专题06 锐角三角函数（期中真题汇编，山西专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦锐角三角函数三大高频考点，精选山西多地期中试题，融合文化传承与实际应用，注重基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|3题|正弦余弦正切定义、网格中三角函数|结合正方形网格考查几何直观| |填空|1题|三角函数计算|基础运算与概念辨析| |解答|5题|解直角三角形、探究性问题、实际测量|万荣稷王庙测量体现文化情境，阅读材料题培养推理能力，无人机测量模型应用|

函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06锐角三角函数 3大高频考点概览 考点01正弦、余弦与正切 考点02解直角三角形 考点03应用举例 》 考点01正弦、余弦与正切 1. (25-26学年九上·山西运城期中)在Rt△ABC中，∠C=90口°，∠A、∠B、∠C的对边分别是 a、b、c.当已知∠A和a时，求c,应选择的关系式是( ) A.c=a sin A B.c=-a Cos A C.c=a'tan A D.c=a.sin A 2.(25-26学年九上山西临汾期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90口°，点D为AB的中点，连 接CD,若CD=3,cosB=,则AC的长为( ) A D B A.2 B.4 c.V D.2V▣ 3.(25-26学年九上·山西临汾·期中)∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为 A. B 6 1-5 C. 1-3 D. 1-2 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(25-26学年九上山西运城期中)计算：tan230▣°-1= 5.(25-26学年九上山西运城期中)阅读材料，回答问题： 小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在Rt△ABC中，如果∠C=90口°， ∠A=30▣°，BC=a=1,AC=b=V▣，AB=c=2,那么 2 sin A sin B 通过上网查阅资料，他又知“si90口°=1”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着 sinA sinB5inC的关系.” b C 这个关系对于任意一个三角形还适用吗？为此他做了如下的探究： A C 6 D C a B 图1 图2 图3 图4 (1)如图2，在Rt△ABC中，∠C=90▣°，BC=a,AC=b,AB=C. 请判断此时，0=b。C一的关系是否成立？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由： sin A sin B sinC (2)完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角△ABC,上述关系还成立吗？因此他又继续进行了如下 的探究： 如图3，在锐角△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c 过点C作CD⊥AB于D, ,在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90▣°， ‘sinA= sin B= b sin A sin B b sin A sin B 同理，过点A作AH⊥BC于H,可证，b =C sin B sin C sin A sin B sinC 请将上面的过程补充完整， (3)如图4，在△ABC中，如果∠B=60▣°，∠C=45口°，AB=2,那么AC=. 214 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 6.(25-26学年九上山西运城期中)(1)解方程：3x2-1=6x: (2)计算：1-2sin45口+π-tan30口P-6R□ 7.(25-26学年九上山西临汾·期中)计算： (1)2-+20 (2)(元-31°-4sin60☐°+□ 考点02解直角三角形 1.(25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中)阅读与思考 以下是乐学小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务。 关于邻等对补四边形的探索对于几何图形，通常是从它的定义、性质、判定等方面进行研究，且一般从 图形的组成元素及相关元素之间的关系展开探索，依照这样的研究路径我们小组对邻等对补四边形的性 质展开探索.【概念理解】至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作邻等对补四边形.如图1，四 边形ABCD中，AB=AD,∠ABC+∠ADC=180口°，则四边形ABCD是邻等对补四边形. D B 图1 【性质探索】类比特殊平行四边性质的学习，从此四边形的组成元素边、角、对角线展开探索.边：一 组邻边相等.内角：对角互补.对角线：在图1中连接CA,猜想CA平分∠BCD.在验证对角线的 性质猜想时，我们用了多种方法，具体方法如下：小华：从结论出发，我想到了构造两个全等的三角 形.··小伟：从条件出发，由于AB=AD,∠ABC+∠ADC=180口°，如果将△ACD绕点A 顺时针旋转，使AD与AB重合.、· 任务： (1)下列四边形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形，其中是邻等对补四边形的有 (填序号)； (2)求证：CA平分∠BCD(可以借助学习报告中小华或者小伟的方法)； (3)如图2，在Rt△ABC中，∠C=90口°，∠B=30口°，AB=10,请利用尺规作邻等对补四边形 ACEF,其中，点E,F分别在边BC,AB上.连接AE,并直接写出此时线段AE的长.（要求：作 出一种情况即可，保留作图痕迹，不写作法) 3/4 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C 图2 》 考点03应用举例 1. (25-26学年九上·山西运城·期中)万荣稷王庙位于山西省万荣县，是为祭祀中国古代农业神后稷而建 的庙宇，是中国现存唯一的北宋单檐庑殿顶木构建筑.学习了直角三角形的三边关系后，学校组织参观以 万荣稷王庙为主题的综合与实践活动.下面是某学习小组的活动记录 活动课题 测量万荣稷王庙的高度 活动目的 运用直角三角形的三边关系的相关知识解决实际问 题 方案示意图 45y入45"21 图1 图2 测量步骤 1.无人机在点A处以5m/s的速度竖直上升6s后， 飞行至点B处.2调整无人机位置，使得点A,B ，C,D,E均在同一竖直平面内，且点A,E在 同一水平线上且DE⊥AE.3.在点B处测得塔顶 D的俯角为21口°.4.然后沿水平方向向左飞行至 点C处，在点C处测得塔顶D和点A的俯角均为 45▣°. 参考数据 sin21☐°≈0.36， c0s21☐°≈0.93， tan21▣°≈0.38 应用 请根据以上数据计算DE的高度（结果精确到0.1 米). 请完成同学们提出的问题. 414 专题06 锐角三角函数 3大高频考点概览 考点01 正弦、余弦与正切 考点02 解直角三角形 考点03 应用举例 考点01 正弦、余弦与正切 1．（25-26学年九上·山西运城·期中）在中，，、、的对边分别是a、b、c．当已知和a时，求c，应选择的关系式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c则sinA=，由此即可得到答案． 【详解】 解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c ∴sinA=， ∴c=， 故选A． 【点睛】 本题主要考查解三角形，解题的关键是熟练运用三角函数的定义求解． 2．（25-26学年九上·山西临汾·期中）如图，在中，，点D为的中点，连接，若，，则的长为（       ） A. 2 B. 4 C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质勾股定理．根据直角三角形斜边中线的性质求得，由余弦函数求得，推出，再根据勾股定理求解即可． 【详解】 解：∵，点D为边中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（25-26学年九上·山西临汾·期中）∠BAC放在正方形网格纸的位置如图，则tan∠BAC的值为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 连接CD，再利用勾股定理分别计算出AD、AC、BD的长，然后再根据勾股定理逆定理证明∠ADC=90°，再利用三角函数定义可得答案． 【详解】 连接CD，如图： ，CD=，AC= ∵，∴∠ADC=90°，∴tan∠BAC==． 故选D． 【点睛】 本题主要考查了勾股定理，勾股定理逆定理，以及锐角三角函数定义，关键是证明∠ADC=90°． 4．（25-26学年九上·山西运城·期中）计算：　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查特殊角的三角函数，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 利用特殊角的三角函数值，先求 的值，再平方后减1计算即可． 【详解】 解：由于， 则， 因此，， 故答案为：． 5．（25-26学年九上·山西运城·期中）阅读材料，回答问题： 小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在中，如果，，，，，那么． 通过上网查阅资料，他又知“”，因此他得到“在含30°角的直角三角形中，存在着的关系．” 这个关系对于任意一个三角形还适用吗？为此他做了如下的探究： （1）如图2，在中，，，，． 请判断此时“”的关系是否成立？如果成立，请证明，如果不成立，请说明理由； （2）完成上述探究后，他又想“对于任意的锐角，上述关系还成立吗？因此他又继续进行了如下的探究： 如图3，在锐角中，，，． 过点作于． ∵在和中，， ∴______，______． ∴______，______． ∴． 同理，过点作于，可证． ∴． 请将上面的过程补充完整． （3）如图4，在中，如果，，，那么______． 【答案】（1）成立， 理由如下：∵， ∴， ∴；     （2），，，     （3）      【分析】 本题锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键，注意分情况讨论思想的灵活运用． （1）根据三角函数的定义得到于是得到结论； （2）过点C作于D．根据三角函数的定义得到，，推出，．同理，过点A作于H，可证，即可得到结论； （3）把，，，代入，即可求得的长度． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 在锐角中，，，， 过点C作于D， ∵在和中，， ∴，． ∴，． ∴． 同理，过点A作于H，可证， ∴， 故答案为：；；； ； (3) 小问详解： ，，，代入， ，即， ． 6．（25-26学年九上·山西运城·期中）（1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1），；（2） 【分析】 本题考查解一元二次方程，特殊角三角函数的混合运算，实数的混合运算，掌握知识点是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）将特殊角三角函数值代入计算，最后进行实数的混合运算即可． 【详解】 解：（1）方程可变形为： ， ，，， ， ， ∴，． （2）原式 ． 7．（25-26学年九上·山西临汾·期中）计算： （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂的运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式结合二次根式的运算法则即可解答； （2）先计算零指数幂，代入特殊角的三角函数值，化简二次根式，计算乘法，再计算加减即可． (1) 小问详解： 解： ； (2) 小问详解： 解： ． 考点02 解直角三角形 1．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）阅读与思考 以下是乐学小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务。 关于邻等对补四边形的探索对于几何图形，通常是从它的定义、性质、判定等方面进行研究，且一般从图形的组成元素及相关元素之间的关系展开探索．依照这样的研究路径我们小组对邻等对补四边形的性质展开探索．【概念理解】至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作邻等对补四边形．如图1，四边形中，，则四边形是邻等对补四边形． 【性质探索】类比特殊平行四边性质的学习，从此四边形的组成元素边、角、对角线展开探索．边：一组邻边相等．内角：对角互补．对角线：在图1中连接，猜想平分．在验证对角线的性质猜想时，我们用了多种方法，具体方法如下：小华：从结论出发，我想到了构造两个全等的三角形．．．小伟：从条件出发，由于，如果将绕点顺时针旋转，使与重合．．． 任务： （1）下列四边形：①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形，其中是邻等对补四边形的有___________（填序号）； （2）求证：平分（可以借助学习报告中小华或者小伟的方法）； （3）如图2，在中，，，，请利用尺规作邻等对补四边形，其中，点分别在边上．连接，并直接写出此时线段的长．（要求：作出一种情况即可，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）④     （2） 按照小华的思路： 证明：过点作于点交的延长线于点． 则． ， ． 又， ． ． 又， 平分． 按照小伟的思路： 证明：将绕点顺时针旋转，使与重合，点的对应点为点． 由旋转可得：． ， ，即点三点共线． ， ． ． 平分．     （3） 方法一： 方法二： 方法三： 的长为或或      【分析】 本题考查了旋转的性质，解直角三角形的应用，角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据“邻等对补四边形”即可判断； （2）依据题意可按照小华或小伟的思路解答； （3）先确定相邻边等的线段，再确定互补角，根据勾股定理，含的直角三边形边的关系求解即可． (1) 小问详解： 解：因为至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作邻等对补四边形，所以正方形是邻等对补四边形，填④． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 如图所示，邻等对补四边形即为所求． 方法一：在上截取，以为圆心画弧交于、两点，作的中垂线交于，连接，邻等对补四边形即为所求． ∵在中，，，， ∴， ∴； 方法二：在上截取，以为圆心画弧交于、两点，作的中垂线交于，连接，邻等对补四边形即为所求． ∵在中，，，， ∴， ∴垂直平分， ∴； 方法三：作的角平分线交于，以为圆心，为半径画弧交于，连接，邻等对补四边形即为所求． 设，则， ∵在中，，，， ∴，， 即， 解得， ∴． （画出一种即可） 线段的长为或或，（注意线段的长要与所作图形对应．） 考点03 应用举例 1．（25-26学年九上·山西运城·期中）万荣稷王庙位于山西省万荣县，是为祭祀中国古代农业神后稷而建的庙宇，是中国现存唯一的北宋单檐庑殿顶木构建筑．学习了直角三角形的三边关系后，学校组织参观以万荣稷王庙为主题的综合与实践活动．下面是某学习小组的活动记录． 活动课题 测量万荣稷王庙的高度 活动目的 运用直角三角形的三边关系的相关知识解决实际问题 方案示意图 测量步骤 1.无人机在点处以的速度竖直上升后，飞行至点处．2.调整无人机位置，使得点，，，，均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上且．3.在点处测得塔顶的俯角为．4.然后沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得塔顶和点的俯角均为． 参考数据 ，， 应用 请根据以上数据计算的高度（结果精确到0.1米）． 请完成同学们提出的问题． 【答案】的高度为米 【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握是解答本题的关键．延长交的延长线于点，则四边形是矩形，设，则，求出，在中，根据三角函数求出结论即可． 【详解】 解：延长交的延长线于点， 由题意得：四边形是矩形， ∴． 设，则， 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，，， ∴， ∴． 解得：． 答：的高度为11.6米． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06锐角三角函数 考点01正弦、余弦与正切 考点02解直角三角形 考点03应用举例 ①考点01正弦、余弦与正切 1.A 2.D 3.D 4【省案】号 【分析】 本题考查特殊角的三角函数，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键， 利用特殊角的三角函数值，先求tan30口°的值，再平方后减1计算即可. 【详解】 解：由于tan30口°-四 -3_1 ▣ 则 an230= 93▣· 因此m30-1写1时子号 故答案为：- 3 5.【答案】(1)成立， 理由如下：：sinA=9,sinB=2,sinC=L, a=c,b= sinA C, 'sin B inG=c. 0=b sin A sinB sinCi (2)CD,CD,ab ab b a’CD’CD (3)V▣ 【分析】 本题锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键，注意分情况讨论思想的灵活运用， 118 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)根据三角函数的定义得到0。=c, b 三C, sin A sin B C一=c,于是得到结论： sin C (2)过点C作CD⊥AB于D.根据三角函数的定义得到sinA=h, sin8= ,推出a=ab 0 sin A h _ab sin B h· 同理，过点A作AH L BC于H,可证b "sin B sinC' 即可得到结论： C (3)把∠B=60▣°，∠C=45▣°，AB=c=2,代入 b sin B sinC,即可求得AC的长度. 1)小问详解： 略 (2)小问详解： 在锐角△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c, 过点C作CD⊥AB于D, D B C .在Rt△ADC和Rt△BDC中，∠ADC=∠BDC=90▣°， nA=2.sm8=0 ..a=ab b -ab sinA CD'sinB CD a b sin A sin B 同理，过点A作AH⊥BC于H,可证b sin B sin C' b C sinA sin B sinC 218 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 故答案为： CDCD abab b:a CDCD (3)小问详解： <B=60,∠C=45,AB=c=2,代入sBsC了 b b 2 ,即逅 sin60▣°sin45▣° ▣ ■ ∴.AC=b=V/▣ 6.【答案】(1)X,=3+2□，X,=3-2℃，2)-2 【分析】 本题考查解一元二次方程，特殊角三角函数的混合运算，实数的混合运算，掌握知识点是解题的关键. (1)利用公式法解方程即可； (2)将特殊角三角函数值代入计算，最后进行实数的混合运算即可. 【详解】 解：(1)方程可变形为： 3x2-6x-1=0 a=3’b=-6c=-1' b2-4ac=-62-4×3×-1=36+12=48>0 -6±4路0 x=6±▣石 “x,=3+20,x,=3-28□ ▣ a或l-2×2 1-1-6石=11-3=-2口 318 西学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.【答案】(1)-7+4V▣ (2)1 【分析】 本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂的运算，熟记特殊 角的三角函数值是解题的关键 (1)利用完全平方公式和平方差公式结合二次根式的运算法则即可解答： (2)先计算零指数幂，代入特殊角的三角函数值，化简二次根式，计算乘法，再计算加减即可. 1)小问详解： 解：(2-22可 =4-5-4-4*▣=-1-4+4=-7+4▣ (2)小问详解： 解：π-3P-4sin60口+□ =1-4× +20▣=1-2*20口=1 ■ 考点02解直角三角形 1.【答案】(1)④ (2) 按照小华的思路： 证明：过点A作AM⊥BC于点M,AN⊥CD交CD的延长线于点N. 水 、D A」 B M 则∠AMB=∠AND=90▣°. .∠ABC+∠ADC=180▣°，∠ADN+∠ADC=180▣° .∠ABC=∠ADN 又AB=AD, .△AMB≌△ANDAAS 418 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∴.AM=AN 又.AM⊥BC,AN⊥CD, CA平分∠BCD 按照小伟的思路： 证明：将△ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，点C的对应点为点E. D 4 B 由旋转可得：∠ABE=∠ADC,AE=AC,∠DCA=∠E. .∠ABC+∠ADC=180▣°' “∠ABC+∠ABE=180口：即点B,E,C三点共线. .AE=AC' .∴.∠E=∠ACB .∴.∠DCA=∠ACB CA平分∠BCD (3) 方法一： B 方法二： 518 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 方法三： AE的长为5☐或10□或55啊口 【分析】 本题考查了旋转的性质，解直角三角形的应用，角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识， 掌握知识点的应用是解题的关键， (1)根据“邻等对补四边形”即可判断； (2)依据题意可按照小华或小伟的思路解答： (3)先确定相邻边等的线段，再确定互补角，根据勾股定理，含30口°的直角三边形边的关系求解AE即 可 1)小问详解： 解：因为至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫作邻等对补四边形，所以正方形是邻等对补四边形， 填④， (2)小问详解： 略 3)小问详解： 如图所示，邻等对补四边形ACEF即为所求. 方法一：在CB上截取CE=AC,以E为圆心画弧交AB于M、N两点，作MN的中垂线交AB于F,连 接EF,邻等对补四边形ACEF即为所求， .在Rt△ABC中，∠C=90▣°，∠B=30▣°，AB=10, CE-AC-AR-5 六AE=s阿口3 方法二：在AB上截取AF=AC,以F为圆心画弧交AB于M、N两点，作MN的中垂线交BC于E,连 618 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 接EF,邻等对补四边形ACEF即为所求 .在Rt△ABC中，∠C=90▣°，∠B=30▣°，AB=10, AF-AC-BF-2AB-5 EP垂直平分AB: ..AE=BE=BF 5 c0s30▣° =10 口▣ 方法三：作∠ACB的角平分线CF交AB于F,以F为圆心，AF为半径画弧交BC于E,连接EF,邻 等对补四边形ACEF即为所求。 设AF=EF=x,则AE=▣， .在Rt△ABC中，∠C=90▣°，∠B=30▣°，AB=10, BF=10-X'BF=EF=O口1 即10-x=石， 10 解得X= +1-10159阿一， ▣√叵 “AE=6□ (画出一种即可) 线段AE的长为5口或10口或55啊门，（注意线段AE的长要与所作图形对应.） 口 考点03应用举例 1.【答案】DE的高度为11.6米 【分析】 本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握是解答本题的关键.延长ED交BC的延长线 于点F,则四边形ABFE是矩形，设DE=xm,则DF=30-xm,求出BF=(60-xm,在 Rt△BFD中，根据三角函数求出结论即可. 【详解】 解：延长ED交BC的延长线于点F, 718 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 C B 45yX45°2 D E A 由题意得：四边形ABFE是矩形， EF=AB=5×6=30m 设DE=xm,则DF=30-xm, 在Rt△DFC中，∠DCF=45▣°， CF=DF=30-xm' ∠BCA=45□ BC=AB=30m' …BF=CF+BC=|60-xm 在Rt△BFD中，∠BFD=90▣°，∠FBD=21▣°， tan21口=DF=30-x≈0.38 BF 60-x …30-x=0.3860-x 解得：x≈11.6， 答：DE的高度为11.6米. 818