专题02 一元二次方程（期中真题汇编，山西专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦一元二次方程6大高频考点，精选山西多地期中真题，涵盖概念辨析、解法应用及实际问题，如新能源汽车销量增长、平遥古城旅游经济等时代情境题，注重基础巩固与数学应用能力结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约30题|一元二次方程概念、解法（配方法/公式法/因式分解法）、根与系数关系|基础题占比60%，如概念辨析题；创新题如“好友方程”定义理解| |解答题|约15题|解法步骤纠错、实际问题建模|含解题过程纠错（配方法步骤分析）、情境应用题（无人机灯光秀矩形阵、商品利润计算），体现数学建模与逻辑推理|

专题02 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）若关于的方程的一个根为，则的值为（    ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为(     ) A. 2 B.  C. 1 D.  3．（25-26学年九上·山西临汾·期中）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A. 1，2，6 B. 1，，6 C. 1，， D. 1，2， 4．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）下列方程中属于一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）若是一元二次方程的一个根，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·山西太原·期中）将一元二次方程化为的形式，若，则，的值分别为（       ） A. 5，1 B. ， C. ， D. ，1 8．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）下表是某同学求代数式（为常数，且）的值的情况．根据表格中的数据，可知关于的一元二次方程的一个根为（     ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 3 8 15 ．．． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）若关于的一元二次方程的常数项为零，则　　　　　　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·山西大同·期中）若方程的一个根为，则　　　　　． 11．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）已知是一元二次方程的一个根，则　　　　　　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）已知关于x的方程(k-2)x|k|-2kx+1=0是一元二次方程，则k的值等于　　　　　　　　　． 13．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“好友方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，求m的值． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·山西运城·期中）一元二次方程的根为（     ） A.  B. ， C. ， D. ， 2．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）一元二次方程可配方成的形式．则的值为（       ） A.  B.  C. 5 D.  4．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）用配方法解方程，配方正确的是（   ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　） A. （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4 7．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）一元二次方程配方后可变形为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）用配方法解方程时，配方后得到的方程是（　　） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）用配方法解方程时，配方后所得的方程为（   ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·山西临汾·期中）阅读下面关于方程的解题过程，解决下列问题． 解：移项，得，①两边同除以2，得，②配方，得，③即，或，④，．⑤ （1）上述解题过程有误，错在步骤________（填序号），错误的原因是________； （2）请你写出正确的解答过程． 11．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）解方程： （1）； （2）． 12．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 ． 问题： （1）上述解答过程中，从第_____步开始出现了错误，发生错误的原因是_______________； （2）请写出正确的解答过程． 13．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）下面是小明用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：移项，得，……第一步二次项系数化为1，得，……第二步配方，得，……第三步由此可得，……第四步所以，，．……第五步 （1）小明同学的解答过程，从第________步开始出现错误； （2）请你写出正确的解答过程． 14．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次系数化为1，得……第一步移项，得……第二步配方，得，即……第三步由此，可得……第四步所以，……第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是               ，其中，“配方法”所依据的数学公式是               ； ②“第二步”变形的数学依据是               ； ③小明同学解题过程中，从第               步开始出现错误，并直接写出正确的结果               ． 任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·山西大同·期中）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关 2．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个根为0 3．（25-26学年九上·山西运城·期中）关于的方程根的情况，下列说法正确的是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个实数根 4．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（       ） A. 只有一个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·山西太原·期中）不解方程，判断一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7．（25-26学年九上·山西临汾·期中）方程的解的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有一个实数根 8．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 9．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值（       ） A. 大于25 B. 等于25 C. 小于25 D. 不小于25 10．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）关于的一元二次方程有两个实数根．则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为　　　　　　． 12．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）（1）计算： （2）解方程： 13．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则该方程的根为　　　　　　　　　　　． 14．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为　　　　　　． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）一元二次方程的解是（　　） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）解一元二次方程的数学核心方法是（       ） A. 消元 B. 降次 C. 归纳法 D. 换元法 3．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）一元二次方程的根为　　　　　　． 4．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）一元二次方程的解是　　　　　　． 5．（25-26学年九上·山西太原·期中）一元二次方程的根为　　　　　　． 6．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）下面是小敏同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：方程左边因式分解，得．                                第一步方程两边都除以，得．                                                       第二步解得．                                                                                          第三步 任务： （1）第一步方程左边因式分解的依据是___________．（用含a，b的式子表示） （2）小敏同学的解答过程从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________． （3）请直接写出该方程正确的解． 7．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）解方程： （1）； （2）． 8．（25-26学年九上·山西临汾·期中）小明在与对话中输入如下的文字：“有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？”经过40秒的深度思考和验证，给出的这个数应该是　　　　　　． 9．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）一元二次方程的解为　　　　　　　． 10．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）解方程 （1） （2）． 11．（25-26学年九上·山西太原·期中）如图，砗磲（）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本平均日生长速率y（单位：/天）与年龄x（单位：岁）近似满足关系：．现测得某砗磲样本的平均日生长速率为天，求它的年龄． 12．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）解方程： （1）； （2）． 13．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）解下列方程： （1）； （2）； （3）． 14．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）下面是小明解方程的过程： 解：当时，方程两边同时约去，得． 所以原方程的解为：． （1）方程两边同时约去时，为什么要强调？ （2）请仿照小明的方法解方程：． 15．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）解方程： （1） （2） 16．（25-26学年九上·山西大同·期中）解方程： （1）； （2）． 17．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）用适当的方法解下列方程 （1） （2） 18．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）解方程： （1）； （2）． 19．（25-26学年九上·山西太原·期中）用适当的方法解下列一元二次方程． （1）； （2）． 20．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）解方程： （1） （2） 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）若a，b是的根，则的值是（     ） A. 2022 B. 2023 C.  D.  2．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求的值． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车8月份的销售量为5000辆，10月份的销售量为7200辆，若9月份、10月份该新能源汽车销售量的月平均增长率相同．则月平均增长率为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山西运城·期中）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达亿元，第三周票房收入达亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）某地为庆祝粮食丰收举办大型无人机灯光秀，数千架无人机两两等距、整齐排布于空中．表演时，其中一幕为两个独立的无人机矩形阵分别呈现“丰”“收”二字．其中“丰”字矩形阵如图，该矩形阵的边排布架无人机，边排布架无人机；通过变换部分无人机颜色，形成了黄色笔画（图中阴影部分）的“丰”字．“丰”字所有笔画的宽度均由架无人机排布．已知呈现“丰”字时，该矩形阵中未改变颜色的无人机为架．根据题意可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）某校组织一次篮球联赛，邀请了x个球队参加比赛，比赛采用单循环制（即每两队之间都要进行一场比赛），计划安排20场比赛．可列方程（       ） A. x（x＋1）＝20 B.  C. x（x－1）＝20 D.  5．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）若两个相邻正偶数的积是，则这两个正偶数的和为（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）如图，用一张长，宽的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为，则可列出关于的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·山西大同·期中）转型迈出新步伐，三晋风采谋新篇．近年来，古城大同积极发展算力之城，从地下乌金迈向云端智算．截至2024年底，全市累计报送服务器68万台，预计2026年底达到82.7万台，设2024年到2026年报送服务器的平均增长率为，可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程是（            ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·山西太原·期中）今年10月25日是首个法定的台湾光复纪念日．数据显示，2023年大陆赴台游客为22.6万人次，预计2025年全年将达到165万人次．设这两年大陆赴台游客人次的平均增长率为，则下列方程中，能刻画这一情境中的等量关系的是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·山西临汾·期中）布置某艺术中心的会场时，工作人员准备利用45米长的墙为一边，用74米隔离绳围另三边，设立一个面积为800平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边各空出一个3米的出入口（出入口不用隔离绳），如果设这个长方形垂直于墙的一边长为x米，那么可以列出关于x的方程（     ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）村“”是指乡村篮球赛，近年来，村“”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事．经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛110场，则参加比赛的球队有（       ） A. 9支 B. 10支 C. 11支 D. 12支 13．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）参加我市酒品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了28份合同，则公司共有（       ） A. 5家 B. 6家 C. 7家 D. 8家 14．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）布置某艺术中心的会场时，工作人员准备利用35米长的墙为一边，用68米隔栏绳围另三边，设立一个面积为600平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边各空出一个1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．如果设这个长方形垂直于墙的一边长为米，那么可以列出关于的方程（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）第二十四届太原市机器人竞赛暨太原市第十届“创新未来”中小学生机器人竞赛活动中，全市208所中小学校一千多名学生参加，某校有25人参加，都获得不同等级的奖项，已知该校第二十二届参赛人数是16人，连续两年平均增长率相同．则该校参赛人数连续两年的平均增长率为（     ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）某旅行社国庆期间接待了一个亲友旅游团．游玩时，导游先给该亲友团拍了1张集体照，又给每两位亲友都拍了1张合影．为了保证每位亲友团成员都能拿到有自己的所有照片，该旅行社一共冲印了256张照片，则这个亲友团的人数为（     ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 17．（25-26学年九上·山西大同·期中）为传递正能量，九年级各班决定互送励志祝福．若规定每个班要给本年级其他所有班级各送1条祝福，且所有班级送出的祝福总数是90条，则九年级的班级数为（     ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 18．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）金秋葡萄迎丰收，“甜蜜”溢满清徐县，清徐是国内著名的葡萄产区之一，素有“葡萄之乡”的美称．2022年位于清徐县的某葡萄采摘园的年产量约为1吨，截至2024年底，三年总产量约为3.64吨．若设这三年中该采摘园葡萄的年平均增长率为x，则可列方程为(     ) A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点A，B，C，D正好重合于上底面一点．且此长方体盒子的表面积为，其中，若设的长为，则可列方程为　　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）某超市购进一批优质水果，进价为每箱100元．调查发现，当销售单价为每箱170元时平均每天能售出80箱，而当销售单价每降价10元，平均每天能多售出20箱． （1）填空：设每箱降价x元，实际售价为______元/箱，平均每天售出______箱（用含x的代数式表示）； （2）若超市每天销售这种优质水果的利润要达到6000元，且要尽快减少库存，求每箱应降价多少元？ 21．（25-26学年九上·山西大同·期中）为落实劳动教育要求，某中学组织学生用总长为10米的篱笆，在校园直角围墙一角围建矩形种植实践区，最终建成的实践区面积达16平方米，则该矩形的较短边长为　　　　　米． 22．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元．根据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件． （1）若商家决定降价销售，设每件降价x元，求每日销量y（件）与x（元）的函数关系式； （2）在（1）条件下，若商家要想获利3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多少元？ 23．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·山西临汾·期中）体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球垫球是中考体育的两个考试项目，跳绳和排球也成为部分学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为65元，销售价为88元．经统计，8月份的销售量为256套，10月份的销售量为400套． （1）求这种跳绳和排球套装8月份到10月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，11月份的销售量将与10月份持平，商店为了减少库存，采用降价促销方式．调查发现，每套的销售价每降低1元时，月销售量就会增加20套，该商店要想使月销售利润达到8400元，这种跳绳和排球套装的销售价应降低多少元？ 25．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）定义：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍．则称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，已知给定矩形的长和宽分别为和．求它的“加倍矩形”的长和宽． 26．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）阅读与思考 用构图法解关于一元二次方程的解法：以为例，构造方法如下：首先将方程变形为然后画四个长为，宽为x的矩形．按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：据此易得原方程的一个正数根为． （1）参照上述图解一元二次方程的方法，解方程，填写下面横线上的内容． 解：应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积每一个均为，中间的小正方形面积为 大正方形的面积为______． 大正方形的边长为______． 正数______． 参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是______（从序号①②③中选择）． （2）一般地对于形如：的一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图（2）是由4个宽为x，长为，这4个矩形的总面积为12，中间围成的正方形边长为2，求a，b，并求出正数x的值． 27．（25-26学年九上·山西运城·期中）项目式学习 项目名称：农家乐扩建与经营优化 项目背景：某数学学习小组积极帮助经营户解决就餐区域扩建和餐饮定价问题．经营户计划将现有的就餐区域扩建，以提升顾客体验．同时，为了吸引更多顾客，他计划推出特色餐饮品鉴活动，需要确定一个合适的收费标准，使每天的营业额能够有所提高． 任务一：就餐区域扩建规划 现有就餐区域是一个矩形，面积为168平方米．扩建时，经营户计划将矩形的一边增加6米，另一边增加8米，使扩建后的区域成为一个正方形．扩建后正方形就餐区域的边长是多少米？ 任务二：餐饮定价策略 经营户推出特色餐饮品鉴活动．通过市场调查，发现当收费标准为200元/人时，平均每天可接待顾客50人．收费标准每降低10元，平均每天可多接待5人，如果经营户希望每天特色餐饮品鉴活动的营业额达到11250元，收费标准应确定为多少元/人？ 请你完成以上两项任务． 28．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）为深入学习习近平总书记在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会上的重要讲话精神，打造“大思政课”品牌．某校举行宣讲活动，活动结束后校园书店准备购进一些爱国主义教育图书，10月份以每套50元的价格购进800套，当月以单价80元销售，售出了200套．11月如果单价不变，预计仍可售出200套，书店老板为增加销售量，决定降价销售，根据学生意向调查，单价每降低1元，可多售出10套，但最低单价应高于购进的价格；11月结束后，书店对剩余的这种图书一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设在11月清仓前图书单价降低元． （1）填表：（不需化简） 时间 10月 11月 清仓时 单价（元） 80 ______ 40 销售量（套） 200 ______ ______ （2）如果书店希望通过销售这批图书获利9000元，那么11月的单价应定为多少元？ 29．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）阅读下列材料，完成相应的任务： 几何法探究配方法解方程西周时期政治家周公与数学家商高探讨“数”的起源，商高说：“数出于方圆，圆出于方，方出于矩，”，老师在课堂上利用“矩”得“方”解决了配方法解方程的问题．例：如图：某正方形广场外侧有两条宽度相同的小路，已知正方形边长为11，小路面积为48，求小路的宽． 设小路宽为，根据题意可列方程：，解方程时想到“矩”旁边有一个“方”，组合成另一个大的“方”，整体看大正方形面积既可以表示为，也可以表示为，根据构造的图形，可将方程变形为，利用平方根的定义求解即可．将方程抽象为，求解过程如下：， 任务： （1）将材料中剩余步骤补充完整，求出方程的解． （2）班级数学爱好者模仿以上材料，做了新的笔记：假如已知某矩形的面积为20，长比宽多10，求矩形的长和宽．设矩形宽为，则长为，根据题意列方程得，解方程时想到用“矩”得“方”的办法进行配方． ①根据构造的图形，可将方程变形为：                 ，利用平方根的定义求解即可． ②将方程抽象为：                 ． （3）将②抽象出的方程，按照材料中的思路写出求解过程． 30．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长尺，则根据题意，可列方程　　　　　　． 31．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）刺绣布老虎是山西传统手工艺品，起源于商周时期以虎为图腾的民俗，后经3000多年历史演变，逐步完善定型．某工艺品店售卖一款布老虎，请根据以下材料完成相应任务．以下是乐学小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 市场调查素材 素材一 此工艺品的进价为元． 素材二 经过市场调查，销售单价是元时，每天的销售量为件． 素材三 销售单价每降低元，每天就多售出件． 素材四 该店为促进资金流转，决定尽可能清空库存． 问题解决 任务一 若销售单价为元，求每天销售这款布老虎的利润； 任务二 若计划每天销售这款布老虎盈利元，那么每件布老虎的售价为多少元？ 32．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）随着我国科技创新能力的持续提升，国产智能手机品牌凭借核心技术突破与优质用户体验，在全球市场的认可度显著提高．某国产手机品牌，年全球手机销量为万部，依托技术迭代与全球化布局，年销量稳步攀升至万部．求该手机品牌年至2024年全球手机销量的年平均增长率． 33．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧： 主题：双皮奶销售方案制定问题 顺德美食历史悠久，尤其是清香润滑的双皮奶，为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某店推出“卡通财神双皮奶”，“缤纷双皮奶”两个新品． 素材1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材2 经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份． 素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份． 问题解决 任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？ 34．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）某校积极开展劳动教育实践活动，不断加大投入，建设校园农场．年该校园农场所有农作物的产量为，年该校园农场所有农作物的产量达到．若其年平均增长率保持不变，估计年该校园农场所有农作物的产量是多少． 35．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）2025年，平遥古城依托其深厚的文化底蕴，旅游经济持续向好．据统计，2023年平遥县全年接待游客量为1000万人次，预计到2025年全年，接待游客量将达到1440万人次． （1）求2023年到2025年这两年平遥县游客量的年平均增长率． （2）平遥某特产店销售一款“平遥推光漆器”纪念品，已知该纪念品平均每天可售出20个，每个盈利40元．在2025年“十一”黄金周期间，该店决定降价促销．如果每件降价1元，平均每天可多售出2件．在每个纪念品盈利不少于25元的前提下，要使该纪念品每天盈利1200元，每个纪念品应降价多少元? 36．（25-26学年九上·山西大同·期中）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”“画心”“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”，图中是为纪念抗日战争胜利80周年所画的《水上游击队》．该手卷长，宽，引首和拖尾完全相同，其宽度都为，若画心的面积为，“隔水”部分宽度相等，均为，求“隔水”的宽度． 37．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．若花圃的面积为，求花圃的一边的长； 38．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ （2）体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 39．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）综合与实践 有一块长、宽的矩形硬纸板做收纳盒． （1）如图1，设计无盖长方体收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．若收纳盒的底面积为，则剪去的小正方形的边长为多少？ （2）如图2，设计有盖长方体收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．问能否折出底面积为的有盖盒子？若能，请求出盒子的体积；若不能，请说明理由． 40．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材一：某水果店热销一批凤梨，其进价每个为5元，当售价每个为25元时，平均每天可以卖出120个． 素材二：经市场调研发现，售价每个每下降1元，每天可多卖出10个． 任务一：分析变量关系 （1）若设每个降价x元，则平均每天的销售数量为_________个．（用含x的代数式表示） 任务二：探索调整方案 （2）该水果店如何调整售价，才能使每天的利润达到2520元？ 41．（25-26学年九上·山西太原·期中）第七届山西文化产业博览交易会上，首次亮相的唐代木构建筑毛绒玩具，将佛光寺释迦塔、南禅寺等唐代古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野．某礼品店新购进一批古建毛绒玩具，采用多种方式进行宣传、促销． 信息收集：试销期间，该礼品店某款古建毛绒玩具销售情况如下表： 每周销量 80个 每个盈利 16元 市场调研结果 售价每下降1元，一周可多销售10个 问题解决：为让利于顾客，礼品店决定降价销售这款古建毛绒玩具．根据试销信息，要想使该礼品店每周销售此款玩具的盈利为1440元，每件玩具应降价多少元？ 42．（25-26学年九上·山西太原·期中）某小区为规范电动自行车充电安全管理，计划新建一个形状为长方体的车棚，设计图如图所示，车棚内三面墙上装有与地面平行的，，三段不锈钢轨道（图中灰色部分），便于安装充电插座．已知该车棚地面占地面积为80平方米，三段不锈钢轨道总长为28米，则段不锈钢轨道的长为　　　　　　米． 43．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）中秋节前夕，某超市购进了一批月饼礼盒，进价为每盒元．根据市场调研，如果每盒售价定为元，那么平均每天可以售出盒．超市经理发现，每降价元，每天的销量就会增加盒．为了迎接中秋销售高峰，超市决定采取适当的调价措施．如果超市希望每天的月饼销售利润能够达到元，并希望尽可能让顾客得到实惠，那么每盒月饼的售价应降价多少元？ 44．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）随着科技的发展，某公司拥有的无人机数量逐年上升，据统计，该公司无人机的数量年为架，年达到架． （1）求年底至年底该公司无人机数量的年平均增长率； （2）该公司为控制无人机数量的增长速度，计划到年底公司无人机拥有量不超过架，预计年年底报废的无人机数量是年无人机拥有量的，求年底至年该公司无人机数量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．B 2．C 3．C 4．C 5．B 6．B 7．D 8．B 9．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，根据二次项系数非零及方程的常数项为0，可得出关于c的一元一次方程，解之即可求出c的值． 【详解】 解：∵一元二次方程的常数项为零， ∴， ∴， 故答案为：． 10．【答案】1 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程解的定义，得到，再整体代入代数式求值， 【详解】 解：∵方程的一个根为， ∴， 则， 故答案为：1 11．【答案】20 【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】 解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为：20． 12．【答案】-2 【分析】根据一元二次方程的定义，最高次次数是2，且二次项系数不为零，列式子计算求解即可得到答案． 【详解】解：∵方程(k-2)x|k|-2kx+1=0是一元二次方程， ∴方程最高次次数是2，且二次项系数不为零， 即： 解得：k＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的基本概念是解题的关键． 13．【答案】m的值为1或–9． 【分析】通过解方程x2﹣2x=0，可得出方程的根，分x=0为两方程相同的实数根或x=2为两方程相同的实数根两种情况考虑：① 若x=0是两个方程相同的实数根，将x=0代入方程x2+3x+m﹣1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=1符合题意；② 若x=2是两个方程相同的实数根，将x=2代入方程x2+3x+m﹣1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=2符合题意．综上此题得解． 【详解】解方程x2﹣2x=0，得：x1=0，x2=2． ① 若x=0是两个方程相同的实数根． 将x=0代入方程x2+3x+m﹣1=0，得：m﹣1=0，∴m=1，此时原方程为x2+3x=0，解得：x1=0，x2=﹣3，符合题意，∴m=1； ② 若x=2是两个方程相同的实数根． 将x=2代入方程x2+3x+m﹣1=0，得：4+6+m﹣1=0，∴m=﹣9，此时原方程为x2+3x﹣10=0，解得：x1=2，x2=﹣5，符合题意，∴m=﹣9． 综上所述：m的值为1或﹣9． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代入x求出m的值是解题的关键． 考点02 配方法 1．C 2．C 3．C 4．D 5．B 6．A 7．C 8．A 9．D 10．【答案】（1）③ ；等式两边没有同时加4     （2）见解析      【分析】 本题主要考查配方法解一元二次方程： （1）步骤③中，等式两边没有同时加4； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． (1) 小问详解： 解：上述解题过程有误，错在步骤 ③（填序号），错误的原因是等式两边没有同时加4； 故答案为：③ ，等式两边没有同时加4； (2) 小问详解： 解：移项，得， 两边同除以2，得， 配方，得，即， 或， ，． 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是一元二次方程的解法； （1）把方程化为，再利用配方法解方程即可； （2）把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可. (1) 小问详解： 解：， 移项，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， 即或 ∴． (2) 小问详解： 解：， 移项：， ∴， ∴或， ∴. 12．【答案】（1）二，等号右边没有加     （2） ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即或 ∴，．      【分析】 （）观察解答过程可得答案； （）用配方法解方程即可； 本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：从第二步开始出现了错误，发生错误的原因是等号右边没有加， 故答案为：二，等号右边没有加； (2) 小问详解： 略 13．【答案】（1）三     （2） 解： 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 由此可得， 所以，，．      【分析】 此题考查了配方法解一元二次方程． （1）按照配方法解一元二次方程的步骤进行判断即可； （2）按照配方法解一元二次方程的正确步骤进行解答即可． (1) 小问详解： 小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误，配方结果不正确； 故答案为：三 (2) 小问详解： 略 14．【答案】任务一：转化；完全平方公式（或填）；② 等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）；③ 三；，；任务二：， 【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法，是解题的关键： 任务一：① 根据转化思想，完全平方公式进行作答即可；② 根据等式的基本性质，进行作答即可；③ 第三步方程两边应该同时加1，而不是4，求出正确结果即可； 任务二：利用配方法的步骤解方程即可． 【详解】 解：任务一：① 体现的数学思想是转化；“配方法”所依据的数学公式为完全平方公式（或填）． ② 变形依据为等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； ③第三步出现错误，方程两边应同时加1； 配方，得，即， 由此，可得， ∴，； 任务二： 解：， ， ， ， ， ， 或， ，． 考点03 公式法 1．B 2．C 3．D 4．D 5．A 6．B 7．A 8．A 9．B 10．D 11．【答案】 【分析】 此题主要考查了一元二次方程的解法和根的判别式，熟记一元二次方程的解与的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解决问题的关键． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 12．【答案】（1）；（2）， 【分析】 本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）先化简绝对值，计算平方根，零指数幂，负指数幂，然后从左到右进行计算即可； （2）利用公式法解题即可． 【详解】 （1）解：原式 ； （2）解： ，，， ， ， ，． 13．【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．由一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式为零，从而求出常数项的值，再代入方程求解根． 【详解】 解：一元二次方程有两个相等的实数根， 则判别式， 解得， 将代入原方程，得， 解方程得， 故答案为：． 14．【答案】8或9 【分析】 分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得． 【详解】 解：由题意，分以下两种情况： （1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于的方程的一个根， 因此有， 解得， 则方程为，解得另一个根为， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理； （2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根， 因此，根的判别式， 解得， 则方程为，解得方程的根为， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理； 综上，的值为8或9， 故答案为：8或9． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理． 考点04 因式分解法 1．D 2．B 3．【答案】， 【分析】 本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用因式分解法求解即可． 【详解】 解：方程可因式分解为， 则或， 解得：，， 故答案为：，． 4．【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程． 通过因式分解法求解一元二次方程． 【详解】 解：， ， 或， 解得：，． 故答案为：，． 5．【答案】x1=-2， x2=1 【分析】 利用因式分解法把原方程转化为x+2=0或x-1=0，然后解两个一次方程即可求解． 【详解】 解：∵(x+2) (x−1)=0 ， ∴ x+2=0或x-1=0， 解得x1=-2， x2=1 ， 故答案为：x1=-2， x2=1． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法，先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，求解即可． 6．【答案】（1）     （2）二；没有考虑是否等于零；     （3），．      【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程，注意计算的准确性即可； （1）因式分解的依据是平方差公式； （2）等式两边同时除以一个数（或式）时，必须考虑该数（或式）是否为零； （3）利用因式分解即可求解； (1) 小问详解： 解：由题意得：第一步方程左边因式分解的依据是平方差公式：； (2) 小问详解： 解：小敏同学的解答过程从第二步开始出现错误，错误的原因是：没有考虑是否等于零； (3) 小问详解： 解：∵， ∴，即：， ∴，． 7．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴ 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴，． 8．【答案】2 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据题意列一元二次方程并求解是解题的关键．设这个数为，根据题目描述的数量关系列出一元二次方程，然后求解方程得到这个数． 【详解】 解：设这个数为． ， ， ， ， 故答案为：2． 9．【答案】， 【分析】 本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．通过因式分解得到，即可得到答案． 【详解】 解：提取公因式 ，得， 或 ， 解得，． 故答案为：，． 10．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了利用因式分解法和公式法解一元二次方程，准确计算是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可； (1) 小问详解： 解：， ， ， ，， ，． (2) 小问详解： 解：， ， ，，， ， ， ，． 11．【答案】64岁 【分析】 将代入，得到一元二次方程，求解方程即得答案． 【详解】 解：将代入， 得， 解得，（不符合题意，舍去） 答：该砗磲样本的年龄为64岁． 12．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）先移项，再利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， ，； (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， ，． 13．【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程； （1）根据直接开平方法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可； （3）根据公式法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： ，； (2) 小问详解： 解： 或 ，； (3) 小问详解： 解： 这里，， 即，． 14．【答案】（1） ∵等式的基本性质是等式两边同时除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式， ∴方程两边同时约去时，要强调；     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程的解法（因式分解法），涉及的知识点是“等式的基本性质（等式两边同时除以的数不能为0）”“解一元二次方程的因式分解法”．解题方法是利用等式性质时注意除数不为0的限制，通过移项、因式分解求解方程；解题关键是避免“两边同时除以含未知数的式子”导致漏解，正确的做法是移项后提公因式分解因式．易错点是直接除以含未知数的式子，遗漏使该式子为0的解． （1）根据等式性质，除数不能为0，故需强调； （2）仿照小明的方法解方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： 当时，方程两边同时约去，得，得． 当时，． 所以原方程的解为． 15．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程有解法有：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法．灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键． （1）用公式法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ，； (2) 小问详解： 移项， 提公因式：， 化简：， 所以，． 16．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法． （1）移项，利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解： 或 ，； (2) 小问详解： 解： 这里， ，． 17．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）两边除以2，开平方法解答； （2）利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， 两边除以2，得， 开平方，得， ∴． (2) 小问详解： 解：∵， 分解因式，得， ∴， ∴． 18．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程移项后运用因式分解法求解即可； （2）方程运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 或， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ． 即或． 解得，． 19．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程——配方法， 因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）配方法解一元二次方程； （2）因式分解法解一元二次方程． (1) 小问详解： 解：移项，得， 配方，得， 两边开平方，得， 即，或． 所以，． (2) 小问详解： 移项，得， 分解因式，得， 所以或， 所以，． 20．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： ，，， ． ． ，； (2) 小问详解： 解： ． ． 或 ，． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．B 2．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系，熟知这两个内容是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个实数根，可转换为，求解即可； （2）根据根与系数的关系和，列出关系式，求解即可． (1) 小问详解： 解： 关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得， 即的取值范围是． (2) 小问详解： 解：方程的两个根为， ，． ， ，即， 解得，． ，， 故的值为． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．D 2．B 3．A 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．A 11．C 12．C 13．D 14．C 15．B 16．C 17．A 18．C 19．【答案】 【分析】 设的长为，则的长为，利用长方体盒子的表面积＝正方形纸片的面积等腰直角三角形的面积，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】 解：设的长为，则的长为， 根据题意得：， 即， 故答案为：． 20．【答案】（1）     （2）每箱应降价20元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意分别列出代数式即可； （2）设每箱应降价x元，实际售价为元/箱，平均每天售出箱，根据超市每天销售这种优质水果的利润要达到6000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设每箱降价x元，实际售价为元/箱， 平均每天售出箱，即箱， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：设每箱应降价x元，实际售价为元/箱，平均每天售出箱， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 因为要尽快减少库存，所以销量应尽可能大， 当时，销量为箱， 当时，销量为箱， 因为， 所以应取， 故舍去． 答：每箱应降价20元． 21．【答案】2 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设该矩形的较短边长为米，根据面积达16平方米，列一元二次方程，求较小值即可． 【详解】 解：设该矩形的较短边长为米，则较长边长为米， 由题意得， 整理得：， 解得：，（舍）， 即该矩形的较短边长为米， 故答案为：2． 22．【答案】（1）     （2）这种玩偶每件应降价元      【分析】 本题考查了求一次函数解析式，一元二次方程的应用，根据题意列一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列函数解析式即可； （2）设这种玩偶每件应降价元，根据题意列方程得，解得或，为了让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价元． (1) 小问详解： 解：根据题意：每件降价x元， 每日销量y（件）与x（元）的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：设这种玩偶每件应降价元， 根据题意列方程得， 解得：或， 为了让顾客获得更大实惠， 这种玩偶每件应降价元． 23．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，注意与的比赛，和与的比赛是同一场比赛，即可求解． 【详解】 解：∵有x个队参赛， ∴共比赛场， ∵与的比赛，和与的比赛是同一场比赛， ∴， 故答案为： 24．【答案】（1）     （2）降低8元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用， 对于（1），设该款跳绳和排球套装8月份到10月份销售量的月平均增长率为，根据8月份的销售量为256套，10月份的销售量为400套得出方程，求出解即可； 对于（2），设该款跳绳和排球套装售价降低元，根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，求出解，即可得出符合题意的答案． (1) 小问详解： 解：设该款跳绳和排球套装8月份到10月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设该款跳绳和排球套装售价降低元，根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：该款跳绳和排球套装降低8元时，月销售利润达8400元． 25．【答案】它的“加倍矩形”的长为，宽为 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设“加倍”矩形的长为，则宽为，根据矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可． 【详解】 解：由题意得，“加倍”矩形的周长为：，则其长和宽之和为， 设“加倍”矩形的长为，则宽为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，宽为，符合题意； 当时，宽为，不满足长大于宽，舍去； 答：它的“加倍矩形”的长为，宽为． 26．【答案】（1）②     （2），，      【分析】 本题考查了构造图形解一元二次方程，解答本题的关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，体现了数形结合的思想． （1）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题； （2）根据4个矩形的总面积为12，中间围成的正方形边长为2，列方程即可解答． (1) 小问详解： 解：应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积每一个均为，中间的小正方形面积为， 大正方形的面积为， 大正方形的边长为7， 所以， 正数， 参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是② ； 故答案为：，7，5，② ； (2) 小问详解： 解：如图， 由题意得：，， ，舍，， ， ． 27．【答案】正方形的边长为20米；收费标准应定为150元/人． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用． 任务一；设扩建后正方形边长为米，根据题意列出一元二次方程，解方程并根据实际取舍方程的解，即可求解； 任务二：设：收费标准降低元，根据题意列出一元二次方程，解方程并根据实际取舍方程的解，即可求解． 【详解】 解：任务一；设扩建后正方形边长为米， 根据题意得：， 解得：，（舍） ∵， ∴取20． 答：正方形的边长为20米． 任务二：设：收费标准降低元， 根据题意得：， 解得：，元． 答：收费标准应定为150元/人． 28．【答案】（1），，     （2）11月的单价应是70元      【分析】 本题主要考查实际问题与一元二次方程； （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列一元二次方程，并求解即可； (1) 小问详解： 解：设在11月清仓前图书单价降低元， 11月单价为：元， 11月销售量为：套， 清仓时销售量为：套； 故答案为：，，． (2) 小问详解： 解：由题知：， 整理：， 解得， 元； 答：11月得单价应是70元． 29．【答案】（1） ， ， 情况一：当时， ， ，， 情况二：当时， 原方程无实数根；     （2）①；②（可以用区别与的任意字母）     （3） ：， 当时，， ， ，； 当时，原方程无解．      【分析】 本题主要考查了配方法的应用，平方根的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）分两种情况：，进行求解即可； （2）① 根据大正方形的面积等于边长的平方，另外大正方形可以看作一个小正方形和周围四个长方形的面积之和，列出方程即可； ② 根据题干提供的解题方法求解即可； （3）用配方法进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 解：构造的正方形的边长为：， 则构造的大正方形面积为：， 中间小正方形的边长为：， 则中间小正方形的面积为：， 四周四个小长方形的面积和为， ∴， 即； ② 将方程抽象为；（可以用区别于的任意字母） (3) 小问详解： 略 30．【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，涉及勾股定理，属于基础题，根据题意准确列出等式是解题关键． 设竹竿长为x尺，则门框宽为尺，门框高为尺，根据题意，得． 【详解】 解：设竹竿长为x尺，则门框宽为尺，门框高为尺， 根据题意，得． 故答案为：． 31．【答案】（1）若销售单价为元，每天的销售利润为元；（2）每件工艺品售价为元时，每天的销售利润为元 【分析】 本题考查销售利润的实际计算与一元二次方程的应用，涉及的知识点是 “利润公式（利润 = 单件利润 × 销售量）”“根据售价变化分析销售量的变化关系”“一元二次方程的求解及实际意义的取舍”．解题方法是利用 “售价降低→销售量增加” 的关系，结合利润公式计算实际利润；通过设未知数表示售价、销售量，列方程求解后根据 “清空库存（销售量最大）” 的需求选择合适的解．解题关键是准确建立售价与销售量的变化关系，注意方程解的实际意义取舍．易错点是忽略 “清空库存” 对应的售价选择，或计算销售量变化时出错．解题思路为：任务一，先算单件利润和变化后的销售量，再用利润公式计算；任务二，设售价（或降价金额）为未知数，结合销售量变化列方程，求解后根据实际需求确定售价． 【详解】 （1）（元）． 答：若销售单价为元，每天的销售利润为元． （2）解法1： 设每件工艺品降低元时，每天的销售利润为元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 尽可能清空库存，． （元）． 答：每件工艺品售价为元时，每天的销售利润为元 解法2： 设每件工艺品售价为元时，每天的销售利润为元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 尽可能清空库存，． 答：每件工艺品售价为元时，每天的销售利润为元． 32．【答案】该手机品牌年至年销量的年平均增长率为 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用（增长率问题），涉及的知识点是“增长率公式：现期量基期量+增长率（为增长次数）”．解题方法是设年平均增长率为未知数，根据增长率公式列方程，求解后结合实际意义取舍结果；解题关键是准确应用增长率公式，注意增长次数的确定（到年是次增长）．易错点是混淆增长次数，或解方程后未舍去不合理的负根．解题思路为：设年平均增长率为，根据年销量和年销量，利用增长率公式列方程，求解后得到符合实际的增长率． 【详解】 设该手机品牌2022年至2024年销量的年平均增长率为， 根据题意，得． 解这个方程，得（不合题意，舍去）． 答：该手机品牌年至年销量的年平均增长率为 33．【答案】任务1，该甜品店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务2，该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，双皮奶应该降价元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用． 任务1，设该甜品店“缤纷双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，根据题意列一元二次方程，据此求解即可； 任务2，设双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，由题意列一元二次方程，据此求解即可． 【详解】 解：任务1，设该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是， 由题意得，整理得， 解得或（不合题意，舍去） 答：该甜品店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是； 任务2，设双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了尽快减少库存，， 答：该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，双皮奶应该降价元． 34．【答案】 【分析】 本题考查了实际问题与一元二次方程，关键是利用等量关系列出方程； 根据：变化前的量变化后的量，（为变化的次数）即可列出方程   ． 【详解】 解：设该校园农场所有农作物的年平均增长率为．                                  根据题意，得．                                         解得，．                                  ∵增长的百分率不可能是负数， 不符合题意， 经检验，符合本题要求．                            ．                                         答：估计年该校园农场所有农作物的产量为． 35．【答案】（1）     （2）10元      【分析】 本题考查的是一元二次方程的应用； （1）设这两年平遥县游客量的年平均增长率为，根据2025年接待游客量将达到1440万人次，再建立方程求解即可； （2）设每个纪念品应降价元，则销售量为件，由题意得，，计算求解即可． (1) 小问详解： 解：设这两年平遥县游客量的年平均增长率为， 则， ∴， 解得：，（舍去）， ∴这两年平遥县游客量的年平均增长率； (2) 小问详解： 设每个纪念品应降价元，则销售量为件， 由题意得，， 整理得：， 解得，， 当时，每个纪念品盈利30元，符合题意； 当时，每个纪念品盈利20元，不符合题意； ∴每个纪念品应降价10元． 36．【答案】“隔水”的宽度为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意用“隔水”的宽度表示出“画心”的面积，列出方程，是解题的关键．由“隔水”的宽度为，则“画心”的长为，宽为，结合“画心”的面积为了，列出方程，即可解答． 【详解】 解：由题意得， 化简得， 整理得， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：“隔水”的宽度为． 37．【答案】花圃的一边的长为 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设，则，根据花圃的面积为列方程，并保留符合实际意义的解即的长度不能超过墙的长度． 【详解】 解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：花圃的一边的长为 38．【答案】（1）36；120；     （2）不能     （3）一共能摆放20排．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． (1) 小问详解： 解：三角点阵中前8行的点数之和为， 前15行的点数之和为， 那么，前行的点数之和为； 故答案为：36；120；； (2) 小问详解： 解：不能， 理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， 所以三角点阵中前n行的点数和不能是500； 故答案为：不能； (3) 小问详解： 解：同理，前行的点数之和为， 由题意得， 得，即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 39．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键． （1）设剪去的小正方形的边长为，根据长方形面积公式列一元二次方程求解即可； （2）设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为，根据长方形面积公式列一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设剪去的小正方形的边长为． 由题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的小正方形的边长为． (2) 小问详解： 解：能． 设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为． 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 盒子的体积为． 40．【答案】（1）；（2）下降2元或6元 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据售价每个每下降1元，每天可多卖出10个，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单个利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】 解：（1）由题意，设每个降价x元，则平均每天的销售数量为个； （2）设每个降价元． 根据题意，得． 整理，得，解得，． 答：将售价每个下降2元或6元，能使每天的利润达到2520元． 41．【答案】4元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意列方程求解是关键．设每件玩具应降价x元，则此款玩具的销售利润为元，销量为个，即可列方程求解． 【详解】 解：设每件玩具应降价元， 由题意，得， 解，得， 答：每件玩具应降价4元． 42．【答案】20 【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的求解，理解题意是解决本题的关键． 设段的长为米，段的长为米，根据题意可列和，运用代入消元法求解再结合一元二次方程的解法进行求解即可． 【详解】 解：设段的长为米，段的长为米， ∵三段不锈钢轨道总长为28米， ∴； ∵车棚地面占地面积为80平方米， ∴， ∴ ， 将变形为， 将代入中， ， 解得或， 当时，； 当时，． ∵， ∴， ∴只有，符合条件． 故答案为：20． 43．【答案】每盒月饼的售价应降价元． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设每盒月饼的售价应降价元，根据题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】 解：设每盒月饼的售价应降价元， 根据题意得： 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）. 答：每盒月饼的售价应降价元． 44．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． （1）设年底至年底该公司无人机数量的年平均增长率为， 根据年平均增长率的等量关系，列出方程，解方程并检验即可； （2）设年底至年该公司无人机数量的年增长率为，根据年底公司无人机拥有量不超过架列出不等式，解不等式即可． (1) 小问详解： 解：设年底至年底该公司无人机数量的年平均增长率为， 根据题意得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：年底至年底该公司无人机数量的年平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设年底至年该公司无人机数量的年增长率为， 根据题意得，， 解得， 答：年底至年该公司无人机数量的年增长率应控制在不超过的范围才能达到要求． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）若关于的方程的一个根为，则的值为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，理解一元二次方程的解的定义是解决问题的关键． 把代入一元二次方程得关于的一次方程，然后解一元一次方程即可． 【详解】 解：把代入一元二次方程得， 解得． 故选：B． 2．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为(     ) A. 2 B.  C. 1 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的解；将已知根 代入一元二次方程，直接求解 的值． 【详解】 解：∵ 是方程 的根， ∴ 代入得 ， 即 ， ∴ ． 故选：C． 3．（25-26学年九上·山西临汾·期中）将一元二次方程化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A. 1，2，6 B. 1，，6 C. 1，， D. 1，2， 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：（是常数，且）． 先将一元二次方程化为一般形式，即可得到答案． 【详解】 解：一元二次方程的一般形式为， 二次项系数、一次项系数、常数项分别是， 故选：C． 4．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）下列方程中属于一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义．一元二次方程是只含有一个未知数，未知项的最高次数为2的整式方程，本题根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】 解：A． 中只含有一个未知数且未知项的最高次数是1，是整式方程，这是一个一元一次方程，故选项A不符合题意； B．不是整式方程，故选项B不符合题意； C． 中只含有一个未知数且未知项的最高次数是2，是整式方程，这是一个一元二次方程，故选项C符合题意； D． 中含有两个未知数且未知项的最高次数是1，这是一个二元一次方程，故选项D不符合题意， 故选：C． 5．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）若是一元二次方程的一个根，则的值是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程根的定义，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一元二次方程根的定义，将 代入方程即可直接求出 的值． 【详解】 解：∵ 是方程 的一个根， ∴ ， ∴ ． 故选：B． 6．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程求解即可． 【详解】 解：A．不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； B．符合一元二次方程定义，是一元二次方程； C．中未知数x的最高次数是3，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； D．中含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，不是一元二次方程； 故选：B． 7．（25-26学年九上·山西太原·期中）将一元二次方程化为的形式，若，则，的值分别为（       ） A. 5，1 B. ， C. ， D. ，1 【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般式，将方程移项化为一般形式，再比较系数即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴，， 故选：D． 8．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）下表是某同学求代数式（为常数，且）的值的情况．根据表格中的数据，可知关于的一元二次方程的一个根为（     ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 0 3 8 15 ．．． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【分析】 本题主要考查代数式的值与方程的解，理解表格信息，掌握方程与解的关系是解题的关键． 通过表格数据，分析当x取不同值时，的值，代入方程观察方程是否成立，即可求解． 【详解】 解：根据表格可知， A、当时，，可得，故不是方程的根，选项A不符合题意， B、当时，，可得，故是方程的根，选项B符合题意， C、当时，，可得，故不是方程的根，选项C不符合题意， D、当时，，可得，故不是方程的根，选项D不符合题意． 故选：B． 9．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）若关于的一元二次方程的常数项为零，则　　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的一般形式，根据二次项系数非零及方程的常数项为0，可得出关于c的一元一次方程，解之即可求出c的值． 【详解】 解：∵一元二次方程的常数项为零， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（25-26学年九上·山西大同·期中）若方程的一个根为，则　　　　　． 【答案】1 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，利用一元二次方程解的定义，得到，再整体代入代数式求值， 【详解】 解：∵方程的一个根为， ∴， 则， 故答案为：1 11．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）已知是一元二次方程的一个根，则　　　　　　　　　　　　． 【答案】20 【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】 解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为：20． 12．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）已知关于x的方程(k-2)x|k|-2kx+1=0是一元二次方程，则k的值等于　　　　　　　　　． 【答案】-2 【分析】根据一元二次方程的定义，最高次次数是2，且二次项系数不为零，列式子计算求解即可得到答案． 【详解】解：∵方程(k-2)x|k|-2kx+1=0是一元二次方程， ∴方程最高次次数是2，且二次项系数不为零， 即： 解得：k＝﹣2， 故答案为：﹣2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟记一元二次方程的基本概念是解题的关键． 13．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“好友方程”，如果关于x的一元二次方程x2﹣2x＝0与x2+3x+m﹣1＝0为“友好方程”，求m的值． 【答案】m的值为1或–9． 【分析】通过解方程x2﹣2x=0，可得出方程的根，分x=0为两方程相同的实数根或x=2为两方程相同的实数根两种情况考虑：① 若x=0是两个方程相同的实数根，将x=0代入方程x2+3x+m﹣1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=1符合题意；② 若x=2是两个方程相同的实数根，将x=2代入方程x2+3x+m﹣1=0中求出m的值，将m的值代入原方程解之可得出方程的解，对照后可得出m=2符合题意．综上此题得解． 【详解】解方程x2﹣2x=0，得：x1=0，x2=2． ① 若x=0是两个方程相同的实数根． 将x=0代入方程x2+3x+m﹣1=0，得：m﹣1=0，∴m=1，此时原方程为x2+3x=0，解得：x1=0，x2=﹣3，符合题意，∴m=1； ② 若x=2是两个方程相同的实数根． 将x=2代入方程x2+3x+m﹣1=0，得：4+6+m﹣1=0，∴m=﹣9，此时原方程为x2+3x﹣10=0，解得：x1=2，x2=﹣5，符合题意，∴m=﹣9． 综上所述：m的值为1或﹣9． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代入x求出m的值是解题的关键． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·山西运城·期中）一元二次方程的根为（     ） A.  B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【分析】 本题考查了解一元二次方程. 通过直接开平方法解方程即可. 【详解】 解：∵， ∴或， ∴， ， 故选：C. 2．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查配方法解一元二次方程，将方程整理后，通过配方法转化为完全平方形式．首先移项，使方程左边保留二次项和一次项，右边为常数项；接着配方，将一次项系数的一半的平方加到两边，形成完全平方式． 【详解】 解：移项，得 配方：，即 故选：C． 3．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）一元二次方程可配方成的形式．则的值为（       ） A.  B.  C. 5 D.  【答案】C 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程．通过配方法将一元二次方程化为完全平方形式，比较得出m和n的值，再求它们的和，即可作答． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵一元二次方程可配方成的形式， ∴， ∴ ， 故选：C． 4．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）用配方法解一元二次方程的过程中，配方正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查配方法解一元二次方程．通过移项和添加一次项系数一半的平方，将方程化为完全平方式即可． 【详解】 解：∵， 移项得， 配方得， 即， 故选：D 5．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）用配方法解方程，配方正确的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了解一元二次方程－配方法，通过配方法将二次方程转化为完全平方形式，比较选项得出正确结果． 【详解】 解：∵， ∴， ∴（添加配方）， ∴． 故选：B． 6．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（　　） A. （x﹣3）2=14 B. （x﹣3）2=4 C. （x+3）2=14 D. （x+3）2=4 【答案】A 【分析】 根据配方法解一元二次方程的步骤计算即可. 【详解】 解：移项得：x2-6x=5， 两边同时加上9得：x2-6x+9=14， 即（x-3）2=14， 故选A． 【点睛】 本题考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤是关键. 7．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）一元二次方程配方后可变形为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了配方法解一元二次方程，先移项，然后两边同时，再根据完全平方公式因式分解，即可求解． 【详解】 解：， ∴， ∴， ∴． 故选C． 8．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）用配方法解方程时，配方后得到的方程是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先移项得到，再把方程两边加上9，然后把方程左边用完全平方形式表示即可． 【详解】 解：， ， ． 故选：A． 【点睛】 本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 9．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）用配方法解方程时，配方后所得的方程为（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 先把常数项移项，然后在等式的两边同时加上一次项系数的一半的平方即可． 【详解】 解：利用配方法如下： ． 故选D． 【点睛】 本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的一般步骤是解题关键． 10．（25-26学年九上·山西临汾·期中）阅读下面关于方程的解题过程，解决下列问题． 解：移项，得，①两边同除以2，得，②配方，得，③即，或，④，．⑤ （1）上述解题过程有误，错在步骤________（填序号），错误的原因是________； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）③ ；等式两边没有同时加4     （2）见解析      【分析】 本题主要考查配方法解一元二次方程： （1）步骤③中，等式两边没有同时加4； （2）按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． (1) 小问详解： 解：上述解题过程有误，错在步骤 ③（填序号），错误的原因是等式两边没有同时加4； 故答案为：③ ，等式两边没有同时加4； (2) 小问详解： 解：移项，得， 两边同除以2，得， 配方，得，即， 或， ，． 11．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是一元二次方程的解法； （1）把方程化为，再利用配方法解方程即可； （2）把方程化为，再利用直接开平方法解方程即可. (1) 小问详解： 解：， 移项，得， 配方，得， 即， 两边开平方，得， 即或 ∴． (2) 小问详解： 解：， 移项：， ∴， ∴或， ∴. 12．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）阅读材料，并回答问题： 佳佳解一元二次方程的过程如下： 解： 第一步 第二步 第三步 第四步 ． 问题： （1）上述解答过程中，从第_____步开始出现了错误，发生错误的原因是_______________； （2）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）二，等号右边没有加     （2） ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即或 ∴，．      【分析】 （）观察解答过程可得答案； （）用配方法解方程即可； 本题考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：从第二步开始出现了错误，发生错误的原因是等号右边没有加， 故答案为：二，等号右边没有加； (2) 小问详解： 略 13．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）下面是小明用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：移项，得，……第一步二次项系数化为1，得，……第二步配方，得，……第三步由此可得，……第四步所以，，．……第五步 （1）小明同学的解答过程，从第________步开始出现错误； （2）请你写出正确的解答过程． 【答案】（1）三     （2） 解： 移项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， 由此可得， 所以，，．      【分析】 此题考查了配方法解一元二次方程． （1）按照配方法解一元二次方程的步骤进行判断即可； （2）按照配方法解一元二次方程的正确步骤进行解答即可． (1) 小问详解： 小明同学的解答过程，从第三步开始出现错误，配方结果不正确； 故答案为：三 (2) 小问详解： 略 14．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：二次系数化为1，得……第一步移项，得……第二步配方，得，即……第三步由此，可得……第四步所以，……第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是               ，其中，“配方法”所依据的数学公式是               ； ②“第二步”变形的数学依据是               ； ③小明同学解题过程中，从第               步开始出现错误，并直接写出正确的结果               ． 任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：． 【答案】任务一：转化；完全平方公式（或填）；② 等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）；③ 三；，；任务二：， 【分析】 本题考查解一元二次方程，熟练掌握配方法，是解题的关键： 任务一：① 根据转化思想，完全平方公式进行作答即可；② 根据等式的基本性质，进行作答即可；③ 第三步方程两边应该同时加1，而不是4，求出正确结果即可； 任务二：利用配方法的步骤解方程即可． 【详解】 解：任务一：① 体现的数学思想是转化；“配方法”所依据的数学公式为完全平方公式（或填）． ② 变形依据为等式的基本性质（或等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式）； ③第三步出现错误，方程两边应同时加1； 配方，得，即， 由此，可得， ∴，； 任务二： 解：， ， ， ， ， ， 或， ，． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·山西大同·期中）关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 实数根的个数与实数的取值有关 【答案】B 【分析】 本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式与根的关系是解题的关键．根据一元二次方程根的判别式公式，结合方程中系数的取值，分析判别式的符号，进而判断方程实数根的情况． 【详解】 ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 2．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个根为0 【答案】C 【分析】 本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况．将方程化为一般式，计算判别式，根据判别式的值判断根的情况，即可作答． 【详解】 解：依题意，方程化为， ∴ ，，， ∴， ∴ 方程没有实数根， 故选C． 3．（25-26学年九上·山西运城·期中）关于的方程根的情况，下列说法正确的是（     ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个实数根 【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程的判别式，熟练掌握通过判别式判断根的情况是解题的关键． 通过计算一元二次方程的判别式，判断根的情况，判别式恒非负，故方程总有两个实数根． 【详解】 解：方程的判别式为： ， 展开并简化： ， 由于， 则对于所有实数，方程恒有两个实数根， 当，即时，方程有两个相等根，当时，方程有两个不等根 故选：D． 4．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（       ） A. 只有一个实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，能够熟练计算判别式的值并能根据判别式的值判断根的情况是解题关键．计算判别式的值，再确定根的情况即可． 【详解】 解：， 方程有两个不相等的实数根， 故选：D． 5．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程无实数根的条件，判别式小于零，代入系数求解不等式． 【详解】 解：∵方程 没有实数根， ∴判别式 ， ∴ ， ∴ ． 故选：A． 6．（25-26学年九上·山西太原·期中）不解方程，判断一元二次方程的根的情况，下列结论正确的是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握用一元二次方程根的判别式来判断根的情况是解题的关键．当判别式时，一元二次方程有两个相等的实数根．通过计算判别式的值来判断根的情况即可． 【详解】 解：， 方程有两个相等的实数根． 故选：B． 7．（25-26学年九上·山西临汾·期中）方程的解的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有一个实数根 【答案】A 【分析】 本题考查了根的判别式的意义，计算判别式的值，然后根据判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】 解：方程化为， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 8．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）一元二次方程的根的情况是（       ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握用一元二次方程根的判别式判定方程根的情况是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式来判断根的情况即可． 【详解】 解：方程 中，，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 9．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值（       ） A. 大于25 B. 等于25 C. 小于25 D. 不小于25 【答案】B 【分析】 此题考查了一元二次方程的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的判别式．由一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式，求解即可． 【详解】 解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得， 故选：． 10．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）关于的一元二次方程有两个实数根．则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式． 利用一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根． 【详解】 解：∵方程有两个实数根， ∴， 解得． 故选：D． 11．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 此题主要考查了一元二次方程的解法和根的判别式，熟记一元二次方程的解与的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解决问题的关键． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 12．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）（1）计算： （2）解方程： 【答案】（1）；（2）， 【分析】 本题考查了实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握其运算规则是解题的关键． （1）先化简绝对值，计算平方根，零指数幂，负指数幂，然后从左到右进行计算即可； （2）利用公式法解题即可． 【详解】 （1）解：原式 ； （2）解： ，，， ， ， ，． 13．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则该方程的根为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．由一元二次方程有两个相等的实数根，可得判别式为零，从而求出常数项的值，再代入方程求解根． 【详解】 解：一元二次方程有两个相等的实数根， 则判别式， 解得， 将代入原方程，得， 解方程得， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为　　　　　　． 【答案】8或9 【分析】 分4为等腰三角形的腰长和4为等腰三角形的底边长两种情况，再利用一元二次方程根的定义、根的判别式求解即可得． 【详解】 解：由题意，分以下两种情况： （1）当4为等腰三角形的腰长时，则4是关于的方程的一个根， 因此有， 解得， 则方程为，解得另一个根为， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理； （2）当4为等腰三角形的底边长时，则关于的方程有两个相等的实数根， 因此，根的判别式， 解得， 则方程为，解得方程的根为， 此时等腰三角形的三边长分别为，满足三角形的三边关系定理； 综上，的值为8或9， 故答案为：8或9． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的定义、根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．需注意的是，要检验三边长是否满足三角形的三边关系定理． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）一元二次方程的解是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据因式分解法即可求出答案 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】 本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 2．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）解一元二次方程的数学核心方法是（       ） A. 消元 B. 降次 C. 归纳法 D. 换元法 【答案】B 【分析】 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程各种方法的基本思想是解题的关键．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即“降次”，即可得解． 【详解】 解：解一元二次方程的数学核心方法是降次． 故选：B ． 3．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）一元二次方程的根为　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 利用因式分解法求解即可． 【详解】 解：方程可因式分解为， 则或， 解得：，， 故答案为：，． 4．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）一元二次方程的解是　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查了解一元二次方程． 通过因式分解法求解一元二次方程． 【详解】 解：， ， 或， 解得：，． 故答案为：，． 5．（25-26学年九上·山西太原·期中）一元二次方程的根为　　　　　　． 【答案】x1=-2， x2=1 【分析】 利用因式分解法把原方程转化为x+2=0或x-1=0，然后解两个一次方程即可求解． 【详解】 解：∵(x+2) (x−1)=0 ， ∴ x+2=0或x-1=0， 解得x1=-2， x2=1 ， 故答案为：x1=-2， x2=1． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解法，先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，求解即可． 6．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）下面是小敏同学解方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：方程左边因式分解，得．                                第一步方程两边都除以，得．                                                       第二步解得．                                                                                          第三步 任务： （1）第一步方程左边因式分解的依据是___________．（用含a，b的式子表示） （2）小敏同学的解答过程从第___________步开始出现错误，错误的原因是___________． （3）请直接写出该方程正确的解． 【答案】（1）     （2）二；没有考虑是否等于零；     （3），．      【分析】 本题考查了因式分解法解一元二次方程，注意计算的准确性即可； （1）因式分解的依据是平方差公式； （2）等式两边同时除以一个数（或式）时，必须考虑该数（或式）是否为零； （3）利用因式分解即可求解； (1) 小问详解： 解：由题意得：第一步方程左边因式分解的依据是平方差公式：； (2) 小问详解： 解：小敏同学的解答过程从第二步开始出现错误，错误的原因是：没有考虑是否等于零； (3) 小问详解： 解：∵， ∴，即：， ∴，． 7．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）运用公式法进行解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴ 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴，． 8．（25-26学年九上·山西临汾·期中）小明在与对话中输入如下的文字：“有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3倍后再加上4，结果等于这个数？”经过40秒的深度思考和验证，给出的这个数应该是　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据题意列一元二次方程并求解是解题的关键．设这个数为，根据题目描述的数量关系列出一元二次方程，然后求解方程得到这个数． 【详解】 解：设这个数为． ， ， ， ， 故答案为：2． 9．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）一元二次方程的解为　　　　　　　． 【答案】， 【分析】 本题考查了用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握用因式分解法解一元二次方程是解题的关键．通过因式分解得到，即可得到答案． 【详解】 解：提取公因式 ，得， 或 ， 解得，． 故答案为：，． 10．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）解方程 （1） （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了利用因式分解法和公式法解一元二次方程，准确计算是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可； (1) 小问详解： 解：， ， ， ，， ，． (2) 小问详解： 解：， ， ，，， ， ， ，． 11．（25-26学年九上·山西太原·期中）如图，砗磲（）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本平均日生长速率y（单位：/天）与年龄x（单位：岁）近似满足关系：．现测得某砗磲样本的平均日生长速率为天，求它的年龄． 【答案】64岁 【分析】 将代入，得到一元二次方程，求解方程即得答案． 【详解】 解：将代入， 得， 解得，（不符合题意，舍去） 答：该砗磲样本的年龄为64岁． 12．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）先移项，再利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， 或， ，； (2) 小问详解： 解：， ， ， 或， ，． 13．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1），     （2），     （3），      【分析】 本题主要考查解一元二次方程； （1）根据直接开平方法解一元二次方程即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可； （3）根据公式法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： ，； (2) 小问详解： 解： 或 ，； (3) 小问详解： 解： 这里，， 即，． 14．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）下面是小明解方程的过程： 解：当时，方程两边同时约去，得． 所以原方程的解为：． （1）方程两边同时约去时，为什么要强调？ （2）请仿照小明的方法解方程：． 【答案】（1） ∵等式的基本性质是等式两边同时除以同一个不为0的数，所得结果仍是等式， ∴方程两边同时约去时，要强调；     （2）      【分析】 本题考查一元二次方程的解法（因式分解法），涉及的知识点是“等式的基本性质（等式两边同时除以的数不能为0）”“解一元二次方程的因式分解法”．解题方法是利用等式性质时注意除数不为0的限制，通过移项、因式分解求解方程；解题关键是避免“两边同时除以含未知数的式子”导致漏解，正确的做法是移项后提公因式分解因式．易错点是直接除以含未知数的式子，遗漏使该式子为0的解． （1）根据等式性质，除数不能为0，故需强调； （2）仿照小明的方法解方程即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解： 当时，方程两边同时约去，得，得． 当时，． 所以原方程的解为． 15．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法，一元二次方程有解法有：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法．灵活运用一元二次方程的解法是解题的关键． （1）用公式法求解即可； （2）用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：，，， ， 一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ，； (2) 小问详解： 移项， 提公因式：， 化简：， 所以，． 16．（25-26学年九上·山西大同·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求解方法． （1）移项，利用因式分解法求解即可； （2）利用公式法求解即可． (1) 小问详解： 解： 或 ，； (2) 小问详解： 解： 这里， ，． 17．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）用适当的方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键． （1）两边除以2，开平方法解答； （2）利用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：∵， 两边除以2，得， 开平方，得， ∴． (2) 小问详解： 解：∵， 分解因式，得， ∴， ∴． 18．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）方程移项后运用因式分解法求解即可； （2）方程运用因式分解法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ， ， 或， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ． 即或． 解得，． 19．（25-26学年九上·山西太原·期中）用适当的方法解下列一元二次方程． （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程——配方法， 因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）配方法解一元二次方程； （2）因式分解法解一元二次方程． (1) 小问详解： 解：移项，得， 配方，得， 两边开平方，得， 即，或． 所以，． (2) 小问详解： 移项，得， 分解因式，得， 所以或， 所以，． 20．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）解方程： （1） （2） 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解： ，，， ． ． ，； (2) 小问详解： 解： ． ． 或 ，． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）若a，b是的根，则的值是（     ） A. 2022 B. 2023 C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：． 根据一元二次方程的解的定义得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，即可解答． 【详解】 解：∵a，b是的根， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）已知关于的一元二次方程． （1）当方程有两个实数根时，求的取值范围． （2）当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系，熟知这两个内容是解题的关键． （1）根据一元二次方程有两个实数根，可转换为，求解即可； （2）根据根与系数的关系和，列出关系式，求解即可． (1) 小问详解： 解： 关于的一元二次方程有两个实数根， ， 解得， 即的取值范围是． (2) 小问详解： 解：方程的两个根为， ，． ， ，即， 解得，． ，， 故的值为． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车8月份的销售量为5000辆，10月份的销售量为7200辆，若9月份、10月份该新能源汽车销售量的月平均增长率相同．则月平均增长率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查一元二次方程在实际问题中的应用，从8月到10月共两个月增长，月平均增长率为x，则10月份销售量为，再根据题意建立方程求解，即可解题． 【详解】 解：设月平均增长率为x， ∵从8月到10月共两个月增长， ∴ 10月份销售量为， 根据题意，， ∴或（舍去负根）， ∴， 故选：D． 2．（25-26学年九上·山西运城·期中）在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正式上映．上映第一周票房收入达亿元，第三周票房收入达亿元，如果第二周、第三周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x，则可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，涉及连续增长问题，根据已知条件列出方程是解题的关键． 第一周票房为初始值，第二周和第三周以相同增长率x连续增长，第三周票房是在第一周基础上增长两次，因此方程为第一周票房乘以的平方等于第三周票房，据此列出方程即可． 【详解】 解：设增长率为x，且第二周、第三周连续增长， 则第二周票房为亿元，第三周票房为亿元。 可列方程：， 故选：B． 3．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）某地为庆祝粮食丰收举办大型无人机灯光秀，数千架无人机两两等距、整齐排布于空中．表演时，其中一幕为两个独立的无人机矩形阵分别呈现“丰”“收”二字．其中“丰”字矩形阵如图，该矩形阵的边排布架无人机，边排布架无人机；通过变换部分无人机颜色，形成了黄色笔画（图中阴影部分）的“丰”字．“丰”字所有笔画的宽度均由架无人机排布．已知呈现“丰”字时，该矩形阵中未改变颜色的无人机为架．根据题意可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是通过分析实际情境，利用长方形的面积公式来建立一元二次方程．“丰”字所有笔画的宽度均由架无人机排布，故未改变颜色部分长方形的长由架无人机排布，宽由架无人机排布，根据长方形面积公式列方程即可解答． 【详解】 解：由题意可知，未改变颜色部分长方形的长由架无人机排布，宽由架无人机排布， 根据长方形的面积公式：面积=长×宽，可列方程， 故选：． 4．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）某校组织一次篮球联赛，邀请了x个球队参加比赛，比赛采用单循环制（即每两队之间都要进行一场比赛），计划安排20场比赛．可列方程（       ） A. x（x＋1）＝20 B.  C. x（x－1）＝20 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元一次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键．根据计划安排20场比赛列方程即可． 【详解】 解：由题意，得 ． 故选D． 5．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）若两个相邻正偶数的积是，则这两个正偶数的和为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了数字问题(一元二次方程的应用)，设较小的正偶数为，则较大的为，根据积为列出方程，解一元二次方程求出，再计算两数之和； 【详解】 解：设较小的正偶数为，则较大的为， ∵， ∴， 解得：（舍去）， ∴ 两个正偶数为和， ∴ 和为； 故选：B 6．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）如图，用一张长，宽的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为，则可列出关于的方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设剪去的正方形边长为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 【详解】 解：设剪去的正方形边长为， 由题意可得：． 故选：C． 7．（25-26学年九上·山西大同·期中）转型迈出新步伐，三晋风采谋新篇．近年来，古城大同积极发展算力之城，从地下乌金迈向云端智算．截至2024年底，全市累计报送服务器68万台，预计2026年底达到82.7万台，设2024年到2026年报送服务器的平均增长率为，可列方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的平均增长率问题，根据2024年底，全市累计报送服务器68万台，预计2026年底达到82.7万台，设2024年到2026年报送服务器的平均增长率为，进行分析，建立方程，即可作答． 【详解】 解：∵设平均增长率为，从2024年到2026年经过两年增长， ∴2026年数量为， ∴ 故选：C 8．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）新能源汽车已逐渐成为人们的交通工具，据某品牌新能源汽车经销商1月至3月份统计，该品牌新能源汽车1月份销售1000辆，3月份销售1210辆．设月平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（        ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用．设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x，根据1月份的销售量（增长率）3月份的销售量，列出方程即可． 【详解】 解：设某品牌新能源汽车销售量的月均增长率为x，根据题意得： ， 故选：B． 9．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）某商店原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，为了减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价元，那么每天可多售出，若要每天盈利元，则每千克应降价多少元？ 设每千克应降价元，则所列方程是（            ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的运用，理解数量关系，找出降价后的盈利与销售量是解题的关键． 根据题意，设每千克应降价元，则降价后每千克盈利元，销售量为千克，由此列式即可求解． 【详解】 解：已知原来每天可销售某种水果，每千克盈利元，每千克降价元，那么每天可多售出， 设每千克应降价元，则降价后每千克盈利元，销售量为千克， ∴， 故选：B ． 10．（25-26学年九上·山西太原·期中）今年10月25日是首个法定的台湾光复纪念日．数据显示，2023年大陆赴台游客为22.6万人次，预计2025年全年将达到165万人次．设这两年大陆赴台游客人次的平均增长率为，则下列方程中，能刻画这一情境中的等量关系的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，涉及平均增长率问题，根据平均增长率的定义，每年增长比率相同，故两年后数量为初始值乘以的平方，由此列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】 解：设这两年大陆赴台游客人次的平均增长率为，则2024年游客人次为万人次，2025年游客人次为万人次， ∵2025年预计为165万人次， ∴， 故选：A． 11．（25-26学年九上·山西临汾·期中）布置某艺术中心的会场时，工作人员准备利用45米长的墙为一边，用74米隔离绳围另三边，设立一个面积为800平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边各空出一个3米的出入口（出入口不用隔离绳），如果设这个长方形垂直于墙的一边长为x米，那么可以列出关于x的方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用， 先表示长方形的另一边，再根据面积相等列出方程即可． 【详解】 解：这个长方形垂直于墙的一边长为x米，另一边为，根据题意，得． 故选：C． 12．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）村“”是指乡村篮球赛，近年来，村“”在多地火爆开展，已发展成为一项全国性赛事．经过层层筛选，主办方最终确定了参赛队伍，并在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知整个小组赛阶段共比赛110场，则参加比赛的球队有（       ） A. 9支 B. 10支 C. 11支 D. 12支 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解． 每个队与其他队都要进行主、客场比赛，即每两个队之间要进行两场比赛，设有支球队，比赛场次共有场，再根据共有110场比赛活动来列出方程，从而求解． 【详解】 解：设有x支球队参加， 依题意得，， 解得：，（舍去） ∴共有11支球队参加比赛． 故选：C． 13．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）参加我市酒品交易会的每两家公司都签订了一份合同，所有公司共签订了28份合同，则公司共有（       ） A. 5家 B. 6家 C. 7家 D. 8家 【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设共有x家公司参加酒品交易会，则每个公司要签份合同，签订合同共有份合同，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】 解：设共有x家公司参加酒品交易会，则每个公司要签份合同， 根据题意，得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 则公司共有8家， 故选：D． 14．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）布置某艺术中心的会场时，工作人员准备利用35米长的墙为一边，用68米隔栏绳围另三边，设立一个面积为600平方米的长方形等候区，如图，为了方便群众进出，在两边各空出一个1米的出入口（出入口不用隔栏绳）．如果设这个长方形垂直于墙的一边长为米，那么可以列出关于的方程（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这个长方形垂直于墙的一边长为米，则这个平行于墙的一边长为米，据此根据长方形面积计算公式列出方程即可． 【详解】 解：由题意得，， 故选：C． 15．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）第二十四届太原市机器人竞赛暨太原市第十届“创新未来”中小学生机器人竞赛活动中，全市208所中小学校一千多名学生参加，某校有25人参加，都获得不同等级的奖项，已知该校第二十二届参赛人数是16人，连续两年平均增长率相同．则该校参赛人数连续两年的平均增长率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解答本题的关键．设平均增长率为x，根据连续两年相同增长率模型，从第22届16人增长到第24届25人，列出方程 求解即可． 【详解】 解：设平均增长率为x， ∵第二十二届参赛人数是16人，第二十四届参赛人数是25人，且每年增长率相同， ∴， ∴， ∴， ∴，（舍去）． ∴平均增长率为25%． 故选：B． 16．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）某旅行社国庆期间接待了一个亲友旅游团．游玩时，导游先给该亲友团拍了1张集体照，又给每两位亲友都拍了1张合影．为了保证每位亲友团成员都能拿到有自己的所有照片，该旅行社一共冲印了256张照片，则这个亲友团的人数为（     ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】C 【分析】 本题主要考查了列代数式，列一元二次方程求解，解题关键是理解题意． 设亲友团人数为，集体照冲印份（每人一份），每张合影冲印2份（每人一份），合影张数为，总冲印照片数为，然后列方程求解即可． 【详解】 解：∵ 集体照1张，每人需1份，冲印张； ∵ 每两位合影1张，共张，每张冲印2份，冲印张； ∴ 总冲印照片数； ∵ ， ∴ ，（负值已舍）， 故选：C． 17．（25-26学年九上·山西大同·期中）为传递正能量，九年级各班决定互送励志祝福．若规定每个班要给本年级其他所有班级各送1条祝福，且所有班级送出的祝福总数是90条，则九年级的班级数为（     ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】A 【分析】 此题考查一元二次方程的实际应用，正确理解每个班送出祝福条数与总祝福数的关系是解题关键，通过建立一元二次方程求解 设班级数为n，每个班送出条祝福，总祝福数为，解一元二次方程即可 【详解】 设九年级班级数为n， ， ∴或（舍去）， 故九年级班级数为10， 故选：A 18．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）金秋葡萄迎丰收，“甜蜜”溢满清徐县，清徐是国内著名的葡萄产区之一，素有“葡萄之乡”的美称．2022年位于清徐县的某葡萄采摘园的年产量约为1吨，截至2024年底，三年总产量约为3.64吨．若设这三年中该采摘园葡萄的年平均增长率为x，则可列方程为(     ) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用；根据年平均增长率，分别计算2022年、2023年、2024年的产量，三年产量之和等于总产量3.64吨． 【详解】 解：设年平均增长率为， ∵ 2022年产量为1吨， 2023年产量为吨， 2024年产量为吨， 三年总产量为， ∴ 所列方程为． 故选：C． 19．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点A，B，C，D正好重合于上底面一点．且此长方体盒子的表面积为，其中，若设的长为，则可列方程为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 设的长为，则的长为，利用长方体盒子的表面积＝正方形纸片的面积等腰直角三角形的面积，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】 解：设的长为，则的长为， 根据题意得：， 即， 故答案为：． 20．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）某超市购进一批优质水果，进价为每箱100元．调查发现，当销售单价为每箱170元时平均每天能售出80箱，而当销售单价每降价10元，平均每天能多售出20箱． （1）填空：设每箱降价x元，实际售价为______元/箱，平均每天售出______箱（用含x的代数式表示）； （2）若超市每天销售这种优质水果的利润要达到6000元，且要尽快减少库存，求每箱应降价多少元？ 【答案】（1）     （2）每箱应降价20元      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意分别列出代数式即可； （2）设每箱应降价x元，实际售价为元/箱，平均每天售出箱，根据超市每天销售这种优质水果的利润要达到6000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． (1) 小问详解： 解：设每箱降价x元，实际售价为元/箱， 平均每天售出箱，即箱， 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：设每箱应降价x元，实际售价为元/箱，平均每天售出箱， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 因为要尽快减少库存，所以销量应尽可能大， 当时，销量为箱， 当时，销量为箱， 因为， 所以应取， 故舍去． 答：每箱应降价20元． 21．（25-26学年九上·山西大同·期中）为落实劳动教育要求，某中学组织学生用总长为10米的篱笆，在校园直角围墙一角围建矩形种植实践区，最终建成的实践区面积达16平方米，则该矩形的较短边长为　　　　　米． 【答案】2 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．设该矩形的较短边长为米，根据面积达16平方米，列一元二次方程，求较小值即可． 【详解】 解：设该矩形的较短边长为米，则较长边长为米， 由题意得， 整理得：， 解得：，（舍）， 即该矩形的较短边长为米， 故答案为：2． 22．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）2025年哈尔滨第九届亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”以东北虎为原型设计，寓意“哈尔滨欢迎您”，深受市民和游客喜爱．某特许商品零售店推出吉祥物毛绒玩偶，每件进价35元．根据市场调研，若售价定为50元时，每天可售出200件，售价每下降1元，销量增加20件． （1）若商家决定降价销售，设每件降价x元，求每日销量y（件）与x（元）的函数关系式； （2）在（1）条件下，若商家要想获利3080元，且让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价多少元？ 【答案】（1）     （2）这种玩偶每件应降价元      【分析】 本题考查了求一次函数解析式，一元二次方程的应用，根据题意列一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意列函数解析式即可； （2）设这种玩偶每件应降价元，根据题意列方程得，解得或，为了让顾客获得更大实惠，则这种玩偶每件应降价元． (1) 小问详解： 解：根据题意：每件降价x元， 每日销量y（件）与x（元）的函数关系式为； (2) 小问详解： 解：设这种玩偶每件应降价元， 根据题意列方程得， 解得：或， 为了让顾客获得更大实惠， 这种玩偶每件应降价元． 23．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）在某足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛场，求参加比赛的球队数量．设有x个队参赛，根据题意可列方程为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，注意与的比赛，和与的比赛是同一场比赛，即可求解． 【详解】 解：∵有x个队参赛， ∴共比赛场， ∵与的比赛，和与的比赛是同一场比赛， ∴， 故答案为： 24．（25-26学年九上·山西临汾·期中）体育是学生综合素质发展的重要组成部分，跳绳和排球垫球是中考体育的两个考试项目，跳绳和排球也成为部分学生必备的中考体育用品，某体育用品商店为满足学生需求，销售一种跳绳和排球套装，每套进货价为65元，销售价为88元．经统计，8月份的销售量为256套，10月份的销售量为400套． （1）求这种跳绳和排球套装8月份到10月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，11月份的销售量将与10月份持平，商店为了减少库存，采用降价促销方式．调查发现，每套的销售价每降低1元时，月销售量就会增加20套，该商店要想使月销售利润达到8400元，这种跳绳和排球套装的销售价应降低多少元？ 【答案】（1）     （2）降低8元      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用， 对于（1），设该款跳绳和排球套装8月份到10月份销售量的月平均增长率为，根据8月份的销售量为256套，10月份的销售量为400套得出方程，求出解即可； 对于（2），设该款跳绳和排球套装售价降低元，根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，求出解，即可得出符合题意的答案． (1) 小问详解： 解：设该款跳绳和排球套装8月份到10月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设该款跳绳和排球套装售价降低元，根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：该款跳绳和排球套装降低8元时，月销售利润达8400元． 25．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）定义：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍．则称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，已知给定矩形的长和宽分别为和．求它的“加倍矩形”的长和宽． 【答案】它的“加倍矩形”的长为，宽为 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设“加倍”矩形的长为，则宽为，根据矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可． 【详解】 解：由题意得，“加倍”矩形的周长为：，则其长和宽之和为， 设“加倍”矩形的长为，则宽为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，宽为，符合题意； 当时，宽为，不满足长大于宽，舍去； 答：它的“加倍矩形”的长为，宽为． 26．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）阅读与思考 用构图法解关于一元二次方程的解法：以为例，构造方法如下：首先将方程变形为然后画四个长为，宽为x的矩形．按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：据此易得原方程的一个正数根为． （1）参照上述图解一元二次方程的方法，解方程，填写下面横线上的内容． 解：应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积每一个均为，中间的小正方形面积为 大正方形的面积为______． 大正方形的边长为______． 正数______． 参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是______（从序号①②③中选择）． （2）一般地对于形如：的一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图（2）是由4个宽为x，长为，这4个矩形的总面积为12，中间围成的正方形边长为2，求a，b，并求出正数x的值． 【答案】（1）②     （2），，      【分析】 本题考查了构造图形解一元二次方程，解答本题的关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，体现了数形结合的思想． （1）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题； （2）根据4个矩形的总面积为12，中间围成的正方形边长为2，列方程即可解答． (1) 小问详解： 解：应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积每一个均为，中间的小正方形面积为， 大正方形的面积为， 大正方形的边长为7， 所以， 正数， 参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是② ； 故答案为：，7，5，② ； (2) 小问详解： 解：如图， 由题意得：，， ，舍，， ， ． 27．（25-26学年九上·山西运城·期中）项目式学习 项目名称：农家乐扩建与经营优化 项目背景：某数学学习小组积极帮助经营户解决就餐区域扩建和餐饮定价问题．经营户计划将现有的就餐区域扩建，以提升顾客体验．同时，为了吸引更多顾客，他计划推出特色餐饮品鉴活动，需要确定一个合适的收费标准，使每天的营业额能够有所提高． 任务一：就餐区域扩建规划 现有就餐区域是一个矩形，面积为168平方米．扩建时，经营户计划将矩形的一边增加6米，另一边增加8米，使扩建后的区域成为一个正方形．扩建后正方形就餐区域的边长是多少米？ 任务二：餐饮定价策略 经营户推出特色餐饮品鉴活动．通过市场调查，发现当收费标准为200元/人时，平均每天可接待顾客50人．收费标准每降低10元，平均每天可多接待5人，如果经营户希望每天特色餐饮品鉴活动的营业额达到11250元，收费标准应确定为多少元/人？ 请你完成以上两项任务． 【答案】正方形的边长为20米；收费标准应定为150元/人． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用． 任务一；设扩建后正方形边长为米，根据题意列出一元二次方程，解方程并根据实际取舍方程的解，即可求解； 任务二：设：收费标准降低元，根据题意列出一元二次方程，解方程并根据实际取舍方程的解，即可求解． 【详解】 解：任务一；设扩建后正方形边长为米， 根据题意得：， 解得：，（舍） ∵， ∴取20． 答：正方形的边长为20米． 任务二：设：收费标准降低元， 根据题意得：， 解得：，元． 答：收费标准应定为150元/人． 28．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）为深入学习习近平总书记在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会上的重要讲话精神，打造“大思政课”品牌．某校举行宣讲活动，活动结束后校园书店准备购进一些爱国主义教育图书，10月份以每套50元的价格购进800套，当月以单价80元销售，售出了200套．11月如果单价不变，预计仍可售出200套，书店老板为增加销售量，决定降价销售，根据学生意向调查，单价每降低1元，可多售出10套，但最低单价应高于购进的价格；11月结束后，书店对剩余的这种图书一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设在11月清仓前图书单价降低元． （1）填表：（不需化简） 时间 10月 11月 清仓时 单价（元） 80 ______ 40 销售量（套） 200 ______ ______ （2）如果书店希望通过销售这批图书获利9000元，那么11月的单价应定为多少元？ 【答案】（1），，     （2）11月的单价应是70元      【分析】 本题主要考查实际问题与一元二次方程； （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意列一元二次方程，并求解即可； (1) 小问详解： 解：设在11月清仓前图书单价降低元， 11月单价为：元， 11月销售量为：套， 清仓时销售量为：套； 故答案为：，，． (2) 小问详解： 解：由题知：， 整理：， 解得， 元； 答：11月得单价应是70元． 29．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）阅读下列材料，完成相应的任务： 几何法探究配方法解方程西周时期政治家周公与数学家商高探讨“数”的起源，商高说：“数出于方圆，圆出于方，方出于矩，”，老师在课堂上利用“矩”得“方”解决了配方法解方程的问题．例：如图：某正方形广场外侧有两条宽度相同的小路，已知正方形边长为11，小路面积为48，求小路的宽． 设小路宽为，根据题意可列方程：，解方程时想到“矩”旁边有一个“方”，组合成另一个大的“方”，整体看大正方形面积既可以表示为，也可以表示为，根据构造的图形，可将方程变形为，利用平方根的定义求解即可．将方程抽象为，求解过程如下：， 任务： （1）将材料中剩余步骤补充完整，求出方程的解． （2）班级数学爱好者模仿以上材料，做了新的笔记：假如已知某矩形的面积为20，长比宽多10，求矩形的长和宽．设矩形宽为，则长为，根据题意列方程得，解方程时想到用“矩”得“方”的办法进行配方． ①根据构造的图形，可将方程变形为：                 ，利用平方根的定义求解即可． ②将方程抽象为：                 ． （3）将②抽象出的方程，按照材料中的思路写出求解过程． 【答案】（1） ， ， 情况一：当时， ， ，， 情况二：当时， 原方程无实数根；     （2）①；②（可以用区别与的任意字母）     （3） ：， 当时，， ， ，； 当时，原方程无解．      【分析】 本题主要考查了配方法的应用，平方根的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）分两种情况：，进行求解即可； （2）① 根据大正方形的面积等于边长的平方，另外大正方形可以看作一个小正方形和周围四个长方形的面积之和，列出方程即可； ② 根据题干提供的解题方法求解即可； （3）用配方法进行求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① 解：构造的正方形的边长为：， 则构造的大正方形面积为：， 中间小正方形的边长为：， 则中间小正方形的面积为：， 四周四个小长方形的面积和为， ∴， 即； ② 将方程抽象为；（可以用区别于的任意字母） (3) 小问详解： 略 30．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长尺，则根据题意，可列方程　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，涉及勾股定理，属于基础题，根据题意准确列出等式是解题关键． 设竹竿长为x尺，则门框宽为尺，门框高为尺，根据题意，得． 【详解】 解：设竹竿长为x尺，则门框宽为尺，门框高为尺， 根据题意，得． 故答案为：． 31．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）刺绣布老虎是山西传统手工艺品，起源于商周时期以虎为图腾的民俗，后经3000多年历史演变，逐步完善定型．某工艺品店售卖一款布老虎，请根据以下材料完成相应任务．以下是乐学小组学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 市场调查素材 素材一 此工艺品的进价为元． 素材二 经过市场调查，销售单价是元时，每天的销售量为件． 素材三 销售单价每降低元，每天就多售出件． 素材四 该店为促进资金流转，决定尽可能清空库存． 问题解决 任务一 若销售单价为元，求每天销售这款布老虎的利润； 任务二 若计划每天销售这款布老虎盈利元，那么每件布老虎的售价为多少元？ 【答案】（1）若销售单价为元，每天的销售利润为元；（2）每件工艺品售价为元时，每天的销售利润为元 【分析】 本题考查销售利润的实际计算与一元二次方程的应用，涉及的知识点是 “利润公式（利润 = 单件利润 × 销售量）”“根据售价变化分析销售量的变化关系”“一元二次方程的求解及实际意义的取舍”．解题方法是利用 “售价降低→销售量增加” 的关系，结合利润公式计算实际利润；通过设未知数表示售价、销售量，列方程求解后根据 “清空库存（销售量最大）” 的需求选择合适的解．解题关键是准确建立售价与销售量的变化关系，注意方程解的实际意义取舍．易错点是忽略 “清空库存” 对应的售价选择，或计算销售量变化时出错．解题思路为：任务一，先算单件利润和变化后的销售量，再用利润公式计算；任务二，设售价（或降价金额）为未知数，结合销售量变化列方程，求解后根据实际需求确定售价． 【详解】 （1）（元）． 答：若销售单价为元，每天的销售利润为元． （2）解法1： 设每件工艺品降低元时，每天的销售利润为元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 尽可能清空库存，． （元）． 答：每件工艺品售价为元时，每天的销售利润为元 解法2： 设每件工艺品售价为元时，每天的销售利润为元． 根据题意，得． 解这个方程，得． 尽可能清空库存，． 答：每件工艺品售价为元时，每天的销售利润为元． 32．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）随着我国科技创新能力的持续提升，国产智能手机品牌凭借核心技术突破与优质用户体验，在全球市场的认可度显著提高．某国产手机品牌，年全球手机销量为万部，依托技术迭代与全球化布局，年销量稳步攀升至万部．求该手机品牌年至2024年全球手机销量的年平均增长率． 【答案】该手机品牌年至年销量的年平均增长率为 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用（增长率问题），涉及的知识点是“增长率公式：现期量基期量+增长率（为增长次数）”．解题方法是设年平均增长率为未知数，根据增长率公式列方程，求解后结合实际意义取舍结果；解题关键是准确应用增长率公式，注意增长次数的确定（到年是次增长）．易错点是混淆增长次数，或解方程后未舍去不合理的负根．解题思路为：设年平均增长率为，根据年销量和年销量，利用增长率公式列方程，求解后得到符合实际的增长率． 【详解】 设该手机品牌2022年至2024年销量的年平均增长率为， 根据题意，得． 解这个方程，得（不合题意，舍去）． 答：该手机品牌年至年销量的年平均增长率为 33．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧： 主题：双皮奶销售方案制定问题 顺德美食历史悠久，尤其是清香润滑的双皮奶，为了能吸引不同年龄段的人流进店消费，某店推出“卡通财神双皮奶”，“缤纷双皮奶”两个新品． 素材1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶 素材2 经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份． 素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份． 问题解决 任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？ 任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？ 【答案】任务1，该甜品店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务2，该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，双皮奶应该降价元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用． 任务1，设该甜品店“缤纷双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，根据题意列一元二次方程，据此求解即可； 任务2，设双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，由题意列一元二次方程，据此求解即可． 【详解】 解：任务1，设该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是， 由题意得，整理得， 解得或（不合题意，舍去） 答：该甜品店“满杯杨梅”5月份到7月份销售量的月平均增长率是； 任务2，设双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为了尽快减少库存，， 答：该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，双皮奶应该降价元． 34．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）某校积极开展劳动教育实践活动，不断加大投入，建设校园农场．年该校园农场所有农作物的产量为，年该校园农场所有农作物的产量达到．若其年平均增长率保持不变，估计年该校园农场所有农作物的产量是多少． 【答案】 【分析】 本题考查了实际问题与一元二次方程，关键是利用等量关系列出方程； 根据：变化前的量变化后的量，（为变化的次数）即可列出方程   ． 【详解】 解：设该校园农场所有农作物的年平均增长率为．                                  根据题意，得．                                         解得，．                                  ∵增长的百分率不可能是负数， 不符合题意， 经检验，符合本题要求．                            ．                                         答：估计年该校园农场所有农作物的产量为． 35．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）2025年，平遥古城依托其深厚的文化底蕴，旅游经济持续向好．据统计，2023年平遥县全年接待游客量为1000万人次，预计到2025年全年，接待游客量将达到1440万人次． （1）求2023年到2025年这两年平遥县游客量的年平均增长率． （2）平遥某特产店销售一款“平遥推光漆器”纪念品，已知该纪念品平均每天可售出20个，每个盈利40元．在2025年“十一”黄金周期间，该店决定降价促销．如果每件降价1元，平均每天可多售出2件．在每个纪念品盈利不少于25元的前提下，要使该纪念品每天盈利1200元，每个纪念品应降价多少元? 【答案】（1）     （2）10元      【分析】 本题考查的是一元二次方程的应用； （1）设这两年平遥县游客量的年平均增长率为，根据2025年接待游客量将达到1440万人次，再建立方程求解即可； （2）设每个纪念品应降价元，则销售量为件，由题意得，，计算求解即可． (1) 小问详解： 解：设这两年平遥县游客量的年平均增长率为， 则， ∴， 解得：，（舍去）， ∴这两年平遥县游客量的年平均增长率； (2) 小问详解： 设每个纪念品应降价元，则销售量为件， 由题意得，， 整理得：， 解得，， 当时，每个纪念品盈利30元，符合题意； 当时，每个纪念品盈利20元，不符合题意； ∴每个纪念品应降价10元． 36．（25-26学年九上·山西大同·期中）手卷是国画装裱中横幅的一种体式，以能握在手中顺序展开阅览得名，它主要由“引首”“画心”“拖尾”三部分组成（这三部分都是矩形），分隔这三部分的其余部分统称为“隔水”，图中是为纪念抗日战争胜利80周年所画的《水上游击队》．该手卷长，宽，引首和拖尾完全相同，其宽度都为，若画心的面积为，“隔水”部分宽度相等，均为，求“隔水”的宽度． 【答案】“隔水”的宽度为 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意用“隔水”的宽度表示出“画心”的面积，列出方程，是解题的关键．由“隔水”的宽度为，则“画心”的长为，宽为，结合“画心”的面积为了，列出方程，即可解答． 【详解】 解：由题意得， 化简得， 整理得， 解得：，（不符合题意，舍去） 答：“隔水”的宽度为． 37．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）如图，学校为美化环境，准备用总长为的篱笆，在靠墙的一侧设计一块矩形花圃，其中墙长，花圃三边外围用篱笆围起，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．若花圃的面积为，求花圃的一边的长； 【答案】花圃的一边的长为 【分析】 本题考查一元二次方程的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设，则，根据花圃的面积为列方程，并保留符合实际意义的解即的长度不能超过墙的长度． 【详解】 解：设，则， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：花圃的一边的长为 38．（25-26学年九上·山西忻州地·期中）阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ （2）体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】（1）36；120；     （2）不能     （3）一共能摆放20排．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． (1) 小问详解： 解：三角点阵中前8行的点数之和为， 前15行的点数之和为， 那么，前行的点数之和为； 故答案为：36；120；； (2) 小问详解： 解：不能， 理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， 所以三角点阵中前n行的点数和不能是500； 故答案为：不能； (3) 小问详解： 解：同理，前行的点数之和为， 由题意得， 得，即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 39．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）综合与实践 有一块长、宽的矩形硬纸板做收纳盒． （1）如图1，设计无盖长方体收纳盒．把一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒．若收纳盒的底面积为，则剪去的小正方形的边长为多少？ （2）如图2，设计有盖长方体收纳盒．把另一块长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，然后折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．问能否折出底面积为的有盖盒子？若能，请求出盒子的体积；若不能，请说明理由． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键． （1）设剪去的小正方形的边长为，根据长方形面积公式列一元二次方程求解即可； （2）设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为，根据长方形面积公式列一元二次方程求解即可． (1) 小问详解： 解：设剪去的小正方形的边长为． 由题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的小正方形的边长为． (2) 小问详解： 解：能． 设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为． 根据题意，得， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 盒子的体积为． 40．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）根据以下素材，探索完成任务． 素材一：某水果店热销一批凤梨，其进价每个为5元，当售价每个为25元时，平均每天可以卖出120个． 素材二：经市场调研发现，售价每个每下降1元，每天可多卖出10个． 任务一：分析变量关系 （1）若设每个降价x元，则平均每天的销售数量为_________个．（用含x的代数式表示） 任务二：探索调整方案 （2）该水果店如何调整售价，才能使每天的利润达到2520元？ 【答案】（1）；（2）下降2元或6元 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程，是解题的关键： （1）根据售价每个每下降1元，每天可多卖出10个，列出代数式即可； （2）根据总利润等于单个利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】 解：（1）由题意，设每个降价x元，则平均每天的销售数量为个； （2）设每个降价元． 根据题意，得． 整理，得，解得，． 答：将售价每个下降2元或6元，能使每天的利润达到2520元． 41．（25-26学年九上·山西太原·期中）第七届山西文化产业博览交易会上，首次亮相的唐代木构建筑毛绒玩具，将佛光寺释迦塔、南禅寺等唐代古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野．某礼品店新购进一批古建毛绒玩具，采用多种方式进行宣传、促销． 信息收集：试销期间，该礼品店某款古建毛绒玩具销售情况如下表： 每周销量 80个 每个盈利 16元 市场调研结果 售价每下降1元，一周可多销售10个 问题解决：为让利于顾客，礼品店决定降价销售这款古建毛绒玩具．根据试销信息，要想使该礼品店每周销售此款玩具的盈利为1440元，每件玩具应降价多少元？ 【答案】4元 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意列方程求解是关键．设每件玩具应降价x元，则此款玩具的销售利润为元，销量为个，即可列方程求解． 【详解】 解：设每件玩具应降价元， 由题意，得， 解，得， 答：每件玩具应降价4元． 42．（25-26学年九上·山西太原·期中）某小区为规范电动自行车充电安全管理，计划新建一个形状为长方体的车棚，设计图如图所示，车棚内三面墙上装有与地面平行的，，三段不锈钢轨道（图中灰色部分），便于安装充电插座．已知该车棚地面占地面积为80平方米，三段不锈钢轨道总长为28米，则段不锈钢轨道的长为　　　　　　米． 【答案】20 【分析】 本题考查了二元一次方程组的应用和一元二次方程的求解，理解题意是解决本题的关键． 设段的长为米，段的长为米，根据题意可列和，运用代入消元法求解再结合一元二次方程的解法进行求解即可． 【详解】 解：设段的长为米，段的长为米， ∵三段不锈钢轨道总长为28米， ∴； ∵车棚地面占地面积为80平方米， ∴， ∴ ， 将变形为， 将代入中， ， 解得或， 当时，； 当时，． ∵， ∴， ∴只有，符合条件． 故答案为：20． 43．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）中秋节前夕，某超市购进了一批月饼礼盒，进价为每盒元．根据市场调研，如果每盒售价定为元，那么平均每天可以售出盒．超市经理发现，每降价元，每天的销量就会增加盒．为了迎接中秋销售高峰，超市决定采取适当的调价措施．如果超市希望每天的月饼销售利润能够达到元，并希望尽可能让顾客得到实惠，那么每盒月饼的售价应降价多少元？ 【答案】每盒月饼的售价应降价元． 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设每盒月饼的售价应降价元，根据题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】 解：设每盒月饼的售价应降价元， 根据题意得： 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）. 答：每盒月饼的售价应降价元． 44．（25-26学年九上·山西吕梁汾阳·期中）随着科技的发展，某公司拥有的无人机数量逐年上升，据统计，该公司无人机的数量年为架，年达到架． （1）求年底至年底该公司无人机数量的年平均增长率； （2）该公司为控制无人机数量的增长速度，计划到年底公司无人机拥有量不超过架，预计年年底报废的无人机数量是年无人机拥有量的，求年底至年该公司无人机数量的年增长率要控制在什么范围才能达到要求． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． （1）设年底至年底该公司无人机数量的年平均增长率为， 根据年平均增长率的等量关系，列出方程，解方程并检验即可； （2）设年底至年该公司无人机数量的年增长率为，根据年底公司无人机拥有量不超过架列出不等式，解不等式即可． (1) 小问详解： 解：设年底至年底该公司无人机数量的年平均增长率为， 根据题意得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：年底至年底该公司无人机数量的年平均增长率为． (2) 小问详解： 解：设年底至年该公司无人机数量的年增长率为， 根据题意得，， 解得， 答：年底至年该公司无人机数量的年增长率应控制在不超过的范围才能达到要求． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $