专题01 有理数及其运算 拓展提升题 2026-2027学年北师大版七年级数学上册（重庆专用）

**基本信息** 聚焦有理数运算的5类拓展题型，通过40道题系统覆盖新定义、幻方、程序框图、规律探究及“24”点，强化抽象与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义新运算|8道|给定新运算规则，需代入计算|基于有理数四则运算，培养符号意识与规则理解| |幻方问题|8道|填数使行/列/对角线和相等|结合数字关系推理，发展推理意识与几何直观| |程序框图|8道|按流程代入计算或逆向求解|考查分步运算逻辑，提升计算思维与应用意识| |规律性问题|8道|观察数列/算式归纳规律|从特殊到一般，培养抽象能力与规律探究| |“24”点|8道|组合数字通过运算得24|综合运用四则运算，强化运算能力与创新意识|

专题01 有理数及其运算拓展提升题 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 有理数相关定义新运算】 1 【类型2 有理数相关幻方问题】 2 【类型3 有理数相关程序框图】 4 【类型4 有理数相关规律性问题】 7 【类型5 “24”点】 8 【类型1 有理数相关定义新运算】 1．新趋势·新定义用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和， （为常数），如：．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．七年级小莉同学在学习完第二章《有理数及其运算》后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．则（    ）． A． B．6 C．24 D．30 3．定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（   ） A．−2 B．−1 C．1 D．2 4．定义新运算“☆”，规定：，则的运算结果为（   ） A． B． C．7 D．5 5．若定义新运算：，如，请利用此定义计算：（    ） A． B． C． D． 6．定义新运算“”，规定：．如，则的运算结果为（   ） A． B． C．5 D．3 7．规定一种新运算“*”，对于任意有理数a和b，有，请你根据定义的新运算，计算的值是（　　） A． B．0 C．2 D．3 8．定义一种新运算“⊗”，规定：，等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，，则的值为（ ） A．3 B．9 C．15 D．27 【类型2 有理数相关幻方问题】 9．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，除了教材介绍的常规幻方，还有变形幻方，下面介绍一个．现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有类似的“幻方”如图2所示，其中有两个数和2，则的值是（）    A． B． C．8 D．16 10．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，幻方中每一横行，每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等．观察如图所示的幻方，则ab的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 11．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等．三阶幻方中填写了一些数字和字母，则的值是（   ） A．11 B．12 C．15 D．16 12．我国古代的“洛书”被认为是世界上最早的幻方（三阶幻方），它将填入的方格中，使得每行、每列及对角线上的数字和均相等，这种“数字均衡”的思想也延伸出许多趣味填数问题．现有一个仿幻方结构的填数图如图所示，将2，，6，，10，，14，分别填入图中的圆圈内，使每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，则该填数图余下的空位一共有（    ）种填法． A．4 B．8 C．12 D．以上都不正确 13．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”(如图1)，“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方(如图2)．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字(1至9，数字不重复使用)安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． 如图3，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“◯”．将，，，，，，，，，，，这个数填入恰当的位置(数字不重复使用)，使每个正方形的个顶点处“◯”中的数的和都为．则的值为(　　) A． B． C．或 D．或 14．我国古代的“洛书”中记载了最早的幻方，幻方是把数字填在正方形格子中，使每行、每列以及对角线上的3个数的和相等，如图3所示的的幻方中，其中“？”对应的数是（   ） 6 ？ 0 A． B． C． D．2 15．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（    ） A．或10 B．或 C．或2 D．或4 16．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用1次），则的值为（   ） A．1或 B．或1 C．或4 D．4或 【类型3 有理数相关程序框图】 17．如图是一个有理数运算程序的流程图，规定：程序运行到判断“结果是否大于1”为一次运算．请根据这个程序回答问题，当输入x为时，最后输出的结果y是______；若输入x时，运算进行了一次停止，输出的结果y为，则输入的x为______． 18．加密方法：将一个字母对应的数字通过某种规定的运算程序化为对应的密文数字x． 运算程序为：例如：字母A对应数字1，通过运算程序后的密文是3，密文3对应字母A．如果密文，那么它是由字母_______加密得到的． 19．如图是某运算程序，该程序是循环迭代的一种．根据该程序的指令，如果输入的值是10，那么第1次输出的值是5；把第1次输出的值再次输入，那么第2次输出的值是6；把第2次输出的值再次输入，那么第3次输出的值是则第2024次输出的值是___________． 20．小丽设计了一种简单的密码规则：将英文字母依次对应数字，加密方法：将一个字母对应的数字通过某种规定的运算程序化为对应的密文数字．运算程序如图所示，例如：字母对应数字1，通过运算程序后的密文是3，密文3对应字母．如果密文，那么它是由字母__________加密得到的． 21．如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为x的值输入程序再次计算，比如：当输入时，按照程序第一次“传输”，可得，所以需要继续把输入程序，再次计算作为第二次“传输” ，经过6次“传输”才结束程序．则当起始输入时，需要经过_____次“传输”才结束程序． 22．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是_______． 23．如图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题，当输入的数为时，最后输出的结果是 ______． 24．小海在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序，若他输入的数是，则执行了程序后，输出的数是______． 【类型4 有理数相关规律性问题】 25．从下面的关系中归纳出规律，然后进行计算： 1×3＝3，而3＝22﹣1； 3×5＝15，而15＝42﹣1； 5×7＝35，而35＝62﹣1； … 根据如上的规律，第n行式子是：_____（n为正整数）； 并按此规律计算：29×31＝_____． 26．观察图片找出规律． 按上述图中的规律，求： 的值．答案应为：______． 27．观察下面的一列数：，－，，－…请你找出其中排列的规律，并按此规律填空．第999个数是_____________． 28．观察下列算式发现规律：，，，，，，…，用你所发现的规律写出：的个位数字是______． 29．按一定规律排列的一列数依次为：3，，，，，，…按此规律排列下去，第7个数是_______． 30．观察下列各式：，，，，，……你能从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：的个位数字是________． 31．观察下列等式：，，，…… （1）根据上面的规律，若，则______，______； （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为______． 32．大衍数列：，…，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，对于按一定规律排列的数：，…，依此规律排列，则大衍数列的第11个数是________． 【类型5 “24”点】 33．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 34．游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 35．学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 36．小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 37．小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片（如图），小刚请小明按要求抽出卡片，并完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，如何抽取？最小值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，如何抽取？最大值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，请直接写出运算的式子．（写出一种即可） 38．计算，有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： 0 (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果 ； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果 ； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果 ； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算．（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 39．小哪吒有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大这两张卡片上的数字分别是_________． (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，这两张卡片上的数字分别是_________． (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加活号），使其运算结果为24，写出运算式子：_________．（写出一种即可） 40．“算24”的扑克牌游戏曾经风靡许多国家，深受青少年朋友的喜爱．这种游戏将两张王牌去掉，规定扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1．从扑克牌中按要求抽取若干张牌，将牌面所表示的数进行有理数的加、减、乘、除运算（每张牌用且只用一次），算得“24”即可． 【问题情境】 假设已抽取如下的牌，能不能根据牌面所表示的数算“24”呢？如果能，怎么算？ 可列算式：． 根据上图中4张牌，还可以列出不同的算式 ． 【思考探究】 （1）用两张牌算“24”：①；②；③；④用三张牌算“24”：可以将其中两张牌整合，转化为（1）中情况来思考，例如：抽到的牌为2、3、4，可以列式为，转化为（1）中的①．问题：抽到的牌为2、3、4，还可以转化为（1）中的③，即列式为 ． （2）用四张牌算“24”：可以一三分组，也可以两两分组，例如：抽到的牌为8、9、12、13，我们可以一三分组，列式为，转化为（1）中的①；请你用8、9、12、13四张牌进行有理数的加、减、乘、除运算再列一个算式，使得算式结果为24． （3）用五张牌算“24”：请你考虑这九个数字中，若恰巧五张牌的数字都相同（五个1，五个2，…五个9），会有哪些情况可以算出“24”． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数及其运算拓展提升题 （5种类型40道） 专题目录 【类型1 有理数相关定义新运算】 1 【类型2 有理数相关幻方问题】 4 【类型3 有理数相关程序框图】 11 【类型4 有理数相关规律性问题】 18 【类型5 “24”点】 22 【类型1 有理数相关定义新运算】 1．新趋势·新定义用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和， （为常数），如：．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键． 根据新运算可得，再根据，把代入，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以． 故选：A 2．七年级小莉同学在学习完第二章《有理数及其运算》后，对运算产生了浓厚的兴趣．她借助有理数的运算，定义了一种新运算“”，规则如下：．则（    ）． A． B．6 C．24 D．30 【答案】C 【分析】根据新定义先计算，再计算即可求解． 【详解】解：∵． ∴ ∴ =24． 故选：C． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 3．定义新运算“”，规定：，则的运算结果为（   ） A．−2 B．−1 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．根据题意得出有理数混合运算的式子，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ． 故选：D． 4．定义新运算“☆”，规定：，则的运算结果为（   ） A． B． C．7 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了新定义下的有理数混合运算；根据新运算规定进行计算即可． 【详解】解： ； 故选：C． 5．若定义新运算：，如，请利用此定义计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新运算．解决本题的关键是根据新运算规定的运算法则把新运算转化为一般的有理数运算，然后根据有理数的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：B． 6．定义新运算“”，规定：．如，则的运算结果为（   ） A． B． C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了新运算的定义，有理数的乘方运算，直接代入公式得，再运算乘方以及化简绝对值，最后运算减法，即可作答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：D 7．规定一种新运算“*”，对于任意有理数a和b，有，请你根据定义的新运算，计算的值是（　　） A． B．0 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据新运算的法则，进行计算即可． 【详解】； 故选D． 【点睛】本题考查定义新运算．理解并掌握新运算的法则是解题的关键． 8．定义一种新运算“⊗”，规定：，等式右边的运算就是加、减、乘、除四则运算，例如：，，则的值为（ ） A．3 B．9 C．15 D．27 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，理解题意并列出正确的算式是解题的关键． 先算，列式为，然后再算即可． 【详解】解： ， 则 ， 故选：C． 【类型2 有理数相关幻方问题】 9．“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，除了教材介绍的常规幻方，还有变形幻方，下面介绍一个．现将1、2、3、4、5、7、8、9这8个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有类似的“幻方”如图2所示，其中有两个数和2，则的值是（）    A． B． C．8 D．16 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数加法的运算方法，以及幻方的特征和应用，要熟练掌握． 根据：每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，可得：，据此分别求出的值各是多少，即可求出的值是多少． 【详解】解：根据题意，可得： ， 故选：B． 10．幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，幻方中每一横行，每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等．观察如图所示的幻方，则ab的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据题意求得的值，然后求解即可． 【详解】解：由题意可得：每一横行，每一竖列以及两条对角线上的数字之和为 ∴， 解得， ∴ 故选B 【点睛】此题考查了有理数的加减乘除运算，解题的关键是根据题意求得的值． 11．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方．三阶幻方又名九宫格，是一种将9个数字（数字不重复使用）安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等．三阶幻方中填写了一些数字和字母，则的值是（   ） A．11 B．12 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查的是有理数的加减法，第3行上的数字和等于，因此，，即可求解． 【详解】解：∵第3行上的数字和等于， ∴，， ∴， 故选：B． 12．我国古代的“洛书”被认为是世界上最早的幻方（三阶幻方），它将填入的方格中，使得每行、每列及对角线上的数字和均相等，这种“数字均衡”的思想也延伸出许多趣味填数问题．现有一个仿幻方结构的填数图如图所示，将2，，6，，10，，14，分别填入图中的圆圈内，使每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，则该填数图余下的空位一共有（    ）种填法． A．4 B．8 C．12 D．以上都不正确 【答案】B 【分析】本题考查数字类规律题，熟练找准规律是解题的关键． 根据每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，可以得到、、的关系，观察发现，小正方形的顶点数字和与左上斜线的数字和之间的关系，进而分情况讨论求解即可． 【详解】解：假设填数图中右上角为、左下角为、中间右下角为， 每个正方形顶点处4个数字之和与每条斜线上4个数字之和都相等，设为， 则， 即， 根据得：， 所有数的总和为： ， 则， 即 因此； 由题意可知，、、、为2、、6、中的数， 由可得， 当时，，符合题意， 则此时有种情况， 当时，，符合题意， 则此时有种情况， 综上，该填数图余下的空位一共有种填法． 故选：B． 13．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”(如图1)，“洛书”是一种关于天地空间变化脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．“洛书”用今天的数学符号翻译出来就是一个三阶幻方(如图2)．三阶幻方又名九宫格，是一种将数字(1至9，数字不重复使用)安排在三行三列正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等． 如图3，有3个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“◯”．将，，，，，，，，，，，这个数填入恰当的位置(数字不重复使用)，使每个正方形的个顶点处“◯”中的数的和都为．则的值为(　　) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查的是有理数的加法，代数式求值，因为每个正方形的个顶点处“〇”中的数的和都为，易得；结合选项，则中间的正方形的顶点不能为，，则中间的正方形的未知顶点为，；从而得到或，所以或． 【详解】根据题意，，解得； 12个数中，还余下，，，， 结合选项，则中间的正方形的顶点不能为，， ∵ ∴中间的正方形的未知顶点为，； 因此或， 所以或． 故选：C． 14．我国古代的“洛书”中记载了最早的幻方，幻方是把数字填在正方形格子中，使每行、每列以及对角线上的3个数的和相等，如图3所示的的幻方中，其中“？”对应的数是（   ） 6 ？ 0 A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减等知识，理解幻方的规则是解题关键﹒先求出右上方的数字为，即可求出所求的数字﹒ 【详解】解：幻方中每行、每列以及对角线上的3个数的和为， 幻方中右上角的数为， 幻方中左下角的数为， 所以所求的数为﹒ 故选：C 15．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，8，，12，，16，，20分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（    ） A．或10 B．或 C．或2 D．或4 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法，熟练掌握有理数的加法法则，能够根据所给的条件推理出b、d的可能取值是解题的关键．根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4，再由已经填写的数，确定或，从而求出d的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴或， 当时，，此时， 当时，，此时． ∴的值为或10． 故选：A． 16．同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，，，，0，，，，分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等（每个数字仅用1次），则的值为（   ） A．1或 B．或1 C．或4 D．4或 【答案】B 【分析】本题考查了有理数运算，掌握有理数运算法则，根据所给条件推出a，b的可能取值是解题的关键． 根据题意，先求出所有数字之和，除以2，即可得到竖线上所有数字之和，求出b的值，再分析出横线上的所有数字，根据内圈上的4个数字之和也等于总数字之和的一半，求出内圈左边数字的值，即可得到a的取值情况，即可求解． 【详解】解：， ， 竖线上的四个数字为， 横线上的四个数字为， ， 内圈左边的数字为， 为或2， 当时，， 当时，， 故的值为或1． 故选：B． 【类型3 有理数相关程序框图】 17．如图是一个有理数运算程序的流程图，规定：程序运行到判断“结果是否大于1”为一次运算．请根据这个程序回答问题，当输入x为时，最后输出的结果y是______；若输入x时，运算进行了一次停止，输出的结果y为，则输入的x为______． 【答案】 4 【分析】此题考查了程序的流程图，有理数的混合运算，解方程，弄清题中的程序流程是解本题的关键．根据题中的程序流程图，将代入计算得到结果为3，将代入计算得到结果小于1，即可得到最后输出的结果；输入x时，运算进行了一次停止，输出的结果y为，即，解方程即可． 【详解】解：把代入可得： ， ， ， ， ∵， ∴再把代入可得： ， ， ， ， 故最后输出的结果是； ∵输入x时，运算进行了一次停止，输出的结果y为， ∴， ， ， ， ． 故答案为：，4． 18．加密方法：将一个字母对应的数字通过某种规定的运算程序化为对应的密文数字x． 运算程序为：例如：字母A对应数字1，通过运算程序后的密文是3，密文3对应字母A．如果密文，那么它是由字母_______加密得到的． 【答案】F 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数计算，计算出的结果可求出密文所对应的字母所对应的数，据此可得答案． 【详解】解： ， ∴密文对应的字母所对应的数为6，即密文对应的字母为F， 故答案为：F． 19．如图是某运算程序，该程序是循环迭代的一种．根据该程序的指令，如果输入的值是10，那么第1次输出的值是5；把第1次输出的值再次输入，那么第2次输出的值是6；把第2次输出的值再次输入，那么第3次输出的值是则第2024次输出的值是___________． 【答案】1 【分析】本题考查了代数式求值问题，根据求出的数据、观察总结出规律，并能利用总结出的规律解决实际问题是关键． 根据如图的程序，分别求出前8次的输出结果各是多少，总结出规律，求出第2024次输出的结果为多少即可． 【详解】解：第1次输出的结果为5， 第2次输出的结果为6， 第3次输出的结果为：， 第4次输出的结果为：， 第5次输出的结果为：， 第6次输出的结果为：， 第7次输出的结果为：， 第8次输出的结果为：，， 从第5次开始，输出的结果每2个数一个循环：2、1． ， 第2024次输出的结果为1 故答案为1． 20．小丽设计了一种简单的密码规则：将英文字母依次对应数字，加密方法：将一个字母对应的数字通过某种规定的运算程序化为对应的密文数字．运算程序如图所示，例如：字母对应数字1，通过运算程序后的密文是3，密文3对应字母．如果密文，那么它是由字母__________加密得到的． 【答案】G 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数计算，计算出的结果可求出密文所对应的字母所对应的数，据此可得答案． 【详解】解：由题意得， ， ∴密文对应的字母所对应的数为7，即密文对应的字母为G， 故答案为：G． 21．如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为x的值输入程序再次计算，比如：当输入时，按照程序第一次“传输”，可得，所以需要继续把输入程序，再次计算作为第二次“传输” ，经过6次“传输”才结束程序．则当起始输入时，需要经过_____次“传输”才结束程序． 【答案】11 【分析】本题考查有理数的混合运算，代数式求值，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 根据题意列式计算，直至结果大于2025即可． 【详解】解：当起始输入时， 按照程序第1次“传输”，可得， ，按照程序第2次“传输”，可得， ，按照程序第3次“传输”，可得， ，按照程序第4次“传输”，可得， ，按照程序第5次“传输”，可得， ，按照程序第6次“传输”，可得， ，按照程序第7次“传输”，可得， ，按照程序第8次“传输”，可得， ，按照程序第9次“传输”，可得， ，按照程序第10次“传输”，可得， ，按照程序第11次“传输”，可得，“传输”结束， 那么当起始输入时，需要经过11次“传输”才结束程序， 故答案为：11． 22．如图，是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题：当输入的x为时，最后输出的结果y是_______． 【答案】 【分析】此题考查了代数式求值，根据题中的流程图计算即可得出答案，弄清题中的程序流程是解本题的关键． 【详解】解：把代入可得：， 再把代入可得：， 所以y， 故答案为：． 23．如图是一个有理数运算程序的流程图，请根据这个程序回答问题，当输入的数为时，最后输出的结果是 ______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题中的程序流程图，将代入计算得到结果为3＞1，再将x＝3代入计算得到结果为，即可得到最后输出的结果．解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【详解】解：当时， ， 当时， ， ∴最后输出的结果是． 故答案为：． 24．小海在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序，若他输入的数是，则执行了程序后，输出的数是______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数混合运算的法则，属于中考常考题型．由于输入的数是，根据所给程序图可以列式，通过判断上式结果的绝对值与100的大小关系，即可确定是输出结果还是继续计算，据此解答． 【详解】解：， ，故循环； ， ，故输出． 即输出的数是． 故答案为：． 【类型4 有理数相关规律性问题】 25．从下面的关系中归纳出规律，然后进行计算： 1×3＝3，而3＝22﹣1； 3×5＝15，而15＝42﹣1； 5×7＝35，而35＝62﹣1； … 根据如上的规律，第n行式子是：_____（n为正整数）； 并按此规律计算：29×31＝_____． 【答案】 ； 【分析】通过观察所给的式子可得第n行为：（2n﹣1）×（2n+1）＝（2n）2﹣1，再利用规律运算即可． 【详解】解：∵1×3＝3，而3＝22﹣1； 3×5＝15，而15＝42﹣1； 5×7＝35，而35＝62﹣1； … ∴第n行为：（2n﹣1）×（2n+1）＝（2n）2﹣1， ∴29×31＝302﹣1＝899， 故答案为：（2n﹣1）×（2n+1）＝（2n）2﹣1，899． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子，探索归纳出式子的一般规律是解题的关键． 26．观察图片找出规律． 按上述图中的规律，求： 的值．答案应为：______． 【答案】−8 【分析】根据已知的计算找到图形的运算规律，代入即可求解． 【详解】由已知可得其运算规律为a+b-c，故所求的式子为11-12-7=-8 故答案为：-8． 【点睛】此题主要考查有理数的加减，解题的关键是根据已知的结果找到规律． 27．观察下面的一列数：，－，，－…请你找出其中排列的规律，并按此规律填空．第999个数是_____________． 【答案】 【分析】分子都是1，分母可以拆成两个连续自然数的乘积，奇数位置为正，偶数位置为负，由此得出第个数为，进一步代入求得答案即可．此题考查数字的变化规律，找出数字的特点，发现运算的规律，利用规律解决问题． 【详解】解：第1个数为， 第2个数为， 第3个数为， 第4个数为， 第个数为， 第999个数是， 故答案为：． 28．观察下列算式发现规律：，，，，，，…，用你所发现的规律写出：的个位数字是______． 【答案】7 【分析】此题主要考查了数字的变化类规律，尾数特征，观察出结果个位数字的特点是解本题的关键．通过观察7的幂的个位数字，发现其以7，9，3，1为周期循环，周期为4，计算2025除以4的余数，根据余数确定个位数字． 【详解】解：∵，，，，，，…， ∴个位数字的变化是以7，9，3，1为周期，即周期为4， ∵， ∴的个位数字为7， 故答案为：7． 29．按一定规律排列的一列数依次为：3，，，，，，…按此规律排列下去，第7个数是_______． 【答案】/ 【分析】观察前6个数的分母和分子，归纳类推出一般规律，由此即可得出答案． 【详解】解：第1个数是， 第2个数是， 第3个数是， 第4个数是， 第5个数是， 第6个数是， 归纳类推得：第个数是， 则第7个数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 30．观察下列各式：，，，，，……你能从中发现底数为3的幂的个位数有什么规律吗？根据你发现的规律回答：的个位数字是________． 【答案】1. 【分析】根据题意可得出尾数每4个一循环，进而求出答案. 【详解】，，，，，,… 尾数每4个一循环，3，9，7，1， ， 的个位数字是：1. 故答案为：1. 【点睛】此题主要考查了尾数特征，正确得出数字变化规律是解题关键. 31．观察下列等式：，，，…… （1）根据上面的规律，若，则______，______； （2）用含有自然数n的式子表示上述规律为______． 【答案】 21 19 【分析】本题考查了数字类规律． （1）观察题干可知，两个连续奇数的平方差等于8的倍数，进而分析出一般规律，即可得到答案； （2）根据（1）所得规律，列式即可． 【详解】解：（1）∵； ； ； ； … ，所以，， 所以 （2）第n个式子可表示为． 故答案为： 21， 19， ． 32．大衍数列：，…，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，对于按一定规律排列的数：，…，依此规律排列，则大衍数列的第11个数是________． 【答案】 【分析】本题考查了数字规律，乘方的运算，理解材料的计算方法，找出规律是关键，根据材料提示的计算方法，设为序号（的正整数），即第个数，其计算规律为：当序号是奇数时，第个数为，当序号是偶数时，第个数为，第11个数为奇数，由此代入计算即可求解． 【详解】解：设为序号（的正整数），即第个数， ∴，即第1个数，序号为奇数，对应的数字为：， ，即第2个数，序号为偶数，对应的数字为：， ，即第3个数，序号为奇数，对应的数字为：， ，即第4个数，序号为偶数，对应的数字为：， ，即第5个数，序号为奇数，对应的数字为：， ， 当，即第11个数，序号为奇数，对应的数字为：， 故答案为：． 【类型5 “24”点】 33．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【答案】(1)抽取和两张卡片，幂最大，最大为 (2)抽取、、三张卡片，乘积最小，最小为； (3)抽取、、、，（答案不唯一） 【分析】（1）如果底数是正数，指数越大，幂越大；如果底数是负数，指数必须是偶数，结果才为正数，且底数的绝对值越大、指数越大，幂越大．指数越大，幂通常越大，据此即可求解； （2）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，计算积，再根据有理数的大小比较解答即可； （3）根据有理数的混合运算解答即可． 【详解】（1）解：和两张卡片，幂最大，； （2）解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为负数时，积最小， 抽取、和三张卡片，乘积最小，最小为； （3）解：抽取、、、，（答案不唯一） 34．游戏“ 点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为 ，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出符合规则的算式． 【答案】（答案不唯一）. 【详解】解：由题意得： （答案不唯一）． 35．学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【答案】(1) 所选数字为，算式： (2) 可以， 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，在理解有关规则的基础上灵活应用有理数的混合运算法则求解是解题关键； （1）根据运算结果为和已知给定的三个数，筛选出合适的数字； （2）根据已给数字有，按照题干所给方法进行判断即可． 【详解】（1）解：当选时， ∵， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 任选其一即可； （2）答：可以，． 36．小明有5张写着不同的数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字乘积最大，最大值是________； (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，最小值是________； (3)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．写出运算式子：________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数乘法的法则和乘积最大，计算即可求解； （2）根据有理数除法的法则和商最小，计算即可求解； （3）根据有理数的混合运算法则，计算即可求解． 【详解】（1）解：这2张卡片上数字乘积最大， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，乘积最大， 即， 故答案为：； （2）这2张卡片上数字相除的商最小， 取出的2张卡片上的数字分别为，时，商最小， 即， 故答案为：； （3）结果为24， 取出的4张卡片上的数字分别为，，，，不可能为0， 则． 故答案为：． 37．小刚与小明在玩数字游戏，现有5张写着不同数字的卡片（如图），小刚请小明按要求抽出卡片，并完成下列问题： (1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，如何抽取？最小值是多少？ (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，如何抽取？最大值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24，请直接写出运算的式子．（写出一种即可） 【答案】(1)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，抽取2和，最小值是 (2)从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，抽取和，最大值是20 (3)（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）取最大的整数和最小的负数相乘即可； （2）只有，且的绝对值最大，则为被除数，为除数； （3）根据有理数的运算法则作答即可． 【详解】（1）解：由题意可得，从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最小，抽取2和，最小值是； （2）解：由题意可得，从中抽取2张卡片，使这2张卡片上数字的商最大，抽取和， 最大值是； （3）解：（答案不唯一）． 38．计算，有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各题： 0 (1)从中选择两张卡片 ①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果 ； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果 ； ③使这两张卡片上数字之积最大，请列出算式并计算结果 ； (2)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当运算．（可加括号），使其运算结果为24，写出算式及运算过程．（写出两种即可） 【答案】(1)①；②；③； (2) 由题意得：； ； ． 【分析】（1）由题意易得，则有①要使两张卡片上数字之和最大，应选择最大的两个数字进行相加即可；②要使这两张卡片上数字之差最小，应选择最小的数减去最大的数即可；③要使这两张卡片上数字之积最大，应选择同号的两张，并且是最大或最小的两张进行相乘即可； （2）根据有理数的运算进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴①使这两张卡片上数字之和最大，请列出算式并计算结果为； ②使这两张卡片上数字之差最小，请列出算式并计算结果； ③使这两张卡片上数字之积最大，则有，，所以最大的为； 故答案为，，； （2）略 39．小哪吒有5张写着不同数字的卡片，请你按要求选择卡片，完成下列各问题： (1)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字的乘积最大这两张卡片上的数字分别是_________． (2)从中选择两张卡片，使这两张卡片上数字相除的商最小，这两张卡片上的数字分别是_________． (3)从中选择4张卡片，每张卡片上的数字只能用一次，选择加、减、乘、除中的适当方法（可加活号），使其运算结果为24，写出运算式子：_________．（写出一种即可） 【答案】(1)， (2) (3)（答案不唯一） 【分析】（1）依题意，积为正数才有最大值，也就是必须选择同号的两个数相乘，然后取积最大的两个卡片即可． （2）依题意，商为负数才最小值，也就是必须选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值，然后选择商最小的两个卡片即可． （3）利用24点游戏规则判断即可． 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵ ∴这两张卡片上的数字分别是，此时积最大； 故答案为：，； （2）解：依题意，商为负数才最小值，选择异号的两个数相除且被除数的绝对值要大于除数的绝对值． 则有，，, 商最小的是， ∴这两张卡片是， 故答案为：； （3）解：由题意得： ． 故答案为：（答案不唯一）． 40．“算24”的扑克牌游戏曾经风靡许多国家，深受青少年朋友的喜爱．这种游戏将两张王牌去掉，规定扑克牌中的J为11，Q为12，K为13，A为1．从扑克牌中按要求抽取若干张牌，将牌面所表示的数进行有理数的加、减、乘、除运算（每张牌用且只用一次），算得“24”即可． 【问题情境】 假设已抽取如下的牌，能不能根据牌面所表示的数算“24”呢？如果能，怎么算？ 可列算式：． 根据上图中4张牌，还可以列出不同的算式 ． 【思考探究】 （1）用两张牌算“24”：①；②；③；④用三张牌算“24”：可以将其中两张牌整合，转化为（1）中情况来思考，例如：抽到的牌为2、3、4，可以列式为，转化为（1）中的①．问题：抽到的牌为2、3、4，还可以转化为（1）中的③，即列式为 ． （2）用四张牌算“24”：可以一三分组，也可以两两分组，例如：抽到的牌为8、9、12、13，我们可以一三分组，列式为，转化为（1）中的①；请你用8、9、12、13四张牌进行有理数的加、减、乘、除运算再列一个算式，使得算式结果为24． （3）用五张牌算“24”：请你考虑这九个数字中，若恰巧五张牌的数字都相同（五个1，五个2，…五个9），会有哪些情况可以算出“24”． 【答案】问题情境：；思考探究：（1）；（2）；（3）5个数字2，5个数字3，5个数字4，5个数字5，5个数字6和5个数字8可以算出24点． 【详解】解：问题情境：， 故答案为：； 思考探究：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）5个1不能算出24点； ，则5个2可以算出24点； ，则5个3可以算出24点； ，则5个4可以算出24点； ，则5个5可以算出24点； ，则5个6 可以算出24点； 5个7不可以算出24点， ，则5个8可以算出24点； 5个9不可以算出24点； 综上所述，5个数字2，5个数字3，5个数字4，5个数字5，5个数字6和5个数字8可以算出24点． 第 1 页 共 112 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $