3.5 图形的位似 同步练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 本练习围绕“图形的位似”，通过基础选择填空、中档计算应用、提高综合探究三层设计，实现从概念理解到坐标变换再到综合应用的知识巩固路径，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|位似概念、性质判断|单选题1-7题考查位似图形基本特征，如位似中心、对应点连线规律，培养几何直观| |中档|位似比计算、坐标变换|填空题11-14题结合平行四边形、坐标系，考查位似比与面积关系，发展空间观念| |提高|综合应用与探究|解答题17-20题融合矩形、三角形等图形，通过特例感知-探究发现-类比运用培养推理能力，体现模型观念|

3.5图形的位似同步练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 一、单选题（本大题共10小题） 1．如图，和是位似图形，位似中心是点，下列说法不正确的是（ ） A． B．直线经过点 C．直线，和相交于一点 D． 2．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　） A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1） 3．如图，在的方格中，点A，B，C，D在格点上，线段是由线段位似放大得到，则它们的位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 4．如图，一块面积为的三角形硬纸板（记为）平行于投影面时，在点光源的照射下形成的投影是，若，则的面积是（ ） A. B. C. D. 5．如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．如图,四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是以原点O为位似中心的位似图形.若B'(2,0),B(4,0),A'B'=,则AB= (　　) A.3 B.2 C.4 D.3 7．如图，若与是以点O为位似中心的位似图形，已知，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点B在x轴正半轴上，点A在第一象限．将顶点A，B的横、纵坐标都乘3，得到点，则关于与的关系说法正确的是（    ）    A．与关于点位似，相似比为 B．与关于点位似，相似比为 C．与关于点位似，相似比为 D．与关于点位似，相似比为 9．如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在平面直角坐标系中，，，，以点为位似中心，将放大为，满足，连接．则的长度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题） 11．如图，在平行四边形中，以为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为，连接，.若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为______. 12．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 , 的顶点 的坐标为 .以点 为位似中心作 与 位似，相似比为2,且与 位于点 同侧；以点 为位似中心作 与 位似，相似比为2,且与 位于点 同侧……按照以上规律作图，点 的坐标为___________. 13．线段，在平面直角坐标系中的位置如图所示，为坐标原点，，，，均在格点上，线段，是位似图形，则位似中心的坐标是________________________. 14．照相机是提升当代人生活幸福指数的设备之一.如图是其工作原理图，底片上的 与实物 是位似图形，且相似比为 ，点 ， 的对应点分别为 ， ， 和 的交点 即为位似中心，若 ，则 的长为____. 15．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为,的顶点的坐标为.以点为位似中心作与位似，相似比为2,且与位于点同侧；以点为位似中心作与位似，相似比为2,且与位于点同侧……按照以上规律作图，点的坐标为____________. （第4题图） 16．如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ，已知点 在反比例函数 的图象上，以点 为位似中心，在 所在直线的上方将线段 放大为原来的 倍得到线段 . （1）   的值为      ； （2） 若线段 上总有在反比例函数 图象上的点，则 的最大值为    . 三、解答题（本大题共5小题） 17．如图1，在矩形中，，过对角线上的点E作，分别交边于点F，G． 特例感知 （1）图2中，若E是的中点，，以下结论中正确的序号有________； ①四边形是矩形；②矩形与四边形位似；③；④． 探究发现 （2）在图1中，探究与的数量关系时，爱思考的小亮对旋转解题特别感兴趣．他发现与垂直，便尝试将射线绕着点E逆时针旋转交的延长线于点K，从而构造两相似三角形求解与的数量关系，请你顺着小亮的思路继续完成求解过程； 类比运用 （3）若将矩形改为，，如图3，过对角线上的点E作，分别交边于点F，G，．试探究与之间的数量关系并说明理由． 18．阅读与思考 请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务． 三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图1，中，点E，H分别在，边上，点F，G在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形1：如图2，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点D． ②过点D作交边于点E，过点E作于点F．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点D，E，C，F均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，．．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图2，可得正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为________，正方形的边长为________； 情形2：如图3，已知中，，，，．正方形在下方． …… 任务： 任务1：关于情形1的研究： （1）请补全“理由”部分的推理过程； （2）直接写出“分析”中所缺的内容：________，________； 任务2： （3）类比情形1的画法，在图3中借助正方形，画出中边上的内邻正方形（不必尺规作图），并直接写出的内邻正方形的边长（用含a，b，c的代数式表示）． 19．折纸的思考． 【操作体验】 用一张矩形纸片折等边三角形． 第一步，对折矩形纸片ABCD（AB＞BC）（图①），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（图②）． 第二步，如图③，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到△PBC． （1）说明△PBC是等边三角形． 【数学思考】 （2）如图④，小明画出了图③的矩形ABCD和等边三角形PBC，他发现，在矩形ABCD中把△PBC经过图形变化，可以得到图⑤中的更大的等边三角形，请描述图形变化的过程． （3）已知矩形一边长为3cm，另一边长为a cm，对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形，请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围． 【问题解决】 （4）用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为 cm． 20．如图(1),给定锐角三角形ABC,小明希望画正方形DEFG,使D,E位于边BC上,F,G分别位于边AC,AB上,他发现直接画图比较困难,于是他先画了一个正方形HIJK,使得点H,I位于边BC上,K位于边BA上,而不要求J必须位于AC上.这时他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG. 阅读以上材料,回答小明接下来研究的以下问题: (1)如图(2),给定锐角三角形ABC,画出所有长宽比为2∶1的矩形DEFG,使D,E位于边BC上,F,G分别位于边AC,AB上. (2)已知△ABC的面积为36,BC=12,在第(1)问的条件下,求矩形DEFG的面积. 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B A D A B B D D D 11． 12． 13．或 14．12 15． 16．（1） （2） 17．（1）解：如图， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴ ， ∴四边形是矩形，故①正确； ∵在矩形中，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴ ， ∴矩形与四边形位似；故②正确； ∵ ， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴点F是的中点， ∴， ∴， ∵， 设，则， ∴ ， ∴，故③错误； 同理，，故④正确； 综上，正确的序号有①②④； （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． 如图，将射线绕着点E逆时针旋转交的延长线于点K， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：．理由如下： ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 如图，在上取点H，使，得， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴，即． 18．（1）解：四边形是正方形， ， ， ， 矩形为正方形； （2）解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， 即正方形与正方形是以点A为中心的位似图形，其相似比为，正方形的边长为； （3）解：如图，连接、，交于点D、E，过点D作交边于点N，过点E作交于点M，连接，同情形1可得四边形为的一个内邻正方形， 过点作交于点P，交于点R， 四边形为正方形， ， ， 设正方形的边长为、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， 即的内邻正方形的边长为． 19．（1）由折叠的性质得：EF是BC的垂直平分线，BG是PC的垂直平分线，∴PB=PC，PB=CB，∴PB=PC=CB，∴△PBC是等边三角形． （2）以点B为中心，在矩形ABCD中把△PBC逆时针方向旋转适当的角度，得到△P1BC1； 再以点B为位似中心，将△△P1BC1放大，使点C1的对应点C2落在CD上，得到△P2BC2； 如图⑤所示； （3）本题答案不唯一，举例如图⑥所示； （4）如图⑦所示： △CEF是直角三角形，∠CEF=90°，CE=4，EF=1，∴∠AEF+∠CED=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠D=90°，AD=CD， ∴∠DCE+∠CED=90°， ∴∠AEF=∠DCE， ∴△AEF∽△DCE， ∴， 设AE=x，则AD=CD=4x， ∴DE=AD﹣AE=3x， 在Rt△CDE中，由勾股定理得： ， 解得：x=， ∴AD=4×=； 故答案为． 20．(1)如图(1)与图(2),矩形DEFG即为所求作的图形. (2)作AM⊥BC于M,交GF于N.在矩形DEFG中,如果DE=2DG,如图(3). ∵△ABC的面积为BC·AM=×12AM=36,∴AM=6.设AN=x,则MN=6-x,DG=MN=6-x,DE=GF=2(6-x)=12-2x. ∵GF∥BC,∴△AGF∽△ABC, ∴=,∴=,解得x=3, ∴DG=3,DE=6, ∴矩形DEFG的面积为6×3=18. 在矩形DEFG中,如果DG=2DE,同理可求得AN=,∴DG=,DE=DG=, ∴矩形DEFG的面积为×=. 综上,矩形DEFG的面积为18或. 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $