精品解析：河北张家口市宣化区2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题（冀教版）

宣化区2025-2026学年度第二学期期末考试 七年级数学试卷（冀教版） 注意事项：1．请考生把正确答案写在答题纸相应的地方． 2．考试时间为90分钟，满分为100分． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 如图，某校实践小组在A点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端B、C之间的距离可能是（ ） A. 2米 B. 3米 C. 10米 D. 14米 3. 下列现象能用“垂线段最短”来解释的是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 两钉子固定木条 D. 弯曲河道改直 4. 已知是不等式的一个解，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 0 5. 下列算式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 在括号内填一个单项式，使多项式（ ）化简后能进行因式分解，在单项式①；②；③中，符合要求的有（ ）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 8. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 9. 下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 分解因式：． 解： ● ☆ 其中运用到的方法是 △ 和 □ ． 下列回答错误的是（ ） A. ●代表 B. ☆代表 C. △可能代表提公因式法 D. □可能代表完全平方公式法 10. 要想知道作业纸上两条相交直线，所夹的锐角的大小．发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两位同学提供了如下间接测量方案（方案1如图1，方案2如图2）： 方案1： ①作一直线，交于点； ②利用尺规作； ③测量的大小即可． 方案2： ①作一直线，交于点； ②测量和的大小； ③计算即可 对于方案1、2，说法正确的是（ ） A. 1可行、2不可行 B. 1不可行、2可行 C. 1、2都可行 D. 1，2都不可行 11. 如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（ ） A. 20 B. 24 C. 25 D. 28 12. 如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每空3分，共18分．把答案写在题中横线上） 13. 的结果是__________． 14. 小南、小洛沿如图所示的路线过马路，若两人同时出发，且速度相同，则两人同时到达马路对面，依据是____________________． 15. 已知是二元一次方程的一个解，则的值为________． 16. 若不等式组的解集是，则______． 17. 如图，在中，，点是边上的一个动点，连接，则线段长度的最小值是___________． 18. 小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则式子有最________（填大或小）为________． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 因式分解： （1）； （2）． 20. 解不等式组：，并写出它的最大整数解． 解：解不等式①，得______； 解不等式②，得______； 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示： 因此，原不等式组的解集是______；它的最大整数解是______． 21. 在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来拼成一个平角来度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为，，．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：， ____________．（________________________________________________） __________（________________________________________________） 即． （1）任务一：补全小颖的说理过程； （2）任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程． 22. 现有甲、乙、丙三种规格的卡片各若干张，已知甲卡片是边长为的正方形，乙卡片是宽为1，长为的长方形，丙卡片是边长为1的正方形，如图1所示（）．嘉嘉分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠，无缝隙），如图2和图3，其面积分别为． （1）请用含的式子分别表示______，______； （2）当时，分别求的值； （3）比较与的大小，并说明理由． 23. 2025年9月3日，我国自主研制的首型舰载固定翼预警机空警-600亮相于纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵活动．某玩具店以此为契机，迅速推出，两种飞机模型．，两种飞机模型每个的进价分别为80元和60元，下表是该玩具店近两天的销售情况． 销售时段 销售数量 销售收入 种 种 第一天 4个 5个 955元 第二天 2个 6个 810元 （1），两种飞机模型的销售单价分别是多少？ （2）该玩具店准备用不超过1400元再次购买这两种飞机模型共20个，且种飞机模型不少于8个，则该玩具店有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，请你帮该玩具店设计利润最大的进货方案（20个飞机模型全部售完），并求出最大利润． 24. 【问题背景】综合与实践课上，某班数学老师提出了这样一个问题：如图，已知，，，之间存在怎样的数量关系？ 学生分小组讨论后，笃学小组提出可过点作直线的平行线，再利用平行线…… （1）请你根据笃学小组的思路解决老师的问题． （2）【迁移应用】求索小组把老师提出的问题进行了变式：如图2，已知，的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请你说明理由；如果不变，请你求出的度数． （3）【拓展探究】老师表扬了求索小组，并在求索小组的问题的基础上提出：若，为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．已知，请你直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宣化区2025-2026学年度第二学期期末考试 七年级数学试卷（冀教版） 注意事项：1．请考生把正确答案写在答题纸相应的地方． 2．考试时间为90分钟，满分为100分． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】不等式的概念：用不等号、、、、连接而成的式子叫做不等式，据此逐个判断式子即可． 【详解】解：∵ ① 是用不等号连接的式子，是不等式； ② 是用不等号连接的式子，是不等式； ③ 是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ④ 是等式，不是不等式； ⑤ 是用不等号连接的式子，是不等式； ∴符合条件的不等式共有3个，故C正确． 2. 如图，某校实践小组在A点测得池塘两端的距离米，米．则池塘两端B、C之间的距离可能是（ ） A. 2米 B. 3米 C. 10米 D. 14米 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边解答即可； 【详解】解：∵在中，米，米， 根据三边关系可得： ， 则，即， 对比选项，只有10米符合该范围． 3. 下列现象能用“垂线段最短”来解释的是（ ） A. 测量跳远成绩 B. 木板上弹墨线 C. 两钉子固定木条 D. 弯曲河道改直 【答案】A 【解析】 【分析】根据“垂线段最短”的具体内容逐条分析，确定正确答案． 【详解】选项用“垂线段最短”来解释，符合题意； 选项是用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； 选项是用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； 选项是用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意． 4. 已知是不等式的一个解，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的解的定义，代入得到关于的不等式，求解后对比选项即可得到解． 【详解】解：将代入得， 移项、合并得， 系数化为1得， 选项中只有满足． 5. 下列算式能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、，完全相同，与互为相反数，符合平方差公式的使用条件； B、，两项都互为相反数，不符合要求； C、，没有相同项，也不存在互为相反数的项，不符合要求； D、，没有相同项，也不存在互为相反数的项，不符合要求． 6. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A选项：∵ ，不等式两边同除以正数，不等号方向不变， ∴ ，A不成立，不符合题意； B选项：∵ ，不等式两边同乘负数，不等号方向改变， ∴ ，B不成立，不符合题意； C选项：∵ ，∴ ， ∵ ，不等式两边同乘正数，不等号方向不变， ∴ ，一定成立，符合题意； D选项：∵ 可得，但无法确定 一定成立， 例如当，时， ， ， 此时 ，不等式不成立，不符合题意． 7. 在括号内填一个单项式，使多项式（ ）化简后能进行因式分解，在单项式①；②；③中，符合要求的有（ ）． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】分别将三个单项式代入原多项式，化简后用初中因式分解方法判断是否能分解，统计符合要求的个数即可． 【详解】解：对于①：，能进行因式分解； 对于②：，能进行因式分解； 对于③：，不能进行因式分解； 综上，符合要求的有个． 8. 如图，下面是三位同学的折纸示意图，则AD依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高线 B. 高线、中线、角平分线 C. 角平分线、高线、中线 D. 角平分线、中线、高线 【答案】C 【解析】 【分析】根据折叠的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图1得，， ∴是的角平分线； 由图2得，， ∵， ∴， ∴是的高线； 由图3得，， ∴是的中线； ∴依次是的角平分线、高线、中线． 9. 下面是课堂上投影屏上显示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 分解因式：． 解： ● ☆ 其中运用到的方法是 △ 和 □ ． 下列回答错误的是（ ） A. ●代表 B. ☆代表 C. △可能代表提公因式法 D. □可能代表完全平方公式法 【答案】D 【解析】 【分析】先逐步对原式因式分解，再判断各选项内容即可. 【详解】解： ； ∴●代表，选项A正确， ☆代表，选项B正确， 分解过程第一步为提公因式法，第二步为平方差公式法，因此△可以代表提公因式法，选项C正确，□代表平方差公式法，不是完全平方公式法，选项D错误. 10. 要想知道作业纸上两条相交直线，所夹的锐角的大小．发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两位同学提供了如下间接测量方案（方案1如图1，方案2如图2）： 方案1： ①作一直线，交于点； ②利用尺规作； ③测量的大小即可． 方案2： ①作一直线，交于点； ②测量和的大小； ③计算即可 对于方案1、2，说法正确的是（ ） A. 1可行、2不可行 B. 1不可行、2可行 C. 1、2都可行 D. 1，2都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】方案1可由平行线的性质进行判断，方案2可由三角形内角和定理进行判断． 【详解】解：方案1：∵， ∴， ∴由两直线平行，内错角相等可知等于直线，所夹锐角的大小； 方案2：∵，和直线，所夹的锐角是一个三角形的三个内角， ∴的大小即为直线，所夹锐角的大小； ∴1、2都可行． 11. 如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（ ） A. 20 B. 24 C. 25 D. 28 【答案】C 【解析】 【分析】设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张，根据题意可得为完全平方式，据此即可解答． 【详解】解：设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张， 则组成的图形面积为， 无缝隙、无重叠地拼成一个正方形， 为完全平方式， 可取，，， 即，符合要求， m的值可以是． 12. 如图，已知，，平分，点是上的一个定点，点是直线上的一个动点，设，，则点在运动过程中，与的关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分三种情况：当点P在之间时，当点P在的下方时，当点P在的上方时，即可求解． 【详解】解：∵， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 当点P在之间时，如图，过点P作， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即，故A选项不符合题意； 当点P在的下方时，如图，过点P作， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，即，故B选项不符合题意； 当点P在的上方时，如图，过点P作，此时， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即，故C选项不符合题意；D选项符合题意； 二、填空题（本大题共6小题，每空3分，共18分．把答案写在题中横线上） 13. 的结果是__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 14. 小南、小洛沿如图所示的路线过马路，若两人同时出发，且速度相同，则两人同时到达马路对面，依据是____________________． 【答案】两条平行线之间的距离相等 【解析】 【分析】马路的两侧可看作一组互相平行的直线，小南和小洛的行走路线都是两条平行线间的垂线段，也就是平行线之间的距离；根据平行线的性质：平行线之间的距离处处相等，可得两人行走的路程相等，又因为两人速度相同、同时出发，因此会同时到达马路对面． 【详解】解：略 15. 已知是二元一次方程的一个解，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二元一次方程解的定义，将已知的解代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：将代入方程得： ， 解得：． 16. 若不等式组的解集是，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再结合不等式组的解集列出关于、的方程，求出、的值，继而代入计算即可． 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 不等式组的解集为， ，， 解得，， ． 17. 如图，在中，，点是边上的一个动点，连接，则线段长度的最小值是___________． 【答案】 4.8 【解析】 【分析】根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， 由面积公式得：， 即， 解得，． 18. 小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则式子有最________（填大或小）为________． 【答案】 ①. 大 ②. 9 【解析】 【分析】仿照小李同学的思路，由表示，代入 ，然后运用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴ ， ， ∴， ∴有最大值9． 三、解答题（本大题共6个小题，共46分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 解不等式组：，并写出它的最大整数解． 解：解不等式①，得______； 解不等式②，得______； 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示： 因此，原不等式组的解集是______；它的最大整数解是______． 【答案】；；见解析；；3 【解析】 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得； 在同一条数轴上表示不等式①②的解集，如图所示： 因此，原不等式组的解集是；它的最大整数解是3． 21. 在小学，同学们通过将一个三角形的三个角撕下来拼成一个平角来度量，计算验证了三角形的内角和等于．在初中学习了“平行线的性质和判定”后，聪明的小颖同学只撕下三角形的一个角来拼到另一个角的顶点处便可说明三角形的内角和等于．请阅读小颖的操作和说理过程，并完成相应任务： 如图1，中的三个内角分别为，，．将撕下，按图2的方式拼摆，使与的顶点重合，的一边与重合． 理由：， ____________．（________________________________________________） __________（________________________________________________） 即． （1）任务一：补全小颖的说理过程； （2）任务二：小聪受小颖的启发，如图3，一个角也不撕，延长且过点作，也能说明三角形的内角和等于，请你帮助小聪写出说理过程． 【答案】（1）；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补 （2）解：∵， ∴，， ∵，，共线， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）利用拼接得到等角，由内错角相等证两直线平行，再根据两直线平行得同旁内角互补，从而推导出三角形的内角和； （2）由平行线性质实现角的等量代换，结合平角定义，证明三角形内角和为． 【小问1详解】 解：由操作可知，， ∵内错角相等，两直线平行， ∴， ∴第一个空答案为，对应的依据为：内错角相等，两直线平行， ∵两直线平行，同旁内角互补， ∴， ∴第二个空答案为，对应的依据为：两直线平行，同旁内角互补； 【小问2详解】 略． 22. 现有甲、乙、丙三种规格的卡片各若干张，已知甲卡片是边长为的正方形，乙卡片是宽为1，长为的长方形，丙卡片是边长为1的正方形，如图1所示（）．嘉嘉分别用6张卡片拼出了两个长方形（不重叠，无缝隙），如图2和图3，其面积分别为． （1）请用含的式子分别表示______，______； （2）当时，分别求的值； （3）比较与的大小，并说明理由． 【答案】（1）； （2） （3） 解：； 理由：， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了列代数式和代数式求值，整式加减运算，掌握矩形的面积公式是解题的关键． （1）根据矩形的面积公式求解； （2）把代入（1）式即可； （3）根据作差法比较大小． 【小问1详解】 解： ，； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当时， ； ； 【小问3详解】 略 23. 2025年9月3日，我国自主研制的首型舰载固定翼预警机空警-600亮相于纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵活动．某玩具店以此为契机，迅速推出，两种飞机模型．，两种飞机模型每个的进价分别为80元和60元，下表是该玩具店近两天的销售情况． 销售时段 销售数量 销售收入 种 种 第一天 4个 5个 955元 第二天 2个 6个 810元 （1），两种飞机模型的销售单价分别是多少？ （2）该玩具店准备用不超过1400元再次购买这两种飞机模型共20个，且种飞机模型不少于8个，则该玩具店有哪几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，请你帮该玩具店设计利润最大的进货方案（20个飞机模型全部售完），并求出最大利润． 【答案】（1）种飞机模型的单价为120元，种飞机模型的单价为95元 （2）方案有三种，方案1：购买种飞机模型8个，种飞机模型12个；方案2：购买种飞机模型9个，种飞机模型11个；方案3：购买种飞机模型10个，种飞机模型10个 （3）该玩具店利润最大的进货方案为购买种飞机模型10个，种飞机模型10个，最大利润为750元 【解析】 【分析】（1）根据表格中近两天的销售情况，设未知数，列二元一次方程组求解单价； （2）设模型数量，根据总进价上限、数量要求列不等式组，取整数解得到购买方案； （3）先算出单个利润，分别计算各方案利润，对比选出利润最大方案． 【小问1详解】 解：设种飞机模型的销售单价为元，种飞机模型的销售单价为元，由题意可得： ， 解得， 答：种飞机模型的单价为120元，种飞机模型的单价为95元； 【小问2详解】 解：设购入个种飞机模型，则购入个种飞机模型， 由题意得：， 解得：， ∵是整数， ∴或或， ∴方案有三种： 方案1：购买种飞机模型8个，种飞机模型12个； 方案2：购买种飞机模型9个，种飞机模型11个； 方案3：购买种飞机模型10个，种飞机模型10个； 【小问3详解】 解：∵种飞机模型的单个利润为：（元）， 种飞机模型的单个利润为：（元）， ∴方案1的总利润为：（元）， 方案2的总利润为：（元）， 方案3的总利润为：（元）， ∵， ∴该玩具店利润最大的进货方案为购买种飞机模型10个，种飞机模型10个，最大利润为750元． 24. 【问题背景】综合与实践课上，某班数学老师提出了这样一个问题：如图，已知，，，之间存在怎样的数量关系？ 学生分小组讨论后，笃学小组提出可过点作直线的平行线，再利用平行线…… （1）请你根据笃学小组的思路解决老师的问题． （2）【迁移应用】求索小组把老师提出的问题进行了变式：如图2，已知，的平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请你说明理由；如果不变，请你求出的度数． （3）【拓展探究】老师表扬了求索小组，并在求索小组的问题的基础上提出：若，为射线上的一个动点，过点作交直线于点，连接．已知，请你直接写出的度数． 【答案】（1） （2）不发生变化， （3）或 【解析】 【分析】（1）利用两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，结合角度关系推导即可； （2）过点作，利用角平分线定义，结合（1）的结论进行角度换算，说明为定值； （3）在固定的前提下，结合（2）的结论，利用，分点的两种位置分类讨论求的度数． 【小问1详解】 解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，过点作， ∴， ，， ， 是的平分线，是的平分线， ，， 由（1）得， ， ； 【小问3详解】 解：如图， ，是的平分线， ， 由（2）得， 在中，， ， 在中，， ， 是的平分线， ，， 如图，当点在点的左边时， ， ， ， ， 在中，； 如图，当点在点的右边时， ， ， ， ， 在中，； 综上所述，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $