第三章图形的相似单元练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦九年级图形相似单元，涵盖成比例线段、相似三角形判定与性质、位似等核心知识，通过网格、文化遗产（巴台农神庙）、实际测量（邢窑瓷瓶）等情境设计，适配单元复习，注重几何直观与推理能力培养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|成比例线段、相似三角形性质、位似|网格图形相似判定（第2题）、平行线分线段成比例（第3题）| |填空题|5|相似多边形面积比、黄金分割、平移相似|巴台农神庙黄金分割（第12题）、运动相似时间计算（第15题）| |解答题|5|矩形与相似综合、位似作图、中考探究|中考真题“问题猜想-探究-延伸”（第20题）、翻折重叠钝角三角形范围（第19题）|

第三章图形的相似 单元练习 一、单选题 1．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）下列各组线段是成比例线段的是（    ） A．2，4，6，12 B．2，3，6，12 C．3，6，8，12 D．2，4，6，8 2．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，也是小正方形的顶点，从点中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）如图，直线，若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 4．（26-27九年级上·全国·单元复习）若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连结，，则与的面积之间的关系为（     ） A． B． C． D． 6．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，正方形中，点E是对角线上的一点，，过点E作，，垂足分别为点F，G，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在中，为上一点，连结，，且，交于点，，若，则（     ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（     ）． A． B． C． D． 9．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，以点O为位似中心，将五边形放大后得到五边形，已知，若，则是（     ） A． B． C． D． 10．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在正方形中，点E，M是边，上的点，，与交于点F，G，如果，那么下列错误的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（26-27九年级上·全国·单元复习）已知四边形与四边形相似，边与边是对应边，，，则___________． 12．（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）如图1是古希腊时期的巴台农神庙，将图1中的虚线画成如图2所示的矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，发现矩形矩形，则的值为___________． 13．（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）邢窑是河北著名瓷窑．如图，小明用两根长度一样的木棍，制成一个测量工具，测量邢窑产的白瓷瓶瓶底内径的长．若两木棍交于点E，，，则的长为________． 15．（第三十一章相似2相似三角形）如图所示，在三角形中，，，点D从点A出发以的速度运动到点B停止，点E从点C出发以的速度运动到点A停止，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为______s． 三、解答题 16．（26-27九年级上·浙江温州·开学考试）如图，在中，于点，延长至点，使，连接，，交于点． (1)求证：四边形为矩形． (2)若，，，求的长． 17．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求出的面积； (2)请以点为位似中心作一个与位似的，使得的面积为12．（作出一个符合题意的图形即可） 18．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）如图，等边的边长为2，点D，B，C，E在同一直线上，，． (1)求证：； (2)求的长． 19．（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图在中，，，点在边上，满足．点是折线上任意一点，且不与的顶点重合．将沿翻折，得到． (1)求点到边的距离． (2)当点是中点时，求的值． (3)当时，直接写出的值． (4)当点在直线上方时，若与重叠部分为钝角三角形时，直接写出的取值范围． 20．（2026·江苏宿迁·中考真题）按要求解题： (1)【问题猜想】如图1，在中，，是中点，点、分别在、的延长线上，且．请猜想与的大小关系，并证明． (2)【问题探究】如图2，在中，，点在上，点、分别在、的延长线上，且．求证：． (3)【问题延伸】如图3，在中，是中点，，点、分别在、的延长线上，且．求证：． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《第三章图形的相似 单元练习2026-2027学年北师大版数学九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A B C B C D B D 1．A 【分析】根据成比例线段的性质，若四条线段中，最大线段与最短线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则这四条线段为成比例线段，依次验证各选项即可得到结果． 【详解】解：对于选项A：，， ∴，故A符合题意； 对于选项B：，， ∴，故B不符合题意； 对于选项C：，， ∴，故C不符合题意； 对于选项D：，， ∴，故D不符合题意． 2．B 【分析】连接，由正方形的性质得出，由勾股定理得，证出，得出即可． 【详解】解：与相似的是；理由如下： 连接，如图所示： 则， 、和均找不出的角，不可能与相似， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴． 3．A 【分析】根据平行线分线段成比例即可进行解答． 【详解】解：， ． ，， ． ． 4．B 【详解】∵，对应中线比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 5．C 【分析】先证明，得到，，再证明，根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】解：如图，取格点、， 由网格图可得，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴. 6．B 【分析】证明四边形是正方形，得到，根据勾股定理求出，进而计算的值即可． 【详解】解：∵正方形，点E是对角线上的一点，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 设， 则， ， ， ． 7．C 【分析】根据相似三角形的判定和性质，求出，根据三角形的面积公式，得到，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ； ， ， 设的高为， ，， ． ， ． 8．D 【分析】证明两个直角三角形相似，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 即树的高度为． 9．B 【分析】先求出位似比，根据位似图形的性质，再由面积比等于位似比的平方即可求解． 【详解】解：， ， 五边形与五边形位似， ， ， ． 10．D 【分析】在正方形中，根据正方形的性质对角线平分和，又因为，所以，又因为对顶角相等，再结合相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】 ∵在正方形ABCD中，点E，M是边AD，CD上的点，， ∴，，， 即， ∵， ∴， 故A正确，该选项不符合题意； ∵，， ∴， 故B正确,该选项不符合题意； ∵， ∴ 故C正确，该选项不符合题意； ∵， ∴， 而不一定等于， ∴与不一定相似， 故D错误，该选项符合题意． 11． 【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，结合已知条件计算即可． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，与是对应边，， ∴， ∵， ∴， 解得． 12． 【分析】先得出，再根据相似三角形的性质可得，进而可得，设，解方程即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， 设， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列方程的解， ∴． 13．/ 【分析】根据平移的性质可知，，，进而可证得，再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论． 【详解】解：等边三角形沿边上的高线平移到， 且与边相交于、点， ，， ，， ， ， ， ， 的阴影部分面积记为，， ， 解得． 14．6 【分析】首先推出，证明出，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．3或 【分析】设运动时间为x秒，分为和两种情况，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设运动时间为x秒， 根据题意：，，则， 当时，， ，解得； 当时，， ，解得， 综上，以点A，D，E为顶点的三角形与相似时，运动时间为3或． 16．(1)证明：四边形是平行四边形， 且， 又， ， 且， 四边形为平行四边形． ， ， 四边形为矩形． (2) 【分析】本题考查平行四边形，矩形的判定与性质，相似三角形的判定．第一小问的解题关键点是先通过边的等量代换证明四边形是平行四边形，再结合垂直条件证得矩形，第二小问通过设参数证明相似三角形建立方程求解的长度． 【详解】（1）略． （2）解：设， ， ，. 四边形为矩形， ，，， ， ， ， ， ，即， 解得，（舍）， ． 17．(1)3 (2)如图：即为所求（画出其中一个即可）． 【分析】（1）直接利用三角形的面积公式计算即可； （2）先利用与的面积比得到相似比，然后利用以原点为位似中心的对应点的坐标特征，把点A、B、C的横纵坐标都乘以2或得到点，再顺次连接即可． 【详解】（1）解：由图可得：． （2）解：， ∴与的相似比为：， ∵点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为 ∴点的坐标为或，点的坐标为或，点的坐标为或， 如图，为所求． 18．(1) 证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）由等边三角形的性质及三角形外角的性质可得，再结合，即可证明结论； （2）由可求得，再证明，即可求得． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 19．(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）过点作，结合等腰三角形的性质，根据勾股定理即可得出； （2）过点作，根据平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例，求得，根据勾股定理求得和； （3）分两种情况，当在上时，或者当在上时，分别求解即可； （4）当在边上时，或者当在上时，两种情况都是找当或时的临界状态，从而求得的取值范围 【详解】（1）如图，作， ，， ， ． （2）如图，作， 是的中点， ， ，， ， ， ， ， 解得， ， ，， ， ． （3） ①如上图，当在边上时，过点作于点， ，且沿翻折形成， ， 又， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得， 设， 则，，， ， 解得， ， ； ②如下图，当点在边上时，过点作于点， 是沿翻折而成， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 解得， 设，，则， ， ，， ， ， 解得， ， ； 综上所述，的值是或． （4）①如下图所示，当在上且时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 解得， 设，， 则， ， 由折叠可知，，，， ， ，， ， 解得，（舍去）， ， ； ②当点P在AC边上时，如下图，当交于点时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， 解得， 设，则， ， 由折叠可知，，， ， ， ，， ， ， ， ， 解得， ，， ， ， ， 综上所述，或 【点睛】本题主要考查勾股定理，锐角三角函数，直角三角形以及折叠问题． 20．(1)解：，证明如下： 如图，延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∴，即， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)证明：如图，作，交延长线于点， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． (3)证明：如图，过点作于点，作于点，连接， 则， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1），证明过程为：延长至点，使得，连接，先得出，则，，进而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （2）作，交延长线于点，先得出，则，，进而可得，再根据等腰三角形的性质可得，由此即可得证； （3）过点作于点，作于点，连接，先得出，则，再得出，由此即可得证． 【详解】（1）略． （2）略． （3）略． 【点睛】本题的难点在于通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $