精品解析：山西省运城市稷山县2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025－2026学年山西省运城市稷山县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解法即可求出答案 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． 2. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 四边相等的四边形是正方形 C. 对角线互相平分的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定．根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，判断各选项命题的真假，即可作答． 【详解】解：A、一组邻边相等的四边形可能是普通四边形，不一定是菱形，故该选项不是真命题； B、四边相等的四边形是菱形，但菱形不一定有直角，∴不一定是正方形，故该选项不是真命题； C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，但平行四边形对角线不一定相等，∴不一定是矩形，故该选项不是真命题； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形，既是矩形（对角线相等）又是菱形（对角线垂直），∴是正方形，故该选项是真命题； 故选：D． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个根为0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况．将方程化为一般式，计算判别式，根据判别式的值判断根的情况，即可作答． 【详解】解：依题意，方程化为， ∴ ，，， ∴， ∴ 方程没有实数根， 故选C． 4. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义可得据此求解即可． 【详解】解：∵P是AB的黄金分割点，， ∴； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键． 5. 如图是一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子上，当“”位于格子A时．小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率公式解答即可． 本题考查概率的求法；用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，则有等可能四种结果， ①两次都向左移动，则“”落在E处； ②先向左再向右，则“”回到格子A； ③先向右再向左，则“”回到格子A； ④两次都向右移动，则“”落在C处； 所以当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是 故选：D． 6. 如图，菱形中，点为对称中心，点从点出发沿向点移动，移动到点停止，作射线，交边于点，则四边形形状的变化依次为（ ） A. 平行四边形正方形平行四边形矩形 B. 平行四边形正方形矩形菱形 C. 平行四边形矩形平行四边形菱形 D. 平行四边形菱形正方形矩形 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的性质，可得四边形形状的变化情况． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴这个四边形先是平行四边形，当对角线相等时是矩形，然后又是平行四边形，最后点E与点B重合时是菱形． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，根据对角线的情况熟练判定各种四边形的形状是解题的关键． 7. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车8月份的销售量为5000辆，10月份的销售量为7200辆，若9月份、10月份该新能源汽车销售量的月平均增长率相同．则月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在实际问题中的应用，从8月到10月共两个月增长，月平均增长率为x，则10月份销售量为，再根据题意建立方程求解，即可解题． 【详解】解：设月平均增长率为x， ∵从8月到10月共两个月增长， ∴ 10月份销售量为， 根据题意，， ∴或（舍去负根）， ∴， 故选：D． 8. 一元二次方程可配方成的形式．则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．通过配方法将一元二次方程化为完全平方形式，比较得出m和n的值，再求它们的和，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵一元二次方程可配方成的形式， ∴， ∴ ， 故选：C． 9. 如图，将一个矩形纸片沿，的中点，的连线对折，若对折后的矩形与原矩形相似，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查相似多边形的性质：对应边成比例，根据相似矩形得到，推出，由此得到答案，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解： ∵E，F分别为，的中点， ∴， ∵对折后的矩形与原矩形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 10. 如图，点是正方形边上一动点，连接，，交边于点，点在正方形外，，且，连接，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．设交于点，作交的延长线于点，由正方形的性质得，，则，由于点，交边于点，得，推导出，进而证明，得，而，则，由，得，可证明，再证明，得，，则，求得即可解答． 【详解】解：设交于点，作交的延长线于点，则， 四边形是正方形， ，， ， 于点，交边于点， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故选：． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，不同竖格线上的三点A，B，C在同一直线上，若线段，则线段的长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理进行求解即可． 本题主要考查平行线所截线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 【详解】解：由题意， ， ， 故答案为：6． 12. 在一个不透明的袋子里装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计袋中的白球大约有________个． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了频率估计概率，解分式方程．根据频率估计概率，摸到红球的概率稳定在，利用概率公式列方程求解． 【详解】解：设白球个数为x个，则总球数为个． 摸到红球的概率为， 根据题意得， 解得． 经检验，是原方程的解， 故袋中的白球大约有16个． 故答案为16． 13. 如图（1），中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个如图（2）的菱形中国结装饰，测得，，直线交两对边于点E，F，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质推出，，，由勾股定理求出，由菱形的面积，即可求出的长． 本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是掌握菱形的面积公式． 【详解】解：四边形是菱形， ，，， ，， ，， ， ， ， 菱形的面积， ， ； 故答案为：． 14. 如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点A，B，C，D正好重合于上底面一点．且此长方体盒子的表面积为，其中，若设的长为，则可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设的长为，则的长为，利用长方体盒子的表面积＝正方形纸片的面积等腰直角三角形的面积，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设的长为，则的长为， 根据题意得：， 即， 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，，，，点E在边上，，连接，且．点F在的延长线上，连接，若，则线段的长为________． 【答案】7 【解析】 【分析】设的延长线交的延长线于点H，作于点M，由，得，由，，推导出，可证明四边形是矩形，因为，，，所以，，，再证明∽，得，则，可证明，则，由勾股定理得，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：设的延长线交的延长线于点H，作于点M，则， ， ， ∵，， ， 四边形是矩形， ，，点E在边上，， ，，， ， ∽， ， ， ，且， ， ， ， ， 解得， ， 故答案为： 【点睛】此题重点考查平行线的性质、等腰三角形的“三线合一”、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）先移项，再利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，． 17. 定义：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍．则称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，已知给定矩形的长和宽分别为和．求它的“加倍矩形”的长和宽． 【答案】它的“加倍矩形”的长为，宽为 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设“加倍”矩形的长为，则宽为，根据矩形的面积计算公式，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可． 【详解】解：由题意得，“加倍”矩形的周长为：，则其长和宽之和为， 设“加倍”矩形的长为，则宽为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，宽为，符合题意； 当时，宽为，不满足长大于宽，舍去； 答：它的“加倍矩形”的长为，宽为． 18. 如图，与位似，点O为位似中心，相似比为，若的面积为． （1）写出一条有关相似三角形的性质______． （2）求的面积． 【答案】（1）相似三角形的面积比等于相似比的平方 （2） 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质解答； 根据位似图形的定义得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算． 本题考查的是位似变换，熟记位似图形的定义、相似三角形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方， 故答案为：相似三角形的面积比等于相似比的平方答案不唯一； 【小问2详解】 解：与位似，相似比为， ∴，相似比为， 与的面积比为， 的面积为8， 的面积为2． 19. 某超市购进一批优质水果，进价为每箱100元．调查发现，当销售单价为每箱170元时平均每天能售出80箱，而当销售单价每降价10元，平均每天能多售出20箱． （1）填空：设每箱降价x元，实际售价为______元/箱，平均每天售出______箱（用含x的代数式表示）； （2）若超市每天销售这种优质水果的利润要达到6000元，且要尽快减少库存，求每箱应降价多少元？ 【答案】（1） （2）每箱应降价20元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据题意分别列出代数式即可； （2）设每箱应降价x元，实际售价为元/箱，平均每天售出箱，根据超市每天销售这种优质水果的利润要达到6000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设每箱降价x元，实际售价为元/箱， 平均每天售出箱，即箱， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设每箱应降价x元，实际售价为元/箱，平均每天售出箱， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 因为要尽快减少库存，所以销量应尽可能大， 当时，销量为箱， 当时，销量为箱， 因为， 所以应取， 故舍去． 答：每箱应降价20元． 20. 某市中考，其中的体育考试规定：九年级男生考试项目有A、B、C、D、E五类：其中A：1000米跑（必考项目）；B：一分钟跳绳；C：掷实心球；D：立定跳远；E：坐位体前屈，再从B、C、D、E中各选两项进行考试． （1）若男生甲第一次从项目B、C、D、E中选一项，求男生甲选中项目E的概率． （2）若甲、乙两名九年级男生在选项的过程中，第一次都是选了项目E，求他俩第二次同时选择项目B或项目D的概率是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）画树状图列出所有等可能结果，从中找到同时选择跳绳或立定跳远的结果数，利用概率公式计算可得． 【小问1详解】 解：若男生甲第一次从项目B、C、D、E中选一项，男生甲选中项目E的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图知共有9种等可能结果，其中他俩第二次同时选择项目B或项目D的有2种结果， 所以他俩第二次同时选择项目B或项目D的概率为 21. 阅读与思考 用构图法解关于一元二次方程的解法：以为例，构造方法如下：首先将方程变形为然后画四个长为，宽为x的矩形．按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：据此易得原方程的一个正数根为． （1）参照上述图解一元二次方程的方法，解方程，填写下面横线上的内容． 解：应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积每一个均为，中间的小正方形面积为 大正方形的面积为______． 大正方形的边长为______． 正数______． 参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是______（从序号①②③中选择）． （2）一般地对于形如：的一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图（2）是由4个宽为x，长为，这4个矩形的总面积为12，中间围成的正方形边长为2，求a，b，并求出正数x的值． 【答案】（1）② （2），， 【解析】 【分析】本题考查了构造图形解一元二次方程，解答本题的关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程，体现了数形结合的思想． （1）仿照阅读材料构造大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，即可解决问题； （2）根据4个矩形的总面积为12，中间围成的正方形边长为2，列方程即可解答． 【小问1详解】 解：应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积每一个均为，中间的小正方形面积为， 大正方形的面积为， 大正方形的边长为7， 所以， 正数， 参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是②； 故答案为：，7，5，②； 【小问2详解】 解：如图， 由题意得：，， ，舍，， ， ． 22. 综合与实践 四边形的旋转 如图，在矩形中，，，E，F分别为边的中点，四边形为矩形，连接，则A、G、C三点在同一条直线上． （1）______； （2）当矩形绕点A逆时针旋转至如图2的位置时，与不在同一条直线上，通过证明∽，求与之间的数量关系； （3）当矩形绕点A继续逆时针旋转至如图3的位置时，直接回答图（2）中的与之间的数量关系是否还成立？ （4）数学小组对图形的旋转进行了拓展研究．如图4，在中，，，，E、F分别为边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接数学小组发现与仍然存在着特定的数量关系． 如图5，把图4中的绕点A逆时针旋转，其他条件不变时，发现与仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系． 【答案】（1） （2） （3）成立 （4） 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用平行线分线段成比例即可得解； （2）由旋转可知：，由勾股定理可知，利用边角边证，根据对应边成比例即可得解； （3）同（2）中思路； （4）先求出，再证，即可得证． 【小问1详解】 解：由勾股定理可得， ， ， ； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由旋转可知：， 由勾股定理可知：，， ，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：成立． 由旋转可知：， 由勾股定理可知：，， ，， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：如图4，过F作于点K， 根据题意可知，， 四边形是平行四边形， ，， 在，， ， ， ， 在中，， 如图5， 由旋转可证， ， ， 【点睛】本题考查了矩形、平行四边形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在足够长的四边形纸片中，，，．将该纸片沿过点B的直线折叠，使点C落在边上的点F处，折痕交于点E，连接 独立思考： （1）证明四边形是菱形； 深度探究： （2）如图2，已知点O是线段上的一点（不与端点重合），将该纸片沿过点O的直线折叠，使点C的对应点H落在线段上，点B的对应点G落在线段上，折痕交于点M，交于点N，连接，若，，，且，求的值． 【答案】 （1）证明：是翻折而成的， 故，，， ，则， ， 则，， ∵， ， 四边形为菱形； （2） 【解析】 【分析】本题为四边形综合题，主要考查相似三角形的判定与性质，菱形的判定和性质，折叠的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据翻折的性质及平行线的性质得出相等的角和边，根据等角对等边证明，即可求解； （2）根据条件得出四边形为平行四边形，表示出相关的边，证明，由平行线得出，则，则可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：，， 四边形为平行四边形， ， ， 菱形的边长为， ， ， ， ∴， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年山西省运城市稷山县九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 2. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 四边相等的四边形是正方形 C. 对角线互相平分的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有一个根为0 4. 鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子上，当“”位于格子A时．小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，菱形中，点为对称中心，点从点出发沿向点移动，移动到点停止，作射线，交边于点，则四边形形状的变化依次为（ ） A. 平行四边形正方形平行四边形矩形 B. 平行四边形正方形矩形菱形 C. 平行四边形矩形平行四边形菱形 D. 平行四边形菱形正方形矩形 7. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车8月份的销售量为5000辆，10月份的销售量为7200辆，若9月份、10月份该新能源汽车销售量的月平均增长率相同．则月平均增长率为（ ） A. B. C. D. 8. 一元二次方程可配方成的形式．则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 9. 如图，将一个矩形纸片沿，的中点，的连线对折，若对折后的矩形与原矩形相似，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是正方形边上一动点，连接，，交边于点，点在正方形外，，且，连接，已知，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，不同竖格线上的三点A，B，C在同一直线上，若线段，则线段的长为________． 12. 在一个不透明的袋子里装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计袋中的白球大约有________个． 13. 如图（1），中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个如图（2）的菱形中国结装饰，测得，，直线交两对边于点E，F，则的长为________． 14. 如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点A，B，C，D正好重合于上底面一点．且此长方体盒子的表面积为，其中，若设的长为，则可列方程为________． 15. 如图，在四边形中，，，，，点E在边上，，连接，且．点F在的延长线上，连接，若，则线段的长为________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 定义：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍．则称这个矩形是给定矩形的“加倍矩形”，已知给定矩形的长和宽分别为和．求它的“加倍矩形”的长和宽． 18. 如图，与位似，点O为位似中心，相似比为，若的面积为． （1）写出一条有关相似三角形的性质______． （2）求的面积． 19. 某超市购进一批优质水果，进价为每箱100元．调查发现，当销售单价为每箱170元时平均每天能售出80箱，而当销售单价每降价10元，平均每天能多售出20箱． （1）填空：设每箱降价x元，实际售价为______元/箱，平均每天售出______箱（用含x的代数式表示）； （2）若超市每天销售这种优质水果的利润要达到6000元，且要尽快减少库存，求每箱应降价多少元？ 20. 某市中考，其中的体育考试规定：九年级男生考试项目有A、B、C、D、E五类：其中A：1000米跑（必考项目）；B：一分钟跳绳；C：掷实心球；D：立定跳远；E：坐位体前屈，再从B、C、D、E中各选两项进行考试． （1）若男生甲第一次从项目B、C、D、E中选一项，求男生甲选中项目E的概率． （2）若甲、乙两名九年级男生在选项的过程中，第一次都是选了项目E，求他俩第二次同时选择项目B或项目D的概率是多少？ 21. 阅读与思考 用构图法解关于一元二次方程的解法：以为例，构造方法如下：首先将方程变形为然后画四个长为，宽为x的矩形．按如图所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：据此易得原方程的一个正数根为． （1）参照上述图解一元二次方程的方法，解方程，填写下面横线上的内容． 解：应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积每一个均为，中间的小正方形面积为 大正方形的面积为______． 大正方形的边长为______． 正数______． 参照上述图解一元二次方程的方法，请在三个构图中选择能够说明方程，解法的正确构图是______（从序号①②③中选择）． （2）一般地对于形如：的一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图（2）是由4个宽为x，长为，这4个矩形的总面积为12，中间围成的正方形边长为2，求a，b，并求出正数x的值． 22. 综合与实践 四边形的旋转 如图，在矩形中，，，E，F分别为边的中点，四边形为矩形，连接，则A、G、C三点在同一条直线上． （1）______； （2）当矩形绕点A逆时针旋转至如图2的位置时，与不在同一条直线上，通过证明∽，求与之间的数量关系； （3）当矩形绕点A继续逆时针旋转至如图3的位置时，直接回答图（2）中的与之间的数量关系是否还成立？ （4）数学小组对图形的旋转进行了拓展研究．如图4，在中，，，，E、F分别为边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接数学小组发现与仍然存在着特定的数量关系． 如图5，把图4中的绕点A逆时针旋转，其他条件不变时，发现与仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在足够长的四边形纸片中，，，．将该纸片沿过点B的直线折叠，使点C落在边上的点F处，折痕交于点E，连接 独立思考： （1）证明四边形是菱形； 深度探究： （2）如图2，已知点O是线段上的一点（不与端点重合），将该纸片沿过点O的直线折叠，使点C的对应点H落在线段上，点B的对应点G落在线段上，折痕交于点M，交于点N，连接，若，，，且，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $