武汉市七一华源中学2026～2027学年八年级上学期周周清数学试卷

2026~2027学年武汉市七一华源八年级（上)周周清（一) 数学试卷 2026.09.15 第I卷（选择题共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑 1.以下列各组线段为边，能组成三角形的是() A.2cm,3cm,5cm B.4cm,4cm,10cm C.3cm,1cm,3cm D.3cn,4cn,9cn 2.在下列△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是( ) D D A. B B C B D. 3.如图是两个全等三角形，其中的字母表示三角形的边长，则∠1的大小是() A.50° B.58 C.60° D.72° 北 南 人58° 72A 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 4.如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三 角形.他的依据是() A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS 5.如图，∠A=70°，∠B=40°，∠C=30°，则∠D叶∠E=() A.30° B.40° C.60° D.70° 6.如图，C处在A处的南偏西40°方向，E处在A处的南偏东25°方向，E处在C处的北偏东80°方向， 则∠AEC的度数为() A.60° B.70° C.759 D.809 7.如图：将△ABC绕点C顺时针方向旋转20°，点B落在点E的位置，点A落在点D的位置，若AC⊥ DE,则∠BAC=(） A.50° B.60° C.70° D.80° A D y M B B 第7题图 第8题图 第9题图 第10题图 8.如图所示框架PABQ,其中AB=21cIL,AP,BQ足够长，PA⊥AB于点A,QB⊥AB于点B,点M从B 出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M,N运动的速度之比为3：4，当两点运动到某一瞬 间同时停止，此时在射线AP上取点C,使△ACM与△BN全等，则线段AC的长为()cm. A.18或28 B.9或18 C.9或14 D.14或18 9.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE.如果∠A=α， ∠CEA'=B,∠BDA'=Y,那么下列式子中正确的是() A.y=0+2B B.Y=2u+β C.y=a+B D.Y=180°-2+β 数学试卷第1页（共19页) 10.如图，动点C与线段AB构成△ABC,其边长满足AB=12,AC=BC+5,若点D在∠ACB的平分线 上，且∠ADC=90°，则△ABD的面积的最大值为（) A.30 B.34 C.35 D.36 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分) 下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置， 11.如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形 的 12.如图，在△ABC中，P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点.若∠P=2∠A, 则∠A=」 E B EB CN 第12题图 第13题图 第14题图 第16题图 13.如图，直线11,12，表示三条公路.现要建造一个中转站P,使P到三条公路的距离都相等，则中 转站P可选择的点有 处. 14.如图，△ABC中，AB=AC=3,P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,若S4C= 1,则PE+PF= 15.在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD=60°，∠CAD=20°，AE为△ABC的角平分线，则∠EAD 的度数为 16.如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P,延长BA、BC,PM⊥BE于M, PNL⊥BF于N,则下列结论：①AP平分∠EAC:②∠ABC+2LAPC=180°：③LBAC=2LBPC;④S△PAC= S△MAP+S△NCP:⑤SAABC=(AB+BC-AC).其中正确结论序号是 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形. 17.(本小题满分8分)用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形. (1)如果腰长是底边长的2倍，那么腰长是多少？ (2)能围成一边长是5cm的等腰三角形吗？为什么？ 18.(本小题满分8分)如图，点E,F在BC上，BE=CF,∠A=∠D,∠B=∠C,求证：AB=DC F 19.(本小题满分8分)(1)如图1，证明：∠A+∠B+∠C=∠D. (2)如图2，证明：AB+AC>BD+CD. A 图1 图2 数学试卷第2页，共19页 20.(本小题满分8分)(1)如图1，在△ABC中，AB=AC=10,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,过点 D作EF∥BC,分别交AB,AC于E,F两点.在不添加辅助线的情况下，请直接写出图1中共有个 等腰三角形：△AEF的周长为 (2)如图2，D在△ABC外，AB>AC,BD平分∠ABC,CD平分△ABC的外角∠ACG,过点D作DE ∥BC,分别交AB,AC于E,F两点.请猜想线段EF,BE,CF三者之间的数量关系，并对你的猜想给 予证明. B 图1 图2 21.(本小题满分8分)如图，在5×5的方格纸中，△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上， 这样的三角形叫格点三角形. (1)在图1中仅用无刻度的直尺画出△ABC的AB边上的高CH(保留作图痕迹)： (2)在图2中作AB中点H,然后在△ABC内部找一点P,使得SAABP=SABCP=SAACP: (3)在5×5的方格纸中与△ABC全等的格点三角形（不含△ABC)共有 个 B B 图1 图2 22.(本小题满分10分)三角形是最简单的多边形，任意一个多边形都能分割成三角形，把一个多边形用 连接它的不相邻顶点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角 剖分.如图1给出了七边形的三角剖分的两种方法， (1)将一个四边形进行三角剖分，则有种剖分方法. (2)在图2中给出五边形的三角剖分的一种方法. (3)瑞士数学家欧拉归纳得出了n边形的不同三角剖分方法数(D)的公式：当心3时，=，其 Dn 中规定D3=1.请根据公式，计算七边形的三角剖分方法数D7: 图1 图2 数学试卷 第3页（共19页) 23.(本小题满分10分)【问题】(1)如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC,CE平分∠ACB. ①若∠A=60°，则∠BEC= ②若∠A=n°，则∠BEC= 【探究】(2)如图2，在△ABC中，BD,BE三等分∠ABC,CD,CE三等分∠ACB.若∠A=n°.则∠ BEC= (3)如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？ 请说明理由； (4)如图4，已知△ABC的内角∠A=,分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点 A1;作∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2;..以此类推得到点A026,则∠A2026的大小为 【应用】(5)如图5，在四边形ABCD中，BF平分∠ABC,CG平分外角∠DCE,连接FG.若∠A=140°， ∠D=90°，则∠F+∠G= 度. 图1 图2 24.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，点A(0,1). (1)如图1，若C3,0),△ABC为等腰直角三角形，点B在第三象限时，求点B的坐标： (2)如图2，在(1)的条件下，AB边交x轴于M,BC边交y轴于D,E是AB上一点，且BE=AM, 连DE.求证：AD叶DE=CM; (3)如图3，若Q、C两点均在x轴上，且△ACQ的面积为4.分别以AC、AQ为腰在第一、第二象限 作等腰Rt△CAN等腰Rt△OAM,连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP 的值；若变化，求OP的取值范围 yA A M 0 A Q 10 ⊙ 图1 图2 图3 数学试卷 第4页，共19页 2026~2027学年秋季武汉二中广雅第一周限时训练数学试卷参考答案 题号 1 2 4 6 7 8 9 10 答案 C D B B B C C C B 一、 选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1.以下列各组线段为边，能组成三角形的是() A.2cn,3cn,5cn B.4c,4c,10c2 C.3cm,1cm,3cm D.3cn,4cn,9cn 【解答】解：A、2+3=5,故A不符合题意： B、4+4<10,故B不符合题意； C、1+3>3,故C符合题意： D、3+4<9,故D不符合题意， 故选：C. 2.在下列△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是( D D A B B C 【解答】解：A、AD不是AC边上的高，不符合题意： B、AD是BC边上的高，不是AC边上的高，不符合题意； C、BD不是AC边上的高，不符合题意： D、BD是AC边上的高，符合题意； 故选：D 3.如图是两个全等三角形，其中的字母表示三角形的边长，则∠1的大小是() b C a 人58° 72 A.50° B.58 C.60° D.72° 【解答】解：，如图的两个全等三角形，∠1是边α、c的夹角， ∴.∠1=58°（全等三角形对应角相等)， 故选：B 4.如图，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与书上完全一样的三 角形.他的依据是() A.SAS B.ASA C.AAS D.S'SS 【解答】解：如图，∠A、AB、∠B都可以测量， 即他的依据是ASA. 故选：B A 数学试卷 第5页（共19页) 5.如图，∠A=70°，∠B=40°，∠C=30°，则∠D叶∠E=() B A.30° B.40° C.60° D.70° 【解答】解：连接BC,设BE与CD交于点M,如图所示， B2---- M ---C 在△ABC中，∠A=70°，∠ABM=40°，∠ACM=30°， .根据三角形内角和定理， ∠MBC+∠MCB =180°-∠A-∠ABM∠ACM =180°-70°-40°-30° =40°. 又，∠DH∠E+∠DME=180°，∠MBC+∠MCB+∠BMC=180°，∠DME=∠BMC, ∴∠D叶∠E=∠MBC+∠MCB=40°，即∠D+∠E的度数为40°. 故选：B. 6.如图，C处在A处的南偏西40°方向，E处在A处的南偏东25°方向，E处在C处的北偏东80°方向， 则∠AEC的度数为() 北 南 E A.60° B.70° C.75° D.80° 【解答】解：如图： A 北 D E C 由题意得：∠DCE=80°，∠BAC=40°，∠BAE=25°，CD∥AB, .∠DCA=∠BAC=40°， ∴.∠ACE=∠DCE-∠DCA=40°， .∠AEC=180°-∠ACE-∠BAC∠BAE=75°， 故选：C. 7.如图：将△ABC绕点C顺时针方向旋转20°，点B落在点E的位置，点A落在点D的位置，若AC⊥ DE,则∠BAC=() 数学试卷 第6页，共19页 D y B A.50° B.60° C.70 D.80° 【解答】解：AC⊥DE, ∴.∠DH∠ACD=90°， ,△ABC绕点C顺时针方向旋转20°，点B落在点E的位置，点A落在点D的位置 .∠ACD=20°，∠D=∠BAC, ∴.∠D=90°-20°=70°， ∴.∠BAC=70°. 故选：C O E B 8.如图所示框架PABQ,其中AB=21c,AP,BQ足够长，PA⊥AB于点A,QB⊥AB于点B,点M从B 出发向A运动，同时点N从B出发向Q运动，点M,N运动的速度之比为3：4，当两点运动到某一瞬 间同时停止，此时在射线AP上取点C,使△ACM与△BMN全等，则线段AC的长为()c. A A.18或28 B.9或18 C.9或14 D.14或18 【解答】解：点M,N运动的速度之比为3：4， ∴.设BM=3tcI,则BN=4tcIL, .AB=21c, ..AM=AB-BM=(21-3t)cm, 又，∠A=∠B=90°， ∴.当△ACM与△BMN全等时，有以下两种情况： ①当BM=AC,BN=AM时，则△ACM≌△BMN, 由BN=AM,得：4t=21-3t, 解得：t=3, ∴.AC=BM=3tc=9c: ②当BM=AM,BN=AC时，则△ACM≌△BN☑M, 由BM=AM,得：3t=21-3t, 解得：t=3.5, ∴.AC=BN=4tc=14cm, 综上所述，AC的长为9c或14c, 故选：C 数学试卷 第7页（共19页） 9.如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE.如果∠A=a, ∠CEA'=B,∠BDA'=Y,那么下列式子中正确的是() A a 、E B C A.y=0+2β B.Y=20+β C.y=a+B D.y=180°-2a+B 【解答】解：由折叠得：∠A=∠A', ,∠BDA'=∠A+∠AFD,∠AFD=∠A'+∠CEA, ,∠A=,∠CEA'=B,∠BDA'=Y, ∴.∠BDA'=Y=+a+B=2C+B, 故选：B. 10.如图，动点C与线段AB构成△ABC,其边长满足AB=12,AC=BC+5,若点D在∠ACB的平分线 上，且∠ADC=90°，则△ABD的面积的最大值为() D A.30 B.34 C.35 D.36 【解答】解：延长AD交CB延长线于M,过M作MH⊥AB交AB延长线于H, M D A ,CD平分∠ACB, ∴.∠MCD=∠ACD, ,∠ADC=90°， ∴.∠CDM=180°-90°=90°， .∠ADC=∠MDC, ,CD=CD,∠MCD=∠ACD, ∴.△ACD≌△MCD(AS4), ..AD=MD,CM=AC=BC+5, ..BM=CM-BC=5, 'S△ABD=3S△ABM, ∴.当△ABM的面积最大时，△ABD的面积最大， :△ABM的面积=ABMH,AB=9,MMB=5, ∴△4BD面积的最大值=×12×5=30. 故选：A. 数学试卷 第8页，共19页 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 11.如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的稳定性_， 【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性。 故答案为：稳定性. 12.如图，在△ABC中，P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点.若∠P=2∠A,则∠A=60°. B SC 【解答】解：，P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点， ∴.LPBC=∠ABC,LPCB=LACB, ,∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A, ,∠P+∠PBC+∠PCB=180°， ∴LP=180°-(LPBC+∠PCB)=180°-3(LABC+∠ACB)=180°-2(180°-∠A), ,∠P=2∠A, 2LA=180°-3(180°-LA), 解得：∠A=60°， 故答案为：60. 13.如图，直线11,2,3表示三条公路.现要建造一个中转站P,使P到三条公路的距离都相等，则中 转站P可选择的点有4个. /12 3 【解答】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处： ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴.中转站P可选择的点有共有4个. 12 4 数学试卷 第9页（共19页） 14.如图，△ABC中，AB=AC=3,P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F,若S△ABC= 1,则PE+PF=1 B 【解答】解：如图所示，连接AP,则S△ABC=S△4C叶S△ABP, ,PE⊥AB于点E,PF⊥AC于点F, SAACP-ACxPF,SAABP-ABxPE, 又，S△4BC=1,AB=AC=3, ∴1=3AC×PF+AB×PE, 即1=×3xPF+X3xPE, 2 ..PE+PR=2, 3 故答案为：子 15.在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD=60°，∠CAD=20°，AE为△ABC的角平分线，则∠EAD 的度数为20°或40°： 【解答】解：情况一， A B C ,在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD=60°，∠CAD=20°， .∠BAC=60+20°=80°， ,AE为△ABC的角平分线， ∴.∠EAC=∠EAB=40°， ∴∠EAD=∠BAD-∠EAB=60°-40°=20°. 情况二， B E CD ,在△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD=60°，∠CAD=20°， .∠BAC=60°-20°=40°， ,AE为△ABC的角平分线 ∴.∠EAC=∠EAB=20°， ∴.∠EAD=∠BAD-∠EAB=60°-20°=40°. ∴.∠EAD的度数为20°或40°. 故答案为：20°或40°. 数学试卷 第10页，共19页 16.如图，△ABC中，∠ABC、∠FCA的角平分线BP、CP交于点P,延长BA、BC,PM⊥BE于M, PN⊥BF于N,则下列结论：①AP平分∠EAC;②LABC+2LAPC=180°；③LBAC=2LBPC:④S△PAC= S△MAP+S△NCP:⑤SAABC=(AB+BC-AC).其中正确结论序号是①②③④一， E M CN 【解答】解：①过点P作PD⊥AC于D, ,PB平分∠ABC,PC平分∠FCA,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC, ∴.PM=PN,PN=PD, ..PM=PD M ,PMLBE,PD⊥AC, .AP平分∠EAC,故①正确： ②，PM⊥AB,PN⊥BC, ∴.∠ABC+90+∠MPN490°=360°， ∴.∠ABC+∠MPN=180°， 在Rt△PAM和Rt△PAD中， D (PM=PD CN PA=PA ∴.Rt△PAM≌Rt△PAD(HI), .∠APME∠APD, 同理：Rt△PCD≌Rt△PCN(HL), ∴.∠CPD=∠CPN, ∴.∠MPN=2∠APC, ∴.∠ABC+2∠APC=180°，②正确： ③，BP平分∠ABC,CP平分∠FCA, ∴∠ACF=∠ABC+∠BAC=2∠PCR,∠PCF=∠ABC+∠BPC, 21 ∴.∠BAC=2∠BPC,③正确； ④由②可知Rt△PAM≌Rt△PAD(HL),Rt△PCD≌Rt△PCN(HL), .S△APD—S△MAP,S△CPD-S△WCP, .S△PAc-SAMA十S△NCP,故④正确， 故选：D. ⑤，'PMPM PD,AC=AM什CN .S△ABCS四边形PMBN-S△APMS△APCS△CPF(S△BPM+SACPN)-S△APBM-S△APC-SACPN =(PM,BM+PN·BN）-PM·AM-PD·AC-PN:CN=PM,(BM+BN-AM-CN-AC), =PM·(AB+AC-AC),故⑤不符合. 故答案为：①②③④， 三、解答题（共8小题，共72分） 17.用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形， (1)如果腰长是底边长的2倍，那么腰长是多少？ (2)能围成一边长是5cm的等腰三角形吗？为什么？ 【解答】解：(1)设底边长为xc,则腰长为2xc,则2x+2x+x=20, 解得，x=4, .2x=8, ∴.腰长是：8cm,8cm: (2)能围成有长是5cm的等腰三角形， 数学试卷 第11页（共19页) 理由：①当5c为底时，腰长=7.5cl, ②当5cm为腰时，底边=10c,因为5+5=10，故不能构成三角形，故舍去； 故能构成有一边长为5c的等腰三角形. 18.如图，点E,F在BC上，BE=CF,∠A=∠D,∠B=∠C,求证：AB=DC. A D B E F C 【解答】证明：，点E,F在BC上，BE=CF, ..BE+EF=CF+EF,E BF=CE: 在△ABF和△DCE中， (∠A=∠D ∠B=∠C, BF=CE '.△ABF≌△DCE(AAS, ∴AB=CD(全等三角形的对应边相等). 19.(1)如图1，证明：∠A+∠B+∠C=∠D. (2)如图2，证明：AB+AC>BD+CD. A D B 图1CB图2 【解答】(1)证明：连接AD,延长至点E, B E ,∠BDE是△ABD的外角， ∴∠BDE=∠B+∠BAD, 同理∠CDE=∠C+∠CAD, :∠BAC=∠BAD+∠CAD, ∠BDC=∠BDE+∠CDE, ∴.∠BDC=∠BAC+∠B+∠C, 即：∠A+∠B+∠C=∠D. (1)证明：延长BD与AC相交于点E, .AB+AE>BD+DE,DE+EC>DC, .'.AB+AE+DE+EC>DC+BD+DE. .'.AB+AC>DC+BD. A D B C 21.(1)如图1，在△ABC中，AB=AC=10,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,过点D作EF∥BC,分 别交AB,AC于E,F两点.在不添加辅助线的情况下，请直接写出图1中共有5一个等腰三角形：△ AEF的周长为20_： 数学试卷第12页，共19页 (2)如图2，D在△ABC外，AB>AC,BD平分∠ABC,CD平分△ABC的外角∠ACG,过点D作DE ∥BC,分别交AB,AC于E,F两点.请猜想线段EF,BE,CF三者之间的数量关系，并对你的猜想给 予证明. E 图1 图2 【解答】解：(1)，AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, ,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, ∴，∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠BCD, ∴.∠DBC=∠DCB, ..DB=DC ,EF∥BC, ∴.∠AEF=∠ABC,∠AFE=∠ACB,∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠BCD, .∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠BCD, ..BE=DE,CF=DF,AE=AF, .等腰三角形有△ABC,△AEF,△DEB,△DFC,△BDC共5个， ..BE+CF=DE+DF=EF, 即BE+CF=EF, △AEF的周长=AE+EF+AF=AE+BE+AF+FC=AB+AC=20. 故答案为：5；20： (2)BE-CF=EF,理由如下： ,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB, ∴.∠EBD=∠CBD,∠FCD=∠GCD, ,EF∥BC, ∴.∠EDB=∠CBD,∠FDC=∠GCD, ∴.∠EBD=∠EDB,∠FDC=∠FCD, ∴.BE=DE,CF=DF, .ED-DF=EF, .BE-CF=EF」 21.如图，在5×5的方格纸中，△ABC的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫 格点三角形. (1)在图1中仅用无刻度的直尺画出△ABC的AB边上的高CH(保留作图痕迹)： (2)在图2中作AB中点H,然后在△ABC内部找一点P,使得SAABP=SABCP=SAACP: (3)在5×5的方格纸中与△ABC全等的格点三角形（不含△ABC)共有31个 A B B 图1 图2 【解答】解：(1)如图，线段CH即为所求作； (2)如图，连接CH,AD,CH与AD的交点即为所求P点： 数学试卷 第13页（共19页) p B (3)(3)①直接平移，网格中与△ABC全等的格点三角形有3种情况，如图， A CC C3 C2 ②根据大正方形的对称性，找到4条对称轴，则每个图形有4种情况与之对应（先对称再平移），一共有 4×4=16种情况， B 4' B' B ③结合①②，即先平移再找4次轴对称，则共有3×4=12种情况 综上所述，一共有3+16+12=31个 故答案为：31. 22.三角形是最简单的多边形，任意一个多边形都能分割成三角形，把一个多边形用连接它的不相邻项 点的线段（这些线段不在多边形内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分.如图1给出 了七边形的三角剖分的两种方法. 图1 图2 (1)将一个四边形进行三角剖分，则有2种剖分方法. (2)在图2中给出五边形的三角剖分的一种方法， (3)瑞士数学家欧拉归纳得出了加边形的不同三角剖分方法数(D)的公式：当心3时，”产=白，其 中规定D3=1.请根据公式，计算七边形的三角剖分方法数D. 【解答】解：(1)如图， 数学试卷 第14页，共19页 将一个四边形进行三角剖分，则有2种剖分方法； (2) (3)瑞士数学家欧拉归纳得出了加边形的不同三角剖分方法数(D)的公式：当心3时，=兰，其 中规定D3=1. 由题意得，D3=1, :心3时，D+=4n- Dn n n=3时，2=4x3+-6=2, Da 3 .D4=2D3=2×1=2, n=4时，=4x4+(-6=5, D4 4 2 “D5=×D4=x2=5, n=5时，=5x4+(-6=4 D55 51 “0%=普×05=兰×5=14 n=6时，是-40-3， 6 ∴.D7=3D6=3×14=42. 23.(本小题满分10分)【问题】(1)如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC,CE平分∠ACB. ①若∠A=60°，则∠BEC=120°一： ②若∠A=n°，则∠BEC=90°+1n° 【探究】(2)如图2，在△ABC中，BD,BE三等分∠ABC,CD,CE三等分∠ACB.若∠A=n°.则∠ BEC=60°+2n°； (3)如图3，O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点，试分析∠BOC和∠A有怎样的关系？ 请说明理由： (4)如图4，己知△ABC的内角∠A=,分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点 A:作∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A:…以此类推得到点A06,则∠A06的大小为一206一： 【应用】(5)如图5，在四边形ABCD中，BF平分∠ABC,CG平分外角∠DCE,连接FG.若∠A=140°， ∠D=90°，则∠F+∠G=205度. A D 图1 图2 【解答】解：(1)①，∠A=60°， .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°， ,BE平分∠ABC,CE平分∠ACB, ∴.LEBC=LABC,∠ECB=LACB, ∴∠EBC+LECB=(LABC+∠ACB)=×120°=60， 数学试卷第15页（共19页） ∴.∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB)=180°-60°=120°： 故答案为：①120°；②90°+三n°； ②由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-°， ,BE平分∠ABC,CE平分∠ACB, ..LEBC=-LABC,LECB=ACB, ∴.2EBC+LECB=(LABC+LACB)=3×(180°-n)=90°-n°， ∠BEC=180°-(8BC+∠BC8)=180°-(90°-n9)=90°+n: 故答案为：90°+二n°； (2)由三角形的内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-n°， ,'BD,BE三等分∠ABC,CD,CE三等分∠ACB, ·.LEBC=子LABC,LECB=子LACB, ∴LEBC+LECB=(LABC+LACB)=2×(180°-n)=120°-2n, ∴∠BEC=180°-(ZEBC+∠BCB)=180°-(120°-n9)=60°+： 故答案为：60°+二n; (3)∠B0C=∠A.理由如下： 由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC, ∠OCD=∠BOC+∠OBC, ,O是∠ABC与外角∠ACD的平分线BO和CO的交点， ∴∠ABC=2∠OBC,∠ACD=2∠OCD, .∠A+∠ABC=∠ACD=2∠OCD=2(∠BOC+∠OBC), ∴∠A=2∠BOC, .∠B0C=2∠A; (4),BA1平分∠ABC,CA1平分∠ACD, ∴.∠CBA1∠ABC,∠DCA∠ACD, ,∠DCA1=∠CBA1+∠AI,∠ACD-∠A+∠ABC, ∠CBAI+∠AI(∠A什∠ABC), AA受 同理：∠A之A安 ∴.∠A202622026· (5)如图，延长BA和CD交于M,延长BF和CG交于N, M N F A G C E ,BF平分∠ABC,CG平分外角∠DCE, ∴由(3)的结论可知LW=LM, ∠ADC=90°， .∠ADM=180°-90°=90°， ∴.∠M=∠BAD-∠ADM=140°-90°=50°， 1W=×50°=25°， ,'∠BFG=∠N+∠FGN,∠CGF=∠N+∠NFG, 数学试卷 第16页，共19页 .∴.∠BFG升∠CGF=∠N+∠FGNH∠N+∠NFG=180°+25°=205°. 故答案为：205， 24.在平面直角坐标系中，点A(0,1). (1)如图1，若C(3,O),△ABC为等腰直角三角形，点B在第三象限时，求点B的坐标； (2)如图2，在(1)的条件下，AB边交x轴于M,BC边交y轴于D,E是AB上一点，且BE=AM, 连DE.求证：AD+DE=CM: (3)如图3，若Q、C两点均在x轴上，且△AC2的面积为4.分别以AC、AQ为腰在第一、第二象限 作等腰Rt△CAN、等腰Rt△OAM,连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生改变？若不变，求出OP 的值；若变化，求OP的取值范围. y yA y A N M C E D C B 图1 图2 图3 【解答】解：(1)由题干坐标很容易发现△ABC为等腰直角三角形时，如果点B在第三象限，则此时∠ BAC=90°，AB=AC, A(0,1),C3,0), ∴.OA=1,OC=3, 如图，过A作HF∥x轴，过B作BH⊥HF于点H,交x轴于点G,过C作CF⊥HF于点F,则∠H=∠ F=90°， y 0 B ∠BAC=90°， ∴∠BAH=∠ACF=90°-∠CAF, 在△ABH和△CAF中， ∠H=∠F=90° ∠BAH=∠ACF, AB=AC .△ABH≌△CAF(AAS), ∴AH=CF=1,BH=AF=3, ∴.BG=BH-HG=2, .B(-1,-2): (2)过B作BR⊥AB交x轴于点R,则∠ABR=90°， 数学试卷 第17页（共19页) y y M 0 D B*---R ,∠BAC=90°， .∴.∠BAR+∠CAO=90°， ,∠ACO+∠CAO=90°， ∴.∠BAR=∠ACO, 在△ABR和△ACM中， (∠ABR=∠CAM=90° AB=AC ∠BAR=∠ACM ∴.△ABR≌△CAM(AS4), .∴.AR=CM,BR=AM, .BE=AM, ..BR=BE ,△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC=45°， .∠DBR=45°=∠DBE, .在△DBE和△DBR中， (BE BR ∠DBE=∠DBR, ADB=DB ∴.△DBE≌△DBR(SAS, ∴DE=DR, .AR=AD+DR, .CM=AD+DE. (3)OP的值不会发生变化.理由如下：过点N作NK∥AM,交y轴于点K,则∠MA4∠ANK=180°， yA K M ,∠CAQ+∠MAN=360°-180°=180°， ∴∠ANK=∠CAQ, 又∠KANH∠OAC=90°=∠ACO+∠OAC, ∴∠KAN=∠ACQ, 在△KAN和△OAC中， (∠KAN=∠ACQ AN=AC ∠ANK=CAQ .△NA≌△QAC(AS4), ∴.AK=CQ,N=QA, .00=MA, 数学试卷 第18页，共19页 ∴.N=AM, ,'N∥AM, ∴.∠PAM=∠PN, 在△PAM和△PN中， '∠PAM=∠PKN ∠APM=∠KPN, AM=KN .△PAM≌△PN(AAS, ..AP=KP, ,点A(0,1),S△Ac2=4, ∴.20AC0=4, ∴.CQ=8, AK=8, ∴AP=AK=4, 又.OA=1, .OP=4+1=5(定值)， 即OP的长度始终值是5. 数学试卷 第19页（共19页)