解析几何的方法体系之综合方法（上） 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦高考解析几何核心考点，涵盖直线与圆锥曲线联立通法、斜率关系代数化、面积距离计算、参数化与存在性判断等内容，按“知识点梳理-方法突破-真题演练”逻辑架构，通过考点分类整合、通法步骤总结、典型例题精讲、分层练习巩固，帮助学生构建系统解题框架。 讲义创新采用“题型-方法”精准对接策略，如定点问题用“先猜后证+参数化”简化运算，培养学生数学思维与模型观念。设置真题例题与梯度练习，即时反馈难点，确保高效突破，助力教师把控复习节奏，提升学生综合解题与应考能力。

综合方法（上）的方法体系 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　直线与圆锥曲线联立的通法 ★ 前四册按曲线分家，本册开始只认方法。把椭圆、双曲线、抛物线放在一起看，它们的第一步完全相同：设一条直线，把它与曲线方程联立，得到一个一元二次方程，再用韦达定理把两个交点的和与积整体代入。这条路走通了，题目剩下的事都是代数变形。 ★ 设线的两种写法，选错了计算量差一倍。设 的代价是要单独讨论斜率不存在的情形；设 的代价是要单独讨论斜率为零（即直线平行于 轴）的情形。凡题面说「直线与 轴不垂直」，就用 ；凡题面说「直线与 轴不垂直」或所求定点落在 轴上，就用 。 ★ 联立之后是三个量：、、（或对应的 版本）。 决定交点是否存在，是有解条件；另外两个是韦达定理给的对称量，是所有后续化简的入口。写解答时这三个量要一并写出，缺了 的解答在评卷时要扣分。 ★ 用 代入椭圆或双曲线 时，得到的方程里 的一次项系数含 ，常数项含 ，两根之积与两根之和都是有结构的有理式。把这两个式子背下来并不能省事，关键是养成「先写出方程的三个系数，再套韦达」的习惯，而不是硬记结果。 ★ 弦长公式有两条，对应两种设线方式：设 时 （ 为联立后二次项的系数）；设 时 。括号外的那个根号是两点间距离公式带来的，不要漏。 ★ 两条重要经验：一是双曲线题里，直线与右支交于两点的条件是 且两根同号（）；与左右两支各交一点的条件是两根异号（）。二是抛物线题里，把点的纵坐标作为参数往往比横坐标简单，因为 里 是 的二次函数。 ★ 判别式的地位在这一册里比前四册更重。第四节的个数问题、第三节的取值范围问题，最后的答案常常就是「 什么时候大于零」。看到「有几个解」「取值范围」这类字样，先把 写出来放在一边。 ★ 联立之后的化简有一条纪律：凡是关于两个交点对称的式子，一律换成 与 ，绝不在中途代入具体根。 这种不对称的式子，要设法写成 之类可求的形式，或者改用 、 的比。 知识点二　斜率关系的代数化 ★ 解析几何里大部分「几何条件」最终都落到斜率上。把常见说法翻译成斜率语言，是本册的核心技能： 三点共线——过同一点的两条连线斜率相等； 两直线平行——斜率相等（或都不存在）； 两直线垂直——斜率之积为 （或一条斜率为零、另一条不存在）； 角的两边关于某条竖直直线对称——两直线斜率互为相反数； 角的两边关于某条水平直线对称——两直线斜率互为相反数的倒数关系，实际计算时不如直接用倾斜角处理。 ★ 斜率之积为定值是本节出现最多的一类条件。设 是曲线上的定点，、 是曲线上两点，则 。当 是圆锥曲线的顶点时，利用曲线方程可以把这个式子整体化简成常数（椭圆与双曲线下是 ，抛物线下的形式类似）。这条结论要能现推，不必死记。 ★ 若两点的横坐标含参数、直接写斜率会很难看，可以先做一步平移：把定点 移到原点，曲线的方程随之改变，斜率表达式立刻变干净。定值算完之后再平移回去。这个动作在处理「过某定点的两条直线斜率之积」时特别有效。 ★ 角平分线条件有两种等价写法，选哪种看题面：若角平分线垂直于 轴，写成两边斜率互为相反数最快；若角平分线是某条已知直线，用「角平分线上的点到角两边的距离相等」更直接。前者的典型例子是「 的平分线与 轴垂直」，此时 。 ★ 斜率的和、积、比这三种关系，对应直线过定点、斜率定值、截距定值三类结论： 为常数常推出直线过定点； 为常数常推出斜率或截距的定值； 为常数则常用于求某个使关系成立的点（如「求点 的坐标，使 为定值」）。 ★ 抛物线上的斜率有一个极好的性质： 上两点 、，则 。弦的斜率只与两端纵坐标之和有关，这一式在「斜率之和为定值」「中点在定直线上」这类题里一步到位。 ★ 当题目给出的是角相等、角互补时，先用它们推出斜率的关系再计算，不要一开始就去写余弦定理。「」这类条件，翻译成两条直线的倾斜角互补，也就是斜率之和为零。 知识点三　面积与距离的计算 ★ 面积的三种写法，按三角形的形状挑：底边落在坐标轴上时用 底 高；已知一条弦长时用 ；三角形有一个顶点在原点时用 。其中第三种与「斜率的乘积」「向量数量积」联系最紧，也最省计算。 ★ 点到直线的距离公式 是面积问题的第二个轮子。当直线写成 时，分母是 ，与弦长公式里的 恰好相约，这是「底乘高除以二」这类算式常见的化简来源。 ★ 四边形面积的处理只有一个思路：分割成三角形。对角线互相垂直时可以直接用「对角线之积的一半」；更常见的是选一条对角线，把四边形分成两个共底三角形，于是面积是 对角线长 两顶点到对角线距离之和。 ★ 面积之比常能约掉公共部分。两个三角形共底时，面积比等于高之比；共高时，面积比等于底之比。把这两个观察用上，往往能把分式化成两段弦长的比，再走弦长公式。 ★ 平行切线法求面积最大值：当动点 到定直线 的距离取到最大时，过 且平行于 的直线与曲线相切。于是问题化为「求与 平行的切线」，联立一次、判别式为零即可，比把面积写成函数再求导快得多。联立求导这条路也要会，两条路互为验证。 ★ 距离问题里有一类要警觉：求「某点到某直线的距离」时，如果这个点也在直线上，距离是零，意味着面积为零。题目给出「面积的最大值」时，若算出的函数有零点，要检查零点是否落在定义域内。 知识点四　参数化与存在性判断 ★ 抛物线参数化： 上的点写成 或 ，前者用纵坐标作参数，后者用斜率的一半作参数。 上的点最省事，直接写成 。参数化之后，斜率、弦方程、面积都是 的有理式，不需要解一元二次方程，也就不需要判别式。 ★ 椭圆与双曲线也能参数化。椭圆 上的点是 ，处理与角、与圆相关的问题时很好用；但处理弦、中点、斜率问题时，设线加韦达仍然比参数化更省事。选哪条路，看题目给的量与角有没有关系。 ★ 存在性问题的判据清单： 方程有解——看判别式，同时看解是否落在题设允许的范围内； 点与圆的位置——数量积 的符号； 直线与圆的位置——圆心到直线的距离与半径比大小； 圆与坐标轴相切——圆心横（纵）坐标的绝对值等于半径； 两点重合——两个点的坐标是否相等，用解是否相异判断。 每一条都能写成等式或不等式，写出来就是方程有解的判断。 ★ 个数问题的要点是「筛解」。方程解出来有两解，但其中一解可能因为「斜率不存在」「交于同一支」「点与已知点重合」等题设被排除。平时练习时要把筛解这一步单独写一行，考场上才不至于漏。 ★ 关于等式恒成立：若题目要求「对任意参数恒成立」，把式子整理成关于参数的降幂多项式，令各次项系数全部为零。这是求定点、求定值的通用手段。 ★ 存在性题的书写格式：第一句给出判断，第二步给出求出该对象所用的方程，第三步写出结果并回代检验（确认所求的点确实在曲线上、所求的直线确实满足题设的所有限定）。回代检验这一步在存在性题里不能省，因为「解出方程」与「满足题设」之间常常差着一个范围条件。 二、方法突破 方法一　定点问题 所谓定点，是指题目里有一条随着参数变化而移动的直线（或曲线），不管参数取什么值，它都经过某个固定的点。这类题在卷面上通常写成「证明：直线 过定点」或「直线 是否过定点」。 ★ 把「过定点」翻译成代数语言只有一句话：直线方程里那个与参数无关的部分。直线写成 时，若化简后 与 之间有 的关系，就把 代回去整理成关于 的多项式，令 的系数为零——剩下的常数部分写成的方程就是定点要满足的条件。 ★ 设线的方式先定下来，后面的计算量差一倍。直线与 轴不平行时设 ，与 轴不平行时设 。判断依据是题目在 轴、 轴上给的条件：若定点多半在 轴上、或题面条件都绕着 轴转，用 ，这样「过 轴上的点」直接就是 一个常数，不必让 参与讨论。 ★ 斜率之积为定值这类条件，是定点题最常见的入口。以椭圆 为例，设 是椭圆上一定点，、 是椭圆上两点，若 （ 为常数），把 、 用 、 的坐标写出来，代入韦达定理后整理，就能解出直线 的截距与斜率的关系式，定点随之而定。 ★ 定点多半落在坐标轴上，这是可以预判的。当题目条件（以及图形）关于 轴对称时，把 、 的位置互换，条件不变；若定点唯一，它必然落在对称轴上。先用这个判断锁定定点在哪条轴上，计算时只设一个未知数。 ★ 先猜后证是稳妥路线。取两条特殊位置的动直线（例如垂直于坐标轴的那条、或者过某个特殊点的），算出交点作为候选定点，再用一般情形验证。考试时这样写，即使最后一步算错，前面的思路分也拿得到。但在讲义里我们仍然要求把一般情形的推导写完整。 ★ 抛物线的定点题常常更快： 上的点设成 或 ，斜率的表达式会立刻降成关于 的有理式，不用解一元二次方程，也就不必写韦达定理。参数化是抛物线题省下计算量的主要途径。 ★ 双曲线的定点题要额外留意两点：一是弦与同一支相交还是与两支相交， 的条件与根的符号都要看；二是渐近线是「不能越过」的边界，直线与双曲线有交点的前提是它不与渐近线平行。这些限制条件写出来，才是完整的解答。 ★ 拿到定点题先做三件事：判断定点在 轴还是 轴上；选定设线方式；把题目条件全部写成关于 、 的式子。做完这三步，剩下的就是代入韦达定理后整理，没有别的技巧。 例题 例 1-1 （山东省青岛市2025届高三年级第一次适应性检测数学试卷 · 第18题） 【解答】已知椭圆的左，右焦点分别为，，短轴长为，离心率为. （1）求的方程； （2）记的左顶点为，直线与交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为. （i）证明：直线过定点； （ii）若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴上方.是否存在点，使得与的面积之比为3：5？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【解析】 第 1 步　 必须舍去 ◈ 解得 与 两个值。 时 经过左顶点 ，此时 本身就是 、 之一， 失去意义，也与「」矛盾。凡是设线时把定点所在的位置一并代进去，解完都要回到题设筛一遍。 第 2 步　解决「两条线段」的办法是换成同一个高 ◈ 与 有一条公共的底边所在直线 ，于是它们的面积比就是 ，而 。这一步把圆 的作用用尽：半径 不是为了算距离，而是为了造出 。 第 3 步　焦弦另一端的纵坐标由韦达定理给出 ◈ 的纵坐标 是已知的，由 就能反解出 ；再把 代进去，利用 算出，分母里的 部分自然约干净。整个过程只用韦达定理与椭圆方程。 答　（1）；（2）（i）直线 过定点 ；（ii）存在，（此时 ） 例 1-2 （广东省清远市2025-2026学年高三上学期10月教学质量检测（一）数学试题 · 第18题） 【解答】已知椭圆过点，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线与分别交于四点，设线段的中点分别为． ①证明：直线过定点； ②求四边形面积的最小值． 【解析】 第 1 步　两条互相垂直的弦，中点由韦达定理直接给出 ◈ 的坐标只用到 ，不必把 、 解出来。更省事的是不急着算 的坐标，先看出 、——、 各自落在一条过原点的定直线上，（这两条线互为共轭直径），下面求截距时只用到 、 两个量。 第 2 步　求 截距时把 提出来 ◈ 这一步整理得越干净，后面越好算。分母把 提出来、分子把 提出来，两边剩下的因式完全一样，约掉之后只剩常数 。如果直接展开硬算，会得到一大串 、 的式子。 第 3 步　对角线互相垂直的四边形的面积 ◈ 、、、 依次连成的四边形，两条对角线恰是 与 ，且题设保证 ，于是 ，不必再拆成四个三角形。两条弦都过 ，用同一个弦长公式 写出，再把 换成 就得到另一条，两条的分母结构完全对称。 答　（1）；（2）① 直线 过定点 ；② 四边形 面积的最小值为 例 1-3 （山东省济南市2025届高三下学期3月模拟考试数学试题 · 第17题） 【解答】已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. （1）求的方程； （2）过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 【解析】 第 1 步　右准线是 ，不是顶点 ◈ ，顶点在 ，而直线 是右准线。认准这一点，第（1）问算完就应该心里有数：后面 的横坐标会取 ，而不是取 。 第 2 步　双曲线上的点用参数 表示 ◈ 可以写成 ，令 后、 都是 的简单有理式，斜率的表达式直接变成关于 的分式。比起设 再联立，省掉一次韦达定理；而且共线条件 的形式很短，后面反复要用。 第 3 步　定点落在 轴上的原因是 与 一起给出面积 ◈ 的定点算出是 ，落在 轴上，于是 把 切成上下两块，面积直接写成 。如果没有这一步，就得回到 去硬算。 第 4 步　最小值在竖直的那条直线上取到 ◈ 的一切直线都给出严格大于 的面积，而 恰好取到等号。这条直线在设 时被漏掉了，所以必须单独拿出来讨论，否则只能得到「大于」而不能说明最小值确实存在。 答　（1）；（2）① 直线 过定点 ；② 面积的最小值为 ，此时 练习 1-1. 【解答】已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求的方程； （2）若，分别是的左、右顶点，不与轴垂直的动直线与交于，两点（不同于，），且直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求证：直线经过定点． 1-2. 【解答】已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线与椭圆交于两点，当直线垂直于轴时，． （1）求的方程； （2）记的左顶点为，求面积的最大值； （3）设，直线分别交于两点，证明：直线过定点． 1-3. 【解答】已知椭圆E：，其左顶点为P，上顶点为Q，直线PQ交直线于R，且（其中O为坐标原点）. （1）求椭圆E的标准方程； （2）点N在x轴上，过点N作直线l与E交于A，B两点，问：是否存在定点N，使得为定值，若存在，求出所有点N的坐标并且求出定值；若不存在，请说明理由. 1-4. 【解答】已知双曲线的实轴长为4，一条渐近线的方程为，过点的直线与C的右支交于A，B两点． （1）求C的标准方程； （2）P是x轴上的定点，且． （i）求P的坐标： （ii）若的外接圆被x轴截得的弦长为16，求外接圆的面积． 1-5. 【解答】已知的三个顶点都在抛物线上，其中． （1）当是直角三角形且时，证明直线过定点； （2）设直线过点，是否有在以弦为底边的等腰？若存在，这样的三角形有几个？若不存在，请说明理由． 方法二　定值问题 定值问题与定点问题是一对孪生兄弟：定点是「位置不随参数改变」，定值是「数量不随参数改变」。两者用的是同一套骨架——设参、代入韦达定理、整理、让参数消掉。 ★ 处理定值题的标准动作有四步：先把动直线设出来并写出两个交点坐标满足的方程；再把题目要求定值的那个量（斜率之积、面积、线段长、比值）用交点坐标表示；然后用韦达定理把和与积代进去；最后整理成「不含参数的常数」，就完成了证明。 ★ 第三步最容易出错的地方，是把「用坐标表示的量」写成了对称式。只要最终结果与两个交点分别是谁无关（题目说的定值就是如此），那个表达式必须能写成 、 的组合。若写出来的式子里单独出现了 或 ，说明中间某一步漏了对称化，回头检查分子分母有没有配对。 ★ 面积定值是本节的常客，写法有三条路：一是 底 高，配合弦长公式与点到直线的距离；二是把底边放在坐标轴上，用 或 ；三是 ，当三角形成「原点加两点」的形状时最快。选哪一条取决于三角形有一条边是否落在坐标轴上。 ★ 抛物线用参数化写定值最省事。 上的两点设成 、，则弦的方程、斜率、弦长全是关于 与 的有理式，题目的条件往往直接给出这两个量的值，代入即得。 ★ 几何条件要先翻译再算。「某角的平分线垂直于 轴」的含义是角两边关于垂直于 轴的那条直线对称，等价于两条边所在直线的斜率互为相反数；「某点为某线段的中点」等价于两端点坐标的平均；「两段长度相等」优先考虑用坐标差表示后平方。把几何语言换成代数语言这一步，比后面的计算更值得花时间。 ★ 定值题有时先要判断「是不是定值」。试卷上写「是否存在…使…为定值」时，用法是先取一个特殊位置算出候选值，再证明一般情形下都是这个值。这类题的第二问常常反过来用第一问的结论，两步连起来读才不会做重。 ★ 与定点题合流时，注意问的是哪个。「直线过定点」要的是位置，「斜率为定值」要的是数。同一道题里两问都问的情况很常见，第二问往往需要第一问的结论式作为已知条件代入。 ★ 写定值题时，先在草稿上把「要求的量」写成含 的式子，再回头检查每一项是否都能用韦达定理表示。不能表示的那一项，往往就是题目暗示你不知道的另一条隐含条件。 例题 例 2-1 （浙江省杭州市2024-2025学年高三下学期教学质量检测数学试题 · 第18题） 【解答】已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. （1）求的方程； （2）记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； （3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 【解析】 第 1 步　把「 的倒数」当突破口 ◈ 第（2）问要的不是 、 本身，而是它们的倒数和。从 出发， 恰好把求 的那一步「分离」成一个只含 的项加一个常数项，两个点一加， 留下，而 用韦达定理一步到位。若先硬算 与 ，会多绕两圈。 第 2 步　第（3）问为什么换成 ◈ 焦弦 满足 ，写成 、 后就是 ，这是一个「乘起来等于常数」的关系，后面把 一代入，参数只剩 ，定值条件一眼可见。若仍用 三个字母，三条关系式互相牵扯，很难看出分母该与分子成比例。 第 3 步　定值问题的收口方式：让系数为零 ◈ 要对一切 恒定，分母里的「常数项」必须为 ，否则 时比值趋于 、 附近又趋于另一个值。这类「含参数的表达式的定值条件」，统一处理办法就是让带参数的项与被消去的项分离，再把自由项的系数令为 。 答　（1）；（2）；（3），此时 例 2-2 （山东省枣庄市2024-2025高三下学期第三次调研考试数学试题 · 第17题） 【解答】已知双曲线（，）的离心率为，且点在双曲线上， （1）求的方程； （2）若直线交于，两点，的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值. 【解析】 第 1 步　「平分线与 轴垂直」翻译成斜率语言 ◈ 的平分线垂直于 轴，就是这条平分线为竖直直线。关于竖直直线对称的两条直线，斜率互为相反数，所以设 的斜率为 、 的斜率为 ，一个参数就同时控制了 、。这类「对称」条件的标准翻译方式，比用夹角公式 去列方程简洁得多。 第 2 步　用 而不是 ◈ 的横坐标是 ，正好是双曲线右支上的点。设 后， 天然对应 ，二次方程里 这个根直接「送上门」，剩下的一个根就是另一个交点，不用再解韦达、也不用验根。这是「以定点的横坐标为基准设参数」的通用技巧，凡直线过已知点、又要求另一个交点，都可以这样设。 第 3 步　两个根相加、相减，避免直接写点坐标 ◈ 要算 ，只需 ，而这两个和差在 、 有共同分母 时几乎不用计算：相加时分子是 ，相减时分子是 ，分母完全相同、直接约去。若老老实实写出 、 的坐标再相减，会绕很大一圈。 答　（1）；（2） 的斜率恒为 ，倾斜角恒为 例 2-3 （广东省梅州市2025届高三下学期2月总复习质检数学试卷 · 第18题） 【解答】已知分别为椭圆的左、右焦点，点D为椭圆E上一点，以为直径的圆过焦点． （1）求椭圆E的方程； （2）P是椭圆E上异于左、右顶点A、B的任一点，设交直线于点交椭圆E于点Q． ①证明：为定值； ②求面积的最大值． 【解析】 第 1 步　第（1）问的两个条件各管一半 ◈ 圆只用来定 和 两件事： 在圆上给出 ，圆心是 的中点给出 ；而「 在椭圆上」与 才是求 、 的方程。看见「以 为直径的圆」不要只盯着直径所对的圆周角，圆心的坐标信息同样关键。 第 2 步　①的收口全靠椭圆的方程 ◈ 把 记作 ，两个斜率乘起来是 ；再用 在椭圆上得到的 代进去，立刻得 。用直线 定 、再用 到 的斜率定 ，这条链条上每一步都只用到一次坐标运算。 第 3 步　②为什么可以只保留 一个字母 ◈ ①已经把「 与 通过 绑定」这件事证出来了，所以②不必再管 ，直接设 、，两条直线各自与椭圆求交即可。这一步是把「几何构造」换成「代数参数」的关键，否则 的坐标、二次交点都要重算一遍。 第 4 步　面积用「底 × 高」，换元清掉绝对值 ◈ 两条直线都过 ，取 为底最省事：底长是 ，高是 到直线 的距离，两者相乘时 正好约掉。再令 把绝对值与根号清掉，函数变成 ，求导后能提出 ，极大值点一眼落在 。 答　（1）；（2）① ；② 最大值为 ，在 处取到 练习 2-1. 【解答】已知双曲线过点，其右焦点到渐近线的距离为1，过作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点． （1）求双曲线的标准方程； （2）为双曲线C上一动点，过点分别作两条渐近线的平行线交渐近线于，四边形OEPG的面积是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由； （3）在轴上是否存在定点，使恒成立，若存在求出定点的坐标，若不存在请说明理由． 2-2. 【解答】如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，． （1）求与的标准方程；（2）过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合）（3）点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 2-3. 【解答】已知双曲线E：（，）的虚轴长为2，离心率为. （1）求双曲线E的标准方程： （2）过点的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点，直线BC与直线交于点N. （ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值： （ⅱ）记，分别为，的面积，求的取值范围. 2-4. 【解答】已知椭圆的离心率为，，分别为的左，右焦点，点为曲线在第一象限内图象上的一点，的周长为，若为坐标原点，记，，. （1）求的方程及的值； （2）若，为上不同的两点，满足，设，，的面积分别为，，，求证：当变化时，为定值； （3）请探究：若，，…，为上个不同点，且，，，其中，…，，点与点重合，当变化时，是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，说明理由. 参考公式：. 方法三　最值与范围 最值问题与范围问题共用一条路线：把要求的量写成某个变量的函数，再求这个函数的最值或值域。差异只在最后一步——最值给出一个数，范围给出一个区间。 ★ 第一步永远是「对象化」：题目要的是哪个量。三角形面积、四边形面积、弦长、线段之和、斜率、角，每一种都有固定的写法。把量写清楚之后，剩下的工作就是把式子里的变量从两个消到一个。 ★ 消元的手段看曲线选。椭圆、双曲线走「设直线 + 韦达」，把 、 代入后，式子里通常只剩斜率 一个变量；抛物线优先用参数化，点用 表示，面积、弦长之类别直接就写成 的有理式，省一次解方程。 ★ 面积最值的三种写法要会挑：底边在坐标轴上时用 底 高；已知弦长时用 （ 为第三个点到弦的距离）；三角形一顶点是原点时用 。同时面积的另一条常用通路是「平行切线法」：面积最大时，动点到定直线的距离最大，此时过该点且与定直线平行的直线与曲线相切。计算量大时可改走这条路。 ★ 求值域的四个工具，按出现顺序挑：式子形如 或 用基本不等式（注意取等条件能不能取到）；整理后是二次函数用配方，看对称轴在不在定义域内；以参数为斜率、且要求直线与曲线有交点时用判别式；分母含根号或结构杂乱时改用换元，把根号整个设成新变量。 ★ 换元降次是本节最常用的动作。见 就设 （），见 就设 ，见两个平方项之和就把中点坐标设成新变量。换元之后一定要把新变量的取值范围写在旁边，否则最后取到的「最值」可能是新变量取不到的值。 ★ 角的最值走余弦定理或向量数量积。求 的范围时，把 用向量 与模长写出来，先看它的取值范围，再转回角的范围（余弦在 上单调递减，范围方向要跟着反过来）。若角的两边是两条动直线的夹角，也可以直接用夹角的正切公式。 ★ 范围题的端点要单独交代。算出 之后， 的范围是 ，开区间还是闭区间取决于取等时那道题的条件是否仍然成立（例如 不能取等，而 可以）。这一处是整个解答里最容易丢分的地方。 ★ 涉及面积的取值范围时，先把面积写成单变量函数，再看这个函数在定义域上的单调性与端点趋势。若函数在区间上单调，值域就是端点值之间（含不含端点看定义域开闭）。 ★ 最值题先做一件事：把「要求的量」用一句中文说出来（例如「点 到直线 距离的一半乘以弦长」），再逐块翻译成坐标式子。跳过这一步直接联立，往往在最后才发现自己求的是另外一个量。 例题 例 3-1 （安徽省滁州市2025届高三第一次教学质量监测数学试题 · 第16题） 【解答】已知椭圆的焦距为2，且经过点，M为C的右顶点，过点P的直线l与C交于点（异于点）. （1）求C的标准方程;（2）求面积的最大值. 【解析】 第 1 步　把动的问题化成定值问题 ◈ 底边 固定， 在椭圆上自由取值，于是「面积最大」就等价于「 到直线 的距离最大」。 第 2 步　把「点到直线的距离最值」变成「平行直线的截距」 ◈ ，只需求 的范围。把与 平行的直线 与椭圆联立，令判别式为零（相切）即得 ，一步到位。 第 3 步　求出等号条件后要回头交代 ◈ 算出 之后还要说明这个点确实在椭圆上、确实符合题设，这一步收口常被漏掉。 答　（1）；（2） 面积的最大值为 例 3-2 （河南省焦作市普通高中2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题 · 第18题） 【解答】已知椭圆的长轴长为，左、右焦点分别为，直线与交于P，Q两点，且满足（为坐标原点），当变化时，面积的最大值为． （1）求的方程；（2）证明：；（3）过点和线段PQ的中点作一条直线与交于R，S两点，求四边形PRQS面积的取值范围． 【解析】 第 1 步　「面积最大值」直接翻译成等式 ◈ ，最大值就是 ，这一句把 定下来了，不用再设点运算。 第 2 步　韦达定理里让同类项自己消失 ◈ 算 时 ，三项自动抵消，这是本题最省力的地方。 第 3 步　由坐标比例直接读出直线 ◈ ，所以 ，比先求斜率再写方程快得多。 第 4 步　四边形用对角线公式 ◈ ，两条对角线恰好是 与 ，与顶点顺序无关。 答　（1）（即 ）；（2）；（3） 例 3-3 （2025届湖南省郴州市高三三模数学试题 · 第19题） 【解答】已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线交于，两点，当直线垂直于轴时，的周长为16. （1）求双曲线的标准方程； （2）与轴不重合的直线过点，双曲线上存在两点，关于对称，且AB的中点的横坐标为. （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）若，为双曲线右支上两个不同的点，过点，求的取值范围. 【解析】 第 1 步　对称能给出的三句话 ◈ 、 关于 对称，等价于 、 的中点在 上，以及对称轴上任一点到 、 等距。第三步推出 ，是求角的关键。 第 2 步　中点坐标带参数一起走 ◈ 只用韦达定理写出 ，始终不去求 、 的具体坐标。 第 3 步　两根之差直接取判别式 ◈ 二次项系数为 时 ，省掉求根公式，后面约分也干净。 答　（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ） 练习 3-1. 【解答】已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为.过点的直线分别交的左、右两支于，两点，且. （1）求的值； （2）求的取值范围； （3）若，证明：. 3-2. 【解答】已知双曲线（，）的左，右顶点分别为，，过C的右焦点的直线与的右支交于两点.当与轴垂直时，. （1）求C的方程； （2）直线，与直线的交点分别为，为的中点. （i）求的最小值； （ii）证明：点关于直线对称的点在上. 3-3. 【解答】已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的上､下顶点，且. （1）求椭圆的方程； （2）已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点. （i）设的面积分别为，若，求的最大值； （ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程. 3-4. 【解答】已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且左､右焦点分别为. （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求的最小值，并指出此时点的坐标. 3-5. 【解答】已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过点的直线与交于、两点，过点作轴的垂线与直线相交于点． （1）求的方程； （2）证明：点在定直线上； （3）延长交（2）中的直线于点，求四边形面积的最小值． 方法四　存在性探究 存在性问题的问法是「是否存在…，若存在求出…，若不存在说明理由」。它看上去最玄，实际上最机械：把「存在」翻译成方程（或不等式）有解即可。 ★ 标准三步：先假设所说对象存在，把条件写成含参数的方程；再解这个方程（或判断它有没有解）；最后按题目要求作答——有解时说清解是什么，无解说清为什么。作答时先给判断（存在或不存在），再给具体值，顺序不要颠倒。 ★「是否存在点 使 是等腰三角形」这类问题，本质是解方程 或 。两条边相等写成坐标等式，化简后是关于 的横坐标（或斜率）的方程，看它在题目允许的范围内有几个解。 ★ 涉及圆的位置关系时，判据要背准。「点在以 为直径的圆外」等价于 ，在圆内是 ，在圆上是 ；「圆与 轴相切」等价于圆心到 轴的距离等于半径，写出来就是圆心横坐标的绝对值等于半径。这两个判据在近年的圆锥曲线题里出现频率极高。 ★「以 为直径的圆与某条坐标轴相切」这类问题的处理套路固定：先用 、 的坐标写出圆心（即 的中点）与半径（即 ），再把「到 轴的距离」写成中点横坐标的绝对值，令两者相等得到方程，解出参数。中间那一步弦长计算最耗时，通常要走韦达定理。 ★ 个数问题是存在性题的进阶版。问「这样的直线有几条」，等价于问方程有几个满足题设的解。此时要特别留意题设的限定词：「斜率存在」「与双曲线同一支相交」「点不重合」这些限定会把一部分解筛掉，剩下的个数才是答案。 ★ 三角形形状的存在性要分开讨论。等腰、直角、等边各有自己的条件：等腰看两条边相等，直角看数量积为零，等边是两者都要（等腰加一个角为 ，或三边两两相等）。等边条件最苛刻，写出的方程往往只有少数几个解。 ★ 对称型的存在性问题（例如「是否存在四边形 满足 是其对称轴」）做法是先翻译对称： 与 关于直线 对称，等价于 垂直平分 。再把「垂直」与「平分」各写一个等式，就是两个条件、两个未知量。 ★ 面积相等、比值相等的存在性问题，把两个面积分别用坐标表示后令它们相等（或相比），化简时优先找公因式（两个三角形常常共用一条底或一个顶点）。 ★ 存在性题算到最后若得到一个恒成立的式子，说明所说对象对任意参数都存在（而不是「不存在」）；若得到矛盾式，才是不存在。两种情况都要在答卷上明确写出来。 例题 例 4-1 （河北省石家庄市2025届高三下学期教学质量检测（一）数学试题 · 第18题） 【解答】已知椭圆的一个焦点短轴长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）连线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点. （i）证明：点在以为直径的圆外： （ii）在上是否存在点使得是等边三角形.若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 【解析】 第 1 步　「点与圆的位置关系」翻译成数量积 ◈ 在以 为直径的圆上 ，圆内 钝角，圆外 锐角。于是只要算 的符号，不必写出圆的方程。 第 2 步　等边三角形的两个条件 ◈ 一是 在 的垂直平分线上（），二是高等于 倍边长。用第一条先定出 的坐标（含参数 ），再用第二条列方程。 第 3 步　两条直线的位置关系只要设 ◈ 这样设连竖直的情形一起管住，后面 的系数也整齐（ 与斜率互为倒数）。 答　（1）；（2）（ⅰ）证明见解析， 在以 为直径的圆外；（ⅱ）存在， 的方程为 或 例 4-2 （福建省厦门市2025届高三第三次质量检测数学试题 · 第18题） 【解答】设抛物线的焦点为，过的直线交于A，B两点（在第一象限），当垂直于轴时，. （1）求的方程； （2）过且与垂直的直线交于，两点（在第一象限），直线与直线和分别交于P，Q两点. （i）当的斜率为时，求； （ii）是否存在以为直径的圆与轴相切？若存在，求，的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】 第 1 步　抛物线上的点用 表示 ◈ 上取 就得到 ，过焦点的弦两端参数满足 ，斜率写成 ，全程不用求根公式。 第 2 步　两条弦互相垂直的翻译 ◈ 把两条弦的斜率相乘等于 ，得到 ，这是后面所有运算的唯一入口。 第 3 步　先猜出「、 关于 对称」 ◈ 一般式中算出 ，于是圆心恒为 ，「与 轴相切」就化成一个只含 与 的方程。 第 4 步　无解的判断靠判别式 ◈ 最后化成 ，判别式为负，直接说明不存在，不必再讨论范围。 答　（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）不存在 例 4-3 （山东省日照市2024-2025学年高三下学期第二次校际联合考试数学试卷 · 第18题） 【解答】在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l的斜率存在，直线AO与直线相交于点D，过点B且与抛物线C相切的直线交x轴于点E． （ⅰ）证明：； （ⅱ）是否存在直线l使得四边形ABDE的面积为？若存在，说明直线l有几条；若不存在，请说明理由． 【解析】 第 1 步　切线用导数求，比联立判别式快 ◈ 两边对 求导得 ，所以点 处的切线斜率直接是 。 第 2 步　证角互补只要比较两个向量 ◈ 算出 与 的坐标完全相同，就知道它们同向；再看 与 反向，两角互补立刻成立，不必真的算出两个角。 第 3 步　面积里的 用 换掉 ◈ 把结果整理成只含 的式子 ，再令 ，问题就变成一个四次方程有几个正根。 第 4 步　根的个数要配合「斜率存在」复核 ◈ 把 的正根还原成 ，还要排除 竖直的情形（），才能数清直线的条数。 答　（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）存在，共有 条这样的直线 练习 4-1. 【解答】已知A，B，C是椭圆上三个不同的点，是坐标原点. （1）若，是的左、右顶点，求的取值范围； （2）若点在第一象限，是否存在四边形满足是该四边形的对称轴，若存在，请写出A，C的坐标，若不存在，请说明理由. 4-2. 【解答】已知抛物线的焦点为F，点在E上，且． （1）求E的方程； （2）过F作互相垂直的两条直线，，这两条直线与抛物线E分别交于A，B和P，Q两点，其中点A，P在第一象限． （ⅰ）记△AOB和△POQ的面积为，，求的最小值； （ⅱ）过F点作x轴的垂线，分别交AP，BQ于C，D两点，请判断是否存在以CD为直径的圆与y轴相切，并说明理由． 4-3. 【解答】已知椭圆的右焦点为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的上、下顶点，四边形的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，直线与的交点为． ①若直线的倾斜角为，求线段的长度； ②试问是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果没有，说明理由． 4-4. 【解答】已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求的方程； （2）设椭圆．若过的直线交于另一点交于两点，且在轴上方． （ⅰ）证明：； （ⅱ）为坐标原点．为右顶点．设在第一象限内，，是否存在实数使得的面积与的面积相等？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 综合方法（上）的方法体系 从题型到方法的完整梳理 一、知识点梳理 知识点一　直线与圆锥曲线联立的通法 ★ 前四册按曲线分家，本册开始只认方法。把椭圆、双曲线、抛物线放在一起看，它们的第一步完全相同：设一条直线，把它与曲线方程联立，得到一个一元二次方程，再用韦达定理把两个交点的和与积整体代入。这条路走通了，题目剩下的事都是代数变形。 ★ 设线的两种写法，选错了计算量差一倍。设 的代价是要单独讨论斜率不存在的情形；设 的代价是要单独讨论斜率为零（即直线平行于 轴）的情形。凡题面说「直线与 轴不垂直」，就用 ；凡题面说「直线与 轴不垂直」或所求定点落在 轴上，就用 。 ★ 联立之后是三个量：、、（或对应的 版本）。 决定交点是否存在，是有解条件；另外两个是韦达定理给的对称量，是所有后续化简的入口。写解答时这三个量要一并写出，缺了 的解答在评卷时要扣分。 ★ 用 代入椭圆或双曲线 时，得到的方程里 的一次项系数含 ，常数项含 ，两根之积与两根之和都是有结构的有理式。把这两个式子背下来并不能省事，关键是养成「先写出方程的三个系数，再套韦达」的习惯，而不是硬记结果。 ★ 弦长公式有两条，对应两种设线方式：设 时 （ 为联立后二次项的系数）；设 时 。括号外的那个根号是两点间距离公式带来的，不要漏。 ★ 两条重要经验：一是双曲线题里，直线与右支交于两点的条件是 且两根同号（）；与左右两支各交一点的条件是两根异号（）。二是抛物线题里，把点的纵坐标作为参数往往比横坐标简单，因为 里 是 的二次函数。 ★ 判别式的地位在这一册里比前四册更重。第四节的个数问题、第三节的取值范围问题，最后的答案常常就是「 什么时候大于零」。看到「有几个解」「取值范围」这类字样，先把 写出来放在一边。 ★ 联立之后的化简有一条纪律：凡是关于两个交点对称的式子，一律换成 与 ，绝不在中途代入具体根。 这种不对称的式子，要设法写成 之类可求的形式，或者改用 、 的比。 知识点二　斜率关系的代数化 ★ 解析几何里大部分「几何条件」最终都落到斜率上。把常见说法翻译成斜率语言，是本册的核心技能： 三点共线——过同一点的两条连线斜率相等； 两直线平行——斜率相等（或都不存在）； 两直线垂直——斜率之积为 （或一条斜率为零、另一条不存在）； 角的两边关于某条竖直直线对称——两直线斜率互为相反数； 角的两边关于某条水平直线对称——两直线斜率互为相反数的倒数关系，实际计算时不如直接用倾斜角处理。 ★ 斜率之积为定值是本节出现最多的一类条件。设 是曲线上的定点，、 是曲线上两点，则 。当 是圆锥曲线的顶点时，利用曲线方程可以把这个式子整体化简成常数（椭圆与双曲线下是 ，抛物线下的形式类似）。这条结论要能现推，不必死记。 ★ 若两点的横坐标含参数、直接写斜率会很难看，可以先做一步平移：把定点 移到原点，曲线的方程随之改变，斜率表达式立刻变干净。定值算完之后再平移回去。这个动作在处理「过某定点的两条直线斜率之积」时特别有效。 ★ 角平分线条件有两种等价写法，选哪种看题面：若角平分线垂直于 轴，写成两边斜率互为相反数最快；若角平分线是某条已知直线，用「角平分线上的点到角两边的距离相等」更直接。前者的典型例子是「 的平分线与 轴垂直」，此时 。 ★ 斜率的和、积、比这三种关系，对应直线过定点、斜率定值、截距定值三类结论： 为常数常推出直线过定点； 为常数常推出斜率或截距的定值； 为常数则常用于求某个使关系成立的点（如「求点 的坐标，使 为定值」）。 ★ 抛物线上的斜率有一个极好的性质： 上两点 、，则 。弦的斜率只与两端纵坐标之和有关，这一式在「斜率之和为定值」「中点在定直线上」这类题里一步到位。 ★ 当题目给出的是角相等、角互补时，先用它们推出斜率的关系再计算，不要一开始就去写余弦定理。「」这类条件，翻译成两条直线的倾斜角互补，也就是斜率之和为零。 知识点三　面积与距离的计算 ★ 面积的三种写法，按三角形的形状挑：底边落在坐标轴上时用 底 高；已知一条弦长时用 ；三角形有一个顶点在原点时用 。其中第三种与「斜率的乘积」「向量数量积」联系最紧，也最省计算。 ★ 点到直线的距离公式 是面积问题的第二个轮子。当直线写成 时，分母是 ，与弦长公式里的 恰好相约，这是「底乘高除以二」这类算式常见的化简来源。 ★ 四边形面积的处理只有一个思路：分割成三角形。对角线互相垂直时可以直接用「对角线之积的一半」；更常见的是选一条对角线，把四边形分成两个共底三角形，于是面积是 对角线长 两顶点到对角线距离之和。 ★ 面积之比常能约掉公共部分。两个三角形共底时，面积比等于高之比；共高时，面积比等于底之比。把这两个观察用上，往往能把分式化成两段弦长的比，再走弦长公式。 ★ 平行切线法求面积最大值：当动点 到定直线 的距离取到最大时，过 且平行于 的直线与曲线相切。于是问题化为「求与 平行的切线」，联立一次、判别式为零即可，比把面积写成函数再求导快得多。联立求导这条路也要会，两条路互为验证。 ★ 距离问题里有一类要警觉：求「某点到某直线的距离」时，如果这个点也在直线上，距离是零，意味着面积为零。题目给出「面积的最大值」时，若算出的函数有零点，要检查零点是否落在定义域内。 知识点四　参数化与存在性判断 ★ 抛物线参数化： 上的点写成 或 ，前者用纵坐标作参数，后者用斜率的一半作参数。 上的点最省事，直接写成 。参数化之后，斜率、弦方程、面积都是 的有理式，不需要解一元二次方程，也就不需要判别式。 ★ 椭圆与双曲线也能参数化。椭圆 上的点是 ，处理与角、与圆相关的问题时很好用；但处理弦、中点、斜率问题时，设线加韦达仍然比参数化更省事。选哪条路，看题目给的量与角有没有关系。 ★ 存在性问题的判据清单： 方程有解——看判别式，同时看解是否落在题设允许的范围内； 点与圆的位置——数量积 的符号； 直线与圆的位置——圆心到直线的距离与半径比大小； 圆与坐标轴相切——圆心横（纵）坐标的绝对值等于半径； 两点重合——两个点的坐标是否相等，用解是否相异判断。 每一条都能写成等式或不等式，写出来就是方程有解的判断。 ★ 个数问题的要点是「筛解」。方程解出来有两解，但其中一解可能因为「斜率不存在」「交于同一支」「点与已知点重合」等题设被排除。平时练习时要把筛解这一步单独写一行，考场上才不至于漏。 ★ 关于等式恒成立：若题目要求「对任意参数恒成立」，把式子整理成关于参数的降幂多项式，令各次项系数全部为零。这是求定点、求定值的通用手段。 ★ 存在性题的书写格式：第一句给出判断，第二步给出求出该对象所用的方程，第三步写出结果并回代检验（确认所求的点确实在曲线上、所求的直线确实满足题设的所有限定）。回代检验这一步在存在性题里不能省，因为「解出方程」与「满足题设」之间常常差着一个范围条件。 二、方法突破 方法一　定点问题 所谓定点，是指题目里有一条随着参数变化而移动的直线（或曲线），不管参数取什么值，它都经过某个固定的点。这类题在卷面上通常写成「证明：直线 过定点」或「直线 是否过定点」。 ★ 把「过定点」翻译成代数语言只有一句话：直线方程里那个与参数无关的部分。直线写成 时，若化简后 与 之间有 的关系，就把 代回去整理成关于 的多项式，令 的系数为零——剩下的常数部分写成的方程就是定点要满足的条件。 ★ 设线的方式先定下来，后面的计算量差一倍。直线与 轴不平行时设 ，与 轴不平行时设 。判断依据是题目在 轴、 轴上给的条件：若定点多半在 轴上、或题面条件都绕着 轴转，用 ，这样「过 轴上的点」直接就是 一个常数，不必让 参与讨论。 ★ 斜率之积为定值这类条件，是定点题最常见的入口。以椭圆 为例，设 是椭圆上一定点，、 是椭圆上两点，若 （ 为常数），把 、 用 、 的坐标写出来，代入韦达定理后整理，就能解出直线 的截距与斜率的关系式，定点随之而定。 ★ 定点多半落在坐标轴上，这是可以预判的。当题目条件（以及图形）关于 轴对称时，把 、 的位置互换，条件不变；若定点唯一，它必然落在对称轴上。先用这个判断锁定定点在哪条轴上，计算时只设一个未知数。 ★ 先猜后证是稳妥路线。取两条特殊位置的动直线（例如垂直于坐标轴的那条、或者过某个特殊点的），算出交点作为候选定点，再用一般情形验证。考试时这样写，即使最后一步算错，前面的思路分也拿得到。但在讲义里我们仍然要求把一般情形的推导写完整。 ★ 抛物线的定点题常常更快： 上的点设成 或 ，斜率的表达式会立刻降成关于 的有理式，不用解一元二次方程，也就不必写韦达定理。参数化是抛物线题省下计算量的主要途径。 ★ 双曲线的定点题要额外留意两点：一是弦与同一支相交还是与两支相交， 的条件与根的符号都要看；二是渐近线是「不能越过」的边界，直线与双曲线有交点的前提是它不与渐近线平行。这些限制条件写出来，才是完整的解答。 ★ 拿到定点题先做三件事：判断定点在 轴还是 轴上；选定设线方式；把题目条件全部写成关于 、 的式子。做完这三步，剩下的就是代入韦达定理后整理，没有别的技巧。 例题 例 1-1 （山东省青岛市2025届高三年级第一次适应性检测数学试卷 · 第18题） 【解答】已知椭圆的左，右焦点分别为，，短轴长为，离心率为. （1）求的方程； （2）记的左顶点为，直线与交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为. （i）证明：直线过定点； （ii）若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴上方.是否存在点，使得与的面积之比为3：5？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【解析】 由短轴长 得 。离心率 ，即 ，代入 ： 解得 ，，，所以 左顶点为 。 （i）设 。先看 与 轴平行的情形：此时 、 关于 轴对称，记 ，则 ， 由 在椭圆上，，即 ，代入得 ，与 不符。所以 不与 轴平行，可设 。 设 ，。把 代入 ，两边同乘 ： 整理得 所以 条件 就是 由 得 代入韦达定理，两边再同乘 ： 展开后含 、、 的项全部抵消，只剩 即 ，。 时 为 ，它经过 ，此时 、 中有一个就是 ， 没有意义，舍去。故 。 不论 取何值， 都经过点 ，所以直线 过定点 。 （ii）这个定点正是右焦点 ，于是 、 是过 的弦的两端。设 ， 在 轴上方，所以 。先算两条焦半径，直接用两点间距离公式。由 在 上得 于是 因为 在椭圆上，，所以 ， 同理 圆 的圆心是 、半径为 。 在射线 上，且 ，所以 与 的底边都落在直线 上、顶点都是 。记 到直线 的距离为 ，则 另一方面， 它同时也等于 ，两个表达式对照，得 于是 再算 。这个三角形以 为底，所以 ，只需求出 的纵坐标。 由（i）知 过 ，所以设 。代入 ： 设 、，则 由 在 上得 ，即 把它代进 ： 由 ， 所以 ，从而 又 ，所以 于是 两式相除： 令它等于 ： 展开整理： 解得 ，即 或 。由 舍去 ；取 时 ，结合 得 ，即 此时 与 的横坐标都是 ， 就是竖直线 ，它同样经过定点 ，与（i）的结论一致。 所以存在这样的点 ，坐标为 。 第 1 步　 必须舍去 ◈ 解得 与 两个值。 时 经过左顶点 ，此时 本身就是 、 之一， 失去意义，也与「」矛盾。凡是设线时把定点所在的位置一并代进去，解完都要回到题设筛一遍。 第 2 步　解决「两条线段」的办法是换成同一个高 ◈ 与 有一条公共的底边所在直线 ，于是它们的面积比就是 ，而 。这一步把圆 的作用用尽：半径 不是为了算距离，而是为了造出 。 第 3 步　焦弦另一端的纵坐标由韦达定理给出 ◈ 的纵坐标 是已知的，由 就能反解出 ；再把 代进去，利用 算出，分母里的 部分自然约干净。整个过程只用韦达定理与椭圆方程。 答　（1）；（2）（i）直线 过定点 ；（ii）存在，（此时 ） 例 1-2 （广东省清远市2025-2026学年高三上学期10月教学质量检测（一）数学试题 · 第18题） 【解答】已知椭圆过点，离心率． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线与分别交于四点，设线段的中点分别为． ①证明：直线过定点； ②求四边形面积的最小值． 【解析】 由 得 ，，椭圆方程写成 把 代入：，即 ，所以 ，， 右焦点为 。 ① 设 的斜率为 ，则 的斜率为 。把 代入 ： 所以 是 的中点， 于是 把 换成 ，得 的坐标 设直线 与 轴交于 ，由两点式 其中 两式相除， 把 、 代入分母： 而分子 所以 它与 无关。直线 过定点 。 （ 时 为 轴、 为直线 ， 为原点、 为 ， 就是 轴，同样过 。） ② 因为 ，这两条弦正好是四边形 的两条对角线，所以 两条弦都过 ，用同一个弦长公式写出即可。设 的斜率为 （ 时 就是 轴，下面的一般式代入 也成立），则 。代入 ： 设 、，则 判别式 所以 的斜率为 ，把上式里的 换成 ： 于是 令 ，。求导得 分母恒正，，所以 在 上递减、在 上递增， 时取最小值 此时 。 第 1 步　两条互相垂直的弦，中点由韦达定理直接给出 ◈ 的坐标只用到 ，不必把 、 解出来。更省事的是不急着算 的坐标，先看出 、——、 各自落在一条过原点的定直线上，（这两条线互为共轭直径），下面求截距时只用到 、 两个量。 第 2 步　求 截距时把 提出来 ◈ 这一步整理得越干净，后面越好算。分母把 提出来、分子把 提出来，两边剩下的因式完全一样，约掉之后只剩常数 。如果直接展开硬算，会得到一大串 、 的式子。 第 3 步　对角线互相垂直的四边形的面积 ◈ 、、、 依次连成的四边形，两条对角线恰是 与 ，且题设保证 ，于是 ，不必再拆成四个三角形。两条弦都过 ，用同一个弦长公式 写出，再把 换成 就得到另一条，两条的分母结构完全对称。 答　（1）；（2）① 直线 过定点 ；② 四边形 面积的最小值为 例 1-3 （山东省济南市2025届高三下学期3月模拟考试数学试题 · 第17题） 【解答】已知双曲线的离心率为，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，. （1）求的方程； （2）过点作直线的垂线，垂足为. ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值. 【解析】 由 得 ，，即 。 当 轴时 ，代入 得 所以 。由 得 ，从而 ，， 右焦点 。题中的直线 就是 的右准线 。 ① 设 、 对应的参数分别为 、。对 上的点，令 ，则 ，于是 由此 同理 。、、 三点共线，故 ，即 两边展开相减，得 、 是不同的点，，所以 即 ，。 是 到 的垂足，所以 。直线 与 轴交点的横坐标由两点式给出： 其中 由 得 ，于是 又由 得 ，所以 三式一并代入： 所以直线 过定点 。 ② 记 。 在直线 上， 把 分成两块： 与 的纵坐标相同，所以 当 不与 轴平行时设 。代入 ： 记左边为 。，而 时二次项系数 ， 只在两根之间成立，所以 于是 与 异号， 而 所以 对 ，不等式 两边平方后等价于，即 ，恒成立。所以 当 与 轴平行时 ，与右支交于 、，此时 ， 取到等号。所以 面积的最小值为 ，此时 。 第 1 步　右准线是 ，不是顶点 ◈ ，顶点在 ，而直线 是右准线。认准这一点，第（1）问算完就应该心里有数：后面 的横坐标会取 ，而不是取 。 第 2 步　双曲线上的点用参数 表示 ◈ 可以写成 ，令 后、 都是 的简单有理式，斜率的表达式直接变成关于 的分式。比起设 再联立，省掉一次韦达定理；而且共线条件 的形式很短，后面反复要用。 第 3 步　定点落在 轴上的原因是 与 一起给出面积 ◈ 的定点算出是 ，落在 轴上，于是 把 切成上下两块，面积直接写成 。如果没有这一步，就得回到 去硬算。 第 4 步　最小值在竖直的那条直线上取到 ◈ 的一切直线都给出严格大于 的面积，而 恰好取到等号。这条直线在设 时被漏掉了，所以必须单独拿出来讨论，否则只能得到「大于」而不能说明最小值确实存在。 答　（1）；（2）① 直线 过定点 ；② 面积的最小值为 ，此时 练习 1-1. 【解答】已知椭圆的短轴长为2，离心率为． （1）求的方程； （2）若，分别是的左、右顶点，不与轴垂直的动直线与交于，两点（不同于，），且直线的斜率等于直线的斜率的2倍，求证：直线经过定点． 解析　答：（1）; 短轴长 ，得 ；离心率 ，于是 ，，故 ， 左、右顶点为 、。记 ，则 。、 都异于两个顶点，故 。 直线 ，代入 得 是它的一个根，由两根之积得另一个根 直线 与椭圆联立得， 是它的一个根，所以 设直线 与 轴交于 ，由两点式 其中 又 ，所以 两式相除，注意 ，得 所以不论 取何值，直线 都经过定点 。 还可以顺手核对一下 的允许范围： 时 轴，由 解得 ，而题目限定 不与 轴垂直，故 。 1-2. 【解答】已知椭圆的离心率为，右焦点为，过的直线与椭圆交于两点，当直线垂直于轴时，． （1）求的方程； （2）记的左顶点为，求面积的最大值； （3）设，直线分别交于两点，证明：直线过定点． 解析　答：（1） 由 得 ，，即 。 当 轴时 ，代入得 所以 ，得 ，，， （2）设过 的直线为 。代入 ： 设 、，则 判别式 所以 左顶点 到 的距离 所以 记 ，则 ， 求导： 由 知 ，所以 在 上单调递减，最大值在 （即 ， 垂直于 轴）处取到： （3）仍设 、。由（2）知 、，且 。 在椭圆外（），过 的直线与椭圆总有两个交点。直线 上的点可写成 其中 对应点 。代入 ，整理成关于 的二次方程： 是它的一个根，所以另一根（对应 ）为 由 ， 所以 ，从而 同理 设 与 轴交于 。由两点式，令 解得 记 。先算分子： 由 ， 所以 再算分母： 而 ，所以 两式相除。 故 ，可以约去： （ 轴时 ，此时 ，上面的推导同样成立。） 所以直线 恒过定点 。 1-3. 【解答】已知椭圆E：，其左顶点为P，上顶点为Q，直线PQ交直线于R，且（其中O为坐标原点）. （1）求椭圆E的标准方程； （2）点N在x轴上，过点N作直线l与E交于A，B两点，问：是否存在定点N，使得为定值，若存在，求出所有点N的坐标并且求出定值；若不存在，请说明理由. 解析　答：（1） 左顶点 ，上顶点 ，直线 的方程为，即 。 它与直线 交于 于是 由 得 又 ，即 ， 解得 ，， （2）设 ，过 的直线设为 （这样把竖直线 也一并管住）。代入 ： 设 、，则 、 都在直线 上，所以 于是 记 。把韦达定理的结果代进去，分子分母同乘 ，得 所以 要使它与 无关，分子必须是 的常数倍，即 即 。此时分子 ，分母 ， 反过来，若 ，则 ，此时 随 变化（取 与让 无限增大，得到的值不同），不可能是定值。 而 满足 ，落在椭圆内部， 不在 上，过 的任意直线都与 交于两点，、 恒不为零。 所以存在这样的定点，共有两个： 与 ，对应的定值都是 。 1-4. 【解答】已知双曲线的实轴长为4，一条渐近线的方程为，过点的直线与C的右支交于A，B两点． （1）求C的标准方程； （2）P是x轴上的定点，且． （i）求P的坐标： （ii）若的外接圆被x轴截得的弦长为16，求外接圆的面积． 解析　答：（1） 实轴长 ，得 ；一条渐近线为，故 ，， （2）设过 的直线 ，代入 ： 整理得 与右支交于两点，需要两根同为正，即 （此时两根之积 、两根之和）。记两交点的横坐标为 、， 由 得 设 ，则 等价于 代入韦达定理的结果： 两边乘 ，按 整理得 是定点，上式要对一切可行成立，所以 由 得 。 时第一个式子左边为 ，舍去； 时第一个式子左边 ，成立。所以 它恰是 的右顶点。 （ii），所以 就是 外接圆的直径。设圆心为 、半径为 ，则 是 的中点， 外接圆被 轴截得的弦长为 。先算 ： 所以 再算 ： 于是 弦长为 ，而 使 ，故 反过来 满足 ，是可行的，此时 所以外接圆的面积为 1-5. 【解答】已知的三个顶点都在抛物线上，其中． （1）当是直角三角形且时，证明直线过定点； （2）设直线过点，是否有在以弦为底边的等腰？若存在，这样的三角形有几个？若不存在，请说明理由． 解析　答：（1） 上的点可以写成 ，点 对应 。设 、。 （1） 即 把 分解后提取公因式，得 、、 是三个不同的点，、，所以 对 上参数为 、 的两点，弦 的方程是 把 代入，记 ： 即 当 、 时两边同为 ，与 无关，所以直线 恒过定点 （2）反过来，弦 过 时把 代入弦的方程，得 ，即 由（1）的计算过程，这个条件恰好等价于 。 以 为底边的等腰三角形要求 。先化简 记 ，条件就是 。由 ， 方括号里 ，其中 ，所以 由 得 ，代入后 记 。它的导数 的判别式为 ，所以 恒成立， 在 上严格递增，方程 至多有一个实根。又 所以 在 内恰有一个实根 ，不必求出它的具体数值。 接着说明这个根确实给出两个不同的点。由 ，两根的判别式 恒成立，所以 、 是两个不相等的实数。 再看它们是否等于 。，而 ，所以 只在 时成立。若 ，由 得 ，即 ，此时 ；而 ，不可能等于 ，矛盾。所以 、，、 与 不重合，三角形不退化。 由方程唯一确定，弦 也就唯一（把 、 互换只是交换、 的名字，仍是同一个三角形）。所以这样的等腰三角形存在，并且只有一个。 方法二　定值问题 定值问题与定点问题是一对孪生兄弟：定点是「位置不随参数改变」，定值是「数量不随参数改变」。两者用的是同一套骨架——设参、代入韦达定理、整理、让参数消掉。 ★ 处理定值题的标准动作有四步：先把动直线设出来并写出两个交点坐标满足的方程；再把题目要求定值的那个量（斜率之积、面积、线段长、比值）用交点坐标表示；然后用韦达定理把和与积代进去；最后整理成「不含参数的常数」，就完成了证明。 ★ 第三步最容易出错的地方，是把「用坐标表示的量」写成了对称式。只要最终结果与两个交点分别是谁无关（题目说的定值就是如此），那个表达式必须能写成 、 的组合。若写出来的式子里单独出现了 或 ，说明中间某一步漏了对称化，回头检查分子分母有没有配对。 ★ 面积定值是本节的常客，写法有三条路：一是 底 高，配合弦长公式与点到直线的距离；二是把底边放在坐标轴上，用 或 ；三是 ，当三角形成「原点加两点」的形状时最快。选哪一条取决于三角形有一条边是否落在坐标轴上。 ★ 抛物线用参数化写定值最省事。 上的两点设成 、，则弦的方程、斜率、弦长全是关于 与 的有理式，题目的条件往往直接给出这两个量的值，代入即得。 ★ 几何条件要先翻译再算。「某角的平分线垂直于 轴」的含义是角两边关于垂直于 轴的那条直线对称，等价于两条边所在直线的斜率互为相反数；「某点为某线段的中点」等价于两端点坐标的平均；「两段长度相等」优先考虑用坐标差表示后平方。把几何语言换成代数语言这一步，比后面的计算更值得花时间。 ★ 定值题有时先要判断「是不是定值」。试卷上写「是否存在…使…为定值」时，用法是先取一个特殊位置算出候选值，再证明一般情形下都是这个值。这类题的第二问常常反过来用第一问的结论，两步连起来读才不会做重。 ★ 与定点题合流时，注意问的是哪个。「直线过定点」要的是位置，「斜率为定值」要的是数。同一道题里两问都问的情况很常见，第二问往往需要第一问的结论式作为已知条件代入。 ★ 写定值题时，先在草稿上把「要求的量」写成含 的式子，再回头检查每一项是否都能用韦达定理表示。不能表示的那一项，往往就是题目暗示你不知道的另一条隐含条件。 例题 例 2-1 （浙江省杭州市2024-2025学年高三下学期教学质量检测数学试题 · 第18题） 【解答】已知抛物线的焦点到准线的距离为2，点，过的直线交于，两点，过，分别作的垂线，垂足分别为，，直线，与直线分别交于点，. （1）求的方程； （2）记，的纵坐标分别为，，当时，求直线的斜率； （3）设为轴上一点，记，分别为直线，的斜率.若为定值，求点的坐标. 【解析】 （1）抛物线 的焦点为 ，准线为 ，两者距离为 。由题设 ，所以 此时 ，准线 ，且 。 （2）设直线 的斜率为 ，方程为 。先排除 ：此时 为 轴，与 只在顶点相切，不构成弦，故 。 设 ，。把 代入 ： 所以 由 、 是 、 到 的垂足，，。 直线 过 与 ，斜率为 ，方程是 。它与 的交点就是 ，联立 即 ，解得 （分母 ：若 ，代入 得 ，即 ，无解。） 把 换成 ，同理 于是 而 所以 题目给出 ，故 ，即 。直线 的斜率为 。 顺带说明： 垂直于 轴时（）也可作弦，此时 、，、，，与上式 时的极限一致，不满足 。 （3）第（2）问的 说明 是焦弦的本质特征，（3）改用参数形式最省事。设 （ 上点 的纵坐标是 ，焦弦 满足 ，即 。） 焦弦 的斜率用两点式计算： 直线 的斜率是 ，与 联立（把（2）中的 换成 ，并把 写成 ）： 即 ，解得 由 得 ，代入得，再代回 得 把 换成 得 于是 所以直线 的斜率 设 ，则 两式相除，用 ： 要让它对一切 都取同一个值，分母必须与分子只差一个常数倍，即 ，得 。 （若取 ，分母为常数 ，比值为 ，随 变，不合题意。） 当 时 所以点 的坐标为 ，此时 为定值。 第 1 步　把「 的倒数」当突破口 ◈ 第（2）问要的不是 、 本身，而是它们的倒数和。从 出发， 恰好把求 的那一步「分离」成一个只含 的项加一个常数项，两个点一加， 留下，而 用韦达定理一步到位。若先硬算 与 ，会多绕两圈。 第 2 步　第（3）问为什么换成 ◈ 焦弦 满足 ，写成 、 后就是 ，这是一个「乘起来等于常数」的关系，后面把 一代入，参数只剩 ，定值条件一眼可见。若仍用 三个字母，三条关系式互相牵扯，很难看出分母该与分子成比例。 第 3 步　定值问题的收口方式：让系数为零 ◈ 要对一切 恒定，分母里的「常数项」必须为 ，否则 时比值趋于 、 附近又趋于另一个值。这类「含参数的表达式的定值条件」，统一处理办法就是让带参数的项与被消去的项分离，再把自由项的系数令为 。 答　（1）；（2）；（3），此时 例 2-2 （山东省枣庄市2024-2025高三下学期第三次调研考试数学试题 · 第17题） 【解答】已知双曲线（，）的离心率为，且点在双曲线上， （1）求的方程； （2）若直线交于，两点，的平分线与轴垂直，求证：的倾斜角为定值. 【解析】 （1）由离心率 得 ，即 ，所以 ，。 把 代入 ，并注意 ： 即 ，得 ，。所以 （2） 的平分线与 轴垂直，说明这条平分线就是过 的竖直直线 （内角平分线），于是 与 关于直线 对称，它们的斜率互为相反数。 设直线 的斜率为 ，则直线 的斜率为 。因为 、 是 与 的两个交点， 不在 上，所以 （否则 、 同为水平线，与 的另一交点重合，、 不是两点）。 把 化为整式：两边同乘 得 。令 ，则直线 上的点为 ，代入： 展开： 整理得 对应点 ，另一个根给出 ： （若 ，直线 与渐近线平行，与 只有一个交点，故 。） 把 换成 ，得 对应的参数 于是 而 、 的坐标为 、，所以直线 的斜率 把上面两式代入： 所以不论 取何值，直线 的斜率恒为 ，即 的倾斜角恒为 ，是定值。 （也可以反过来理解： 的表达式里 被完全约掉，正是「定值」的来源； 只决定 的位置，不决定它的方向。） 第 1 步　「平分线与 轴垂直」翻译成斜率语言 ◈ 的平分线垂直于 轴，就是这条平分线为竖直直线。关于竖直直线对称的两条直线，斜率互为相反数，所以设 的斜率为 、 的斜率为 ，一个参数就同时控制了 、。这类「对称」条件的标准翻译方式，比用夹角公式 去列方程简洁得多。 第 2 步　用 而不是 ◈ 的横坐标是 ，正好是双曲线右支上的点。设 后， 天然对应 ，二次方程里 这个根直接「送上门」，剩下的一个根就是另一个交点，不用再解韦达、也不用验根。这是「以定点的横坐标为基准设参数」的通用技巧，凡直线过已知点、又要求另一个交点，都可以这样设。 第 3 步　两个根相加、相减，避免直接写点坐标 ◈ 要算 ，只需 ，而这两个和差在 、 有共同分母 时几乎不用计算：相加时分子是 ，相减时分子是 ，分母完全相同、直接约去。若老老实实写出 、 的坐标再相减，会绕很大一圈。 答　（1）；（2） 的斜率恒为 ，倾斜角恒为 例 2-3 （广东省梅州市2025届高三下学期2月总复习质检数学试卷 · 第18题） 【解答】已知分别为椭圆的左、右焦点，点D为椭圆E上一点，以为直径的圆过焦点． （1）求椭圆E的方程； （2）P是椭圆E上异于左、右顶点A、B的任一点，设交直线于点交椭圆E于点Q． ①证明：为定值； ②求面积的最大值． 【解析】 （1）圆 的圆心为，半径为 。 把 代入圆的方程： 即 ，得 ，。 圆是以 为直径作出的，所以圆心是 的中点。设 ，，则 解得 。 点 在椭圆 上，代入 ： 又 ，所以 。把 代入上式： 两边同乘 ： 整理得 ，解得 （ 舍去），于是 。所以 左右顶点为 、。 （2）① 设 。 不与 重合，所以 ； 也不与 重合，所以 。于是 直线 的斜率为 ，方程是 令 ，得 于是 两式相乘： 由 在 上，，即 代入得 所以 为定值。 ② 由①，。设 （），则 。 直线 与 的另一个交点就是 。把 代入 ，两边同乘 ： 即 其中 是 对应的根，另一根为 同理，把 换成 得 （把 代进去就是：，。） 求面积。两条直线 、 都过定点 ，所以取 为底、 到直线 的距离为高： （。）直线 的方程是 ，所以 而 所以 令 ，则 ，，代入得 把分子分母都看清楚：，求导，只需比较分子导数乘分母与分子乘分母导数： 展开第一项得 ，第二项得 ，相减： 而 恒成立，所以 的符号由 决定： 时 ， 时 ，故 在 处取最大值 此时 ，即 ，对应 （以 为例：，。） 所以 面积的最大值为 。 第 1 步　第（1）问的两个条件各管一半 ◈ 圆只用来定 和 两件事： 在圆上给出 ，圆心是 的中点给出 ；而「 在椭圆上」与 才是求 、 的方程。看见「以 为直径的圆」不要只盯着直径所对的圆周角，圆心的坐标信息同样关键。 第 2 步　①的收口全靠椭圆的方程 ◈ 把 记作 ，两个斜率乘起来是 ；再用 在椭圆上得到的 代进去，立刻得 。用直线 定 、再用 到 的斜率定 ，这条链条上每一步都只用到一次坐标运算。 第 3 步　②为什么可以只保留 一个字母 ◈ ①已经把「 与 通过 绑定」这件事证出来了，所以②不必再管 ，直接设 、，两条直线各自与椭圆求交即可。这一步是把「几何构造」换成「代数参数」的关键，否则 的坐标、二次交点都要重算一遍。 第 4 步　面积用「底 × 高」，换元清掉绝对值 ◈ 两条直线都过 ，取 为底最省事：底长是 ，高是 到直线 的距离，两者相乘时 正好约掉。再令 把绝对值与根号清掉，函数变成 ，求导后能提出 ，极大值点一眼落在 。 答　（1）；（2）① ；② 最大值为 ，在 处取到 练习 2-1. 【解答】已知双曲线过点，其右焦点到渐近线的距离为1，过作与坐标轴都不垂直的直线交的右支于两点． （1）求双曲线的标准方程； （2）为双曲线C上一动点，过点分别作两条渐近线的平行线交渐近线于，四边形OEPG的面积是否为定值？若是求出该定值，若不是请说明理由； （3）在轴上是否存在定点，使恒成立，若存在求出定点的坐标，若不存在请说明理由． 解析　答：（1）； （1）设双曲线 的方程为 （，），右焦点 ，其中 。 双曲线的渐近线为 ，即 。右焦点到渐近线的距离为 所以 。 把 代入 ： 得 ，即 。所以 此时 ，。 （2） 的两条渐近线为 。设 在 上，由 得 过 作平行于 的直线，它与渐近线 交于点 。设 它在这条平行线上，所以 两边同乘 ：，解得，即 同理，过 作平行于 的直线，与渐近线 交于点 ，由 解得 因为 在渐近线 上、 是过 且平行于该渐近线的直线，所以 ；同理 。四边形 是平行四边形， 是它的一个顶点，所以它的面积等于「以 、 为邻边的平行四边形」的面积，即 而 所以 与 的位置无关，四边形 的面积为定值 。 （3）先化简条件。 在 轴上， 也在 轴上，两个三角形都以 为底，所以 条件 等价于 （若 ，即 与 重合，两边同为 ，此时两个三角形都退化，留到最后单独说明。） 设过 的直线 ，（ 与坐标轴都不垂直，故 不竖直，且不为 轴）。设 、，它们都在 的右支上。 把 代入 ，两边同乘 ： 整理得 两根都在右支上，故两根同号且不为 ，需要 ，即 。此时 再看 的位置：把 代入左边，，而二次项系数 ，所以 介于两根之间，即 。于是 设 ，把上面的绝对值代入条件并约去 ： 记 ，，则 ，，，且，，所以上式即 两边都是正数，平方（两边的 正好抵消）： 即 取平方根，分两种情形。 情形一：。把 、 代入： 展开得 ，即 。因为 ，得 ，即 与 重合，此时 ，两个三角形面积都为 ，等式平凡成立但失去面积比较的意义，舍去。 情形二：。代入 、： 即 而 代入得 两边同乘 ：，解得 。 所以存在定点 ，使 恒成立。 （，正是 的准线与 轴的交点，这不是巧合：上面的推导中 、 都只由 、 决定，换一条双曲线这个位置就跟着变。） 2-2. 【解答】如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，． （1）求与的标准方程；（2）过点作直线MN，交于点M，交于点N，设直线的斜率为，直线的斜率为，求；（上述各点均不重合）（3）点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N，求点G坐标，使直线NG与直线NH的斜率之积为定值．（上述各点均不重合） 解析　答：（1）； （1） 的右顶点为 ，而 的右顶点是 ，所以 。 把交点 代入 ： 得 ，即 。所以 即 （把 、、、 代进去都成立，四个交点就是正方形的四个顶点，与题设一致。） （2）设过 的直线为 ，即 。（ 不存在时直线为 ，此时 、 都落在 上，与「各点均不重合」矛盾，所以 存在。） 先求它与 的另一个交点 。代入： 整理得 是它的一个根（对应 ），由韦达定理另一根 于是 所以 再求它与 的另一个交点 。代入： 整理得 同样 是根，另一根 于是 所以 于是 （、 是必须的： 时直线为 ，、 都落在 上； 时直线为 ，、 都落在 上。这两种情形都与「各点均不重合」矛盾，故上面把 与 约去是合法的。） （3）把 的斜率记为 。（， 不竖直，所以 存在；又 ，故 。）下面按题设的四步依次算斜率，每一步的做法都一样：写出直线方程，与相应曲线联立，利用「一个交点已知」用韦达定理取出另一个交点。 第一步： 与 的另一个交点 。直线为 ，代入 ： 是它的一个根（对应 ），所以另一根 于是 的斜率 第二步： 与 的另一个交点 。直线为 ，代入 ： 是它的一个根（对应 ），所以另一根 于是 的斜率 第三步： 与 的另一个交点 。直线为 ，代入 ： 是它的一个根（对应 ），所以另一根 于是 的斜率 把三步串起来，用 表示： 直线 是 ；直线 是 。 是两者的交点，联立： 解得 。而 所以 代回 ： 把这两个式子代入 ，分母都是 ，只需验证分子： 逐项展开： 代入后 项为 ， 项为 ， 项为 ， 项为 ，常数项为 ，五项全为 。 所以点 恒在曲线 上，这是一条双曲线（把 解出来得）。 现在求 。要 为定值， 已经固定在 轴上，所以 也取 轴上的点，设 ，则 要让这个比值为常数，只需 ，此时 。 所以存在点 ，使直线 与直线 的斜率之积为定值 。 2-3. 【解答】已知双曲线E：（，）的虚轴长为2，离心率为. （1）求双曲线E的标准方程： （2）过点的直线l与E的左、右两支分别交于A，B两点，点，直线BC与直线交于点N. （ⅰ）证明：直线AN的斜率为定值： （ⅱ）记，分别为，的面积，求的取值范围. 解析　答：（1） （1）双曲线的虚轴长为 ，即 ，所以 。离心率 平方得 。又 ，所以 解得 。所以 的标准方程为 （2）直线 过 且与 的左、右两支各交于一点，所以 不竖直（竖直直线 与 的两个交点都在右支）。设 代入 ，两边同乘 ： 整理得 设 、，则 两式相除马上得到后面反复要用的恒等式： （，否则把 代入方程得 ，矛盾。） A、B 分居左右两支等价于 ： 由 得 。 （ⅰ）点 在直线 上，设 。、、 三点共线，，所以 由 得 、，于是 而直线 的斜率为 先化简分子 ，通分后展开： 分子的分子为 把 代进去，含 的两项正好抵消： 所以 再看分母中的乘积： 用 ： 两处同时出现 ，约掉： 所以直线 的斜率为定值 。这个定值有一个直接的几何解释：，所以 。 （ⅱ）先算 。把 平移到原点，、 的坐标分别是 所以 再算 。以 为起点， 代入（ⅰ）中 的表达式， 括号内通分，分子为 （第二个等号再次用了 。）所以 两式相除， 消掉： 恒等式 还可以改写两个很有用的形式： （右边那个由 得到。）代入比值： 、 是二次方程的根，直接代入不便，改用倒数的对称式。记 、，在 中同除以 ： 所以 （由 知 。）于是 取哪一根由 在左支决定： 时由 得 ，故 ； 时同理 ，故 。统一写成 （ 为 的符号），则 ，平方后符号消失： 设 （ 是竖直直线，已被排除），把 用直线 的斜率 表示： 所以 由 得 ，于是 ，。当 增大时 减小、 增大、 减小，所以 等号在 时取到，此时 为 轴，、，可直接验证 。而当 时 与渐近线平行、只与 有一个交点， 但取不到。所以 2-4. 【解答】已知椭圆的离心率为，，分别为的左，右焦点，点为曲线在第一象限内图象上的一点，的周长为，若为坐标原点，记，，. （1）求的方程及的值； （2）若，为上不同的两点，满足，设，，的面积分别为，，，求证：当变化时，为定值； （3）请探究：若，，…，为上个不同点，且，，，其中，…，，点与点重合，当变化时，是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，说明理由. 参考公式：. 解析　答：（1）， （1）设椭圆的半焦距为 ，则 。 的周长为 所以 。又离心率 ，即 ，代入得 即 所以 ，，。于是 再求 。 在 上，记 ，。 在 轴正半轴上， 就是 与 轴正方向的夹角，所以 的横、纵坐标分别是 与 。代入椭圆方程： 即 由 得 与 对照，得 。 （2）、 与 三个点把周角三等分，。记 它就是用角 表示的 。设 对应的角为 ，则 、 对应的角分别为 、。三个三角形的面积都等于两边长乘夹角正弦的一半： 于是 相除时分子分母都是 的倍数，可以先约掉： 所以只要算三个倒数平方之和。由 的表达式， 把平方降次，： 后三个角两两相差 ，在单位圆上均匀分布。用和差化积先合并后两个： 所以方括号内为 ， 代入得 于是 它与 无关，是定值 。 （3）、、、 相邻两点对应的角都相差 ，且 与 重合，所以它们对应的角依次为 记 ，，则 同样降次： 这里 ，，相邻两项相差 ，恰好绕原点周 等分，余弦之和为 。用题给的参考公式验算：取 、， 所以 ，进而 于是 是定值，与 的取值、也与 的大小都无关。直观地说， 个点绕原点均匀铺满一周， 的“平均值”恒为 ，每个 的平均值恒为 ，乘起来正是 。（第（2）问也可以这样看：三个点虽然铺不满一周，但 的取值两两相差 仍然互相抵消，所以同样得到 。） 方法三　最值与范围 最值问题与范围问题共用一条路线：把要求的量写成某个变量的函数，再求这个函数的最值或值域。差异只在最后一步——最值给出一个数，范围给出一个区间。 ★ 第一步永远是「对象化」：题目要的是哪个量。三角形面积、四边形面积、弦长、线段之和、斜率、角，每一种都有固定的写法。把量写清楚之后，剩下的工作就是把式子里的变量从两个消到一个。 ★ 消元的手段看曲线选。椭圆、双曲线走「设直线 + 韦达」，把 、 代入后，式子里通常只剩斜率 一个变量；抛物线优先用参数化，点用 表示，面积、弦长之类别直接就写成 的有理式，省一次解方程。 ★ 面积最值的三种写法要会挑：底边在坐标轴上时用 底 高；已知弦长时用 （ 为第三个点到弦的距离）；三角形一顶点是原点时用 。同时面积的另一条常用通路是「平行切线法」：面积最大时，动点到定直线的距离最大，此时过该点且与定直线平行的直线与曲线相切。计算量大时可改走这条路。 ★ 求值域的四个工具，按出现顺序挑：式子形如 或 用基本不等式（注意取等条件能不能取到）；整理后是二次函数用配方，看对称轴在不在定义域内；以参数为斜率、且要求直线与曲线有交点时用判别式；分母含根号或结构杂乱时改用换元，把根号整个设成新变量。 ★ 换元降次是本节最常用的动作。见 就设 （），见 就设 ，见两个平方项之和就把中点坐标设成新变量。换元之后一定要把新变量的取值范围写在旁边，否则最后取到的「最值」可能是新变量取不到的值。 ★ 角的最值走余弦定理或向量数量积。求 的范围时，把 用向量 与模长写出来，先看它的取值范围，再转回角的范围（余弦在 上单调递减，范围方向要跟着反过来）。若角的两边是两条动直线的夹角，也可以直接用夹角的正切公式。 ★ 范围题的端点要单独交代。算出 之后， 的范围是 ，开区间还是闭区间取决于取等时那道题的条件是否仍然成立（例如 不能取等，而 可以）。这一处是整个解答里最容易丢分的地方。 ★ 涉及面积的取值范围时，先把面积写成单变量函数，再看这个函数在定义域上的单调性与端点趋势。若函数在区间上单调，值域就是端点值之间（含不含端点看定义域开闭）。 ★ 最值题先做一件事：把「要求的量」用一句中文说出来（例如「点 到直线 距离的一半乘以弦长」），再逐块翻译成坐标式子。跳过这一步直接联立，往往在最后才发现自己求的是另外一个量。 例题 例 3-1 （安徽省滁州市2025届高三第一次教学质量监测数学试题 · 第16题） 【解答】已知椭圆的焦距为2，且经过点，M为C的右顶点，过点P的直线l与C交于点（异于点）. （1）求C的标准方程;（2）求面积的最大值. 【解析】 （1）设 （），半焦距为 。焦距为 ，即 ，所以 ， 点 在 上，代入得 把 代进去，并记 ： 两边同乘 ： 整理得 解得 ，即 ，另一根 不合题意舍去。所以 ，， （2） 是 的右顶点，所以 。直线 过 、，斜率为 所以直线 的方程是 ，即 而 先把 的活动范围看清楚。 是过 的直线 与 的另一个交点；反过来， 上任意一点 （）与 连起来就是一条过 的直线，它与 恰好交于 、 两点。所以 能取遍 上除 外的每一点，题目中「 异于点 」只排除了 这一个点。 于是 的底边 长度固定，只有高在变： 其中 是点 到直线 的距离。求面积的最大值，就等于求 上的点到直线 的最大距离。 把 的坐标记作 ，则 所以只需求 在椭圆 上的取值范围。把与 平行的直线记作 ， 取到极值时这条直线与椭圆相切。把 代入 ： 相切要求判别式为零： 所以 ，即 从而 ，， 等号在 时取到，此时上面的一元二次方程化为 即 。这个点确实在 上：；它也确实是某条过 的直线与 的另一个交点——此时 就是竖直线 ；并且 ，满足题设。 所以 即 面积的最大值为 ，在直线 时取到。 第 1 步　把动的问题化成定值问题 ◈ 底边 固定， 在椭圆上自由取值，于是「面积最大」就等价于「 到直线 的距离最大」。 第 2 步　把「点到直线的距离最值」变成「平行直线的截距」 ◈ ，只需求 的范围。把与 平行的直线 与椭圆联立，令判别式为零（相切）即得 ，一步到位。 第 3 步　求出等号条件后要回头交代 ◈ 算出 之后还要说明这个点确实在椭圆上、确实符合题设，这一步收口常被漏掉。 答　（1）；（2） 面积的最大值为 例 3-2 （河南省焦作市普通高中2024-2025学年高三下学期第三次模拟考试数学试题 · 第18题） 【解答】已知椭圆的长轴长为，左、右焦点分别为，直线与交于P，Q两点，且满足（为坐标原点），当变化时，面积的最大值为． （1）求的方程；（2）证明：；（3）过点和线段PQ的中点作一条直线与交于R，S两点，求四边形PRQS面积的取值范围． 【解析】 （1）长轴长为 ，即 ，所以 ，。 以 为底，，高是 ，所以 在 上， 的最大值就是 ，所以 的最大值为 。由题设这个最大值是 ，于是 又 ，两边平方得 记 ： 所以 ，进而 ， （2）设 、。 就是 把 代入 ： 由韦达定理 而 代进去，分子里含 的三项恰好互相抵消： 于是 所以 （3）先写出 的中点 。由韦达定理 两式对照可直接读出 ，所以直线 的方程是 它的一个方向向量是 。 把 代入 ： 记 ，则 、，而 四边形 的四个顶点中，、 在 上，、 在 上，所以它的两条对角线正好是 与 ， 这里 是两条对角线的夹角。 先算 。由（2）的方程， 代入 ，逐项化简： 所以分子为 再算夹角。 的方向向量取 ， 的方向向量取 ， 而 所以 三部分相乘， 与 全部约掉： 记 ，则 ， 时 ，所以 当 时 ，取到最小值 ——此时 ， 是水平线 ，与 交于 ，确实满足 ；当 时 ，但取不到。 所以四边形 面积的取值范围是 。 第 1 步　「面积最大值」直接翻译成等式 ◈ ，最大值就是 ，这一句把 定下来了，不用再设点运算。 第 2 步　韦达定理里让同类项自己消失 ◈ 算 时 ，三项自动抵消，这是本题最省力的地方。 第 3 步　由坐标比例直接读出直线 ◈ ，所以 ，比先求斜率再写方程快得多。 第 4 步　四边形用对角线公式 ◈ ，两条对角线恰好是 与 ，与顶点顺序无关。 答　（1）（即 ）；（2）；（3） 例 3-3 （2025届湖南省郴州市高三三模数学试题 · 第19题） 【解答】已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，过的直线与双曲线交于，两点，当直线垂直于轴时，的周长为16. （1）求双曲线的标准方程； （2）与轴不重合的直线过点，双曲线上存在两点，关于对称，且AB的中点的横坐标为. （ⅰ）若，求实数的值； （ⅱ）若，为双曲线右支上两个不同的点，过点，求的取值范围. 【解析】 （1）离心率 ，所以 ， 当 轴时， 过 ，即 ，代入 ： 所以 、，。又 ， 同理 。 的周长为 所以 ，， （2）（ⅰ）、 关于直线 对称，由对称的性质： （ 不可能是竖直线：若 ，则 是水平线 ，它与 的两个交点为 ，中点恒为 ，即 ，与题设 矛盾。） 设 的斜率为 （由 不与 轴重合得 ），则 的斜率 。设 把 代入 ： 设 、，则 所以 的中点 （纵坐标由 得到。）题目说 的横坐标为 ，所以 又 在 上，而 过 、斜率为 ，所以 ，即 两边同乘 ： 所以 与 比较，得 （ⅱ） 过 与 ，所以 的斜率为 从而 把它代入（ⅰ）中得到的 ，并注意 ： 于是 即 的中点恒为 ，它总在直线 上。 接下来把「、 都在右支上且不同」写成不等式。把 代回联立方程： 除以 ： 、 都在右支上，就是两个根都为正： 所以 且 。再看判别式 因为 ，只需 。用 ： 所以需要 ，即 。此时 ，结合 得 ，进而 。 现在求 。 在对称轴 上，所以 ；又 也在 上，且 ，所以 。于是 是等腰三角形 底边上的高，也是顶角的平分线， 而 两根之差用判别式直接算（联立后的二次方程首项系数为 ）： （因为 且 ，这个值为正。）记 ，则 ， 所以 （ 又约掉了，最后只剩下 这一个参数。）由 得 ，所以 又 是锐角，故 即 的取值范围是 。当 、 越来越靠近（）时 ；当 、 离得越来越远（）时 ，两个端点都取不到。 第 1 步　对称能给出的三句话 ◈ 、 关于 对称，等价于 、 的中点在 上，以及对称轴上任一点到 、 等距。第三步推出 ，是求角的关键。 第 2 步　中点坐标带参数一起走 ◈ 只用韦达定理写出 ，始终不去求 、 的具体坐标。 第 3 步　两根之差直接取判别式 ◈ 二次项系数为 时 ，省掉求根公式，后面约分也干净。 答　（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ） 练习 3-1. 【解答】已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为.过点的直线分别交的左、右两支于，两点，且. （1）求的值； （2）求的取值范围； （3）若，证明：. 解析　答：（1） （1）设直线 的方程为 这样设不用单独讨论 竖直的情况。把 代入 ，即 ： 整理得 由 ，常数项。记 则方程写成 ，于是 接下来把 翻译成 、。因为 、 都在 上，而 的方向向量是 ， 是统一的倍数， 代入条件并约去 ： 若 ，右边，等式变成 ，不可能。所以 ，此时 两边同除以 （它大于 ）： 记 ，则 再定取哪一个。由 ： 在左支上，，即 ； 在右支上，，即 。又 说明 、 同号。 若 ，由 得 ，同号迫使 、 同为正，即 ； 若 ，则 、，两者同为负且 ，此时 。 两种情况都得到 ，所以 ，取 （2）把 、 代入 ： 与 联立： 要求 。 还要 、 确实分居两支，即 。由 ， 把 、代入，并注意 ： 就是 记 ，则 而 就是 ，比 更强，所以两个条件合并为 。由 得 所以 的取值范围是 。 （ 时 ， 的分母为 ，对应的直线不存在，故端点取不到。） （3） 时 ，，由（2） 即 。下面用这个式子完成证明。 把 代进去： 代回并合并： ，所以 ，要证的两个距离相等，只需证明 由 ，上式等价于（两边同除以 ） 而 给出 ，所以 于是要证的等式变成 ，即 而 ，所以 等价于 ——这正是 时 必须满足的值。所以 3-2. 【解答】已知双曲线（，）的左，右顶点分别为，，过C的右焦点的直线与的右支交于两点.当与轴垂直时，. （1）求C的方程； （2）直线，与直线的交点分别为，为的中点. （i）求的最小值； （ii）证明：点关于直线对称的点在上. 解析　答：（1） （1）右焦点为 ，所以 ，。 当 轴时， 的方程是 ，代入 ： 由 得 ，所以 ，即 。不妨取 。 左顶点 ，而 在 右侧，所以 沿 轴正方向， 由 得 。又 ，所以 于是 ，， （2）设 （ 不与 轴重合，也不竖直）。代入 ： 它的判别式 恒成立。设 、，则 由于 、 都在右支上，。由 ， 分子恒为负，所以 要求 ，即 （ⅰ）直线 的斜率是 ，它与直线 的交点 满足 同理 所以 分子里 抵消： 分母用韦达定理： 最后一项用了 （即 ）。再由 ，得 由 得 ，当且仅当 （此时 ，与 右支交于 ）时取等号。 所以 的最小值为 。 （ⅱ），而 ，所以 就是直线 上的一段，其中点 直线 过 、，斜率为 方程是 ，整理成一般式 设 关于 的对称点为 。记 、、，则 ，而 代入的值为 由对称点的公式 ： 要证 在 上，就是证 ： 两边同乘 ： 所以只需证明 。把 代进去： 而 满足 ，两边乘 就是 所以分子为 ，即 成立，从而 ，点 在直线 上。 （把 换成 的整套推导完全一样，因为 也满足同一个二次方程，所以 关于直线 的对称点在 上。） 3-3. 【解答】已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的上､下顶点，且. （1）求椭圆的方程； （2）已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点. （i）设的面积分别为，若，求的最大值； （ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程. 解析　答：（1） （1）由 得 ，所以 、 分别是上、下顶点，所以 。由 得 ，，于是 ， 此时 ，，所以 、，、。 （2）（ⅰ）设 。 以 为底，，高为 ； 以 为底，，高为 到直线 （即 轴）的距离 ，所以 接着把 化成只含 的式子。由 在 上， 配方得 所以要让 最大，就要让 最小，也就是让 尽量接近 。 再看限制 。把 代进去： 是过 的直线与 的交点，反过来 上除四个顶点外的任意点都能充当 （过它与 的直线就是 ），所以 能取到区间 中的任何值。其中离 最近的是 此时 ，， 刚好取等，并且 不是顶点，符合要求。 所以 注意到 ，于是 即 的最大值为 ，在 或 时取到。 （ⅱ）设 。代入 ： 所以 由 知两根异号，所以 、 一定分居 轴两侧；「 在 轴上方」就是取两个根中的那个正根。 （顺便说明 ： 时 是 轴，它与 交于 ，正好是两个顶点，不合题意。） 在直线 上，也就是在线段 上（因为 在 之间）。已知 是 的平分线，在 中用角平分线定理： 由 的方向向量 ， 所以左边就是 。而由（ⅰ）中的式子 （对椭圆上任一点 都成立）， 两边平方后代入： 展开并移项： 右边是一个平方差： 左边是 。，故 ，两边约去 ： 把韦达定理的结果代进去： 所以 的方程为 把它写成斜截式就是 。 最后核对一下 确实在 轴上方。 时方程是 在上方，且 对应的 介于两者之间，说明 落在线段 内部， 是 的内角平分线，与题设一致。 3-4. 【解答】已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且左､右焦点分别为. （1）求的方程； （2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求的最小值，并指出此时点的坐标. 解析　答：（1） （1）长轴长是短轴长的 倍，即 ，所以 左、右焦点为 、，所以焦点在 轴上，。于是 从而 ， （2）设 、。由 得 把 与 代进去： 所以 接下来把 化成只含 的式子。 在 上， 两边乘 ： 代入得 记 ，它的图象开口向上，对称轴为 而 在椭圆上，，且 （因为 ），所以最小值在 处取到： 所以 此时 ，代回 得 ，于是 即 的最小值为 ，此时点 的坐标为 或 。 3-5. 【解答】已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点为，过点的直线与交于、两点，过点作轴的垂线与直线相交于点． （1）求的方程； （2）证明：点在定直线上； （3）延长交（2）中的直线于点，求四边形面积的最小值． 解析　答：（1） （1） 的顶点在原点、焦点为 ，所以开口向右，设 ，则 ，， （2）直线过 ，为免去讨论斜率是否存在，设 代入 ： 设 、，则 （判别式 恒成立，所以对任何 都有两个交点。） 求 。 在 上，，所以直线 的斜率为 即 。过 作 轴的垂线是 ，它与 的交点 满足 所以无论 取什么值， 都在定直线 上（这条直线正是抛物线 的准线）。 （3）再看 。直线 的斜率为 ，即 。它与 交于 ，把 代入： 由 得 ，所以 ，即 这样四边形的四个顶点都有了： 注意 与 的纵坐标相同（ 是水平线）， 与 的纵坐标相同（ 是水平线），而 、 都在 上。 按 的顺序用面积公式 这个式子直接展开容易乱，按「含 的项」和「含 的项」分组整理： 所以 两个因数分别算。由韦达定理， 代入： 由 得 。 当 时取等号，此时 是竖直线 ，与 交于 。取 、，四个顶点为 四边形 是一个矩形，边长分别为 与 ，面积 ，与公式一致。 所以四边形 面积的最小值为 。 方法四　存在性探究 存在性问题的问法是「是否存在…，若存在求出…，若不存在说明理由」。它看上去最玄，实际上最机械：把「存在」翻译成方程（或不等式）有解即可。 ★ 标准三步：先假设所说对象存在，把条件写成含参数的方程；再解这个方程（或判断它有没有解）；最后按题目要求作答——有解时说清解是什么，无解说清为什么。作答时先给判断（存在或不存在），再给具体值，顺序不要颠倒。 ★「是否存在点 使 是等腰三角形」这类问题，本质是解方程 或 。两条边相等写成坐标等式，化简后是关于 的横坐标（或斜率）的方程，看它在题目允许的范围内有几个解。 ★ 涉及圆的位置关系时，判据要背准。「点在以 为直径的圆外」等价于 ，在圆内是 ，在圆上是 ；「圆与 轴相切」等价于圆心到 轴的距离等于半径，写出来就是圆心横坐标的绝对值等于半径。这两个判据在近年的圆锥曲线题里出现频率极高。 ★「以 为直径的圆与某条坐标轴相切」这类问题的处理套路固定：先用 、 的坐标写出圆心（即 的中点）与半径（即 ），再把「到 轴的距离」写成中点横坐标的绝对值，令两者相等得到方程，解出参数。中间那一步弦长计算最耗时，通常要走韦达定理。 ★ 个数问题是存在性题的进阶版。问「这样的直线有几条」，等价于问方程有几个满足题设的解。此时要特别留意题设的限定词：「斜率存在」「与双曲线同一支相交」「点不重合」这些限定会把一部分解筛掉，剩下的个数才是答案。 ★ 三角形形状的存在性要分开讨论。等腰、直角、等边各有自己的条件：等腰看两条边相等，直角看数量积为零，等边是两者都要（等腰加一个角为 ，或三边两两相等）。等边条件最苛刻，写出的方程往往只有少数几个解。 ★ 对称型的存在性问题（例如「是否存在四边形 满足 是其对称轴」）做法是先翻译对称： 与 关于直线 对称，等价于 垂直平分 。再把「垂直」与「平分」各写一个等式，就是两个条件、两个未知量。 ★ 面积相等、比值相等的存在性问题，把两个面积分别用坐标表示后令它们相等（或相比），化简时优先找公因式（两个三角形常常共用一条底或一个顶点）。 ★ 存在性题算到最后若得到一个恒成立的式子，说明所说对象对任意参数都存在（而不是「不存在」）；若得到矛盾式，才是不存在。两种情况都要在答卷上明确写出来。 例题 例 4-1 （河北省石家庄市2025届高三下学期教学质量检测（一）数学试题 · 第18题） 【解答】已知椭圆的一个焦点短轴长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）连线与轴交于点，过焦点的直线与椭圆交于两点. （i）证明：点在以为直径的圆外： （ii）在上是否存在点使得是等边三角形.若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由. 【解析】 （1）焦点为 ，所以焦点在 轴上，。短轴长为 ，即 ，，。于是 此时 ，直线 与 轴交于 ，而 ，所以 。 （2）过 的直线不竖直时设 。代入 ，即 ： 设 、，则 且 ，所以 （ 竖直时，即 与 交于 ，此时 到两端点的向量点积为正，下面的一般讨论已覆盖这一情形。） （ⅰ）要判断 与圆的位置关系，只须看 ： 在圆上 ， 在圆内 ， 在圆外 。而 为锐角等价于 计算这个数量积： 把韦达定理的结果代进去， 所以 分子 ，分母 ，所以数量积恒为正， 恒为锐角，点 恒在以 为直径的圆外。 （ⅱ）设存在这样的 。因为 是等边三角形，所以 在 的垂直平分线上，且 到直线 的距离等于该三角形的高。 先求 的中点 ： 设 。 的方向向量取 ， 即 把 、 代入： 再算 。由上面的坐标， 所以 ， 而 的长 等边三角形要求 到 的距离等于 ： 两边同乘 ： 因为 ，两边同除以 ： 所以 ，确实存在这样的 。把 代回 ，直线 的方程为 （ 时 ， 时 。） 第 1 步　「点与圆的位置关系」翻译成数量积 ◈ 在以 为直径的圆上 ，圆内 钝角，圆外 锐角。于是只要算 的符号，不必写出圆的方程。 第 2 步　等边三角形的两个条件 ◈ 一是 在 的垂直平分线上（），二是高等于 倍边长。用第一条先定出 的坐标（含参数 ），再用第二条列方程。 第 3 步　两条直线的位置关系只要设 ◈ 这样设连竖直的情形一起管住，后面 的系数也整齐（ 与斜率互为倒数）。 答　（1）；（2）（ⅰ）证明见解析， 在以 为直径的圆外；（ⅱ）存在， 的方程为 或 例 4-2 （福建省厦门市2025届高三第三次质量检测数学试题 · 第18题） 【解答】设抛物线的焦点为，过的直线交于A，B两点（在第一象限），当垂直于轴时，. （1）求的方程； （2）过且与垂直的直线交于，两点（在第一象限），直线与直线和分别交于P，Q两点. （i）当的斜率为时，求； （ii）是否存在以为直径的圆与轴相切？若存在，求，的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】 （1） 的焦点为 。当 轴时 ，代入 得 ，，所以 （2）把 上的点写成 （因为 时 ），这样顶点与斜率都好写。 设 、。直线 的斜率为 过 ，把 代进 的方程： 设 的参数为 （，因为 在第一象限），则 的参数为 ，即 同理 、，其中 （ 在第一象限）。 （ⅰ） 的斜率为 ， 的斜率为 ，两者垂直： 取 的斜率为 ： 于是 、。再由垂直条件 ，即 ，解得 ，所以 、。 求 （ 与 的交点）： 同理求 （ 与 的交点）： 所以 （ⅱ）回到一般情形。 是 与 的交点， 的斜率为 ，所以 同理，、 的参数分别是 、，把它们代入同一个式子： 所以 、 关于 轴对称，以 为直径的圆的圆心是 ，恰好是 ，半径 圆与 轴相切等价于圆心到 轴的距离等于半径，而圆心 到 轴的距离是 ，所以条件就是 把垂直关系 展开： 记 、，则 ，代入得 把 两边平方，再来平方： 这个方程的判别式 所以方程无实数解， 不存在。（也可以直接看 ，它在 处取最小值 ，即 。） 所以不存在以 为直径的圆与 轴相切。 第 1 步　抛物线上的点用 表示 ◈ 上取 就得到 ，过焦点的弦两端参数满足 ，斜率写成 ，全程不用求根公式。 第 2 步　两条弦互相垂直的翻译 ◈ 把两条弦的斜率相乘等于 ，得到 ，这是后面所有运算的唯一入口。 第 3 步　先猜出「、 关于 对称」 ◈ 一般式中算出 ，于是圆心恒为 ，「与 轴相切」就化成一个只含 与 的方程。 第 4 步　无解的判断靠判别式 ◈ 最后化成 ，判别式为负，直接说明不存在，不必再讨论范围。 答　（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）不存在 例 4-3 （山东省日照市2024-2025学年高三下学期第二次校际联合考试数学试卷 · 第18题） 【解答】在平面直角坐标系xOy中，过点的直线l与抛物线交于A，B两点，当直线l平行于y轴时，． （1）求抛物线C的方程； （2）若直线l的斜率存在，直线AO与直线相交于点D，过点B且与抛物线C相切的直线交x轴于点E． （ⅰ）证明：； （ⅱ）是否存在直线l使得四边形ABDE的面积为？若存在，说明直线l有几条；若不存在，请说明理由． 【解析】 （1）当 平行于 轴时， 过 ，所以 。代入 得 ，， （2）把 上的点写成 （ 时 ）。设 直线 的斜率为 ，过 ，所以 求 。直线 的斜率为 ，所以 。令 得 而由 得 ，所以 求 。对 两边对 求导：，即 ，所以抛物线在 处的切线斜率为 ，切线方程为 令 ：，解得 ，所以 （ⅰ）比较两条向量的坐标： 两者完全相同，所以 与 平行且同向。 再看另外两条： 前者沿 轴正方向，后者沿 轴负方向，方向相反。 于是 是 与 的夹角， 是 与 的夹角；把 换成与它同向的 ，两组角就共用一个射线 ，而另一组射线 、 恰好反向，所以两角互补： （ⅱ）设四边形 的面积为 。、、、，按 的顺序用面积公式： 逐项整理： 所以 由 ， 记 ，则 ， 令 ： 显然是根，于是分解因式： 再看 。它的导数 的判别式为 ，所以 恒成立， 在 上单调递增。而 所以 在 内有唯一零点 。 于是 与 是两个正根，各自对应 与 ，共 个 的值。 最后核对这四条直线确实满足「斜率存在」。直线 竖直当且仅当 ，即 ；配合 得 。而 与 都不等于 ，所以这四条直线的斜率都存在。 所以存在这样的直线 ，且共有 条。 第 1 步　切线用导数求，比联立判别式快 ◈ 两边对 求导得 ，所以点 处的切线斜率直接是 。 第 2 步　证角互补只要比较两个向量 ◈ 算出 与 的坐标完全相同，就知道它们同向；再看 与 反向，两角互补立刻成立，不必真的算出两个角。 第 3 步　面积里的 用 换掉 ◈ 把结果整理成只含 的式子 ，再令 ，问题就变成一个四次方程有几个正根。 第 4 步　根的个数要配合「斜率存在」复核 ◈ 把 的正根还原成 ，还要排除 竖直的情形（），才能数清直线的条数。 答　（1）；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）存在，共有 条这样的直线 练习 4-1. 【解答】已知A，B，C是椭圆上三个不同的点，是坐标原点. （1）若，是的左、右顶点，求的取值范围； （2）若点在第一象限，是否存在四边形满足是该四边形的对称轴，若存在，请写出A，C的坐标，若不存在，请说明理由. 解析　答：（1） （1） 中 、，所以左、右顶点为 、。 设 在 上，即 。则 由 得 而 在椭圆上，，所以 ， 又 、、 是三个不同的点， 不能取到左、右顶点，即 ，于是 ， 所以 的取值范围是 。 （2）假设存在这样的四边形 。因为 是四边形的对称轴，所以 、 都在该轴上，而 与 关于直线 对称。 设 为 的中点。线段 的垂直平分线就是对称轴 ，所以 （ 不会是原点：否则 、 关于原点对称， 落在 上，四边形退化。） 因为 在第一象限，所以直线 的斜率存在且不为 ，于是 的坐标满足 、，且 再对 、 用点差法。两点都在 上，所以 两式相减： 把 、 代进去： 若 ，则 竖直， 要求 水平，即 在 轴上，与 在第一象限矛盾；所以 ，可以除以 ： 于是 但 要求 ，而 ，矛盾。 所以不存在满足条件的四边形 。 4-2. 【解答】已知抛物线的焦点为F，点在E上，且． （1）求E的方程； （2）过F作互相垂直的两条直线，，这两条直线与抛物线E分别交于A，B和P，Q两点，其中点A，P在第一象限． （ⅰ）记△AOB和△POQ的面积为，，求的最小值； （ⅱ）过F点作x轴的垂线，分别交AP，BQ于C，D两点，请判断是否存在以CD为直径的圆与y轴相切，并说明理由． 解析　答：（1） （1）设 。抛物线上的点到焦点的距离等于到准线 的距离，所以对 ， （2）把 上的点写成 （ 时 ）。 设 、。直线 的斜率是 ，它过 ，所以 两边同乘 ：，即 ，所以 所以若记 的参数为 （ 在第一象限），则 的参数是 ，即 同理记 的参数为 ，则 。 两条弦的斜率分别是 与 ，由 得 （ⅰ） 的面积 同理 记 、，则 把垂直条件两边平方： 记 、，则 ， 由 得 所以 等号当 ，即 时取到：此时 ，解得 或 （两者互为倒数，同一组弦）。 所以 的最小值为 。 （ⅱ）过 作 轴的垂线是 ，设它与 、 分别交于 、。 连接参数为 、 的两点所得直线，与 的交点纵坐标是 （把两点坐标代入直线方程即得。）对 、 用 、： 对 、 用 、：此时 、，所以 于是 、 关于 轴对称，以 为直径的圆的圆心是 ，即 ，半径 圆与 轴相切等价于圆心到 轴的距离等于半径，而圆心到 轴的距离是 ，所以条件化为 把垂直关系展开： 记 、，则 ，代入得 再由 两边平方： 这个方程的判别式 无实数解，所以不存在这样的 、。（也可以看 ，它在 处取最小值 ，即 。） 所以不存在以 为直径的圆与 轴相切。 4-3. 【解答】已知椭圆的右焦点为，分别为椭圆的左、右顶点，分别为椭圆的上、下顶点，四边形的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）过点且斜率不为的直线与椭圆相交于两点，直线与的交点为． ①若直线的倾斜角为，求线段的长度； ②试问是否有最大值？如果有，求出的最大值；如果没有，说明理由． 解析　答：（1） （1）右焦点为 ，所以 ，。 、 是长轴端点，、 是短轴端点，所以四边形 的两条对角线分别是 、，长分别为 、，且互相垂直，面积 又 。把 代入： 所以 ，， （2）①倾斜角为 ，所以 的斜率 ，。 代入 ，即 ： 设 、，则 ②设过 的直线 的斜率为 （）。记直线 的斜率为 、直线 的斜率为 （，）。 过 且斜率为 的直线 与 的另一个交点是 。代入 ： 是一个根，由韦达定理另一根 同理，过 且斜率为 的直线与 的另一个交点是 ： 、、 三点共线，所以两条直线的斜率相等： 由 整理得 若 ，即 ，把它代入 的坐标可以算出 与 重合（、），这与 、 是两个交点矛盾。所以只能是 于是 是直线 与 的交点： 所以 恒在直线 上，且 。 （：若 ，则 是 轴，由 知 也是 轴，此时 的斜率为 ，与题设不符。） 现在算 。、、。从 出发向左作水平射线 ，它与 、 的夹角分别记作 、。 的水平投影长 、 的水平投影长 ，竖直投影都是 ，所以 比 远， 更贴近水平方向，所以 ，。由两角差的正切公式， 又 ，，所以 是锐角，正切值最大时角也最大。 由基本不等式 ， 等号当 ，即 时取到。此时 。 所以 有最大值，最大值为 。 4-4. 【解答】已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求的方程； （2）设椭圆．若过的直线交于另一点交于两点，且在轴上方． （ⅰ）证明：； （ⅱ）为坐标原点．为右顶点．设在第一象限内，，是否存在实数使得的面积与的面积相等？若存在，求的值；若不存在，说明理由． 解析　答：（1） （1）点 在 上，代入得 ，所以 ，。 又离心率 ，即 ，而 ，所以 ， （2） 即 （）。 过 的直线 ，先设其斜率存在，记作 ，则 （ 竖直时 ，与 只在 处相切，没有「另一点 」，所以不必考虑。） 代入 ：，即 解得 （对应 ）或 代入 ：，即 设 、，则 （ⅰ）、、、 都在直线 上，所以四点间距离都等于 乘上横坐标之差： 而由 得 所以 ，即 （ⅱ）由 得 ，即 。比较横坐标： （纵坐标自动成立：。） 把它与 联立： 所以 而 ，所以 下面把两个面积写出来。 中 、、，以 为底： 中 、、，用面积行列式： 把 代入： 面积相等，即 由 得 ，而 ，两边约去 ： 所以 或 ，即 又 在第一象限，，所以 ，只能取 。 平方得 ，代入 ： （ 不合 ，舍去。） 所以存在实数 ，且 。此时 ，、、，两个三角形的面积都等于 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $