第22章 图形的相似（高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

该初中数学《图形的相似》单元复习讲义通过表格梳理教学目标与重难点，以8个知识点为脉络构建知识体系，涵盖比例线段、相似三角形判定与性质、位似图形等核心内容，用对比呈现相似与位似的区别，清晰展现知识内在联系。 讲义亮点在于“知识点+题型”双轨设计，每个知识点配“即学即练”，10类题型覆盖比例计算、相似判定、实际应用等，如利用镜面反射测旗杆高度培养数学眼光与模型意识。提供易错点提醒与解题技巧，基础学生可掌握方法，优秀学生能深化思维，助力教师实施分层教学与精准复习。

第22章 图形的相似 教学目标 1. 掌握比例线段的概念与性质，能熟练进行比例计算、化简与求值。 2. 理解平行线分线段成比例基本事实，会用推论解决三角形线段比例问题。 3. 熟练掌握相似三角形的判定定理和性质，能完成证明与边长、周长、面积计算。 4. 掌握位似图形的性质、作图方法及坐标变换规律，能区分相似与位似。 5. 能识别常见相似几何模型，解决基础实际应用问题，培养数形结合思维。 教学重难点 1. 重点 （1）比例线段的性质应用及平行线分线段成比例的计算 （2）相似三角形的三大判定定理的理解与灵活运用 （3）相似三角形线段、周长、面积的比例计算 （4）原点位似的坐标变换规律与位似图形作图 2. 难点 （1）复杂图形中识别、构造相似三角形模型 （2）区分相似比与面积比，规避比例平方易错点 （3）位似变换的分类讨论（同侧、异侧双解） （4）相似三角形与几何图形、动点、实际问题的综合应用 知识点01：比例线段及比例性质 1. 线段的比：同一单位长度下，两条线段长度的比值，无单位、为正数。 2. 成比例线段：四条线段，若，则称四条线段成比例，其中为比例外项，为比例内项。 3. 比例基本性质：（交叉相乘相等）。 4. 合比性质：。 5. 等比性质：若，则。 6. 比例中项：若，则，为的比例中项。 【即学即练】 1．已知，那么的值为（    ）． A．5 B． C． D． 知识点02：平行线分线段成比例 1. 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2. 三角形推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线），所得对应线段成比例。 3. 拓展结论：平行于三角形一边的直线截三角形，所得三角形与原三角形对应边成比例。 【即学即练】 1．如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 知识点03：相似多边形 1. 定义：边数相同、对应角相等、对应边成比例的多边形互为相似多边形。 2. 相似比：相似多边形对应边的比值，相似比为1时，两个多边形全等。 3. 性质：对应角相等，对应边成比例；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 【即学即练】 1．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 丙：将邻边边长为5的正方形按图③的方式向外扩张，得到新的正方形，它们的对应边间距均为1，则新正方形与原正方形相似． 上述三人的说法正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 根据题意得，，， 则，， ∴，， 根据题意得，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴乙说法正确； 知识点04：相似三角形的定义与判定 1. 定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形相似。 2. 预备定理：平行于三角形一边的直线截三角形，所得小三角形与原三角形相似。 3. 判定定理1（AA）：两角分别对应相等的两个三角形相似（最常用）。 4. 判定定理2（SAS）：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 5. 判定定理3（SSS）：三边对应成比例的两个三角形相似。 6. 直角三角形特殊判定：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 【即学即练】 1．如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 知识点05：相似三角形的性质 1. 对应关系：对应角相等，对应边成比例。 2. 线段比：对应高、对应中线、对应角平分线的比均等于相似比。 3. 周长与面积：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 4. 拓展：相似三角形对应线段（所有对应线性量）比等于相似比，对应面积类量比等于相似比平方。 【即学即练】 1．如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____． 知识点06：位似图形 1. 定义：两个相似图形，对应顶点连线交于同一点（位似中心），对应边平行（或共线），即为位似图形。 2. 核心性质：位似图形一定相似，相似图形不一定位似；对应点到位似中心的距离比等于相似比。 3. 分类：分为位似中心同侧、异侧两种情况，解题需分类讨论。 4. 作图步骤：确定位似中心→连接关键点与中心→按比例取对应点→顺次连线。 【即学即练】 1．如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 知识点07：图形变换与坐标（本章专属） 1. 位似坐标规律：以原点为位似中心，相似比为，点对应点为（同侧）或（异侧）。 2. 变换区分：平移、轴对称、旋转为全等变换；位似为相似缩放变换，仅改变大小不改变形状。 【即学即练】 1．在直角坐标系中，点关于x轴的对称点为，将点向左平移4个单位得到点，则的坐标为______． 知识点08：三角形中位线与重心（拓展考点） 1. 中位线定理：三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 2. 三角形重心：三条中线交点，重心到顶点距离是到对边中点距离的2倍。 【即学即练】 1．如图，点是的重心，且，已知，则的长为______． 题型01 比例线段的求值与化简 灵活运用比例基本性质、合比、等比性质，遇连比可设法统一求解，注意分母不为0。 【典例1】. （25-26九年级下·山东烟台·期末）已知，则的值是____________． 【变式1】. （25-26八年级下·山东淄博·期末）已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （25-26八年级下·山东烟台·期中）若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】. （25-26六年级下·上海·期中）已知，求的值，且． 题型02 比例中项与黄金分割计算 牢记比例中项公式；黄金分割比值为，直接代入计算即可。 【典例2】. （25-26九年级上·安徽六安·期末）如果线段，，那么和的比例中项是（   ） A． B． C． D． 【变式1】. （2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 【变式2】. （25-26八年级下·广东深圳·期末）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C． D． 【变式3】. （2026·宁夏银川·三模）我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（     ）                                          A． B． C． D． 题型03 平行线分线段成比例基础计算 找准平行线对应的对应线段，严格按照“对应成比例”列式，避免线段对应错位。 【典例3】. （26-27九年级上·四川成都·开学考试）如图，直线，直线和被直线，，所截，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （2026·吉林·中考真题）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【变式2】. （26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在平行四边形中，点E，F分别为，的中点，连接，分别交于点G，H．求证：． 【变式3】. （25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，直线，直线分别交、、于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 题型04 相似多边形性质应用 利用对应角相等、对应边成比例解题，周长比=相似比，面积比=相似比平方。 【典例4】. （25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，小军利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的宽为，则放大后的矩形的面积为_____． 【变式1】. （25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 【变式2】. （2026·甘肃白银·一模）为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【变式3】. （25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，已知，点在边的延长线上，点在边的延长线上，，，且． (1)的度数为______； (2)若，求的长． 题型05 相似三角形的判定 优先找两组等角（AA），无等角则证两边成比例且夹角相等，直角三角形可优先用斜边直角边判定。 【典例5】. （26-27九年级上·四川·开学考试）如图，在中，点、分别在边、上，下列所述四个条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是上一点，已知，，．求证：． 【变式2】. （2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】. （26-27九年级上·山东聊城·开学考试）如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型06 相似三角形对应线段计算 对应高、中线、角平分线的比值均等于相似比，直接代入比例式求解。 【典例6】. （2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知，．若的长度为4，则的长度为（    ） A．4 B．6 C．12 D．13.5 【变式1】. （26-27九年级上·全国·课后作业）若，，则对应边上的中线之比是（     ） A． B． C． D． 【变式2】. （26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连结、，它们相交于点，且． (1)求证：； (2)若，，则的长为____________． 【变式3】. （25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． (1)求证：； (2)若，，求与的相似比． 题型07 相似三角形周长与面积计算 牢记核心规律，周长比=相似比，面积比=相似比的平方，避免遗漏平方运算。 【典例7】. （26-27九年级上·全国·课后作业）若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （26-27九年级上·全国·课后作业）已知，的周长为的周长为________． 【变式2】. （25-26八年级下·山东威海·期末）如图，，，，则_______． 【变式3】. （25-26九年级上·广西贺州·期末）如图，已知，且是的中点，，． (1)求的长； (2)已知的面积是，求四边形的面积． 题型08 位似图形的作图与性质计算 按位似作图四步骤操作，利用对应点连线过位似中心、对应边成比例的性质解题。 【典例8】. （2026·浙江·模拟预测）如图，与是位似图形，点O为位似中心．若，的面积为20，则的面积为______． 【变式1】. （25-26七年级下·江西新余·期末）已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (3)在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 【变式2】. （2026·安徽芜湖·二模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在轴上找一点，使得的长度最小； (2)以原点为位似中心在第三象限画出，使它与的相似比为2． 【变式3】. （25-26九年级上·安徽淮南·期末）在边长为的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大倍得到；（的对应点是，的对应点是） (2)将绕点顺时针旋转得到，画出． 题型09 三角形中位线与重心综合应用 活用中位线平行且减半性质、重心2:1线段比例关系，结合相似快速解题。 【典例9】. （25-26八年级下·上海静安·期末）如图，点在内部，且、、的面积分别为、、．如果为的重心，连接、、，那么下列有关三角形面积大小的说法中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】. （25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在正方形中，，点M在边上，且，连接，点E是的中点，过点E作的平行线，交于点F，则的长为（     ） A． B．2 C． D．5 【变式2】. （25-26七年级下·四川成都·期末）如图，中，，点O是的重心，过点C作交射线于点E，连接，若的面积是6，则四边形的面积为________． 【变式3】. （25-26八年级下·上海·期中）在中，，，G是的重心． (1)求的长； (2)过点G作，分别交、于点D、E，猜想与的比值，并证明． 题型10 相似三角形实际应用 将实际场景转化为相似三角形模型，利用对应边成比例列方程求解高度、距离。 【典例10】. （25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【变式1】. （25-26八年级下·山东烟台·期末）某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 【变式2】. （25-26八年级下·山东泰安·期末）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【变式3】. （25-26八年级下·山东泰安·期末）为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 1．已知p是m，n的比例中项，那么下列等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，正方形中，点E是对角线上的一点，，过点E作，，垂足分别为点F，G，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 4．2026年国际数学日的主题为“数学与希望”．某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比）海报．若该海报的长为，则它的宽为___________． 5．已知则代数式的值为________． 6．如图，在中，是边上的高，点是上一点，且，连接并延长交于点，已知，，则__________． 7．已知，如图，四边形中，，，．求证：． 8．结合图形，解答下列各题： (1)已知：在中，对角线的垂直平分线分别与边和对角线相交于点E，F，O．求证：四边形是菱形．（自己画图并完成证明） (2)如图，在中，D，E，F分别是上的点，且，，求的长． 9．如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． (1)如图1，若四边形是正方形，求的长； (2)如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 1．如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，平行四边形中，点E是的中点，连结并延长交的延长线于点F，点G是线段上一点，满足，交于点H，若，，则的长为（     ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 3．如图，D、E分别是的边上的点，，若，则________． 4．如图，在中，，，，为线段上一动点，过向、分别作垂线，垂足分别为、，连结，已知． (1)由题易证四边形的形状是______（无需证明），请写出四边形对角线的性质______． (2)请用圆规和无刻度的直尺在图2中，画出当线段的长度最短时，点的位置（铅笔作图后请用中性笔描出作图痕迹） (3)将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． ①当点落在线段上时，求的值； ②当与重叠部分的面积，恰好是面积的时，直接写出的值． 5．根据以下探究完成相关题目： (1)探究一：如图①，在中，，，．在该三角形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与平行），最多能排列多少个小正方形？我们不妨这样思考： 如图②，排列第一层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第一层最多排列个； 如图③，排列第二层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第二层最多排列个；按上述思路，可求得在内部能排列的小正方形个数最多为________个； (2)探究二：如图④，在梯形中，，，，，．在该梯形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与平行）．在梯形内部能排列的小正方形个数最多为________个； (3)探究三：如图⑤，在五边形中，，，，，，，，在该五边形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在五边形内部，互不重叠，且一边与平行）．在五边形内部能排列的小正方形个数最多为________个． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22章 图形的相似 教学目标 1. 掌握比例线段的概念与性质，能熟练进行比例计算、化简与求值。 2. 理解平行线分线段成比例基本事实，会用推论解决三角形线段比例问题。 3. 熟练掌握相似三角形的判定定理和性质，能完成证明与边长、周长、面积计算。 4. 掌握位似图形的性质、作图方法及坐标变换规律，能区分相似与位似。 5. 能识别常见相似几何模型，解决基础实际应用问题，培养数形结合思维。 教学重难点 1. 重点 （1）比例线段的性质应用及平行线分线段成比例的计算 （2）相似三角形的三大判定定理的理解与灵活运用 （3）相似三角形线段、周长、面积的比例计算 （4）原点位似的坐标变换规律与位似图形作图 2. 难点 （1）复杂图形中识别、构造相似三角形模型 （2）区分相似比与面积比，规避比例平方易错点 （3）位似变换的分类讨论（同侧、异侧双解） （4）相似三角形与几何图形、动点、实际问题的综合应用 知识点01：比例线段及比例性质 1. 线段的比：同一单位长度下，两条线段长度的比值，无单位、为正数。 2. 成比例线段：四条线段，若，则称四条线段成比例，其中为比例外项，为比例内项。 3. 比例基本性质：（交叉相乘相等）。 4. 合比性质：。 5. 等比性质：若，则。 6. 比例中项：若，则，为的比例中项。 【即学即练】 1．已知，那么的值为（    ）． A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，代入所求代数式并化简即可． 【详解】解：设，则， ∴． 知识点02：平行线分线段成比例 1. 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2. 三角形推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线），所得对应线段成比例。 3. 拓展结论：平行于三角形一边的直线截三角形，所得三角形与原三角形对应边成比例。 【即学即练】 1．如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 解得：． 知识点03：相似多边形 1. 定义：边数相同、对应角相等、对应边成比例的多边形互为相似多边形。 2. 相似比：相似多边形对应边的比值，相似比为1时，两个多边形全等。 3. 性质：对应角相等，对应边成比例；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 【即学即练】 1．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似． 丙：将邻边边长为5的正方形按图③的方式向外扩张，得到新的正方形，它们的对应边间距均为1，则新正方形与原正方形相似． 上述三人的说法正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定、相似多边形的判定，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的判定是解题的关键．根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：甲：如图， 根据题意得，，， 则，， ∴，， ∵， ∴， ∴新矩形与原矩形不相似， ∴甲说法不正确； 乙：如图， 根据题意得，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴乙说法正确； 丙： ∵新正方形与原正方形的四个角都为，且新正方形的边长都是，原正方形的边长都是， ∴新正方形与原正方形对应角相等，对应边的比值都是， ∴新正方形与原正方形相似； 故上述三人的说法正确的个数是2个． 故选：C． 知识点04：相似三角形的定义与判定 1. 定义：三角分别相等、三边成比例的两个三角形相似。 2. 预备定理：平行于三角形一边的直线截三角形，所得小三角形与原三角形相似。 3. 判定定理1（AA）：两角分别对应相等的两个三角形相似（最常用）。 4. 判定定理2（SAS）：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。 5. 判定定理3（SSS）：三边对应成比例的两个三角形相似。 6. 直角三角形特殊判定：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 【即学即练】 1．如图，在中，为边上一点，下列给出的条件不能判定的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ∵，， ∴， ∵， ， 故选项不符合题意； ，， ， 故选项不符合题意； 添加条件，没有夹角的条件，无法证明， 故选项符合题意． 知识点05：相似三角形的性质 1. 对应关系：对应角相等，对应边成比例。 2. 线段比：对应高、对应中线、对应角平分线的比均等于相似比。 3. 周长与面积：周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 4. 拓展：相似三角形对应线段（所有对应线性量）比等于相似比，对应面积类量比等于相似比平方。 【即学即练】 1．如图，在中，分别是边和上的点，且，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据可得，再由相似三角形的性质得到即可求解的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 知识点06：位似图形 1. 定义：两个相似图形，对应顶点连线交于同一点（位似中心），对应边平行（或共线），即为位似图形。 2. 核心性质：位似图形一定相似，相似图形不一定位似；对应点到位似中心的距离比等于相似比。 3. 分类：分为位似中心同侧、异侧两种情况，解题需分类讨论。 4. 作图步骤：确定位似中心→连接关键点与中心→按比例取对应点→顺次连线。 【即学即练】 1．如图所示的是位似图形的4种画法，其中正确的个数是 ． 【答案】 【分析】根据位似变换的定义对各选项进行判断． 【详解】解：第一个图形中的位似中心为A点，第二个图形中的位似中心为AD与BC的交点，第三个图形中的位似中心为O点，第四个图形中的位似中心为O点． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了作图——位似变换：先确定位似中心，再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点，然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 知识点07：图形变换与坐标（本章专属） 1. 位似坐标规律：以原点为位似中心，相似比为，点对应点为（同侧）或（异侧）。 2. 变换区分：平移、轴对称、旋转为全等变换；位似为相似缩放变换，仅改变大小不改变形状。 【即学即练】 1．在直角坐标系中，点关于x轴的对称点为，将点向左平移4个单位得到点，则的坐标为______． 【答案】 【分析】先根据关于x轴的对称点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到的坐标，然后根据坐标平移规则：横坐标右移加，左移减；即可解答． 【详解】解：∵点关于x轴的对称点为， ∴， 又∵将点向左平移4个单位得到点， ∴，即． 知识点08：三角形中位线与重心（拓展考点） 1. 中位线定理：三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。 2. 三角形重心：三条中线交点，重心到顶点距离是到对边中点距离的2倍。 【即学即练】 1．如图，点是的重心，且，已知，则的长为______． 【答案】 【分析】延长交于点，根据三角形重心的性质可得为的中线且，从而求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 点是的重心， 是的中线，，为的中点， ， ， ，为的中点， 是斜边上的中线， ． 题型01 比例线段的求值与化简 灵活运用比例基本性质、合比、等比性质，遇连比可设法统一求解，注意分母不为0。 【典例1】. （25-26九年级下·山东烟台·期末）已知，则的值是____________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴． 【变式1】. （25-26八年级下·山东淄博·期末）已知、、、为成比例线段，其中，，，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四条线段成比例的顺序列出比例式，代入已知线段长度计算即可得到结果． 【详解】解：∵、、、为成比例线段，根据定义可得， ∴将，，代入得， 解得． 【变式2】. （25-26八年级下·山东烟台·期中）若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴设，， A．，故A正确； B．若，则无意义，故B错误； C．，，，故C错误； D．，故D错误． 【变式3】. （25-26六年级下·上海·期中）已知，求的值，且． 【答案】3 【分析】本题考查了分式求值．通过转化思想，将转化为含有相同比值的量是解题的关键．设公共比例系数为k，将转化成用k表示的量，再代入所求分式，化简计算，即可得到结果. 【详解】解：设，则， ， ， 原式． 题型02 比例中项与黄金分割计算 牢记比例中项公式；黄金分割比值为，直接代入计算即可。 【典例2】. （25-26九年级上·安徽六安·期末）如果线段，，那么和的比例中项是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例线段的相关知识，根据比例中项的定义，比例中项的平方等于两条线段的乘积，且线段长度为正数，据此计算求解即可． 【详解】解：设和的比例中项是， 由题意得，， ∵，， ∴， ∴， 又∵线段长度为正数， ∴， 故选：D． 【变式1】. （2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知线段、、满足，且 (1)求、、的值； (2)若线段是线段、的比例中项，求线段的长； (3)若四条线段、、、为成比例线段，求线段的长． 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】本题主要考查知识点比例的性质、比例中项的定义、成比例线段的性质等相关知识点．解题关键在于利用设法将等比形式转化为用表示、、，再结合已知条件求出的值，进而得到、、的值；根据比例中项和成比例线段的性质列出方程求解． （1）设，用分别表示出、、，代入，求出的值，从而得到、、的值． （2）根据比例中项的定义得到，将（1）中求得的、的值代入，求出的值，注意线段长度不能为负． （3）根据成比例线段的性质得到，将、、的值代入，求出的值． 【详解】（1）解：设，则，，． ∵， ∴， 解得， ∴，，； （2）解：∵线段是线段、的比例中项， ∴， 把，代入可得： ， ∵线段长度不能为负， ∴； （3）解：∵四条线段、、、为成比例线段， ∴， 把，，代入可得： ， 解得． 【变式2】. （25-26八年级下·广东深圳·期末）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字清远的“远”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割的定义，矩形的性质．首先根据矩形的性质得到，根据黄金分割的定义得到的长度，继而得到的长度． 【详解】解：四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ， “远”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点处，且， ， ． 【变式3】. （2026·宁夏银川·三模）我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值为．如图，在中，，，平分交于点，若，则的长为（     ）                                          A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出和的度数，结合角平分线定义求出的度数，进而证得是顶角为的等腰三角形，利用题目给出的“黄金三角形”底与腰的比值关系即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ， 是顶角为的等腰三角形，即“黄金三角形”， ， ， ． 题型03 平行线分线段成比例基础计算 找准平行线对应的对应线段，严格按照“对应成比例”列式，避免线段对应错位。 【典例3】. （26-27九年级上·四川成都·开学考试）如图，直线，直线和被直线，，所截，若，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理可得：，把，，代入即可求出的长． 【详解】解：直线， ， ，，， ， . 【变式1】. （2026·吉林·中考真题）如图，在中，，点为边上一点，，．以点为圆心，长为半径画弧，交于点，连接．若，则__________． 【答案】 【分析】由作法可知，，再利用平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：由作法可知，， ， ， ， ． 【变式2】. （26-27九年级上·全国·单元复习）如图，在平行四边形中，点E，F分别为，的中点，连接，分别交于点G，H．求证：． 【答案】证明：、F是对边、的中点， 且， ∴四边形是平行四边形， ． 在中，， ． 又是的中点， ， ． 同理，在中，， ． 【分析】先证明四边形是平行四边形，再利用平行线分线段成比例和，即可得到结论成立． 【详解】略 【变式3】. （25-26九年级下·山东烟台·期末）如图，直线，直线分别交、、于点，，，过点的直线分别交，于点，．若，，，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据平行线分线段成比例定理得出，解分式方程求出的值即可得出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵，，， ∴，即， 解得：， 经检验：是分式方程的解， ∴线段的长为． 题型04 相似多边形性质应用 利用对应角相等、对应边成比例解题，周长比=相似比，面积比=相似比平方。 【典例4】. （25-26九年级上·山东临沂·期末）如图，小军利用复印机将一张长为，宽为的矩形图片放大，其中放大后的宽为，则放大后的矩形的面积为_____． 【答案】60 【分析】由相似多边形的对应边成比例，即可求解. 【详解】解：设放大后的长为， ∵放大前后的两个矩形相似， ∴， 解得， ∴放大后的长为， 放大后的矩形的面积． 【变式1】. （25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的性质，先根据位似图形的性质求得相似比，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，， ∴，， ∵四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，是相似图形，相似比为， ∴四边形，的面积比为， ∵四边形的面积为8， ∴四边形的面积为， 故选：B． 【变式2】. （2026·甘肃白银·一模）为调查某住宅区的实际占地情况，技术人员使用无人机进行航拍测绘（如图1）．其基本原理是：无人机从空中拍摄地面物体，所生成的数字模型（如图2）与地面实际物体（如图3）构成相似图形．在本次测绘中，设定数字模型上的代表实际距离．技术人员在数字模型上测得住宅区边界构成的四边形各边长度分别为 ，，， ，则该住宅区实际边界四边形的周长是_______． 【答案】 【分析】根据相似图形的性质，相似多边形的周长比等于相似比，先计算数字模型中四边形的周长，再结合比例尺代表进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，数字模型上的四边形与实际边界四边形相似， 数字模型上四边形的周长， 因为数字模型上的代表实际距离，所以实际边界四边形的周长为：． 【变式3】. （25-26九年级上·湖北襄阳·阶段检测）如图，已知，点在边的延长线上，点在边的延长线上，，，且． (1)的度数为______； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似四边形的性质，正确理解相似多边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形、相似多边形的性质回答即可； （2）根据平行四边形、相似多角形的性质回答即可． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：四边形是平行四边形， ， ，，， ， ， ． 题型05 相似三角形的判定 优先找两组等角（AA），无等角则证两边成比例且夹角相等，直角三角形可优先用斜边直角边判定。 【典例5】. （26-27九年级上·四川·开学考试）如图，在中，点、分别在边、上，下列所述四个条件中不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理，结合公共角对各选项进行逐一判断． 【详解】解：因为，若，则，故选项不符合题意； 若，则，故选项不符合题意； 若，且，则，故选项不符合题意； 若，无法判定，故选项符合题意． 【变式1】. （26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，是上一点，已知，，．求证：． 【答案】证明：∵，，， ∴， 在和中， ，， ， 【分析】先由勾股定理求出，再证明，最后由斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似证得． 【详解】略 【变式2】. （2026·贵州铜仁·模拟预测）如图，点P是的边上的一点，，，当的值是多少时，（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ， ， ． 【变式3】. （26-27九年级上·山东聊城·开学考试）如图，是直角三角形，于是上的点，的延长线与的延长线交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：，， ， ， ， ， ， ， ． 又， ， ， ． (2) 【分析】（1）要证明乘积式，可以将其转化为比例式，通过证明完成推导； （2）将已知线段长度直接代入（1）中等积式即可求出线段的长度． 【详解】（1）略． （2）解：， ． 由（1）可知， ， ． 题型06 相似三角形对应线段计算 对应高、中线、角平分线的比值均等于相似比，直接代入比例式求解。 【典例6】. （2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知，．若的长度为4，则的长度为（    ） A．4 B．6 C．12 D．13.5 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键； 根据相似三角形的性质即可求出． 【详解】解： 故选：B． 【变式1】. （26-27九年级上·全国·课后作业）若，，则对应边上的中线之比是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴对应边上的中线之比为． 【变式2】. （26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连结、，它们相交于点，且． (1)求证：； (2)若，，则的长为____________． 【答案】(1)证明：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ． (2)3 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到，进而可证，再根据即可得证； （2）设，则，根据相似三角形的性质可得，据此列方程即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：设，则， ， ， ， ， ． 【变式3】. （25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，将等边三角形折叠，使点落在边上的点处，（不与、重合）折痕为． (1)求证：； (2)若，，求与的相似比． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴， 由折叠得， ∴， ， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）因为是等边三角形，所以三个内角均为；又因为折叠前后对应角相等，所以，利用平角定义和三角形内角和定理，推导，结合，用两角分别相等的两个三角形相似的判定定理证明相似． （2）首先由和的长度计算出的长度，即等边三角形的边长；根据折叠的性质得到，由，，得，得的周长为16，的周长11．进而得出相似比． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∴，， ∴， ， ∴的周长为16，的周长为11． ∵， ∴． 题型07 相似三角形周长与面积计算 牢记核心规律，周长比=相似比，面积比=相似比的平方，避免遗漏平方运算。 【典例7】. （26-27九年级上·全国·课后作业）若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应中线的比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵，对应中线比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 【变式1】. （26-27九年级上·全国·课后作业）已知，的周长为的周长为________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，先求出相似比，再计算的周长． 【详解】解：∵，， ∴两个三角形的相似比为， ∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴， ∵， ∴． 【变式2】. （25-26八年级下·山东威海·期末）如图，，，，则_______． 【答案】 【分析】由得到，再由证明，得到，所以，即可求出的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，且四边形的面积为， ∴， ∴． 【变式3】. （25-26九年级上·广西贺州·期末）如图，已知，且是的中点，，． (1)求的长； (2)已知的面积是，求四边形的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质（对应边成比例、面积比等于相似比的平方），熟练掌握相似三角形的性质并结合方程思想求解是解题的关键． （1）先利用相似三角形的对应边成比例，得到；再根据是的中点，设，则；代入已知边长建立方程，求解得出的长度． （2）先根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的面积；再用的面积减去的面积，即可得到四边形的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是的中点， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得（舍去负值）即； （2）解：∵，，， ∴相似比为， ∴， ∵， ∴， ， ∴． 题型08 位似图形的作图与性质计算 按位似作图四步骤操作，利用对应点连线过位似中心、对应边成比例的性质解题。 【典例8】. （2026·浙江·模拟预测）如图，与是位似图形，点O为位似中心．若，的面积为20，则的面积为______． 【答案】5 【分析】先说明可得，即相似比为，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴， ∴， ∴， ∴，相似比为， ∴，即，解得：． ∴的面积为5． 【变式1】. （25-26七年级下·江西新余·期末）已知：在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中画出向下平移个单位，再向左平移个单位得到的； (2)在图中作出绕点顺时针方向旋转后得到的； (3)在图中作出以点为位似中心，把各边放大倍后得到的． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）略； （2）略； （3）略． 【变式2】. （2026·安徽芜湖·二模）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)在轴上找一点，使得的长度最小； (2)以原点为位似中心在第三象限画出，使它与的相似比为2． 【答案】(1)见详解 (2)见解析 【分析】（1）利用轴对称性质，作点A关于x轴的对称点，连接对称点与C，与x轴交点即为所求P点． （2）位似变换中，位似中心为原点，相似比为2，则各顶点坐标乘以（第三象限为负）． 【详解】（1）解：作点A关于x轴的对称点A′(0,-3)，连接A′C，与x轴交于点P，则点P即为所求． （2）解：∵ 位似中心为原点O，相似比为2，且在第三象限， ，即， ，即， ，即， 在网格中描出三点，顺次连接即可得． 【变式3】. （25-26九年级上·安徽淮南·期末）在边长为的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)以点为位似中心，在网格区域内将放大倍得到；（的对应点是，的对应点是） (2)将绕点顺时针旋转得到，画出． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 解：如图所示，即为所求． 【分析】本题考查了位似变换、旋转变换的作图方法，熟练运用相关性质和步骤是解答本题的关键． （1）利用位似变换的性质，结合位似中心和放大比例确定、的位置； （2）将的各顶点绕点顺时针旋转，结合旋转方向和角度确定、、的位置，进而画出． 【详解】（1）略 （2）略 题型09 三角形中位线与重心综合应用 活用中位线平行且减半性质、重心2:1线段比例关系，结合相似快速解题。 【典例9】. （25-26八年级下·上海静安·期末）如图，点在内部，且、、的面积分别为、、．如果为的重心，连接、、，那么下列有关三角形面积大小的说法中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的总面积，再利用三角形重心的性质求出和 的值，最后与已知面积进行比较即可得出结论． 【详解】解：∵、、的面积分别为、、， ∴， ∵为的重心， ∴， ∵， ∴． 【变式1】. （25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在正方形中，，点M在边上，且，连接，点E是的中点，过点E作的平行线，交于点F，则的长为（     ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】延长交于点G，首先求出，然后证明出，得到，求出，证明出四边形是矩形，得到，进而求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 【变式2】. （25-26七年级下·四川成都·期末）如图，中，，点O是的重心，过点C作交射线于点E，连接，若的面积是6，则四边形的面积为________． 【答案】 8 【分析】连接并延长交于点D，过点E作于点F，根据等腰三角形三线合一性质及重心定义可得且，结合证得四边形为矩形，利用角角边证明与全等，得到点O为的中点，再计算直角梯形的面积，最后求和即可． 【详解】解：连接并延长交于点D，过点E作于点F，如图， ，点是的重心， ，，， ，， ， 四边形为矩形， ， ， ，， 在与中， ， ， ， 点O为的中点， 点D为的中点， 为的中位线， ， ，即， ， ， ． 【变式3】. （25-26八年级下·上海·期中）在中，，，G是的重心． (1)求的长； (2)过点G作，分别交、于点D、E，猜想与的比值，并证明． 【答案】(1)8 (2) 解：比值为，证明如下： 如图，连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴与的比值为． 【分析】（1）延长交于点，根据三角形的重心可得，，再由等腰三角形的性质以及勾股定理求解即可； （2）连接，根据共高三角形面积比等于底之比进行转化求解即可． 【详解】（1）解：延长交于点， ∵点G是的重心 ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ （2）略 题型10 相似三角形实际应用 将实际场景转化为相似三角形模型，利用对应边成比例列方程求解高度、距离。 【典例10】. （25-26九年级上·广东茂名·阶段检测）【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 【变式1】. （25-26八年级下·山东烟台·期末）某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米． 【分析】先证明，由此求得，进而求得；再证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为12米． 【变式2】. （25-26八年级下·山东泰安·期末）淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【答案】(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度米 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 【变式3】. （25-26八年级下·山东泰安·期末）为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【答案】(1)米 (2)米 (3)1米 【分析】（1）由题意知：米，米，证明，列比例式计算即可； （2）证明，求得（米），再根据，求解即可； （3）连接并延长交于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，四边形是矩形，设米，则米，米，米，米，米，根据，列比例式求解即可； 【详解】（1）解：由题意知：米，米， （米）， ， ， 即， 解得：（米）， 答：路灯的高度是米； （2）解：由题意知，米，米，米， ， ， ， 即， 解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米； （3）解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米， 则米，米，米， 米，米， ， ， ， 即， 解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高． 1．已知p是m，n的比例中项，那么下列等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例中项的定义得到，据此可得答案． 【详解】解：∵p是m，n的比例中项， ∴，即 根据现有条件无法得到， ∴四个选项中，只有D选项中的式子一定成立， 故选：D ． 2．如图，正方形中，点E是对角线上的一点，，过点E作，，垂足分别为点F，G，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】证明四边形是正方形，得到，根据勾股定理求出，进而计算的值即可． 【详解】解：∵正方形，点E是对角线上的一点，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， 设， 则， ， ， ． 3．如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：设刻度尺所在直线与直线、、的交点分别为、、， ∵直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 4．2026年国际数学日的主题为“数学与希望”．某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比）海报．若该海报的长为，则它的宽为___________． 【答案】 【分析】根据黄金矩形的定义，宽与长的比为黄金比，将已知的长代入比例式，化简计算即可求解． 【详解】解：设海报的宽为，已知长为，由黄金矩形的定义可得 ， 解得， 即宽为． 5．已知则代数式的值为________． 【答案】 【分析】根据给出等式得到与的数量关系，再将其代入所求代数式化简计算得到结果． 【详解】解：已知，根据比例的基本性质可得， 整理得， 将代入得： ． 6．如图，在中，是边上的高，点是上一点，且，连接并延长交于点，已知，，则__________． 【答案】 【分析】过点作，交于点，连接，根据平行线分线段成比例可知，，即，，进而可知，根据同高三角形面积比等于底之比计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 过点作，交于点，连接， 根据平行线分线段成比例可知，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵，在上，与面积比等于， ∴， ∵在上，与同高，面积比等于底之比， ∴． 7．已知，如图，四边形中，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ， ． 【分析】根据推出，证明，根据相似三角形对应边比例相等即可证明． 【详解】略 8．结合图形，解答下列各题： (1)已知：在中，对角线的垂直平分线分别与边和对角线相交于点E，F，O．求证：四边形是菱形．（自己画图并完成证明） (2)如图，在中，D，E，F分别是上的点，且，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形； (2) 【分析】（1）画出图形，证明，得，从而得四边形为平行四边形，再由，即可得平行四边形为菱形； （2）先证明四边形是平行四边形，得，再由平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定及性质即可求解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 9．如图三角形中，，是边上的高且．P，N分别是，边上的点，Q，M是上的点，连接、，交于 E． (1)如图1，若四边形是正方形，求的长； (2)如图2，若四边形是矩形，且．求、的长． 【答案】(1) (2)， 【分析】根据相似三角形的对应边上的高的比＝相似比，构建方程即可解决问题； 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，是边上的高， ，， ， ，即， ； （2）解：∵四边形是矩形， ，， ∴， ， 设则，                                     即，解得， ，． 1．如图，，分别是的中线，与相交于点O，点M，N分别在上，四边形是平行四边形．若，则的长度为（） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理得出，，根据平行四边形的性质得出，，，进而得出，，证明可得出，即可求解． 【详解】解：∵，分别是边，上的中线， ∴是的中位线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．如图，平行四边形中，点E是的中点，连结并延长交的延长线于点F，点G是线段上一点，满足，交于点H，若，，则的长为（     ） A．0.6 B．0.8 C．1 D．1.2 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得，，证明，推出．求出，，最后证明，利用对应线段比相等，列方程即可解答． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 是的中点， ． ， ， ∴， ， ， ， ，． ， ， ． ， ， ． 设，则， ∴， 解得， 即的长为． 3．如图，D、E分别是的边上的点，，若，则________． 【答案】 【分析】证明得出，证明得出，进而求出结论． 【详解】解：， ． ， ． ， ， ， ． 与等高， ． 4．如图，在中，，，，为线段上一动点，过向、分别作垂线，垂足分别为、，连结，已知． (1)由题易证四边形的形状是______（无需证明），请写出四边形对角线的性质______． (2)请用圆规和无刻度的直尺在图2中，画出当线段的长度最短时，点的位置（铅笔作图后请用中性笔描出作图痕迹） (3)将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接． ①当点落在线段上时，求的值； ②当与重叠部分的面积，恰好是面积的时，直接写出的值． 【答案】(1)矩形；相等且互相平分 (2) 点即为所求． (3) ； 【分析】 （1）利用矩形的判定和性质即可得到结论． （2）利用矩形的对角线相等，可得当时，长度最短，作，垂足即为所求． （3）①过点作，垂足为，证明得、，证明得，设，把用含的代数式表示出来，再利用三角形相似求出的长，然后用勾股定理求出的长，进而求出的值； ②过点作，垂足为，证明得，证明得，设，根据，求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：、、， 四边形是矩形， 、与互相平分． （2）略 （3）解：当点落在线段上时，如图 过点作，垂足为， ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， 同理：， 设， 则、， ， ， ， 、， ， ， ， ． 过点作，垂足为， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， 与重叠部分的面积，恰好是面积的， ， ， 设， 则，， 、， ， ， ， ， ， ， ． 5．根据以下探究完成相关题目： (1)探究一：如图①，在中，，，．在该三角形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在三角形内部，互不重叠，且一边与平行），最多能排列多少个小正方形？我们不妨这样思考： 如图②，排列第一层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第一层最多排列个； 如图③，排列第二层时，因为，所以，易得，所以，解得．因为，所以第二层最多排列个；按上述思路，可求得在内部能排列的小正方形个数最多为________个； (2)探究二：如图④，在梯形中，，，，，．在该梯形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在梯形内部，互不重叠，且一边与平行）．在梯形内部能排列的小正方形个数最多为________个； (3)探究三：如图⑤，在五边形中，，，，，，，，在该五边形内部排列边长为的小正方形（小正方形完全在五边形内部，互不重叠，且一边与平行）．在五边形内部能排列的小正方形个数最多为________个． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用相似三角形求出每层位置上水平方向最大宽度，宽度除以正方形边长得到本层最多可放置的正方形数量，逐层累加即可得到总数； （2）梯形上下底长度已知，先判断底部几层宽度充足，再利用相似三角形求出靠上位置截面宽度，逐层计算正方形个数求和； （3）把五边形分成一个矩形和一个梯形，分别计算最多可放置的正方形数量，相加即可得到总数． 【详解】（1）解：由题意得第一层最多排列个，第二层最多排列个， 如图，排列第三层时，， ， ， ， ， ， 第三层无法排列完整的小正方形， ， 在内部能排列的小正方形个数最多为个； （2）解：， 以为宽度能排列两排， ， 第一层最多排列个，第二层最多排列个， 如图，排列第三层时，， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 第三层最多排列个， ， 第四层最多排列个， ， 在梯形内部能排列的小正方形个数最多为个； （3）解：如图， ，， 四边形和是矩形， ，，，， ，， ，， 在矩形中最多放置三列，每列最多放个， ， 在矩形中最多可排列个， 由（2）的第一层一共可放置个， ， 在梯形中，第一层最多排列个， ， ， ， ， 在梯形中，第二层最多排列个， ，， ， ， ， ， 在梯形中，第三层无法排列完整的小正方形， ， 在梯形中最多可排列个， ， 在五边形内部能排列的小正方形个数最多为个． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $