2.2 有理数的乘法与除法 同步讲义 2026--2027学年人教版七年级数学上册

本讲义聚焦有理数的乘法与除法核心知识点，系统梳理乘法法则（同号得正，异号得负，绝对值相乘）、除法法则（转化为乘法，同号得正，异号得负）及乘除混合运算顺序，衔接倒数概念与运算律，构建从单一运算到综合应用的学习支架。 资料亮点在于融入从特殊到一般的归纳思想与化归思想，通过温度变化等现实模型理解“负负得正”培养数学眼光，设计新定义运算、数轴与乘除结合等题型提升运算能力与推理意识，课中辅助教师突破难点，课后分层练习助力学生查漏补缺。

2.2有理数的乘法与除法 学习目标导航 1、掌握有理数的乘除法法则：理解并熟记“两数相乘（除），同号得正，异号得负，并把绝对值相乘（除）”的规则，能准确进行有理数的乘除运算。 2、掌握乘除混合运算：能将有理数的乘除混合运算统一转化为乘法运算，并遵循“从左到右”的运算顺序进行计算。 3、体会数学思想方法：在探究法则的过程中，体会从特殊到一般的归纳思想、分类讨论思想以及“化归”思想（将除法转化为乘法）。 重点：有理数乘法与除法的运算法则：特别是符号的确定规则（同号得正，异号得负），这是所有运算的基础。 难点：理解“负负得正”的合理性：从逻辑和现实模型（如温度变化、水位升降）角度理解两个负数相乘结果为正数的意义，而非机械记忆。 洞悉◆教材知识 知识点01 有理数的乘法法则 ①两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积； ②任何数同0相乘，都得0； ③几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数的个数是偶数时，积是正数，负因数的个数是奇数时，积是负数。 注意：乘积是1的两个有理数互为倒数；正数的倒数是正数；负数的倒数是负数；0没有倒数. 例如：1；1 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 知识点02 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：ab＝ba. （2）乘法结合律：（ab）c＝ a（bc） （3）乘法分配律：a（b＋c）＝ ab＋ac 知识点03 确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 知识点04 有理数除法法则 1. 有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：。 2. 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。 3. 0除以任何一个不等于0的数，都得0。 4. 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 5. 有理数的加减乘除混合运算：乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算括号里面的，分数可以理解为分子除以分母。 6. 有理数的和、差、积、商仍然是有理数。 【注意】： 1. 核心法则：同号得正，异号得负，除以一个不为0的数，等于乘它的倒数； 2. 运算步骤：先定符号，再将除法转化为乘法，约分计算； 3. 特殊规则：0除以任何非0数得0，0不能作为除数。 核心题型◆归纳 题型01 有理数的乘法及其简便运算 题型02 绝对值与有理数的乘法 题型03 有理数乘法中的新定义运算 题型04 有理数的倒数及其性质的应用 题型05 有理数的除法及其混合运算 题型06 繁分数的化简 题型07 数轴与有理数的混合运算 题型8有理数的乘除混合运算之新定义型问题 题型9有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 题型解析◆精准备考 题型01 有理数的乘法及其简便运算 【典例1】计算： ①（﹣5）×（﹣8） ②（﹣1）×（+1） ③（﹣2011）×0 ④． 【变式1】计算： （1）2.9×（﹣0.4）； （2）﹣30.5×0.2； （3）100×（﹣0.001）； （4）﹣4.8×（﹣1.25）； （5）﹣7.6×0.03； （6）﹣4.5×（﹣0.32）． 【变式2】计算： （1）﹣2×7×（﹣4）×（﹣2.5）． （2）（）×（﹣24）×（+1）． （3）（﹣4）×499.70×（﹣1）． 题型02 绝对值与有理数的乘法 【典例1】若|a|＝5，|b|＝3，且ab＞0，则a﹣b的值是（　　） A．2或8 B．﹣2或﹣8 C．2或﹣2 D．2或﹣8 【变式1】已知|x|＝3，|y|＝7，且x﹣y＞0，xy＜0，则x+y的值为（　　） A．﹣10 B．﹣4 C．﹣10或﹣4 D．4 【变式2】已知|a|＝3．|b|＝4，且a＞b，则ab的值为（　　） A．±12 B．±1 C．1或﹣7 D．7或﹣1 题型03 有理数乘法中的新定义运算 【典例1】对于有理数a、b，定义运算：a⊗b＝（a+1）（b﹣1），计算（﹣3）⊗4的值＝　 　 ． 【变式1】若定义新运算：a△b＝（﹣2）×a×3×b，请利用此定义计算：（1△2）△（﹣3）＝　 　 ． 【变式2】规定运算⊕，a⊕b＝ab+1，求：（1）（﹣2）⊕3；（2）[（﹣1）⊕2]⊕（﹣3）． 题型04 有理数的倒数及其性质的应用 【典例1】的倒数是（　　） A．﹣6 B．6 C． D． 【变式1】|﹣3|的倒数是（　　） A．3 B． C．﹣3 D． 【变式2】如果ab＝﹣1，则称a、b互为“负倒数”．那么﹣3的“负倒数”等于　 ． 题型05 有理数的除法及其混合运算 【典例1】计算：①（﹣16.8）÷（﹣3）； ②； ③； ④； ⑤﹣18÷（+3.25）． 【变式1】计算： （1）﹣8+（﹣15）÷（﹣5） （2）（） （3）5 （4）（﹣24）． 【变式2】计算： （1）0÷（）； （2）； （3）； （4）． 题型06 繁分数的化简 【典例1】下列化简：①3；②7；③1；④；⑤．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】化简下列分数： （1）． （2）． （3）． 【变式2】化简下列分数： （1）； （2）； （3）． 题型07 数轴与有理数的混合运算 【典例1】已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a（a+b）＜0 B．a﹣b＜0 C． D．|a|＞|b| 【变式1】若a，b为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，以下计算正确的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．a÷b＞0 【变式2】如图，已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列关系中，正确的是（　　） A．a+c＞0 B．abc＜0 C．a﹣b＞0 D． 【题型8 有理数的乘除混合运算之新定义型问题】 【典例1】中考新趋势•新定义 若规定：，例如：，试求的值． 【变式1】定义新运算“※”：对于有理数a，b（a，b都不为0），．例如：．求的值． 【题型9 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】 【典例1】分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)已知是有理数，当时，试求的值． 【变式1】有理数在数轴上对应点的位置如图所示． (1)______0；（填“”或“”） (2)化简：． 1．计算：（   ） A．3 B． C． D．5 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．计算 的结果是（   ） A．6 B．8 C． D． 4．有6筐水果，以每筐20千克为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称后记录如下：1.5，，2，，，．这6筐水果总重量为（    ） A．112千克 B．115.5千克 C．123.5千克 D．131.5千克 5．计算 ______． 6．_________． 7．实验测得，海拔每增加，气温大约下降．小王所在位置的气温是，如果当时地面的气温是，则小王所在位置离地面的高度大约为___________． 8．计算： (1) (2)； (3) (4)． 9．若是有理数，且，则（    ） A．1或 B．或3 C．1或 D．3或 10．若，，，则下列结论正确的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 11．若a、b都是不为零的数，则的结果为（    ） A．0或 B．2或 C．0或2 D．或0 12．小明从一条东西走向的人行道上某一点出发，以每秒12米的速度向东奔跑3秒后，立即改变方向，又以每秒4米的速度向西奔跑5秒后停止．若规定向东为正，向西为负，则上述过程写成算式是（    ） A． B． C． D． 13．已知，均为有理数，现定义一种新的运算“※”，规定：．则的值是_____． 14．计算＝_______ ． 15．已知，，且，求的值． 16．计算： (1)； (2)． 17．有理数在数轴上对应点的位置如图所示． (1)______0；（填“”或“”） (2)化简：． 18．某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下． （单位：） (1)在第几次记录时距A地最远． (2)求收工时在A地的什么方向？距A地多远？ (3)若每千米耗油0.3升，问共耗油多少升？ 19．若，，且，则的值为() A． B． C．1或 D．5或． 20．如果有4个不同的正整数，，，满足，那么的值为（   ） A．8080 B．8100 C．8084 D．8096 21．a，b为非零有理数，则的值为（　　） A．3 B． C．3或 D． 22．已知，则___________． 23．__________． 24．已知，则的所有可能值为______． 25．若，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 26．计算： 27．阅读材料即当时，；当时，，用这个结论解决下列问题： (1)已知数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则________； (2)已知a，b是有理数，当时， _________； (3)若，则_________． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2有理数的乘法与除法 学习目标导航 1、掌握有理数的乘除法法则：理解并熟记“两数相乘（除），同号得正，异号得负，并把绝对值相乘（除）”的规则，能准确进行有理数的乘除运算。 2、掌握乘除混合运算：能将有理数的乘除混合运算统一转化为乘法运算，并遵循“从左到右”的运算顺序进行计算。 3、体会数学思想方法：在探究法则的过程中，体会从特殊到一般的归纳思想、分类讨论思想以及“化归”思想（将除法转化为乘法）。 重点：有理数乘法与除法的运算法则：特别是符号的确定规则（同号得正，异号得负），这是所有运算的基础。 难点：理解“负负得正”的合理性：从逻辑和现实模型（如温度变化、水位升降）角度理解两个负数相乘结果为正数的意义，而非机械记忆。 洞悉◆教材知识 知识点01 有理数的乘法法则 ①两数相乘，同号得正，异号得负，且积的绝对值等于乘数的绝对值的积； ②任何数同0相乘，都得0； ③几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：负因数的个数是偶数时，积是正数，负因数的个数是奇数时，积是负数。 注意：乘积是1的两个有理数互为倒数；正数的倒数是正数；负数的倒数是负数；0没有倒数. 例如：1；1 倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数. 【注意】：①0没有倒数；②倒数等于它本身的数有1和-1. 知识点02 有理数的乘法运算律 （1）乘法交换律：ab＝ba. （2）乘法结合律：（ab）c＝ a（bc） （3）乘法分配律：a（b＋c）＝ ab＋ac 知识点03 确定乘积符号 （1）若a＜0，b＞0，则ab < 0；（2）若a＜0，b＜0，则ab > 0；（3）若ab＞0，则a、b同号； （4）若ab＜0，则a、b异号；（5）若ab = 0，则a、b中至少有一个数为0. 知识点04 有理数除法法则 1. 有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：。 2. 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。 3. 0除以任何一个不等于0的数，都得0。 4. 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 5. 有理数的加减乘除混合运算：乘除混合运算要“从左到右”运算，有括号的先算括号里面的，分数可以理解为分子除以分母。 6. 有理数的和、差、积、商仍然是有理数。 【注意】： 1. 核心法则：同号得正，异号得负，除以一个不为0的数，等于乘它的倒数； 2. 运算步骤：先定符号，再将除法转化为乘法，约分计算； 3. 特殊规则：0除以任何非0数得0，0不能作为除数。 核心题型◆归纳 题型01 有理数的乘法及其简便运算 题型02 绝对值与有理数的乘法 题型03 有理数乘法中的新定义运算 题型04 有理数的倒数及其性质的应用 题型05 有理数的除法及其混合运算 题型06 繁分数的化简 题型07 数轴与有理数的混合运算 题型8有理数的乘除混合运算之新定义型问题 题型9有理数的除法中绝对值之分类讨论问题 A组 基础巩固 B组 拔高提升 C组 思维拓展 题型解析◆精准备考 题型01 有理数的乘法及其简便运算 【典例1】计算： ①（﹣5）×（﹣8） ②（﹣1）×（+1） ③（﹣2011）×0 ④． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①（﹣5）×（﹣8）＝40； ②（﹣1）×（+1）2； ③（﹣2011）×0＝0； ④． 【变式1】计算： （1）2.9×（﹣0.4）； （2）﹣30.5×0.2； （3）100×（﹣0.001）； （4）﹣4.8×（﹣1.25）； （5）﹣7.6×0.03； （6）﹣4.5×（﹣0.32）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）2.9×（﹣0.4）＝﹣2.9×0.4＝﹣1.16； （2）﹣30.5×0.2＝﹣6.1； （3）100×（﹣0.001）＝﹣100×0.001＝﹣0.1； （4）﹣4.8×（﹣1.25）＝+（4.8×1.25）＝6； （5）﹣7.6×0.03＝﹣0.228； （6）﹣4.5×（﹣0.32）＝+（4.5×0.32）＝1.44． 【变式2】计算： （1）﹣2×7×（﹣4）×（﹣2.5）． （2）（）×（﹣24）×（+1）． （3）（﹣4）×499.70×（﹣1）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝﹣（2×7×4×2.5）＝﹣140； （2）原式2436； （3）原式＝0． 题型02 绝对值与有理数的乘法 【典例1】若|a|＝5，|b|＝3，且ab＞0，则a﹣b的值是（　　） A．2或8 B．﹣2或﹣8 C．2或﹣2 D．2或﹣8 【答案】C 【解答】解：因为|a|＝5，|b|＝3， 所以a＝±5，b＝±3， 所以ab＞0， 所以a＞0，b＞0或a＜0，b＜0， 所以a＝5，b＝3或a＝﹣5，b＝﹣3． 当a＝5，b＝3时，a﹣b＝5﹣3＝2； 当a＝﹣5，b＝﹣3时，a﹣b＝﹣5﹣（﹣3）＝﹣5+3＝﹣2． 故选：C． 【变式1】已知|x|＝3，|y|＝7，且x﹣y＞0，xy＜0，则x+y的值为（　　） A．﹣10 B．﹣4 C．﹣10或﹣4 D．4 【答案】B 【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝7， ∴x＝±3，y＝±7， ∵x﹣y＞0，xy＜0， ∴x＝3，y＝﹣7， ∴x+y＝3+（﹣7）＝﹣4． 故选：B． 【变式2】已知|a|＝3．|b|＝4，且a＞b，则ab的值为（　　） A．±12 B．±1 C．1或﹣7 D．7或﹣1 【答案】A 【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝4， ∴a＝±3，b＝±4， ∵a＞b， ∴当a＝3，b＝﹣4时，ab＝3×（﹣4）＝﹣12， 当a＝﹣3，b＝﹣4时，ab＝（﹣3）×（﹣4）＝12， 综上所述，ab的值为±12． 故选：A． 题型03 有理数乘法中的新定义运算 【典例1】对于有理数a、b，定义运算：a⊗b＝（a+1）（b﹣1），计算（﹣3）⊗4的值＝　﹣6　 ． 【答案】﹣6． 【解答】解：∵a⊗b＝（a+1）（b﹣1）， ∴（﹣3）⊗4＝（﹣3+1）×（4﹣1）＝（﹣2）×3＝﹣6， 故答案为：﹣6． 【变式1】若定义新运算：a△b＝（﹣2）×a×3×b，请利用此定义计算：（1△2）△（﹣3）＝　﹣216　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：1△2＝（﹣2）×1×3×2＝﹣12， （1△2）△（﹣3）＝（﹣12）△（﹣3）＝（﹣2）×（﹣12）×3×（﹣3）＝﹣216． 故答案为：﹣216． 【变式2】规定运算⊕，a⊕b＝ab+1，求：（1）（﹣2）⊕3；（2）[（﹣1）⊕2]⊕（﹣3）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（﹣2）⊕3＝（﹣2）×3+1＝﹣5； （2））[（﹣1）⊕2]⊕（﹣3） ＝（﹣1×2+1）⊕（﹣3） ＝（﹣1）⊕（﹣3） ＝（﹣1）×（﹣3）+1 ＝4． 题型04 有理数的倒数及其性质的应用 【典例1】的倒数是（　　） A．﹣6 B．6 C． D． 【答案】B 【解答】解：∵61， ∴的倒数为：6． 故选：B． 【变式1】|﹣3|的倒数是（　　） A．3 B． C．﹣3 D． 【答案】B 【解答】解：∵|﹣3|＝3，3的倒数是， ∴|﹣3|的倒数是． 故选：B． 【变式2】如果ab＝﹣1，则称a、b互为“负倒数”．那么﹣3的“负倒数”等于　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意，得﹣3的负倒数等于． 故答案为：． 题型05 有理数的除法及其混合运算 【典例1】计算：①（﹣16.8）÷（﹣3）； ②； ③； ④； ⑤﹣18÷（+3.25）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①原式＝16.8÷3， ＝16.8， ＝5.6； ②原式， ， ； ③原式， ， ； ④原式＝1.25÷0.5， ， ＝4； ⑤原式＝18÷3.25÷2， ＝18， ． 【变式1】计算： （1）﹣8+（﹣15）÷（﹣5） （2）（） （3）5 （4）（﹣24）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）﹣8+（﹣15）÷（﹣5） ＝﹣8+3 ＝﹣5； （2）（） ＝（）×（） ； （3）5 ＝5﹣32×（﹣2） ＝8； （4）（﹣24） ＝﹣24 ＝﹣144． 题型06 繁分数的化简 【典例1】下列化简：①3；②7；③1；④；⑤．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：①3，正确； ②7，正确； ③1，错误，正确答案为36； ④，正确； ⑤，错误，正确答案为． 其中正确的有3个． 故选：C． 【变式1】化简下列分数： （1）． （2）． （3）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）． （2）20． （3）0． 【变式2】化简下列分数： （1）； （2）； （3）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）9； （2）； （3）． 题型07 数轴与有理数的混合运算 【典例1】已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（　　） A．a（a+b）＜0 B．a﹣b＜0 C． D．|a|＞|b| 【答案】C 【解答】解：由数轴得b＜a＜0， A、∵b＜a＜0， ∴a+b＜0， ∴a（a+b）＞0， 故A选项错误； B、∵b＜a＜0， ∴a﹣b＞0， 故B选项错误； C、∵b＜a＜0， ∴0， 故C选项正确； D、∵b＜a＜0， ∴|a|＜|b|， 故D选项错误． 故选：C． 【变式1】若a，b为有理数，它们在数轴上的位置如图所示，以下计算正确的是（　　） A．a+b＜0 B．a﹣b＜0 C．ab＞0 D．a÷b＞0 【答案】A 【解答】解：由a、b在数轴上的位置可知：a＞0，b＜0，且|a|＜|b|， ∴a+b＜0，ab＜0，a﹣b＞0，a÷b＜0． 故选：A． 【变式2】如图，已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列关系中，正确的是（　　） A．a+c＞0 B．abc＜0 C．a﹣b＞0 D． 【答案】D 【解答】解：由数轴得，﹣3＜a＜﹣2，﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1， ∴a+c＜0，abc＞0，a﹣b＜0，， 故选：D． 【题型8 有理数的乘除混合运算之新定义型问题】 【典例1】中考新趋势•新定义 若规定：，例如：，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【变式1】定义新运算“※”：对于有理数a，b（a，b都不为0），．例如：．求的值． 【答案】． 【详解】解：∵， ∴ ． 【题型9 有理数的除法中绝对值之分类讨论问题】 【典例1】分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)已知是有理数，当时，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或 【详解】（1）解：把代入得：； （2）解：∵， ∴； （3）解：由可分： 当时，则有； 当时，则有； 综上所述，的值为2或． 【变式1】有理数在数轴上对应点的位置如图所示． (1)______0；（填“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据数轴得：，， ∴； （2）解：∵， ∴； 1．计算：（   ） A．3 B． C． D．5 【答案】D 【知识点】两个有理数的乘法运算 【详解】解：． 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确． 3．计算 的结果是（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】A 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算．先根据有理数的乘法运算律计算，再计算减法即可． 【详解】解： 故选：A 4．有6筐水果，以每筐20千克为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称后记录如下：1.5，，2，，，．这6筐水果总重量为（    ） A．112千克 B．115.5千克 C．123.5千克 D．131.5千克 【答案】B 【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】先计算6筐水果的标准总重量，再计算所有重量偏差的和，最后将两者相加得到实际总重量． 【详解】解：（千克）． 答：这6筐水果总重量为115.5千克． 5．计算 ______． 【答案】6 【知识点】两个有理数的乘法运算 【详解】解：6． 6．_________． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法运算，需先确定积的符号，再计算数值部分，因式中有三个负因数，故结果为负，数值部分通过分数乘法约分简化后结果为1，因此最终结果为． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．实验测得，海拔每增加，气温大约下降．小王所在位置的气温是，如果当时地面的气温是，则小王所在位置离地面的高度大约为___________． 【答案】3 【知识点】有理数减法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键； 先计算地面与小王位置的气温差，再根据海拔每增加气温下降的关系，求高度． 【详解】解：∵地面气温为，小王所在位置气温为， ∴气温差为， ∵海拔每增加，气温下降， ∴高度增加为； 故答案为：3． 8．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】（1）先根据负因数个数确定乘积的符号，再约分计算即可； （2）多个有理数相乘，若有一个因数为，乘积为； （3）先确定乘积的符号，将小数化为分数后约分计算即可； （4）先根据负因数个数确定乘积符号，再约分计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 9．若是有理数，且，则（    ） A．1或 B．或3 C．1或 D．3或 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义、两个有理数的乘法运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】先根据绝对值和有理数的乘法法则求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ∴或 ∴或． 10．若，，，则下列结论正确的是（  ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【知识点】两个有理数的乘法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法，由可知与异号；结合，可得：且；再由，结合、，可得：． 【详解】解：， 与异号， 又， ，， ，且、， ， ，，． 故选：A． 11．若a、b都是不为零的数，则的结果为（    ） A．0或 B．2或 C．0或2 D．或0 【答案】D 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算、有理数的除法运算 【分析】本题主要考查绝对值的意义及有理数的运算，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键；根据绝对值的性质，对于非零数，的值为1或，取决于a的符号，由此问题可求解． 【详解】解：由题意可得： 当时，则有； 当时，则有； 当时，则有； 当时，则有； 故选D． 12．小明从一条东西走向的人行道上某一点出发，以每秒12米的速度向东奔跑3秒后，立即改变方向，又以每秒4米的速度向西奔跑5秒后停止．若规定向东为正，向西为负，则上述过程写成算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的混合运算的应用，熟练掌握以上知识点是关键．根据向东为正、向西为负的规定，分别计算两个阶段的位移并求和． 【详解】解：∵向东奔跑，速度每秒12米，时间3秒，向东为正，向西为负， ∴位移为， ∵向西奔跑，速度每秒4米，时间5秒， ∴位移为， ∴总位移为， 故选：D． 13．已知，均为有理数，现定义一种新的运算“※”，规定：．则的值是_____． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘法运算．根据新定义运算，转化为有理数的乘法运算解答即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为：． 14．计算＝_______ ． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据去括号法则去掉括号，再根据有理数的加法法则进行计算． 【详解】解： ． 故答案为：. 15．已知，，且，求的值． 【答案】15或 【知识点】绝对值方程、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】这是一道有理数运算的题目，关键是掌握绝对值的性质与有理数的运算法则． 由，，可得到a与b的取值； 然后结合，即可求出的值． 【详解】， ， ， ， 又， 或， 或， 故的值为15或． 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】利用乘法分配律进行解答即可． 【详解】（1）解： （2）解： 17．有理数在数轴上对应点的位置如图所示． (1)______0；（填“”或“”） (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、带有字母的绝对值化简问题、有理数的减法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的比较大小，有理数的除法运算． （1）根据数轴上右边的点表示的数总比左边的大，有理数的减法法则判断即可； （2）根据绝对值的性质去掉绝对值化简即可． 【详解】（1）解：根据数轴得：，， ∴； （2）解：∵， ∴； 18．某检修小组从A地出发，在东西向的马路上检修线路，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，一天中七次行驶记录如下． （单位：） (1)在第几次记录时距A地最远． (2)求收工时在A地的什么方向？距A地多远？ (3)若每千米耗油0.3升，问共耗油多少升？ 【答案】(1)第五次 (2)收工时在地正东方向，距地 (3)共耗油升 【知识点】正负数的实际应用、绝对值的几何意义、有理数加减混合运算的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）根据记录的数字，求出第一次第七次记录时，距地的距离，由此即可得； （2）将记录的数字相加求和即可； （3）将记录的数字的绝对值相加，再乘以每千米耗油量即可． 【详解】（1）解：第一次记录时：， 第二次记录时：， 第三次记录时：， 第四次记录时：， 第五次记录时：， 第六次记录时：， 第七次记录时：， 由此可知，在第五次记录时距地最远． （2）解： ， ∵规定向东行驶为正， ∴收工时在地正东方向，距地． （3）解： （升）， 答：共耗油升． 19．若，，且，则的值为() A． B． C．1或 D．5或． 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的乘法运算法则；由绝对值的意义，和各有两种取值，但根据可知和异号，因此只有两种可能组合，分别计算即可得到结果． 【详解】解：，或， ，或， 又，和异号． 当，时，， 当，时，， 的值为或． 故选：C． 20．如果有4个不同的正整数，，，满足，那么的值为（   ） A．8080 B．8100 C．8084 D．8096 【答案】B 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法． 一个正整数通过分解把它写为四个不同的整数的乘积，要考虑有两个正因数，两个负因数，从而再结合题意解决问题即可． 【详解】∵，， ∴可设， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 21．a，b为非零有理数，则的值为（　　） A．3 B． C．3或 D． 【答案】C 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了绝对值的意义、有理数的除法，解决本题的关键是确定的符号．分别讨论的正负，再根据有理数的除法，即可解答． 【详解】解：当且时，原式； 当且时，原式； 当且时，原式； 当且时，原式． 的值为3或． 故选：C． 22．已知，则___________． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零；由题意得且；即可求解； 【详解】解：∵ 且 ，且 ， ∴且； 解得，； ∴； 故答案为： 23．__________． 【答案】/ 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查了运算与技巧，先将公因数提出来，然后将分母进行裂项即可求解，根据式子的特点进行运算是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 24．已知，则的所有可能值为______． 【答案】3或7或 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数加法运算、有理数的除法运算 【分析】根据绝对值的性质，对a，b，c的正负性按负数个数分类讨论，分别计算代数式的值，即可得到所有可能结果． 【详解】解：根据绝对值的性质可知，对于非零数， 当时，，当时，， 按中负数的个数分类讨论如下. 1. 当a，b，c全为正数时，，则，，，， ∴原式； 2. 当a，b，c中有1个负数，2个正数时，， 则无论哪个数为负，， ， ∴原式； 3. 当a，b，c中有2个负数，1个正数时，， 则无论哪两个数为负，，， ∴原式； 4. 当a，b，c全为负数时，， 则，，，， ∴原式， 综上，所有可能值为3或7或． 25．若，． (1)若，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)2 (2)或2 【知识点】求一个数的绝对值、两个有理数的乘法运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查绝对值，有理数的运算，求代数式的值，掌握运算法则是解决问题的关键． （1）由，得，结合，得，代入计算即可； （2）由（1）得，结合得或，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， 则 ， ∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∵， ∴或， ∴或， 故的值为或2． 26．计算： 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，先根据小括号的个数确定符号，再根据互为倒数的两个数相乘，乘积为1，进行简便计算，从而得出结果． 【详解】解： ． 27．阅读材料即当时，；当时，，用这个结论解决下列问题： (1)已知数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则________； (2)已知a，b是有理数，当时， _________； (3)若，则_________． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】（1）由数轴得，再结合题干所给材料计算即可得出结果； （2）由题意可得，同号，再分两种情况，结合题干所给材料计算即可得出结果； （3）由题意可得，，全为正数或其中两个为负数，一个为正数，再分两种情况，结合题干所给材料计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由数轴得，， ∴； （2）解：∵a，b是有理数，， ∴，同号， 当，时，， 当，时，； 综上所述，或 （3）解：∵， ∴，，全为正数或其中两个为负数，一个为正数， 当，，全为正数时，， 当，，其中两个为负数，一个为正数时，不妨设，，，则， 综上所述，或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $