专题03 二次函数与反比例函数（期中真题汇编，山西专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦二次函数与反比例函数6大高频考点，汇编山西多地期中真题，突出情境化与实践性，适配九年级上册期中复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择|约10题|二次函数顶点坐标、平移、反比例函数性质|结合杂技表演抛物线（考点02）、发石车武器（考点04）等真实情境| |填空|约8题|二次函数对称性、函数值比较、反比例函数面积问题|设计“三位同学描述二次函数”（考点01）等开放探究题| |解答|约12题|二次函数实际应用（利润、滑行距离）、跨学科（物理电流电阻）|设置大同公园大门设计（考点04）、AI错题笔销售（考点04）等项目式学习题|

专题03 二次函数与反比例函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点02 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点03 二次函数与一元二次方程 考点04 实际问题与二次函数 考点05 反比例函数的图象和性质 考点06 实际问题与反比例函数 考点01 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·山西大同·期中）关于二次函数，下列说法正确的是 A. 函数图象的开口向下 B. 该函数的最大值是5 C. 函数图象的顶点坐标是 D. 当时，随的增大而减小 2．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）把抛物线经过平移得，平移方法是（       ） A. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 4．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）下面是三位同学对某个二次函数的描述．甲：图象的形状、开口方向与的相同；乙：顶点在轴上；丙：对称轴是．请你写出这个二次函数：　　　　　　　　　． 5．（25-26学年九上·山西大同·期中）已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为　　　　　．（用“”连接） 考点02 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·山西大同·期中）将二次函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）若函数 的图象经过第一、二、三象限，则二次函数 的大致图象是（       ） A.      B.      C.      D.      3．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）已知二次函数的图象如图所示，则（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）下面是小丽同学用配方法求二次三项式最值的过程： ． ． 当时，取得最小值，且最小值为． 请参照小丽的思路，回答下列问题： （1）求二次三项式的最值． （2）对于二次三项式（是常数，）． ①当时，求二次三项式（是常数）的最值． ②当时，二次三项式（是常数）存在最______（填“大”或“小”）值，最值为______． 6．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）（项目学习）学科实践 问题情境： 如图，某杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端处恰好弹跳到人梯顶端椅子处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点所在铅垂线的水平距离为时，身体离地面最高，已知，人梯到起跳点的水平距离为． 小试牛刀： 任务一：（1）请以点为坐标原点建立恰当的平面直角坐标系，并求出抛物线对应的二次函数表达式． 任务二：（2）求人梯的高． 攻坚克难： 任务三：（3）在演员起跳的过程中，当他距离地面的高度不低于时，观众能获得最佳观赏体验，但演员刚起跳时现场突发状况，风力突然增大，使得演员高度瞬间下降．求在这种情况下观众能获得最佳观赏体验时，演员所在位置的水平距离范围． 7．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的x，y的部分对应值如下表： x －1 0 1 2 3 y 5 1 －1 －1 1 则该二次函数图像的对称轴为直线　　　　　　　　． 考点03 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（     ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山西大同·期中）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（       ） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）已知抛物线，当时，有最大值，且抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）当___________时，随的增大而增大； （3）抛物线与轴的交点坐标为___________． 4．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）如图，二次函数的图象过坐标轴上、、三点． （1）求、、三点坐标和顶点坐标； （2）当时，求函数值的范围； （3）根据图象回答，当取何值时，函数值？ 考点04 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·山西大同·期中）项目式学习 材料一 大同公园是大同市最早的公园，承载着一代又一代大同人的美好记忆．下图为某项目小组为大同公园设计的公园大门上半部分的截面示意图，如图1所示，大门顶部呈抛物线型，水平横梁米，的最高点到的距离米，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 材料二   经过小组讨论，只有一条抛物线设计有些单一，为让大门更加美观，在原设计中再加入，两条抛物线型的结构，如图2所示，其中两条抛物线，关于所在直线对称．，，为框架，点是与的交点，点是与的交点，，，． 材料三   为了大门更加稳固，在图2的基础上再加入一个矩形的框架，如图3所示，其中点，在上，点，分别在，上，且，，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数关系式为 ①直接写出的长； ②要做一个与矩形框架同样大小的牌匾，上书“大同公园”四个大字，为使牌匾美观大气，需要矩形框架的宽度尽量做到最宽，请你求出的最大值． 2．（25-26学年九上·山西大同·期中）2025年，某教育科技公司推出一款适配新课标的“AI错题整理笔”，以每支150元的成本价生产，根据销售渠道数据，该款错题笔的日销售量（支）与销售价格（元/支）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格（元/支） 300 250 日销售量（支） 80 180 （1）试求出关于的函数表达式． （2）设该经销商销售这种AI错题整理笔的日销售利润为元，如果不考虑其他因素，求每支笔的销售价格为多少元时，日销售利润最大？最大的日销售利润是多少元？ 3．（25-26学年九上·山西大同·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 飞机着陆后滑行距离与滑行时间的关系探究 一架飞机着陆后滑行一段距离才能停下来，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间/秒 0 3 6 9 12 15 18 … 滑行距离/米 0 306 504 594 … 为观察与之间的关系，建立平面直角坐标系（如图），以为横坐标，为纵坐标． 任务： （1）请你描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们； （2）观察图象，可以看出这条曲线像我们学过的函数图象的一部分，请你直接写出该函数的解析式； （3）请问飞机着陆后滑行多远才能停下来． 4．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为米、垂直距离为米． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），求的取值范围， 5．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为　　　　　　　　　米. 6．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）2025年9月3日是抗战胜利80周年纪念日．我市飞龙商贸城某礼品店销售一种美观大方的九三阅兵纪念品，其进价为每套40元，按每套60元出售，平均每天可售出100套，后来经过市场调查发现，每套售价每降低1元，则平均每天的销售数量可增加10套，设这种纪念品每套售价降低元，平均每天可获利元 （1）写出与的函数关系式． （2）当该礼品店每套售价降低3元时，平均每天可获利多少元？ （3）该礼品店要想平均每天盈利2500元，可能吗？为什么？ 考点05 反比例函数的图象和性质 1．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）已知反比例函数，下列结论错误的是（       ） A. 其图象经过点 B. 随的增大而减小 C. 其图象位于第一、第三象限 D. 当时， 2．（25-26学年九上·山西运城·期中）关于反比例函数，下列说法不正确的是（     ） A. 点在它的图象上 B. 它的图象在第一、三象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 该图象关于直线对称 3．（25-26学年九上·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，第二象限内的点P是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，点B为AO的中点若△PAB的面积为3，则k的值为　　　　　． 4．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，且与轴和轴分别交于点和点． （1）求一次函数与反比例函数关系式及点D的坐标； （2）连接，已知为反比例函数图象上一点，且，求点的坐标． 5．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中点，的面积为5，则的值是　　　　　． 考点06 实际问题与反比例函数 1．（25-26学年九上·山西运城·期中）在研究电流和电阻的物理实验中，某蓄电池的电压为定值，实验人员记录了使用此蓄电池时，用电器的电流与电阻的关系如下图： （1）求出该函数的表达式； （2）当电流为时，电阻是______Ω；当电阻是时，电流是______A； （3）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻最小是多少？ 2．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 a 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 b … （1）                           ，                           ； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数（），结合表格信息，探究函数（）的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数（）的图象； ②写出函数（）的一条性质                           ． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为                           ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数与反比例函数 考点01 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点02 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点03 二次函数与一元二次方程 考点04 实际问题与二次函数 考点05 反比例函数的图象和性质 考点06 实际问题与反比例函数 考点01 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．C 2．B 3．A 4．【答案】 【分析】 根据已知条件知，此二次函数解析式为，且，据此可得； 【详解】 解：设函数解析式为，根据题意得，， 二次函数解析式是：， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及其解析式的形式． 5．【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质． 分别计算各点的函数值，进而比较即可． 【详解】 解：，，， 由于为常数，比较的大小即比较的大小． ， 因此． 故答案为：． 考点02 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．D 2．A 3．C 4．B 5．【答案】（1）最大值为     （2）① 最小值为；② 大，      【分析】 本题主要考查了整式的混合运算，灵活运用配方法是解决问题的关键． （1）先利用配方法得到，再利用非负数的性质得到，即可求出最大值； （2）先利用配方法得到， ① 当时，利用，可确定当时，有最小值； ② 当时，利用可确定当时，有最小值． (1) 小问详解： 解： ， 故当时，有最大值，最大值为； (2) 小问详解： 解： ； ① 当时，， ， 故当时，有最小值，最小值为； ② 当时，， ， 故当时，有最大值，最大值为； 故答案为：大，． 6．【答案】（1）以线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ， 点的坐标为． 跳起的演员距点所在铅垂线的水平距离为时，身体离地面最高， 抛物线顶点为． 设抛物线对应的二次函数表达式为． 点在抛物线上， ， 解得． 抛物线对应的二次函数表达式为； （2）； （3）与之间 【分析】 本题考查二次函数解应用题，涉及待定系数法确定函数表达式、已知自变量求函数值、解一元二次方程等知识，读懂题意，建立平面直角坐标系得到函数表达式是解决问题的关键． （1）以线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立平面直角坐标系即可，根据题意，在建好的坐标系中，数形结合，设出抛物线顶点式，利用待定系数法确定函数表达式即可得到答案； （2）根据题意，得到点的横坐标为4，代入（1）中所求表达式即可得到答案； （3）根据题意，令，解一元二次方程，分析结果即可得到答案． 【详解】 解：（1）略 （2）人梯到起跳点的水平距离为， 点的横坐标为4． 把代入中，得． 人梯的高为； （3）由于演员刚起跳时风力突然增大，使得演员高度瞬间下降，则此时高度变为． 当时，， 解得． ， 观众能获得最佳观赏体验时，演员所在位置的水平距离范围是距离起跳点所在铅垂线与之间． 7．【答案】x=1.5 【分析】在表格中寻找y值相等的一对坐标，其横坐标之和的一半即为对称轴. 【详解】解：观察表格可知（0,1）和（3,1）为关于对称轴对称的一对坐标，故对称轴为x=. 故答案为x=1.5 【点睛】观察表格数据，寻找关于对称对称的坐标点是解题关键. 考点03 二次函数与一元二次方程 1．C 2．A 3．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用顶点式求二次函数解析式即可； （2）分析抛物线的开口方向和对称轴，即可得出答案； （3）当时，代入抛物线解析式即可求出答案． (1) 小问详解： 解：抛物线，当时，有最大值， 抛物线的解析式为：， 抛物线过点（1，-3）， ， 解得， 此抛物线的解析式； (2) 小问详解： 解：抛物线的解析式， ， ∴抛物线开口向下， 且对称轴为， ∴当时，随的增大而增大． 故答案为：； (3) 小问详解： 解：当时， ， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 4．【答案】（1）点坐标为，点坐标为，点坐标为，顶点坐标为     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，利用图象法求不等式的解集等知识点． （1）令即可求解抛物线与坐标轴的交点，将一般式化为顶点式即可求解顶点坐标； （2）根据二次函数的图象与性质即可求解； （3）利用图象即可求解． (1) 小问详解： 解：对于， 当时，， 解得，， 点坐标为，点坐标为， 把代入可得， 点坐标为， 抛物线解析式为：，即， 顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：对称轴，开口向上， 当时，有最小值为， ∵ ∴时，对应点离对称轴较远，函数有最大值为5， ； (3) 小问详解： 解：抛物线经过轴上两点，，且抛物线开口向上， 当或时，抛物线在轴的上方，即． 考点04 实际问题与二次函数 1．【答案】（1）的函数解析式为     （2）①12米；②的最大值为米      【分析】 本题考查了二次函数的应用，理解题意求得函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意得到，，，然后利用待定系数法即可解答； （2）① 先联立与的解析式，求得点的横坐标，然后根据抛物线的对称性得到点的和坐标，即可解答；② 设，其中，则，表示出，然后利用二次函数的性质求得最大值即可． (1) 小问详解： 解：由题可知，，， 设抛物线的函数解析式为， 将，代入得 ， 解得： 的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：① ∵点是与的交点， ∴联立与的解析式，得 解得：或， ∴点是的横坐标为， ∵抛物线，关于所在直线对称，点是与的交点，，，， ∴点和点关于y轴对称， ∴点的横坐标为6， ∴， ∴的长为12； ② 设，其中，则， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 答：的最大值为米． 2．【答案】（1）与的函数表达式为     （2）每支的销售价为245元时，日销售利润最大，最大利润为18050元      【分析】 本题主要考查一次函数，二次函数的实际应用； （1）设关于的函数表达式为，待定系数法解二元一次方程组即可求出； （2）根据每日总利润每支利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． (1) 小问详解： 解：设与的函数表达式为， 由题意可知， ，解之得 ， 与的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：， ， 当时，有最大值，， 答：每支的销售价为245元时，日销售利润最大，最大利润为18050元． 3．【答案】（1） 如图所示为所求，      （2）     （3）飞机着陆后滑行600米才能停下      【分析】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键． （1）根据表格数据描点，然后用平滑的曲线依次连接各点即可； （2）由（1）中图象可知，该函数为二次函数，且经过原点，故设该函数解析式为，然后利用待定系数法解答即可； （3）根据（2）的解析式，利用二次函数的性质求得最值即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）中图象可知，该函数为二次函数，且经过原点， 故设该函数解析式为， 把，代入解析式， 得 解得 ， ∴该函数的解析式为； (3) 小问详解： 解：∵当滑行距离为最大值时，飞机停下， 由（2）可知，，其中，， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴的最大值为（米）， 答：飞机着陆后滑行600米才能停下． 4．【答案】（1）；② 石块能飞越防御墙；     （2）      【分析】 （1）① 根据题意得抛物线解析式为：，待定系数法求解析式即可求解； ② 根据题意，得出，将代入解析式计算，即可求解． （2）依题意得出，进而根据以及原点分别待定系数法求解析式即可求解． (1) 小问详解： 解：① ∵发射石块在空中飞行的最大高度为米， ∴抛物线解析式为：， 将点代入得，， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴， ② ∵点与点的水平距离为米、垂直距离为米． ∴， 当时，， 当时，， ∴石块能飞越防御墙； (2) 小问详解： ∵，， ∴ 当经过点，时， ，解得：. 当经过点，时， ，解得： ∴要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），的取值范围为 【点睛】 本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 5．【答案】0.5 【分析】 根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答． 【详解】 以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系， 由题意可得A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1) 设函数解析式为y=ax2+bx+c 把A. B. C三点分别代入得出c=2.5 同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1 解得a=2，b=−4，c=2.5. ∴y=2x2−4x+2.5=2(x−1)2+0.5. ∵2>0 ∴当x=1时,ymin=0.5米． 6．【答案】（1）     （2）2210元     （3）不可能平均每天盈利2500元      【分析】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）根据销售量乘以利润等于总利润即可求出函数关系式； （2）把代入（1）所求函数解析式求解即可； （3）方法一：把代入（1）所求函数解析式，然后判断方程是否有解即可； 方法二：利用二次函数的性质求出最大值，然后用最大值与2500比较即可得出结论． (1) 小问详解： 解：根据题意得； (2) 小问详解： 解：当时，（元） 答：平均每天可获利2210元． (3) 小问详解： 解：当时，， 整理得， ， 方程没有实数根， 即该礼品店不可能平均每天盈利2500元． 方法二： ， 时，有最大值，最大值为2250， 又， 所以该礼品店不可能平均每天盈利2500元． 考点05 反比例函数的图象和性质 1．B 2．C 3．【答案】-12． 【分析】 根据反比例函数系数k的几何意义得出的面积，再根据线段中点的性质可知，最后根据双曲线所在的象限即可求出k的值. 【详解】 如图，连接OP ∵点B为AO的中点，的面积为3 由反比例函数的几何意义得 则，即 又由反比例函数图象的性质可知 则 解得 故答案为：. 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象与性质、线段的中点，熟记反比例函数的性质是解题关键. 4．【答案】（1），，点的坐标为     （2）点的坐标为或      【分析】 本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中可求出m的值，把点A和点C的坐标代入一次函数解析式中可求出a、b的值，再联立两个函数解析式可得交点D的坐标； （2）根据一次函数解析式求出点B坐标，根据可求出点P的纵坐标，据此可得答案． (1) 小问详解： 解：把点代入得：， 反比例函数解析式为， 把点，代入得： ， 解得 ， 一次函数的解析式为， 联立两个解析式得 ， 解得 或 ， 点的坐标为； (2) 小问详解： 解：对于，当时，， 点， 点， ． ， ， ， ， 点的坐标为或． 5．【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数、三角形的面积公式和两点之间的距离，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 设点A的坐标为和为，则，先根据是的中点并结合题意，可得，从而可得，再根据三角形的面积公式可得的值，由此即可得k的值． 【详解】 解：设点A的坐标为， ∵A在反比例函数上， ∴． ∵轴， ∴，的长度为， ∵A在第二象限， ∴，． 设（，C在轴负半轴）， ∵是的中点， ∴的坐标为， ∵在轴上，纵坐标为0， ∴， ∴， ∴， ∵、在y轴上， ∴． ∵是直角三角形， ∴其面积为： ， ∵面积为5， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点06 实际问题与反比例函数 1．【答案】（1）     （2）；     （3）用电器的可变电阻最小是      【分析】 本题考查了由实际问题列反比例函数解表达式，需掌握待定系数法求函数表达式的方法； （1）用待定系数法求表达式即可； （2）分别将和代入求值即可； （3）先将代入求值，再根据函数性质得出结论即可． (1) 小问详解： 解：由图可知，用电器的电流是电阻的反比例函数， 设， 将，代入得：， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：将代入得：，则， ∴， 将代入得：； (3) 小问详解： 解：将代入，得：， 解得：， ∵，且， ∴随的增大而减小， 即当时，． 答：用电器的可变电阻最小是． 2．【答案】（1）2，     （2） 解：① 所作函数图象如下： ② 函数（）的一条性质为：当时，y随x的增大而减小；     （3）      【分析】 本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得电流与电阻R、之间关系为，然后根据表格可代入进行求解即可； （2）① 根据题中所给表格可描点、连线作出函数图象即可；② 根据函数图象可进行求解； （3）由题意可先画出（）的图象，然后根据函数图象可进行求解． (1) 小问详解： 解：由题意得：，， ∴电流与电阻R、之间关系为， ∴当时，则，解得：，即； 当时，则，即； 故答案为2，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由题意可先画出（）的图象，如图所示： ∴由图象可知：当时，的解集为； 故答案为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次函数与反比例函数 6大高频考点概览 考点01 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 考点02 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 考点03 二次函数与一元二次方程 考点04 实际问题与二次函数 考点05 反比例函数的图象和性质 考点06 实际问题与反比例函数 考点01 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．（25-26学年九上·山西大同·期中）关于二次函数，下列说法正确的是 A. 函数图象的开口向下 B. 该函数的最大值是5 C. 函数图象的顶点坐标是 D. 当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】 本题考查二次函数的图象及其性质，包括开口方向、顶点坐标、最值以及增减性，根据二次函数性质判断即可． 【详解】 解：A、，则开口向上，故本选项不符合题意； B、开口向上，函数有最小值5，无最大值，故本选项不符合题意； C、二次函数顶点坐标为，故本选项符合题意； D、对称轴为 ，开口向上，当时，y随x增大而增大，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）抛物线的顶点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了顶点式的顶点坐标，根据的顶点为求解，即可解题． 【详解】 解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 3．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）把抛物线经过平移得，平移方法是（       ） A. 向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B. 向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C. 向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D. 向右平移1个单位，再向上平移3个单位 【答案】A 【分析】 本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】 解：∵抛物线经过平移得，即， ∴平移方法是向左平移1个单位，再向下平移3个单位， 故选：A． 4．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）下面是三位同学对某个二次函数的描述．甲：图象的形状、开口方向与的相同；乙：顶点在轴上；丙：对称轴是．请你写出这个二次函数：　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据已知条件知，此二次函数解析式为，且，据此可得； 【详解】 解：设函数解析式为，根据题意得，， 二次函数解析式是：， 故答案为：． 【点睛】 本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质及其解析式的形式． 5．（25-26学年九上·山西大同·期中）已知点、、都在函数的图象上，则、、的大小关系为　　　　　．（用“”连接） 【答案】 【分析】 本题考查了二次函数的性质． 分别计算各点的函数值，进而比较即可． 【详解】 解：，，， 由于为常数，比较的大小即比较的大小． ， 因此． 故答案为：． 考点02 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 1．（25-26学年九上·山西大同·期中）将二次函数的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，解析式为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了二次函数图象的平移，先把一般式化为顶点式，再根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】 解：依题意， ∵向右平移2个单位，再向上平移1个单位， ∴ 故选：D． 2．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）若函数 的图象经过第一、二、三象限，则二次函数 的大致图象是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数图象与系数的关系．解决本题的关键是根据一次函数图象确定a、b的符号，进而判断二次函数的开口方向及对称轴位置． 本题可先由一次函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】 ∵函数的图象经过一、二、三象限， 二次函数 中，，， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，抛物线的顶点位于y轴正半轴上，只有选项A符合题意． 故选：A． 3．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）已知二次函数的图象如图所示，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】 解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 4．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）如图，抛物线经过点，交轴于点，其对称轴为直线，若对称轴上有一点，使的值最小，则点的坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查二次函数的对称轴，待定系数法求一次函数解析式等知识，根据二次函数的对称轴求出抛物线与x轴的另一交点，如图，设为C，根据对称性得到，进而得到当点M在线段上时，的值最小，然后根据待定系数法求直线解析式，最后把代入求解即可． 【详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线，， ∴点A关于直线的对称点为， 如图，设为点C，连接， ∴， ∴， ∴当点M在线段上时，的值最小， 设直线解析式为， 则 ， ∴ ， ∴， 当时，， ∴， 故选：B． 5．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）下面是小丽同学用配方法求二次三项式最值的过程： ． ． 当时，取得最小值，且最小值为． 请参照小丽的思路，回答下列问题： （1）求二次三项式的最值． （2）对于二次三项式（是常数，）． ①当时，求二次三项式（是常数）的最值． ②当时，二次三项式（是常数）存在最______（填“大”或“小”）值，最值为______． 【答案】（1）最大值为     （2）① 最小值为；② 大，      【分析】 本题主要考查了整式的混合运算，灵活运用配方法是解决问题的关键． （1）先利用配方法得到，再利用非负数的性质得到，即可求出最大值； （2）先利用配方法得到， ① 当时，利用，可确定当时，有最小值； ② 当时，利用可确定当时，有最小值． (1) 小问详解： 解： ， 故当时，有最大值，最大值为； (2) 小问详解： 解： ； ① 当时，， ， 故当时，有最小值，最小值为； ② 当时，， ， 故当时，有最大值，最大值为； 故答案为：大，． 6．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）（项目学习）学科实践 问题情境： 如图，某杂技团进行杂技表演，一名演员从跷跷板右端处恰好弹跳到人梯顶端椅子处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，跳起的演员距点所在铅垂线的水平距离为时，身体离地面最高，已知，人梯到起跳点的水平距离为． 小试牛刀： 任务一：（1）请以点为坐标原点建立恰当的平面直角坐标系，并求出抛物线对应的二次函数表达式． 任务二：（2）求人梯的高． 攻坚克难： 任务三：（3）在演员起跳的过程中，当他距离地面的高度不低于时，观众能获得最佳观赏体验，但演员刚起跳时现场突发状况，风力突然增大，使得演员高度瞬间下降．求在这种情况下观众能获得最佳观赏体验时，演员所在位置的水平距离范围． 【答案】（1）以线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示： ， 点的坐标为． 跳起的演员距点所在铅垂线的水平距离为时，身体离地面最高， 抛物线顶点为． 设抛物线对应的二次函数表达式为． 点在抛物线上， ， 解得． 抛物线对应的二次函数表达式为； （2）； （3）与之间 【分析】 本题考查二次函数解应用题，涉及待定系数法确定函数表达式、已知自变量求函数值、解一元二次方程等知识，读懂题意，建立平面直角坐标系得到函数表达式是解决问题的关键． （1）以线段所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立平面直角坐标系即可，根据题意，在建好的坐标系中，数形结合，设出抛物线顶点式，利用待定系数法确定函数表达式即可得到答案； （2）根据题意，得到点的横坐标为4，代入（1）中所求表达式即可得到答案； （3）根据题意，令，解一元二次方程，分析结果即可得到答案． 【详解】 解：（1）略 （2）人梯到起跳点的水平距离为， 点的横坐标为4． 把代入中，得． 人梯的高为； （3）由于演员刚起跳时风力突然增大，使得演员高度瞬间下降，则此时高度变为． 当时，， 解得． ， 观众能获得最佳观赏体验时，演员所在位置的水平距离范围是距离起跳点所在铅垂线与之间． 7．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的x，y的部分对应值如下表： x －1 0 1 2 3 y 5 1 －1 －1 1 则该二次函数图像的对称轴为直线　　　　　　　　． 【答案】x=1.5 【分析】在表格中寻找y值相等的一对坐标，其横坐标之和的一半即为对称轴. 【详解】解：观察表格可知（0,1）和（3,1）为关于对称轴对称的一对坐标，故对称轴为x=. 故答案为x=1.5 【点睛】观察表格数据，寻找关于对称对称的坐标点是解题关键. 考点03 二次函数与一元二次方程 1．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（     ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了估算一元二次方程的解．通过观察表格中的值与方程右边的1.1比较，确定解所在的范围即可． 【详解】 解：∵ 当时，， 当时，， ∴ 方程的解在和之间， 即． 故选：C． 2．（25-26学年九上·山西大同·期中）二次函数自变量与函数值的对应关系如下表，设一元二次方程的根为，，且，则下列说法正确的是（       ） 0 0.5 1 1.5 2 2.5 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解． 【详解】 解：由表格可得： 当时，； 当时，， 又∵一元二次方程的根为，，且， ∴，， 故选：A． 【点睛】 本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，结合表格中的数据找出方程（，a，b，c为常数）的一个解的近似值是解题的关键． 3．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）已知抛物线，当时，有最大值，且抛物线过点． （1）求抛物线的解析式； （2）当___________时，随的增大而增大； （3）抛物线与轴的交点坐标为___________． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题考查二次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用顶点式求二次函数解析式即可； （2）分析抛物线的开口方向和对称轴，即可得出答案； （3）当时，代入抛物线解析式即可求出答案． (1) 小问详解： 解：抛物线，当时，有最大值， 抛物线的解析式为：， 抛物线过点（1，-3）， ， 解得， 此抛物线的解析式； (2) 小问详解： 解：抛物线的解析式， ， ∴抛物线开口向下， 且对称轴为， ∴当时，随的增大而增大． 故答案为：； (3) 小问详解： 解：当时， ， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 4．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）如图，二次函数的图象过坐标轴上、、三点． （1）求、、三点坐标和顶点坐标； （2）当时，求函数值的范围； （3）根据图象回答，当取何值时，函数值？ 【答案】（1）点坐标为，点坐标为，点坐标为，顶点坐标为     （2）     （3）或      【分析】 本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，利用图象法求不等式的解集等知识点． （1）令即可求解抛物线与坐标轴的交点，将一般式化为顶点式即可求解顶点坐标； （2）根据二次函数的图象与性质即可求解； （3）利用图象即可求解． (1) 小问详解： 解：对于， 当时，， 解得，， 点坐标为，点坐标为， 把代入可得， 点坐标为， 抛物线解析式为：，即， 顶点坐标为； (2) 小问详解： 解：对称轴，开口向上， 当时，有最小值为， ∵ ∴时，对应点离对称轴较远，函数有最大值为5， ； (3) 小问详解： 解：抛物线经过轴上两点，，且抛物线开口向上， 当或时，抛物线在轴的上方，即． 考点04 实际问题与二次函数 1．（25-26学年九上·山西大同·期中）项目式学习 材料一 大同公园是大同市最早的公园，承载着一代又一代大同人的美好记忆．下图为某项目小组为大同公园设计的公园大门上半部分的截面示意图，如图1所示，大门顶部呈抛物线型，水平横梁米，的最高点到的距离米，以为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 材料二   经过小组讨论，只有一条抛物线设计有些单一，为让大门更加美观，在原设计中再加入，两条抛物线型的结构，如图2所示，其中两条抛物线，关于所在直线对称．，，为框架，点是与的交点，点是与的交点，，，． 材料三   为了大门更加稳固，在图2的基础上再加入一个矩形的框架，如图3所示，其中点，在上，点，分别在，上，且，，． （1）求抛物线的函数表达式； （2）已知抛物线的函数关系式为 ①直接写出的长； ②要做一个与矩形框架同样大小的牌匾，上书“大同公园”四个大字，为使牌匾美观大气，需要矩形框架的宽度尽量做到最宽，请你求出的最大值． 【答案】（1）的函数解析式为     （2）①12米；②的最大值为米      【分析】 本题考查了二次函数的应用，理解题意求得函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意得到，，，然后利用待定系数法即可解答； （2）① 先联立与的解析式，求得点的横坐标，然后根据抛物线的对称性得到点的和坐标，即可解答；② 设，其中，则，表示出，然后利用二次函数的性质求得最大值即可． (1) 小问详解： 解：由题可知，，， 设抛物线的函数解析式为， 将，代入得 ， 解得： 的函数解析式为； (2) 小问详解： 解：① ∵点是与的交点， ∴联立与的解析式，得 解得：或， ∴点是的横坐标为， ∵抛物线，关于所在直线对称，点是与的交点，，，， ∴点和点关于y轴对称， ∴点的横坐标为6， ∴， ∴的长为12； ② 设，其中，则， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 答：的最大值为米． 2．（25-26学年九上·山西大同·期中）2025年，某教育科技公司推出一款适配新课标的“AI错题整理笔”，以每支150元的成本价生产，根据销售渠道数据，该款错题笔的日销售量（支）与销售价格（元/支）存在一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售价格（元/支） 300 250 日销售量（支） 80 180 （1）试求出关于的函数表达式． （2）设该经销商销售这种AI错题整理笔的日销售利润为元，如果不考虑其他因素，求每支笔的销售价格为多少元时，日销售利润最大？最大的日销售利润是多少元？ 【答案】（1）与的函数表达式为     （2）每支的销售价为245元时，日销售利润最大，最大利润为18050元      【分析】 本题主要考查一次函数，二次函数的实际应用； （1）设关于的函数表达式为，待定系数法解二元一次方程组即可求出； （2）根据每日总利润每支利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． (1) 小问详解： 解：设与的函数表达式为， 由题意可知， ，解之得 ， 与的函数表达式为； (2) 小问详解： 解：， ， 当时，有最大值，， 答：每支的销售价为245元时，日销售利润最大，最大利润为18050元． 3．（25-26学年九上·山西大同·期中）阅读与思考 阅读下列材料，完成相应的任务． 飞机着陆后滑行距离与滑行时间的关系探究 一架飞机着陆后滑行一段距离才能停下来，为了得出滑行距离（单位：米）与滑行时间（单位：秒）之间的关系式，测得一些数据（如下表）： 滑行时间/秒 0 3 6 9 12 15 18 … 滑行距离/米 0 306 504 594 … 为观察与之间的关系，建立平面直角坐标系（如图），以为横坐标，为纵坐标． 任务： （1）请你描出表中数据对应的7个点，并用平滑的曲线连接它们； （2）观察图象，可以看出这条曲线像我们学过的函数图象的一部分，请你直接写出该函数的解析式； （3）请问飞机着陆后滑行多远才能停下来． 【答案】（1） 如图所示为所求，      （2）     （3）飞机着陆后滑行600米才能停下      【分析】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键． （1）根据表格数据描点，然后用平滑的曲线依次连接各点即可； （2）由（1）中图象可知，该函数为二次函数，且经过原点，故设该函数解析式为，然后利用待定系数法解答即可； （3）根据（2）的解析式，利用二次函数的性质求得最值即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：由（1）中图象可知，该函数为二次函数，且经过原点， 故设该函数解析式为， 把，代入解析式， 得 解得 ， ∴该函数的解析式为； (3) 小问详解： 解：∵当滑行距离为最大值时，飞机停下， 由（2）可知，，其中，， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴的最大值为（米）， 答：飞机着陆后滑行600米才能停下． 4．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，将发石车置于山坡底部处，以点为原点，水平方向为轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系，将发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分，山坡上有一堵防御墙，其竖直截面为，墙宽米，与轴平行，点与点的水平距离为米、垂直距离为米． （1）若发射石块在空中飞行的最大高度为米， ①求抛物线的解析式； ②试通过计算说明石块能否飞越防御墙； （2）若要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），求的取值范围， 【答案】（1）；② 石块能飞越防御墙；     （2）      【分析】 （1）① 根据题意得抛物线解析式为：，待定系数法求解析式即可求解； ② 根据题意，得出，将代入解析式计算，即可求解． （2）依题意得出，进而根据以及原点分别待定系数法求解析式即可求解． (1) 小问详解： 解：① ∵发射石块在空中飞行的最大高度为米， ∴抛物线解析式为：， 将点代入得，， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴， ② ∵点与点的水平距离为米、垂直距离为米． ∴， 当时，， 当时，， ∴石块能飞越防御墙； (2) 小问详解： ∵，， ∴ 当经过点，时， ，解得：. 当经过点，时， ，解得： ∴要使石块恰好落在防御墙顶部上（包括端点、），的取值范围为 【点睛】 本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 5．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为　　　　　　　　　米. 【答案】0.5 【分析】 根据题意，运用待定系数法，建立适当的函数解析式，代入求值即可解答． 【详解】 以左边树与地面交点为原点，地面水平线为x轴，左边树为y轴建立平面直角坐标系， 由题意可得A(0,2.5),B(2,2.5),C(0.5,1) 设函数解析式为y=ax2+bx+c 把A. B. C三点分别代入得出c=2.5 同时可得4a+2b+c=2.5，0.25a+0.5b+c=1 解得a=2，b=−4，c=2.5. ∴y=2x2−4x+2.5=2(x−1)2+0.5. ∵2>0 ∴当x=1时,ymin=0.5米． 6．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）2025年9月3日是抗战胜利80周年纪念日．我市飞龙商贸城某礼品店销售一种美观大方的九三阅兵纪念品，其进价为每套40元，按每套60元出售，平均每天可售出100套，后来经过市场调查发现，每套售价每降低1元，则平均每天的销售数量可增加10套，设这种纪念品每套售价降低元，平均每天可获利元 （1）写出与的函数关系式． （2）当该礼品店每套售价降低3元时，平均每天可获利多少元？ （3）该礼品店要想平均每天盈利2500元，可能吗？为什么？ 【答案】（1）     （2）2210元     （3）不可能平均每天盈利2500元      【分析】 本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）根据销售量乘以利润等于总利润即可求出函数关系式； （2）把代入（1）所求函数解析式求解即可； （3）方法一：把代入（1）所求函数解析式，然后判断方程是否有解即可； 方法二：利用二次函数的性质求出最大值，然后用最大值与2500比较即可得出结论． (1) 小问详解： 解：根据题意得； (2) 小问详解： 解：当时，（元） 答：平均每天可获利2210元． (3) 小问详解： 解：当时，， 整理得， ， 方程没有实数根， 即该礼品店不可能平均每天盈利2500元． 方法二： ， 时，有最大值，最大值为2250， 又， 所以该礼品店不可能平均每天盈利2500元． 考点05 反比例函数的图象和性质 1．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）已知反比例函数，下列结论错误的是（       ） A. 其图象经过点 B. 随的增大而减小 C. 其图象位于第一、第三象限 D. 当时， 【答案】B 【分析】 本题考查反比例函数的性质，由于 ，图象位于第一、三象限，且在每一象限内随增大而减小，再逐项验证是否符合性质即可． 【详解】 ∵ 反比例函数，， ∴ 图象位于第一、三象限，且在每一象限内随增大而减小； A．当时，， ∴ 图象经过点 ，正确； B．未限定“同一象限”或“”，直接说“随 增大而减小”错误； C．∵ ， ∴ 图象位于第一、三象限，正确； D．当时，， ∴当时，，且， ∴ ，正确． 故选：B． 2．（25-26学年九上·山西运城·期中）关于反比例函数，下列说法不正确的是（     ） A. 点在它的图象上 B. 它的图象在第一、三象限 C. 当时，随的增大而增大 D. 该图象关于直线对称 【答案】C 【分析】 本题考查反比例函数的图象性质，熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键． 根据反比例函数（）的性质，逐一判断各选项即可． 【详解】 解：反比例函数， 选项A、当时，，则点在图象上，A正确； 选项B、，则图象在第一、三象限，B正确； 选项C、当时，随的增大而减小，C错误； 选项D、若点在图象上，则，即，点也在图象上，则图象关于直线对称，D正确， 故选：C． 3．（25-26学年九上·山西运城·期中）如图，在平面直角坐标系中，第二象限内的点P是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，点B为AO的中点若△PAB的面积为3，则k的值为　　　　　． 【答案】-12． 【分析】 根据反比例函数系数k的几何意义得出的面积，再根据线段中点的性质可知，最后根据双曲线所在的象限即可求出k的值. 【详解】 如图，连接OP ∵点B为AO的中点，的面积为3 由反比例函数的几何意义得 则，即 又由反比例函数图象的性质可知 则 解得 故答案为：. 【点睛】 本题考查了反比例函数的图象与性质、线段的中点，熟记反比例函数的性质是解题关键. 4．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，且与轴和轴分别交于点和点． （1）求一次函数与反比例函数关系式及点D的坐标； （2）连接，已知为反比例函数图象上一点，且，求点的坐标． 【答案】（1），，点的坐标为     （2）点的坐标为或      【分析】 本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中可求出m的值，把点A和点C的坐标代入一次函数解析式中可求出a、b的值，再联立两个函数解析式可得交点D的坐标； （2）根据一次函数解析式求出点B坐标，根据可求出点P的纵坐标，据此可得答案． (1) 小问详解： 解：把点代入得：， 反比例函数解析式为， 把点，代入得： ， 解得 ， 一次函数的解析式为， 联立两个解析式得 ， 解得 或 ， 点的坐标为； (2) 小问详解： 解：对于，当时，， 点， 点， ． ， ， ， ， 点的坐标为或． 5．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作轴于点点是轴负半轴上一点，连接交轴于点，若是的中点，的面积为5，则的值是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了反比例函数、三角形的面积公式和两点之间的距离，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 设点A的坐标为和为，则，先根据是的中点并结合题意，可得，从而可得，再根据三角形的面积公式可得的值，由此即可得k的值． 【详解】 解：设点A的坐标为， ∵A在反比例函数上， ∴． ∵轴， ∴，的长度为， ∵A在第二象限， ∴，． 设（，C在轴负半轴）， ∵是的中点， ∴的坐标为， ∵在轴上，纵坐标为0， ∴， ∴， ∴， ∵、在y轴上， ∴． ∵是直角三角形， ∴其面积为： ， ∵面积为5， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考点06 实际问题与反比例函数 1．（25-26学年九上·山西运城·期中）在研究电流和电阻的物理实验中，某蓄电池的电压为定值，实验人员记录了使用此蓄电池时，用电器的电流与电阻的关系如下图： （1）求出该函数的表达式； （2）当电流为时，电阻是______Ω；当电阻是时，电流是______A； （3）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻最小是多少？ 【答案】（1）     （2）；     （3）用电器的可变电阻最小是      【分析】 本题考查了由实际问题列反比例函数解表达式，需掌握待定系数法求函数表达式的方法； （1）用待定系数法求表达式即可； （2）分别将和代入求值即可； （3）先将代入求值，再根据函数性质得出结论即可． (1) 小问详解： 解：由图可知，用电器的电流是电阻的反比例函数， 设， 将，代入得：， ∴， ∴． (2) 小问详解： 解：将代入得：，则， ∴， 将代入得：； (3) 小问详解： 解：将代入，得：， 解得：， ∵，且， ∴随的增大而减小， 即当时，． 答：用电器的可变电阻最小是． 2．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、之间关系为，通过实验得出如下数据： … 1 a 3 4 6 … … 4 3 2.4 2 b … （1）                           ，                           ； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数（），结合表格信息，探究函数（）的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数（）的图象； ②写出函数（）的一条性质                           ． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为                           ． 【答案】（1）2，     （2） 解：① 所作函数图象如下： ② 函数（）的一条性质为：当时，y随x的增大而减小；     （3）      【分析】 本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得电流与电阻R、之间关系为，然后根据表格可代入进行求解即可； （2）① 根据题中所给表格可描点、连线作出函数图象即可；② 根据函数图象可进行求解； （3）由题意可先画出（）的图象，然后根据函数图象可进行求解． (1) 小问详解： 解：由题意得：，， ∴电流与电阻R、之间关系为， ∴当时，则，解得：，即； 当时，则，即； 故答案为2，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：由题意可先画出（）的图象，如图所示： ∴由图象可知：当时，的解集为； 故答案为． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $