22.3.1 相似三角形（教学设计）-2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形的定义、性质及相似比，通过复习相似图形、全等三角形类比导入，构建从“全等等量”到“相似比例”的学习支架，衔接成比例线段与后续判定定理。 资料特色在于分层练习与模型训练结合，借助A型/X型模型图、动态演示及易错对比素材，培养几何直观与推理意识。例如利用“找对应、列比例、解方程”流程强化性质应用，帮助学生规范书写与精准识图，为教师提供系统教学资源，提升课堂效率。

22.3 相似三角形相似三角形 教案 一、教材分析 《相似三角形》是相似图形章节的核心重点课时，承接成比例线段、平行线分线段成比例、相似图形的基础内容，是平面几何的核心知识模块。本节课正式引入相似三角形的定义、表示方法与基本性质，是后续学习相似三角形判定定理、相似三角形应用、图形位似的必备基础。相似三角形是初中几何体系中继全等三角形之后最重要的图形关系，广泛应用于几何计算、证明、实际测量等中考高频题型，既是对前期比例几何知识的升华，也是学生从“全等等量关系”进阶到“相似比例关系”的关键转折点，具有极高的教学价值与衔接作用。 二、学情分析 九年级学生已经熟练掌握全等三角形的定义、性质与判定，理解相似图形的核心特征，掌握成比例线段的计算方法，具备良好的几何识图与逻辑推理能力。学生能够直观感知三角形相似的形态，但存在多处认知难点：容易混淆相似三角形与全等三角形的概念，忽略相似三角形书写的对应顺序，无法精准找准对应顶点、对应边、对应角；对“对应角相等、对应边成比例”的性质应用不熟练，容易出现比例式列写错误、相似比颠倒等问题，需要通过规范定义、模型归纳、错题辨析逐一突破。 三、教学目标 1. 知识与技能：理解相似三角形的定义与相似比概念，掌握相似三角形的规范书写格式；掌握相似三角形的基本性质，明确相似三角形对应角相等、对应边成比例；能准确识别相似三角形的对应元素，利用定义和性质进行简单的边长、角度计算。 2. 过程与方法：经历观察图形、类比全等三角形、归纳相似定义、探究性质的完整过程，培养几何识图能力、类比推理能力和比例运算能力，建立比例几何的思维模式。 3. 情感态度与价值观：体会类比迁移的数学思想，感受相似图形的规整性与逻辑性，通过规范书写、精准识图训练养成严谨的几何学习习惯，提升学生探究几何综合问题的自信心。 四、教学重难点 重点：相似三角形的定义、表示方法与基本性质；利用性质求解三角形边长与角度。 难点：根据图形准确找准相似三角形的对应元素；理解相似比的有序性，规避相似比颠倒、书写顺序混乱的错误。 五、教学准备 多媒体课件、相似三角形动态演示图、A型、X型基础模型图、分层练习题、易错对比素材 六、教学过程 （一）复习旧知，类比导入（5分钟） 回顾相似图形的核心定义（形状相同、大小不同）、成比例线段性质，复习全等三角形的定义与性质。设问引导学生类比思考：形状相同、大小不同的两个三角形是什么关系？全等三角形和这类三角形有什么区别？通过大小不等的两个等边三角形、缩放后的直角三角形图形展示，让学生直观感知三角形相似的特征，顺势导入本节课课题：相似三角形。 （二）探究新知，构建体系（22分钟） 1. 相似三角形定义归纳 结合相似图形特征，精准归纳定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。重点拆解定义双重条件：角对应相等、边对应成比例，二者缺一不可。同时强调：全等三角形是相似比为1的特殊相似三角形，完善图形层级关系。 2. 规范书写与对应原则 讲解相似三角形的符号“∽”，严格规范书写要求：书写相似三角形时，对应顶点必须按顺序书写。例如△ABC∽△DEF，默认∠A与∠D、∠B与∠E、∠C与∠F对应，AB与DE、BC与EF、AC与DF对应，杜绝随意调换顶点顺序的错误，帮助学生快速锁定对应元素。 3. 相似比概念讲解 定义相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比。着重强调相似比的有序性：若△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为1/k，学生极易颠倒前后相似比，通过正反对比例题强化认知。 4. 相似三角形核心性质 归纳基础性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例。结合基础A型、X型模型，示范利用性质求未知角度、未知边长的完整步骤，固化“找对应、列比例、解方程”的解题流程，夯实基础应用能力。 5. 高频易错点辨析 汇总典型易错点：顶点书写无序导致对应元素找错、相似比颠倒、误以为“角相等即可判定相似”、混淆相似与全等的性质。通过正误例题对比，纠正学生思维误区，强化解题严谨性。 （三）分层练习，巩固提升（10分钟） 基础练习：根据相似三角形书写格式找对应边、对应角，简单角度与边长计算；提升练习：已知相似三角形边长，求解相似比、利用比例性质求线段长度；拓展练习：结合基础几何模型，综合判断三角形相似关系并求值。学生独立完成后小组互评，教师针对对应错误、相似比混乱等共性问题集中讲评，规范解题格式。 （四）课堂小结，梳理知识（3分钟） 引导学生自主总结：相似三角形定义、书写规范、相似比的有序性、核心性质。教师升华：相似三角形的核心是“对应关系”，找准对应元素是解题关键，本节课的定义与性质是后续相似判定、综合应用的核心基础。 （五）布置作业（2分钟） 基础作业：教材课后习题，熟练相似三角形对应识别、角度与边长计算；拓展作业：整理相似与全等的区别、相似比易错点，梳理基础解题模型。 七、板书设计 相似三角形 1. 定义：三角分别相等，三边对应成比例 2. 符号：∽ 核心：顶点顺序对应 3. 相似比：有序、双向互为倒数 4. 性质：对应角相等，对应边成比例 5. 关系：全等是相似比为1的特殊相似 6. 易错：顺序混乱、相似比颠倒 八、教学反思 本节课采用类比全等三角形的方式导入新知，知识衔接自然，符合学生认知规律。通过概念拆解、规范书写、模型训练，大部分学生能够掌握相似三角形的基本定义与性质，可独立完成基础计算题型。课堂教学中发现，学生最大的问题是不重视顶点书写顺序，导致对应边、对应角识别错误，同时对相似比的有序性理解不透彻，容易出现比值颠倒的问题。后续教学中，需严格规范书写格式，强化对应元素识别专项训练，多设置对比变式题，帮助学生养成严谨的几何思维，为后续相似三角形判定定理的学习筑牢根基。 1.相似三角形 1．了解相似三角形的有关概念；(重点) 2．掌握利用平行线法判定三角形相似，会应用平行线法判定三角形相似来解决问题；(重点) 3．应用平行线法判定三角形相似来解决问题．(难点) 一、情境导入 如图，在△ABC中，D为边AB上任一点，作DE∥BC，交边AC于E，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE与△ABC是否相似． 二、合作探究 探究点一：相似三角形的有关概念 如图所示，已知△OAC∽△OBD，且OA＝4，AC＝2，OB＝2，∠C＝∠D，求： (1)△OAC和△OBD的相似比； (2)BD的长． 解析：(1)由△OAC∽△OBD及∠C＝∠D，可找到两个三角形的对应边，即可求出相似比；(2)根据相似三角形对应边成比例，可求出BD的长． 解：(1)∵△OAC∽△OBD，∠C＝∠D，∴线段OA与线段OB是对应边，则△OAC与△OBD的相似比为＝＝； (2)∵△OAC∽△OBD，∴＝，∴BD＝＝＝1. 方法总结：相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法． 探究点二：利用中位线判定三角形的相似 【类型一】 利用三角形中位线定理求线段的长 如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 A. B．3 C．6 D．9 解析：∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3，又∵AF平分∠CAB，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC＝2AD＝6.故选C. 方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键是熟记性质并熟练应用． 【类型二】 运用三角形的中位线性质进行证明 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足为点M，延长CM交AB于点D，求MN的长． 解析：为证MN为△BCD的中位线，应根据三线合一，得到DM＝MC，即可解决问题． 解：∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，∴AD＝AC＝3，DM＝CM.∵BN＝CN，∴MN为△BCD的中位线，∴MN＝(5－3)＝1. 方法总结：当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点．如已知一个三角形一边上的高又是这边所对的角平分线时，根据“三线合一”可知，这实际上是又告诉了我们一个中点． 探究点三：相似三角形的判定 【类型一】 利用平行判定三角形相似 如图，在▱ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB＝3BE，DE与BC相交于点F，请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比． 解析：由平行四边形的性质可得：BC∥AD，AB∥CD，进而可得△EFB∽△EDA，△EFB∽△DFC，再进一步求解即可． 解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，AB∥CD，∴△EFB∽△EDA，△EFB∽△DFC，∴△DFC∽△EDA，∵AB＝3BE，∴相似比分别为1∶4，1∶3，3∶4. 方法总结：求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角形的先后顺序． 【类型二】 利用平行判定相似三角形并求线段的长 如图，已知AB∥EF∥CD，AD与BC相交于点O. (1)如果CE＝3，EB＝9，DF＝2，求AD的长； (2)如果BO∶OE∶EC＝2∶4∶3，AB＝3，求CD的长． 解析：(1)根据平行线分线段成比例可求得AF＝6，则AD＝AF＋FD＝8；(2)根据平行线AB∥CD分线段成比例知BO∶OE＝AB∶EF，结合已知条件求得EF＝6；同理由EF∥CD推知EF与CD之间的数量关系，从而求得CD＝10.5. 解：(1)∵CE＝3，EB＝9，∴BC＝CE＋EB＝12.∵AB∥EF，∴＝，则＝.又∵EF∥CD，∴＝，则＝，∴＝，即＝，∴AF＝6，∴AD＝AF＋FD＝6＋2＝8，即AD的长是8； (2)∵AB∥CD，∴BO∶OE＝AB∶EF.又∵BO∶OE＝2∶4，AB＝3，∴EF＝6.∵EF∥CD，∴＝.又∵OE∶EC＝4∶3，∴＝，∴＝，∴CD＝EF＝10.5，即CD的长是10.5. 方法总结：运用平行线分线段成比例的基本事实的推论一定要找准对应线段，以防解答错误． 三、板书设计 1．相似三角形的定义及有关概念； 2．利用三角形的中位线得相似； 3．利用平行判定三角形相似． 本节课宜采用探究式教学，教师在教学中是学生学习的组织者、引导者、合作者和共同研究者．鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．上课时教师只在关键处点拨，在不足时补充．教师与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围 学科网（北京）股份有限公司 $