专题22.2 相似图形（高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

本讲义聚焦相似图形核心知识点，从相似图形概念（形状相同，全等为特殊情况）切入，衔接相似多边形判定（对应角相等、对应边成比例），再延伸至性质（对应角相等、对应边成比例，周长比等于相似比，面积比等于相似比平方），构建连贯知识支架。 资料亮点在于分层题型设计，涵盖基础识别、判定及矩形装裱等实际问题，结合期末、模考题，培养几何直观与推理能力。课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，提升用数学语言表达与解决实际问题的应用意识。

专题22.2 相似图形 教学目标 1. 理解相似图形、相似多边形、相似比的概念，分清相似和全等的关系。 2. 掌握相似多边形的判定条件，能判断两个多边形是否相似。 3. 会运用相似多边形性质求角度、边长、周长、面积，理解周长、面积与相似比的数量关系。 4. 能解决矩形裁剪、边框装裱等实际情境的相似多边形问题，提升几何推理能力。 教学重难点 重点 （1）相似多边形的概念与判定，两个必备条件的理解 （2）相似多边形对应角、对应边性质的基础计算 （3）相似多边形周长比、面积比与相似比的关系 难点 （1）区分“仅角相等”“仅边成比例”与多边形相似的关系 （2）找准多边形的对应边、对应角，注意相似比的顺序性 （3）矩形边框、裁剪类相似多边形分类讨论问题 知识点 01：相似图形的概念 1. 定义：形状相同的图形叫做 ，图形大小可以相等，也可以不相等。 2. 图形变换关系：一个相似图形可以看作另一个图形放大或者缩小得到。 3. 全等与相似的关系：全等图形是相似图形的特殊情况，相似比等于 ；相似图形不一定全等。 【即学即练】 1．下列每个选项的两个图形，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 知识点 02：相似多边形与相似比 1. 相似多边形定义：边数相同的两个多边形，同时满足对应角 、对应边 ，这两个多边形叫做相似多边形。 2. 表示符号：用符号表示“相似于”；书写时对应顶点字母写在对应位置。 3. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比；相似比有顺序，前后顺序调换，比值变为倒数。 4. 判定必要条件：两个多边形相似，必须同时满足两个条件，缺一不可。 【即学即练】 1．把同一个三角形地块按不同的比例尺画成甲乙两个图，若甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是______． 知识点 03：相似多边形的性质 1. 对应角相等，对应边成比例。 2. 周长之比等于 。 3. 面积之比等于 。 【即学即练】 1．如图所示，四边形与四边形相似，求出与的长度和的度数． 题型 01 识别判断相似图形 只看图形形状，与大小、摆放位置无关；全等属于特殊的相似。 【典例1】.（25-26九年级上·山西朔州·期末）观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（   ）． A． B． C． D． 【变式1-1】.（25-26九年级上·河北邯郸·期末）下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】.（25-26九年级上·江苏南京·期末）下列各组图形中，不是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】.（25-26九年级上·全国·寒假作业）以下选项中，与图中所给图形相似的是（　　） A． B． C． D． 题型 02 判断多边形是否相似 边数相同前提下，必须同时满足对应角相等、对应边成比例，两个条件缺一不可。 【典例2】.（25-26九年级上·陕西榆林·期中）下面矩形中，和矩形ABCD相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】.（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【变式2-3】.（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）如图所示的各组图形中，相似的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 题型 03 利用相似多边形求对应角的度数 相似多边形对应角相等，结合多边形内角和定理计算未知角度。 【典例3】.（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】.（25-26八年级下·山东·课后作业）如图，四边形四边形，则的度数是 ______． 【变式3-2】.（25-26九年级下·江西·开学考试）如图，四边形和相似，则________．      【变式3-3】.（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，四边形四边形． (1)求：______； (2)求边、的长度． 题型 04 利用相似多边形求对应边长 找准对应边，列出比例式，建立方程求解，注意不要找错对应关系。 【典例4】.（26-27九年级上·全国·单元复习）已知四边形与四边形相似，边与边是对应边，，，则___________． 【变式4-1】.（2026·北京海淀·二模）小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 【变式4-3】.（25-26九年级上·河北保定·期末）上课时，李老师将一张长为，宽为的照片利用手机投屏功能投放到大屏幕上供学生观赏，屏幕上的照片形状与原照片相同．若屏幕上的照片长为，则其宽为（   ） A． B． C． D． 题型 05 相似多边形周长相关计算 相似多边形周长之比等于相似比，利用比例关系列式求值。 【典例5】.（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）两个相似多边形的相似比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（     ） A．60 B．40 C．36 D．16 【变式5-1】.（25-26九年级上·安徽安庆·期末）两个相似多边形的面积之比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（    ） A．60 B．40 C．36 D．16 【变式5-2】.（25-26九年级上·陕西汉中·期末）若四边形四边形，且，，则四边形与四边形的周长比为______． 【变式5-3】.（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知五边形五边形，且五边形与五边形的周长比为，则的值为_________． 题型 06 相似多边形面积相关计算 面积之比等于相似比的平方；已知面积比求线段要开平方。 【典例6】.（2026·江苏盐城·三模）平行四边形与平行四边形相似，，的对应边，平行四边形的面积为，则平行四边形的面积为_________． 【变式6-1】.（2026·山西临汾·三模）五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】.（2026·广东云浮·一模）如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式6-3】.（25-26九年级下·宁夏中卫·开学考试）在长，宽的矩形中截去一个矩形（阴影部分），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为____． 题型 07 命题辨析类（矩形、菱形、正多边形相似判断） 矩形看邻边比值；菱形看内角；边数相同的正多边形一定相似。 【典例7】.（2026·上海长宁·一模）现有甲、乙、丙三个矩形，矩形甲的一组邻边长为4与9，矩形乙的一组邻边长为3与2，矩形丙的一组邻边长为与2，那么三个矩形间相似关系判断正确的是（   ）． A．甲、乙相似 B．乙、丙相似 C．丙、甲相似 D．甲、乙、丙都不相似 【变式7-1】.（25-26九年级上·四川成都·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．所有的矩形都相似 B．正三棱柱的俯视图不一定是等边三角形 C．方程只有一个实数根 D．反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 【变式7-2】.（25-26九年级上·上海·期中）下列命题正确的是（   ） A．等边三角形都是相似图形； B．矩形都是相似图形； C．菱形都是相似图形； D．等腰三角形都是相似图形． 【变式7-3】.（25-26九年级上·上海·期中）下列命题正确的是（   ） A．平行四边形都相似 B．边长相等的六边形一定相似 C．有一个角相等的两个等腰梯形一定相似 D．两个等腰直角三角形相似 题型 08 矩形装裱、外围加宽相似问题 设小路宽度参数，假设相似列比例方程，检验结果是否符合实际意义。 【典例8】.（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，装裱一幅宽、长的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的上下部分宽都为，若装裱上去的左右部分的宽都为（），则________． 【变式8-1】.（25-26九年级上·广西钦州·期末）（1）解方程：． （2）如图，一个矩形广场的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为，如果两条横向小路的宽都为，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？ 【变式8-2】.（2025九年级上·全国·专题练习）如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． (1)若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ (2)要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 【变式8-3】.（25-26九年级上·山西太原·期中）综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：组员： 基本信息 有两张标准矩形板（一种制作展板的常用材料），尺寸为． 版面规划 用矩形表示整张板． 展板一： 如图1，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间（即矩形）为图案区域． 展板二： 如图2，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为．    问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下： …… (1)根据版面规划，若展板一中，且图案区域与整块展板相似（即矩形矩形，求的值； (2)根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形矩形），则的值为___________． 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．矩形都是相似图形 B．正方形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．相似多边形对应角的比叫作相似比 2．如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的面积为（   ） A．160 B．80 C．40 D．20 二、填空题 4．如图1是古希腊时期的巴台农神庙，将图1中的虚线画成如图2所示的矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，发现矩形矩形，则的值为___________． 5．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为的矩形．若墙上投影画面的短边长为1.2米，则投影画面的长边长为______． 6．如图，四边形四边形，则________． 三、解答题 7．如图，四边形四边形，求的长及的度数． 8．如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 9．如图，矩形纸片的边长为，动直线分别交AD，BC于E，F两点，且． (1)若直线是矩形的对称轴，且沿着直线剪开后得到的矩形与原矩形相似，求的长． (2)若为，试探究在边上是否存在点，使剪刀沿着直线剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形纸片ABCD相似的情况．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 1．如图，一张矩形报纸的宽，长，直线，且与矩形两边分别交于点E，F，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，若矩形矩形，则m的值为____________． 2．在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 3．敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于的正方形，正方形，正方形以45度角交错套叠而成，其中，则正方形与正方形的相似比是（     ） A． B． C． D． 4．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为． (1)证明：四边形是正方形； (2)若矩形与原矩形相似，．求的长． 5．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 阅读以下材料，完成相应任务： 标准对数视力表的设计基于相似图形的原理，视力表中不同视力对应的“E”形图案都是相似的，且视力值V与“E”的长a（单位：）满足反比例关系：（k为常数）．已知视力1.0对应的“E”长，同时空白缺口宽d为长a的． 定义：若两个相似图形的相似比为，则称这两个图形的“视觉比”为（视觉比反映图形在视觉中的大小感知）．    任务： (1)求常数k的值，并写出当时，“E”长a与视力V之间的函数解析式； (2)若视力对应的“E”为图形，视力对应的“E”为图形，已知的空白缺口宽为，的空白缺口宽为，求证：，并求出与的“视觉比”． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.2 相似图形 教学目标 1. 理解相似图形、相似多边形、相似比的概念，分清相似和全等的关系。 2. 掌握相似多边形的判定条件，能判断两个多边形是否相似。 3. 会运用相似多边形性质求角度、边长、周长、面积，理解周长、面积与相似比的数量关系。 4. 能解决矩形裁剪、边框装裱等实际情境的相似多边形问题，提升几何推理能力。 教学重难点 重点 （1）相似多边形的概念与判定，两个必备条件的理解 （2）相似多边形对应角、对应边性质的基础计算 （3）相似多边形周长比、面积比与相似比的关系 难点 （1）区分“仅角相等”“仅边成比例”与多边形相似的关系 （2）找准多边形的对应边、对应角，注意相似比的顺序性 （3）矩形边框、裁剪类相似多边形分类讨论问题 知识点 01：相似图形的概念 1. 定义：形状相同的图形叫做相似图形，图形大小可以相等，也可以不相等。 2. 图形变换关系：一个相似图形可以看作另一个图形放大或者缩小得到。 3. 全等与相似的关系：全等图形是相似图形的特殊情况，相似比等于；相似图形不一定全等。 【即学即练】 1．下列每个选项的两个图形，是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似图形的概念即可作出判断． 本题考查了相似图形的概念：形状相同，大小不同的两个图形是相似图形． 【详解】解：由相似图形的概念知，选项C中的两个图形相似 故选：C 知识点 02：相似多边形与相似比 1. 相似多边形定义：边数相同的两个多边形，同时满足对应角相等、对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形。 2. 表示符号：用符号表示“相似于”；书写时对应顶点字母写在对应位置。 3. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比；相似比有顺序，前后顺序调换，比值变为倒数。 4. 判定必要条件：两个多边形相似，必须同时满足两个条件，缺一不可。 【即学即练】 1．把同一个三角形地块按不同的比例尺画成甲乙两个图，若甲图的比例尺为，乙图的比例尺为，那么甲图与乙图的相似比是______． 【答案】 【分析】本题考查了相似图形的性质，熟练掌握相似图形的相似比等于对应边的比值是解题的关键．根据相似图形的性质，用两个图的比例尺相比即可求得相似比． 【详解】解：甲图与乙图的相似比． 故答案为：． 知识点 03：相似多边形的性质 1. 对应角相等，对应边成比例。 2. 周长之比等于相似比。 3. 面积之比等于相似比的平方。 【即学即练】 1．如图所示，四边形与四边形相似，求出与的长度和的度数． 【答案】，， 【分析】本题考查了相似多边形的性质； 根据相似多边形的对应边成比例，对应角相等，以及四边形内角和定理计算即可． 【详解】解：四边形与四边形相似， ， ，， 又， ， 即． 题型 01 识别判断相似图形 只看图形形状，与大小、摆放位置无关；全等属于特殊的相似。 【典例1】.（25-26九年级上·山西朔州·期末）观察下列各组中的两个图形，其中两个图形一定相似的一组是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似图形，相似图形的形状必须完全相同；相似图形的大小不一定相同． 对选项一一分析，排除错误答案即可． 【详解】解：A、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； B、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意； C、两个图形形状不相同，不相似，不符合题意． D、两个图形形状相同，相似，符合题意． 故选：D． 【变式1-1】.（25-26九年级上·河北邯郸·期末）下列图形中，不是相似图形的一组是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的识别，解题的关键是：明确相似图形的定义．根据相似图形的定义，形状相同但大小不同的图形，是相似图形，依次判断，即可求解． 【详解】解：、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意， 、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意， 、具有相同的形状，是相似图形，不符合题意， 、不具有相同的形状，不是相似图形，符合题意， 故选：． 【变式1-2】.（25-26九年级上·江苏南京·期末）下列各组图形中，不是相似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似图形，相似图形是指具有相同形状但大小不同的图形，由此判断即可． 【详解】解：A．两个图形形状相同，大小不同，是相似图形，不合题意； B．两个图形形状相同，大小不同，是相似图形，不合题意； C．两个图形形状相同，大小不同，是相似图形，不合题意； D．两个图形形状不同，不是相似图形，符合题意； 故选：D． 【变式1-3】.（25-26九年级上·全国·寒假作业）以下选项中，与图中所给图形相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形，关键是掌握相似图形的形状必须完全相同，大小不一定相同．根据相似图形的定义解答即可． 【详解】 解：与图中所给图形相似的是． 故选：D． 题型 02 判断多边形是否相似 边数相同前提下，必须同时满足对应角相等、对应边成比例，两个条件缺一不可。 【典例2】.（25-26九年级上·陕西榆林·期中）下面矩形中，和矩形ABCD相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似多边形的判定，矩形的性质，关键是掌握相似多边形的判定方法；由相似多边形的判定方法，即可判断． 【详解】解：相似多边形是指边数相同且对应角相等、对应边成比例的平面图形，题中图形角度都是90度，只需对应边成比例即可， A、，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意． 故选：A． 【变式2-1】.（26-27九年级上·山东聊城·开学考试）如图，两个正方形，两个等边三角形，两个等腰直角三角形，两个矩形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形不相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相似多边形“对应角相等，对应边成比例”的性质判定即可． 【详解】A选项，两个正方形对应角相等，且对应边成比例，两个正方形相似； B选项：两个等边三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等边三角形相似； C选项：两个等腰直角三角形的对应角相等，且对应边成比例，两个等腰直角三角形相似； D选项：两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，两个矩形不相似． 【变式2-2】.（25-26八年级下·山东青岛·期末）如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． 【变式2-3】.（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）如图所示的各组图形中，相似的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题考查相似多边形，根据相似多边形的定义，边数相同，且对应边对应成比例，对应角相等的多边形为相似多边形，逐一进行判断即可． 【详解】解：①对应角不相等，不符合相似图形的定义，错误；②大小不同的两个正方形，符合相似图形的定义，正确；③对应角相等的两个菱形相似，正确；④对应边的比相等，对应角相等，符合相似图形的定义，正确．故②③④正确． 故选B． 题型 03 利用相似多边形求对应角的度数 相似多边形对应角相等，结合多边形内角和定理计算未知角度。 【典例3】.（25-26八年级下·上海·阶段检测）如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出 和 的度数，再利用四边形内角和定理计算 的度数． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，． 在四边形 中，∵， ∴． 【变式3-1】.（25-26八年级下·山东·课后作业）如图，四边形四边形，则的度数是 ______． 【答案】 【分析】根据相似多边形的对应角相等求出的度数，进而根据四边形的内角和求出即可． 【详解】解：四边形四边形， ， ． 【变式3-2】.（25-26九年级下·江西·开学考试）如图，四边形和相似，则________．      【答案】/81度 【分析】由相似多边形的性质得出，再由四边形的内角和即可得解． 【详解】解：∵四边形和相似， ∴， 在四边形中，， ∴． 【变式3-3】.（26-27九年级上·北京·课堂例题）如图，四边形四边形． (1)求：______； (2)求边、的长度． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用相似四边形对应角相等得出、，结合四边形内角和为，减去其余三个内角即可求出； （2）根据相似多边形对应边成比例列式求出、即可． 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴，， ∴； （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 解得，． 题型 04 利用相似多边形求对应边长 找准对应边，列出比例式，建立方程求解，注意不要找错对应关系。 【典例4】.（26-27九年级上·全国·单元复习）已知四边形与四边形相似，边与边是对应边，，，则___________． 【答案】 【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，结合已知条件计算即可． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，与是对应边，， ∴， ∵， ∴， 解得． 【变式4-1】.（2026·北京海淀·二模）小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】投屏后形状不变，投影矩形与原屏幕矩形是相似图形，对应边成比例，根据原矩形边长比列比例式即可求出投影长边长． 【详解】解：∵投屏后画面形状保持不变， ∴投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， ∵原矩形相邻两边长之比为，即长边短边，设投影长边长为， 可得， 解得， 即投影画面长边长为． 【变式4-2】.（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】相似多边形的性质，对应边成比例，则． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故选：C． 【变式4-3】.（25-26九年级上·河北保定·期末）上课时，李老师将一张长为，宽为的照片利用手机投屏功能投放到大屏幕上供学生观赏，屏幕上的照片形状与原照片相同．若屏幕上的照片长为，则其宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似图形的性质，解题的关键是利用相似图形对应边成比例的性质列比例式求解； 根据相似图形对应边成比例，设屏幕上照片的宽为，列出比例式，再求解的值． 【详解】解：∵屏幕上的照片与原照片形状相同， ∴它们是相似图形，对应边成比例． 设屏幕上照片的宽为， 则，，， ∴． 故选：A． 题型 05 相似多边形周长相关计算 相似多边形周长之比等于相似比，利用比例关系列式求值。 【典例5】.（25-26八年级下·黑龙江大庆·期中）两个相似多边形的相似比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（     ） A．60 B．40 C．36 D．16 【答案】A 【分析】利用相似多边形周长比等于相似比得到两个多边形的周长比，再结合周长差列方程求解即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为，相似多边形的周长比等于相似比， ∴它们的周长比为， 设较大多边形的周长为，较小多边形的周长为， ∵它们的周长之差为20， ∴， 解得， ∴较大多边形的周长为， 故选：A． 【变式5-1】.（25-26九年级上·安徽安庆·期末）两个相似多边形的面积之比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（    ） A．60 B．40 C．36 D．16 【答案】A 【分析】本题考查相似多边形的性质． 利用相似多边形面积比与相似比的关系求出周长比，再结合周长差列方程求解即可． 【详解】解：∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，且两个相似多边形的面积之比为， ∴它们的相似比为． ∵相似多边形的周长比等于相似比， ∴它们的周长比为． 设较大多边形的周长为，较小多边形的周长为， ∵它们的周长之差为20， ∴， 解得， ∴较大多边形的周长为． 故选：A． 【变式5-2】.（25-26九年级上·陕西汉中·期末）若四边形四边形，且，，则四边形与四边形的周长比为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的周长比等于相似比． 相似多边形的周长比等于相似比，相似比由对应边和的比值确定，据此即可求解． 【详解】解：因为四边形∽四边形， 所以对应边成比例，相似比为， 因为周长比等于相似比， 四边形与四边形的周长比为， 故答案为：． 【变式5-3】.（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）已知五边形五边形，且五边形与五边形的周长比为，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形的周长比等于相似比，而相似比等于对应边的比求解即可． 【详解】解：∵五边形与五边形的周长比为， ∴五边形与五边形的相似比为， ∴的值为． 故答案为：． 题型 06 相似多边形面积相关计算 面积之比等于相似比的平方；已知面积比求线段要开平方。 【典例6】.（2026·江苏盐城·三模）平行四边形与平行四边形相似，，的对应边，平行四边形的面积为，则平行四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质，相似多边形面积比等于相似比的平方，结合已知对应边长度和原平行四边形面积，即可求出目标平行四边形的面积. 【详解】解：平行四边形与平行四边形相似，，的对应边， 相似比为， 由相似多边形面积比等于相似比的平方，得：， ， ， 解得. 【变式6-1】.（2026·山西临汾·三模）五星红旗是中华人民共和国的国旗，形状均为矩形，彼此相似．现有两面国旗的长分别是和，则这两面国旗的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用相似多边形面积比等于相似比的平方求解即可，先根据长求出相似比，再计算面积比． 【详解】解：∵两面国旗相似，对应边的比等于相似比, ∴两面国旗的相似比为． 又∵相似多边形的面积比等于相似比的平方, ∴两面国旗的面积比为． 【变式6-2】.（2026·广东云浮·一模）如图，四边形四边形EFGH．若，，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，先求出两个四边形的相似比，再计算面积比即可． 【详解】解：四边形四边形，且，， 它们的相似比为， 它们的面积之比为， 即． 【变式6-3】.（25-26九年级下·宁夏中卫·开学考试）在长，宽的矩形中截去一个矩形（阴影部分），使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形的面积为____． 【答案】8 【分析】原矩形的长宽之比为，根据相似多边形的性质可知，留下的矩形长宽之比也为，据此即可求解． 【详解】解：原矩形的长宽之比为， ∵留下的矩形与矩形相似， ∴留下的矩形长宽之比为， 由图可知，留下的矩形的长为， ∴留下的矩形的宽为， ∴留下的矩形的面积为． 题型 07 命题辨析类（矩形、菱形、正多边形相似判断） 矩形看邻边比值；菱形看内角；边数相同的正多边形一定相似。 【典例7】.（2026·上海长宁·一模）现有甲、乙、丙三个矩形，矩形甲的一组邻边长为4与9，矩形乙的一组邻边长为3与2，矩形丙的一组邻边长为与2，那么三个矩形间相似关系判断正确的是（   ）． A．甲、乙相似 B．乙、丙相似 C．丙、甲相似 D．甲、乙、丙都不相似 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的判定，掌握好相关知识是关键． 判断矩形相似需比较长宽比是否相等，通过计算各矩形的长宽比进行判断． 【详解】解：矩形甲的长宽比为，矩形乙的长宽比为，矩形丙的长宽比为， ∵，且矩形各内角都是， ∴甲、丙相似，和乙不相似． 故选：C． 【变式7-1】.（25-26九年级上·四川成都·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．所有的矩形都相似 B．正三棱柱的俯视图不一定是等边三角形 C．方程只有一个实数根 D．反比例函数图象是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】B 【分析】本题考查几何视图、方程根的性质以及函数图象的对称性。选项A错误，因为矩形相似需对应边成比例，并非所有矩形都满足；选项B正确，因为正三棱柱的俯视图取决于放置方式，不一定是等边三角形；选项C错误，方程有两个实数根；选项D错误，反比例函数图象既是轴对称图形也是中心对称图形． 【详解】解：∵ A、矩形相似需对应角相等且对应边成比例，但矩形长宽比不同时不相似，∴ A错误； ∵ B、正三棱柱若侧放，俯视图可为矩形，不一定为等边三角形，∴ B正确； ∵ C、方程化为，即，解得或，有两个实数根，∴ C错误； ∵ D、反比例函数的图象关于原点中心对称，也关于直线和轴对称，∴ D错误； 故选：B． 【变式7-2】.（25-26九年级上·上海·期中）下列命题正确的是（   ） A．等边三角形都是相似图形； B．矩形都是相似图形； C．菱形都是相似图形； D．等腰三角形都是相似图形． 【答案】A 【分析】本题考查相似图形的识别，相似图形的形状相同，但大小不一定相同．根据相似图形的定义，对各选项逐一判断即可得答案． 【详解】解：A、等边三角形都是相似图形，故该选项符合题意； B、矩形的长和宽不能确定，不一定相似，故该选项不符合题意； C、菱形各角不能确定，不一定相似，故该选项不符合题意； D、等腰三角形的底角与顶角均不能确定，边长也不确定，不一定相似，故该选项不符合题意； 故选：A． 【变式7-3】.（25-26九年级上·上海·期中）下列命题正确的是（   ） A．平行四边形都相似 B．边长相等的六边形一定相似 C．有一个角相等的两个等腰梯形一定相似 D．两个等腰直角三角形相似 【答案】D 【分析】本题考查相似图形的判定条件，即对应角相等且对应边成比例．选项A、B、C均无法保证所有对应角相等或对应边成比例，而选项D的等腰直角三角形所有对应角都相等，因此一定相似． 【详解】解：∵ 相似多边形需满足对应角相等且对应边成比例． A：平行四边形，对应角不一定相等，故A错误． B：边长相等的六边形，如正六边形与不规则六边形，对应角不一定相等，故B错误． C：有一个角相等的两个等腰梯形，其他对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，故C错误． D：等腰直角三角形的角均为，对应角相等，且对应边成比例，故D正确． 故选：D． 题型 08 矩形装裱、外围加宽相似问题 设小路宽度参数，假设相似列比例方程，检验结果是否符合实际意义。 【典例8】.（25-26九年级上·山东青岛·期中）如图，装裱一幅宽、长的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的上下部分宽都为，若装裱上去的左右部分的宽都为（），则________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了相似的性质，解题的关键是熟练掌握相似的图形对应边成比例．根据相似图形对应边成比例即可进行解答． 【详解】解：∵装裱完成后的大矩形与原矩形画相似， ∴或， 解得：或（不合题意舍去）． 故答案为：9 ． 【变式8-1】.（25-26九年级上·广西钦州·期末）（1）解方程：． （2）如图，一个矩形广场的长为，宽为，广场外围两条纵向小路的宽均为，如果两条横向小路的宽都为，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似？ 【答案】（1），；（2）当x为时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 【分析】本题考查了解一元二次方程，相似多边形的性质：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． （1）利用因式分解法求解即可； （2）内外矩形的对应角相等，所以当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似，然后利用比例性质求出x即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得， 解得，； （2）解：当时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 解得； 答：当x为时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似． 【变式8-2】.（2025九年级上·全国·专题练习）如图，社区人员在一块一边靠墙的矩形小花园周围铺上石子路，已知矩形小花园的长为，宽为，纵向石子路的宽为，横向石子路的宽为，石子路外边缘形成矩形． (1)若石子路的宽均为（即），石子路外边缘的矩形与矩形小花园相似吗？ (2)要使矩形矩形，则石子路的宽度x与y的比值应为多少？ 【答案】(1)不相似 (2) 【分析】本题考查相似图形的判定，熟练掌握相似图形的定义是解题的关键． （1）根据相似图形的定义，结合已知条件求得外框外边缘所围成的长与宽的比以及矩形中长宽的比，进而比较作答即可． （2）用含x、y的式子表示矩形的边长，根据相似多边形的性质（对应边成比例），结合，得；代入边长表达式化简求解得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，． ∴，． ∵， ∴石子路外边缘的矩形与矩形小花园不相似． （2）解：同（1）可知，，． 当矩形矩形时，， 即． ∴． 【变式8-3】.（25-26九年级上·山西太原·期中）综合与实践 学校组织“数学文化节”，启航小组承担了校园宣传栏主题展板的设计任务，活动报告如下： 活动任务 设计数学文化节展板 成员 组长：组员： 基本信息 有两张标准矩形板（一种制作展板的常用材料），尺寸为． 版面规划 用矩形表示整张板． 展板一： 如图1，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间（即矩形）为图案区域． 展板二： 如图2，在展板上下边缘各留宽为的空白，左右边缘各留宽为的空白，中间部分纵向分割成四个全等的矩形图案区域，且每相邻两个矩形区域之间的间隔均为．    问题解决 确定版面图案区域的具体信息，如下： …… (1)根据版面规划，若展板一中，且图案区域与整块展板相似（即矩形矩形，求的值； (2)根据版面规划，若展板二中的四个矩形图案区域都与整块展板相似（如矩形矩形），则的值为___________． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查相似多边形； （1）计算矩形的两边长，根据相似多边形的对应边成比例解答即可； （2）计算矩形的两边长，根据相似多边形的对应边成比例解答即可． 【详解】（1）解：矩形的两边长分别为，， ∵的两边比为，且与矩形相似， ∴， 解得； （2）解：矩形的两边为，， ∵的两边比为，且与矩形相似， ∴， 解得， 故答案为：． 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．矩形都是相似图形 B．正方形都是相似图形 C．各边对应成比例的多边形是相似多边形 D．相似多边形对应角的比叫作相似比 【答案】B 【分析】判断相似需同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件； 【详解】解：∵ 矩形的对应边不一定成比例， ∴ A错误； ∵ 正方形的对应角相等，对应边成比例， ∴ B正确； ∵ 各边对应成比例的多边形对应角不一定相等， ∴ C错误； ∵ 相似比是对应边的比， ∴ D错误； 2．如图，将矩形划分成四个全等的矩形．若要使每一个矩形与原矩形相似，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，根据全等矩形的性质，得出小矩形的长和宽，从而求出的值． 【详解】解：已知矩形划分成四个全等的矩形， 矩形的宽为，长为， 小矩形的宽为，长为， 矩形与四个小矩形相似， ， ， ，， ． 3．如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形的数学检测卷等比例缩小，其中缩小后的长为，则缩小后的面积为（   ） A．160 B．80 C．40 D．20 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应边成比例，即可求解． 【详解】解：设缩小后的宽是， ∵缩小前后的两个矩形相似， ∴， 解得， ∴缩小后的宽是， ∴缩小后的矩形的面积为． 二、填空题 4．如图1是古希腊时期的巴台农神庙，将图1中的虚线画成如图2所示的矩形，当以矩形的宽为边作正方形时，发现矩形矩形，则的值为___________． 【答案】 【分析】先得出，再根据相似三角形的性质可得，进而可得，设，解方程即可得． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， 设， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， 经检验，是所列方程的解， ∴． 5．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为的矩形．若墙上投影画面的短边长为1.2米，则投影画面的长边长为______． 【答案】 【分析】投屏后画面形状保持不变，投影矩形与原屏幕矩形为相似图形，对应边成比例，根据原矩形边长比列比例式即可求解投影长边长． 【详解】解：投屏后画面形状保持不变， 投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， 设投影画面的长边长为， 原矩形相邻两边长之比为， 即长边短边， 可得， 解得， ∴投影画面的长边长为． 6．如图，四边形四边形，则________． 【答案】 20 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 三、解答题 7．如图，四边形四边形，求的长及的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查了相似四边形的性质，四边形内角和性质． 根据相似四边形的性质可得，代入求的值，然后根据四边形内角和定理得出度数． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴． ∵， ∴， 解得． ∴． 8．如图所示，有一块长为、宽为的玻璃，为了保护玻璃，需要镶上宽的铝合金边框，那么边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？ 【答案】解：不相似，理由： ， ，， ， ，， ， 不相似． 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，灵活运用相似多边形的对应边成比例这一判定定理是解题的关键．先根据边框宽度计算出内边缘矩形的长和宽，再分别计算内外矩形对应边的比值，通过判断比值是否相等来确定两个矩形是否相似． 【详解】略 9．如图，矩形纸片的边长为，动直线分别交AD，BC于E，F两点，且． (1)若直线是矩形的对称轴，且沿着直线剪开后得到的矩形与原矩形相似，求的长． (2)若为，试探究在边上是否存在点，使剪刀沿着直线剪开后，所得到的小矩形纸片中存在与原矩形纸片ABCD相似的情况．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在．或 【分析】（1）先根据矩形相似可得出两矩形的对应边成比例，设，再把、的值代入关系式即可得出的值，进而可求出的值； （2）假设存在矩形与矩形相似，则必与对应，必与对应，由相似多边形的对应边成比例即可得出的长，进而可得出的长，进而可得出结论． 【详解】（1）矩形矩形， ． 设． ， ，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ． （2）存在． 假设存在矩形与矩形相似，则一定与对应，一定与对应， ， ． 又，， ， ，而， 依据对称性考虑，一定存在当时，使矩形与矩形相似的情况． 综上所述，当或时，在剪开所得到的小矩形纸片中存在与原矩形相似的情况． 【点睛】本题考查的是相似多边形的性质，即相似多边形的对应边成比例，解题的关键是掌握相似多边形的判定． 1．如图，一张矩形报纸的宽，长，直线，且与矩形两边分别交于点E，F，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，将报纸沿直线折叠，则边落在直线上，若矩形矩形，则m的值为____________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似多边形的性质、折叠的性质，设直线交于点，交于点，由折叠的性质并结合矩形的性质可得，再由矩形矩形，得出，即，求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：设直线交于点，交于点， ， 由矩形的性质可得：， 由折叠的性质可得：，， ∴， ∵， ∴， ∵矩形矩形， ∴， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， 故答案为：． 2．在研究相似问题时，两位同学的观点如下： 甲：将矩形按图1的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将菱形按图2的方式向外扩张，得到新的菱形，它们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似． 对以上两人的观点，下列判断正确的是（     ） A．甲错 B．乙错 C．都错 D．都对 【答案】A 【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断． 【详解】解：如图所示， 甲：设原矩形边长为，， 向外扩张一个单位后边长变为，， 则， ∴新矩形与原矩形不相似，甲说法不正确； 乙：将边长为的菱形按图2的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行， 因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似， 故乙正确． 3．敦煌藻井是敦煌石窟图案中的精华，位于石窟顶部中央，绘制了从东晋十六国至元代末年的千年时段，它被称为“天空的艺术”．如图1是方井套叠藻井，由三层方井以45度角交错套叠而成，层层递进极具纵深感．如图2是抽象的几何图形，外切于的正方形，正方形，正方形以45度角交错套叠而成，其中，则正方形与正方形的相似比是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得，为等腰直角三角形，可得到，同理，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形，均为正方形， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴正方形与正方形的相似比是． 4．如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为． (1)证明：四边形是正方形； (2)若矩形与原矩形相似，．求的长． 【答案】(1) 证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得：，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形； (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，由折叠得，，即可证得四边形是正方形； （2）先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由折叠可得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值舍）， ∴． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，矩形的性质，正方形的性质和判定，折叠的性质，相似多边形的性质，熟练掌握折叠的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 5．阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 阅读以下材料，完成相应任务： 标准对数视力表的设计基于相似图形的原理，视力表中不同视力对应的“E”形图案都是相似的，且视力值V与“E”的长a（单位：）满足反比例关系：（k为常数）．已知视力1.0对应的“E”长，同时空白缺口宽d为长a的． 定义：若两个相似图形的相似比为，则称这两个图形的“视觉比”为（视觉比反映图形在视觉中的大小感知）．    任务： (1)求常数k的值，并写出当时，“E”长a与视力V之间的函数解析式； (2)若视力对应的“E”为图形，视力对应的“E”为图形，已知的空白缺口宽为，的空白缺口宽为，求证：，并求出与的“视觉比”． 【答案】(1) (2) 证明：时，即， 时，即， 则，， ， ， 又 与的相似比为， 与的“视觉比”为． 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的特征，以及用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤是解题的关键． （1）根据题意，利用待定系数法求解即可； （2）根据解析式，先得到，进而得到，再计算比值即可证得，结合“视觉比”的概念求解即可． 【详解】（1）由题可知，时，， ，解得， 答：“E”长a与视力V之间的函数解析式为； （2）略 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $