专题02 绝对值 相关精选培优练 2026-2027学年北师大版七年级数学上册（重庆专用）

**基本信息** 聚焦绝对值核心概念，以7类56道题构建从非负性到几何意义的递进训练体系，强化概念应用与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |非负性求值|8道|含绝对值方程及相反数条件|基于绝对值非负性基础应用| |综合问题|8道|多说法辨析判断|深化绝对值性质理解与推理| |利用绝对值求值|8道|含符号条件的代数式计算|非负性与符号法则结合| |非负性最值|8道|含绝对值的代数式最值|非负性拓展应用| |数轴去绝对值|8道|结合数轴位置化简|几何直观与代数运算融合| |绝对值化简|8道|多字母符号讨论|分类讨论思想应用| |几何意义|8道|距离模型及最值探究|从代数到几何意义的升华|

专题02 绝对值相关精选培优练 （7种类型56道） 专题目录 【类型1 利用绝对值的非负性求值】 1 【类型2 绝对值相关综合问题】 4 【类型3 利用绝对值的求值】 10 【类型4 绝对值非负性相关最值问题】 13 【类型5 利用数轴去绝对值】 16 【类型6 绝对值的化简】 19 【类型7 绝对值的几何意义】 24 【类型1 利用绝对值的非负性求值】 1．若x，y满足，则（    ） A． B． C．1 D．5 【答案】B 【分析】本题考查绝对值的非负性，根据题意求出x、y，从而代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 2．若，则的值为（    ） A．3 B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质，熟练掌握几个非负数的和为零，则每个非负数均为零是解决问题的关键．根据非负数的性质，可得，即可求出的值． 【详解】∵ ∴，解得： ∴ 故选：A． 3．如果，那么a，b的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负数的性质列方程求出a、b的值即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得，， 故选：C． 【点睛】本题考查了非负数的性质．解题的关键是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 4．若与互为相反数，则的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的非负性求出、的值，再代入计算即可． 【详解】与互为相反数，即， ，， 解得，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查绝对值、相反数，代数式求值，解题的关键是理解相反数、绝对值的定义． 5．若，则的值是（　　） A．-11 B．10 C．-2 D．2 【答案】B 【分析】根据绝对值的非负性，可以得知等式成立的条件为，由此得到，继而得到的值． 【详解】解：因为， 所以，即， 所以． 故选B． 【点睛】本题考查利用绝对值的非负性求代数式的值，学生熟练掌握绝对值的非负性是本题解题的关键，由此得到代数式的值即可． 6．若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 【答案】A 【分析】本题重点考查了绝对值的非负性，属于基础题，记住“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”是解题关键．根据相反数的定义可得，再通过“几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0”，计算出a和b的值，即可得出结果． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ， ， ∴， 故选：A． 7．若与互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列式，再根据非负数的性质列式求出、的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：和互为相反数， ， 且， 解得，， 所以，． 故选：A． 【点睛】本题考查了非负数的性质，解题的关键是掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 8．若，则（　　） A． B． C．5 D．3 【答案】B 【分析】根据可知，可得，从而可得答案． 【详解】解：由得： 得： 故选：B 【类型2 绝对值相关综合问题】 9．下列说法正确的个数是（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的意义，解题的关键是掌握绝对值的定义：一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．当两个数的绝对值相等时，注意有2种情况．据此解答即可． 【详解】解：①相等的两个数的绝对值相等，故说法①正确，符合题意； ②互为相反数的两个数的绝对值相等，故说法②正确，符合题意； 绝对值相等的两个数相等或互为相反数，故说法③与说法④不正确，不符合题意， ∴说法正确的个数是． 故选：C． 10．下列说法：最大值是；若，则为负数；若，则的值为非正数；若，则．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值是它的相反数，的绝对值是，即可判断，正确理解绝对值的性质是解题的关键． 【详解】解：最大值是，故正确； 若，则为正数或，故错误； 若，则的值为非正数，故正确； 若，则，故正确， 综上正确，共个， 故选：． 11．下列五种说法中：①若，则；②若，则 ；③若，则；④若，则；⑤若，则，一定正确的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的意义，根据绝对值的性质逐个分析判断即可得出答案． 【详解】解：①若，则，错误，例如，但； ②若，则，错误，例如，但； ③若，则，错误，例如，但； ④若，则，故④正确； ⑤若，则，故⑤正确， 一定正确的有④⑤，共2个， 故选：B． 12．已知a，b是有理数，且，下列结论：①；②；③若是有理数，且满足，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数乘法，有理数加减法，灵活运用所学知识是解题的关键．根据两数相乘同号为正，异号为负可知，即可判断①；再由，可得即可判断②；由，根据绝对值的意义可求出；或，进而可求出或，，即可判断③． 【详解】解：因为， 所以，故①正确； 又因为， 所以，故②正确； 因为， 所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为， 所以或， 所以或， 所以或，故③错误， 故选：C． 13．已知a，b为有理数，下列说法：①若a，b互为相反数，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查有理数的性质、绝对值运算及逻辑判断，注意绝对值不等式的解集及代数条件的完备性，避免忽略特殊值（如零）导致错误． 需逐一分析各说法的正确性：①考虑相反数定义及分母不为零；②解绝对值不等式；③通过代数变换分析条件；④利用绝对值比较推导不等式． 【详解】解：∵ ①若互为相反数，则，但当时，无意义， ∴①错误；   ∵ ②或，∴不一定成立， ∴②错误； ∵ ③设，则，即，但结论要求（严格不等）， 当时条件成立但结论不成立， ∴③错误；   ∵ ④，故，且，∴恒成立， ∴④正确． 综上，只有④正确，正确结论有1个． 故选：B． 14．在下列说法中： ①若，则； ②若，则； ③若是有理数，则一定是正数； ④若，则； ⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为2或． 其中正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的定义及分类讨论思想是解题的关键． 根据绝对值的性质，对每个说法逐一分析判断． 【详解】，，①正确； ，，，②错误； 当时，，不是正数，③错误； 当时，无意义，④错误； 若，当负数个数为1时，， 当负数个数为2时， 当负数个数为3时，，故⑤正确． 综上，①和⑤正确，共2个． 故选：． 15．在下列说法中：①若，则；②若，则；③若m是有理数，则不可能是负数；④若，则；⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为2或．其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数，绝对值的意义，解题的关键是理解相反数，绝对值的定义．利用相反数的意义，绝对值的意义对每个说法进行判断，错误的举出反例即可． 【详解】解：①若，则，正确，符合题意； ②若，则，原结论不正确，不符合题意； ③若是有理数，则，原说法正确，符合题意； ④若时，，原结论不正确，不符合题意； ⑤∵、、均为非零有理数，若， ∴负数个数可能为1或2或3个： 1个负数时，， 2个负数时，， 3个负数时， 综上，，则的值为 2 或，原说法正确，符合题意； 故选：B． 16．下列说法中，正确的个数（   ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若，则； ⑤，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的化简、数轴上两点间的距离公式等知识点．根据绝对值的化简法则、数轴上两点间的距离公式即可进行判断． 【详解】解：∵，∴且，故，故①错误； ∵，∴， ∴，即， ∴不是正数；故②错误； ∵三点在数轴上对应的数分别是，若相邻两点的距离相等， ∴或或， ∴或或， 解得：或或，故③错误； ④若，则；故④正确； ⑤∵，， ∴中有两个正数一个负数， ，，， 设，，， 则，故⑤错误； 综上正确的④，共1个； 故选：A． 【类型3 利用绝对值的求值】 17．若，且，则的值为_______． 【答案】5 【分析】本题考查绝对值的定义及有理数的加法，运用符号分析思想，易错点是忽略符号导致取值错误；根据绝对值和符号确定的值，然后计算它们的和． 【详解】解：因为 ，所以 ； 因为 ，所以 ； 又因为 ，所以 ，； 因此 ． 18．若，且，则的值为______． 【答案】5或 【分析】本题考查有理数的减法和绝对值，先根据绝对值的性质分析出与的值，再进行计算即可，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 【详解】解：，， ，， ， ，，或，， 故或． 故答案为：5或． 19．已知|a|＝5，|b|＝9，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为___． 【答案】−4或−14 【分析】根据绝对值的性质求出a、b的值，然后代入进行计算即可求解． 【详解】∵|a|=5，|b|=9， ∴a=5或−5，b=9或−9， 又∵|a+b|=a+b， ∴a+b⩾0， ∴a=5或−5，b=9， ∴a−b=5−9=−4， 或a−b=−5−9=−14， 故答案为：−4或−14． 【点睛】此题考查绝对值，解题关键在于掌握其性质． 20．已知，若a，b同号，则___________；若a，b异号，则___________．据此讨论与的大小关系___________． 【答案】 7 1 【分析】根据绝对值的定义和有理数的加法法则解答即可． 【详解】解：∵， 若a，b同号，则或，则或； 若a，b异号，则或，则或； 由上可得：若a，b同号或至少有一个为零，则；若a，b异号，则，由此可得：． 故答案为：7，1，． 【点睛】本题考查了有理数的绝对值和有理数的加法，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 21．已知|a|＝6，|b|＝2，|a+b|＝a+b，则a﹣b＝_______． 【答案】4或8/8或4 【分析】根据绝对值的意义，已知|a|＝6，|b|＝2，可以确定a，b的值，根据|a+b|＝a+b知a＝6，b＝2或b＝﹣2，再分别求解可得． 【详解】解：∵|a|＝6，|b|＝2， ∴a＝±6，b＝±2， ∵|a+b|＝a+b， ∴a+b≥0， 则a＝6，b＝2或b＝﹣2， ∴当a＝6，b＝2时，a﹣b＝6﹣2＝4； 当a＝6，b＝﹣2时，a﹣b＝6﹣（﹣2）＝8； 综上，a﹣b的值为4或8， 故答案为：4或8． 【点睛】本题主要考查有理数的减法，根据绝对值的意义，准确确定a、b的值是解题的关键． 22．已知|x|＝2，|y|＝1，且|x﹣y|＝y﹣x，则x-y=____． 【答案】-3或-1/-1或-3 【分析】根据绝对值的意义得到x=-2，y=1或y=1，然后计算x-y的值． 【详解】解：∵|x-y|=y-x， ∴y>x， ∵|x|=2，|y|=1， ∴x=-2，y=1或y=1， 当x=-2，y=1时，x-y=-2-1=-3； 当x=-2，y=-1时，x-y=-2+1=-1． 故答案为：-3或-1． 【点睛】本题考查了有理数的减法以及绝对值，根据题意得出x、y的值是解得本题的关键． 23．若有理数x、y满足，，，求的值________． 【答案】或/或 【分析】根据绝对值的定义求出x，y的值，再根据进行取舍，代入即可解答． 【详解】∵，， ∴，， ∵ ∴，或，， ∴当，时，， 当，时，， ∴或． 【点睛】本题考查绝对值的定义，有理数的大小比较，熟练掌握绝对值的定义，有理数的大小比较是解题的关键． 24．若|x|＝6，|y|＝12，且x＞y，则x＋y的值为______． 【答案】-6或-18/-18或-6 【分析】根据绝对值的性质求出x、y，然后判断出x、y的对应情况，再根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解． 【详解】解：∵|x|＝6，|y|＝12， ∴x＝±6，y＝±12， ∵x＞y， ∴x＝±6时，y＝−12， ∴x＋y＝6＋（−12）＝−6， 或x＋y＝（−6）＋（−12）＝−18， ∴x＋y的值为−6或−18． 故答案为：−6或−18． 【点睛】本题考查了绝对值的性质，有理数的加法，熟记性质是解题的关键，难点在于确定x、y的对应情况． 【类型4 绝对值非负性相关最值问题】 25．当_____时， 会有最小值， 且最小值是_______ 【答案】 1 6 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握任意一个数的绝对值大于等于0． 由绝对值的非负性可知，即最小是0即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，有最小值， 即时有最小值6， 此时． 故答案为：1；6． 26．当_____时，会有最小值，且最小值是 _____． 【答案】 1 5 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握任意一个数的绝对值大于等于0． 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，有最小值， 即时有最小值5， 此时． 故答案为：1；5． 27．当_________时，有最小值． 最小值是_________． 【答案】 1 4 【分析】根据绝对值的意义进行解答得出结果即可． 【详解】解：∵，且时，即时，等号成立， ∴当时，有最小值． 最小值是4． 故答案为：1；4． 【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义，任何一个数的绝对值都大于等于0． 28．若式子有最小值，则该最小值为________ 【答案】 【分析】本题考查的是非负数的性质，根据任何数的绝对值都是非负数解答即可． 【详解】解：∵， ∴当时，式子有最小值，最小值为． 故答案为：． 29．若有最大值，这个最大值是______． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值的非负性，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键． 根据绝对值的非负性得出的最小值是0，从而得出式子的最大值． 【详解】解： ， 的最小值是0． 的最大值是3． 故答案为：3． 30．当______时，有最大值，最大值为______． 【答案】 1 【分析】根据绝对值的非负性可得，进而可得，即，可得答案． 【详解】解：因为， 所以，即， 所以当时，有最大值， 故答案为：1，． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，得出是解题关键． 31．对于，当___________时，它有最小值，且此时最小值___________同理，对于有最大值，此时最大值___________． 【答案】 0 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的加法，有理数的减法．熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 根据绝对值的非负性求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴当时，有最小值，最小值为， 当时，有最大值，最大值为， 故答案为：0，，． 32．代数式最大值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值的非负性．熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 利用绝对值的非负性得出时，取得最大值即可求解． 【详解】解：， 的最小为0， ∴当时，取得最大值，最大值为， 代数式最大值为3． 故答案为：3． 【类型5 利用数轴去绝对值】 33．如图，数轴上的三个点分别表示有理数，化简_____． 【答案】 【分析】根据数轴所示三个点所在位置，可得，进而得到，根据绝对值的运算法则化简后即可得到答案. 【详解】解：由题中数轴所示，可得， ∴， ∴原式． 34．有理数a、b、c在数轴上的位置如下图所示，化简：______． 【答案】/ 【分析】由图可得，，，，然后根据绝对值的性质进行化简即可求解． 【详解】解：由图可得，，，， ∴原式 35．若有理数在数轴上的位置如图所示，则化简____． 【答案】0 【分析】由数轴可得a，b，c的正负及各自绝对值的大小，得出，，的正负；再根据绝对值的性质，先去掉绝对值号，再计算，得到结果． 【详解】解：由数轴可得，，，， ，，， 36．若实数，，在数轴上对应位置如图所示，且，则化简的结果为______． 【答案】 【分析】先根据数轴以及已知条件得出，再化简绝对值，最后再进行整式的加减运算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 37．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 【答案】 【分析】先根据数轴判断代数式的正负，再求绝对值合并同类项即可化简． 【详解】解：根据数轴可知，，， 则，，， 38．有理数在数轴上的位置如图所示：化简___________． 【答案】 【分析】根据有理数在数轴上的位置得到，进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ． 39．有理数、、在数轴上的位置如图，则的化简结果为___________． 【答案】 【分析】由数轴可知，，进而可得，，，再根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由图可知，，， ∴，，， ∴ ． 40．有理数、、在数轴上的位置如图所示，化简：的值为______． 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置，判断出绝对值内式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果． 【详解】解：根据数轴可得：， ∴，， ∴ ． 【类型6 绝对值的化简】 41．已知，那么______． 【答案】2或或0 【分析】本题根据可知均不为，需对的正负性分类讨论，利用绝对值的性质化简后计算即可． 【详解】解： ， 分四种情况讨论： ①当，时， ； ②当，时， ； ③当，时， ； ④当，时， ； 综上，的值为2或0或． 42．已知，都不是零，写出的所有可能的值_____． 【答案】3或 【分析】本题主要考查了绝对值的定义及分类讨论的思想，要对，所有可能出现的不同情况进行分类讨论，找出符合要求的取值，代入求值． 【详解】解：对，的取值情况分类讨论如下： ①当，都是正数时，； ②当，都是负数时，； ③当，中有一个正数，一个负数时，、、中有一个1，两个，所以和为． ∴的所有可能的值是3或， 故答案为：3或． 43．若有理数数x，y满足，且，则________． 【答案】或0或2 【分析】本题主要考查了化简绝对值，有理数的乘法计算，有理数的除法计算，分当x、y的符号都为正时，当x、y的符号都为负时，当x、y的符号为一正，一负时，三种情况先去绝对值求解即可得到答案． 【详解】解：当x、y的符号都为正时，则， 当x、y的符号都为负时，则； 当x、y的符号为一正，一负时，不妨设x的符号为负，则； 综上所述，或或， 故答案为：或0或2． 44．已知a、b均为不等于0的有理数，则的值为_______． 【答案】3或 【分析】本题考查了绝对值的化简问题． 根据a和b的符号分类讨论，计算每个项的值，再求和即可． 【详解】解：当且时， ，，， 故原式； 当且时， ，，， 故原式； 当且时， ，，， 故原式； 当且时， ，，， 故原式； 综上，原式的值为3或． 故答案为：3或． 45．如果是有理数，且，那么的值为___________． 【答案】3或 【分析】本题考查了绝对值的性质与分类讨论思想，解题的关键是根据、的正负性分情况计算． 根据、的正负性（同正、同负、一正一负）分类讨论，结合绝对值的性质计算式子的值． 【详解】解：因为，所以且， 分以下四种情况讨论： ①当时， ， 原式； ②当时， ， 原式； ③当时， ， 原式； ④当时， ， 原式， 综上，式子的值为3或． 故答案为：3或． 46．已知，则__________． 【答案】±3或±1 【分析】根据题意可分情况进行求解，即当a、b、c同为正和同为负时，当a、b、c有两正一负和两负一正时，然后进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当a、b、c同为正时，则有， 当a、b、c同为负时，则有， 当a、b、c有两正一负，则有； 当a、b、c有两负一正，则有； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查绝对值的意义、正负数及有理数的加法，熟练掌握绝对值的意义、正负数及有理数的加法是解题的关键． 47．计算：_________． 【答案】或 【分析】根据题意分四种情况进行分析，然后求解即可． 【详解】解：①当a、b、c三个为正， 原式=1+1+1=3； ②a、b、c三个为负， 原式=-1-1-1=-3； ③a、b、c两个为正，一个为负时， 原式=1+1-1=1； ④a、b、c一个为正，两个为负时， 原式=1-1-1=-1； 综上所述，原式=±1或±3， 故答案为：±1或±3． 【点睛】题目主要考查绝对值的化简，熟练掌握绝对值的化简进行分类讨论是解题关键． 48．已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于_________． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的含义．分四种情况讨论即可得到结果，不重不漏是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值等于或， 故答案为：或． 【类型7 绝对值的几何意义】 49．我们知道的几何意义是数轴上表示的点与原点之间的距离；的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离．    (1)的几何意义是数轴上表示的点与表示 的点之间的距离，的几何意义是数轴上表示的点与表示 的点之间的距离； (2)利用绝对值的几何意义求满足等式的的值． (3)请你借助数轴，利用绝对值的几何意义找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． 【答案】(1)4； (2)或 (3)，，，， 【分析】本题考查数轴，绝对值，掌握数轴表示数的方法： （1）根据绝对值的几何意义即可得出答案； （2）利用绝对值的定义进行解答即可； （3）根据表示的几何意义，借助数轴得出答案； 正确理解绝对值的定义是解答的前提． 【详解】（1）解：依题意， 的几何意义是数轴上表示x的点与表示4的点之间的距离， 的几何意义是数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， （2）解：∵， 则表示数轴上的一个数到1的距离为3， 当这个数在1的左边时，则，此时； 当这个数在1的右边时，则，此时； 满足等式的的值为或4； （3）解：依题意， 则表示数轴上的一个数到3的距离与到的距离之和为4， 那么当在的左边时，如图：    则， 此时（不符合题意，故舍去）； 那么当在的右边时，如图：    则， 此时（不符合题意，故舍去）； 当在和3之间（包括和3），如图    则， 此时； 故所有符合条件的整数，使得，这样的整数是，，，，． 50．我们知道的几何意义是数轴上表示的点与原点之间的距离；的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离．    (1)的几何意义是数轴上表示的点与表示______的点之间的距离，的几何意义是数轴上表示的点与表示______的点之间的距离； (2)利用绝对值的几何意义求满足等式的的值． (3)请你借助数轴，利用绝对值的几何意义找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是__________________． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)4， (2)4或 (3)，0，1，2，3 (4)有，14 【分析】（1）直接根据数轴上两点之间的距离的表示方法求解； （2）分析得出的意义，据此求解； （3）分析得出的意义，结合数轴可得； （4）根据表示数轴上的点与、3和6的距离之和，再结合数轴求解． 【详解】（1）解：表示数轴上表示的点与表示4的点之间的距离， ， 表示数轴上表示的点与表示的点之间的距离； （2）表示数轴上与表示1的点之间的距离为3的点， ∴x的值为或； （3）表示数轴上与和3的距离之和为4的点， 由图可知：这样的整数是，0，1，2，3；    （4）表示数轴上的点与、3和6的距离之和， 当时，的值最小，且为．    【点睛】本题考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，绝对值的几何意义是解题的关键． 51．阅读材料：因为，所以的几何意义可解释为数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．这个结论可推广为：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： (1)等式的几何意义是什么？这里的值是多少？ (2)等式的几何意义是什么？这里的值是多少？ (3)式子的几何意义是什么？这个式子的最小值是多少？ 【答案】(1)几何意义为数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离等于，或 (2)几何意义是点到点的距离等于点到点的距离， (3)几何意义是点到点的距离与点到点的距离的和，最小值为 【分析】（1）根据的几何意义求解可得； （2）先去绝对值，再解方程即可求解； （3）由题意知表示数到和的距离之和，当数在两数之间时式子取得最小值． 【详解】（1）解：等式的几何意义为数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离等于，这里或． （2）解：设数轴上表示数，，的点分别为，，， 则等式的几何意义是点到点的距离等于点到点的距离，即，所以． （3）解：设数轴上表示数，，的点分别为，，， 则式子的几何意义是点到点的距离与点到点的距离的和，即． 结合数轴可知：当时，式子的值最小，最小值为． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 52．综合应用题： 的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离． (1)的几何意义是数轴上表示　 　的点与　 　之间的距离；　 　； (2)的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则　 　； (3)的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若，则　 　． (4)的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若，则　 　． (5)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是　 　． 【答案】(1)x，原点，= (2)1 (3)x，3，4或2 (4)x，，0或 (5) 【分析】（1）根据的几何意义求解； （2）根据的几何意义及绝对值的意义求解； （3）根据的几何意义及绝对值的意义求解； （4）根据的几何意义及绝对值的意义求解； （5）根据的几何意义及解不等式组求解； 【详解】（1）解： 的几何意义是数轴上表示x的点与原点之间的距离；， 故答案为：x，原点，＝； （2）解：的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则， 故答案为：1； （3）解：的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离，若，则或2， 故答案为：x，3，4或2． （4）解：的几何意义是数轴上表示x的点与表示的点之间的距离，若，则或． 故答案为：x，，0或 （5）解：使得这样的整数是； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，掌握数形结合是解题的关键． 53．先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上a，b两数所对的点A，B之间的距离，记作，如的几何意义：表示2与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，几何意义可理解为6与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为______；如果，求出x的值： (2)若，求x的值； (3)探究是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由 【答案】(1)，或者； (2)或． (3) 解：存在最大值，最大值为，理由如下： ∵表示数轴上表示数的点与表示数，的点之间的距离之差， 当时， ； 当时， ， 此时， 当时， ， 综上：的最大值为． 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，一元一次方程的应用，整式的加减的应用． （1）根据两点间的距离公式直接表示出来，然后再根据绝对值的意义求出x即可． （2）由表示数轴上表示数的点与表示数，的点之间的距离之和，再分三种情况，当时，，可得当时，对应的点在的右边或的左边，再进一步求解即可； （3）由表示数轴上表示数的点与表示数，的点之间的距离之差，再分三种情况讨论：当时，当时，当时，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得：或者． （2）解：∵表示数轴上表示数的点与表示数，的点之间的距离之和， ∴当时，， 当时， ∴对应的点在的右边或的左边， 当对应的点在的右边时， ∴， ∴， 解得：， 当对应的点在的左边时， ∴， ∴， 解得：； 综上：或． （3）略 54．材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如表示3和1在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示3和在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示3在数轴上对应的点到原点的距离．综上所述，数轴上A、B两点对应的数分别为a，b，且A，B两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求______；若，则_____；若，则_______； (2)的几何意义是数轴上表示x的点与表示______的点之间的距离，的几何意义是数轴上表示x的点与表示_______的点之间的距离，的最小值是_______． 【答案】(1)5，，1或 (2)1，，4 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，数轴上两点间距离，解题关键是熟练掌握数轴上两点间的距离公式． （1）根据有理数的减法法则，把减法化成加法进行计算，然后求出绝对值，最后根据绝对值的性质，列出关于的方程，解方程即可； （2）利用绝对值的几何意义和两点间的距离公式，即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得或， 故答案为：5，，1或； （2）解：的几何意义是数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， ∵， ∴的几何意义是数轴上表示x的点与表示的点之间的距离， ∵可以看作表示的点到1和的距离之和， 当点在与1之间的线段上，即时，； 有最小值，最小值为． 故答案为：1，，4． 55．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与－1所对应的点之间的距离． (1)探究问题：如图，数轴上，点分别表示数－1，2，． 因为的几何意义是线段与的长度之和，而当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，，所以的最小值是_______________； (2)解决问题： ①直接写出式子的最小值为__________； ②若满足时，则的值是__________； ③当为____________时，代数式的最小值是2．（直接写出结果） 【答案】(1)3 (2)①6；②或5；③或． 【分析】本题考查数轴和绝对值，熟练运用绝对值求数轴上两点之间的距离是本题的关键． （1）根据题意直接解答即可； （2）①根据的几何意义求其最小值即可； ②分别求解当和时对应的值即可； ③根据其几何意义，的最小值为和3对应的点之间的距离，利用数轴上两点之间的距离公式求解即可． 【详解】（1）解：当点在线段上时，；点在点的左侧或点的右侧时，，的最小值是3． 故答案为：3． （2）①∵ 的几何意义是数轴上对应的点与对应的点之间的距离与对应的点与4对应的点之间的距离之和， ∴当对应的点在和4对应的点之间时，有最小值，最小值为6． 故答案为：6； ②∵， ∴根据①可知，对应的点不在和4对应的点之间． ∴当对应的点在对应的点左侧时，即当 时， ，解得； 当对应的点在4对应的点右侧时，即当时，，解得． 综上，或5， 故答案为：或5； ③∵的最小值是2， ∴数轴上表示数1的点到表示数3的点的距离为2，数轴上表示数5的点到表示数3的点的距离也为2， ∴或． 故答案为：或． 56．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离．如果点表示的数记为，点表示的数记为，则A、B两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： (1)的几何意义是_____________；数轴上表示和-2的两点之间的距离表示_____________． (2)已知数轴上A，B两点对应的数分别为-1、3，点为数轴上任意一点，其对应的数为．若，则_____________； (3)当时，求的值？ 【答案】(1)数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离； (2)1 (3)6或0 【分析】本题考查数轴、绝对值的相关知识，利用数轴上绝对值的几何意义以及绝对值方程的解法来求解是解题的关键． （1）根据数轴上绝对值的几何意义解答即可； （2）根据题意得到，，得到，计算求解即可； （3）根据题意，得或，计算即可． 【详解】（1）解：的几何意义是数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离； ， 数轴上表示x和的两点之间的距离表示． 故答案为：数轴上表示x的点与表示3的点之间的距离；． （2）解：，， 根据题意，得， 即(无解）或， 解得． 故答案为：1． （3）解：根据题意，得或， 解得或， ∴x的值为6或0． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 绝对值相关精选培优练 （7种类型56道） 专题目录 【类型1 利用绝对值的非负性求值】 1 【类型2 绝对值相关综合问题】 2 【类型3 利用绝对值的求值】 3 【类型4 绝对值非负性相关最值问题】 4 【类型5 利用数轴去绝对值】 5 【类型6 绝对值的化简】 6 【类型7 绝对值的几何意义】 7 【类型1 利用绝对值的非负性求值】 1．若x，y满足，则（    ） A． B． C．1 D．5 2．若，则的值为（    ） A．3 B． C． D．0 3．如果，那么a，b的值为（　　） A． B． C． D． 4．若与互为相反数，则的结果为（     ） A． B． C． D． 5．若，则的值是（　　） A．-11 B．10 C．-2 D．2 6．若与互为相反数，则的值为（　　） A．3 B． C．0 D．3或 7．若与互为相反数，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．若，则（　　） A． B． C．5 D．3 【类型2 绝对值相关综合问题】 9．下列说法正确的个数是（　　） ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． A． B． C． D． 10．下列说法：最大值是；若，则为负数；若，则的值为非正数；若，则．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 11．下列五种说法中：①若，则；②若，则 ；③若，则；④若，则；⑤若，则，一定正确的有（   ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 12．已知a，b是有理数，且，下列结论：①；②；③若是有理数，且满足，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③ C．①② D．①③ 13．已知a，b为有理数，下列说法：①若a，b互为相反数，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．在下列说法中： ①若，则； ②若，则； ③若是有理数，则一定是正数； ④若，则； ⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为2或． 其中正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 15．在下列说法中：①若，则；②若，则；③若m是有理数，则不可能是负数；④若，则；⑤已知a、b、c均为非零有理数，若，则的值为2或．其中正确的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 16．下列说法中，正确的个数（   ） ①若，则； ②若，则有是正数； ③A、B、C三点在数轴上对应的数分别是、6、x，若相邻两点的距离相等，则； ④若，则； ⑤，，则的值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【类型3 利用绝对值的求值】 17．若，且，则的值为_______． 18．若，且，则的值为______． 19．已知|a|＝5，|b|＝9，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为___． 20．已知，若a，b同号，则___________；若a，b异号，则___________．据此讨论与的大小关系___________． 21．已知|a|＝6，|b|＝2，|a+b|＝a+b，则a﹣b＝_______． 22．已知|x|＝2，|y|＝1，且|x﹣y|＝y﹣x，则x-y=____． 23．若有理数x、y满足，，，求的值________． 24．若|x|＝6，|y|＝12，且x＞y，则x＋y的值为______． 【类型4 绝对值非负性相关最值问题】 25．当_____时， 会有最小值， 且最小值是_______ 26．当_____时，会有最小值，且最小值是 _____． 27．当_________时，有最小值． 最小值是_________． 28．若式子有最小值，则该最小值为________ 29．若有最大值，这个最大值是______． 30．当______时，有最大值，最大值为______． 31．对于，当___________时，它有最小值，且此时最小值___________同理，对于有最大值，此时最大值___________． 32．代数式最大值为______． 【类型5 利用数轴去绝对值】 33．如图，数轴上的三个点分别表示有理数，化简_____． 34．有理数a、b、c在数轴上的位置如下图所示，化简：______． 35．若有理数在数轴上的位置如图所示，则化简____． 36．若实数，，在数轴上对应位置如图所示，且，则化简的结果为______． 37．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为________． 38．有理数在数轴上的位置如图所示：化简___________． 39．有理数、、在数轴上的位置如图，则的化简结果为___________． 40．有理数、、在数轴上的位置如图所示，化简：的值为______． 【类型6 绝对值的化简】 41．已知，那么______． 42．已知，都不是零，写出的所有可能的值_____． 43．若有理数数x，y满足，且，则________． 44．已知a、b均为不等于0的有理数，则的值为_______． 45．如果是有理数，且，那么的值为___________． 46．已知，则__________． 47．计算：_________． 48．已知、为有理数，，且，当、取不同的值时，的值等于_________． 【类型7 绝对值的几何意义】 49．我们知道的几何意义是数轴上表示的点与原点之间的距离；的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离．    (1)的几何意义是数轴上表示的点与表示 的点之间的距离，的几何意义是数轴上表示的点与表示 的点之间的距离； (2)利用绝对值的几何意义求满足等式的的值． (3)请你借助数轴，利用绝对值的几何意义找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是 ． 50．我们知道的几何意义是数轴上表示的点与原点之间的距离；的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离．    (1)的几何意义是数轴上表示的点与表示______的点之间的距离，的几何意义是数轴上表示的点与表示______的点之间的距离； (2)利用绝对值的几何意义求满足等式的的值． (3)请你借助数轴，利用绝对值的几何意义找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是__________________． (4)由以上探索猜想是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 51．阅读材料：因为，所以的几何意义可解释为数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．这个结论可推广为：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离．根据上述材料，解答下列问题： (1)等式的几何意义是什么？这里的值是多少？ (2)等式的几何意义是什么？这里的值是多少？ (3)式子的几何意义是什么？这个式子的最小值是多少？ 52．综合应用题： 的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离． (1)的几何意义是数轴上表示　 　的点与　 　之间的距离；　 　； (2)的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则　 　； (3)的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若，则　 　． (4)的几何意义是数轴上表示　 　的点与表示　 　的点之间的距离，若，则　 　． (5)找出所有符合条件的整数x，使得这样的整数是　 　． 53．先阅读，并探究相关的问题： 【阅读】 的几何意义是数轴上a，b两数所对的点A，B之间的距离，记作，如的几何意义：表示2与5两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，几何意义可理解为6与两数在数轴上对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示x和的两点A和B之间的距离可表示为______；如果，求出x的值： (2)若，求x的值； (3)探究是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由 54．材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何意义，如表示3和1在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示3和在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示3在数轴上对应的点到原点的距离．综上所述，数轴上A、B两点对应的数分别为a，b，且A，B两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求______；若，则_____；若，则_______； (2)的几何意义是数轴上表示x的点与表示______的点之间的距离，的几何意义是数轴上表示x的点与表示_______的点之间的距离，的最小值是_______． 55．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与－1所对应的点之间的距离． (1)探究问题：如图，数轴上，点分别表示数－1，2，． 因为的几何意义是线段与的长度之和，而当点在线段上时，，当点在点的左侧或点的右侧时，，所以的最小值是_______________； (2)解决问题： ①直接写出式子的最小值为__________； ②若满足时，则的值是__________； ③当为____________时，代数式的最小值是2．（直接写出结果） 56．数轴是一个非常重要的工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，它是“数形结合”的基础．我们知道，它的几何意义是数轴上表示4的点与原点（即表示0的点）之间的距离，又如式子，它的几何意义是数轴上表示7的点与表示3的点之间的距离．如果点表示的数记为，点表示的数记为，则A、B两点间的距离就可记作．利用数形结合思想回答下列问题： (1)的几何意义是_____________；数轴上表示和-2的两点之间的距离表示_____________． (2)已知数轴上A，B两点对应的数分别为-1、3，点为数轴上任意一点，其对应的数为．若，则_____________； (3)当时，求的值？ 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $