第十五章 轴对称（单元分层自测·培优卷）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 2026-2027学年八年级上册数学第十五章“轴对称·培优”单元自测卷，满分120分，涵盖选择、填空、解答题型，注重基础巩固与能力提升，适配轴对称单元复习，融合多地区期末及中考真题，凸显数学思维与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形识别、等腰三角形性质、对称性质|结合生活情境（如第3题检测横梁水平），选用四川成都、陕西咸阳等地期末真题| |填空题|6/18|坐标对称、垂直平分线、等腰三角形分类|设置网格找点（第6题）、动态等边三角形（第16题），培养空间观念| |解答题|9/72|等边三角形证明、截长补短法、动态几何|含中考真题（第17、22题）、实践探究（第20题小组活动）、动态面积与旋转问题（第24题），发展推理能力与创新意识|

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十五章 轴对称·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·四川成都·期末）下列图案中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数为（     ） A． B．或 C． D．或 3．（25-26七年级下·山西运城·期末）工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，和关于直线对称，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 7．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，中，为上一点，沿折叠，使点恰好落在边上的点处，，，则等于（     ） A． B． C． D． 8．（26-27八年级上·江苏南京·开学考试）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值是（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 9．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，在中，，点为的中点，过点作的垂线，交于点，连接，作的平分线，与的延长线交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）如图，和均是等边三角形，A，C，B三点共线，与相交于点P，与分别与，交于点M，N．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025·江苏扬州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点为___． 12．（2025·四川眉山·模拟预测）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长为______ ． 13．（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）如果一个等腰三角形中，有两条边的长度分别是，那么这个三角形的周长是___；如果一个等腰三角形中，有一个角是，那么这个三角形的顶角是_____°． 14．（26-27八年级上·广东·开学考试）如图，，，于点，于点．若，，则的长是________． 15．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，点是内一点，连接，，若，则的面积为______． 16．（25-26七年级下·上海·期末）如图，在等腰直角三角形中，，点为线段的中点，点是直线上的一个动点，连接，以为一边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，______． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）（2026·陕西·中考真题）如图，为等边三角形，点在的延长线上，，．求证：． 18．（6分）（24-25八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，中，，于D，平分，交于E，交于F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 19．（6分）（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，是等边三角形，是边上的点，且，． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 20．（6分）（25-26八年级上·山西阳泉·期末）在三角形边长关系的探究课上，老师给超越实践小组的成员每人分发了一根塑料管，塑料管的长度相同，通过裁剪拼接的方式制作三角形．该实践小组有两位成员制作的三角形三条边的数据（单位：）如下： 超越实践小组成员 第一条边 第二条边 第三条边 欣欣 4 4 4 轩轩 a ________ (1)欣欣制作的三角形每个内角的度数为________． (2)试判断轩轩制作的三角形中a的值能否为3，并说明理由． 21．（8分）（25-26八年级上·北京房山·期末）下面是证明在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半的两种添加辅助线的方法．选择其中一种，完成证明． 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在中，，．求证：． 方法一证明：如图，延长到点，使，连接． 方法二证明：如图，在上截取，连接． 22．（8分）（2026·浙江·中考真题）【问题背景】 锦凌和同学们想利用图1中圆心角为的扇形，尺规作图分别画出含有角和角的直角三角形，且两个直角三角形斜边上的高等于扇形的半径． 【尺规作图】 如图2是小锦利用尺规作斜边上的高等于扇形的半径且含角的直角三角形的作图痕迹，作图步骤如下： ①作的角平分线，交弧于点． ②过点作的垂线，分别交射线，于点，，连接． 则为直角三角形． (1)任务一：证明：． 【实践探究】受到小锦的启发，同学们继续探究扇形，用尺规作斜边上的高等于扇形的半径且含角的直角三角形，得出多种作图方法，如图3、图4是其中两种作图方法的部分作图痕迹和步骤． 作图方法1：   以点为圆心，长为半径画弧，交弧于点… 作图方法2：   作的垂直平分线，交弧于点… (2)任务二：请从上述两种作图方法中任选一种，利用尺规作图完成后续的作图步骤．（保留作图痕迹，不要求写出作图方法） 23．（8分）（25-26七年级下·江苏南京·期末）【阅读理解】 截长补短法是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题． (1)如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点使，连接，根据可证易证得，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系，根据上述解题思路，请直接写出、、之间的数量关系是_______________． (2)【理解应用】请运用上述材料中的方法解答下列问题． 如图2，在中，，，是内部一点，且，求证：． (3)【拓展提升】如图3，已知在中，，的平分线交于点．若，，则为_____________． 24．（12分）（2025·四川成都·模拟预测）已知：如图1，等边的边长为6，另一等腰与有公共边，且．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿向点O运动，点Q以每秒3个单位的速度沿向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．请回答下列问题： (1)在运动过程中，运动时间是t秒，的面积记为S，请用含有时间t的式子表示S．（不要求写t的取值范围） (2)在等边的边上是否存在点D（点A除外），使得为等腰三角形？如果存在，这样的点D共有 个． (3)如图2，现有，其两边分别与交于点M、N，连接．将绕着点C旋转，使得M、N始终在边和边上．试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 25．（12分）（25-26八年级下·江西萍乡·期末）根据题意解答下列问题： (1)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点在外，连接、、，且，过点作于点，请直接写出、、之间的数量关系． 小马同学的解题思路如下：如图，在上截取，连接，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为_______； (2)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； (3)【学以致用】如图，在中，，，点在边上，过点作交的延长线于点，延长至点，连接，使，连接交于点，若，，求的面积． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十五章 轴对称·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·四川成都·期末）下列图案中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】分外角为顶角的外角、底角的外角两种情况讨论，结合三角形内角和舍去不成立的情况，求解顶角度数． 【详解】解：若是等腰三角形顶角的外角，则顶角的度数为． 若是等腰三角形底角的外角，则底角的度数为，两底角和为，不符合三角形内角和，舍去． 综上，顶角的度数为． 3．（25-26七年级下·山西运城·期末）工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 【答案】D 【分析】根据等腰三角形的“三线合一”和重力方向是竖直向下的解答即可． 【详解】解：∵等腰三角形底边上的中线与高线重合，而铅垂线方向始终竖直向下，当铅垂线通过底边中点时，说明底边与铅垂线垂直，即底边水平，从而判断屋梁是不是水平， ∴这其中蕴含的数学道理是等腰三角形的“三线合一”． 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，和关于直线对称，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，，，故A，C正确； ∴，故B正确； 根据已知条件无法得到，故D不一定正确． 5．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用得到，然后结合得到，等量代换得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的定义结合网格的特点求解即可． 【详解】解：如图所示， 当点C在或或或的位置上时，， 当点C在或位置上时，， ∴满足条件的格点C的个数有6个． 7．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，中，为上一点，沿折叠，使点恰好落在边上的点处，，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由折叠的性质可知， ∵， ∴． 8．（26-27八年级上·江苏南京·开学考试）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值是（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】连接，，由题意得的周长为，其中为定值，要使的周长最小，则的值最小，的垂直平分线为，得到A，B关于对称，得到，当A，M，D三点共线时，最小，进行求解即可． 【详解】解：∵的周长为，且为定值， ∴当的值最小时，的周长最小， 如图，连接，， 由题意可得A，B关于对称， ∴， ∴当A，M，D三点共线时，， 在等腰中，点D为底边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 9．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，在中，，点为的中点，过点作的垂线，交于点，连接，作的平分线，与的延长线交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质、与角平分线有关的三角形的内角和问题．根据题意，易得垂直平分，进而推出，根据角平分线定义，得到，再由三角形的内角和定理得到，进而得到，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D为中点，过点D作的垂线，交于点E， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 10．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）如图，和均是等边三角形，A，C，B三点共线，与相交于点P，与分别与，交于点M，N．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】利用等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质逐项进行判断即可． 【详解】解：①∵和均是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴，故①正确，符合题意； ②∵和均是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③由①得， ∴， 由②得， 又， ∴， ∴，故③正确，符合题意； ④由③得， ∴，故④正确，符合题意； ⑤由③得，由②得， ∴为等边三角形， ∴，故⑤正确，符合题意； 故①②③④⑤五个结论全部正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025·江苏扬州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点为___． 【答案】 【分析】利用关于轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，计算即可得到结果． 【详解】解：∵关于轴对称的点的坐标特点为横坐标不变，纵坐标互为相反数，点的坐标为， ∴对称点的横坐标为，对称点的纵坐标为，即点关于轴的对称点坐标为． 12．（2025·四川眉山·模拟预测）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长为______ ． 【答案】 【分析】连接，在中，求出的度数，又由的垂直平分线交于点D，交于点E，可得，即可得，又由含角的直角三角形的性质，求得答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， ， ． 13．（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）如果一个等腰三角形中，有两条边的长度分别是，那么这个三角形的周长是___；如果一个等腰三角形中，有一个角是，那么这个三角形的顶角是_____°． 【答案】 19 20或80 【分析】先根据等腰三角形的定义以及三角形三边关系求出三边长，即可求解周长；然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解顶角即可． 【详解】解：∵等腰三角形中，有两条边的长度分别是， ∴这个等腰三角形的三边分别为：或， ∵ ∴这个等腰三角形的三边长只能为， ∴这个等腰三角形的周长为； ∵如果一个等腰三角形中，有一个角是， 当角为底角时，则顶角为； 当角为顶角时，则底角为 ∴这个三角形的顶角度数为或． 14．（26-27八年级上·广东·开学考试）如图，，，于点，于点．若，，则的长是________． 【答案】5 【分析】首先证明，得到，再利用，求解即可． 【详解】解：∵， ，， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，点是内一点，连接，，若，则的面积为______． 【答案】16 【分析】过点作于点，过点作，交延长线于点，先证出，则，再求出的长，利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，交延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴的面积为． 16．（25-26七年级下·上海·期末）如图，在等腰直角三角形中，，点为线段的中点，点是直线上的一个动点，连接，以为一边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，______． 【答案】或 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到，根据等边三角形的性质得到，，结合为直角三角形进行分类讨论，再进一步求解即可． 【详解】解：∵等腰直角三角形中，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵为直角三角形，且， ∴分下面两种情况讨论： ①如图，当时， ∴， ∴； ②如图，当时，过点分别作、的垂线，垂足为、， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， 设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）（2026·陕西·中考真题）如图，为等边三角形，点在的延长线上，，．求证：． 【答案】证明：∵为等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴．······························6分 【分析】根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得，，，再由，结合即可证明． 【详解】略 18．（6分）（24-25八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，中，，于D，平分，交于E，交于F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 【答案】(1) 证明：，， ， ∵， ， ， 又平分， ， ， ， ， 是等边三角形． (2) 证明：是等边三角形 ，， ， ， ∴． 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及三角形外角的性质． （1）在中，，，得，，又由平分，可得即可证得，继而证得：为等边三角形． （2）由是等边三角形可得，根据等角对等边可得，再等量代换即可得出结论． 【详解】（1）略·····························3分 （2）略·····························6分 19．（6分）（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，是等边三角形，是边上的点，且，． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中 ∴． (2) 解：是等边三角形，理由如下： 由（1）得， ∴，， ∴是等腰三角形，且， ∴是等边三角形． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据“”证明即可； （2）根据等边三角形的判定方法，证明是等边三角形即可． 【详解】（1）略·····························3分 （2）略·····························6分 20．（6分）（25-26八年级上·山西阳泉·期末）在三角形边长关系的探究课上，老师给超越实践小组的成员每人分发了一根塑料管，塑料管的长度相同，通过裁剪拼接的方式制作三角形．该实践小组有两位成员制作的三角形三条边的数据（单位：）如下： 超越实践小组成员 第一条边 第二条边 第三条边 欣欣 4 4 4 轩轩 a ________ (1)欣欣制作的三角形每个内角的度数为________． (2)试判断轩轩制作的三角形中a的值能否为3，并说明理由． 【答案】(1) (2) 不能为3； 理由：欣欣制作的三角形塑料管的长度为， 当a的值为3时，第一条边为3，第二条边为， 则第三条边为， ∵， ∴3，2，7不能构成三角形， ∴轩轩制作的三角形a的值不能为3． 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形三边关系，求不等式组的解集． （1）先判断欣欣制作的三角形是等边三角形，据此求解即可； （2）当a的值为3时，求得三边的长，利用三角形三边关系即可判断； 【详解】（1）解：由题意得三边长都是4， 欣欣制作的三角形是等边三角形， 则每个内角的度数为， 故答案为：；·····························2分 （2）略·····························6分 21．（8分）（25-26八年级上·北京房山·期末）下面是证明在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半的两种添加辅助线的方法．选择其中一种，完成证明． 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在中，，．求证：． 方法一证明：如图，延长到点，使，连接． 方法二证明：如图，在上截取，连接． 【答案】 方法一证明：如图，延长到点，使，连接，则， ∵， ∴， 在中， ， ∴，·····························3分 ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，·····························6分 ∴， ∴；·····························8分 方法二证明：如图，在上截取，连接， 在中，， ∴， ∵， ∴是等边三角形，·····························3分 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；·····························8分 综上所述，在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，等边对等角，掌握以上知识是关键． 方法一：证明是等边三角形，即可求解； 方法二：证明是等边三角形，，等量代换即可求解． 【详解】略 22．（8分）（2026·浙江·中考真题）【问题背景】 锦凌和同学们想利用图1中圆心角为的扇形，尺规作图分别画出含有角和角的直角三角形，且两个直角三角形斜边上的高等于扇形的半径． 【尺规作图】 如图2是小锦利用尺规作斜边上的高等于扇形的半径且含角的直角三角形的作图痕迹，作图步骤如下： ①作的角平分线，交弧于点． ②过点作的垂线，分别交射线，于点，，连接． 则为直角三角形． (1)任务一：证明：． 【实践探究】受到小锦的启发，同学们继续探究扇形，用尺规作斜边上的高等于扇形的半径且含角的直角三角形，得出多种作图方法，如图3、图4是其中两种作图方法的部分作图痕迹和步骤． 作图方法1：   以点为圆心，长为半径画弧，交弧于点… 作图方法2：   作的垂直平分线，交弧于点… (2)任务二：请从上述两种作图方法中任选一种，利用尺规作图完成后续的作图步骤．（保留作图痕迹，不要求写出作图方法） 【答案】(1)证明：∵，是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， 在中，根据三角形内角和为， ∴． (2)选作图方法1：（选作图方法2：） 【分析】（1）根据，是的角平分线，得出，结合，即， 在中，根据三角形内角和为， 即可解答． （2）根据方法1和方法2中的方法分别画图即可； 【详解】（1）略·····························3分 （2）解：选作图方法1： 连接，由作图可知， ∴是等边三角形， ∴， 过点作的垂线，分别交射线、射线于点、，连接， 则就是所求的含角的直角三角形：此时（扇形半径）是斜边上的高，且、，符合要求； 选作图方法2： 连接， 根据垂直平分线的性质可得， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 过点作的垂线，分别交射线、射线于点、，连接， 则就是所求的含角的直角三角形：此时扇形半径是斜边上的高，且、，符合要求．·····························8分 23．（8分）（25-26七年级下·江苏南京·期末）【阅读理解】 截长补短法是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题． (1)如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点使，连接，根据可证易证得，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系，根据上述解题思路，请直接写出、、之间的数量关系是_______________． (2)【理解应用】请运用上述材料中的方法解答下列问题． 如图2，在中，，，是内部一点，且，求证：． (3)【拓展提升】如图3，已知在中，，的平分线交于点．若，，则为_____________． 【答案】(1) (2)证明：如图，在线段上取点，使得，连接， ∵， ∴，，， ∵在中，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）延长到点使，连接，根据可证易证得，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系； （2）在线段上取点，使得，连接，证明，得出，，再证明是等腰直角三角形，得出，即可得证； （3）连接，在上取一点，使得，连接，由题意可得，，平分，证明，得出，，从而可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：延长到点使，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴；·····························2分 （2）略；·····························6分 （3）解：如图，连接，在上取一点，使得，连接， ∵，的平分线交于点． ∴，，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．·····························8分 24．（12分）（2025·四川成都·模拟预测）已知：如图1，等边的边长为6，另一等腰与有公共边，且．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿向点O运动，点Q以每秒3个单位的速度沿向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．请回答下列问题： (1)在运动过程中，运动时间是t秒，的面积记为S，请用含有时间t的式子表示S．（不要求写t的取值范围） (2)在等边的边上是否存在点D（点A除外），使得为等腰三角形？如果存在，这样的点D共有 个． (3)如图2，现有，其两边分别与交于点M、N，连接．将绕着点C旋转，使得M、N始终在边和边上．试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；4 (3)△BMN的周长不变，其周长为12 【分析】（1）易得，根据等边三角形的性质，等边对等角推出，根据三角形的面积公式，列出函数解析式即可； （2）分三种情况进行讨论求解即可； （3）延长至点F，使，连接，证明，得到．再证明，得到，推出的周长为定值即可. 【详解】（1）解：如图1，由题意，得， ∵， ∴， ∵等边的边长为6， ∴，， ∴， ∴， ∴；·····························3分 （2）解：如图2，（i）当D点在上， ①以D为顶点，， ②以O为顶点，， （ii）当D点在上， ∵，因此不存在以C或D为顶点的等腰三角形， 以O为顶点时，． （iii）当D点在上时， 此时的最短距离为时，此时，不存在以O为顶点的等腰三角形； 当以C为顶点时，D点和A点重合， 当以D为顶点时，， 综上所述，这样的点D共有4个；·····························7分 （3）解：的周长不发生变化．理由如下： 延长至点F，使，连接，如图3， ∵， ∴ 在和中， ∴， ∴． ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∴． ∴的周长不变，其周长为12．·····························12分 25．（12分）（25-26八年级下·江西萍乡·期末）根据题意解答下列问题： (1)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点在外，连接、、，且，过点作于点，请直接写出、、之间的数量关系． 小马同学的解题思路如下：如图，在上截取，连接，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为_______； (2)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； (3)【学以致用】如图，在中，，，点在边上，过点作交的延长线于点，延长至点，连接，使，连接交于点，若，，求的面积． 【答案】(1)； (2)解：，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等腰直角三角形， ∴平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）在上截取，连接，与交于点，然后证明，则有，再由等腰三角形的三线合一定理可得，从而有，即， （2）在上截取，连接，由等边三角形的性质可得，，，则有，再通过等边对等角可得，证明，所以，再证明为等边三角形，所以，则； （3）过作于点，证明，所以，，则有，然后证明，所以，最后通过即可求解． 【详解】（1）解：如图，在上截取，连接，与交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即；·····························3分 （2）略；·····························7分 （3）解：如图，过作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的面积为．·····························12分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十五章 轴对称·培优 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26七年级下·四川成都·期末）下列图案中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西咸阳·期末）等腰三角形的一个外角是，则它的顶角的度数为（     ） A． B．或 C． D．或 3．（25-26七年级下·山西运城·期末）工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示，在底边中点处做一个记号D，再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不是通过记号D，就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间，线段最短 C．等腰三角形的两个底角相等 D．等腰三角形的“三线合一” 4．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，和关于直线对称，下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，点在的延长线上，于点，交于点，若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26七年级下·上海浦东新·期末）如图，在由边长为1的小正方形组成的的网格中，点A、B都在格点上，现要在图中确定格点C，连接和，使得是等腰三角形．则满足条件的格点C的个数有（     ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 7．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，中，为上一点，沿折叠，使点恰好落在边上的点处，，，则等于（     ） A． B． C． D． 8．（26-27八年级上·江苏南京·开学考试）如图，等腰的底边长为6．面积是24，腰的垂直平分线分别交、于点E、F．若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的周长的最小值是（     ） A．11 B．12 C．13 D．14 9．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，在中，，点为的中点，过点作的垂线，交于点，连接，作的平分线，与的延长线交于点，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·辽宁丹东·期末）如图，和均是等边三角形，A，C，B三点共线，与相交于点P，与分别与，交于点M，N．有下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（2025·江苏扬州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点为___． 12．（2025·四川眉山·模拟预测）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点，，则的长为______ ． 13．（26-27七年级上·江苏南京·开学考试）如果一个等腰三角形中，有两条边的长度分别是，那么这个三角形的周长是___；如果一个等腰三角形中，有一个角是，那么这个三角形的顶角是_____°． 14．（26-27八年级上·广东·开学考试）如图，，，于点，于点．若，，则的长是________． 15．（25-26七年级下·山西运城·期末）如图，在中，，点是内一点，连接，，若，则的面积为______． 16．（25-26七年级下·上海·期末）如图，在等腰直角三角形中，，点为线段的中点，点是直线上的一个动点，连接，以为一边在的右侧作等边三角形，连接．当为直角三角形时，______． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分）（2026·陕西·中考真题）如图，为等边三角形，点在的延长线上，，．求证：． 18．（6分）（24-25八年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，中，，于D，平分，交于E，交于F． (1)求证：是等边三角形； (2)求证：． 19．（6分）（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，是等边三角形，是边上的点，且，． (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 20．（6分）（25-26八年级上·山西阳泉·期末）在三角形边长关系的探究课上，老师给超越实践小组的成员每人分发了一根塑料管，塑料管的长度相同，通过裁剪拼接的方式制作三角形．该实践小组有两位成员制作的三角形三条边的数据（单位：）如下： 超越实践小组成员 第一条边 第二条边 第三条边 欣欣 4 4 4 轩轩 a ________ (1)欣欣制作的三角形每个内角的度数为________． (2)试判断轩轩制作的三角形中a的值能否为3，并说明理由． 21．（8分）（25-26八年级上·北京房山·期末）下面是证明在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半的两种添加辅助线的方法．选择其中一种，完成证明． 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在中，，．求证：． 方法一证明：如图，延长到点，使，连接． 方法二证明：如图，在上截取，连接． 22．（8分）（2026·浙江·中考真题）【问题背景】 锦凌和同学们想利用图1中圆心角为的扇形，尺规作图分别画出含有角和角的直角三角形，且两个直角三角形斜边上的高等于扇形的半径． 【尺规作图】 如图2是小锦利用尺规作斜边上的高等于扇形的半径且含角的直角三角形的作图痕迹，作图步骤如下： ①作的角平分线，交弧于点． ②过点作的垂线，分别交射线，于点，，连接． 则为直角三角形． (1)任务一：证明：． 【实践探究】受到小锦的启发，同学们继续探究扇形，用尺规作斜边上的高等于扇形的半径且含角的直角三角形，得出多种作图方法，如图3、图4是其中两种作图方法的部分作图痕迹和步骤． 作图方法1：   以点为圆心，长为半径画弧，交弧于点… 作图方法2：   作的垂直平分线，交弧于点… (2)任务二：请从上述两种作图方法中任选一种，利用尺规作图完成后续的作图步骤．（保留作图痕迹，不要求写出作图方法） 23．（8分）（25-26七年级下·江苏南京·期末）【阅读理解】 截长补短法是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题． (1)如图1，是等边三角形，点是边下方一点，，探索线段、、之间的数量关系． 解题思路：延长到点使，连接，根据可证易证得，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系，根据上述解题思路，请直接写出、、之间的数量关系是_______________． (2)【理解应用】请运用上述材料中的方法解答下列问题． 如图2，在中，，，是内部一点，且，求证：． (3)【拓展提升】如图3，已知在中，，的平分线交于点．若，，则为_____________． 24．（12分）（2025·四川成都·模拟预测）已知：如图1，等边的边长为6，另一等腰与有公共边，且．现有两动点P、Q分别从B、O两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿向点O运动，点Q以每秒3个单位的速度沿向点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．请回答下列问题： (1)在运动过程中，运动时间是t秒，的面积记为S，请用含有时间t的式子表示S．（不要求写t的取值范围） (2)在等边的边上是否存在点D（点A除外），使得为等腰三角形？如果存在，这样的点D共有 个． (3)如图2，现有，其两边分别与交于点M、N，连接．将绕着点C旋转，使得M、N始终在边和边上．试判断在这一过程中，的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由． 25．（12分）（25-26八年级下·江西萍乡·期末）根据题意解答下列问题： (1)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在中，，点在外，连接、、，且，过点作于点，请直接写出、、之间的数量关系． 小马同学的解题思路如下：如图，在上截取，连接，通过证明，进而得到、、之间的数量关系为_______； (2)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答．如图，为等边三角形，是等腰直角三角形，其中，，是边上的中线，连接交于点，请探究、、之间的数量关系，并说明理由； (3)【学以致用】如图，在中，，，点在边上，过点作交的延长线于点，延长至点，连接，使，连接交于点，若，，求的面积． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第十五章 轴对称·培优（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C D B C C B A B D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12． 13．19 20或80 14．5 15．16 16．或 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（6分） 【答案】证明：∵为等边三角形， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴．······························6分 【分析】根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得，，，再由，结合即可证明． 【详解】略 18．（6分） 【答案】(1) 证明：，， ， ∵， ， ， 又平分， ， ， ， ， 是等边三角形． (2) 证明：是等边三角形 ，， ， ， ∴． 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质以及三角形外角的性质． （1）在中，，，得，，又由平分，可得即可证得，继而证得：为等边三角形． （2）由是等边三角形可得，根据等角对等边可得，再等量代换即可得出结论． 【详解】（1）略·····························3分 （2）略·····························6分 19．（6分） 【答案】(1) 证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中 ∴． (2) 解：是等边三角形，理由如下： 由（1）得， ∴，， ∴是等腰三角形，且， ∴是等边三角形． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，是解题的关键． （1）根据“”证明即可； （2）根据等边三角形的判定方法，证明是等边三角形即可． 【详解】（1）略·····························3分 （2）略·····························6分 20．（6分） 【答案】(1) (2) 不能为3； 理由：欣欣制作的三角形塑料管的长度为， 当a的值为3时，第一条边为3，第二条边为， 则第三条边为， ∵， ∴3，2，7不能构成三角形， ∴轩轩制作的三角形a的值不能为3． 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形三边关系，求不等式组的解集． （1）先判断欣欣制作的三角形是等边三角形，据此求解即可； （2）当a的值为3时，求得三边的长，利用三角形三边关系即可判断； 【详解】（1）解：由题意得三边长都是4， 欣欣制作的三角形是等边三角形， 则每个内角的度数为， 故答案为：；·····························2分 （2）略·····························6分 21．（8分） 【答案】 方法一证明：如图，延长到点，使，连接，则， ∵， ∴， 在中， ， ∴，·····························3分 ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴是等边三角形，·····························6分 ∴， ∴；·····························8分 方法二证明：如图，在上截取，连接， 在中，， ∴， ∵， ∴是等边三角形，·····························3分 ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；·····························8分 综上所述，在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，等边对等角，掌握以上知识是关键． 方法一：证明是等边三角形，即可求解； 方法二：证明是等边三角形，，等量代换即可求解． 【详解】略 22．（8分） 【答案】(1)证明：∵，是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， 在中，根据三角形内角和为， ∴． (2)选作图方法1：（选作图方法2：） 【分析】（1）根据，是的角平分线，得出，结合，即， 在中，根据三角形内角和为， 即可解答． （2）根据方法1和方法2中的方法分别画图即可； 【详解】（1）略·····························3分 （2）解：选作图方法1： 连接，由作图可知， ∴是等边三角形， ∴， 过点作的垂线，分别交射线、射线于点、，连接， 则就是所求的含角的直角三角形：此时（扇形半径）是斜边上的高，且、，符合要求； 选作图方法2： 连接， 根据垂直平分线的性质可得， 又， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 过点作的垂线，分别交射线、射线于点、，连接， 则就是所求的含角的直角三角形：此时扇形半径是斜边上的高，且、，符合要求．·····························8分 23．（8分） 【答案】(1) (2)证明：如图，在线段上取点，使得，连接， ∵， ∴，，， ∵在中，，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）延长到点使，连接，根据可证易证得，得出是等边三角形，所以，从而探寻线段、、之间的数量关系； （2）在线段上取点，使得，连接，证明，得出，，再证明是等腰直角三角形，得出，即可得证； （3）连接，在上取一点，使得，连接，由题意可得，，平分，证明，得出，，从而可得，求出，即可得出结果． 【详解】（1）解：延长到点使，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴；·····························2分 （2）略；·····························6分 （3）解：如图，连接，在上取一点，使得，连接， ∵，的平分线交于点． ∴，，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．·····························8分 24．（12分） 【答案】(1) (2)存在；4 (3)△BMN的周长不变，其周长为12 【分析】（1）易得，根据等边三角形的性质，等边对等角推出，根据三角形的面积公式，列出函数解析式即可； （2）分三种情况进行讨论求解即可； （3）延长至点F，使，连接，证明，得到．再证明，得到，推出的周长为定值即可. 【详解】（1）解：如图1，由题意，得， ∵， ∴， ∵等边的边长为6， ∴，， ∴， ∴， ∴；·····························3分 （2）解：如图2，（i）当D点在上， ①以D为顶点，， ②以O为顶点，， （ii）当D点在上， ∵，因此不存在以C或D为顶点的等腰三角形， 以O为顶点时，． （iii）当D点在上时， 此时的最短距离为时，此时，不存在以O为顶点的等腰三角形； 当以C为顶点时，D点和A点重合， 当以D为顶点时，， 综上所述，这样的点D共有4个；·····························7分 （3）解：的周长不发生变化．理由如下： 延长至点F，使，连接，如图3， ∵， ∴ 在和中， ∴， ∴． ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∴． ∴的周长不变，其周长为12．·····························12分 25．（12分） 【答案】(1)； (2)解：，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等腰直角三角形， ∴平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）在上截取，连接，与交于点，然后证明，则有，再由等腰三角形的三线合一定理可得，从而有，即， （2）在上截取，连接，由等边三角形的性质可得，，，则有，再通过等边对等角可得，证明，所以，再证明为等边三角形，所以，则； （3）过作于点，证明，所以，，则有，然后证明，所以，最后通过即可求解． 【详解】（1）解：如图，在上截取，连接，与交于点， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即；·····························3分 （2）略；·····························7分 （3）解：如图，过作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的面积为．·····························12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $