项工程．在完成这项工程中，甲队施工时间是乙队施工时间的2倍，那么，甲队最多施工几个月才能使工程款不超过1500万元？（甲、乙两队的施工时间按月取整数） 【答案】（1）甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月． （2）甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元． 【分析】（1）若乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月，等量关系为：“两队单独完成所需时间的乘积恰好等于两队单独完成所需时间之和的6倍”，据此列方程求解即可． （2）设甲队施工m个月，求出乙施工的时间，根据工程款不超过1500万元，列不等式求解． 【详解】解：（1） 设乙队单独完成这项工程需x个月，则甲队单独完成这项工程需（x+5）个月， 根据题意，得， 即， 解得（不合题意，舍去）． ∴． 答：甲队单独完成这项工程需15个月，乙队单独完成这项工程需10个月． （2）设甲队施工m个月，则乙施工的时间为m 个月， 由题意得，100m+（100+50）m≤1500， 解得： ∵施工时间为整数， ∴m≤8， 答：完成这项工程，甲队最多施工8个月才能使工程款不超过1500万元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用，难度一般，解本题的关键是根据题意设出未知数列出方程及不等式求解． 14．甲、乙两工程队合作完成某修路工程，该工程总长为4800米，原计划32小时完成．甲工程队每小时修路里程比乙工程队的2倍多30米，刚好按时完成任务． (1)求甲工程队每小时修的路面长度； (2)通过勘察，地下发现大型溶洞，此工程的实际施工里程比最初的4800米多了1000米，在实际施工中，乙工程队修路效率保持不变的情况下，时间比原计划增加了()小时；甲工程队的修路速度比原计划每小时下降了米，而修路时间比原计划增加m小时，求m的值． 【答案】(1)甲工程队每小时铺设的路面长度为110米 (2)m的值为18 【分析】（1）设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“甲工程队铺设的路面长度+乙两工程队铺设的路面长度=5800”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙两工程队每小时铺设路面x米，则甲工程队每小时铺设路面米， 根据题意得，， 解得：， 则， ∴甲工程队每小时铺设的路面长度为110米； （2）解：根据题意得， ， 整理得，， 解得：（舍去）， ∴m的值为18． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 15．由于疫情反弹，某地区开展了连续全员核酸检测，9月7日，医院派出13名医护人员到一个大型小区设置了、两个采样点进行核酸采样，当天共采样9220份，已知点平均每人采样720份，点平均每人采样700份． (1)求、两点各有多少名医护人员？ (2)9月8日，医院继续派出这13名医护人员前往这个小区进行核酸采样，这天，社区组织者将附近数个商户也纳入这个小区采样范围，同时重新规划，决定从点抽调部分医护人员到点经调查发现，点每减少1名医护人员，人均采样量增加10份，点人均采样量不变，最后当天共采样9360份，求从点抽调了多少名医护人员到点？ 【答案】(1)A检测队有6人，B检测队有7人 (2)从B检测队中抽调了2人到A检测队 【分析】（1）设A点有x名医护人员，B点有y名医护人员，根据“A、B两个采样点共13名医护人员，且当天共采样9220份”，即可得出关于x，y的且当天共采样9220份，即可得出关于x， y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设从B点抽调了m名医护人员到A点，则B点平均每人采样份,根据重新规划后当天共采样9360份，即可得出关于m的一元_二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设A检测队有人，B检测队有人， 依题意得：，分解得： 答：A检测队有6人，B检测队有7人； （2）解：设从B检测队中抽调了人到A检测队，则B检测队人均采样人， 依题意得：， 解得：，解得：，， 由于从B对抽调部分人到A检测队，则故， 答：从B检测队中抽调了2人到A检测队． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 16．甲、乙两工程队共同承建某高速铁路桥梁工程，桥梁总长5000米．甲，乙分别从桥梁两端向中间施工．计划每天各施工5米，因地质情况不同，两支队伍每合格完成1米桥梁施工所需成本不一样．甲每合格完成1米桥梁施工成本为10万元，乙每合格完成1米桥梁施工成本为12万． (1)若工程结算时，乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米． (2)实际施工开始后，因地质情况及实际条件比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化，甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米．若最终每天实际总成本在少于150万的情况下比计划多万元．求a的值． 【答案】(1)甲最多施工2500米 (2)a的值为6 【分析】（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米，由工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （2）根据总成本=每米施工成本×每天施工的长度结合甲每合格完成1米隧道施工成本增加a万元时，则每天可多挖米．乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲工程队施工x米，则乙工程队施工（5000-x）米， 依题意，得：12（5000-x）≥×10x， 解得：x≤2500， 答：甲最多施工2500米． （2）依题意，得： ， 整理，得：， 解得：，， 当时，总成本为：（万元）， ∵， ∴不符合题意舍去； 当时，总成本为：（万元）， ∵， ∴符合题意； 答：a的值为6． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 【类型3 行程问题】 17．一辆正以8米/秒的速度沿直线行驶汽车，突然速度每秒增加1米/秒． (1)汽车行驶5秒时的速度为______米/秒． (2)求汽车行驶了18米时的速度． (3)当汽车行驶了x秒，行驶的距离为y米时，直接写出y关于x的函数解析式． （提示：距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） 【答案】(1)13 (2)10米/秒 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，函数关系式的建立等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据速度每秒增加1米，则5秒速度增加到（米/秒）； （2）设汽车行驶了x秒，则此时的速度为米/秒，根据“距离=平均速度时间t，”列方程求解； （3）根据“距离=平均速度时间t，”建立函数关系式． 【详解】（1）解：（米/秒）， 故答案为：13； （2）解：设汽车行驶了x秒，则此时的速度为米/秒． 根据题意，得． 解得，（舍去）． 米/秒 答：汽车行驶了18米时的速度为10米/秒． （3）解：由题意得， ∴． 18．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一步求解即可. （2）①利用列代数式即可； ②利用建立一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：①这段时间内小球的平均速度； ②由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， ∴. 19．是一条东西方向的道路，是一条南北方向的道路，这两条道路相交于点．小明和小丽分别从十字路口点处同时出发，小丽沿着以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中点处，古树与、的距离分别为3千米和2千米．问离开路口后经过多少时间，两人与这棵古树的距离恰好相等． 【答案】小时 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意，假设小明看作点，小丽看作点，再过分别作、的垂线，两人与这棵古树的距离恰好相等，也就是，在直角三角形中利用勾股定理列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设两人离开路口时间为，小明看作点，小丽看作点， 千米，千米 两人与这棵古树的距离恰好相等，则 根据题意处与、的距离分别为3千米和2千米 如图，过点作 ， 在中，，即 在中，，即 解得（舍去）， 答：离开路口后经过小时，两人与这棵古树的距离恰好相等． 20．一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1)则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2)从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3)汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】(1)15米/秒；2秒 (2)15米/秒 (3)秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意正确列出式子． （1）由题意可得从刹车到停车所滑行了30米，根据题意可求出平均车速，继而可求得时间； （2）汽车从刹车到停车，车速从30米/秒减少到0，由（1）可得车速减少共用了2秒，平均每秒车速减少量总共减少的车速时间，由此可求得答案； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒，，继而可表示出这段路程内的平均车速，根据“路程平均速度时间”列方程并求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； （2）从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； （3）设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 21．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 (2)60分钟 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 22．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)它们运动了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 23．甲、乙两个机器人分别从相距70m的A、B两个位置同时相向运动．甲第1分钟走2m，以后每分钟比前1分钟多走1m，乙每分钟走5m． (1)甲、乙开始运动后多少分钟第一次同时到达同一位置？ (2)如果甲、乙到达A或B后立即折返，甲继续每分钟比前1分钟多走1m，乙继续按照每分钟5m的速度行走，那么开始运动后多少分钟第二次同时到达同一位置？ 【答案】(1)7分钟 (2)15分钟 【分析】（1）根据题意先设n分钟后第1次相遇，利用数列求和知识得到关于n的方程，解此方程即可得甲、乙开始运动后几分钟相遇； （2）先设n分钟后第2次相遇，依路程关系得到一个关于n的方程，解方程即得第2次相遇是在开始后多少分钟． 【详解】（1）解：设n分钟后第1次相遇，依题意，有+5n＝70， 整理得n2+13n﹣140＝0， 解得n＝7，n＝﹣20（不符合题意，舍去） 第1次相遇是在开始后7分钟． 答：甲、乙开始运动后7分钟第一次同时到达同一位置； （2）解：设n分钟后第2次相遇，依题意，有5n＝3×70， 整理得n2+13n﹣420＝0， 解得n＝15，n＝﹣28（不符合题意，舍去） 故第2次相遇是在开始后15分钟． 答：开始运动后15分钟第二次同时到达同一位置． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找出等量关系，设恰当未知数，列出方程是解题的关键． 24．周末，小明和小红约着一起去公园跑步锻炼身体若两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小明的跑步速度是小红跑步速度的1.2倍，那么小明比小红早5分钟到达B地． (1)求小明、小红的跑步速度； (2)若从A地到达B地后，小明以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息），据了解，在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小明共消耗2300卡路里的热量，小明从A地到C地锻炼共用多少分钟． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）分别设小红和小明的速度，根据等量关系（小明比小红早5分钟到达B地）列出等量关系式，按照分式方程即可求解，求解后检验所求解是不是方程解． （2）先求出小明前30分钟中的5分钟是从B地到C地，然后按照小明共消耗2300卡里的热量列方程，最后求解． 【详解】（1）解：设小红的速度为，则小明的速度为， 依据题意列方程得，， ， ， 经检验，是原式方程的解． ． 小红的速度为，小明的速度为． 故答案为：；． （2）解：小明的速度为， 小明从A地道B地需要的时间为：． 小明在他从跑步开始前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里， ． 设B地到C地的距离为，依据题意列方程得， ， ， ， ， 或（舍去）． A地到C地所需要时间为：． 故答案为：． 【类型4 几何图形围栏问题】 25．为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点．如图是快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙；这堵墙长10米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道1.5米宽的门．围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材14米．请求出这个快递投放点的边和的长． 【答案】的长为6米，的长为5米 【分析】设的长为x米，则的长为米，根据计划在小区内的空地搭建一个面积为30平方米的快递投放点，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】解：设的长为x米，则的长为米， 根据题意得， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意舍去． 答：的长为6米，的长为5米． 26．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长的墙建造面积为的矩形区域来养鹌鹑，该单位准备修建长为的篱笆，并提供以下两种方案： (1)如图1，若选取墙的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙上借用的的长度为多少? (2)如图2，若全部借用的长度，并在的延长线上拓展，构成矩形，篱笆由、、和构成，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的长为，则，由矩形，得，解方程即可； （2）设长为，则，由矩形，得，,由题意，得，解方程即可； 【详解】（1）解：设的长为，则， 由矩形，得， 整理，得， 解得， ， 舍去； ， ． （2）解：设长为，则， 由矩形，得， 由题意，得， 整理，得， 解得， 由长度不能为负数， 故舍去， 故， 故的长为． 27．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设． (1)的长用含的代数式表示为 m； (2)现要围成面积为的花圃能行吗？若能，请求出长方形的边长；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)解：不能，理由如下： 根据题意，得， 整理，得， 解得， 当时，，不符合题意， 答：不能围成面积为的花圃． 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据题意，列方程求得方程的根，检验即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 则； （2）略． 28．某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 【答案】(1)，；； (2)解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】根据图形和条件确定边长表达式； 根据面积公式列出方程求解即可； 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略． 29．小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 【答案】(1)①；②米 (2)养蜂场的面积不能达到平方米．理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到平方米， ∵长为米， ∴， 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到平方米． 【分析】（1）①利用“的长的长木栏总长门的宽度的长”，可用含的代数式表示出的长； ②根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合，即可确定结论； （2）假设养蜂场的面积可以达到平方米，由长为米，可得出长为米，根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不正确． 【详解】（1）解：①依题意，得：（米）； ②依题意，得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴的长为米； （2）略． 30．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门． (1)设花圃的一边长为x米，请你用含x的代数式表示另一边的长； (2)若此时花圃的面积刚好为，求此时花圃的长与宽； (3)能否围成面积为的花圃？请说明理由． 【答案】(1)米 (2)花圃的长为9米，宽为5米 (3)解：不能围成面积为的花圃，理由如下： 当花圃的面积刚好为时， ， 化简得：， ∴， ∴该方程没有实数解， ∴不能围成面积为的花圃． 【分析】（1）设花圃的宽长为x米，则米； （2）由矩形面积，列出方程，解方程可得答案； （3）由矩形面积，列出方程，判断方程的解的情况可得答案． 【详解】（1）解：∵宽米， ∴长（米）； （2）解：∵花圃的面积刚好为平方米， ∴， 化简得：， 解得：，， 当时，长，不合题意，舍去； 当时，长，符合题意； 答：花圃的长为9米，宽为5米． （3）略 31．某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． (1)①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； (2)饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)①；②米； (2)解：不能，理由如下： 当饲养场面积为170平方米时，， 整理得， 判别式， 方程无实数根， 因此饲养场面积不能达到170平方米. 【分析】（1）①用总长加上两个门宽再减去2个的长，列出代数式即可；②根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程，利用判别式判断方程的根的情况，即可. 【详解】（1）解：①由题意，（米）； ②由题意，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故米； （2）略 32．综合与探究：剪纸艺术中的数学问题 剪纸是我国传统民间艺术，某同学有一张长为、宽为的长方形卡纸． 操作过程： 为制作花边图案，该同学在长方形卡纸的四个角各截去一个相同大小的小正方形，剩余中间的长方形剪纸图案区域（阴影部分）面积为． 探究问题： (1)设剪去的小正方形的边长为，请用含x的代数式表示剩余图案阴影区域的长和宽；长为_______________，宽为_______________． (2)求出剪去的小正方形的边长； (3)若剩余图案阴影区域需要再裁剪出边长为的小正方形贴纸，直接写出最多可以裁剪多少个． 【答案】(1)， (2) (3)个 【分析】（1）剩余图案阴影区域的长和宽为长方形卡纸的长和宽减去个小正方形的边长，据此列代数式； （2）根据长方形面积建立一元二次方程求解即可； （3）先求出剩余图案阴影区域的长和宽，再求解长和宽上可裁剪的个数即可． 【详解】（1）解：设剪去的小正方形的边长为，则长为，宽为； （2）解：由题意得，， 整理得 解得， 当时，长和宽均小于0，不符合题意，舍去， ∴小正方形的边长为； （3）解：当小正方形的边长为时，剩余图案阴影区域的长为，宽为， ∵，取整数；， ∴ ∴最多可以裁剪个． 【类型5 比赛问题】 33．我校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛．比赛组织者应邀请多少个队参赛． 【答案】10 【分析】先根据赛程安排算出总比赛场数为场，再设邀请个 队参赛，根据题意总共的比赛场数为，列一元二次方程进行求解即可， 【详解】解：∵赛程计划安排9天，每天安排5场比赛， 总比赛场数为 场， 设比赛组织者应邀请个队参赛， 参赛的每两个队之间都要比赛一场， 比赛总场数为， 由此可得方程：， 解得 （不符合题意，舍去）， 比赛组织者应邀请10个队参赛． 34．2025年，我国各地“城超”（城市足球超级联赛）热闹非凡，人气火爆．某省“城超”联赛小组赛赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），若小组赛一共进行了156场比赛，则共有多少个球队参加比赛？ 【答案】13个 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． 设共有x个球队参加比赛，则可得方程，再解方程即可． 【详解】解：设共有x个球队参加比赛． ．    整理得：． 解得： （不合题意，舍去）     答：共有13个球队参加比赛． 35．“滇超联赛”是一项覆盖全省、全域联动的足球赛事，本届“滇超联赛”汇聚全省多个州市代表队，赛程长达8个月，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），赛事主办方计划安排120场比赛，则共有多少个州市代表队参加比赛？ 【答案】16个 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用单循环比赛的场次计算公式列方程求解即可． 【详解】解：设共有x个州市代表队参加比赛 根据题意，单循环赛制中每两队之间赛一场， ∴总比赛场次为， ∵赛事主办方计划安排120场比赛 ∴， ∴， 解得，； ∵代表队的数量不能为负数， ∴舍去， 答：共有16个州市代表队参加比赛． 36．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）．乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_____，请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，乐乐列出的方程应该是：， ∴， 整理得， 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法正确； 故答案为：； （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得，（舍去）， ∴x的值为10． 37．九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． (1)依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； (2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 【答案】(1)正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， 整理得 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法是正确， （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 整理得， ∴， 解得（舍去）， ∴x的值为． 38．象棋是一种源自中国的传统棋类游戏，具有悠久的历史和深厚的文化底蕴．九年级（1）班利用课余时间开展象棋比赛，班主任要求每个选手都与其他选手恰好比赛一局，信息如下： (1)若该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与_______个选手比赛一局，比赛总共有______局； (2)求这次比赛共有多少个选手参加？ 【答案】(1) (2)45个 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据题意，列出代数式即可； （2）根据每局比赛必得2分，以及所获总分，列出一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：该班级共有n个参赛选手，则每个选手都要与个选手比赛一局，比赛总共有局； （2）设这次比赛共有个选手参加，依题意，得， 解方程，得（不符合题意，舍） 答：这次比赛共有45个选手参加． 39．为增强同学们的体质，丰富校园文化体育生活，富川县某校八年级举行了篮球比赛，比赛以循环赛的形式进行，即每个班级之间都要比赛一场，共比赛了45场． (1)问该校八年级共有几个班？ (2)篮球比赛胜一场得2分，负一场得1分，小奉同学所在的2101班要想获得不低于14分的积分，至少要取得多少场胜利？ 【答案】(1)10个班 (2)5场 【分析】（1）该校八年级共有个班，利用比赛的总场数该校八年级的班数（该校八年级的班数，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场，利用积分胜的场数负的场数，结合积分不低于14分，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：该校八年级共有个班， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：该校八年级共有10个班； （2）设小奉同学所在的2101班胜了场，则负了场， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为5． 答：小奉同学所在的2101班至少要取得5场胜利． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 40．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)本次比赛参赛队伍个数为16队 (3)能，参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分 【分析】（1）先求出A组、B组队伍数同为5个班级，且每个小组内场次为场，进而求出结论； （2）设A组、B组队伍数均为x队，列方程求解即可； （3）设A组有y队，则B组有队，列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵该校八年级共有10个班级参加比赛， ∴A组、B组队伍数一样多，同为5个班级， ∴每个小组内场次为场， ∴小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分； （2）解：因为参赛队伍总数为偶数个， 所以A组，B组队伍数一样多． 所以设A组、B组队伍数均为x队．则， 解得，（不符合题意，舍去）， 则队， 答：本次比赛参赛队伍个数为16队； （3）解：能，理由如下： 因为参赛队伍总数为奇数，所以设A组有y队，则B组有队． 所以， 解得，（不符合题意，舍去）， 所以， 则队， 答：参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $