第三章 《图形的相似》单元自测卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 《图形的相似》单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，融合足球门测量、垃圾桶构造等现实情境，考查相似判定与性质、位似等核心知识，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/32|位似面积比（1）、正方形中相似判定（2）|结合网格（3）、折叠问题（7），基础与中档结合| |填空题|8/32|比例与函数象限（9）、影长测量（10）|菱形迭代坐标（14）、动态相似（13），梯度设计| |解答题|8/82|相似证明（17）、位似作图（18）|足球门测量（19）、垃圾桶构造（24），现实应用与模型探究|

第三章《图形的相似》单元自测卷 一、选择题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 1．如图，原点O是和的位似中心，点与点是对应点，的面积是2，的面积是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 2．如图，是正方形，E是的中点，P是边上的一动点，下列条件中， 不能得到与相似的是（    ）    A． B．P是的中点 C． D． 3.如图，在正方形网格纸中，点 , , , , 都在格点上，下列四个格点三角形：，中，与相似的三角形个数是（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 4.如图，矩形 在矩形 内， 与 ， 与 之间的距离都为 ， 与 ， 与 之间的距离都为 ，已知，，当 （ ）时，矩形矩形． A．1.5 B．1.2 C．1 D．0.9 5.如图，点E是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为（   ） A．15 B．12 C．10 D．9 6.如图，在中，点在上，，点在上，，，相交于，则（   ） A． B． C． D． 7.如图，在矩形中，是上一点，且．甲、乙两人通过折叠，在上找到一点，得到以为斜边的，方法如下： 甲：折叠矩形使点落在点处，折痕与交于点，与交于点，并算得． 乙：先折出的平分线，交于点，再折出的平分线，交于点，并算得．则下列说法正确的是（     ） A．甲、乙的折叠方法均不正确 B．只有甲的折叠方法及计算结果正确 C．只有乙的折叠方法及计算结果正确 D．甲、乙的折叠方法及计算结果均正确 8.如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、交于点、，连接，以下结论：①；②；③，④．正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 9.若，则函数一定经过第________象限． 10.如图所示，东边墙壁上点 处有一盏灯，从其发出的光线照射到一张长为尺，高为尺的桌上(尺，尺)，形成的影长尺，尺，则灯的高度为___尺． 11.如图，的三个顶点均在网格的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与有一条公共边且相似（不全等），则这个格点三角形是_______． 12.如图，在中，是边上的中线，点F是边上的一点，且，过点F作，那么______． 13.如图，在中，，，，D是边上一点，，过点D的直线l将分成两部分，使所分成的三角形与相似，若直线l与另一边的交点为点P，则的长为________． 14.已知菱形的边长为2，，对角线，相交于点O，以点O为坐标原点，分别以，所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，…按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A，，，…，，则点的坐标为________．      15.如图，已知点和y轴上的动点，点B在第二象限内，和都是等边三角形（B、C、D按顺时针排序）．将沿翻折得，当点C在y轴上运动时，设点E的坐标为，则y与x的函数关系式为_______． 16.如图，在矩形中，点E是边延长线上一动点，连接，若，则的最小值为______． 三、解答题（本题共8小题，共82分。其中：17-18每题8分，19-22题每题10分，23-24题每题13分） 17.如图，在等腰三角形中，，，D是边上的一个动点，（不与B、C重合）在边上取一点E，使． (1)求证：；(2)若，求的长． 18.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． (1)画出将向左平移3个单位，再向上平移1个单位后的； (2)以原点为位似中心，相似比为2，在轴的左侧，画出将放大后的； (3)已知与是关于某一点为位似中心的位似图形，请直接写出点的坐标． 19.2025年9月29日，“川超”联赛巴中红叶队主场对阵南充丝绸源点队的比赛在巴中市体育中心举行，小明对球门的高度萌生了探究欲，趁着赛前球员热身训练的间隙，开启了对球门的测量实践．（参考数据：国际上，标准十一人制足球比赛球门高度为2.44米）． (1)测量一：如图1，小明从球门后退24步到点，将随身所带的一面小镜子平放在地面上的点处，继续后退直到他在镜子中刚好看到球门横梁下沿时停止，此时他共后退了39步．已知小明眼睛离地面的高度米，请求出球门高度； (2)测量二：如图2，爸爸从球门后退20步到点处站立不动，小明从点继续后退5步到点处（点、、在同一直线上），此时小明眼睛、爸爸头顶、球门横梁下沿三点共线．已知爸爸身高米，小明目高米，请求出球门高度； (3)根据（1）（2）的计算结果，请计算球门高度的平均值（保留两位小数），并对照参考值说明小明的测量方案是否合理，说明理由． 20.根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． (1)阿明在学习了特殊四边形后，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）． ①两个大小不同的菱形相似．（ 命题） ②两个大小不同的长方形相似．（ 命题） ③两个大小不同的正方形相似．（ 命题） (2)如图1，在四边形和四边形中，，，．求证：四边形与四边形相似． (3)如图2，四边形中，．与相交于点，过点作分别交．于点，．若四边形与四边形相似，求证：． 21.模型探究：（1）如图1，点D、E分别为∆ABC的边上的两点，，将∆ADE绕点A逆时针旋转某个角度得，分别连接、如图 求证：； （2）模型应用：我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻四边形”．在“等邻四边形”中，，，为对角线，试探究的数量关系． （3）模型提升：如图，在∆ABC中，，，连接，，，，直接写出的长度为 ． 22.已知四边形中，E、F分别是、边上的点，与交于点G． 【问题发现】(1)如图1，若四边形是正方形，且于G，则______； 【拓展研究】(2)如图2，当四边形是矩形时，且于G，，，则______； 【解决问题】(3)如图3，若四边形是平行四边形，且时，求证：． 23.如图所示，点D在直角三角形的斜边上，连接，作，使得，连接交于点F，若，． (1)求证：；(2)若，求的长度；(3)当时，求的比值． 24.综合与实践 【主题】探索家用脚踏式翻盖垃圾桶的神奇构造 【素材】为了隔绝异味，拒绝细菌传播，脚踏式翻盖垃圾桶成为许多家庭和公共场合的常见物品，它方便我们在不用手接触的情况下打开垃圾桶，更加卫生、便捷．图1所示是家用脚踏式翻盖垃圾桶在地面上水平放置的侧面实物图，它主要由桶体、桶盖、杠杆和脚踏部分组成，桶盖为圆形，在打开桶盖的过程中，桶盖可以绕点O逆时针方向旋转，桶身为圆柱体． 在数学活动课上，班级各兴趣小组为了探究家用脚踏式翻盖垃圾桶的神奇构造，绘制了如2图所示的简化示意图．连接杆与圆管垂直，与地面平行，支点P固定在垃圾桶底部的某一位置，圆珠B始终在一根固定的圆管内上下滑动，通过脚向下踩踏点A到，圆珠B上升到点，绕支点P转动，转动过程中始终保持 ，与此同时传动杆向上运动，由点H上升到点，从而使桶盖打开． 【实践操作】 步骤1：仔细观察脚踏式翻盖垃圾桶的整体结构； 步骤2：反复操作脚踏板，观察桶盖的运动过程； 步骤3：测量垃圾桶的相关数据：脚踏板到支点的距离 厘米，支点到桶盖连接点的距离 厘米，厘米， 厘米，当脚踩踏板时垃圾桶盖打开最大张角； 步骤4：根据观察到的现象和测量得到的数据，利用数学知识进行分析和计算． 【实践探索】 (1)请用数学知识说明直径为的7号篮球能扔进垃圾桶吗? （参考数据：） (2)若脚踏板下压的垂直距离为时，求桶盖边缘点M掀起的高度是多少? 参考答案 一、选择题 1．B 解：原点是和的位似中心，点与点是对应点， ，相似比，， 的面积是2，的面积． 2.B 解：∵四边形是正方形，∴，， ∵E是的中点，∴，即， A、∵，，∴，故A不符合题意； B、∵P是中点，∴，没办法判定与中各边成比例，故B符合题意； C、∵时，，∴∆ABP∽∆PCE，故C不符合题意； D、∵，，∴，∴， ∴，∴∆ABP∽∆PCE，故D不符合题意．故选：B． 3.B 解：设每个小正方形的边长为1，由勾股定理得： 在中：，，， 计算三边的比，再计算的三边比， 它们分别为， 根据三边成比例判定相似，可以发现与相似，即四个格点三角形中有2个三角形与相似． 4.A 解：∵， 与 ， 与 之间的距离都为 ∴， ∵， 与 ， 与 之间的距离都为 ，∴， ∵矩形矩形，∴，即，解得：，故答案为：． 5.D 解：，，， 四边形是菱形，点在上，点在的延长线上，， ，，，．故选：D． 6.B 解：如图，过点B作，交的延长线于点G， 设，，则，，，， 由，可得，， 由，可得，即．故选：B． 7.B ，，，， 设，则． 甲的方法：∵点与点关于对称，垂直平分，， 在中，，在中，， ，即，解得， 即，，， ，，； 在中，，，， 为等腰直角三角形，且，甲的折叠方法及计算结果正确； 乙的方法：如解图，连接，平分，， ，，，，， ，，， 是公共边，，， 平分，，， ，，， ，甲、乙两人确定的点是相同位置的点， 为等腰直角三角形，且，乙的折叠方法正确，计算结果不正确． 8.C 解：∵，四边形是正方形，∴ 把绕点逆时针旋转，得到． ，、、在同一直线上， ，，． ，，，， ．故①正确． ∵四边形是正方形，是对角线∴ ∵，又∵∴ ∴∴又∵∴∴，故②正确， 又∵∴是等腰直角三角形，∴，故③错误， ∵，∴ ∵把绕点逆时针旋转，得到．∴ 又∵，∴∴∴ 又∵∴，故④正确 故选：C． 二、填空题 9.一、二 解：， 情况1：若，∵ 由等比性质，，∴ ，∴ ， ∴ 函数为，∴ 函数过第一、二、三象限， 情况2：若，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ， ∴ 函数为，∴ 函数过第一、二、四象限， 综上，函数一定经过第一、二象限，故答案为：一、二． 10. 解：由题意可得，尺，，设尺， ∵尺，尺，∴尺，尺， ∵∴，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，即，解得，∴， ∵，∴，∴尺． 11.（答案不唯一） 解：这个格点三角形可以是（答案不唯一），理由如下：由勾股定理得：， ∵，，∴，，∴， ∵，∴．故答案为：（答案不唯一）． 12. 解：∵，∴，∵，∴，∴ ∵是边上的中线，∴，∴． 13.2，，3 解：①若，则， ∴∆CDP∽∆CBA，∴，∴∴ ②若，则，∴， ∴，∴∴ ③若，∴， ∴，∴∴． 14. 解：∵菱形的边长为，，∴是等边三角形，对角线 ∵对角线相交于点，且互相垂直平分，∴ ∵点在轴正半轴上，∴点的坐标为 ∵在中，，∴ ∵菱形菱形，且新菱形的对角线为， ∴新菱形的边长与原菱形的边长的比，等于新菱形的对角线与原菱形的对角线的比，即 ∵，∴，解得BC1=2 在中，斜边，直角边 ∴ ∵点在轴正半轴上，∴点的坐标为同理，以为对角线作菱形菱形 ∵，∴新菱形的边长满足 ，即 ，解得 在中， 再以为对角线作菱形菱形 ∵，∴新菱形的边长满足 ，即，解得 在中， ∵点在轴正半轴上，∴点的坐标为. 综上所述，我们得到一系列点的坐标： 点的坐标为 ，即;点的坐标为 ，即;点的坐标为，即 以此类推，可以得到点An的坐标为;故答案为：． 15. 解：如图，连接，  和是等边三角形， ，，，， ，即， 在和中，，，， ，，∴， 点在与轴正半轴的夹角为的直线上运动， 设直线与的交点是，连接，作交于， ，，， ，，∴， ∴，， ∴，；由折叠的性质可得，， ∴，∴，，即； 如图所示，设交y轴于H， ∵，∴， 在中，，∴，同理可得， ，，，点、、、共圆， ，连接，∵，∴， ∵，∴垂直平分，∴，∴是等边三角形， ∴，∴，∴三点共线； ∵，∴，∴，∴，∴， 设直线解析式为，∴，∴，∴直线解析式为， ∵点E的坐标为，∴故答案为：． 16. 解：作，且使得，取中点，连接，，， 四边形是矩形，∴，， ，，， ，即，， ，，当取最大值时，的值最小， ∵，∴当点三点共线，且在延长线上时，取最大值即为， ∵∴设，，∵，点为中点， ∴，， 为最小值．故答案为：． 三、解答题 17.(1)证明：，∠B=∠C=45∘,BC=2， ∵∠ADC=∠B+∠BAD=45∘+∠BAD， ∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=45∘+∠EDC，， 又，； （2）解：，， ∵，，，解得， 18.（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，作直线，交于点P，点P即为位似中心， ，，直线的解析式为， 设直线的解析式为，将代入，得：，解得， 直线的解析式为，将与联立，得：，解得， 点的坐标为． 19.（1）解：由题意和光的反射原理可知，， ，，设，则，， 米，，解得； （2）解：连接交于点，由题知，， ，，，， 爸爸身高米，小明眼高米，，解得， ，解得； (3)小明的测量方案不合理，， ，小明的测量方案不合理． 20.（1）解：①假：菱形边成比例，但内角不一定相等（如菱形和菱形不相似）； ②假：长方形角相等，但边不一定成比例（如和长方形不相似）； ③真：正方形四个角都是，四条边都相等，必然满足“角分别相等、边成比例”； （2）证明：如图1中，连接， ∵，且，∴， ∴，，，∵，∴， ∵，，∴，∴， ∴，，， ∴，，，，， ∴四边形与四边形相似； （3）证明：∵四边形与四边形相似，∴​， 设这个公共比值为，则，，，∴， ∵，∴，，∴​，​， ∴，即，∴即，∴， ∵，，∴两边同除以得，，∴，∴． 21.证明：，，， 绕点A逆时针旋转某个角度得，，，， ，，，∴； 如图1，将绕点A逆时针旋转的度数至，连接， ，，，， ∵，∴，∴∽，，， ∵ ，，，； 如图2，将绕点D逆时针旋转至，连接，作于X， ，，， ∴ ，， ，， ，作，则：， ∵，∴，∴，，故答案为： 22.（1）解：四边形是正方形，，，， ，，， ，，； （2）解：四边形是矩形，，，， ，，， ，； (3)证明：四边形是平行四边形，，，， ，，，， ，，，， ，，， ，，，， ，，． 23.(1)证明：∵直角三角形的斜边为，， ∴，∴，∴， 又∵，∴，∴． （2）解：如图，作，垂足为G，设， 在直角中， ∵，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴，即 ∴，，在直角中，，， ∴，由勾股定理得，， ∵，∴，解得，，∴； （3）解：如图，作，垂足为H，设， ∵，∴，∵，∴， ∴，即，∴，， ∵，∴，∴， 由（1）可知，，∴，， ∴，∵， ∴，∴， ∵，∴，∴，即， ∴解得，，∴，∵， ∴，∴． 24.（1）解：如图（1），过点M作于点Q，则 当脚踩踏板垃圾桶盖打开最大张角时， 在中， ∵7号篮球的直径为24.6cm 且 ∴直径为24.6cm的7号篮球不能扔进垃圾桶 （2）解：如图（2），过点作 于点C，过点 作 于点Q， 则 ∴ ∵点A的对应点是 厘米， 在中， 厘米， 厘米， 厘米 解得：， ∵当圆珠B上升到点时，点H上升到点 过点作 于点N，则 在中， 厘米，厘米 ， 厘米 答：桶盖边缘点M掀起的高度是厘米． 学科网（北京）股份有限公司 $