2.2.1 有理数的乘法（第1课时） 教学设计 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦有理数的乘法法则及倒数概念，通过复习正数乘法（2×3），将相同加数相加改写为乘法，再引出负数参与的乘法（如(-2)×3），衔接旧知，搭建从正数乘法到有理数乘法的学习支架。 以蜗牛、小虫数轴运动情境引导学生经历“观察—归纳—概括”过程得出法则，渗透数形结合与分类讨论思想，培养抽象能力和推理意识。登山气温变化问题应用法则体现模型意识，帮助学生建立数感，提升教师教学效率。

2.2.1 有理数的乘法（第1课时） 教学设计 课题 2.2.1 有理数的乘法 学科 数学 年级 七年级 教材版本 人教版（2024） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 1.理解有理数的乘法法则。 2.能利用乘法法则熟练进行有理数的乘法运算。 3.理解倒数的意义，会求一个有理数的倒数。 4.在经历探究有理数乘法法则的过程中，通过观察、分析、归纳、概括得出有理数乘法的规律，建立数感和符号感，体验数形结合思想、分类讨论思想、归纳法在数学中的应用。 教学重点 有理数的乘法符号法则。 教学难点 利用法则熟练进行有理数的乘法运算，正确确定积的符号与绝对值。 教学方法 情境引入、自主探究、讲练结合 教学准备 多媒体课件、数轴模型 课后练习 教材P40练习T1、T2、T3；P47 习题T1、2、3 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情境 复习引入：2×3 等于多少？它表示什么？ 答案：2×3=6，表示3个2相加，即 2×3=2+2+2。 追问：把 (−2)+(−2)+(−2) 写成乘法算式。 答案：(−2)+(−2)+(−2)=(−2)×3。 我们已经熟悉正数和0的乘法运算，但在实际问题中还会遇到超出正数范围的乘法运算，它怎样计算呢？这就是我们今天要研究的有理数的乘法。 口答 2×3 的意义，把相同加数相加改写为乘法，体会“乘法表示若干个相同数的和”，尝试把 (−2)+(−2)+(−2) 改写成乘法。 从正数乘法衔接旧知，以连续相加改写为乘法引出负数参与的新问题，激发探究兴趣，明确本课目标——研究有理数的乘法。 二、探究1 有理数的乘法法则 探究点1：有理数的乘法运算。 问题1：一只蜗牛，沿一条东西方向的跑道，以每分钟3分米的速度一直向东爬行。记蜗牛原来的位置为点O，那么在3分钟后、2分钟后、1分钟后、0分钟以及1分钟前、2分钟前、3分钟前，它分别位于这一点的哪个方向？相距多少？分别用算式表示。 （蜗牛沿东西方向跑道运动的示意图） 填一填： (1)如果这只蜗牛向右爬行2厘米记为+2厘米，那么向左爬行2厘米应记为＿＿；(2)如果3分钟后记为+3分钟，那么3分钟前应记为＿＿。 追问1：观察下面的四个乘法算式，你能发现什么规律吗？ 3×3=9，3×2=6，3×1=3，3×0=0。规律：随着后一乘数逐次递减1，积逐次递减3。 追问2：观察下面的三个乘法算式，说明以上规律在引入负数后是否仍然成立？（结合蜗牛1分钟前、2分钟前、3分钟前的位置思考） 3×(−1)=−3；3×(−2)=−6；3×(−3)=−9。 问题2：两只小虫，在同一地点O处，它们沿一条东西方向的跑道爬行。若一只分别以每分钟3米、2米、1米、0米的速度向东爬行3分钟，另一只分别以每分钟1米、2米、3米的速度向西爬行3分钟，那么它们爬行后的位置分别在这一点的哪个方向？相距多少米？ 追问1：观察下面的算式，你又能发现什么规律吗？ 3×3=9，2×3=6，1×3=3，0×3=0。规律：随着前一乘数逐次递减1，积逐次递减3。 追问2：要使这个规律在引入负数后仍然成立，那么应有 (−1)×3=−3；(−2)×3=−6；(−3)×3=−9。 追问3：从符号和绝对值两个角度观察上述算式，你发现有什么规律？ 【归纳总结】①从符号角度观察：正数乘正数，积为正数；正数乘负数，积为负数；负数乘正数，积为负数。②从绝对值角度观察：积的绝对值等于各乘数绝对值的积。 问题3：一直小虫，沿一条东西方向的跑道，以每分钟3米的速度一直向西爬行。在3分钟后、2分钟后、1分钟后、0分钟以及1分钟前、2分钟前、3分钟前，分别位于这一点哪个方向？相距多少米？ 追问1：利用上面归纳的结论计算下面的算式，你发现什么规律？ (−3)×3=−9，(−3)×2=−6，(−3)×1=−3，(−3)×0=0。规律：随着后一乘数逐次递减1，积逐次增加3。 追问2：按照上述规律，下面的空格可以各填什么数？从中可归纳出什么结论？ (−3)×(−1)=＿＿；(−3)×(−2)=＿＿；(−3)×(−3)=＿＿。 【归纳总结】负数乘负数，积为正数，乘积的绝对值等于各乘数绝对值的积。 问题4：你能从中归纳出有理数乘法的法则吗？（即结果的符号怎么定？绝对值怎么算？） 有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0。 符号表示如下：设 a、b 为正有理数，c 为任意有理数，则 (+a)(+b)=a×b，(−a)(−b)=a×b，(−a)(+b)=−(a×b)，(+a)(−b)=−(a×b)，c×0=0，0×c=0。 显然，两个有理数相乘，积是一个有理数。 问题5：讨论，进一步深化理解有理数乘法的符号法则。 (1)若 a<0，b>0，则 ab＿＿0；(2)若 a<0，b<0，则 ab＿＿0；(3)若 ab>0，则 a、b 应满足什么条件？(4)若 ab<0，则 a、b 应满足什么条件？ 答案：(1)<；(2)>；(3)a、b 同号；(4)a、b 异号。 例1（教材P39【例1】）归纳：有理数乘法的求解步骤——先确定积的符号，再确定积的绝对值。 【解题反思】观察 T(1) 中的 8×(−1)=−8，你有什么发现？结论：一个数同 −1 相乘，得原数的相反数。 【针对性训练】教材P40练习T1。 借助蜗牛、小虫在数轴上运动，填写正负号；观察各算式组，用“乘数逐次递减1、积逐次递减或增加”归纳规律并推广到负数；从符号与绝对值两个角度概括积的规律，填写法则与符号空中，判断积的正负条件。 以蜗牛、小虫在数轴上的运动创设情境，从“乘法表示相同数相加”和“规律推广到负数”两条途径呈现正数乘负数、负数乘正数和负数乘负数，完整经历“算式—观察—归纳—概括”的过程，自然得出乘法符号法则，渗透数形结合与分类讨论思想。 三、探究2 倒数 探究点2：倒数。 问题1：观察例1 中的算式，你有什么特点？ 要点归纳：有理数中仍然有——乘积是1的两个数互为倒数。 问题2：数 a（a≠0）的倒数是什么？在这里为什么规定 a≠0？ 答案：a（a≠0）的倒数是。因为 0 与任何数相乘都得0，不可能等于1，所以0没有倒数。 例2：用正负数表示气温的变化量，上升为正、下降为负。登山队攀登一座山峰，每登高1 km，气温的变化量为 −6 ℃，攀登3 km后，气温有什么变化？ 解：(−6)×3=−18（℃）。答：气温下降18℃。 【针对性训练】教材P40练习T2、T3。 【解题反思】利用有理数乘法解决实际问题，先要把实际问题转化为数学问题，建立有理数乘法算式，再根据法则计算得出结论。 观察乘积为1的算式，归纳倒数的定义；口答 a（a≠0）的倒数，讨论为什么规定 a≠0；结合登山气温情境列式计算气温变化，完成针对性练习。 由具体算例抽象出倒数的概念，明确0没有倒数的原因；以“气温随高度变化”的实际问题应用有理数乘法，体会数学建模，巩固符号法则与实际应用能力。 四、当堂检测 1.一个有理数与其相反数的积（　　） A.符号必定为正　　B.符号必定为负　C.一定不大于零　D.一定不小于零 答案：选C。设这个数为 a，则 a×(−a)=−a≤0，即积一定不大于零。 2.下列说法错误的是（　　） A.任何有理数都有倒数　B.互为倒数的两个数的积为1　C.互为倒数的两个数同号　D.1和−1互为负倒数 答案：选A。0没有倒数。 3.填空： (1)−7的倒数是＿＿，它的相反数是＿＿，它的绝对值是＿＿；(2)−2的倒数是＿＿，−2.5的倒数是＿＿；(3)，倒数等于它本身的有理数是＿＿。 答案：(1)−，7，7；(2)−，−；(3)1和−1。 4.计算： (1)2×(−4)；(2)(−)×(−)。 (3)(−10.8)×(−)；(4)(−3)×0。 答案：(1)原式=−(2×)×4=−10；(2)原式=+×=；(3)原式=10.8×=×=2；(4)原式=0。 独立完成选择题、倒数的填空与计算，依照“先定符号，再算绝对值”的步骤规范书写，同桌互批、订正错因。 当堂检验有理数乘法法则、符号法则与倒数的掌握情况，题目覆盖异号、同号、含零及整数、分数、带分数、小数多种形式，暴露并矫正易错点。 五、交流反思 （课堂小结） 今天我们学习了哪些知识？ 1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积；任何数与0相乘，都得0。 2.有理数乘法的求解步骤：有理数相乘，先确定积的符号，再确定积的绝对值。 3.乘积是1的两个数互为倒数。 回顾有理数乘法法则、求解步骤与倒数的概念，口述法则并互相补充。 系统梳理本节核心——乘法符号法则、求解步骤与倒数定义，突出“先定符号、再算绝对值”，帮助学生形成清晰的知识结构。 六、作业布置 必做： 教材P40练习T1、T2、T3；P47 习题T1、2、3。 选做： 判断下列说法是否正确：①任何有理数都有相反数；②互为倒数的两个数的积为1；③积为正的两个数一定同号；④一个数同 −1 相乘，得原数本身。 记录作业内容。 分层布置：必做题巩固乘法法则与倒数的运算，选做题以判断题深化对符号法则与相反数的理解，强化“先定符号”的意识。 板书设计 2.2 有理数的乘法与除法 2.2.1 有理数的乘法（第1课时） 一、有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负 积的绝对值＝乘数绝对值的积；任何数与0相乘都得0 求解步骤：先定符号 → 再算绝对值 二、倒数 乘积是1的两个数互为倒数 a（a≠0）的倒数可用分数表示（分子1、分母a）；0没有倒数 三、典型应用 例1（P39例1）　例2（气温变化） 板演：例1 例2 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $