专题05 相似（期中真题汇编，山西专用）九年级数学上学期

**基本信息** 聚焦相似专题6大高频考点，精选山西多地期中真题，涵盖选择、填空、综合题，注重文化情境与实际应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|12道|图形相似判定、黄金分割、平行线分线段成比例|结合鹦鹉螺曲线、书法练习纸等自然与文化情境| |填空|10道|相似性质、位似比、成比例线段|融入正六边形地砖、矩形放大等生活实例| |解答|10道|三角形相似应用、综合实践|设计养殖基地、古建筑测量（飞虹塔、豫楼）等探究题，体现数学建模与跨学科应用|

专题05 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）已知实数a，b满足，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）如图，将一个矩形纸片沿，的中点，的连线对折，若对折后的矩形与原矩形相似，则（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）已知，如图，四边形四边形，，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）下列图形中，相似多边形是（     ） A. 甲与乙 B. 乙与丙 C. 丙与丁 D. 乙与丁 6．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）若（均不为零），则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）若，则的值为（     ） A. 4 B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）下列四组图形中，不是相似图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）若，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）如图，小康利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的长为，则放大后的矩形的宽为（　　） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年九上·山西太原·期中）若（），则下列等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点D；再以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点E，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（       ） A.  B.  C.  D.  14．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）若，则的值为　　　　　　. 15．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）是成比例线段，其中，则线段的长为　　　　　　　． 16．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）若，则的值为　　　　　． 17．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）如图，这两个四边形相似，则的度数是　　　　　　． 18．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）若，则的值为　　　　　　． 19．（25-26学年九上·山西太原·期中）如图，某公司设计了两款正六边形的地砖，用于拼接艺术地板．已知大号地砖与小号地砖的相似比为．若小号地砖的边长为，则大号地砖的边长为　　　　　　． 20．（25-26学年九上·山西临汾·期中）若，则的值为 　　　　　　　　． 21．（25-26学年九上·山西运城·期中）如果点P是线段AB的如黄金分割点，且，，则　　　　　　． 22．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为　　　　　　　(结果保留根号)． 23．（25-26学年九上·山西太原·期中）综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：组员： 基本信息 有两张标准矩形板（一种制作展板的常用材料），尺寸为． 版面规划 用矩形表示整张板．展板一：如图1，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间（即矩形）为图案区域．展板二：如图2，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为．     问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下：…… （1）根据版面规划，若展板一中，且图案区域与整块展板相似（即矩形矩形，求的值； （2）根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形矩形），则的值为___________． 24．（25-26学年九上·山西临汾·期中）黄金分割是几何学中的瑰宝之一，给人以震撼的美感．课本第56页这样定义“黄金分割点”：如图1，点P将线段分成两部分，若，则称点P为线段的黄金分割点，这个比值称为黄金比． （1）如图1，若，求黄金比的值．（保留根号） （2）某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，如图2，在中，点D是边上一点，将分割成两个三角形（），当满足，则称为的黄金分割线． ①求证：此时点D是线段的黄金分割点； ②若的面积为4，请直接写出的面积． 25．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）综合与实践 问题情境： 如图，为保障生物安全和保证饲料品质，某养殖户计划在“L”形墙处建一个有正方形饲养区和矩形配料区的养殖基地． 建造方案： 粗线表示“L”形墙，已知，．现计划用的钢架栅栏（细线表示，且其粗细忽略不计）围成有饲养区和配料区的养殖基地，并在，段各开一个宽为的门，为了充分利用墙体，点D必须在线段上． 问题解决： （1）若围成的矩形养殖基地的面积为，求的长． （2）围成的矩形配料区的面积能否达到？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． （3）当矩形的宽与长的比值为时，该矩形为黄金矩形．若该矩形养殖基地是黄金矩形，请直接写出的长． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．若，，，则的长为（     ） A. 53 B. 5 C. 15 D.  2．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）小华将一支油画棒放在画有横线的笔记本上，如图是抽象出的部分图案，其中，横线都互相平行且相邻两条横线间的距离相等．线段表示长度为的油画棒，则油画棒的一部分的长度为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）如图，直线，直线和被，，所截，且，，，则的长为（       ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 4．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段，则线段长为（       ） A. 24 B. 32 C. 36 D. 48 5．（25-26学年九上·山西太原·期中）如图，直线，直线，与，，分别相交于，，和点，，．若，，则的长是（       ） A.  B.  C. 6 D. 10 6．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）如图，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，．已知，，则的长为（       ） A. 2.4 B. 6 C. 5.4 D. 4.8 7．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）如图，是的中线，G是的重心，过点G作，分别交，边于点E，F，连结，．若的面积为6，则的面积为（     ） A. 12 B. 24 C. 26 D. 27 8．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，不同竖格线上的三点A，B，C在同一直线上，若线段，则线段的长为　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·山西临汾·期中）如图，在中，，，垂足为，点在上，且，连接并延长交于点，，则的长为　　　　　． 10．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）如图，中，，于点，将沿平移到位置，交于点，交于点．此时为中点，已知，，则　　　　　　． 11．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）如图，在中，为边上的中线，是的角平分线，交于点F．则的长为　　　　　　． 12．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）综合与探究： 在学习了特殊的平行四边形后，“希望小组”的同学们利用课余时间对“纸片中的折叠问题”进行了探究．下面是他们对一张纸片的操作过程： 第一步：如图1，沿过点A的直线将纸片进行折叠，使边落在边上，然后展平得到折痕，点D在边上； 第二步：如图2，折叠纸片使点A与点D重合，展平后得到折痕，点E在边上，点F在边上，连接，； 第三步：如图3，沿过点E的直线折叠使落在射线上，沿过点F的直线折叠使落在上，展平后分别得到折痕，，点P，Q在边上．请解答他们提出的问题： （1）在图2中，判断并证明四边形的形状； （2）在图3中，判断并证明，的数量关系； （3）若，，，请你直接写出四边形的面积． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山西临汾·期中）如图，在中，E为上一点，连接并延长，交的延长线于点F，若，，则的长为（     ） A. 3 B. 4 C. 5.5 D. 6 3．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）如图，中，，，平分，交于点，，交于点，已知，则（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）如图，在中，，，则图中共有（     ）对相似三角形 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）如图，在矩形中，于点F，若，，则的长为（     ） A. 1 B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）如图，与的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数为　　　　　　． 8．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）如图，在和中，，再添加条件　　　　　可以使． 9．（25-26学年九上·山西临汾·期中）如图，在锐角中，D，E两点分别在边上，于点M，于点N，． （1）求证：； （2）若，求的值． 10．（25-26学年九上·山西运城·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 11．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，图中的点，，，均在格点上． （1）如图：                 ． （2）在上找点，使． （3）在上找点使． 12．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）如图，在中，，平分交边于点D，延长至点E，连结，使． （1）求证：； （2）若，，则的长为            ． 13．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）如图，在中，为边的中点，过点作交边于点E，P为边上一点，连结，．若的面积为3，则图中阴影部分的面积为　　　　　． 14．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）综合与探究 如图，在中，，是边上的高，点在边上从点向点移动，点在边上从点向点移动，连结两点同时出发，且移动速度均为，其中移动时间为，，． （1）求的长． （2）当的面积为时，求此时的值． （3）当是等腰三角形时，请直接写出的值． 15．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）阅读与思考 下面是小颖同学日记的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 2025年10月17日       晴今天在课堂上，老师提出一个问题：已知线段，作线段的三等分点．下面是我的两种作图思路（作图痕迹省略）及证明过程：思路一：①如图1，作射线；②在射线上依次截取；③连结；④过点作交于点C，过点作交于点D，则点C，D即为线段的三等分点． 证明：根据作图，得，．，．（依据）．∴点C，D为线段的三等分点．思路二：①如图2，以为对角线作；②分别取，边的中点E，F；③连结，分别交于点G，H，则点G，H为线段的三等分点． 证明：∵四边形是平行四边形，，，，．，的中点分别为E，F，．．…… 任务： （1）在思路一的证明过程中，“依据”的基本事实是___________． （2）请将思路二中的证明过程补充完整． （3）如图3，已知线段，在线段上求作一点O，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 16．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出了射影定理，又称“欧几里得定理”，定理内容：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理． 其符号语言：如图1，在中，，，垂足为．结论：①；②；③．下面是对结论①的证明：是斜边上的高，，，，，（依据），，即． 任务： （1）材料中的依据是指______． （2）证明结论②：． （3）运用射影定理解决问题：如图2，，，，，求的长． 17．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）如图，是等边三角形，被一矩形所截，边被三等分，且．若图中阴影部分的面积为6，则四边形的面积为　　　　　　． 18．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）已知：如图，在中，点D是边上的一点，的平分线交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 19．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）如图，在四边形中，，，，，点E在边上，，连接，且．点F在的延长线上，连接，若，则线段的长为　　　　　　　　． 20．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）综合与实践 四边形的旋转 如图，在矩形中，，，E，F分别为边的中点，四边形为矩形，连接，则A、G、C三点在同一条直线上． （1）______； （2）当矩形绕点A逆时针旋转至如图2的位置时，与不在同一条直线上，通过证明∽，求与之间的数量关系； （3）当矩形绕点A继续逆时针旋转至如图3的位置时，直接回答图（2）中的与之间的数量关系是否还成立？ （4）数学小组对图形的旋转进行了拓展研究．如图4，在中，，，，E、F分别为边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接数学小组发现与仍然存在着特定的数量关系． 如图5，把图4中的绕点A逆时针旋转，其他条件不变时，发现与仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系． 21．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）综合与探究 问题情境：如图1，在足够长的四边形纸片中，，，．将该纸片沿过点B的直线折叠，使点C落在边上的点F处，折痕交于点E，连接 独立思考： （1）证明四边形是菱形； 深度探究： （2）如图2，已知点O是线段上的一点（不与端点重合），将该纸片沿过点O的直线折叠，使点C的对应点H落在线段上，点B的对应点G落在线段上，折痕交于点M，交于点N，连接，若，，，且，求的值． 22．（25-26学年九上·山西运城·期中）如图，在中，，，将绕顶点顺时针旋转，得到，点、分别与点、对应，边、分别交边、于点、，如果点是边的中点，那么　　　　　　． 23．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）如图，在矩形中，，点分别是边上的点，连接．若点为的中点，平分，则线段的长度为　　　　　　　　　　　． 24．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）如图，在中，，，过点A作，交的外角的平分线于点D，E是上一点，过点E作于点G，延长交于点F．若，则的长为　　　　　　　　　　　． 25．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）综合与探究 问题情境： 在和中，，，，点D在边上，为边上的高．将绕点D旋转，边与边交于点G，边与边交于点H． 猜想证明： （1）如图1，当时，试判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）如图2，在绕点D旋转的过程中，线段与的比值是否发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果没有发生变化，请求出它们的比值． （3）设，在旋转的过程中，请直接写出四边形的面积．（用含x的代数式表示） 26．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）如图，在矩形中，，，E，F分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．则的长为　　　　　． 27．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）综合与探究 （1）如图1，在中，是边上的中线，点在边上，且，与相交于点．过点作，交的延长线于点，通过构造（如图2），经过推理和计算得到的值为______． （2）如图3，在中，点在的延长线上，且，点在上，且，求的值． （3）如图4，点分别在的边上，，，，是的中点，连接，并延长交于点，直接写出的值． 28．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）综合与实践 数学活动课上，同学们用尺规作图法探究在菱形内部作一点到该菱形三个顶点的距离相等． 【动手操作】如图，已知菱形，求作点O，使得点O到三个顶点A，D，C的距离相等． 小红同学设计如下作图步骤； ①连接； ②分别以点A，D为圆心，大于的长为半径在的上方与下方作弧，上方两弧交于点M，下方两弧交于点N，作直线交于点O； ③连接，，则． （1）根据小红同学设计的尺规作图步骤，在图中完成作图过程．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【证明结论】 （2）求证：． 【拓展延伸】 （3）当时， ①求证：； ②直接写出与的面积比． 29．（25-26学年九上·山西太原·期中）如图，已知正方形中，，点在正方形的外部，在直线同侧，且，连接．若，则线段的长为　　　　　　　　　　　． 30．（25-26学年九上·山西临汾·期中）综合与探究 【问题探究】 （1）如图，是等腰三角形，，点是边上一点，连接，作，与相交于点，请你写出与的关系：________；（填“全等”或者“相似”） 【类比迁移】 （2）如图，在（）的条件下，连接、，如果，，，，（）中的结论还成立吗？如果成立，请你证明并求的长；不成立请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图，在中，，，点从点出发，以的速度沿方向匀速运动，同时点从点出发，以的速度沿方向匀速运动，当其中一个点运动至终点时，另一个点随之停止运动，连接，在右侧作，该角的另一边交射线于点，连接．设运动时间为，当为等腰三角形时，直接写出的值． 31．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理角平分线分线段成比例定理：如图①，在中，平分并交于点，则．下面是这个定理的证明过程．方法1：如图②，过点作，交的延长线于点．，（依据），，．平分，，，，．方法2：如图③，过点作，交的延长线于点F…… 任务： （1）填空：方法1中的依据是                 ； （2）请按照上面的证明思路，补充方法2证明的剩余部分； （3）如图④，在中，，，，平分交于点，求的长． 32．（25-26学年九上·山西运城·期中）综合与探究 问题情境：如图，已知长方形，点为射线上一动点．以为边在其右侧作长方形，使得，连接，． 猜想证明： （1）如图1，当点在线段上时，请判断与的位置及数量关系（数量关系用含的代数式表示）并说明理由； 深入探究： （2）连接，交于点，连接，进一步研究． ①请在图中画出图形并证明在点运动的过程中始终是等腰三角形； ②如果，，能否成为直角三角形？若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）如图，ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（　   ） A. 1:3 B. 1:4 C. 1:5 D. 1:6 2．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）如图，在中，D，E分别为，边的中点．若的面积为8，则的面积为　　　　　　　　　　　． 3．（25-26学年九上·山西临汾·期中）如图，在等边三角形中，．D是的中点，过点D作，垂足为E，则的长是　　　　　　　　． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）永祚寺双塔是太原的地标建筑，始建于明万历二十七年，即1599年，距今有400多年的历史，数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量双塔高度，如图是他们借助附近一棵大树（大树上的标志牌写着树高）测得的一些数据，可以计算出塔的高度约为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为　　　　　　　　m． 4．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）照相机是人们生活中不可或缺的工具，用于记录生活、科学研究等，小明同学想利用某照相机的参数及实地测量测算某不可及景物的高度．如图所示是小明同学绘制的测量示意图，调节照相机的焦距（相机摄像头到成像面的距离）为，测得像高（成像面上成像的高度）为．若测得物距（景物到相机摄像头的距离）为，则景物的高度为　　　　　　　　　　　m． 5．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）（多选）介休公路校园草坪中央矗立着一尊“介子推”雕像．当学习完三角形的相似知识后，老师让同学们借助太阳光线，测量“介子推”雕像高度，并给出测量设计方案．测量工具有：一根1米长的直木棍和20米长量尺．请根据以下信息解决问题：求出“介子推”雕像的高度．采用在同一时刻棍影和雕像影一端在同一点重合的分次测量方式．如图1，第一次测量某一时刻棍影与雕像影一端重合在点，测得棍影米；第二次测量另一时刻棍影与雕像影一端重合在点，测得棍影米，木棍移动距离米． 6．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 7．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）通常，路灯、台灯、手电筒…的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． 【数学思考】 如图①，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为　     　 ； 【解决问题】 如图②，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 8．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）项目化学习 项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界． 项目背景：学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜的成像规律． 项目素材： 素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 素材二：如图①，科学小组的同学们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图②，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜的光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． 项目任务： （1）像的长度为__________厘米； （2）已知光线AP平行于主光轴l，且经过凸透镜折射后通过焦点F， ①求证：； ②求凸透镜焦距OF的长． 9．（25-26学年九上·山西临汾·期中）《黑神话：悟空》上线之后，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为中国的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔位于山西省洪洞县广胜寺景区，嘉嘉实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量并制作了下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平直线于点Q，测得米；步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米．（以上数据均为近似值） 计算结果 请你根据上述信息，帮助嘉嘉实践小组求出飞虹塔的大致高度． 10．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）郭峪古城位于晋城市阳城县东北，建于明崇祯八年，是一座避难自保的防御性城堡，被称为“蜂窝城”，城堡内的一座“豫楼”，被称为“蜂窝柄”．某综合实践小组的同学围绕“景物高度的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物高度的测量与计算 驱动问题 如何测量“豫楼”的高度 活动过程 方案说明 如图，某一时刻“豫楼”的影长为，小玲站在点D处，她影子的顶端也恰好落在点E处．小玲沿射线行走到点F处，放置一面平面镜（大小忽略不计）后，继续行走到点H处，此时恰好能从平面镜内看到“豫楼”的顶端A 数据测量 ，，，，A，B，C，D，E，F，G，H均在同一竖直平面内，且，，， 计算 … 交流展示 … 请根据以上数据，计算“豫楼”的高度． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则和的面积比是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（     ） A.  B.  C. 与的周长比是 D. 与的面积比是 3．（25-26学年九上·山西运城·期中）如图，正三角形与正三角形关于原点位似，且点，都在第一象限．若与面积之比为，点的坐标为，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）如图，与位似，点O为位似中心，相似比为，若的面积为． （1）写出一条有关相似三角形的性质______． （2）求的面积． 5．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使它与的相似比为； （2）写出点的坐标． 6．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点均在格点上，其中点A的坐标为，点D的坐标为，且点B，C均在第一象限内． （1）请直接写出点C的坐标． （2）在x轴上方画出正方形以点O为位似中心，放大到原来3倍的正方形，并直接写出正方形的面积． （3）若是正方形边上一点，经过（2）的变换后，点E的对应点为，请直接写出点的坐标． 7．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）如图，的三个顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在轴左侧画出，使得与的相似比为2； （2）在（1）的条件下，若点在内，直接写出点的对应点的坐标为__________． 8．（25-26学年九上·山西临汾·期中）在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相似 6大高频考点概览 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）已知实数a，b满足，则的值是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是关键．由已知条件 ，将所求表达式 拆分为 ，即 ，代入计算即可． 【详解】 解：， ． 故选：C． 2．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）如图，将一个矩形纸片沿，的中点，的连线对折，若对折后的矩形与原矩形相似，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 此题考查相似多边形的性质：对应边成比例，根据相似矩形得到，推出，由此得到答案，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】 解： ∵E，F分别为，的中点， ∴， ∵对折后的矩形与原矩形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，是的黄金分割点，若线段的长为4cm，则的长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据黄金分割的定义可得据此求解即可． 【详解】 解：∵P是AB的黄金分割点，， ∴； 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了黄金分割比例，熟知黄金分割比例是解题的关键． 4．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）已知，如图，四边形四边形，，，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似图形的性质． 根据相似图形的性质得到，根据多边形内角和计算即可． 【详解】 解：∵四边形四边形，， ∴， ∴． 故选：C． 5．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）下列图形中，相似多边形是（     ） A. 甲与乙 B. 乙与丙 C. 丙与丁 D. 乙与丁 【答案】C 【分析】 本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定方法可得答案. 【详解】 解： ∵甲、乙、丙、丁的邻边之比分别为：；，，，且四个图形的每一个内角都是直角； ∴丙、丁两个图形的对应边成比例，对应角相等. ∴相似的是丙与丁， 故选C 6．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）若（均不为零），则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题主要考查的知识点是比例的性质，解题的关键是准确掌握其性质进行运算．首先设，得出，，，然后代入，再代入求值即可． 【详解】 解：设，则，，， ∴， 故选：D． 7．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）若，则的值为（     ） A. 4 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了分式的求值，熟练掌握分式的性质是解题的关键，设 ，（），即可求解． 【详解】 解：∵ ， ∴ 设 ，（）， ∴ ． 故选：B． 8．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）下列四组图形中，不是相似图形的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了相似图形的定义，正确理解相似图形的定义是解题的关键，根据相似图形的定义逐一判断选项即可． 【详解】 A、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； B、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； C、形状相同，符合相似图形的定义，不符合题意； D、形状不相同，不符合相似图形的定义，符合题意． 故选：D． 9．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）若，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 此题主要考查了比例的性质，直接利用比例的性质变形得出答案．由已知等式 直接求解 即可． 【详解】 解：∵ ， ∴ ． 故选：D． 10．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）如图，小康利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的长为，则放大后的矩形的宽为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查相似多边形的性质；根据相似多边形的对应边成比例列式求解即可． 【详解】 解：设放大后矩形的宽为， ∵放大前后矩形相似， ∴， ∴，即放大后的矩形的宽为， 故选：D． 11．（25-26学年九上·山西太原·期中）若（），则下列等式成立的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了比例的基本性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．将等式两边分别同时除以12和，即可判断答案． 【详解】 解：对于选项A、B和D， ，且 ， 两边同时除以12，得 ， 即， 故选项A正确，符合题意；选项B和D错误，不符合题意； 对于选项 C， 将两边同时除以，得 ， 即， 故选项C错误，不符合题意； 故选：A． 12．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交边于点D；再以点B为圆心，长为半径画弧，交边于点E，则的值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了二次根式的除法，用勾股定理解三角形，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先得出，，再设，然后用分别表示出与，再求出的值． 【详解】 解：由题意得，， 设， ∵， ∴， 在中，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴， 故选：A． 13．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了黄金分割的定义，解题的关键是利用黄金分割点的比例关系求出较长线段，再计算． 根据黄金分割点的定义（时，），代入求出，再用得到的长度． 【详解】 解：黄金分割点的定义是“若点是的黄金分割点（），则． 已知，根据黄金分割的比例关系： 因此，． 故选D． 14．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）若，则的值为　　　　　　. 【答案】 【分析】 此题考查分式的求值，比的性质，根据等式得到，代入化简即可，正确掌握比的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）是成比例线段，其中，则线段的长为　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题考查线段成比例的问题，解方程等知识点，根据线段成比例，可以列出方程，代入数值求解即可． 【详解】 解：∵线段、、、成比例线段， ， ， ， 解得． 故答案为：6． 16．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）若，则的值为　　　　　． 【答案】5 【分析】 本题考查的是整式的计算，掌握代入法是解本题的关键． 根据已知条件，可得，然后代入所求表达式进行化简． 【详解】 因为，所以， 代入，得． 故答案为：5． 17．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）如图，这两个四边形相似，则的度数是　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似图形的性质，多边形内角和．根据相似图形的性质可知左图第四个角的度数，根据多边形内角和求出四边形内角和，进而可求的度数． 【详解】 解：∵两个四边形相似， ∴， 故答案为：． 18．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）若，则的值为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了求分式的值，利用已知比例关系，通过分式运算求解即可． 【详解】 由可得：， 则． 故答案为：． 19．（25-26学年九上·山西太原·期中）如图，某公司设计了两款正六边形的地砖，用于拼接艺术地板．已知大号地砖与小号地砖的相似比为．若小号地砖的边长为，则大号地砖的边长为　　　　　　． 【答案】50 【分析】 本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．根据相似多边形的边长之比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】 解：设大号地砖的边长为， 则， 解得， 大号地砖的边长为． 故答案为：50． 20．（25-26学年九上·山西临汾·期中）若，则的值为 　　　　　　　　． 【答案】2.5 【分析】 本题主要考查比例的性质，根据题意设，再代入计算即可． 【详解】 解：∵ ∴设， ∴． 故答案为：2.5． 21．（25-26学年九上·山西运城·期中）如果点P是线段AB的如黄金分割点，且，，则　　　　　　． 【答案】4 【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则，代入数据求解即可． 【详解】解：由于P是线段AB的黄金分割点， 且AP为较长线段， 则， ， 则． 故答案为4． 【点睛】本题考查了黄金分割点的概念熟记黄金比的值列方程进行计算． 22．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清的边 ， 上，且，“远”字的笔画“、”的位置在 的黄金分割点处，且 若，则 的长为　　　　　　　(结果保留根号)． 【答案】 【分析】 先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴． 23．（25-26学年九上·山西太原·期中）综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：组员： 基本信息 有两张标准矩形板（一种制作展板的常用材料），尺寸为． 版面规划 用矩形表示整张板．展板一：如图1，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间（即矩形）为图案区域．展板二：如图2，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为．     问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下：…… （1）根据版面规划，若展板一中，且图案区域与整块展板相似（即矩形矩形，求的值； （2）根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形矩形），则的值为___________． 【答案】（1）20     （2）      【分析】 本题考查相似多边形； （1）计算矩形的两边长，根据相似多边形的对应边成比例解答即可； （2）计算矩形的两边长，根据相似多边形的对应边成比例解答即可． (1) 小问详解： 解：矩形的两边长分别为，， ∵的两边比为，且与矩形相似， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：矩形的两边为，， ∵的两边比为，且与矩形相似， ∴， 解得， 故答案为：． 24．（25-26学年九上·山西临汾·期中）黄金分割是几何学中的瑰宝之一，给人以震撼的美感．课本第56页这样定义“黄金分割点”：如图1，点P将线段分成两部分，若，则称点P为线段的黄金分割点，这个比值称为黄金比． （1）如图1，若，求黄金比的值．（保留根号） （2）某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，如图2，在中，点D是边上一点，将分割成两个三角形（），当满足，则称为的黄金分割线． ①求证：此时点D是线段的黄金分割点； ②若的面积为4，请直接写出的面积． 【答案】（1）     （2） ① 解：设中边上的高为， ∵， ∴， ∴， ∴点是的黄金分割点． ②      【分析】 本题考查了黄金分割，解一元二次方程．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． （1）设，则，由题意，，即，整理得，计算求出满足要求的解，然后代入求黄金分割比即可； （2）① 设中边上的高为，可得，即，进而可得点是的黄金分割点； ② 解：设的面积为，则的面积为，根据，可得，整理得，计算求出满足要求的解即可． (1) 小问详解： 解：设，则， 由题意，， ∴，整理得， 解得，（不合题意，舍去） ∴， ∴． (2) 小问详解： ① 略 ② 解：设的面积为，则的面积为， ∵， ∴， 整理得， 解得，（不合题意，舍去） ∴的面积为． 25．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）综合与实践 问题情境： 如图，为保障生物安全和保证饲料品质，某养殖户计划在“L”形墙处建一个有正方形饲养区和矩形配料区的养殖基地． 建造方案： 粗线表示“L”形墙，已知，．现计划用的钢架栅栏（细线表示，且其粗细忽略不计）围成有饲养区和配料区的养殖基地，并在，段各开一个宽为的门，为了充分利用墙体，点D必须在线段上． 问题解决： （1）若围成的矩形养殖基地的面积为，求的长． （2）围成的矩形配料区的面积能否达到？若能，请求出的长；若不能，请说明理由． （3）当矩形的宽与长的比值为时，该矩形为黄金矩形．若该矩形养殖基地是黄金矩形，请直接写出的长． 【答案】（1）的长为     （2） 不能，理由如下： 设的长为，由题意，当时， 解得或， 当时，，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，不符合题意，舍去； 故矩形配料区的面积不能达到；     （3）或（）．      【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，黄金分割，正确的列出方程是解题的关键： （1）设的长为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程进行求解即可； （2）设的长为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，求出的值，进而求出的长，根据，进行判断即可； （3）根据黄金分割，列出比例式进行求解即可． (1) 小问详解： 解：设的长为，由题意，， 则：， 解得或（不合题意，舍去）； 故的长为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）可知：， 由题意，可知：， 解得． 考点02 平行线分线段成比例 1．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）如图，已知直线，，分别截直线于点，，，截直线于点，，，且．若，，，则的长为（     ） A. 53 B. 5 C. 15 D.  【答案】B 【分析】 本题考查了平行线分线段成比例． 根据平行线分线段成比例列式求出即可． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∴． 故选：B． 2．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）小华将一支油画棒放在画有横线的笔记本上，如图是抽象出的部分图案，其中，横线都互相平行且相邻两条横线间的距离相等．线段表示长度为的油画棒，则油画棒的一部分的长度为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所截线段对应成比例是解题的关键．过点A作交点B所在直线于点E，交点C所在直线于点D，根据平行线分线段成比例可得，代入计算即可解答． 【详解】 解：过点A作交点B所在直线于点E，交点C所在直线于点D， 横线都互相平行且相邻两条横线间的距离相等， ，即． ． 故选：C． 3．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）如图，直线，直线和被，，所截，且，，，则的长为（       ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】B 【分析】 根据“两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”，即可求得答案. 【详解】 由题意，得 变形，得 故选：B 4．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段，则线段长为（       ） A. 24 B. 32 C. 36 D. 48 【答案】A 【分析】 本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例得到求解即可． 【详解】 解：如图，过作交格线于，则于，    由题意，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 5．（25-26学年九上·山西太原·期中）如图，直线，直线，与，，分别相交于，，和点，，．若，，则的长是（       ） A.  B.  C. 6 D. 10 【答案】C 【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键在于能够熟练掌握平行线分线段成比例定理． 根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选C． 6．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）如图，两条直线与这三条平行线分别交于点，，和，，．已知，，则的长为（       ） A. 2.4 B. 6 C. 5.4 D. 4.8 【答案】B 【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理可以得出，解分式方程即可求得的长，根据即可求得的长． 【详解】 解：，两条直线与这三条平行线分别交于点、、和、、， ， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， ∴． 故选：B． 7．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）如图，是的中线，G是的重心，过点G作，分别交，边于点E，F，连结，．若的面积为6，则的面积为（     ） A. 12 B. 24 C. 26 D. 27 【答案】D 【分析】 本题考查的是三角形重心的知识、相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 根据G是的重心，可得，，则，，，再根据，可得，，则，，设，则，，，由的面积为6，可得的值，即可求出的面积． 【详解】 解：是的重心， ，， ，，． ， ，． ，． 设， 则，，， ，解得． ． 故选：D． 8．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）如图是一张书法练习纸，其中的竖格线都互相平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，不同竖格线上的三点A，B，C在同一直线上，若线段，则线段的长为　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 利用平行线分线段成比例定理进行求解即可． 本题主要考查平行线所截线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 【详解】 解：由题意， ， ， 故答案为：6． 9．（25-26学年九上·山西临汾·期中）如图，在中，，，垂足为，点在上，且，连接并延长交于点，，则的长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 作与交于点，先得到，，再算出，进而知道，从而可知． 【详解】 解：如图，作与交于点， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 10．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）如图，中，，于点，将沿平移到位置，交于点，交于点．此时为中点，已知，，则　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，平移的性质，平行线截线段成比例，掌握以上知识的计算是关键． 根据题意得到，，由等面积法得到，则，连接，证明，由勾股定理得，则，，根据题意得到，则，代入计算即可求解． 【详解】 解：在中，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 如图所示，连接， ∵平移， ∴，，， ∴，且， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为： ． 11．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）如图，在中，为边上的中线，是的角平分线，交于点F．则的长为　　　　　　． 【答案】 【分析】 过点E作EG⊥AB，垂足为G，证明△CBE≌△GBE，求得CE，EG，AE的长，过点F作FO⊥AC，垂足为O，利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】 ∵ ∴AB==10， 过点E作EG⊥AB，垂足为G， ∵是的角平分线， ∴∠CBE=∠GBE， ∵∠C=∠BGE=90°，BE=BE， ∴△CBE≌△GBE， ∴BC=BG=6，EC=EG， 设CE=x，则EG=x，AE=8-x,AG=AB-BG=4, 在直角三角形AEG中，根据勾股定理，得， 即， 解得x=3， ∴CE=3，AE=5， 过点F作FO⊥AC，垂足为O，， ∴FO∥BC， ∴， ∴即FO=2OE， ∵AD是中线，BC=6， ∴CD=3， ∵FO∥DC， ∴， ∴， 解得OE=， 在直角三角形OEF中，， ∴EF==． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了勾股定理，三角形全等，平行线分线段成比例定理，中线，角的平分线，构造辅助线实施全等证明，平行线分线段成比例证明是解题的关键． 12．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）综合与探究： 在学习了特殊的平行四边形后，“希望小组”的同学们利用课余时间对“纸片中的折叠问题”进行了探究．下面是他们对一张纸片的操作过程： 第一步：如图1，沿过点A的直线将纸片进行折叠，使边落在边上，然后展平得到折痕，点D在边上； 第二步：如图2，折叠纸片使点A与点D重合，展平后得到折痕，点E在边上，点F在边上，连接，； 第三步：如图3，沿过点E的直线折叠使落在射线上，沿过点F的直线折叠使落在上，展平后分别得到折痕，，点P，Q在边上．请解答他们提出的问题： （1）在图2中，判断并证明四边形的形状； （2）在图3中，判断并证明，的数量关系； （3）若，，，请你直接写出四边形的面积． 【答案】（1） 解：设与相交于点O， 沿过点A的直线将纸片进行折叠，使边落在边上， ， 折叠纸片使点A与点D重合，展平后得到折痕， ，，， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形；      （2） 解：； 证明： 沿过点E的直线折叠使落在射线上， ， ， ， ， ， 同理可证， ， ， 四边形是菱形， ， ， 即；      （3）      【分析】 （1）根据轴对称的性质得到，，再证明，即可得到结论； （2）根据菱形的性质及三角形外角的性质证明，再根据平行线分线段成比例定理，即可得到结论； （3）先证明四边形是正方形，再用面积法列方程求出正方形的边长，即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：四边形是菱形， 四边形是正方形， ，，， 解得 四边形的面积为． 【点睛】 本题考查了图形轴对称的性质，菱形的判定与性质，正方形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 考点03 三角形相似的判定 1．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的判定：① 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；② 如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③ 如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】 解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 2．（25-26学年九上·山西临汾·期中）如图，在中，E为上一点，连接并延长，交的延长线于点F，若，，则的长为（     ） A. 3 B. 4 C. 5.5 D. 6 【答案】D 【分析】 本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定， 先根据平行四边形的性质说明，再根据相似三角形的对应边成比例得出答案． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 3．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）在中，，用直尺和圆规在上确定点，使，根据作图痕迹判断，正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意及相似三角形的判定定理可知，当是的垂线时，即时，，然后根据作图痕迹逐项分析判断即可得出答案． 【详解】 解：当是的垂线时，即时，，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， 根据作图痕迹可知： 选项中，是边的中线，不与垂直，故选项不符合题意； 选项中，是的垂线，故选项符合题意； 选项中，是的平分线，不与垂直，故选项不符合题意； 选项中，不与垂直，故选项不符合题意； 故选：． 【点睛】 本题主要考查了垂线的性质，直角三角形的两个锐角互余，等式的性质，相似三角形的判定，作垂线（尺规作图），作角平分线（尺规作图）等知识点，熟练掌握相似三角形的判定定理及尺规作图的方法是解题的关键． 4．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）如图，中，，，平分，交于点，，交于点，已知，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、解分式方程，解题关键是利用角度关系证明等腰三角形，结合相似三角形列比例式求解，易错点是角度推导或相似三角形的对应边混淆． 根据等腰三角形的性质与判定推出，设，再通过证明得到，列出关于的方程，求出的值即可得出答案． 【详解】 解：∵中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍去）， 所以， 故选：B． 5．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）如图，在中，，，则图中共有（     ）对相似三角形 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【分析】 本题主要考查了平行线的性质、相似三角形的判定等知识点，灵活运用相似三角形的判定方法成为解题的关键． 先根据、可知，即，再根据、可得，即，然后统计即可解答． 【详解】 解：∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∵、， ∴， ∴， 综上，图中共有4对相似三角形． 故选C． 6．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）如图，在矩形中，于点F，若，，则的长为（     ） A. 1 B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质以及勾股定理等，熟练掌握相关性质是解题的关键． 先求出，证明，利用相似比得到，然后证明，同样利用相似比得到，完成求解． 【详解】 解：∵于点， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 7．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）如图，与的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用三边成比例的两个三角形相似证明，然后利用相似三角形的性质可得，即可解答． 【详解】 解：由题意，得，，，，， ，，， ， ， ． 故答案为：． 8．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）如图，在和中，，再添加条件　　　　　可以使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，根据等式的性质可得出，只需要补充另一对应角相等或对应边的比相等，即可得到． 【详解】 解：∵， ∴，即， 添加：，则， 添加：，则， 添加：，则， 故答案为：（答案不唯一） 9．（25-26学年九上·山西临汾·期中）如图，在锐角中，D，E两点分别在边上，于点M，于点N，． （1）求证：； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．     （2）      【分析】 本题主要考查相似三角形判定定理，熟悉掌握定理是关键． （1）根据相似三角形的判定定理即可求解； （2）由得，进而证明，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ． ∵， ∴． ． 10．（25-26学年九上·山西运城·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，过点作交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ．     （2）      【分析】 本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，，结合，可推出，可证； （2）根据菱形的性质求得，再利用勾股定理求得，然后由（1）可知，从而得到，即可求得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：四边形为菱形， ，， 在中，，，， ， 由（1）可知， ， ． 11．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，图中的点，，，均在格点上． （1）如图：                 ． （2）在上找点，使． （3）在上找点使． 【答案】（1）     （2） 如图所示：点即为所求；      （3） 如图所示：点为所求． 【分析】 本题考查了相似三角形的性质与判定，关键是巧妙利用网格解题； （1）由图可得两三角形相似，进而根据对应边成比例得到结果； （2）利用网格构造相似比是的相似三角形即可； （3）利用网格构造全等三角形即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， 即：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 12．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）如图，在中，，平分交边于点D，延长至点E，连结，使． （1）求证：； （2）若，，则的长为            ． 【答案】（1） 证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是∶ （1）根据角平分线的定义，三角形外角的性质以及角的和差关系可得出，然后利用两角对应相等证明相似即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： 13．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）如图，在中，为边的中点，过点作交边于点E，P为边上一点，连结，．若的面积为3，则图中阴影部分的面积为　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题主要考查三角形中位线定理，三角形的面积，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．根据三角形中位线定理推出三角形的面积以及四边形的面积即可得到答案． 【详解】 解：为边的中点，过点作交边于点E， ∴， ∴，是的中位线， ， ∵的面积为， ， ， 是的中位线， 与同底等高， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 14．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）综合与探究 如图，在中，，是边上的高，点在边上从点向点移动，点在边上从点向点移动，连结两点同时出发，且移动速度均为，其中移动时间为，，． （1）求的长． （2）当的面积为时，求此时的值． （3）当是等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】（1）的长为     （2）此时的值为4或9     （3）或或      【分析】 （1）设，则，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，过点Q作于点E，由是边上的高，得到，根据相似三角形的性质得到，根据题意得到cm，， 求得，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）①当时，，②当时，过P作于H，③，如图，过Q作于G，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． (1) 小问详解： 解：（1）设，则， 在中，根据勾股定理，得， ， 解得， 的长为； (2) 小问详解： 如图，过点Q作于点E， 是边上的高， ， ， ， 根据题意，得， ，的面积为， ， 解得， 答：此时t的值为4或9； (3) 小问详解： 是等腰三角形， 或或， ①当时，， 解得， ②当时，过P作于H， ， ， ， ， ， 解得，， ③，如图，过Q作于G， 则，， ， ， 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为或或 【点睛】 本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 15．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）阅读与思考 下面是小颖同学日记的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 2025年10月17日       晴今天在课堂上，老师提出一个问题：已知线段，作线段的三等分点．下面是我的两种作图思路（作图痕迹省略）及证明过程：思路一：①如图1，作射线；②在射线上依次截取；③连结；④过点作交于点C，过点作交于点D，则点C，D即为线段的三等分点． 证明：根据作图，得，．，．（依据）．∴点C，D为线段的三等分点．思路二：①如图2，以为对角线作；②分别取，边的中点E，F；③连结，分别交于点G，H，则点G，H为线段的三等分点． 证明：∵四边形是平行四边形，，，，．，的中点分别为E，F，．．…… 任务： （1）在思路一的证明过程中，“依据”的基本事实是___________． （2）请将思路二中的证明过程补充完整． （3）如图3，已知线段，在线段上求作一点O，使．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）     （2） 证明：， ，． ．                                                ． ．                                  同理，得．                                         ∴点G，H为线段的三等分点．     （3） 如图，点O即为所求．                                         【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理即可得到答案； （2）可证明，推出，同理得，据此可得结论； （3）作射线，在射线上截取，连接，再作交于O，根据平行线分线段成比例定理可得． (1) 小问详解： 解：由题意得，依据是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）； 故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 16．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）阅读与思考 请认真阅读下列材料，并完成相应任务． 古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》中提出了射影定理，又称“欧几里得定理”，定理内容：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理． 其符号语言：如图1，在中，，，垂足为．结论：①；②；③．下面是对结论①的证明：是斜边上的高，，，，，（依据），，即． 任务： （1）材料中的依据是指______． （2）证明结论②：． （3）运用射影定理解决问题：如图2，，，，，求的长． 【答案】（1）两角分别相等的两个三角形相似     （2） 证明：，， ， ， ， ， ．     （3）2      【分析】 本题重点考查了相似三角形的判定和性质，以及全等三角形的性质和判定，读懂题意并熟练掌握相似三角形、全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1）相似三角形的判定，两角分别相等的两个三角形相似． （2）证明直角三角形与直角三角形相似，即可得到，进而完成证明． （3）延长至点，使，连接，证明，得到，并设，得到，，利用第二步的结论，代入即可求得的值，进而完成求解． (1) 小问详解： 解：两角分别相等的两个三角形相似． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，延长至点，使，连接， 又，， ， ， ， ，即， 设，则， 由（2）可知，， ，， 即，整理得， 解得，（负值舍去）， 的长为． 17．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）如图，是等边三角形，被一矩形所截，边被三等分，且．若图中阴影部分的面积为6，则四边形的面积为　　　　　　． 【答案】10 【分析】 本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 由题意得，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】 解：由题意可知：， ， ， ， ， ∵阴影部分的面积是 6 ， ， ， ， 故答案为：10． 18．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）已知：如图，在中，点D是边上的一点，的平分线交于点E，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ，， ， 又， ；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质及角平分线的定义可逐步证明，再根据相似三角形的判定证明即可； （2）根据相似三角形的性质列方程求出的长，即得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 19．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）如图，在四边形中，，，，，点E在边上，，连接，且．点F在的延长线上，连接，若，则线段的长为　　　　　　　　． 【答案】7 【分析】 设的延长线交的延长线于点H，作于点M，由，得，由，，推导出，可证明四边形是矩形，因为，，，所以，，，再证明∽，得，则，可证明，则，由勾股定理得，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】 解：设的延长线交的延长线于点H，作于点M，则， ， ， ∵，， ， 四边形是矩形， ，，点E在边上，， ，，， ， ∽， ， ， ，且， ， ， ， ， 解得， ， 故答案为： 【点睛】 此题重点考查平行线的性质、等腰三角形的“三线合一”、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 20．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）综合与实践 四边形的旋转 如图，在矩形中，，，E，F分别为边的中点，四边形为矩形，连接，则A、G、C三点在同一条直线上． （1）______； （2）当矩形绕点A逆时针旋转至如图2的位置时，与不在同一条直线上，通过证明∽，求与之间的数量关系； （3）当矩形绕点A继续逆时针旋转至如图3的位置时，直接回答图（2）中的与之间的数量关系是否还成立？ （4）数学小组对图形的旋转进行了拓展研究．如图4，在中，，，，E、F分别为边的中点，四边形AEGF为平行四边形，连接数学小组发现与仍然存在着特定的数量关系． 如图5，把图4中的绕点A逆时针旋转，其他条件不变时，发现与仍然存在着这一特定的数量关系．请你直接写出这个特定的数量关系． 【答案】（1）     （2）     （3）成立     （4）      【分析】 （1）先求出，再利用平行线分线段成比例即可得解； （2）由旋转可知：，由勾股定理可知，利用边角边证，根据对应边成比例即可得解； （3）同（2）中思路； （4）先求出，再证，即可得证． (1) 小问详解： 解：由勾股定理可得， ， ， ； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由旋转可知：， 由勾股定理可知：，， ，， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解：成立． 由旋转可知：， 由勾股定理可知：，， ，， ， ， ， ； (4) 小问详解： 解：如图4，过F作于点K， 根据题意可知，， 四边形是平行四边形， ，， 在，， ， ， ， 在中，， 如图5， 由旋转可证， ， ， 【点睛】 本题考查了矩形、平行四边形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 21．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）综合与探究 问题情境：如图1，在足够长的四边形纸片中，，，．将该纸片沿过点B的直线折叠，使点C落在边上的点F处，折痕交于点E，连接 独立思考： （1）证明四边形是菱形； 深度探究： （2）如图2，已知点O是线段上的一点（不与端点重合），将该纸片沿过点O的直线折叠，使点C的对应点H落在线段上，点B的对应点G落在线段上，折痕交于点M，交于点N，连接，若，，，且，求的值． 【答案】（1）证明：是翻折而成的， 故，，， ，则， ， 则，， ∵， ， 四边形为菱形； （2） 【分析】 本题为四边形综合题，主要考查相似三角形的判定与性质，菱形的判定和性质，折叠的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据翻折的性质及平行线的性质得出相等的角和边，根据等角对等边证明，即可求解； （2）根据条件得出四边形为平行四边形，表示出相关的边，证明，由平行线得出，则，则可得出答案． 【详解】 （1）略 （2）解：，， 四边形为平行四边形， ， ， 菱形的边长为， ， ， ， ∴， ， ， ． 22．（25-26学年九上·山西运城·期中）如图，在中，，，将绕顶点顺时针旋转，得到，点、分别与点、对应，边、分别交边、于点、，如果点是边的中点，那么　　　　　　． 【答案】 【分析】 设，，求出BC=12x，根据旋转性质和直角三角形性质求出，证明，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴设，， ∴， ∵将绕顶点顺时针旋转，得到， ∴，，， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∵，． ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，相似的判定与性质，直角三角形性质等知识，综合性较强，根据题意设出x，表示出相关量是解题关键． 23．（25-26学年九上·山西晋中榆次区·期中）如图，在矩形中，，点分别是边上的点，连接．若点为的中点，平分，则线段的长度为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查矩形的性质、角平分线的性质及勾股定理的应用，涉及的知识点是 “矩形的对边相等且四个角为直角”“角平分线的定义”“勾股定理”．解题方法是先利用矩形和中点条件求，再通过角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等）或构造全等三角形，结合勾股定理列方程求解，最终求．解题关键是正确利用角平分线的性质建立线段关系，避免角的等量关系推导错误．解题思路为：先求，再作（或利用角平分线的对称性质），结合勾股定理列方程求，最后计算． 【详解】 在矩形中，，，是中点，故． 在中，由勾股定理得： 因平分，故． 设，则． 如图所示： 在上截取，连接，， 则． ∵平分，， ∴， ∴． 在中，； 在中，； 故，解得，即． 在中，，， 由勾股定理得： 24．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）如图，在中，，，过点A作，交的外角的平分线于点D，E是上一点，过点E作于点G，延长交于点F．若，则的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 解题思路是先利用等腰三角形、平行线和角平分线的性质，证明；再通过相似三角形的比例关系，结合矩形的性质建立方程，求出的长度，最终计算． 【详解】 ， ． ， （两直线平行，内错角相等）． 平分， ． ． ． ∵， ∴． 由，得相似比为，故． 如图所示，过作于， ， ． ∵且， ∴四边形是矩形，，． 设，则，，故． ∵， ∴，结合，得， 解得，因此． ． 故答案为． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定与性质．解题中用到的思想是转化思想，将线段长度转化为相似三角形的比例关系；方法技巧是通过等腰三角形三线合一、相似三角形比例式简化计算．解题关键是证明，并准确找到相似三角形的对应边比例．易错点是混淆相似三角形的对应边，或忽略矩形的性质导致线段关系错误． 25．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）综合与探究 问题情境： 在和中，，，，点D在边上，为边上的高．将绕点D旋转，边与边交于点G，边与边交于点H． 猜想证明： （1）如图1，当时，试判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）如图2，在绕点D旋转的过程中，线段与的比值是否发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果没有发生变化，请求出它们的比值． （3）设，在旋转的过程中，请直接写出四边形的面积．（用含x的代数式表示） 【答案】（1）四边形是矩形，理由如下： ， ， ， ， 四边形是矩形． （2）没有发生变化，，（3） 【分析】 （1）四边形是矩形．根据三个角是直角的四边形是矩形判定即可； （2）不会发生变化，．先证，得，然后求出的长即可； （3）由（2）知，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得，过点作于，得；然后求出，最后代入到式了求出结果． 【详解】 解：（1）略 （2）不会发生变化．理由如下： ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ，， , 即线段与的比值是没有发生变化，． （3）由（2）知， ， ， 过点作于， 和有相同的高， ， , ， ， ， , ． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，借助直角三角形的面积公式求线段的长度是解题的关键． 26．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）如图，在矩形中，，，E，F分别为边，的中点，与，分别交于点M，N．则的长为　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理．过点E作，交点于点G，交于点H，证明，求出的长，再证明，，得出，，再求出，从而求出和，可得的长． 【详解】 解：过点E作，交点于点G，交于点H， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∵，，分别为边，的中点， ∴，， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，, ∴，， 即，， ∴，， ∵E为中点，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 27．（25-26学年九上·山西运城闻喜县·期中）综合与探究 （1）如图1，在中，是边上的中线，点在边上，且，与相交于点．过点作，交的延长线于点，通过构造（如图2），经过推理和计算得到的值为______． （2）如图3，在中，点在的延长线上，且，点在上，且，求的值． （3）如图4，点分别在的边上，，，，是的中点，连接，并延长交于点，直接写出的值． 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是添加平行线构造相似三角形． （1）过点C作，交的延长线于点F，可证，根据全等三角形的性质可得，再由，可得，再由相似三角形的性质即可求求解； （2）过点作，交的延长线于点，则，则，设，，再由平行得到，即可求解； （3）过点作，交于点，交于点，则是的中位线，，可得四边形是平行四边形，设，则，由平行得到，则，那么，可得四边形是平行四边形，由平行得，则，再表示，即可的值． (1) 小问详解： 解：过点C作，交的延长线于点F， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，过点作，交的延长线于点， ， ． ， ． 设，． ， ∴， ． ， ， ； (3) 小问详解： 解：如图，过点作，交于点，交于点． ∴， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ． ，， 四边形是平行四边形， ， ． 设，则． ∵， ∴， ， ， ， ． ，， 四边形是平行四边形， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ． 28．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）综合与实践 数学活动课上，同学们用尺规作图法探究在菱形内部作一点到该菱形三个顶点的距离相等． 【动手操作】如图，已知菱形，求作点O，使得点O到三个顶点A，D，C的距离相等． 小红同学设计如下作图步骤； ①连接； ②分别以点A，D为圆心，大于的长为半径在的上方与下方作弧，上方两弧交于点M，下方两弧交于点N，作直线交于点O； ③连接，，则． （1）根据小红同学设计的尺规作图步骤，在图中完成作图过程．（要求：尺规作图，保留作图痕迹） 【证明结论】 （2）求证：． 【拓展延伸】 （3）当时， ①求证：； ②直接写出与的面积比． 【答案】（1）解：根据小红同学设计，作图如下： （2）证明：在菱形中，，， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （3）① 证明：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ② 【分析】 （1）根据小红同学设计作图即可； （2）由菱形可得，，即得，有，而垂直平分，有，故； （3）由，可得，求出，，，，即可得； （3）根据相似三角形的性质可得 ，证明，设，，有，从而， 从而可得面积比 ． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）① 略 ② ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，（其中），则， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ， ∴ ． 【点睛】 本题考查了四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，三角形面积，菱形的性质及应用，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形判定定理． 29．（25-26学年九上·山西太原·期中）如图，已知正方形中，，点在正方形的外部，在直线同侧，且，连接．若，则线段的长为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 延长，交于点，延长至，使，连接，先证，由勾股定理得，由正方形的性质得，则，通过证明得到，设，则，根据线段的和差列出方程，解得，最后计算的长，即可解答. 【详解】 解：如图，延长，交于点，延长至，使，连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为： ． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 30．（25-26学年九上·山西临汾·期中）综合与探究 【问题探究】 （1）如图，是等腰三角形，，点是边上一点，连接，作，与相交于点，请你写出与的关系：________；（填“全等”或者“相似”） 【类比迁移】 （2）如图，在（）的条件下，连接、，如果，，，，（）中的结论还成立吗？如果成立，请你证明并求的长；不成立请说明理由． 【拓展应用】 （3）如图，在中，，，点从点出发，以的速度沿方向匀速运动，同时点从点出发，以的速度沿方向匀速运动，当其中一个点运动至终点时，另一个点随之停止运动，连接，在右侧作，该角的另一边交射线于点，连接．设运动时间为，当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】（）相似        （）（）中的结论成立，的长为或        证明：如图，过作于点，当在左侧时， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（）得，， ∴， 设，则， ∴，整理得：， 解得：，， 经检验：，是原方程的解， ∴舍去， ∴； 如图，过作于点，当在右侧时， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（）得，， ∴， 设，则， ∴，整理得：， 解得：，， 经检验：，是原方程的解， ∴（舍去）， ∴； 综上可得：的长为或； （）或． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程等腰三角形定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，通过三角形外角性质可得，从而证明； （）分如图，过作于点，当在左侧时，如图，过作于点，当在右侧时两种情况，然后通过相似三角形的性质，平行四边形的性质即可求解； （）过作于点，先证明，则有，然后分当在上时，当在延长线上时两种情况，然后通过相似三角形的性质即可求解． 【详解】 解：（）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：相似； （）略 （）如图，过作于点， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当在上时， 时，则， ∴，，， ∴， 解得； 如图，当在延长线上时，时，则， ∴，，， ∴， 解得； 综上可得，当为等腰三角形时，的值为或． 31．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）请阅读以下材料，并完成相应的问题． 角平分线分线段成比例定理角平分线分线段成比例定理：如图①，在中，平分并交于点，则．下面是这个定理的证明过程．方法1：如图②，过点作，交的延长线于点．，（依据），，．平分，，，，．方法2：如图③，过点作，交的延长线于点F…… 任务： （1）填空：方法1中的依据是                 ； （2）请按照上面的证明思路，补充方法2证明的剩余部分； （3）如图④，在中，，，，平分交于点，求的长． 【答案】（1）平行线分线段成比例     （2） ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ；     （3）      【分析】 本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据平行线分线段成比例，进行作答即可； （2）证明，得到，平行结合角平分线推出，即可得出结论； （3）勾股定理求出的长，根据角平分线分线段成比例，求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． (1) 小问详解： 解：依据为平行线分线段成比例； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：Rt中，，，， 由勾股定理得：， 平分， ， ， ， ， 中，，，， 由勾股定理得． 32．（25-26学年九上·山西运城·期中）综合与探究 问题情境：如图，已知长方形，点为射线上一动点．以为边在其右侧作长方形，使得，连接，． 猜想证明： （1）如图1，当点在线段上时，请判断与的位置及数量关系（数量关系用含的代数式表示）并说明理由； 深入探究： （2）连接，交于点，连接，进一步研究． ①请在图中画出图形并证明在点运动的过程中始终是等腰三角形； ②如果，，能否成为直角三角形？若能，请直接写出的长；若不能，请说明理由． 【答案】（1） ，，理由如下： ∵四边形，是长方形， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴，．     （2） ① 证明：如图1所示，当在线段上时： ②或      【分析】 （1）根据已知可得，进而得到结论； （2）① 分当在线段上或当在线段的延长线上两种情况进行讨论，根据长方形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得； ② 先根据当等腰直角三角形时，求得、，再根据，得到∴，不妨设，则，然后分当在线段上或当在线段的延长线上两种情况进行讨论，先表示出，然后在中，利用勾股定理建立方程，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① ∵四边形是长方形 ∴，，， ∴， 由（1）得：， ∴， 在中，，为的中点， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 如图2所示，当在线段上的延长线上时： ∵四边形，是长方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是直角三角形， 在矩形中，，在中，为的中点， ∴， ∴为等腰三角形， 综上，始终为等腰三角形． ② 解：能，的长或； 当成为直角三角形， 由① 可知，为等腰三角形， ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴不妨设，则， ∵在长方形中，，， ∴ ∴如图，当在线段上时，， ∵， ∴， ∴， ∴（舍），， ∴； 如图，当在线段上的延长线上时，， ∵， ∴， ∴， ∴，（舍） ∴； ∴的长或． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质及判定、直角三角形的性质，等腰三角形的判定、勾股定理等知识点，解题的关键是相似三角形的性质及判定的应用． 考点04 相似三角形的性质 1．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）如图，ABC中，DE∥BC，AD:BD=1:3，则OE：OB=（　   ） A. 1:3 B. 1:4 C. 1:5 D. 1:6 【答案】B 【分析】 先根据DE∥BC，得出ADE∽ABC，进而得出 ，再根据DE∥BC，得到ODE∽OCB，进而得到． 【详解】 解：∵DE∥BC， ∴ADE∽ABC， ∴， 又∵， ∴， ∵DE∥BC， ∴ODE∽OCB， ∴． 故选：B． 【点睛】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）如图，在中，D，E分别为，边的中点．若的面积为8，则的面积为　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，利用相似三角形的性质求解，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，再利用相似比的平方等于面积比求解． 【详解】 解：∵在中，D，E分别为，边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∴， 故答案为：2． 3．（25-26学年九上·山西临汾·期中）如图，在等边三角形中，．D是的中点，过点D作，垂足为E，则的长是　　　　　　　　． 【答案】6 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，含直角三角形的性质， 先根据等边三角形的性质得，再根据中点的定义得，然后根据含直角三角形的性质求出，最后根据得出答案． 【详解】 解：在等边中，， ∴． ∵点D是的中点， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故答案为：6． 考点05 相似三角形的应用 1．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】 解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（25-26学年九上·山西运城河津·期中）永祚寺双塔是太原的地标建筑，始建于明万历二十七年，即1599年，距今有400多年的历史，数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量双塔高度，如图是他们借助附近一棵大树（大树上的标志牌写着树高）测得的一些数据，可以计算出塔的高度约为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质． 延长，交于，证明，，得到，，将相关数据代入计算即可． 【详解】 解：如图，延长，交于， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：． 故选：C． 3．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）如图，某时刻树梢顶点A的影子刚好落在台阶的G点处．若测得台阶，，此时台阶在地面的影子，树的底部到台阶的距离，则树的高度为　　　　　　　　m． 【答案】4 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 【详解】 解：作，，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：4． 4．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）照相机是人们生活中不可或缺的工具，用于记录生活、科学研究等，小明同学想利用某照相机的参数及实地测量测算某不可及景物的高度．如图所示是小明同学绘制的测量示意图，调节照相机的焦距（相机摄像头到成像面的距离）为，测得像高（成像面上成像的高度）为．若测得物距（景物到相机摄像头的距离）为，则景物的高度为　　　　　　　　　　　m． 【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形实际应用，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先分别得出，，再列出比例式，得出，代入已知数据即可求解． 【详解】 解：由题意得：， ∴，， ∴，， ∴， ∵调节照相机的焦距（相机摄像头到成像面的距离）为，测得像高（成像面上成像的高度）为，若测得物距（景物到相机摄像头的距离）为， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26学年九上·山西晋中介休·期中）（多选）介休公路校园草坪中央矗立着一尊“介子推”雕像．当学习完三角形的相似知识后，老师让同学们借助太阳光线，测量“介子推”雕像高度，并给出测量设计方案．测量工具有：一根1米长的直木棍和20米长量尺．请根据以下信息解决问题：求出“介子推”雕像的高度．采用在同一时刻棍影和雕像影一端在同一点重合的分次测量方式．如图1，第一次测量某一时刻棍影与雕像影一端重合在点，测得棍影米；第二次测量另一时刻棍影与雕像影一端重合在点，测得棍影米，木棍移动距离米． 【答案】“介子推”雕像的高度AB为7米 【分析】 本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 由，易证，，可得，，根据即可求解． 【详解】 解：由题意，得， ， ，， ，． 米，米，米， （米）． ，， ， ，即， 米． 答：“介子推”雕像的高度为7米． 6．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）如图，为了估算河面的宽度，即的长，在离河岸点2米远的点，立一根长为1米的标杆，在河对岸的岸边有一块高为米的安全警示牌，警示牌的顶端M在河里的倒影为点N，即，两岸均高出水平面米，即米，经测量此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，若均垂直于河面，求河宽是多少米？ 【答案】河宽是米 【分析】 本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的应用．熟练掌握矩形的判定与性质，相似三角形的应用是解题的关键． 如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形，，，证明，则，可求，则，（米），证明，则，可求，根据，计算求解即可． 【详解】 解：如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵， ∴（米）， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴河宽是米． 7．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）通常，路灯、台灯、手电筒…的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影． 【数学思考】 如图①，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为　     　 ； 【解决问题】 如图②，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 【答案】数学思考：D；解决问题： 【分析】 本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 数学思考：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长，即可得到答案； 解决问题：根据题意可得出，，得到，，进而得到，即可求出的长，即可求出的长． 【详解】 【数学思考】：解：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长， ∴y与x之间函数关系的图象大致为D， 故答案为：D； 【解决问题】：解：， ，， ∴，， 又，，，，， ∴， ∴， ，， ∴， 解得：， ∴灯杆的高度为． 8．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）项目化学习 项目主题：学科融合——用数学的眼光观察世界． 项目背景：学习完相似三角形的性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜的成像规律． 项目素材： 素材一：凸透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后经过焦点． 素材二：如图①，科学小组的同学们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图②，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜的光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． 项目任务： （1）像的长度为__________厘米； （2）已知光线AP平行于主光轴l，且经过凸透镜折射后通过焦点F， ①求证：； ②求凸透镜焦距OF的长． 【答案】（1）     （2） ① 证明：光线AP平行于主光轴l， ， ， ， ， ， ， ； ②      【分析】 本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意，根据相似三角形的判定与性质求解是关键． （1）先证明，再根据相似三角形的相似比等于对应高之比，列方程求解即可； （2）① 先证明，再证明，即得结论； ② 先证明四边形为矩形，得到，由得，再证明，得到，即可列方程求解． (1) 小问详解： 解：， ， ，， ， ， 解得． 故答案为：． (2) 小问详解： ① 略 ② 解：，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， 由① ，知， ， ， ， ， ， 解得， 所以凸透镜焦距OF的长为厘米． 9．（25-26学年九上·山西临汾·期中）《黑神话：悟空》上线之后，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为中国的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔位于山西省洪洞县广胜寺景区，嘉嘉实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量并制作了下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平直线于点Q，测得米；步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米．（以上数据均为近似值） 计算结果 请你根据上述信息，帮助嘉嘉实践小组求出飞虹塔的大致高度． 【答案】飞虹塔的大致高度为． 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，由题可得，，，，设，则，，证明，所以，即，则有，再证明，所以，即，然后求出的值并检验即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】 解：由题可得：，，，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：飞虹塔的大致高度为． 10．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）郭峪古城位于晋城市阳城县东北，建于明崇祯八年，是一座避难自保的防御性城堡，被称为“蜂窝城”，城堡内的一座“豫楼”，被称为“蜂窝柄”．某综合实践小组的同学围绕“景物高度的测量与计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 景物高度的测量与计算 驱动问题 如何测量“豫楼”的高度 活动过程 方案说明 如图，某一时刻“豫楼”的影长为，小玲站在点D处，她影子的顶端也恰好落在点E处．小玲沿射线行走到点F处，放置一面平面镜（大小忽略不计）后，继续行走到点H处，此时恰好能从平面镜内看到“豫楼”的顶端A 数据测量 ，，，，A，B，C，D，E，F，G，H均在同一竖直平面内，且，，， 计算 … 交流展示 … 请根据以上数据，计算“豫楼”的高度． 【答案】“豫楼”的高度为 【分析】 本题考查了“相似三角形的性质与判定”，熟练掌握相似三角形的性质与判定，并计算对应线段的长是解题关键． 将分别放在两个三角形中，根据所给条件得到相似关系，通过相似三角形的对应线段成比例，计算得到答案即可． 【详解】 解：，， ． 又， ．                                  ．                                  ，， ． ．                                    ， ． ． 又， ．                                  ．                                  ，， ． ，， ．                                         解得．                                         答：“豫楼”的高度为． 考点06 位似 1．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则和的面积比是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】 解：， ， 和是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 与的面积比为：， 故选：D． 2．（25-26学年九上·山西晋中平遥县·期中）如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，下列说法错误的是（     ） A.  B.  C. 与的周长比是 D. 与的面积比是 【答案】B 【分析】 根据题意得出，，再根据对应线段的比和周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，即可得到答案． 【详解】 解：与是以点为位似中心的位似图形， ，． 相似比为， ，与的周长比是，与的面积比是， ， 故A、C、D正确，不符合题意，B错误，符合题意． 故选：B． 3．（25-26学年九上·山西运城·期中）如图，正三角形与正三角形关于原点位似，且点，都在第一象限．若与面积之比为，点的坐标为，则点的坐标为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，利用正三角形的性质得出点B的坐标，进而利用位似图形的性质求出D点坐标． 【详解】 解：如图，过点作轴于点， 在等边三角形中，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵正三角形与正三角形关于原点位似，且与面积之比为， ∴与位似比为， ∴点的坐标为，即， 故选：D． 4．（25-26学年九上·山西运城稷山县·期中）如图，与位似，点O为位似中心，相似比为，若的面积为． （1）写出一条有关相似三角形的性质______． （2）求的面积． 【答案】（1）相似三角形的面积比等于相似比的平方     （2）      【分析】 根据相似三角形的性质解答； 根据位似图形的定义得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算． 本题考查的是位似变换，熟记位似图形的定义、相似三角形的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方， 故答案为：相似三角形的面积比等于相似比的平方答案不唯一； (2) 小问详解： 解：与位似，相似比为， ∴，相似比为， 与的面积比为， 的面积为8， 的面积为2． 5．（25-26学年九上·山西临汾洪洞县·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在第一象限内画出的位似图形，使它与的相似比为； （2）写出点的坐标． 【答案】（1） 即为所求做的三角形；      （2）      【分析】 本题考查了画已知三角形关于原点位似的三角形，解答本题的关键要明确：一般的，在坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形位似的图形，位似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． （1）利用位似的概念画出图形即可； （2）根据图形写出点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据图形可得． 6．（25-26学年九上·山西晋城泽州县·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点均在格点上，其中点A的坐标为，点D的坐标为，且点B，C均在第一象限内． （1）请直接写出点C的坐标． （2）在x轴上方画出正方形以点O为位似中心，放大到原来3倍的正方形，并直接写出正方形的面积． （3）若是正方形边上一点，经过（2）的变换后，点E的对应点为，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）点C的坐标为；     （2） 如图，正方形即为所作； 正方形的面积为36．     （3）点的坐标为．      【分析】 本题考查了位似图形的性质． （1）根据题意直接写出点C的坐标即可； （2）根据位似图形的性质画出正方形，再根据正方形的性质求解即可； （3）根据位似图形的性质直接写出点的坐标即可． (1) 小问详解： 解：∵正方形，点A的坐标为，点D的坐标为， ∴点C的坐标为； (2) 小问详解： 解：正方形的面积为； (3) 小问详解： 解：由题意得点的坐标为． 7．（25-26学年九上·山西晋中左权县·期中）如图，的三个顶点坐标分别为，，． （1）以原点为位似中心，在轴左侧画出，使得与的相似比为2； （2）在（1）的条件下，若点在内，直接写出点的对应点的坐标为__________． 【答案】（1） 作图如下：      （2）      【分析】 本题主要考查位似变换的概念和应用，需要根据位似中心和相似比来确定新图形的顶点坐标，准确利用知识点求解是解题的关键． （1）根据与的相似比为2和在第三象限，可得，，，连接即可； （2）根据相似三角形的性质进行求解即可； (1) 小问详解： 根据题意可得与的相似比为，且在第三象限， ，，， ，， (2) 小问详解： 在内， 在内， 与的相似比为，， 的横坐标为：，纵坐标为， ． 故答案是：． 8．（25-26学年九上·山西临汾·期中）在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【答案】（1） 解：如图所示，点为所作；      （2） 解：如图所示，为所作；      （3）10      【分析】 本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 相似 考点01 图形的相似 考点02 平行线分线段成比例 考点03 三角形相似的判定 考点04 相似三角形的性质 考点05 相似三角形的应用 考点06 位似 考点01 图形的相似 1．C 2．A 3．A 4．C 5．C 6．D 7．B 8．D 9．D 10．D 11．A 12．A 13．D 14．【答案】 【分析】 此题考查分式的求值，比的性质，根据等式得到，代入化简即可，正确掌握比的性质是解题的关键． 【详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．【答案】6 【分析】 本题考查线段成比例的问题，解方程等知识点，根据线段成比例，可以列出方程，代入数值求解即可． 【详解】 解：∵线段、、、成比例线段， ， ， ， 解得． 故答案为：6． 16．【答案】5 【分析】 本题考查的是整式的计算，掌握代入法是解本题的关键． 根据已知条件，可得，然后代入所求表达式进行化简． 【详解】 因为，所以， 代入，得． 故答案为：5． 17．【答案】 【分析】 本题考查了相似图形的性质，多边形内角和．根据相似图形的性质可知左图第四个角的度数，根据多边形内角和求出四边形内角和，进而可求的度数． 【详解】 解：∵两个四边形相似， ∴， 故答案为：． 18．【答案】 【分析】 本题主要考查了求分式的值，利用已知比例关系，通过分式运算求解即可． 【详解】 由可得：， 则． 故答案为：． 19．【答案】50 【分析】 本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．根据相似多边形的边长之比等于相似比，列方程求解即可． 【详解】 解：设大号地砖的边长为， 则， 解得， 大号地砖的边长为． 故答案为：50． 20．【答案】2.5 【分析】 本题主要考查比例的性质，根据题意设，再代入计算即可． 【详解】 解：∵ ∴设， ∴． 故答案为：2.5． 21．【答案】4 【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则，代入数据求解即可． 【详解】解：由于P是线段AB的黄金分割点， 且AP为较长线段， 则， ， 则． 故答案为4． 【点睛】本题考查了黄金分割点的概念熟记黄金比的值列方程进行计算． 22．【答案】 【分析】 先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴． 23．【答案】（1）20     （2）      【分析】 本题考查相似多边形； （1）计算矩形的两边长，根据相似多边形的对应边成比例解答即可； （2）计算矩形的两边长，根据相似多边形的对应边成比例解答即可． (1) 小问详解： 解：矩形的两边长分别为，， ∵的两边比为，且与矩形相似， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：矩形的两边为，， ∵的两边比为，且与矩形相似， ∴， 解得， 故答案为：． 24．【答案】（1）     （2） ① 解：设中边上的高为， ∵， ∴， ∴， ∴点是的黄金分割点． ②      【分析】 本题考查了黄金分割，解一元二次方程．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． （1）设，则，由题意，，即，整理得，计算求出满足要求的解，然后代入求黄金分割比即可； （2）① 设中边上的高为，可得，即，进而可得点是的黄金分割点； ② 解：设的面积为，则的面积为，根据，可得，整理得，计算求出满足要求的解即可． (1) 小问详解： 解：设，则， 由题意，， ∴，整理得， 解得，（不合题意，舍去） ∴， ∴． (2) 小问详解： ① 略 ② 解：设的面积为，则的面积为， ∵， ∴， 整理得， 解得，（不合题意，舍去） ∴的面积为． 25．【答案】（1）的长为     （2） 不能，理由如下： 设的长为，由题意，当时， 解得或， 当时，，即，不符合题意，舍去； 当时，，即，不符合题意，舍去； 故矩形配料区的面积不能达到；     （3）或（）．      【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，黄金分割，正确的列出方程是解题的关键： （1）设的长为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程进行求解即可； （2）设的长为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，求出的值，进而求出的长，根据，进行判断即可； （3）根据黄金分割，列出比例式进行求解即可． (1) 小问详解： 解：设的长为，由题意，， 则：， 解得或（不合题意，舍去）； 故的长为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）可知：， 由题意，可知：， 解得． 考点02 平行线分线段成比例 1．B 2．C 3．B 4．A 5．C 6．B 7．D 8．【答案】6 【分析】 利用平行线分线段成比例定理进行求解即可． 本题主要考查平行线所截线段成比例，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 【详解】 解：由题意， ， ， 故答案为：6． 9．【答案】 【分析】 本题考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 作与交于点，先得到，，再算出，进而知道，从而可知． 【详解】 解：如图，作与交于点， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 10．【答案】 【分析】 本题考查了勾股定理，平移的性质，平行线截线段成比例，掌握以上知识的计算是关键． 根据题意得到，，由等面积法得到，则，连接，证明，由勾股定理得，则，，根据题意得到，则，代入计算即可求解． 【详解】 解：在中，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 如图所示，连接， ∵平移， ∴，，， ∴，且， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为： ． 11．【答案】 【分析】 过点E作EG⊥AB，垂足为G，证明△CBE≌△GBE，求得CE，EG，AE的长，过点F作FO⊥AC，垂足为O，利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】 ∵ ∴AB==10， 过点E作EG⊥AB，垂足为G， ∵是的角平分线， ∴∠CBE=∠GBE， ∵∠C=∠BGE=90°，BE=BE， ∴△CBE≌△GBE， ∴BC=BG=6，EC=EG， 设CE=x，则EG=x，AE=8-x,AG=AB-BG=4, 在直角三角形AEG中，根据勾股定理，得， 即， 解得x=3， ∴CE=3，AE=5， 过点F作FO⊥AC，垂足为O，， ∴FO∥BC， ∴， ∴即FO=2OE， ∵AD是中线，BC=6， ∴CD=3， ∵FO∥DC， ∴， ∴， 解得OE=， 在直角三角形OEF中，， ∴EF==． 故答案为：． 【点睛】 本题考查了勾股定理，三角形全等，平行线分线段成比例定理，中线，角的平分线，构造辅助线实施全等证明，平行线分线段成比例证明是解题的关键． 12．【答案】（1） 解：设与相交于点O， 沿过点A的直线将纸片进行折叠，使边落在边上， ， 折叠纸片使点A与点D重合，展平后得到折痕， ，，， ， ，， ， ， ， 四边形是菱形；      （2） 解：； 证明： 沿过点E的直线折叠使落在射线上， ， ， ， ， ， 同理可证， ， ， 四边形是菱形， ， ， 即；      （3）      【分析】 （1）根据轴对称的性质得到，，再证明，即可得到结论； （2）根据菱形的性质及三角形外角的性质证明，再根据平行线分线段成比例定理，即可得到结论； （3）先证明四边形是正方形，再用面积法列方程求出正方形的边长，即可得到答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：四边形是菱形， 四边形是正方形， ，，， 解得 四边形的面积为． 【点睛】 本题考查了图形轴对称的性质，菱形的判定与性质，正方形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 考点03 三角形相似的判定 1．C 2．D 3．B 4．B 5．C 6．B 7．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用三边成比例的两个三角形相似证明，然后利用相似三角形的性质可得，即可解答． 【详解】 解：由题意，得，，，，， ，，， ， ， ． 故答案为：． 8．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了相似三角形的判定，根据等式的性质可得出，只需要补充另一对应角相等或对应边的比相等，即可得到． 【详解】 解：∵， ∴，即， 添加：，则， 添加：，则， 添加：，则， 故答案为：（答案不唯一） 9．【答案】（1） 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴．     （2）      【分析】 本题主要考查相似三角形判定定理，熟悉掌握定理是关键． （1）根据相似三角形的判定定理即可求解； （2）由得，进而证明，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ∵， ． ∵， ∴． ． 10．【答案】（1） 证明：四边形为菱形， ， ， ， ， ， ， ．     （2）      【分析】 本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，，结合，可推出，可证； （2）根据菱形的性质求得，再利用勾股定理求得，然后由（1）可知，从而得到，即可求得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：四边形为菱形， ，， 在中，，，， ， 由（1）可知， ， ． 11．【答案】（1）     （2） 如图所示：点即为所求；      （3） 如图所示：点为所求． 【分析】 本题考查了相似三角形的性质与判定，关键是巧妙利用网格解题； （1）由图可得两三角形相似，进而根据对应边成比例得到结果； （2）利用网格构造相似比是的相似三角形即可； （3）利用网格构造全等三角形即可． (1) 小问详解： 解：∵，， ∴， ∴， 即：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 12．【答案】（1） 证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，解题的关键是∶ （1）根据角平分线的定义，三角形外角的性质以及角的和差关系可得出，然后利用两角对应相等证明相似即可； （2）根据相似三角形的性质求解即可． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： 13．【答案】6 【分析】 本题主要考查三角形中位线定理，三角形的面积，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键．根据三角形中位线定理推出三角形的面积以及四边形的面积即可得到答案． 【详解】 解：为边的中点，过点作交边于点E， ∴， ∴，是的中位线， ， ∵的面积为， ， ， 是的中位线， 与同底等高， 阴影部分的面积为， 故答案为：． 14．【答案】（1）的长为     （2）此时的值为4或9     （3）或或      【分析】 （1）设，则，根据勾股定理即可得到结论； （2）如图，过点Q作于点E，由是边上的高，得到，根据相似三角形的性质得到，根据题意得到cm，， 求得，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （3）①当时，，②当时，过P作于H，③，如图，过Q作于G，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． (1) 小问详解： 解：（1）设，则， 在中，根据勾股定理，得， ， 解得， 的长为； (2) 小问详解： 如图，过点Q作于点E， 是边上的高， ， ， ， 根据题意，得， ，的面积为， ， 解得， 答：此时t的值为4或9； (3) 小问详解： 是等腰三角形， 或或， ①当时，， 解得， ②当时，过P作于H， ， ， ， ， ， 解得，， ③，如图，过Q作于G， 则，， ， ， 综上所述，当是等腰三角形时，t的值为或或 【点睛】 本题是三角形的综合题，考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 15．【答案】（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）     （2） 证明：， ，． ．                                                ． ．                                  同理，得．                                         ∴点G，H为线段的三等分点．     （3） 如图，点O即为所求．                                         【分析】 本题主要考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理即可得到答案； （2）可证明，推出，同理得，据此可得结论； （3）作射线，在射线上截取，连接，再作交于O，根据平行线分线段成比例定理可得． (1) 小问详解： 解：由题意得，依据是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）； 故答案为：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（或平行线分线段成比例）； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 16．【答案】（1）两角分别相等的两个三角形相似     （2） 证明：，， ， ， ， ， ．     （3）2      【分析】 本题重点考查了相似三角形的判定和性质，以及全等三角形的性质和判定，读懂题意并熟练掌握相似三角形、全等三角形的性质和判定是解题的关键． （1）相似三角形的判定，两角分别相等的两个三角形相似． （2）证明直角三角形与直角三角形相似，即可得到，进而完成证明． （3）延长至点，使，连接，证明，得到，并设，得到，，利用第二步的结论，代入即可求得的值，进而完成求解． (1) 小问详解： 解：两角分别相等的两个三角形相似． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：如图，延长至点，使，连接， 又，， ， ， ， ，即， 设，则， 由（2）可知，， ，， 即，整理得， 解得，（负值舍去）， 的长为． 17．【答案】10 【分析】 本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 由题意得，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】 解：由题意可知：， ， ， ， ， ∵阴影部分的面积是 6 ， ， ， ， 故答案为：10． 18．【答案】（1） 证明：， ， 平分， ， ，， ， 又， ；     （2）      【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质及角平分线的定义可逐步证明，再根据相似三角形的判定证明即可； （2）根据相似三角形的性质列方程求出的长，即得答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：，， ， ， ， ， ， ， ， ． 19．【答案】7 【分析】 设的延长线交的延长线于点H，作于点M，由，得，由，，推导出，可证明四边形是矩形，因为，，，所以，，，再证明∽，得，则，可证明，则，由勾股定理得，求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】 解：设的延长线交的延长线于点H，作于点M，则， ， ， ∵，， ， 四边形是矩形， ，，点E在边上，， ，，， ， ∽， ， ， ，且， ， ， ， ， 解得， ， 故答案为： 【点睛】 此题重点考查平行线的性质、等腰三角形的“三线合一”、矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 20．【答案】（1）     （2）     （3）成立     （4）      【分析】 （1）先求出，再利用平行线分线段成比例即可得解； （2）由旋转可知：，由勾股定理可知，利用边角边证，根据对应边成比例即可得解； （3）同（2）中思路； （4）先求出，再证，即可得证． (1) 小问详解： 解：由勾股定理可得， ， ， ； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：由旋转可知：， 由勾股定理可知：，， ，， ， ， ， ； (3) 小问详解： 解：成立． 由旋转可知：， 由勾股定理可知：，， ，， ， ， ， ； (4) 小问详解： 解：如图4，过F作于点K， 根据题意可知，， 四边形是平行四边形， ，， 在，， ， ， ， 在中，， 如图5， 由旋转可证， ， ， 【点睛】 本题考查了矩形、平行四边形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 21．【答案】（1）证明：是翻折而成的， 故，，， ，则， ， 则，， ∵， ， 四边形为菱形； （2） 【分析】 本题为四边形综合题，主要考查相似三角形的判定与性质，菱形的判定和性质，折叠的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据翻折的性质及平行线的性质得出相等的角和边，根据等角对等边证明，即可求解； （2）根据条件得出四边形为平行四边形，表示出相关的边，证明，由平行线得出，则，则可得出答案． 【详解】 （1）略 （2）解：，， 四边形为平行四边形， ， ， 菱形的边长为， ， ， ， ∴， ， ， ． 22．【答案】 【分析】 设，，求出BC=12x，根据旋转性质和直角三角形性质求出，证明，即可求解． 【详解】 解：∵，， ∴设，， ∴， ∵将绕顶点顺时针旋转，得到， ∴，，， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∵，． ∴， ∴． 【点睛】 本题考查了旋转的性质，相似的判定与性质，直角三角形性质等知识，综合性较强，根据题意设出x，表示出相关量是解题关键． 23．【答案】 【分析】 本题考查矩形的性质、角平分线的性质及勾股定理的应用，涉及的知识点是 “矩形的对边相等且四个角为直角”“角平分线的定义”“勾股定理”．解题方法是先利用矩形和中点条件求，再通过角平分线的性质（角平分线上的点到角两边距离相等）或构造全等三角形，结合勾股定理列方程求解，最终求．解题关键是正确利用角平分线的性质建立线段关系，避免角的等量关系推导错误．解题思路为：先求，再作（或利用角平分线的对称性质），结合勾股定理列方程求，最后计算． 【详解】 在矩形中，，，是中点，故． 在中，由勾股定理得： 因平分，故． 设，则． 如图所示： 在上截取，连接，， 则． ∵平分，， ∴， ∴． 在中，； 在中，； 故，解得，即． 在中，，， 由勾股定理得： 24．【答案】 【分析】 解题思路是先利用等腰三角形、平行线和角平分线的性质，证明；再通过相似三角形的比例关系，结合矩形的性质建立方程，求出的长度，最终计算． 【详解】 ， ． ， （两直线平行，内错角相等）． 平分， ． ． ． ∵， ∴． 由，得相似比为，故． 如图所示，过作于， ， ． ∵且， ∴四边形是矩形，，． 设，则，，故． ∵， ∴，结合，得， 解得，因此． ． 故答案为． 【点睛】 本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定与性质．解题中用到的思想是转化思想，将线段长度转化为相似三角形的比例关系；方法技巧是通过等腰三角形三线合一、相似三角形比例式简化计算．解题关键是证明，并准确找到相似三角形的对应边比例．易错点是混淆相似三角形的对应边，或忽略矩形的性质导致线段关系错误． 25．【答案】（1）四边形是矩形，理由如下： ， ， ， ， 四边形是矩形． （2）没有发生变化，，（3） 【分析】 （1）四边形是矩形．根据三个角是直角的四边形是矩形判定即可； （2）不会发生变化，．先证，得，然后求出的长即可； （3）由（2）知，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，得，过点作于，得；然后求出，最后代入到式了求出结果． 【详解】 解：（1）略 （2）不会发生变化．理由如下： ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，， ，， , 即线段与的比值是没有发生变化，． （3）由（2）知， ， ， 过点作于， 和有相同的高， ， , ， ， ， , ． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，借助直角三角形的面积公式求线段的长度是解题的关键． 26．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理．过点E作，交点于点G，交于点H，证明，求出的长，再证明，，得出，，再求出，从而求出和，可得的长． 【详解】 解：过点E作，交点于点G，交于点H， 由题意可知：，， ∴， ∴， ∵，，分别为边，的中点， ∴，， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，, ∴，， 即，， ∴，， ∵E为中点，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． 27．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是添加平行线构造相似三角形． （1）过点C作，交的延长线于点F，可证，根据全等三角形的性质可得，再由，可得，再由相似三角形的性质即可求求解； （2）过点作，交的延长线于点，则，则，设，，再由平行得到，即可求解； （3）过点作，交于点，交于点，则是的中位线，，可得四边形是平行四边形，设，则，由平行得到，则，那么，可得四边形是平行四边形，由平行得，则，再表示，即可的值． (1) 小问详解： 解：过点C作，交的延长线于点F， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； (2) 小问详解： 解：如图，过点作，交的延长线于点， ， ． ， ． 设，． ， ∴， ． ， ， ； (3) 小问详解： 解：如图，过点作，交于点，交于点． ∴， 是的中点， 是的中点， 是的中位线， ． ，， 四边形是平行四边形， ， ． 设，则． ∵， ∴， ， ， ， ． ，， 四边形是平行四边形， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ． 28．【答案】（1）解：根据小红同学设计，作图如下： （2）证明：在菱形中，，， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴； （3）① 证明：∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ② 【分析】 （1）根据小红同学设计作图即可； （2）由菱形可得，，即得，有，而垂直平分，有，故； （3）由，可得，求出，，，，即可得； （3）根据相似三角形的性质可得 ，证明，设，，有，从而， 从而可得面积比 ． 【详解】 （1）略 （2）略 （3）① 略 ② ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，（其中），则， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ， ∴ ． 【点睛】 本题考查了四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，三角形面积，菱形的性质及应用，相似三角形判定与性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形判定定理． 29．【答案】 【分析】 延长，交于点，延长至，使，连接，先证，由勾股定理得，由正方形的性质得，则，通过证明得到，设，则，根据线段的和差列出方程，解得，最后计算的长，即可解答. 【详解】 解：如图，延长，交于点，延长至，使，连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 故答案为： ． 【点睛】 本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质和判定，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 30．【答案】（）相似        （）（）中的结论成立，的长为或        证明：如图，过作于点，当在左侧时， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（）得，， ∴， 设，则， ∴，整理得：， 解得：，， 经检验：，是原方程的解， ∴舍去， ∴； 如图，过作于点，当在右侧时， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由（）得，， ∴， 设，则， ∴，整理得：， 解得：，， 经检验：，是原方程的解， ∴（舍去）， ∴； 综上可得：的长为或； （）或． 【分析】 本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程等腰三角形定义等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，得，通过三角形外角性质可得，从而证明； （）分如图，过作于点，当在左侧时，如图，过作于点，当在右侧时两种情况，然后通过相似三角形的性质，平行四边形的性质即可求解； （）过作于点，先证明，则有，然后分当在上时，当在延长线上时两种情况，然后通过相似三角形的性质即可求解． 【详解】 解：（）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：相似； （）略 （）如图，过作于点， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当在上时， 时，则， ∴，，， ∴， 解得； 如图，当在延长线上时，时，则， ∴，，， ∴， 解得； 综上可得，当为等腰三角形时，的值为或． 31．【答案】（1）平行线分线段成比例     （2） ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ；     （3）      【分析】 本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据平行线分线段成比例，进行作答即可； （2）证明，得到，平行结合角平分线推出，即可得出结论； （3）勾股定理求出的长，根据角平分线分线段成比例，求出的长，再利用勾股定理进行求解即可． (1) 小问详解： 解：依据为平行线分线段成比例； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：Rt中，，，， 由勾股定理得：， 平分， ， ， ， ， 中，，，， 由勾股定理得． 32．【答案】（1） ，，理由如下： ∵四边形，是长方形， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴，．     （2） ① 证明：如图1所示，当在线段上时： ②或      【分析】 （1）根据已知可得，进而得到结论； （2）① 分当在线段上或当在线段的延长线上两种情况进行讨论，根据长方形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证得； ② 先根据当等腰直角三角形时，求得、，再根据，得到∴，不妨设，则，然后分当在线段上或当在线段的延长线上两种情况进行讨论，先表示出，然后在中，利用勾股定理建立方程，即可解答． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ① ∵四边形是长方形 ∴，，， ∴， 由（1）得：， ∴， 在中，，为的中点， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 如图2所示，当在线段上的延长线上时： ∵四边形，是长方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是直角三角形， 在矩形中，，在中，为的中点， ∴， ∴为等腰三角形， 综上，始终为等腰三角形． ② 解：能，的长或； 当成为直角三角形， 由① 可知，为等腰三角形， ∴，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴不妨设，则， ∵在长方形中，，， ∴ ∴如图，当在线段上时，， ∵， ∴， ∴， ∴（舍），， ∴； 如图，当在线段上的延长线上时，， ∵， ∴， ∴， ∴，（舍） ∴； ∴的长或． 【点睛】 本题考查了矩形的性质、相似三角形的性质及判定、直角三角形的性质，等腰三角形的判定、勾股定理等知识点，解题的关键是相似三角形的性质及判定的应用． 考点04 相似三角形的性质 1．B 2．【答案】2 【分析】 本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，利用相似三角形的性质求解，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，再利用相似比的平方等于面积比求解． 【详解】 解：∵在中，D，E分别为，边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴， ∴， 故答案为：2． 3．【答案】6 【分析】 本题主要考查了等边三角形的性质，含直角三角形的性质， 先根据等边三角形的性质得，再根据中点的定义得，然后根据含直角三角形的性质求出，最后根据得出答案． 【详解】 解：在等边中，， ∴． ∵点D是的中点， ∴． 在中，， ∴， ∴． 故答案为：6． 考点05 相似三角形的应用 1．B 2．C 3．【答案】4 【分析】 本题考查了相似三角形的判定和性质，平行投影．作，，则四边形是矩形，推出，据此求解即可． 【详解】 解：作，，则四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 由题意得， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：4． 4．【答案】 【分析】 本题考查了相似三角形实际应用，相似三角形的判定与性质综合，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先分别得出，，再列出比例式，得出，代入已知数据即可求解． 【详解】 解：由题意得：， ∴，， ∴，， ∴， ∵调节照相机的焦距（相机摄像头到成像面的距离）为，测得像高（成像面上成像的高度）为，若测得物距（景物到相机摄像头的距离）为， ∴， ∴， 故答案为：． 5．【答案】“介子推”雕像的高度AB为7米 【分析】 本题考查相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 由，易证，，可得，，根据即可求解． 【详解】 解：由题意，得， ， ，， ，． 米，米，米， （米）． ，， ， ，即， 米． 答：“介子推”雕像的高度为7米． 6．【答案】河宽是米 【分析】 本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的应用．熟练掌握矩形的判定与性质，相似三角形的应用是解题的关键． 如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形，，，证明，则，可求，则，（米），证明，则，可求，根据，计算求解即可． 【详解】 解：如图，延长交的延长线于点H，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵， ∴（米）， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴河宽是米． 7．【答案】数学思考：D；解决问题： 【分析】 本题主要考查中心投影，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 数学思考：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长，即可得到答案； 解决问题：根据题意可得出，，得到，，进而得到，即可求出的长，即可求出的长． 【详解】 【数学思考】：解：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长， ∴y与x之间函数关系的图象大致为D， 故答案为：D； 【解决问题】：解：， ，， ∴，， 又，，，，， ∴， ∴， ，， ∴， 解得：， ∴灯杆的高度为． 8．【答案】（1）     （2） ① 证明：光线AP平行于主光轴l， ， ， ， ， ， ， ； ②      【分析】 本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意，根据相似三角形的判定与性质求解是关键． （1）先证明，再根据相似三角形的相似比等于对应高之比，列方程求解即可； （2）① 先证明，再证明，即得结论； ② 先证明四边形为矩形，得到，由得，再证明，得到，即可列方程求解． (1) 小问详解： 解：， ， ，， ， ， 解得． 故答案为：． (2) 小问详解： ① 略 ② 解：，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形， ， 由① ，知， ， ， ， ， ， 解得， 所以凸透镜焦距OF的长为厘米． 9．【答案】飞虹塔的大致高度为． 【分析】 本题考查了相似三角形的应用，由题可得，，，，设，则，，证明，所以，即，则有，再证明，所以，即，然后求出的值并检验即可，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】 解：由题可得：，，，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：飞虹塔的大致高度为． 10．【答案】“豫楼”的高度为 【分析】 本题考查了“相似三角形的性质与判定”，熟练掌握相似三角形的性质与判定，并计算对应线段的长是解题关键． 将分别放在两个三角形中，根据所给条件得到相似关系，通过相似三角形的对应线段成比例，计算得到答案即可． 【详解】 解：，， ． 又， ．                                  ．                                  ，， ． ．                                    ， ． ． 又， ．                                  ．                                  ，， ． ，， ．                                         解得．                                         答：“豫楼”的高度为． 考点06 位似 1．D 2．B 3．D 4．【答案】（1）相似三角形的面积比等于相似比的平方     （2）      【分析】 根据相似三角形的性质解答； 根据位似图形的定义得到，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算． 本题考查的是位似变换，熟记位似图形的定义、相似三角形的性质是解题的关键． (1) 小问详解： 解：相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方， 故答案为：相似三角形的面积比等于相似比的平方答案不唯一； (2) 小问详解： 解：与位似，相似比为， ∴，相似比为， 与的面积比为， 的面积为8， 的面积为2． 5．【答案】（1） 即为所求做的三角形；      （2）      【分析】 本题考查了画已知三角形关于原点位似的三角形，解答本题的关键要明确：一般的，在坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形位似的图形，位似比为，那么与原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． （1）利用位似的概念画出图形即可； （2）根据图形写出点的坐标． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：根据图形可得． 6．【答案】（1）点C的坐标为；     （2） 如图，正方形即为所作； 正方形的面积为36．     （3）点的坐标为．      【分析】 本题考查了位似图形的性质． （1）根据题意直接写出点C的坐标即可； （2）根据位似图形的性质画出正方形，再根据正方形的性质求解即可； （3）根据位似图形的性质直接写出点的坐标即可． (1) 小问详解： 解：∵正方形，点A的坐标为，点D的坐标为， ∴点C的坐标为； (2) 小问详解： 解：正方形的面积为； (3) 小问详解： 解：由题意得点的坐标为． 7．【答案】（1） 作图如下：      （2）      【分析】 本题主要考查位似变换的概念和应用，需要根据位似中心和相似比来确定新图形的顶点坐标，准确利用知识点求解是解题的关键． （1）根据与的相似比为2和在第三象限，可得，，，连接即可； （2）根据相似三角形的性质进行求解即可； (1) 小问详解： 根据题意可得与的相似比为，且在第三象限， ，，， ，， (2) 小问详解： 在内， 在内， 与的相似比为，， 的横坐标为：，纵坐标为， ． 故答案是：． 8．【答案】（1） 解：如图所示，点为所作；      （2） 解：如图所示，为所作；      （3）10      【分析】 本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $