3.5 图形的位似 课前预习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 初中数学北师大版九年级上册“图形的位似”课前预习同步练，以“基础认知-技能应用-综合拓展”分层设计，通过阶梯式题型构建从概念识别到坐标变换再到综合证明的知识巩固路径，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|位似图形识别、概念辨析|单选1-4结合生活情境（视力表、树叶放大），直观考查图形变换本质，强化空间观念| |技能应用|位似中心判断、位似比计算|单选5-10及填空11-15聚焦坐标变换与比例关系，通过网格图、坐标系提升运算能力与模型意识| |综合拓展|位似与旋转/作图综合|解答题16-20融合作图操作与证明推理（如“旋转位似图形”定义应用），发展创新意识与逻辑思维|

3.5 图形的位似 课前预习2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，和是以为位似中心的位似图形，若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 3．如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段是由线段位似放大得到，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．每年秋季开学，学校组织同学们进行视力测试，如图是视力表的一部分，其中开口向上的两个“”之间的变换是（    ） A．平移 B．对称 C．位似 D．旋转 5．如图，在正方形网格图中，以A为位似中心，把放大到原来的2倍，则点C的对应点可能为（   ）    A．点D B．点E C．点G D．点F 6．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，的周长为，则的周长为（    ） A．12 B．10 C．11 D．8 7．《西游记》的故事家喻户晓，特别是书中的孙悟空嫉恶如仇斩妖除魔大快人心．在一次降妖过程中，孙悟空念动咒语将一片树叶放大后射向妖魔．假如这个过程可以看成是在平面直角坐标系中的一次无旋转的变换，设变化前树叶尖部点A坐标为，在咒语中变化后得到对应点为．则变化后树叶的面积变为原来的（    ） A．300倍 B．3000倍 C．9000倍 D．90000倍 8．如图，五边形与五边形是位似图形，为位似中心．若，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 9．如图．在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比为（   ） A． B． C． D． 10．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．如图，在平面直角坐标系中，阴影所示的两个正方形是位似图形，若位似中心在两个正方形之间，则位似中心的坐标为______．    12．在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心．相似比为，把线段缩短为，则的坐标为_____． 13．如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点、的坐标分别为、．若线段和是位似图形，且位似中心在轴上，则位似中心的坐标为_____．    14．如图，原点是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是3，则的面积是______． 15．如图，点是等边三角形的中心，分别是，，的中点，则与是位似三角形．此时，与的位似比为______． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)在坐标系中画出绕点顺时针旋转后的图形； (2)以点为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在坐标系中画出． 17．如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心． 18．若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”． (1)知识理解：如图①，与互为“旋转位似图形”． ①若，则__________； ②若，则__________； (2)知识运用：如图②，在四边形中，于点，求证：与互为“旋转位似图形”． 19．阅读与思考 下面是某兴趣小组的一次实践活动记录： 兴趣小组札记 今天，在数学兴趣小组开展的活动中，小华给每位同学发了一张扇形纸片，并要求大家按照下面的做法画出一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径，和上． 小李的做法如下：如图1，先在扇形内画出正方形，使得C，D两点在上，点F在上，连接并延长交于点G，过点G分别作于点J，交于点H，再作于点I．    (1)猜想证明：请问小李画出的四边形是正方形吗？如果是，请给出你的证明；如果不是，请说明理由． (2)实践操作：如图2，给定锐角三角形，画出一个长宽比为的矩形，使得点D，E位于边上，点F，G分别位于边，上． 20．在如图所示的方格纸中，与是以点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置． (2)已知的面积为，则的面积为___________． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A C C D D D C C 1．【答案】A 【知识点】位似图形的识别 【分析】本题考查的是位似图形，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A的图形属于位似图形，符合题意； 选项B、C、D的图形都不属于位似图形，不符合题意； 故选：A． 2．【答案】D 【知识点】位似图形相关概念辨析、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了位似图形的性质，由和是以为位似中心的位似图形，得到，利用对应线段成比例即可求解，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵和是以为位似中心的位似图形， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：． 3．【答案】A 【知识点】判断位似中心 【分析】此题考查了位似变换．注意根据位似图形的性质求解是关键． 连接，，并延长，则交点即为它们的位似中心．继而求得答案． 【详解】解：如图，连接，，并延长，则交点即为它们的位似中心． ∴它们的位似中心是． 故选：A． 4．【答案】C 【知识点】位似图形的识别、图形的平移 【分析】根据平移、对称、位似、旋转的特点进行判断，即可求解． 【详解】解：选项，平移的特点是不改变大小，故平移不符合题意； 选项，对称的特点是不改变大小，故对称不符合题意； 选项，位似的特点是根据位似比进行缩小或放大，故位似符合题意； 选项，旋转的特点是不改变大小，故旋转不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查图形变换，掌握图形平移、对称、位似、旋转的特点是解题的关键． 5．【答案】C 【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题考查了位似，位似比，根据位似中心位似比，结合勾股定理确定即可． 【详解】∵以A为位似中心，把放大到原来的2倍，且， ， ∴， 故， 故选C． 6．【答案】D 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似图形的性质，得到，，根据得到相似比为，再结合三角形的周长比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ∴， ， ∵， ， ∴， ∵的周长为4， ∴的周长为． 故选：D． 7．【答案】D 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比、利用平移的性质求解 【分析】根据题意树叶尖部点的变换是扩大300倍，然后向上平移200个单位，向下平移100个单位，根据位似变换的性质，以及平移的性质，根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵设变化前树叶尖部点A坐标为，在咒语中变化后得到对应点为． ∴树叶变换是扩大300倍，然后向上平移200个单位，向下平移100个单位， 根据位似比等于相似比，面积比等于相似比的平方， 可得变化后树叶的面积变为原来的90000倍 故选D 【点睛】本题考查了位似变换，平移的性质，相似图形的性质，根据题意理解变换是位似变换加平移变换是解题的关键． 8．【答案】D 【知识点】位似图形相关概念辨析、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据位似图形的性质得到，，，且三点共线，三点共线，证明推出，同理可证明，得到，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵五边形与五边形是位似图形， ∴，，，且三点共线，三点共线， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四个选项中，A、B、C选项错误，不符合题意，只有D选项中的结论错误，符合题意． 9．【答案】C 【知识点】求两个位似图形的相似比、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查位似图形的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方式是解题关键．先根据位似图形的概念求出相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方，即可解题． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∵与位似，位似中心为点O， ∴， ∴， ∴的面积与积之比． 故选：C． 10．【答案】C 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】过点分别作轴于点，轴于点，证明， 然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点分别作轴于点，轴于点，   ∴， ∵以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且把的边长放大到原来的2倍， ∴点在一条直线上， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵点B的坐标是，点的坐标是， ∴， ， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 11．【答案】 【知识点】判断位似中心 【分析】连接各组对应点，它们在两个正方形之间相交于点，则点为位似中心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图，点为位似中心，．    故答案为：． 【点睛】本题考查位似变换：位似的两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或共线），掌握位似变换的性质是解题的关键． 12．【答案】或 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或解答． 【详解】解：∵点A的坐标为，以原点为位似中心将缩短，位似比为， ∴点的对应点的坐标为：或，即或， 故答案为：或． 13．【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、在坐标系中画位似中心 【分析】根据题意，位似中心在轴上，如图所示，连接与轴交于点，则点是位似中心，运用待定系数法求出直线的解析式，令，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接与轴交于点，则点是位似中心，    ∵，， ∴设所在直线的解析式为， ∴，解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴位似中心的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查位似与一次函数的综合，掌握位似的定义，待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 14．【答案】12 【知识点】利用相似三角形的性质求解、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的性质，由题意得出 和的位似比，从而得出和的面积的比是，即可得解． 【详解】解：点与点是对应点，原点是位似中心， 和的位似比， 和的面积的比是， 又 的面积是3， 的面积是12． 故答案为：12． 15．【答案】/ 【知识点】求两个位似图形的相似比、等边三角形的性质、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、相似三角形的判定、位似图形与位似中心，熟记位似图形与位似中心的定义是解题关键．先根据三角形中位线定理可得，，，，得出，再根据位似中心的定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一点，对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形叫位似图形，这个点叫做位似中心，从而即可求解． 【详解】解：∵分别是，，的中点， ∴，，，， ∴， 又∵分别是，，的中点， ∴点与点，点与点，点与点的连线都经过点， ∴与是位似三角形，其位似中心是点， ∵， ∴与的位似比为， 故答案为：． 16．【答案】(1)如图所示，即为所求； (2) 如图所示，即为所求； 【知识点】在坐标系中画位似图形、画旋转图形、求绕原点旋转90度的点的坐标 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—旋转和位似，熟知旋转和位似的相关知识是解题的关键． （1）根据旋转方式和网格的特点找到对应点的位置，再描点，连线作图对应的图形即可； （2）把点的横纵坐标都乘以得到点的坐标，再描点，连线作图对应的图形即可． 【详解】（1）略 （2）略 17．【答案】①是位似图形，位似中心是点A；②是位似图形，位似中心是点P；③不是位似图形；④是位似图形，位似中心是点O；⑤不是位似图形 【知识点】位似图形的识别、判断位似中心 【分析】根据位似图形的概念逐一判断即可． 【详解】解：①是位似图形，位似中心是点A； ②是位似图形，位似中心是点P； ③不是位似图形； ④是位似图形，位似中心是点O； ⑤不是位似图形． 【点睛】本题考查了位似图形的概念，解题的关键是掌握基本的概念． 18．【答案】(1) ； (2) 证明：， ， ，即， 又， ， ， 又， ， ， ， 绕点逆时针旋转的度数后与构成位似图形， 和互为“旋转位似图形”． 【知识点】求两个位似图形的相似比、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了位似图形的判定和性质， 对于（1），根据位似图形的对应角相等得出①的答案；再根据位似图形的对应边成比例得出答案； 对于（2），先说明，可得，再说明，进而得出，最后根据“旋转位似图形”定义得出答案. 【详解】（1）解：①和互为“旋转位似图形”， 又 ②， ， ， ， 故答案为：；； （2）略 19．【答案】(1) 解：四边形是正方形，理由是： ，，， ， 四边形是矩形， 四边形是正方形，边与矩形的边在同一条直线上， ∴，，，， ，， ，． ，． ． 又， ． 四边形是正方形； (2) 矩形即为所求：    【知识点】画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）由作法可得四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，由于四边形为正方形，所以四边形是正方形； （2）先在内画出矩形，使得H，I两点在上，点K在上，连接并延长交于点F，过点F分别作于点E，交于点G，再作于点D． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 20．【答案】(1) 如图，点即为所求； (2) 【知识点】求两个位似图形的相似比、判断位似中心 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化——位似，掌握位似图形的特点是解题的关键． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）根据勾股定理求出、，进而得到与的位似比为，推出与的面积比为，即可求解． 【详解】（1）略 （2） ，， ， 与的位似比为， 与的面积比为， 的面积为， 的面积为， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $