知识板块五 圆的操作专项练习 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦圆的翻折与截取操作，分层设计基础理解与综合应用题组，通过中考及期末真题巩固圆的性质、对称变换及最值应用，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|翻折与切圆的基本性质（如折叠后阴影面积计算、简单切圆半径求解）|单一知识点应用，结合矩形、半圆等基础图形，题型为选择与填空，对应课时基础目标| |综合应用|翻折与相切综合（如折弧与直径相切）、圆的截取最值（如四边形内最大圆半径、扇形与圆锥截取）|多知识点融合，结合扇形、不规则四边形等复杂情境，选用期末及中考真题，培养空间观念与运算能力|

知识板块五 圆的操作 拆分突破17 圆的操作(一)翻折与切圆 必刷考点一 切圆折叠 1.(2026江夏)如图,有一张矩形纸片ABCD,已知AB=2,AD=4,上面有一个以AD 为直径的半圆，如图2，将它沿DE 折叠，使A 点落在BC 上，这时，半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是( ) A. B. C. D. 必刷考点二 折弧相切 2.(2026武汉市洪山区期末)如图，半圆O的直径AB=8，PQ为半圆O的一条弦，将. 沿弦PQ 翻折后与AB 相切于点M,若M为OB 中点,则弦 PQ 的长为 . 3.如图,在扇形OAB 中,点C,D 在. 上，将CD沿弦CD 折叠后恰好与分别OA，OB 相切于点E,F.已知∠AOB=120°,OA=6,则折痕CD 的长为 . 4.(2025武汉市江汉区期末)如图,在⊙O中,弦AB=CD=24,将AB沿AB 翻折,恰好与弦CD相切于点N，若⊙O 的半径是13，则切线长CN 的值是( ) A.13.5 B.15. C.16.5 D.18 拆分突破18 圆的操作(二)圆的截取 1.(2026武汉市硚口区期末)如图是一张四边形纸片 ABCD,已知AB=BC=3dm,AD=CD=6 dm，∠A=∠C=90°，要在该纸片中剪出一个圆形纸片，则圆形纸片半径的最大值是( ) A.1 dm B.2d m C. dm D. 2.如图,在四边形材料ABCD 中,AD∥BC,∠A=90°,AD=9 cm,AB=20cm,BC=24 cm.现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是( ) A. B.8cm C.6 cm D.10 cm 3.如图,在四边形材料ABCD 中,∠ABC=∠DCB,AD⊥CD,过点 A 作AN⊥BC 于点N,AB=26cm,BC=30cm,AN=24cm,现用此材料截出一个面积最大的圆形模板,则此圆的半径为( ) A.10 cm B.12 cm C.10 cm D.13 cm 4.(2026广州)如图，在正方形铁皮ABCD 上，以点A 为圆心剪下一个圆心角为90°的扇形，剩余部分剪一个半径为r的圆形，使之恰好围成一个圆锥.若 则r的最大值是 . 知识板块五 圆的操作 拆分突破17圆的操作(一) 翻折与切圆 1. D解：设阴影部分所在的圆心为O，AD 与半圆弧交于点 F，连接OF,过点O作OM⊥DF 于点 M, ∵AD=4,CD=2, ∴∠DAC=30°, ∵OD∥BC,OD=OF=2, ∴∠ODF=∠OFD=∠DAC=30°, ∴∠DOF=120°, 在)Rt△DOM 中,OM= OD=1,DM= /₂OD= ∴DF=2DM=2 ∴ S阴影部分 = S扇形DOF -S△ODF =120πx2²- ×2 ×1= - 2.2 解：设折叠圆弧所在的圆的圆心为O',AB=8,连接O'O,OP,O'M, 设O'O 与 PQ 交于点 H,根据折叠的性质，得∠OHP=∠OHQ=90°, PO=OA=OB=O'M=4, ∵M 是半径OB 的中点, ∴OM=2, 在 Rt△OPH 中,由勾股定理,得 3.4 解：设翻折后的弧的圆心为O',连接O'E,O'F,OO',O'C,OO'交CD于点 H, ∴OO′⊥CD,CH=DH,O'C=OA=6. ∵将 CD 沿弦 CD 折叠后恰好与OA,OB 相切于点E,F. ∴∠O'EO=∠O'FO=90°. ∵∠AOB=120°, ∴∠EO'F=60°, ∴∠O'OF=60°, ∵O'F⊥OB,O'E=O'F=O'C=6, 4. D 解:作点 O 关于AB 的对称点O',连接OO'交AB 于点E,则 OO'⊥AB, 连接OB,在 Rt△OEB 中, ∵OB=13,∴OE=5. 过点O作OF⊥CD 于点 F,同理可得CF=DF=12,OF=5. ∵将 沿AB 翻折，恰好与弦CD相切于点 N，由翻折对称得，O'是ANB 对应的圆心,连接O'N, ∴O'N⊥CD,O'N=13,OO'=2OE=10. 过点O作OK⊥O'N 于点K. ∵∠OKN =∠OFN =∠KNF =90°, ∴四边形OKNF 是矩形, ∴KN=OF=5,NF=OK, ∴O'K=O'N-KN=13-5=8,在 Rt△OO'K 中,O'K =8,OO'=10, ∴OK=6, ∴NF=OK=6, ∴CN=CF+NF=12+6=18. 拆分突破18 圆的操作(二) 圆的截取 1. B 解:设⊙O 与AB,BC,AD,CD分别相切于点 H,M,E,F,则⊙O就是从四边形纸片ABCD 上剪下的最大圆,连接 BD,OA,OE,OF,OH,则OE⊥AD,OF⊥CD,OH⊥AB,证△ABD≌△CBD, ∴∠ADB=∠CDB, ∴DB 平分∠ADC. ∵OE⊥AD 于点 E,OF⊥CD 于点F,且OE=OF, ∴点O 在∠ADC的平分线DB 上.设OH=OE=x. ∵S△AOB +S△AOD=S△ABD, 解得x=2, ∴圆形纸片半径的最大值是 2 dm.故选 B. 2. B 解:如图,当AB,BC,CD与⊙O相切于点E,F,G 时,⊙O 的面积最大.连接OA,OB,OC,OD,OE,OF,OG,过点 D 作DH⊥BC于点 H. ∵AD∥CB,∠BAD=90°, ∴∠ABC=90°, ∵∠DHB=90°, ∴四边形ABHD 是矩形, ∴AB=DH=20,AD=BH=9, ∵BC=24, ∴CH=BC-BH=24-9=15, 设OE=OF=OG=r, 则有 ×(20-r), ∴r=8.故选 B. 3. A 解:当AB,BC,CD 与⊙O 相切于点E,F,G时,⊙O 的面积最大,连接OA,OB,OC,OE,OF,过点O作OM⊥AN 于点 M,AB=26 cm,BC=30cm,AN=24 cm, ∴NB=10 cm, ∵AB,BC,CD 与⊙O 相切于点 E,F,G,∠ABC=∠DCB, OF⊥BC,OE⊥AB, ∴OB=OC, ∴BF=CF=15cm, ∴BF=BE=15 cm,AE=11 cm,NF=5cm, ∵OF⊥BC,AN⊥BC,OM⊥AN, ∴四边形OMNF 是矩形, ∴MN=OF, 设 OE =OF = r cm,则有 OE²+ 即 ∴r=10.故选 A. 4.1 解:∵2πr=90π:AP, ∴AP=4r,当⊙O与PQ和BC,DC都相切时，r最大，如图.过点O作OE⊥BC 于点 E,则OE=r. ∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠OCE=45°, 解得r=1，即r的最大值是1. 学科网（北京）股份有限公司 $