专题07 随机事件的概率（期中真题汇编，山西专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦随机事件概率三大核心考点，精选山西多地期中真题，情境融合科技前沿（如人工智能软件选择）、文化传承（如数学家故事、山西特产）及生活实践（如体育活动、支付方式），实现知识应用与素养培育的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|8题|概率定义、列举法求概率、频率估计概率|结合小程序移动、配紫色游戏等动态情境考查概率计算| |填空|7题|等可能事件概率、频率稳定性|以平行四边形面积比、纪念币抛掷试验等体现数形结合| |解答|12题|列表法/树状图求概率、统计与概率综合|设计航天知识竞赛抽题、电影选择等真实问题，强化分步计数与分类讨论思想|

专题07 随机事件的概率 3大高频考点概览 考点01 概率 考点02 用列举法求概率 考点03 用频率估计概率 考点01 概率 1．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）如图是一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“ ”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子上，当“ ”位于格子A时．小明连续点击两次按钮，“ ”回到格子A的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据概率公式解答即可． 本题考查概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【详解】 解：当“ ”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，则有等可能四种结果， ① 两次都向左移动，则“ ”落在E处； ② 先向左再向右，则“ ”回到格子A； ③ 先向右再向左，则“ ”回到格子A； ④ 两次都向右移动，则“ ”落在C处； 所以当“ ”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“ ”回到格子A的概率是 故选：D． 2．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）在研究随机事件的概率中，有的是等可能事件，可以算出理论概率，有的理论概率计算复杂，还有的是非等可能事件，这两种事件的概率选择用实验的方法，通过增加实验的频次，用频率估计概率，下面是利用计算机模拟实验估计50个人中有两人生日相同的概率曲线图，通过图中数据可知40个人中两人生日相同的概率接近　　　　　　．（精确到） 【答案】 【分析】 本题考查了从图像获取信息． 根据概率曲线图作答即可． 【详解】 解：由概率曲线图可知，40人时对应的概率为． 故答案为：． 3．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率，三角形中线定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由平行四边形性质可得，，，则有，，然后证明，则有，故，然后用概率即可求解． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴它落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 考点02 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）为深化全民阅读，引领区域阅读新风尚，暑期我区特举办了“学在榆次·榆阅书香”中小学生讲书诵读大赛，小亮计划从《红星照耀中国》、《红岩》、《朝花夕拾》三本书中随机选取两本备战比赛，则选中《红岩》与《朝花夕拾》的概率为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查列表法或树状图法、概率公式，熟练掌握列表法或树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 画树状图可得出所有等可能的结果数以及恰好选中《红岩》与《朝花夕拾》的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】 解：将《红星照耀中国》、《红岩》、《朝花夕拾》分别记为，画树状图如下： ∴共有6 种等可能的结果，其中恰好选中《红岩》与《朝花夕拾》的结果有 2 种， ∴选中《红岩》与《朝花夕拾》的概率为， 故选：B． 2．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）用如图所示的转盘进行配紫色游戏（红色和蓝色在一起配成了紫色），已知转盘被分成面积相等的三部分，若转动转盘两次，则转盘上两次显示的颜色可以配成紫色的概率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了用列表法或画树状图法求概率． 首先根据题意列表，然后由表可得所有等可能的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】 解：列表如下： 由表可得，一共有9种等可能的结果，其中配成紫色的结果有2种， 所以转盘上两次显示的颜色可以配成紫色的概率为． 故选：B． 红 白 蓝 红 （红，红） （红，白） （红，蓝） 白 （白，红） （白，白） （白，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝） 3．（25-26学年九上·山西运城·期中）某校举行“激情十月，唱响青春”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，若不设并列奖，则甲、乙同学获得前两名的概率是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了古典概型的概率计算，熟练掌握列表法列举所有可能结果并结合概率公式计算是解题的关键．用5行5列表格呈现四名同学获前两名的所有排列情况，统计总结果数与甲、乙获前两名的结果数，再通过概率公式计算． 【详解】 解：列表如下： 总结果数： 甲、乙获前两名的结果数：2种（即“（甲，乙）” “（乙，甲）”）， ∴， 故选：A． 第一名\第二名 甲 乙 丙 丁 甲 — （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） — （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） — （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） — 4．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）如图，有一个质地均匀且六个面上分别标有数字：，，，，，的正方体骰子，甲、乙两名同学按照以下游戏规则：每人先掷骰子，骰子朝上的数是几，就将棋子前进几格，并获得格子中的相应物品．现在轮到乙掷骰子，棋子在标有数字“1”的那一格，汽车在第8个格子．他知道无论怎样，掷一次骰子都得不到汽车，申请连续掷两次，他连续掷两次骰子能获得汽车的概率是（） A.  B.  C. 1 D.  【答案】A 【分析】 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法和树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与能获得“汽车”的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】 列表如下： 共有36种等可能的结果，其中和为7（得到“汽车”）的结果有6种， ∴他连续掷两次骰子能获得汽车的概率是， 故选A． 1 2 3 4 5 6 1 1，1 1，2 1，3 1，4 1，5 1，6 2 2，1 2，2 2，3 2，4 2，5 2，6 3 3，1 3，2 3，3 3，4 3，5 3，6 4 4，1 4，2 4，3 4，4 4，5 4，6 5 5，1 5，2 5，3 5，4 5，5 5，6 6 6，1 6，2 6，3 6，4 6，5 6，6 5．（25-26学年九上·山西太原·期中）《数学之美》特种邮票于今年3月14日发行．如图，该邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．现将这4枚邮票（除正面图案外完全相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚．两次抽取的邮票图案名称不相同的概率为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 此题考查的是列表法或树状图法求概率求概率，列表得到共有种等可能的结果，其中抽到的两枚邮票图案名称不相同的结果有种，再由概率公式求解即可. 【详解】 解：把邮票图案分别为“圆周率”“勾股定理”“欧拉公式”“莫比乌斯带”的张邮票分别记为、、、，列表如下： 共有种等可能的结果，其中抽到的两枚邮票图案名称不相同的结果有种， ∴抽到的邮票图案名称不相同的概率为 ， 故选: C． 6．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）随着人工智能技术的兴起，越来越多的人开始尝试用它进行创作．小华计划课余时间利用人工智能辅助自己进行小说创作，于是他对人工智能软件进行了一定的了解． （1）小华先寻找了一些能够帮助他梳理小说脉络结构的人工智能软件：、通义千问、智谱清言、文心一言，他计划从这四款软件中随机选择一款软件进行学习并应用，选到“”的概率为___________； （2）小华还想在小说中加入一些插图，因此他又找到四款具备辅助绘图功能的人工智能软件：悠船、可灵、即梦，他准备从这四款软件中随机选择两款软件进行学习并应用，请用列表或画树状图的方法求他恰好选中“可灵”与“即梦”这两款软件的概率． （四款软件：悠船、可灵、即梦，依次记为） 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查概率的计算，涉及的知识点是“古典概型的概率公式（）”“用列表法或树状图法列举等可能事件”．解题方法是：第（1）题直接利用古典概型公式计算；第（2）题通过列表或树状图列举所有选两款软件的可能结果，再找出符合条件的结果数，代入概率公式计算．解题关键是准确列举所有等可能结果，避免重复或遗漏．易错点是列举结果时出现重复、遗漏，导致概率计算错误．解题思路为：（1）确定总软件数和“DeepSeek”的数量，代入概率公式；（2）用列表法列出选两款软件的所有组合，数出包含“可灵AI”和“即梦AI”的组合数，计算概率． (1) 小问详解： 总共有4款软件，“DeepSeek”是其中1款，根据古典概型概率公式： (2) 小问详解： 根据题意，列表如下：5分 或 第二种第一种 Y K W J Y K ） W J 由列表（或画树状图）可知，共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中，选中两种软件的结果有2种． （选中两种软件） 7．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）某小区地下车库示意图如图所示，，为入口，，，为出口，亮亮爸爸随机选择了一个入口进入，又随机选择一个出口驶出，则其恰好从口进入且从口驶出的概率为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查列举法求概率，列举所有可能结果是解题的关键． 列举出所有的可能性，利用概率公式进行求解即可． 【详解】 解：由题意，共有、、、、、这种等可能的结果，其中恰好从入口进入且从出口驶出的结果有种； ∴． 故答案为：． 8．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，学生通过抽取卡片的形式选取故事的主人公．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成四张卡片（除画像外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中随机抽取一张，抽到数学家韦达的概率为______． （2）从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是概率公式的应用，利用列表或画树状图求解随机事件的概率； （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表可得所有等可能结果，从表格中得出两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率，从而得出答案． (1) 小问详解： 解：抽到数学家韦达的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 列表如下： 共12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片都是中国数学家的情况有2种， ． 故两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率为． A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 9．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）晋中市位于山西省中部，东依太行山，西临汾河，地势独特，气候适宜，孕育了丰富的特产．在一次数学活动课上，老师将分别印有“A．平遥牛肉，B．太谷饼，C．榆次灌肠，D．寿阳豆干”这四种特产的四张卡片（除特产不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，让每位学生从这四张卡片中随机抽取一张，并放回，然后对所抽取卡片上的特产进行介绍．请你用列表或画树状图的方法，求该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同的概率． 【答案】 【分析】 本题考查列表法与树状图法求概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数以及该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】 解：画树状图如下： 由树状图知，总共有16种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中该班的小军和小明两名同学所抽取的特产不同的结果有12种， 所以P（该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同）． 10．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影．小明和小红两位同学从这三部电影中随机选择一部观看，他们恰好选择看同一部电影的概率为　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查列表法或树状图法求概率，概率公式，列表或画树状图可得出所有等可能的结果以及这两人选择同一部电影的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】 解：将《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》分别记为A，B，C， 列表如下： 由表知，共有9种等可能结果，其中两人选择同一部电影的有3种结果， 小明和小红两位同学恰好选择看同一部电影的概率为， 故答案为：． A B C A B C 11．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）某市中考，其中的体育考试规定：九年级男生考试项目有A、B、C、D、E五类：其中A：1000米跑（必考项目）；B：一分钟跳绳；C：掷实心球；D：立定跳远；E：坐位体前屈，再从B、C、D、E中各选两项进行考试． （1）若男生甲第一次从项目B、C、D、E中选一项，求男生甲选中项目E的概率． （2）若甲、乙两名九年级男生在选项的过程中，第一次都是选了项目E，求他俩第二次同时选择项目B或项目D的概率是多少？ 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到同时选择跳绳或立定跳远的结果数，利用概率公式计算可得． (1) 小问详解： 解：若男生甲第一次从项目B、C、D、E中选一项，男生甲选中项目E的概率为； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 由树状图知共有9种等可能结果，其中他俩第二次同时选择项目B或项目D的有2种结果， 所以他俩第二次同时选择项目B或项目D的概率为 12．（25-26学年九上·山西运城·期中）随着科技的发展，我们迎来了大数据云计算时代，支付方式的转型不仅让大家生活更便捷，而且也改变着人们的消费观念．为了更好地满足顾客的支付需求，我市某商场随机抽取了若干名顾客的支付情况，进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）求出本次调查参与的人数，并将条形统计图补充完整； （2）若某假期该商场有3000人进行购物支付；估计有______人会选择“刷脸或现金”这种支付方式； （3）若甲、乙两人在购物时，选择“刷脸或现金”“刷卡”“支付宝”“微信”（分别用A、B、C、D表示）付款的可能性相同．请通过列表或画树状图的方法，求两人在购物时，用同一种付款方式的概率． 【答案】（1）240人， 补全条形统计图如下：      （2）500     （3）      【分析】 本题考查了条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，画树状图法求概率． （1）根据选择“微信”支付的人数和所占百分比，求出总人数，再求出选择“银行卡”支付的人数，补全条形统计图即可； （2）用商场总人数乘以选择“刷脸或现金”支付的占比，即可求出人数； （3）根据题意画树状图，进而得出概率即可． (1) 小问详解： 解：（人）， 即本次调查参与的人数为人， 选择“银行卡”支付的人数为（人）， (2) 小问详解： 解：（人）， 故答案为：500； (3) 小问详解： 解：画树状图如下： ， 由树状图可知，共有种等可能得情况，其中两人用同一种付款方式的情况有种， 两人在购物时，用同一种付款方式的概率为． 13．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）山西省教育厅明确规定，中小学每天综合体育活动时间不得低于两小时，旨在促进学生健康成长和全面发展，各校积极探索形式多样的活动，确保学生每天体育锻炼时间达标．某初中学校初一年级某班名学生进行羽毛球比赛，分成5个小组，每个小组4个人．现抽签决定由1组和3组进行第一轮单打比赛，两个小组各选一名选手参加，1组的小明和3组的小丽同时被选中的概率为多少？ 【答案】 【分析】 本题考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先列出表格，分别得出所有情况数与符合条件的情况数，再根据概率公式计算概率． 【详解】 解：设1组的四人分别记作、、、，其中小明记为， 组的四人分别记作、、、，其中小丽记为， 一共有种等可能出现的结果． 其中小明和小丽同时被选中的有1种 ． 13 14．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）2025年，中国航天将迎来新的里程碑，计划执行多次探月与空间站任务．为普及航天知识，平遥县文化馆举办了一场“筑梦航天，魅力平遥”知识竞赛．初赛环节有编号为A、B、C、D四套难度相当的航天知识题目，参赛选手需要从编号为A、B、C、D四套题中随机抽取一套作答（抽取后，把编号放回）． （1）小明同学抽中A套题的概率是          ． （2）小亮和小红两位同学都参加了此次竞赛，请用画树状图或列表的方法，求他们二人中至少有一人抽中编号为A套题的概率． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了古典概型的概率计算及用列表法求概率，解题的关键是明确所有等可能结果并正确列举． （1）确定总结果数与抽中A套题的结果数，利用概率公式计算； （2）通过列表列出所有可能结果，找出至少一人抽中A套题的结果数，进而计算概率． (1) 小问详解： 解：总共有4套题，抽中A套题的结果数为1， 由概率公式得， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：列表如下(小亮结果在前，小红结果在后)， 总共有种情况，每种情况出现的可能性相同． 二人中至少有一人抽中编号为A套题的情况有7种， 所以． 答：他们二人中至少有一人抽中编号为A套题的概率为． 小红小亮 A B C D A B C D 15．（25-26学年九上·山西太原·期中）2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．小宁收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后小何先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小平再从剩余文件袋中随机抽取一个．用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有空中无人作战方队图片的概率． 【答案】 【分析】 本题考查了用画树状图或列表求事件概率，熟练掌握用画树状图或列表求事件概率是解题的关键．根据题意列表罗列所有等可能结果，恰好有一个文件袋装有空中作战方队图片的结果有种，即可根据概率计算公式计算． 【详解】 解：所有可能的结果列表如下： 由列表可知，共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，恰好有一个文件袋装有空中作战方队图片的结果有4种， 所以，恰好有一个文件袋装有空中无人作战方队图片的概率是．        小平小何 A B C A     B     C     16．（25-26学年九上·山西太原·期中）如图，小颖为学校联欢会设计了两个可以自由转动的转盘，．用这两个转盘做“配紫色”游戏（同时转动两个转盘各一次，其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），配成紫色的概率为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键.将转盘，的红色部分和黄色部分分别等分成两部分，分别记为红₁，红₂，黄₁，黄₂，并画出树状图，得到所有等可能性的结果数，再找到可配成紫色的结果数，最后依据概率计算公式求解即可. 【详解】 解：将转盘，的红色部分和黄色部分分别等分成两部分，分别记为红₁，红₂，黄₁，黄₂， 画树状图如下： 由树状图可知一共有种等可能性的结果，其中可配成紫色的结果数有种， 所以配成紫色的概率是 ． 故答案为： ． 17．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）在国际数学日的“画数学”感受数学之美的环节，小亮提出了用科克曲线，阿基米德螺线，三叶玫瑰线，笛卡尔心形线（如图所示）这四种曲线，并在四张完全相同的卡片上分别画上这四种曲线，将卡片洗匀后背面朝上放在桌面上． （1）从中任意抽取一张，则取出“笛卡尔心形线”的概率是               ； （2）从中任意抽取一张，记下图案后不放回，再从中任意抽取一张并记下图案，用列表法或者画树状图法，求这两个图案都是轴对称图形的概率． 【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了列表法或树状图法求概率，轴对称图形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接由概率公式求解即可； （）记科克曲线为，阿基米德螺线为，三叶玫瑰线为，笛卡尔心形线为，列出表格，共有种等可能的结果，其中两个图案都是轴对称图形的结果有种，然后由概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：从中任意抽取一张，则取出“笛卡尔心形线”的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：记科克曲线为，阿基米德螺线，三叶玫瑰线为，笛卡尔心形线为，列表如下： ∴由上表可知，共有种等可能的结果，其中两个图案都是轴对称图形的结果有种， 则这两个图案都是轴对称图形的概率. 第二次抽取第一次抽取 考点03 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）在不透明袋子中，装有16个红球和若干个白球．每次摸出一个球，记录颜色后放回并摇匀，再重复上述操作；经多次试验后，摸到红球的频率稳定在，据此估计袋中小球的总数约为（     ） A. 24个 B. 26个 C. 38个 D. 40个 【答案】D 【分析】 本题主要考查了频率估计概率．根据频率估计概率的原理，摸到红球的概率为，再根据概率公式解答即可． 【详解】 解：∵经多次试验后，摸到红球的频率稳定在， ∴摸到红球的概率为， ∵红球有16个， ∴估计袋中小球的总数约为个． 故选：D 2．（25-26学年九上·山西太原·期中）兴趣小组利用计算器进行模拟试验，来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，下表是他们试验中获得的数据．通过该小组试验估计，“6个人中有2个人生肖相同”的概率约为（精确到0.01）（       ） 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “6人中有2个人生肖相同”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “6人中有2个人生肖相同”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781 A. 0.76 B. 0.77 C. 0.78 D. 0.79 【答案】C 【分析】 本题考查用频率估计概率，试验次数较大时，频率稳定在某个值附近，该值可作为概率的估计值，从数据看，频率稳定在0.781附近，精确到0.01即为0.78，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】 解：∵试验次数达到1000以上时，频率稳定在0.781附近， ∴估计概率为0.781，精确到0.01即为0.78， 故选：C． 3．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球，4个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中红球的个数为（       ） A. 4 B. 10 C. 20 D. 8 【答案】D 【分析】 本题考查了频率估计概率，概率的计算，熟练掌握概率的计算是解题的关键．根据频率估计概率，摸到红球的概率为，设红球个数为x，利用概率公式建立方程求解即可． 【详解】 解：设红球有x个，则总球数为（个）， 摸到红球的频率稳定于， 其概率为， ， 解得， 袋中红球有8个． 故选：D． 4．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（       ） 次数 频率 A. 不透明的袋子里有个红球和个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球 B. 随机掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“” C. 随机掷一枚一元的硬币，正面朝上 D. 三张扑克牌，分别是，，，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是奇数 【答案】C 【分析】 本题考查了利用频率估计概率，一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．由表格数据可知：利用频率估计概率得到实验的概率在左右，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行对比判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】 解：∵试验频率从次到次逐渐稳定于， ∴该事件的概率约为， 、不透明的袋子里有个红球和个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球为，不符合题意； 、掷质地均匀的骰子，点数是“”的概率为，不符合题意； 、掷一枚硬币，正面朝上的概率为，符合题意； 、三张扑克牌是，，，抽出一张是奇数的概率为，不符合题意； 故选：． 5．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下表数据： 抛掷总次数 100 200 300 400 杯口朝上频数 20 42 66 88 杯口朝上频率 0.2 0.21 0.22 0.22 则估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为　　　　　　　　　　　　（结果精确到0．01）． 【答案】0.22 【分析】 观察表格的数据可以得到杯口朝上的频率，然后用频率估计概率即可求解． 【详解】 解∶依题意得杯口朝上频率逐渐稳定在0.22左右， 估计任意抛掷一只纸杯， 杯口朝上的概率约为0.22． 故答案为∶ 0.22． 【点睛】 此题主要考查了利用频率估计概率，能用频率估计概率是解决问题的关键． 6．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）2025年是中国人民抗日战争胜利80周年，如图为中国人民银行发行的抗战80周年纪念币，兴趣小组做抛掷纪念币的试验获得的数据如下表： 抛掷次数 100 200 300 500 1000 正面朝上的频数 58 94 152 251 499 利用“用频率估计概率”的知识可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键．直接利用频率估计概率即可得． 【详解】 解：，，，，， 由此可知，抛掷一枚该纪念币正面朝上的稳定在附近， 所以可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为， 故答案为：． 7．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）在一个不透明的袋子里装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计袋中的白球大约有　　　　　　　　个． 【答案】16 【分析】 本题考查了频率估计概率，解分式方程．根据频率估计概率，摸到红球的概率稳定在，利用概率公式列方程求解． 【详解】 解：设白球个数为x个，则总球数为个． 摸到红球的概率为， 根据题意得， 解得． 经检验，是原方程的解， 故袋中的白球大约有16个． 故答案为16． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 随机事件的概率 3大高频考点概览 考点01 概率 考点02 用列举法求概率 考点03 用频率估计概率 考点01 概率 1．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）如图是一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“ ”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子上，当“ ”位于格子A时．小明连续点击两次按钮，“ ”回到格子A的概率是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）在研究随机事件的概率中，有的是等可能事件，可以算出理论概率，有的理论概率计算复杂，还有的是非等可能事件，这两种事件的概率选择用实验的方法，通过增加实验的频次，用频率估计概率，下面是利用计算机模拟实验估计50个人中有两人生日相同的概率曲线图，通过图中数据可知40个人中两人生日相同的概率接近　　　　　　．（精确到） 3．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）如图，平行四边形的对角线，相交于点，直线过点，分别交，于点，，一个小球在平行四边形内自由滚动，它落在阴影部分的概率是　　　　　． 考点02 用列举法求概率 1．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）为深化全民阅读，引领区域阅读新风尚，暑期我区特举办了“学在榆次·榆阅书香”中小学生讲书诵读大赛，小亮计划从《红星照耀中国》、《红岩》、《朝花夕拾》三本书中随机选取两本备战比赛，则选中《红岩》与《朝花夕拾》的概率为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）用如图所示的转盘进行配紫色游戏（红色和蓝色在一起配成了紫色），已知转盘被分成面积相等的三部分，若转动转盘两次，则转盘上两次显示的颜色可以配成紫色的概率为（       ） A.  B.  C.  D.  红 白 蓝 红 （红，红） （红，白） （红，蓝） 白 （白，红） （白，白） （白，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，白） （蓝，蓝） 3．（25-26学年九上·山西运城·期中）某校举行“激情十月，唱响青春”为主题的演讲比赛，决赛阶段只剩下甲、乙、丙、丁四名同学，若不设并列奖，则甲、乙同学获得前两名的概率是（     ） A.  B.  C.  D.  第一名\第二名 甲 乙 丙 丁 甲 — （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） — （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） — （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） — 4．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）如图，有一个质地均匀且六个面上分别标有数字：，，，，，的正方体骰子，甲、乙两名同学按照以下游戏规则：每人先掷骰子，骰子朝上的数是几，就将棋子前进几格，并获得格子中的相应物品．现在轮到乙掷骰子，棋子在标有数字“1”的那一格，汽车在第8个格子．他知道无论怎样，掷一次骰子都得不到汽车，申请连续掷两次，他连续掷两次骰子能获得汽车的概率是（） A.  B.  C. 1 D.  1 2 3 4 5 6 1 1，1 1，2 1，3 1，4 1，5 1，6 2 2，1 2，2 2，3 2，4 2，5 2，6 3 3，1 3，2 3，3 3，4 3，5 3，6 4 4，1 4，2 4，3 4，4 4，5 4，6 5 5，1 5，2 5，3 5，4 5，5 5，6 6 6，1 6，2 6，3 6，4 6，5 6，6 5．（25-26学年九上·山西太原·期中）《数学之美》特种邮票于今年3月14日发行．如图，该邮票一套4枚，图案名称分别为圆周率、勾股定理、欧拉公式、莫比乌斯带．现将这4枚邮票（除正面图案外完全相同）背面朝上放在桌面，洗匀后从中随机抽取1枚，记下名称后放回；洗匀后再随机抽取1枚．两次抽取的邮票图案名称不相同的概率为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）随着人工智能技术的兴起，越来越多的人开始尝试用它进行创作．小华计划课余时间利用人工智能辅助自己进行小说创作，于是他对人工智能软件进行了一定的了解． （1）小华先寻找了一些能够帮助他梳理小说脉络结构的人工智能软件：、通义千问、智谱清言、文心一言，他计划从这四款软件中随机选择一款软件进行学习并应用，选到“”的概率为___________； （2）小华还想在小说中加入一些插图，因此他又找到四款具备辅助绘图功能的人工智能软件：悠船、可灵、即梦，他准备从这四款软件中随机选择两款软件进行学习并应用，请用列表或画树状图的方法求他恰好选中“可灵”与“即梦”这两款软件的概率． （四款软件：悠船、可灵、即梦，依次记为） 第二种第一种 Y K W J Y K ） W J 7．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）某小区地下车库示意图如图所示，，为入口，，，为出口，亮亮爸爸随机选择了一个入口进入，又随机选择一个出口驶出，则其恰好从口进入且从口驶出的概率为　　　　　　　　　　　． 8．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）某校为了促进学生对数学文化知识的了解，开展了讲数学家故事的活动，学生通过抽取卡片的形式选取故事的主人公．学校收集了祖冲之、刘徽、韦达、欧拉四位数学家的画像，依次制成四张卡片（除画像外，其余完全相同），将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． （1）从中随机抽取一张，抽到数学家韦达的概率为______． （2）从中随机抽取一张不放回，洗匀后再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率． A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 9．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）晋中市位于山西省中部，东依太行山，西临汾河，地势独特，气候适宜，孕育了丰富的特产．在一次数学活动课上，老师将分别印有“A．平遥牛肉，B．太谷饼，C．榆次灌肠，D．寿阳豆干”这四种特产的四张卡片（除特产不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，让每位学生从这四张卡片中随机抽取一张，并放回，然后对所抽取卡片上的特产进行介绍．请你用列表或画树状图的方法，求该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同的概率． 10．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）为更好地激发学生的爱国主义情怀，学校建议学生利用假期时间观看《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》三部电影．小明和小红两位同学从这三部电影中随机选择一部观看，他们恰好选择看同一部电影的概率为　　　　　　　． A B C A B C 11．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）某市中考，其中的体育考试规定：九年级男生考试项目有A、B、C、D、E五类：其中A：1000米跑（必考项目）；B：一分钟跳绳；C：掷实心球；D：立定跳远；E：坐位体前屈，再从B、C、D、E中各选两项进行考试． （1）若男生甲第一次从项目B、C、D、E中选一项，求男生甲选中项目E的概率． （2）若甲、乙两名九年级男生在选项的过程中，第一次都是选了项目E，求他俩第二次同时选择项目B或项目D的概率是多少？ 12．（25-26学年九上·山西运城·期中）随着科技的发展，我们迎来了大数据云计算时代，支付方式的转型不仅让大家生活更便捷，而且也改变着人们的消费观念．为了更好地满足顾客的支付需求，我市某商场随机抽取了若干名顾客的支付情况，进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）求出本次调查参与的人数，并将条形统计图补充完整； （2）若某假期该商场有3000人进行购物支付；估计有______人会选择“刷脸或现金”这种支付方式； （3）若甲、乙两人在购物时，选择“刷脸或现金”“刷卡”“支付宝”“微信”（分别用A、B、C、D表示）付款的可能性相同．请通过列表或画树状图的方法，求两人在购物时，用同一种付款方式的概率． 13．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）山西省教育厅明确规定，中小学每天综合体育活动时间不得低于两小时，旨在促进学生健康成长和全面发展，各校积极探索形式多样的活动，确保学生每天体育锻炼时间达标．某初中学校初一年级某班名学生进行羽毛球比赛，分成5个小组，每个小组4个人．现抽签决定由1组和3组进行第一轮单打比赛，两个小组各选一名选手参加，1组的小明和3组的小丽同时被选中的概率为多少？ 13 14．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）2025年，中国航天将迎来新的里程碑，计划执行多次探月与空间站任务．为普及航天知识，平遥县文化馆举办了一场“筑梦航天，魅力平遥”知识竞赛．初赛环节有编号为A、B、C、D四套难度相当的航天知识题目，参赛选手需要从编号为A、B、C、D四套题中随机抽取一套作答（抽取后，把编号放回）． （1）小明同学抽中A套题的概率是          ． （2）小亮和小红两位同学都参加了此次竞赛，请用画树状图或列表的方法，求他们二人中至少有一人抽中编号为A套题的概率． 小红小亮 A B C D A B C D 15．（25-26学年九上·山西太原·期中）2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．小宁收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后小何先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小平再从剩余文件袋中随机抽取一个．用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有空中无人作战方队图片的概率．        小平小何 A B C A     B     C     16．（25-26学年九上·山西太原·期中）如图，小颖为学校联欢会设计了两个可以自由转动的转盘，．用这两个转盘做“配紫色”游戏（同时转动两个转盘各一次，其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色），配成紫色的概率为　　　　　　　　　　　． 17．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）在国际数学日的“画数学”感受数学之美的环节，小亮提出了用科克曲线，阿基米德螺线，三叶玫瑰线，笛卡尔心形线（如图所示）这四种曲线，并在四张完全相同的卡片上分别画上这四种曲线，将卡片洗匀后背面朝上放在桌面上． （1）从中任意抽取一张，则取出“笛卡尔心形线”的概率是               ； （2）从中任意抽取一张，记下图案后不放回，再从中任意抽取一张并记下图案，用列表法或者画树状图法，求这两个图案都是轴对称图形的概率． 第二次抽取第一次抽取 考点03 用频率估计概率 1．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）在不透明袋子中，装有16个红球和若干个白球．每次摸出一个球，记录颜色后放回并摇匀，再重复上述操作；经多次试验后，摸到红球的频率稳定在，据此估计袋中小球的总数约为（     ） A. 24个 B. 26个 C. 38个 D. 40个 2．（25-26学年九上·山西太原·期中）兴趣小组利用计算器进行模拟试验，来探究“6个人中有2个人生肖相同的概率”，下表是他们试验中获得的数据．通过该小组试验估计，“6个人中有2个人生肖相同”的概率约为（精确到0.01）（       ） 试验次数 100 300 500 1000 1600 2000 “6人中有2个人生肖相同”的次数 79 229 385 781 1251 1562 “6人中有2个人生肖相同”的频率 0.79 0.763 0.77 0.781 0.782 0.781 A. 0.76 B. 0.77 C. 0.78 D. 0.79 3．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的8个黑球，4个白球和若干个红球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于，由此可估计袋中红球的个数为（       ） A. 4 B. 10 C. 20 D. 8 4．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（       ） 次数 频率 A. 不透明的袋子里有个红球和个黄球，除颜色外都相同，从中任取一球是红球 B. 随机掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“” C. 随机掷一枚一元的硬币，正面朝上 D. 三张扑克牌，分别是，，，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是奇数 5．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）做任意抛掷一只纸杯的重复试验，获得如下表数据： 抛掷总次数 100 200 300 400 杯口朝上频数 20 42 66 88 杯口朝上频率 0.2 0.21 0.22 0.22 则估计任意抛掷一只纸杯杯口朝上的概率约为　　　　　　　　　　　　（结果精确到0．01）． 6．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）2025年是中国人民抗日战争胜利80周年，如图为中国人民银行发行的抗战80周年纪念币，兴趣小组做抛掷纪念币的试验获得的数据如下表： 抛掷次数 100 200 300 500 1000 正面朝上的频数 58 94 152 251 499 利用“用频率估计概率”的知识可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为　　　　　． 7．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）在一个不透明的袋子里装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计袋中的白球大约有　　　　　　　　个． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 随机事件的概率 考点01 概率 考点02 用列举法求概率 考点03 用频率估计概率 考点01 概率 1．D 2．【答案】 【分析】 本题考查了从图像获取信息． 根据概率曲线图作答即可． 【详解】 解：由概率曲线图可知，40人时对应的概率为． 故答案为：． 3．【答案】 【分析】 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，几何概率，三角形中线定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由平行四边形性质可得，，，则有，，然后证明，则有，故，然后用概率即可求解． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴它落在阴影部分的概率是， 故答案为：． 考点02 用列举法求概率 1．B 2．B 3．A 4．A 5．C 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查概率的计算，涉及的知识点是“古典概型的概率公式（）”“用列表法或树状图法列举等可能事件”．解题方法是：第（1）题直接利用古典概型公式计算；第（2）题通过列表或树状图列举所有选两款软件的可能结果，再找出符合条件的结果数，代入概率公式计算．解题关键是准确列举所有等可能结果，避免重复或遗漏．易错点是列举结果时出现重复、遗漏，导致概率计算错误．解题思路为：（1）确定总软件数和“DeepSeek”的数量，代入概率公式；（2）用列表法列出选两款软件的所有组合，数出包含“可灵AI”和“即梦AI”的组合数，计算概率． (1) 小问详解： 总共有4款软件，“DeepSeek”是其中1款，根据古典概型概率公式： (2) 小问详解： 根据题意，列表如下：5分 或 第二种第一种 Y K W J Y K ） W J 由列表（或画树状图）可知，共有12种结果，每种结果出现的可能性相同，其中，选中两种软件的结果有2种． （选中两种软件） 7．【答案】 【分析】 本题考查列举法求概率，列举所有可能结果是解题的关键． 列举出所有的可能性，利用概率公式进行求解即可． 【详解】 解：由题意，共有、、、、、这种等可能的结果，其中恰好从入口进入且从出口驶出的结果有种； ∴． 故答案为：． 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查的是概率公式的应用，利用列表或画树状图求解随机事件的概率； （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表可得所有等可能结果，从表格中得出两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率，从而得出答案． (1) 小问详解： 解：抽到数学家韦达的概率为， 故答案为：； (2) 小问详解： 列表如下： 共12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片都是中国数学家的情况有2种， ． 故两次抽取到的卡片都是中国数学家的概率为． A B C D A （A，B） （A，C） （A，D） B （B，A） （B，C） （B，D） C （C，A） （C，B） （C，D） D （D，A） （D，B） （D，C） 9．【答案】 【分析】 本题考查列表法与树状图法求概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图得出所有等可能的结果数以及该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】 解：画树状图如下： 由树状图知，总共有16种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中该班的小军和小明两名同学所抽取的特产不同的结果有12种， 所以P（该班的小军和小明两名同学介绍的特产不同）． 10．【答案】 【分析】 本题考查列表法或树状图法求概率，概率公式，列表或画树状图可得出所有等可能的结果以及这两人选择同一部电影的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】 解：将《731》，《志愿军：浴血和平》，《南京照相馆》分别记为A，B，C， 列表如下： 由表知，共有9种等可能结果，其中两人选择同一部电影的有3种结果， 小明和小红两位同学恰好选择看同一部电影的概率为， 故答案为：． A B C A B C 11．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到同时选择跳绳或立定跳远的结果数，利用概率公式计算可得． (1) 小问详解： 解：若男生甲第一次从项目B、C、D、E中选一项，男生甲选中项目E的概率为； (2) 小问详解： 解：画树状图如下： 由树状图知共有9种等可能结果，其中他俩第二次同时选择项目B或项目D的有2种结果， 所以他俩第二次同时选择项目B或项目D的概率为 12．【答案】（1）240人， 补全条形统计图如下：      （2）500     （3）      【分析】 本题考查了条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，画树状图法求概率． （1）根据选择“微信”支付的人数和所占百分比，求出总人数，再求出选择“银行卡”支付的人数，补全条形统计图即可； （2）用商场总人数乘以选择“刷脸或现金”支付的占比，即可求出人数； （3）根据题意画树状图，进而得出概率即可． (1) 小问详解： 解：（人）， 即本次调查参与的人数为人， 选择“银行卡”支付的人数为（人）， (2) 小问详解： 解：（人）， 故答案为：500； (3) 小问详解： 解：画树状图如下： ， 由树状图可知，共有种等可能得情况，其中两人用同一种付款方式的情况有种， 两人在购物时，用同一种付款方式的概率为． 13．【答案】 【分析】 本题考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先列出表格，分别得出所有情况数与符合条件的情况数，再根据概率公式计算概率． 【详解】 解：设1组的四人分别记作、、、，其中小明记为， 组的四人分别记作、、、，其中小丽记为， 一共有种等可能出现的结果． 其中小明和小丽同时被选中的有1种 ． 13 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了古典概型的概率计算及用列表法求概率，解题的关键是明确所有等可能结果并正确列举． （1）确定总结果数与抽中A套题的结果数，利用概率公式计算； （2）通过列表列出所有可能结果，找出至少一人抽中A套题的结果数，进而计算概率． (1) 小问详解： 解：总共有4套题，抽中A套题的结果数为1， 由概率公式得， 故答案为：． (2) 小问详解： 解：列表如下(小亮结果在前，小红结果在后)， 总共有种情况，每种情况出现的可能性相同． 二人中至少有一人抽中编号为A套题的情况有7种， 所以． 答：他们二人中至少有一人抽中编号为A套题的概率为． 小红小亮 A B C D A B C D 15．【答案】 【分析】 本题考查了用画树状图或列表求事件概率，熟练掌握用画树状图或列表求事件概率是解题的关键．根据题意列表罗列所有等可能结果，恰好有一个文件袋装有空中作战方队图片的结果有种，即可根据概率计算公式计算． 【详解】 解：所有可能的结果列表如下： 由列表可知，共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，恰好有一个文件袋装有空中作战方队图片的结果有4种， 所以，恰好有一个文件袋装有空中无人作战方队图片的概率是．        小平小何 A B C A     B     C     16．【答案】 【分析】 本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键.将转盘，的红色部分和黄色部分分别等分成两部分，分别记为红₁，红₂，黄₁，黄₂，并画出树状图，得到所有等可能性的结果数，再找到可配成紫色的结果数，最后依据概率计算公式求解即可. 【详解】 解：将转盘，的红色部分和黄色部分分别等分成两部分，分别记为红₁，红₂，黄₁，黄₂， 画树状图如下： 由树状图可知一共有种等可能性的结果，其中可配成紫色的结果数有种， 所以配成紫色的概率是 ． 故答案为： ． 17．【答案】（1）；     （2）．      【分析】 本题考查了列表法或树状图法求概率，轴对称图形，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接由概率公式求解即可； （）记科克曲线为，阿基米德螺线为，三叶玫瑰线为，笛卡尔心形线为，列出表格，共有种等可能的结果，其中两个图案都是轴对称图形的结果有种，然后由概率公式求解即可． (1) 小问详解： 解：从中任意抽取一张，则取出“笛卡尔心形线”的概率是， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：记科克曲线为，阿基米德螺线，三叶玫瑰线为，笛卡尔心形线为，列表如下： ∴由上表可知，共有种等可能的结果，其中两个图案都是轴对称图形的结果有种， 则这两个图案都是轴对称图形的概率. 第二次抽取第一次抽取 考点03 用频率估计概率 1．D 2．C 3．D 4．C 5．【答案】0.22 【分析】 观察表格的数据可以得到杯口朝上的频率，然后用频率估计概率即可求解． 【详解】 解∶依题意得杯口朝上频率逐渐稳定在0.22左右， 估计任意抛掷一只纸杯， 杯口朝上的概率约为0.22． 故答案为∶ 0.22． 【点睛】 此题主要考查了利用频率估计概率，能用频率估计概率是解决问题的关键． 6．【答案】 【分析】 本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键．直接利用频率估计概率即可得． 【详解】 解：，，，，， 由此可知，抛掷一枚该纪念币正面朝上的稳定在附近， 所以可估计抛掷一枚该纪念币正面朝上的概率为， 故答案为：． 7．【答案】16 【分析】 本题考查了频率估计概率，解分式方程．根据频率估计概率，摸到红球的概率稳定在，利用概率公式列方程求解． 【详解】 解：设白球个数为x个，则总球数为个． 摸到红球的概率为， 根据题意得， 解得． 经检验，是原方程的解， 故袋中的白球大约有16个． 故答案为16． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $