23.1测量 同步讲义 2026-2027学年华东师大版九年级数学上册

本讲义聚焦解直角三角形这一核心知识点，先明确其定义为在直角三角形中由已知元素求未知元素的过程，再系统梳理锐角互余、勾股定理及三角函数等关键关系作为学习支架，通过典例与变式题衔接，帮助学生从直角三角形基本性质过渡到边角关系的综合应用。 资料特色在于融入网格、图形平移等丰富情境题，如网格中求sinA值、平移后计算tan值等实例，培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），通过推理与运算解决问题（数学思维）。课中辅助教师分层教学，课后通过过关验收题助力学生查漏补缺，提升应用意识（数学语言）。

第23章 23.1 测量 内 容 导 航 题型1 解直角三角形 考 点 演 练 题型1 解直角三角形 解｜题｜知｜识 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 【典例1】如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：如图，连接DE， ∵DE，AD＝2，AE， ∴DE2+AD2＝2+8＝10＝AE2， ∴∠ADE＝90°，即△ADE为直角三角形， ∴， 故选：D． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，，那么边AC的长是（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝3，sinB， ∴， ∵AB＝3， ∴AC＝2， 故选：C． 【变式2】在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则sinα的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解答】解：如图： 由网格的特征可知，△ABC是直角三角形， ∴AB， ∴sinα， 故选：A． 【变式3】如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝30°．将△ABC沿直线BC平移得到△A1B1C1，B1为BC的中点，连接BA1，则tan∠A1BC的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：过点A1作A1D⊥B1C1于点D， 设AC＝a， ∵∠A＝90°，∠ABC＝30°， ∴BC＝2AC＝2a， ∴， ∵B1为BC的中点， ∴BB1BC＝a， ∵△A1B1C1由△ABC沿直线BC平移得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 过 关 验 收 1．如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，则∠ACD的正弦值是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解答】解：连接AD， 由勾股定理得：AD2＝12+32＝10，CD2＝12+32＝10，AC2＝22+42＝20， ∴AD＝CD，AD2+CD2＝AC2， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD＝∠ACD＝45°， ∴∠ACD的正弦值是． 故选：C． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，过点A作CD的垂线，分别交BC、CD于点E、F．若，AE＝26，则CD的长为（　　） A．39 B． C． D．19.5 【答案】D 【解答】解：在Rt△ACE中， tan∠CAE， 则令CE＝2x，AC＝3x， 所以（2x）2+（3x）2＝262， 解得x（舍负）， 所以AC． 因为AE⊥CD， 所以∠CAE+∠AEC＝90°， 又因为∠AEC+∠ECD＝90°， 所以∠CAE＝∠ECD． 因为CD是斜边AB上的中线， 所以CD＝BD， 所以∠ECD＝∠B， 所以∠CAE＝∠B， 所以tanB＝tan∠CAE． 在Rt△ABC中， tanB， 所以BC． 所以AB39， 所以CD19.5． 故选：D． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，AB＝10，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：如图，取AC的中点O，连接OE，OF，延长FE交AB于T． ∵∠ACB＝90°，AB＝10，， ∴∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°，ACAB＝5， ∵CE⊥AD， ∴∠AEC＝90°， ∴E在⊙O上， ∵AO＝OC， ∴OE＝OA， ∴点E在以O为圆心，为半径的圆上运动， ∵FT⊥AB， ∴当FT与⊙O相切时，CF的值最大， ∵直线CF，直线EF都是⊙O的切线， ∴FC＝FE， ∴∠FCE＝∠FEC， ∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠ACE+∠ECF＝90°， ∴∠CAE＝∠FCE， ∵∠CEF+∠AET＝90°，∠AET+∠EAT＝90°， ∴∠FEC＝∠EAT， ∴∠CAE＝∠EAT＝30°， ∵CF＝FE，OC＝OE， ∴OF⊥EC， ∵AD⊥CE， ∴OF∥AD， ∴∠COF＝∠CAD＝30°， ∴OF＝2CF， ∴CF， ∴CF的最大值为． 故选：B． 4．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC＝4，则BD的长为（　　） A． B． C． D．8 【答案】B 【解答】解：在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，设相交于O点． ∴AC⊥BD，AC＝4， ∴AO＝2． ∵∠ABC＝60°， ∴∠ABO＝30°． 由勾股定理可知：BO＝2． 则BD＝4． 故选：B． 5．如图，菱形ABCD的周长为40cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA，则下列结论正确的有（　　） ①DE＝6cm；②BE＝2cm；③菱形面积为60cm2；④BDcm． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵菱形ABCD的周长为40cm， ∴AD＝AB＝BC＝CD＝10． ∵DE⊥AB，垂足为E， sinA， ∴DE＝6cm，AE＝8cm，BE＝2cm． ∴菱形的面积为：AB×DE＝10×6＝60cm2． 在三角形BED中， BE＝2cm，DE＝6cm，BD＝2cm，∴①②③正确，④错误；2 ∴结论正确的有三个． 故选：C． 6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【解答】解：如图，连接BE交CD于点F， ∵四边形BCED是正方形， ∴DF＝CFCD，BFBE，CD＝BE，BE⊥CD， ∴BF＝CF＝DF， 根据题意，AC∥BD， ∴∠ACP＝∠BDP，∠DBP＝∠CAP， ∴△ACP∽△BDP， ∴DP：CP＝BD：AC＝1：3， ∵BF＝CF＝DF， ∴DP：DF＝1：2， ∴DP＝PFCFBF， 在Rt△PBF中，tan∠BPF2， ∵∠APD＝∠BPF， ∴tan∠APD＝2． 故选：A． 7．如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（　　） A．sinA的值越小，梯子越陡 B．cosA的值越小，梯子越陡 C．tanA的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的函数值无关 【答案】B 【解答】解：sinA的值越小，∠A越小，梯子越平缓； cosA的值越小，∠A就越大，梯子越陡； tanA的值越小，∠A越小，梯子越平缓， 所以B正确． 故选：B． 8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AB＝26，则BC的长为（　　） A．5 B．10 C．12 D．24 【答案】D 【解答】解：如图，在Rt△ABC中， ∵cosA， ∵AB＝26， ∴AC＝2610， ∴BC24， 故选：D． 9．如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sinA的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D， ∵BC＝2， ∴S△ABCBC×4＝4， ∵AB4， ∴CD， ∵AC2， ∴sinA， 故选：A． 10．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线．已知tan∠ACD，则tanB的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线， ∴CD， 即CD＝AD， ∴∠A＝∠ACD． 又∵tan∠ACD， ∴tan∠A． 在Rt△ABC中， tanA， ∴tanB． 故选：A． 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝6，则AB＝（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝6， ∴AB10， 故选：D． 12．如图，网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接AB、CD交于点P，则∠BPC的正切值是 　2　 ． 【答案】2 【解答】解：作BE∥CD，如图所示， ∵BE∥CD， ∴∠BPC＝∠ABE， 设小正方形的边长为a， 由图可得，ABa，AE2a，BEa， ∴AB2＝AE2+BE2， ∴△AEB是直角三角形， ∴tan∠ABE2， ∴tan∠BPC＝2， 故答案为：2． 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，点D在BC上，点E在AB上，过点E作EF⊥AB交AC边于点F，连接ED并延长交AC的延长线于点G，∠BED＝∠AFE，且，求AC的长． 【答案】4． 【解答】解：∵EF⊥AB，∴∠A+∠AFE＝90°，∠BED+∠FEG＝90°， 又∵∠AFE＝∠BED， ∴∠A＝∠FEG， ∴， ∵在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴，即， 解得AC＝4， ∴AC的长为4． 14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝10，CD＝5，且．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动时间为t秒． （1）当MN∥AB时，求t的值． （2）当△CMN是等腰三角形时，求t的值． 【答案】（1）； （2）、或． 【解答】解：（1）如图，过D作DG∥AB交BC于G点， ∵DG∥AB，AD∥BC， ∴四边形ABGD是平行四边形， ∴BG＝AD＝3， ∴GC＝10﹣3＝7， 由题意得，当M、N运动t秒后，CN＝t，CM＝10﹣2t， ∵AB∥DG，MN∥AB， ∴DG∥MN， ∴∠NMC＝∠DGC， ∵∠C＝∠C， ∴△MNC∽△GDC， ∴， 即， 解得：； 即：当MN∥AB时，； （2）由题意得，当M、N运动t秒后，CN＝t，CM＝10﹣2t， 第一种情况：当NC＝MC时，如图， 此时t＝10﹣2t， 解得； 第二种情况：当MN＝NC时，如图，作NE⊥MC于E，DH⊥BC于H， 则， ∵，CD＝5， 则设CH＝3k，DH＝4k， ∵CH2+DH2＝CD2， ∴CH＝3，DH＝4， ∵∠C＝∠C，∠DHC＝∠NEC＝90°， ∴△NEC∽△DHC， ∴， 即：， 解得； 第三种情况：当MN＝MC时，如图，作DH⊥BC于H，MF⊥CN于F，则，同上，CH＝3，DH＝4， ∵∠C＝∠C，∠MFC＝∠DHC＝90°， ∴△MFC∽△DHC， ∴， 即：， 解得：； 综上所述，当△CMN为等腰三角形时，、或． 15．计算： （1）4sin60°﹣3tan30°+2cos45°•sin45°； （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的余弦值和正切值． 【答案】（1）； （2）∠A的余弦值为，∠A的正切值为． 【解答】解：（1）4sin60°﹣3tan30°+2cos45°⋅sin45°； （2）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12， ∴， ∴，． ∴∠A的余弦值为，∠A的正切值为． 16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD，求AB的长？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA， ∴∠A＝30°， ∴∠ABC＝60°， ∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠CBD＝∠ABD＝30°， 又∵CD， ∴BC3， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴AB6． 答：AB的长为6． 17．如图，在平面直角坐标系中，P是∠α的边OQ上的一点，已知点P的横坐标为6，且sinα． （1）求点P的纵坐标； （2）cosα的值为 　　 ． 【答案】（1）8； （2）． 【解答】解：（1）过点P作PM⊥x轴于点M，如图所示： 则∠PMO＝90°， ∵点P的横坐标为6， ∴OM＝6， 在Rt△POM中，， ∴设PM＝4x，则OP＝5x， 在Rt△PMO中，由勾股定理得：OM2+PM2＝OP2， ∴62+（4x）2＝（5x）2， 整理得：x2＝4， ∴x1＝2，x2＝﹣2（不合题意，舍去）， ∴PM＝4x＝8， ∴点P的纵坐标为8． （2）由（1）知：OP＝5x＝10， 在Rt△POM中，， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23章 23.1 测量 内 容 导 航 题型1 解直角三角形 考 点 演 练 题型1 解直角三角形 解｜题｜知｜识 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系 ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°； ②三边之间的关系：a2+b2＝c2； ③边角之间的关系： sinA，cosA，tanA． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 【典例1】如图，在8×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sinA的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，，那么边AC的长是（　　） A． B．1 C．2 D． 【变式2】在4×4网格中，∠α的位置如图所示，则sinα的值为（　　） A． B． C．2 D． 【变式3】如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝30°．将△ABC沿直线BC平移得到△A1B1C1，B1为BC的中点，连接BA1，则tan∠A1BC的值为（　　） A． B． C． D． 过 关 验 收 1．如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，则∠ACD的正弦值是（　　） A．1 B． C． D． 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，过点A作CD的垂线，分别交BC、CD于点E、F．若，AE＝26，则CD的长为（　　） A．39 B． C． D．19.5 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，AB＝10，D是BC上一动点，CE⊥AD于E，EF⊥AB交BC于点F，则CF的最大值是（　　） A． B． C． D． 4．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AC＝4，则BD的长为（　　） A． B． C． D．8 5．如图，菱形ABCD的周长为40cm，DE⊥AB，垂足为E，sinA，则下列结论正确的有（　　） ①DE＝6cm；②BE＝2cm；③菱形面积为60cm2；④BDcm． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个正方形的顶点叫做格点，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则tan∠APD的值为（　　） A．2 B． C．3 D． 7．如图，梯子跟地面的夹角为∠A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（　　） A．sinA的值越小，梯子越陡 B．cosA的值越小，梯子越陡 C．tanA的值越小，梯子越陡 D．陡缓程度与∠A的函数值无关 8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，AB＝26，则BC的长为（　　） A．5 B．10 C．12 D．24 9．如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sinA的值是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线．已知tan∠ACD，则tanB的值为（　　） A．2 B． C． D． 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，BC＝6，则AB＝（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 12．如图，网格中的点A、B、C、D都在小正方形顶点上，连接AB、CD交于点P，则∠BPC的正切值是 　 　 ． 13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，点D在BC上，点E在AB上，过点E作EF⊥AB交AC边于点F，连接ED并延长交AC的延长线于点G，∠BED＝∠AFE，且，求AC的长． 14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝10，CD＝5，且．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动时间为t秒． （1）当MN∥AB时，求t的值． （2）当△CMN是等腰三角形时，求t的值． 15．计算： （1）4sin60°﹣3tan30°+2cos45°•sin45°； （2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的余弦值和正切值． 16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，tanA，∠ABC的平分线BD交AC于点D，CD，求AB的长？ 17．如图，在平面直角坐标系中，P是∠α的边OQ上的一点，已知点P的横坐标为6，且sinα． （1）求点P的纵坐标； （2）cosα的值为 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $