第三章 图形的相似 单元练习 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 北师大版九年级上册第三章“图形的相似”单元卷，覆盖比例线段、相似三角形等核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，培养几何直观与推理能力，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|比例线段、相似图形判定、位似性质|基础概念辨析，如第2题正方形相似判定| |填空题|5/15|面积周长比、比例中项、比例尺|核心公式应用，如第11题面积比推周长比| |解答题|8/75|相似证明、位似作图、黄金分割、实际测量|综合实践结合文化，如第23题国旗五角星黄金三角形探究|

· 第三章 图形的相似 单元练习 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．若a，b，c，d是比例线段，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列各组图形中，一定是相似图形的是（ ） A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个等腰三角形 D．两个正方形 3．若两个图形位似，则下列叙述不正确的是（ ） A．位似图形一定是相似图形 B．位似图形的对应边互相平行或在同一直线上 C．位似图形的周长比等于位似比 D．位似中心一定在两个图形之间 4．已知△ABC∽△DEF，且相似比为2:3，则△ABC与△DEF的面积比为（ ） A．2:3 B．4:9 C．3:2 D．9:4 5. 已知△ABC∽△A'B'C'，且对应边上的高之比为2:3，若△ABC的周长为12，则△A'B'C'的周长为（ ） A．8 B．18 C．27 D．36 6．已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，点为边上一点，若，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有一半露出水面，那么此时水面高度是（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在中，点、分别在、上，且、，若的面积为9，则的面积为（    ） A．8 B．16 C．27 D． 10．如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．已知两个相似多边形的面积比为4:9，则它们的周长比为______． 12．若线段a=4cm，b=9cm，则a，b的比例中项为______cm． 13．已知△ABC∽△DEF，且相似比为2:3，若△ABC的周长为12cm，则△DEF的周长为______cm． 14．在比例尺为1:50000的地图上，测得A、B两地的距离为3cm，则A、B两地的实际距离为______km． 15．如图，在中，，，点，分别在边，上，连接，将沿翻折，点的对应点为点，线段恰好经过点若，则的值为______． 三．解答题（本大题共8小题，共75分） 16．如图，是的中线． (1)请用无刻度的直尺和圆规在上取点E，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，若点A到直线的距离是1，求点B到直线的距离． 17．已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 18．如图，相交于点O，，求证：． 19．如图，小亮同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与树顶B在同一直线上，已知纸板的两条边，，延长交于点C，测得边离地面的高度，，求树高． 20．如图，D是的边上一点，连接，若， (1)求证： (2)若，，求的长． 21．在如图的方格纸中，与是关于点为位似中心的位似图形． (1)在图中标出位似中心的位置，并写出点的坐标； (2)以原点为位似中心，在第三象限内画出的一个位似，使它与的位似比为2：1． 22．点 C 在线段 AB 上。 （1）若 C 为 AB 的黄金分割点（AC>CB），AB=8，求 AC 与 CB（保留根号）； （2）若 AC:CB=AB:AC，求证：. 23．综合与实践∶ 【问题背景】鲜艳的中华人民共和国国旗始终是当代中华儿女永不褪色的信仰，国旗上的每颗星都是标准五角星，为了增强学生的国家荣誉感、民族自豪感等，数学老师组织学生对五角星进行了较深入的研究，其中智慧数学小组发现国旗上五角星的五个角都是顶角为 的等腰三角形，对此三角形产生了极大的兴趣并展开探究． 【探究发现】如图 1，在 中， （1）操作发现：将 折叠，使边落在边上，点C的对应点是点E，折痕交于点 D，连接，则 °，设， 那么 （用含x的式子表示）； （2）进一步探究发现：顶角为的等腰三角形的底与腰的比值为 这个比值被称为黄金比．请在 （1）的条件下证明： ． 【拓展应用】当等腰三角形的底与腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形．例如，图 1 中的 是黄金三角形． （3）如图2， 在菱形中，．求这个菱形较长对角线的长． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D B B C C A B C 11．2:3 12．6 13．18 14．1.5 15． 16．(1)如图所示，即为所求； (2)点到直线CE的距离是1 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，求三角形的高，尺规作图—作与已知角相等的角，平行线分线段成比例定理，熟知相关知识是解题的关键。 （1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （2）由三角形中线的定义得到，证明，得到，即，则，据此可得点到直线的距离是1． 【详解】（1）略 （2）解：是的中线， ， ∵，， ， ， 即， ， 又∵和同底，点A到直线的距离是1， 点到直线的距离是1． 17．(1) (2) 【分析】（1）设代入计算即可； （2）由（1）中的结论构建方程求出k即可． 【详解】（1）解：设 则： （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，根据已知得出进而得出k的值是解题关键． 18． 证明：∵交于点O， ∴， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】略 19． 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明，得到，代入数值求出，根据线段的和即可得到答案． 【详解】解：∵，   ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 答：树高是． 20．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据公共角，，直接证明两三角形相似即可； （2）根据，列出比例式，代入数据计算即可． 【详解】（1）证明：，， ； （2）， ， ，， （负值舍去）． 21．(1) 点的位置如图所示，； (2)如图，即为所求． 【分析】本题考查坐标与位似图形，掌握位似图形的性质，是解题的关键． （1）连接各对应点的连线的交点即为位似中心P，然后根据图形直接写出点P的对应坐标； （2）根据位似图形的性质，找出变换后各顶点的对应点，然后顺次连接各点即可． 22．(1) （2）设 AB=1，AC=x，则 CB=1-x； 由 AC:CB=AB:AC 得 x:(1-x) =1:x x²=1-x x²+x-1=0 23．（1）72，； （2）证明：，， ． 由折叠知， ， 又， ， ， 即， 整理得：， 解得：（舍去）， ； （3） 【分析】（1）根据折叠的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质即可得出答案， （2）先证明，可得，进而得出一元二次方程，求出解即可； 对于拓展应用：根据菱形的性质得出是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形，可求出，进而求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：根据折叠可知． ， ； 根据折叠可知，，， ， ， ， ． 故答案为：72，； （2）略 拓展应用：解：菱形较长对角线． 如图3，在上截取，连接， 得是顶角为的等腰三角形，即黄金三角形， 根据黄金三角形的底与腰的比值为，由， 可得， ． ，， ， ． ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质和判定，折叠的性质，黄金分割，相似三角形和性质和判定，菱形的性质，解一元二次方程等，理解黄金三角形并应用是解题的关键． 答案第6页，共6页 答案第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $