专题21.3 实践与探索 一元二次方程的应用（高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

本初中数学讲义聚焦列一元二次方程解应用题核心知识点，系统梳理从基本步骤到数字、增长率、销售利润、几何面积等常见题型的解题脉络，通过公式归纳、例题解析与即学即练构建学习支架，助力学生掌握等量关系建立与实际意义检验方法。 资料以实际问题为载体，通过增长率问题、几何面积计算等实例培养学生数学眼光，借助方程建模过程发展推理意识与模型观念，课中辅助教师分层教学，课后通过变式练习与综合题帮助学生查漏补缺，提升解决实际问题能力。

专题21.3 实践与探索 教学目标 1.掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤，能准确分析各类实际问题中的等量关系。 2.能运用一元二次方程解决数字、增长率、销售利润、几何面积等常见类型的实际问题。 3.体会数学建模思想，能自主检验方程的解是否符合实际意义，提升解决实际问题的能力。 教学重难点 1.重点 （1）列一元二次方程解应用题的基本步骤 （2）增长率、销售利润、几何面积三类高频题型的等量关系 （3）方程解的实际意义检验 2.难点 （1）复杂问题中等量关系的梳理与建立 （2）几何图形中面积的转化与边长限制条件 （3）多变量问题中的代数式表示与方案筛选 知识点01：数字与循环传播问题 1.数字问题：多位数的数位表示 数的类型 数位设定 代数式表示 两位数 十位数字为，个位数字为 三位数 百位数字为，十位数字为，个位数字为 2.循环比赛问题 单循环赛（每两队只赛一场）：若有支参赛队伍，总比赛场次为； 双循环赛（每两队赛两场）：总比赛场次为。 3.传播与分支问题 传播模型：初始传染源为1个，每轮每人传染个人，两轮传染后总患病人数为； 分支模型：主干长出个支干，每个支干再长出个小分支，总数为。 【即学即练】 1．在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（    ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 【答案】A 【分析】根据诗句给出的数量关系找到等量关系，列一元二次方程求解，再结合“而立之年督东吴”的条件对根进行取舍即可得到答案． 【详解】解：设这位风流人物去世年龄的十位数字为，则个位数字为，年龄可表示为． ∵个位平方与寿符， ∴可得方程 整理得， 解得，． 又∵而立之年督东吴，说明年龄超过30岁，时年龄为25岁，不符合题意舍去， ∴，个位数字为，年龄为岁． 2．有一个人患流感，经过两轮传染后共有个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】传染问题中传染源传染后仍计入患病人数，设每轮传染中平均一个人传染人，根据两轮传染后总患病人数为列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为， 初始有人患病，第一轮传染后共有人患病，第二轮传染中，新增患病人数为，两轮后总患病人数为， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 则每轮传染中平均一个人传染的人数为． 知识点02：平均增长率与降低率问题 1.核心公式：设变化前的基数为，每次的平均增长（降低）率为，变化次数为，变化后的最终量为 增长率问题： 降低率问题： 2.注意事项：增长率可大于1，降低率必须小于1；求解后需检验结果是否符合实际意义。 【即学即练】 1．某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出第二、三、四季度实现垃圾分类的社区个数，根据总个数为285列方程，即可判断正确选项． 【详解】解：∵第二季度实现垃圾分类的社区个数为，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率为， ∴第三季度实现垃圾分类的社区个数为，第四季度实现垃圾分类的社区个数为， ∵到本年底全部285个社区都要实现垃圾分类， ∴三个季度实现垃圾分类的总个数为285， 可得方程， 因此正确选项为D． 9．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月增长率为x，由题意列方程应为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为平均增长率实际问题，解题思路是先求出每月的营业额，再根据第一季度总营业额等于三个月营业额之和列方程． 【详解】解：平均每月增长率为，则二月份营业额为万元，三月份营业额为万元， 根据题意，得， 即． 知识点03：销售利润问题 1.基本等量关系 单件利润=售价-进价 总利润=单件利润×销售量=总收入-总支出 利润率= 2.解题关键：根据“单价变化量与销量变化量的对应关系”，用含未知数的代数式表示调价后的单件利润和销售量。 【即学即练】 1．某商店销售一批进价为每件元的商品，售价为每件元，每天可卖出件，若每天的利润为元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用总利润每件利润销售量的关系，分别确定每件利润和销售量，即可列出方程． 【详解】解：每件元的商品，售价为每件元， 每件商品的利润为元， 又每天销售量为件，每天的利润为元， 可列方程为． 2．2025年11月，伴随着“绿茵风云动，足梦彩云南”的口号云南省城市足球联赛正式开赛，全省十六个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让云南球迷的足球梦想在七彩云南绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显云南“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“风风”和“云云”的风云球服深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款风云球服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份的销售量为400件． (1)求该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率； (2)从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式，经试验，发现该款风云球服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款风云球服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1) 月平均增长率为 (2) 该款风云球服降价元时，月销售利润达元 【分析】（1）根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可； （2）根据总利润等于单价利润乘以销量，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：设该款风云球服销售量的月平均增长率为， 根据题意得， 解得，（舍去）； 答：该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款风云球服降价元时，月销售利润达元， 降价后每件球服的利润为元，月销售量为件， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）； 答：该款风云球服降价元时，月销售利润达元. 知识点04：几何图形面积问题 1.常见题型：边框加宽问题、甬道修路问题、靠墙围矩形问题、图形折叠面积问题等。 2.核心思路：通过平移、割补、拼接，将不规则图形转化为规则的矩形、三角形等，利用面积公式建立等量关系。 3.易错提示：靠墙围矩形问题需注意墙长的限制条件；带门的篱笆问题，门的宽度需计入篱笆总长度；所有结果必须检验是否符合实际长度限制。 【即学即练】 1．春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设小路的宽为，根据矩形的面积公式（将绿化区域合并成矩形），进而即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设小路的宽为，则绿化区域的长为，宽为， 根据题意，得． 2．小高家有一块空地，空地上有一面长为的围墙，小高打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为的门，门不消耗木栏，设长为． (1)如图①，当时， ①____________（用含的代数式表示）； ②若围成的养蜂场面积为，求的长； (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到？并说明理由． 【答案】(1)①② (2)解：当时，养蜂场的面积不能达到， 理由如下： 设时，养蜂场的面积达到， 则， 解得，， ∴，即， ， 方程无实数解， 当时，养蜂场的面积不能达到． 【分析】（1）①设的长度为，根据矩形的周长公式可得； ②如果围成的养蜂场面积为，可列方程，解方程即可求出的长度； （2）设时，，养蜂场的面积达到，可列方程，一元二次方程根的判别式，所以方程无实数解，即可得到答案． 【详解】（1）①解：设的长度为， 四边形是矩形， ， 根据题意得，； ②解：围成的养蜂场面积为， 根据题意得，， 整理得，， 解得，，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去， 答：若围成的养蜂场面积为，则的长为米． （2）略 知识点05：工程与行程问题 1.工程问题 基本关系：工作总量=工作效率×工作时间 无具体总量时，常将总工作量设为1，合作工作效率为各主体效率之和。 2.行程问题 基本关系：路程=速度×时间 相遇、追及问题借助线段图分析路程关系；匀变速运动可利用平均速度计算总路程。 【即学即练】 1．如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒的速度）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可知，， 则， 解得（负值舍去）． 2．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 题型01数字问题 设某一数位上的数字为未知数，用数位规律表示出完整的多位数，再根据题目中的数量关系列方程。 【典例1】. （25-26九年级上·江苏连云港·期中）有一个正数m，m与1的和乘以m与1的差仍得m，则m的值为____． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据方程的特点选择合适的求解方法．根据题意列出方程，解方程后根据正数条件确定解． 【详解】解：由题意，得． 整理得． 解得． 因为是正数， 所以． 故答案为：． 【变式1】. （25-26九年级上·江苏宿迁·期中）两个连续的偶数乘积为168，设较小的偶数为，可得方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了列一元二次方程，设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据“两个连续的偶数乘积为168”列出方程即可． 【详解】解：设较小的偶数为，则较大的偶数为， 由题意得：， 故答案为：． 【变式2】. （25-26八年级下·福建福州·期末）2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 【答案】9 【分析】设四个数中最小数为，则最大数为，再根据最小数与最大数的乘积为153列一元二次方程求解，最后选择符合实际的解即可． 【详解】解：设四个数中最小数为，则最大数为 由题意得：， 整理得：， ， 即， 解得：（舍）， 答：最小数为9． 【变式3】. （25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为153，则这个最小数为___________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 先观察这四个数的特点可知左上角最小数与右下最大数的差是8，再设未知数，根据乘积等于153列出方程，求出解即可. 【详解】解：设最小数为x，则最大数为，根据题意，得 ， 解得（舍去），， 所以这个最小数为9. 故答案为：9. 题型02单循环与双循环问题 握手、比赛类单循环用列方程；送贺卡、双循环比赛用列方程，注意区分是否重复计数。 【典例2】. （25-26八年级下·云南昆明·期末）在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（    ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 【答案】C 【分析】根据双循环赛制得到总比赛场数与球队数量的关系，列方程求解即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支．∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为． 根据题意得． 整理得． 解得，． ∵球队数量为正整数，舍去． ∴，即参加小组赛的球队有8支． 【变式1】. （25-26八年级下·山东东营·期末）为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环比赛的规则，计算总比赛场数列方程，用到的是计数去重的思路，即可得到符合题意的方程． 【详解】解：依题意，共有个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛， 又∵ 两队之间进行一场比赛， ∴ 实际总比赛场数为， 已知总比赛为36场， 因此列方程得，符合题意的为选项A. 【变式2】. （25-26八年级下·安徽合肥·期末）某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据从人中选出2人的不同组合总数等于45种建立等式，再整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：设该班级参加的学生有人，从人中选2名志愿者的不同组合数为， 根据题意列方程得： 两边同乘2得： 移项化为一般形式得： 【变式3】. （25-26九年级上·四川绵阳·期末）元旦节时，某学习小组每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则该学习小组有________人． 【答案】 12 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个人送出张贺卡建立方程是解题的关键．设这个小组有x个人，则每个人送出张贺卡，再根据全组共送贺卡132张建立方程求解即可． 【详解】解：设这个小组有x个人， 由题意得： 解得（舍去）， ∴这个小组有12人 故答案为：12． 题型03传播与分支问题 明确初始传染源数量和每轮传染数，两轮传播总数=初始数+第一轮新增+第二轮新增，分支问题按“主干-支干-小分支”分层计数列方程。 【典例3】. （25-26九年级上·安徽芜湖·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合“新增120人患病”得到总人数的等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有1名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， 又∵经过两轮传染后新增120人患病，总患病人数为， ∴列方程得 ， ∵人数为正数，， ∴， 解得， 故选：A． 【变式1】. （25-26九年级上·海南·阶段检测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则每个支干长出（    ） A．2根小分支 B．3根小分支 C．4根小分支 D．5根小分支 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用． 设每个支干长出根小分支，根据题意列方程，求解即可． 【详解】解：设每个支干长出根小分支，为正整数， 根据题意可得，为正整数， 解得， ∴每个支干长出5根小分支． 故选：D． 【变式2】. （25-26九年级上·广东广州·阶段检测）两位物理科代表在老师的培训下，学会了如何探究凸透镜成像规律的实验，回到班上后，第一节课每位科代表手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每位同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班人恰好都会做这个实验了．求每位同学每节课能教会多少名同学？ 【答案】名 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每位同学每节课能教会名同学，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每位同学每节课能教会名同学， 根据题意得，， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：每位同学每节课能教会名同学． 【变式3】. （25-26九年级上·湖北恩施·期中）某种传染病在羊群中传播迅猛，平均一头羊每隔5小时能传染x头羊，现一养羊场有1头羊感染此病，若不及时控制，经过10小时后会有100头羊感染上此病，依题意可列方程________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确得到等量关系是解题的关键． 根据题意，每5小时每头感染羊传染头羊，经过10小时，感染羊数量从1头开始，经过两次传染后达到100头，由此列出方程． 【详解】解：初始有1头羊感染。 经过第一个5小时，这1头羊传染头羊，此时总感染羊数为， 经过第二个5小时，现有头感染羊每头传染x头羊，新感染羊数为， 故总感染羊数变为， 根据题意，经过10小时后总感染羊数为100头， 故列方程可得， 故答案为：． 题型04平均增长率与降低率问题 找准基数、最终量和变化次数，直接套用模型列方程；连续多期总量问题需累加各期数量。 【典例4】. （25-26八年级下·湖南长沙·期末）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以每次降价前的价格为计算基数，结合最终售价列方程即可． 【详解】解：∵商品原价为289元，平均每次降价的百分率为， ∴第一次降价后的售价为元， ∵第二次降价以第一次降价后的售价为基数， ∴两次降价后的售价为元， ∵ 两次降价后售价为256元， ∴可列方程． 【变式1】. （25-26八年级下·吉林松原·期末）松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026年5月1日当天查干湖景区累计客流量为1.6万人次，第三天客流量达到2.5万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ 【答案】(1)； (2)万人次． 【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意列方程，解方程，再根据实际意义取舍即可； （2）根据增长率列式计算即可． 【详解】（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为． （2）解：（万人次）； 答：第四天的客流量能达到万人次． 【变式2】. （25-26八年级下·浙江台州·期末）为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到45亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用增长率问题的基本关系，即初始投入乘以平均年增长率的年数次方等于最终投入，即可得到正确方程. 【详解】解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为亿元，从2023年到2025年共经过年， ∴2024年研发投入为亿元， 2025年研发投入为亿元， 又∵2025年研发投入为亿元， ∴列方程得. 【变式3】. （25-26八年级下·浙江金华·期末）为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行走的总路程为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计，第三周时，单周路程达到了12100米． (1)求每周路程的平均增长率； (2)按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）设每周路程的平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可； （2）结合（1）的结论，在第三周的基础上，列式计算即可． 【详解】（1）解：设每周路程的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：每周路程的平均增长率为． （2）解： （米）， 答：预测第五周王大伯行走的总路程是米． 题型05销售利润问题 总利润=单件利润×销售量，先表示出调价后的单价与对应销量，再根据利润目标列方程，注意检验解是否符合售价、销量的实际限制。 【典例5】. （25-26九年级上·重庆奉节·期末）某商品的进价为每件元，当售价为每件元时，每周可卖出件．现需做降价处理，且经市场调查发现：该商品的售价每降价元，每周可多卖出件，店里每周的利润可达到元．若设店主把该商品每件的售价降低元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的实际应用（利润问题），理清“利润、售价、进价、销量”之间的关系是解题的关键．根据利润单件利润销量，先得出降价后每件的利润为元，销量为件，进而列出总利润为元的方程． 【详解】解：每件售价降低元，则每件利润为元， 销量为件， 总利润方程为． 故选：． 【变式1】. （25-26八年级下·浙江衢州·期末）商店销售某商品，平均每天可售出100件，每件利润为12元．为了减少库存，该店决定降价促销．据测算，每件每降价1元，平均每天可多售出20件．若该商品降价元，可使每天销售该商品获利1400元．根据题意得到方程：_______（不必化简）． 【答案】 【分析】表示出降价后一件商品的利润和数量，然后相乘等于1400列方程即可． 【详解】解：根据题意得，． 【变式2】. （25-26八年级下·河北张家口·期末）某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．设降价元． (1)若每天获得900元的利润，请你帮忙计算每件应降价多少元？ (2)该服装店能否通过降价销售的方式保证每天获得1640元的利润？并说明理由． 【答案】(1)每件应降价元； (2)不能，理由见解析． 【分析】（1）利用总利润=每件盈利×每天销售量列出一元二次方程求解，结合降价幅度不超过元的条件舍去不符合题意的解得到结果； （2）利用总利润=每件盈利×每天销售量列出一元二次方程，通过判断方程是否存在实数解即可得到结论． 【详解】（1）解：设降价元，根据题意，降价元后，每件盈利为元，每天销售量为件，且． 可得方程 ， 整理得 ． 解得 ， ， 不符合题意，舍去. 因此每件应降价元． （2）解：假设能获得每天元的利润， 根据题意得 ， 整理得， 配方得， 任何实数的平方都不为负数， 该方程没有实数解，因此该服装店不能通过降价销售的方式保证每天获得元的利润. 【变式3】. （25-26八年级下·吉林长春·期末）长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 【答案】(1)， (2)每件童装应该降价元 【分析】（1）根据“每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”列出代数式即可； （2）根据总利润销售量单件利润，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元， ∴采取降价措施后，每天可销售件，每件盈利元 （2）解：由题意得， 整理得， 解得，， ∵要使优惠力度最大， ∴， ∴每件童装应该降价元． 题型06边框与甬道面积问题 通过平移将分散的种植区域拼接为规则矩形，用含未知数的代数式表示新矩形的长和宽，利用面积公式建立等量关系。 【典例6】. （25-26八年级下·山东威海·期末）如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长度比例相同的长方形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为．那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，所以中央矩形的面积封面的面积，依此列出方程即可． 【详解】解：设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为，则中央矩形的长与宽为，， 由题意得：． 【变式1】. （25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 【答案】 【分析】将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，由题意得到空白部分的总面积占矩形地块面积的，设石板小径（阴影部分）的宽度为，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，如图所示： 石板小径的总面积占矩形地块面积的， 空白部分的总面积占矩形地块面积的， 设石板小径（阴影部分）的宽度为，则 ， ， 则， 解得或（，舍去）， 石板小径的宽度为． 【变式2】. （25-26八年级下·北京通州·期末）如图，小明同学要给长城风景画安装一个四周宽度相等的白色画框，制成一个矩形工艺品，该工艺品的长为，宽为．若该工艺品中间风景画的面积为，求白色画框的宽度是多少？ 【答案】画框的宽度是 【分析】设画框的宽度为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解设画框的宽度为，由题意可知，         ．         解得，．             ∵，且，即， ∴． 答：画框的宽度是． 【变式3】. （25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，一块长米、宽米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，求石板小径的宽度为多少米． 【答案】石板小径的宽度为1米 【分析】设石板小径的宽度为米，根据题意非阴影部分的面积可以看成是一个长为米，宽为米的长方形的面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设石板小径的宽度为米， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：石板小径的宽度为1米． 题型07靠墙围矩形面积问题 设垂直于墙的边长为，结合篱笆总长（含门宽）表示出平行于墙的边长，根据面积列方程，最后结合墙长检验解的合理性。 【典例7】. （25-26八年级下·山东威海·期末）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长，木栅栏长，在与墙垂直的一边留出宽的出入口（另选材料建出入门）．当鸡场的面积为时，求垂直于墙的一边的长． 【答案】 【分析】设与墙垂直的一边长为，然后根据矩形面积列方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长，平行于墙的栅栏总长：（出入口1不用栅栏） 当鸡场的面积为时，， 解得， ∵墙长25， ∴， 解得， ∴， 答：垂直墙一边长． 【变式1】. （25-26八年级下·吉林·期末）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，其中一边靠墙（墙的长度为12米），另三边用总长为28米的木板材料围成．若使得车棚的面积为80平方米，则这个矩形车棚的相邻两边长分别应为多少米？ 【答案】这个矩形车棚的相邻两边长分别应为8米，10米 【分析】设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米，根据车棚的面积为80平方米列方程，求解即可． 【详解】解：设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米， 依题意得，， 整理得，， 解得：，， ∵墙的长度为12米， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， 答：这个矩形车棚的相邻两边长分别应为8米，10米． 【变式2】. （25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 【答案】(1)，；； (2)解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】根据图形和条件确定边长表达式； 根据面积公式列出方程求解即可； 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略． 【变式3】. （25-26八年级下·浙江杭州·期末）小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 【答案】(1)①；②米 (2)养蜂场的面积不能达到平方米．理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到平方米， ∵长为米， ∴， 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到平方米． 【分析】（1）①利用“的长的长木栏总长门的宽度的长”，可用含的代数式表示出的长； ②根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合，即可确定结论； （2）假设养蜂场的面积可以达到平方米，由长为米，可得出长为米，根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不正确． 【详解】（1）解：①依题意，得：（米）； ②依题意，得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴的长为米； （2）略． 题型08行程与运动问题 借助线段图分析路程关系，利用路程=速度×时间建立方程；匀变速问题用平均速度计算总路程，注意结果的实际意义。 【典例8】. （25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 【答案】 8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元二次方程求时间． 【详解】解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为． 当时，有． 整理得． 为方便计算，方程两边同乘2，得． ． 因为， 所以． 解得，． 由于时间不能为负数，故． 故答案为8． 【变式1】. （25-26九年级上·吉林·期中）一辆正以8米/秒的速度沿直线行驶汽车，突然速度每秒增加1米/秒． (1)汽车行驶5秒时的速度为______米/秒． (2)求汽车行驶了18米时的速度． (3)当汽车行驶了x秒，行驶的距离为y米时，直接写出y关于x的函数解析式． （提示：距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） 【答案】(1)13 (2)10米/秒 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，函数关系式的建立等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据速度每秒增加1米，则5秒速度增加到（米/秒）； （2）设汽车行驶了x秒，则此时的速度为米/秒，根据“距离=平均速度时间t，”列方程求解； （3）根据“距离=平均速度时间t，”建立函数关系式． 【详解】（1）解：（米/秒）， 故答案为：13； （2）解：设汽车行驶了x秒，则此时的速度为米/秒． 根据题意，得． 解得，（舍去）． 米/秒 答：汽车行驶了18米时的速度为10米/秒． （3）解：由题意得， ∴． 【变式2】. （25-26九年级上·重庆巫山·期末）学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 (1)求甲计划每天整理多少本图书？ (2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 【答案】(1)600 (2)50 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书，结合甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等，列分式方程求解； （2）先得出计划时间为天，根据实际工作效率和时间关系列一元二次方程求解，即可作答． 【详解】（1）解：设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书， 依题意，， 解得， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解， ∴甲计划每天整理（本） （2）解：由（1）得甲计划每天整理600本， ∵总图书4800本， 则计划时间天， 依题意，甲实际每天整理本，实际完成时间天 根据工作量关系，得方程， 展开得， 化简得， 即 解得或， 由于不符合实际意义，故． 【变式3】. （25-26九年级上·福建三明·阶段检测）如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】(1)或小时； (2)上午时． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可； （）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； （2）解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 题型09方案决策与最值类应用 先根据题意列方程求解所有可行方案，再结合题目中的限制条件筛选有效解，通过比较结果得出最优方案。 【典例9】. （25-26八年级上·上海杨浦·期末）在“理财小课堂”中，小明了解到某理财产品按年计息，有单利和复利两种不同的计息方式： 单利法是指每年依据最初本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息； 复利法是指每年依据本金和前期利息之和计算利息． 小明准备将10000元购买该理财产品，银行提供如下两种方案（年利率相同）： 方案一：按单利法存2年； 方案二：按复利法存2年． 两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元，请计算年利率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设年利率为，根据“两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设年利率为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：年利率为． 【变式1】. （25-26八年级上·上海闵行·期末）理财能力是现代社会对人的基本要求之一，掌握基本的理财知识，有助于培养合理的消费观念和对个人未来、家庭的责任心，为一生的行稳致远打好基础． 生活中我们发现，同一笔存款在1年、2年乃至未来年后的金额不同，且会逐年增加．这意味着，对于同一理财计划，不宜将不同时刻的金额直接作比较．在金融业务中需要将不同时刻的金额折算到同一时间点后再作比较，这个时间点，一般选为当前时刻．这种将未来某个时间点上的金额折算成当前时刻的价值的做法，称为折现，其中这个折算的百分比称为折现率．例如：当折现率为时，年后的元折算成当前时刻的价值为元，年后折算成当前时刻的价值为元；同时，合理的折现率应该是能使返回的金额折现后的总金额等于其本金，此时的折现率也称为理财方案的收益率． (1)当折现率为时，年后的元折现成当前时刻的价值可表示为______元（用含，的代数式表示）； (2)表格所列的是一个分年返回的理财方案： 方案 本金（元） 年后返回的金额（元） 年后返回的金额（元） 收益率 请求出此方案的收益率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式，分式方程的应用，解题的关键是理解题意，并正确找出等量关系． （1）根据例题求解即可； （2）由题意得，令，则，求出，进而即可求出． 【详解】（1）解：当折现率为时，年后的元折现成当前时刻的价值可表示为， 故答案为：； （2）解：由题意得， 令，则， 解得，（舍去）， ， 答：此方案的收益率为． 【变式2】. （25-26八年级下·安徽池州·期末）任务型学习： 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机销量的月平均增长率相同，求该款迷你无人机销量的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． (1)解决任务1． (2)解决任务2． 【答案】(1) (2)每架迷你无人机的售价应降低20元 【分析】（1）设该款迷你无人机的月平均增长率为，根据题意列出方程，进而求解即可； （2）设每架迷你无人机降价元，则每天能销售架，根据题意列出方程，进而解方程，结合满足条件可得答案． 【详解】（1）解：设该款迷你无人机的月平均增长率为， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该款迷你无人机的月平均增长率为； （2）解：设每架迷你无人机降价元，则每天能销售架， 由题意得， 整理得， 解得，． ∵需要尽量减少库存， ． 答：每架迷你无人机的售价应降低20元． 【变式3】. （25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）综合与实践 用硬纸板制作无盖纸盒 背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相同的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）． 素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求的最大值，过程如下：．当时，有最大值． 方案1 甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来形成纸盒，其中一个纸盒的底面是正方形． 方案2 乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来形成纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形． 任务1 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为________（用含的代数式表示），判断纸盒的底面积能否达到，并说明理由． 任务2 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值． 【答案】任务1：，能，见解析；任务2：纸盒体积有最大值为 【分析】本题考查了列代数式以及一元二次方程的应用,配方法求最值问题等知识的实际应用,根据题意列出代数式是本题的关键． 任务 1：根据题意用含的代数式表示出，即可表示出底面的面积； 任务2：首先表示出方案2中纸盒的体积为含的二次多项式，然后用配方法求二次多项式的最值即可． 【详解】解：任务1：纸盒的底面积能达到， 理由：假设纸盒的底面积能到达， 由题意，得， 即．， 方程存在实数根，且当底面积为900时，，符合题意，（当，，不符合题意，舍去） ， 综上所述，假设成立，纸盒的底面积能到达； 任务2：由题意可知， 方案2中的长为，的长为， 方案2中纸盒的体积为， 当时，纸盒体积有最大值为． 一、单选题 1．现代科技的快速发展和生产力的大幅提高，使人们的生活变得越来越便捷．某公司生产的一款扫地机器人年的销售量为万台，到年销售量达到万台，设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为，可列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“年的年销售量＝年的年销售量×（＋年销售量的平均增长率）”即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为， 依题意，得：． 2．南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所设的长表示出宽，再结合长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：∵设长方形的长为步，宽比长小步， ∴宽为步， ∵长方形面积为平方步，且长方形面积长宽， ∴可得方程． 3．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设矩形田地的宽为x，表示出长为和小正方形的边长为，根据小正方形面积的两种求法可列方程． 【详解】解：设矩形田地的宽为x，则长为，小正方形的边长为， 根据小正方形面积的两种求法可列方程为． 二、填空题 4．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为______． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故答案为： 5．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过_______秒落回地面．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据物体落回地面时高度为0，建立方程，解方程即可． 【详解】解：∵物体落回地面时高度为0， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴物体经过秒落回地面． 6．一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____． 【答案】（或） 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找到等量关系． 先利用个位数字与十位数字的和为9，用含的代数式表示出十位数字，再根据两者乘积为20的等量关系列出方程． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为． 根据“个位数字与十位数字的积是20”，可列方程为， 将其整理为一元二次方程的一般形式为． 故答案为：（或）． 三、解答题 7．经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 【答案】52人 【分析】设每轮传染中平均每人传染人，根据题意列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人，根据题意得， 解得（舍去）， 第一轮传染后患流感的人数共有（人）， 答：第一轮传染后患流感的人数共有52人． 8．黄岩是东魁杨梅的始祖地，唯一的母树就在江口街道东岙村，因果实特大，肉厚汁多而闻名，其上市时间集中在6月中下旬至7月初．据某采摘基地了解：正常情况下，杨梅售价为每千克20元时，每天可售出300千克，通过市场调查发现，若每千克降价1元，每天可多售出25千克．考虑运营成本，规定每千克售价不低于15元． (1)当杨梅每千克定价为多少元时，每天能获得6300元的销售额？ (2)该采摘基地每天所获得的销售额能否达到6500元？请计算说明． 【答案】(1)18元 (2)解：不能达到，理由如下： 假设杨梅每千克降价元，采摘基地每天所获得的销售额能达到6500元． 由题意得． 整理得． ， ∴方程没有实数根，该采摘基地每天所获得的销售额无法达到6500元． 【分析】（1）根据“销售总价销售单件的价格销售数量”列一元二次方程求解即可； （2）根据“销售总价销售单件的价格销售数量”列一元二次方程，再根据一元二次方程的判别式确定是否有解． 【详解】（1）解：设杨梅每千克降价元． 由题意得． 解得，． 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）． 答：当杨梅每千克定价为18元时，每天能获得6300元的销售额． （2）略 9．一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 【答案】(1)这三天票房的平均增长率为； (2)扛标旗单价上涨了2元或5元． 【分析】（1）设这三天票房的平均增长率为，根据题意列方程解答即可； （2）设单价上涨了元，根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． （2）解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． 1．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 2．如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)如图，若圈出的4个数、、、中，最小的数，则，________，________．（用含的代数式表示） (2)在小组活动中，小轩通过计算，发现的差恒为常数，请你证明． (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 【答案】(1)，； (2)证明如下： ∵ ， ∴的差恒为常数； (3)7． 【分析】（1）直接根据日历表作答即可； （2）直接计算的值即可； （3）由（1）知最小的数，最大的数，根据“最大的数与最小的数的乘积为105”求出x的值即可． 【详解】（1）解：根据日历表可知，，； （2）略； （3）解：由题意得：， 变形整理得：， 解得：，（舍去）， 即这个最小的数是7． 3．综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 (1)若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； (2)已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； (3)商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)200，2000 (2)该玩偶的售价为44元 (3)商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元；理由： 设该玩偶的售价为x元，此时利润能达到2500元， 由题意可得：， 整理得：， ∵， ∴该一元二次方程没有实数根，∴ 商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元． 【分析】（1）先计算降价后增加的销量，再计算总利润即可； （2）设出售价，根据利润关系列一元二次方程求解即可； （3）设利润能达到2500元，列方程后利用判别式判断方程是否有实根即可解答． 【详解】（1）解： ∵当售价定为50元时，每天卖出100个，售价每降1元多卖10个． ∴当售价为40元时，降价金额为元，增加玩偶的数量为：个，商店每天卖出该玩偶的数量是个， ∴每天的利润为元． （2）解：设该玩偶的售价为x元， 由题意可得：， 整理得：，解得：，均符合． 所以在利润相同的情况下，售价越低销量越高，越有利于尽快清空库存，故舍去售价较高的46元. 答：该玩偶的售价为44元． （3）解：略． 4．如图，在直角坐标系中，平行四边形的边，点以每秒2个单位的速度从点向点运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向点运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． (1)点的坐标为________； (2)当为何值时，的面积是12？ (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点M的坐标为或 【分析】（1）作于点D，则是等腰直角三角形，可求出点C的坐标，再根据平行四边形的性质求点B的坐标； （2）作轴于点，作于点， 延长交的延长线于点， 利用分割法得到，列出方程，可求出此时t的值； （3）根据（2）所求得t的值，再求出的长，以A、P、Q、M为顶点的平行四边形可以为对角线，以此分类讨论，求出所有符合条件的点M的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，作于点D， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：作轴于点，作于点， 延长交的延长线于点，    ∵平行四边形， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， 由题意，，，则， ∴， ∴， ∴ ， 解得； 此时，， ∴点与点重合，即， 故当时，的面积为12； （3）解：存在， 当平行四边形以为对角线，设交x轴于点E， ， ， ∵点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动， 由（2）得：，， ∴， ∵， ，即， ， 由（2）得：， ， ； 当平行四边形以为对角线，则， ， ； 当平行四边形以为对角线，作交的延长线于点G， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点M的坐标为，或． 5．综合与实践 【项目主题】科技文创产品的销售利润与定价策略 【素材呈现】 素材1：合肥某科技文创公司依托中科院合肥物质科学研究院“全超导托卡马克（人造太阳）”这一世界级科学装置，新开发了一款“人造太阳”科普拼装模型．该模型每件的生产成本为40元．公司计划采用降价促销的方式，让更多青少年了解可控核聚变这一前沿科技，同时获取合理利润． 素材2：市场调研发现，当这款模型的售价定为60元/件时，每天可售出200件．在此基础上，售价每降低2元，每天的销售量就会增加10件． 素材3：为保证可持续运营，模型的实际售价元不能低于成本价，且为维持品牌科技感，最高不超过60元（即）． 【问题解决】 (1)用含的代数式表示该公司每天售出“人造太阳”模型的数量是_____件； (2)若该公司销售该模型每天的利润恰好为2500元，求此时模型的实际售价； (3)为响应合肥市“科创科普两翼齐飞”的号召，公司决定每售出一件模型，就向市青少年科技创新奖励基金捐赠5元．问扣除捐赠后公司每天获得的实际利润能否达到3800元？若能，求出此时售价；若不能，请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)此时模型的实际售价为50元 (3)扣除捐赠后，每天实际利润不能达到3800元，见解析 【分析】（1）根据题意列出代数式； （2）利用一元二次方程求解； （3）列出一元二次方程，通过根的判别式进行判断． 【详解】（1）解：∵售价60元时销量200件，每降2元增10件， 每降1元，销量增5件， 降价元， 销量； （2）解：每件利润元，销量件，利润2500元，， 整理得， 解得， ， 舍去， 此时模型的实际售价为50元； （3）解：每售出一件捐赠5元， 每件实际利润为元， 假设利润能达到3800元，列方程：， 展开并整理得， ∵此方程中， ， ∴该一元二次方程无实数根， 不存在满足条件的售价 ∴扣除捐赠后，每天实际利润不能达到3800元． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.3 实践与探索 教学目标 1.掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤，能准确分析各类实际问题中的等量关系。 2.能运用一元二次方程解决数字、增长率、销售利润、几何面积等常见类型的实际问题。 3.体会数学建模思想，能自主检验方程的解是否符合实际意义，提升解决实际问题的能力。 教学重难点 1.重点 （1）列一元二次方程解应用题的基本步骤 （2）增长率、销售利润、几何面积三类高频题型的等量关系 （3）方程解的实际意义检验 2.难点 （1）复杂问题中等量关系的梳理与建立 （2）几何图形中面积的转化与边长限制条件 （3）多变量问题中的代数式表示与方案筛选 知识点01：数字与循环传播问题 1.数字问题：多位数的数位表示 数的类型 数位设定 代数式表示 两位数 十位数字为，个位数字为 三位数 百位数字为，十位数字为，个位数字为 2.循环比赛问题 单循环赛（每两队只赛一场）：若有支参赛队伍，总比赛场次为 ； 双循环赛（每两队赛两场）：总比赛场次为 。 3.传播与分支问题 传播模型：初始传染源为1个，每轮每人传染个人，两轮传染后总患病人数为 ； 分支模型：主干长出个支干，每个支干再长出个小分支，总数为 。 【即学即练】 1．在苏轼笔下，周瑜年少有为，文采风流，雄姿英发，谈笑间，樯橹灰飞烟灭，然天妒英才，英年早逝．欣赏下面改编的诗歌：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿符．”则这位风流人物去世时的年龄为（    ） A．36岁 B．38岁 C．40岁 D．42岁 【答案】A 【分析】根据诗句给出的数量关系找到等量关系，列一元二次方程求解，再结合“而立之年督东吴”的条件对根进行取舍即可得到答案． 【详解】解：设这位风流人物去世年龄的十位数字为，则个位数字为，年龄可表示为． ∵个位平方与寿符， ∴可得方程 整理得， 解得，． 又∵而立之年督东吴，说明年龄超过30岁，时年龄为25岁，不符合题意舍去， ∴，个位数字为，年龄为岁． 2．有一个人患流感，经过两轮传染后共有个人患流感．则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】传染问题中传染源传染后仍计入患病人数，设每轮传染中平均一个人传染人，根据两轮传染后总患病人数为列方程，舍去不符合实际的负根即可得到结果． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为， 初始有人患病，第一轮传染后共有人患病，第二轮传染中，新增患病人数为，两轮后总患病人数为， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 则每轮传染中平均一个人传染的人数为． 知识点02：平均增长率与降低率问题 1.核心公式：设变化前的基数为，每次的平均增长（降低）率为，变化次数为，变化后的最终量为 增长率问题： 降低率问题： 2.注意事项：增长率 ，降低率 ；求解后需检验结果是否符合实际意义。 【即学即练】 1．某市计划从今年第二季度开始到本年底对全市共285个社区全部实现垃圾分类．已知该市第二季度已有60个社区率先实现垃圾分类，预计第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率均为x，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出第二、三、四季度实现垃圾分类的社区个数，根据总个数为285列方程，即可判断正确选项． 【详解】解：∵第二季度实现垃圾分类的社区个数为，第三、四季度实现垃圾分类的社区个数较前一季度的平均增长率为， ∴第三季度实现垃圾分类的社区个数为，第四季度实现垃圾分类的社区个数为， ∵到本年底全部285个社区都要实现垃圾分类， ∴三个季度实现垃圾分类的总个数为285， 可得方程， 因此正确选项为D． 9．某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的营业总额共1000万元，如果平均每月增长率为x，由题意列方程应为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题为平均增长率实际问题，解题思路是先求出每月的营业额，再根据第一季度总营业额等于三个月营业额之和列方程． 【详解】解：平均每月增长率为，则二月份营业额为万元，三月份营业额为万元， 根据题意，得， 即． 知识点03：销售利润问题 1.基本等量关系 单件利润= 总利润= 利润率= 2.解题关键：根据“单价变化量与销量变化量的对应关系”，用含未知数的代数式表示调价后的单件利润和销售量。 【即学即练】 1．某商店销售一批进价为每件元的商品，售价为每件元，每天可卖出件，若每天的利润为元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用总利润每件利润销售量的关系，分别确定每件利润和销售量，即可列出方程． 【详解】解：每件元的商品，售价为每件元， 每件商品的利润为元， 又每天销售量为件，每天的利润为元， 可列方程为． 2．2025年11月，伴随着“绿茵风云动，足梦彩云南”的口号云南省城市足球联赛正式开赛，全省十六个州（市）的球员在赛场上激情碰撞，也让云南球迷的足球梦想在七彩云南绽放．为呼应“全民健身、以球兴城”的初心，彰显云南“体育+文旅”的融合魅力，某商家销售的一款印有吉祥物“风风”和“云云”的风云球服深受球迷的喜爱，商家以每件45元的价格购进某款风云球服，以每件68元的价格出售，经统计，2025年11月份的销售量为256件，2026年1月份的销售量为400件． (1)求该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率； (2)从2026年的2月份起，商家决定采用降价促销的方式，经试验，发现该款风云球服每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款风云球服降价多少元时，月销售利润达8400元？ 【答案】(1) 月平均增长率为 (2) 该款风云球服降价元时，月销售利润达元 【分析】（1）根据平均增长率的等量关系，列出方程进行求解即可； （2）根据总利润等于单价利润乘以销量，列出方程进行求解即可. 【详解】（1）解：设该款风云球服销售量的月平均增长率为， 根据题意得， 解得，（舍去）； 答：该款风云球服2025年11月份到2026年1月份销售量的月平均增长率为； （2）解：设该款风云球服降价元时，月销售利润达元， 降价后每件球服的利润为元，月销售量为件， 根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）； 答：该款风云球服降价元时，月销售利润达元. 知识点04：几何图形面积问题 1.常见题型：边框加宽问题、甬道修路问题、靠墙围矩形问题、图形折叠面积问题等。 2.核心思路：通过平移、割补、拼接，将不规则图形转化为规则的矩形、三角形等，利用面积公式建立等量关系。 3.易错提示：靠墙围矩形问题需注意墙长的限制条件；带门的篱笆问题，门的宽度需计入篱笆总长度；所有结果必须检验是否符合实际长度限制。 【即学即练】 1．春意复苏，某地绿化工程正在如火如荼地进行着．某工程队计划将一块长，宽的矩形场地建设成绿化广场．如图，广场内部修建三条宽度相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽．设小路的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设小路的宽为，根据矩形的面积公式（将绿化区域合并成矩形），进而即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设小路的宽为，则绿化区域的长为，宽为， 根据题意，得． 2．小高家有一块空地，空地上有一面长为的围墙，小高打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为的门，门不消耗木栏，设长为． (1)如图①，当时， ①____________（用含的代数式表示）； ②若围成的养蜂场面积为，求的长； (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到？并说明理由． 【答案】(1)①② (2)解：当时，养蜂场的面积不能达到， 理由如下： 设时，养蜂场的面积达到， 则， 解得，， ∴，即， ， 方程无实数解， 当时，养蜂场的面积不能达到． 【分析】（1）①设的长度为，根据矩形的周长公式可得； ②如果围成的养蜂场面积为，可列方程，解方程即可求出的长度； （2）设时，，养蜂场的面积达到，可列方程，一元二次方程根的判别式，所以方程无实数解，即可得到答案． 【详解】（1）①解：设的长度为， 四边形是矩形， ， 根据题意得，； ②解：围成的养蜂场面积为， 根据题意得，， 整理得，， 解得，，， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意，舍去， 答：若围成的养蜂场面积为，则的长为米． （2）略 知识点05：工程与行程问题 1.工程问题 基本关系： 无具体总量时，常将总工作量设为1，合作工作效率为各主体效率之和。 2.行程问题 基本关系：路程=速度×时间 相遇、追及问题借助线段图分析路程关系；匀变速运动可利用平均速度计算总路程。 【即学即练】 1．如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒的速度）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可知，， 则， 解得（负值舍去）． 2．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 题型01数字问题 设某一数位上的数字为未知数，用数位规律表示出完整的多位数，再根据题目中的数量关系列方程。 【典例1】. （25-26九年级上·江苏连云港·期中）有一个正数m，m与1的和乘以m与1的差仍得m，则m的值为____． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据方程的特点选择合适的求解方法．根据题意列出方程，解方程后根据正数条件确定解． 【详解】解：由题意，得． 整理得． 解得． 因为是正数， 所以． 故答案为：． 【变式1】. （25-26九年级上·江苏宿迁·期中）两个连续的偶数乘积为168，设较小的偶数为，可得方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了列一元二次方程，设较小的偶数为，则较大的偶数为，根据“两个连续的偶数乘积为168”列出方程即可． 【详解】解：设较小的偶数为，则较大的偶数为， 由题意得：， 故答案为：． 【变式2】. （25-26八年级下·福建福州·期末）2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 【答案】9 【分析】设四个数中最小数为，则最大数为，再根据最小数与最大数的乘积为153列一元二次方程求解，最后选择符合实际的解即可． 【详解】解：设四个数中最小数为，则最大数为 由题意得：， 整理得：， ， 即， 解得：（舍）， 答：最小数为9． 【变式3】. （25-26九年级上·山西朔州·阶段检测）如图，这是2025年4月份的月历，在此月历表上按照如图所示的方式圈出4个数，若圈出的4个数中，最小的数与最大的数的乘积为153，则这个最小数为___________． 【答案】9 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 先观察这四个数的特点可知左上角最小数与右下最大数的差是8，再设未知数，根据乘积等于153列出方程，求出解即可. 【详解】解：设最小数为x，则最大数为，根据题意，得 ， 解得（舍去），， 所以这个最小数为9. 故答案为：9. 题型02单循环与双循环问题 握手、比赛类单循环用列方程；送贺卡、双循环比赛用列方程，注意区分是否重复计数。 【典例2】. （25-26八年级下·云南昆明·期末）在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（    ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 【答案】C 【分析】根据双循环赛制得到总比赛场数与球队数量的关系，列方程求解即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支．∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为． 根据题意得． 整理得． 解得，． ∵球队数量为正整数，舍去． ∴，即参加小组赛的球队有8支． 【变式1】. （25-26八年级下·山东东营·期末）为丰富职工文化生活，东营区举办职工篮球友谊赛，每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛，累计比赛36场．设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据单循环比赛的规则，计算总比赛场数列方程，用到的是计数去重的思路，即可得到符合题意的方程． 【详解】解：依题意，共有个队参赛，每两支队伍之间赛一场，每支队伍需要和除自身外的支队伍比赛， 又∵ 两队之间进行一场比赛， ∴ 实际总比赛场数为， 已知总比赛为36场， 因此列方程得，符合题意的为选项A. 【变式2】. （25-26八年级下·安徽合肥·期末）某班级组织活动，每天需要两名志愿者参与活动，该班级学生积极参与，考虑到所有的不同组合，共有45种组队可能．如果设该班级参加活动的学生有人，根据题意列方程并化为一般形式：___________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据从人中选出2人的不同组合总数等于45种建立等式，再整理为一元二次方程的一般形式即可． 【详解】解：设该班级参加的学生有人，从人中选2名志愿者的不同组合数为， 根据题意列方程得： 两边同乘2得： 移项化为一般形式得： 【变式3】. （25-26九年级上·四川绵阳·期末）元旦节时，某学习小组每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡132张，则该学习小组有________人． 【答案】 12 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据每个人送出张贺卡建立方程是解题的关键．设这个小组有x个人，则每个人送出张贺卡，再根据全组共送贺卡132张建立方程求解即可． 【详解】解：设这个小组有x个人， 由题意得： 解得（舍去）， ∴这个小组有12人 故答案为：12． 题型03传播与分支问题 明确初始传染源数量和每轮传染数，两轮传播总数=初始数+第一轮新增+第二轮新增，分支问题按“主干-支干-小分支”分层计数列方程。 【典例3】. （25-26九年级上·安徽芜湖·期中）有一个人患了流感，经过两轮传染后新增120个人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为（     ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合“新增120人患病”得到总人数的等量关系，列方程求解即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有1名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， 又∵经过两轮传染后新增120人患病，总患病人数为， ∴列方程得 ， ∵人数为正数，， ∴， 解得， 故选：A． 【变式1】. （25-26九年级上·海南·阶段检测）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则每个支干长出（    ） A．2根小分支 B．3根小分支 C．4根小分支 D．5根小分支 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用． 设每个支干长出根小分支，根据题意列方程，求解即可． 【详解】解：设每个支干长出根小分支，为正整数， 根据题意可得，为正整数， 解得， ∴每个支干长出5根小分支． 故选：D． 【变式2】. （25-26九年级上·广东广州·阶段检测）两位物理科代表在老师的培训下，学会了如何探究凸透镜成像规律的实验，回到班上后，第一节课每位科代表手把手教会了若干名同学，第二节课会做该实验的每位同学又手把手教会了同样多的同学，这样全班人恰好都会做这个实验了．求每位同学每节课能教会多少名同学？ 【答案】名 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每位同学每节课能教会名同学，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设每位同学每节课能教会名同学， 根据题意得，， 整理得，， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：每位同学每节课能教会名同学． 【变式3】. （25-26九年级上·湖北恩施·期中）某种传染病在羊群中传播迅猛，平均一只羊每隔5小时能传染x头羊，现一养羊场有1只羊感染此病，若不及时控制，经过10小时后会有100头羊感染上此病，依题意可列方程________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确得到等量关系是解题的关键． 根据题意，每5小时每头感染羊传染头羊，经过10小时，感染羊数量从1头开始，经过两次传染后达到100头，由此列出方程． 【详解】解：初始有1头羊感染。 经过第一个5小时，这1头羊传染头羊，此时总感染羊数为， 经过第二个5小时，现有头感染羊每头传染x头羊，新感染羊数为， 故总感染羊数变为， 根据题意，经过10小时后总感染羊数为100头， 故列方程可得， 故答案为：． 题型04平均增长率与降低率问题 找准基数、最终量和变化次数，直接套用模型列方程；连续多期总量问题需累加各期数量。 【典例4】. （25-26八年级下·湖南长沙·期末）某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以每次降价前的价格为计算基数，结合最终售价列方程即可． 【详解】解：∵商品原价为289元，平均每次降价的百分率为， ∴第一次降价后的售价为元， ∵第二次降价以第一次降价后的售价为基数， ∴两次降价后的售价为元， ∵ 两次降价后售价为256元， ∴可列方程． 【变式1】. （25-26八年级下·吉林松原·期末）松原市查干湖是具有湿地草原、蒙古族渔猎文化风貌特点的国家级5A旅游景区，现在已成为网红打卡地．据统计，2026年5月1日当天查干湖景区累计客流量为1.6万人次，第三天客流量达到2.5万人次． (1)求游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率； (2)若保持（1）中的平均日增长率，第四天的客流量能达到多少万人次？ 【答案】(1)； (2)万人次． 【分析】（1）设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x，根据题意列方程，解方程，再根据实际意义取舍即可； （2）根据增长率列式计算即可． 【详解】（1）解：设游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：游客人数从假期第一天到第三天的平均日增长率为． （2）解：（万人次）； 答：第四天的客流量能达到万人次． 【变式2】. （25-26八年级下·浙江台州·期末）为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到45亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用增长率问题的基本关系，即初始投入乘以平均年增长率的年数次方等于最终投入，即可得到正确方程. 【详解】解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为亿元，从2023年到2025年共经过年， ∴2024年研发投入为亿元， 2025年研发投入为亿元， 又∵2025年研发投入为亿元， ∴列方程得. 【变式3】. （25-26八年级下·浙江金华·期末）为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行走的总路程为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计，第三周时，单周路程达到了12100米． (1)求每周路程的平均增长率； (2)按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）设每周路程的平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可； （2）结合（1）的结论，在第三周的基础上，列式计算即可． 【详解】（1）解：设每周路程的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：每周路程的平均增长率为． （2）解： （米）， 答：预测第五周王大伯行走的总路程是米． 题型05销售利润问题 总利润=单件利润×销售量，先表示出调价后的单价与对应销量，再根据利润目标列方程，注意检验解是否符合售价、销量的实际限制。 【典例5】. （25-26九年级上·重庆奉节·期末）某商品的进价为每件元，当售价为每件元时，每周可卖出件．现需做降价处理，且经市场调查发现：该商品的售价每降价元，每周可多卖出件，店里每周的利润可达到元．若设店主把该商品每件的售价降低元，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的实际应用（利润问题），理清“利润、售价、进价、销量”之间的关系是解题的关键．根据利润单件利润销量，先得出降价后每件的利润为元，销量为件，进而列出总利润为元的方程． 【详解】解：每件售价降低元，则每件利润为元， 销量为件， 总利润方程为． 故选：． 【变式1】. （25-26八年级下·浙江衢州·期末）商店销售某商品，平均每天可售出100件，每件利润为12元．为了减少库存，该店决定降价促销．据测算，每件每降价1元，平均每天可多售出20件．若该商品降价元，可使每天销售该商品获利1400元．根据题意得到方程：_______（不必化简）． 【答案】 【分析】表示出降价后一件商品的利润和数量，然后相乘等于1400列方程即可． 【详解】解：根据题意得，． 【变式2】. （25-26八年级下·河北张家口·期末）某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利32元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．设降价元． (1)若每天获得900元的利润，请你帮忙计算每件应降价多少元？ (2)该服装店能否通过降价销售的方式保证每天获得1640元的利润？并说明理由． 【答案】(1)每件应降价元； (2)不能，理由见解析． 【分析】（1）利用总利润=每件盈利×每天销售量列出一元二次方程求解，结合降价幅度不超过元的条件舍去不符合题意的解得到结果； （2）利用总利润=每件盈利×每天销售量列出一元二次方程，通过判断方程是否存在实数解即可得到结论． 【详解】（1）解：设降价元，根据题意，降价元后，每件盈利为元，每天销售量为件，且． 可得方程 ， 整理得 ． 解得 ， ， 不符合题意，舍去. 因此每件应降价元． （2）解：假设能获得每天元的利润， 根据题意得 ， 整理得， 配方得， 任何实数的平方都不为负数， 该方程没有实数解，因此该服装店不能通过降价销售的方式保证每天获得元的利润. 【变式3】. （25-26八年级下·吉林长春·期末）长春市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“十一”国庆节，商店决定在销售价120元的基础上，采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元． (1)采取降价措施后，每天可销售______件，每件盈利______元；（用x的代数式表示，并化为最简形式） (2)该童装专卖店希望平均每天盈利1200元，且优惠力度最大，则每件童装应该降价多少元？ 【答案】(1)， (2)每件童装应该降价元 【分析】（1）根据“每件童装降价1元，那么平均可多售出2件”列出代数式即可； （2）根据总利润销售量单件利润，列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：∵如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．设每件童装降价x元， ∴采取降价措施后，每天可销售件，每件盈利元 （2）解：由题意得， 整理得， 解得，， ∵要使优惠力度最大， ∴， ∴每件童装应该降价元． 题型06边框与甬道面积问题 通过平移将分散的种植区域拼接为规则矩形，用含未知数的代数式表示新矩形的长和宽，利用面积公式建立等量关系。 【典例6】. （25-26八年级下·山东威海·期末）如图，要设计一本书的封面，封面长，宽，正中央是一个与整个封面长度比例相同的长方形．如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？若设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为．那么满足的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由于四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，所以中央矩形的面积封面的面积，依此列出方程即可． 【详解】解：设上、下边衬的宽均为，左、右边衬的宽均为，则中央矩形的长与宽为，， 由题意得：． 【变式1】. （25-26八年级下·安徽滁州·期末）如图，一块长、宽的矩形地块，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），其余为草坪，石板小径的总面积占矩形地块面积的，则石板小径的宽度为______． 【答案】 【分析】将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，由题意得到空白部分的总面积占矩形地块面积的，设石板小径（阴影部分）的宽度为，列一元二次方程求解即可． 【详解】解：将中间的石板小径（阴影部分）平移到长方形的边上，如图所示： 石板小径的总面积占矩形地块面积的， 空白部分的总面积占矩形地块面积的， 设石板小径（阴影部分）的宽度为，则 ， ， 则， 解得或（，舍去）， 石板小径的宽度为． 【变式2】. （25-26八年级下·北京通州·期末）如图，小明同学要给长城风景画安装一个四周宽度相等的白色画框，制成一个矩形工艺品，该工艺品的长为，宽为．若该工艺品中间风景画的面积为，求白色画框的宽度是多少？ 【答案】画框的宽度是 【分析】设画框的宽度为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】解：设画框的宽度为，由题意可知，         ．         解得，．             ∵，且，即， ∴． 答：画框的宽度是． 【变式3】. （25-26八年级下·山东济宁·期末）如图，一块长米、宽米的长方形户外草坪，规划了两横两纵等宽的石板小径（阴影部分），石板小径的总面积占草坪总面积的，求石板小径的宽度为多少米． 【答案】石板小径的宽度为1米 【分析】设石板小径的宽度为米，根据题意非阴影部分的面积可以看成是一个长为米，宽为米的长方形的面积，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设石板小径的宽度为米， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 答：石板小径的宽度为1米． 题型07靠墙围矩形面积问题 设垂直于墙的边长为，结合篱笆总长（含门宽）表示出平行于墙的边长，根据面积列方程，最后结合墙长检验解的合理性。 【典例7】. （25-26八年级下·山东威海·期末）某农场要建一个矩形养鸡场，鸡场的一边靠墙，另外三边用木栅栏围成．已知墙长，木栅栏长，在与墙垂直的一边留出宽的出入口（另选材料建出入门）．当鸡场的面积为时，求垂直于墙的一边的长． 【答案】 【分析】设与墙垂直的一边长为，然后根据矩形面积列方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边长，平行于墙的栅栏总长：（出入口1不用栅栏） 当鸡场的面积为时，， 解得， ∵墙长25， ∴， 解得， ∴， 答：垂直墙一边长． 【变式1】. （25-26八年级下·吉林·期末）某学校计划利用一片空地为学生建一个矩形车棚，其中一边靠墙（墙的长度为12米），另三边用总长为28米的木板材料围成．若使得车棚的面积为80平方米，则这个矩形车棚的相邻两边长分别应为多少米？ 【答案】这个矩形车棚的相邻两边长分别应为8米，10米 【分析】设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米，根据车棚的面积为80平方米列方程，求解即可． 【详解】解：设平行于墙的边长为米，则垂直于墙的边长为米， 依题意得，， 整理得，， 解得：，， ∵墙的长度为12米， ∴不合题意，舍去， ∴， ∴， 答：这个矩形车棚的相邻两边长分别应为8米，10米． 【变式2】. （25-26八年级下·浙江杭州·期末）某农场有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，现利用围墙和木栏围出一块矩形菜地，菜地左右两边各开一扇宽为米的门．已知木栏总长为米，左右两边的门均不消耗木栏． (1)如图，当时，设长为米． 请用含的代数式表示的长，并写出的取值范围． 若围成的菜地面积为平方米，求的长． (2)如图，当时，围成的菜地面积是否可以达到平方米？说明理由． 【答案】(1)，；； (2)解：不可以，理由如下， 设长为米， 当时，， 则围成的菜地面积， ， ∴方程无实数根， ∴围成的菜地面积不可以达到平方米． 【分析】根据图形和条件确定边长表达式； 根据面积公式列出方程求解即可； 根据面积公式列出方程，再根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：， 由题意得，解得； ∵围成的菜地面积为平方米， ∴，整理得， 解得，（舍去）， ∴的长为米； （2）略． 【变式3】. （25-26八年级下·浙江杭州·期末）小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 【答案】(1)①；②米 (2)养蜂场的面积不能达到平方米．理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到平方米， ∵长为米， ∴， 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到平方米． 【分析】（1）①利用“的长的长木栏总长门的宽度的长”，可用含的代数式表示出的长； ②根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合，即可确定结论； （2）假设养蜂场的面积可以达到平方米，由长为米，可得出长为米，根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不正确． 【详解】（1）解：①依题意，得：（米）； ②依题意，得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴的长为米； （2）略． 题型08行程与运动问题 借助线段图分析路程关系，利用路程=速度×时间建立方程；匀变速问题用平均速度计算总路程，注意结果的实际意义。 【典例8】. （25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要______s能到达终点． 【答案】 8 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元二次方程求时间． 【详解】解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为． 当时，有． 整理得． 为方便计算，方程两边同乘2，得． ． 因为， 所以． 解得，． 由于时间不能为负数，故． 故答案为8． 【变式1】. （25-26九年级上·吉林·期中）一辆正以8米/秒的速度沿直线行驶汽车，突然速度每秒增加1米/秒． (1)汽车行驶5秒时的速度为______米/秒． (2)求汽车行驶了18米时的速度． (3)当汽车行驶了x秒，行驶的距离为y米时，直接写出y关于x的函数解析式． （提示：距离=平均速度时间t，，其中，是开始时的速度，是t秒时的速度．） 【答案】(1)13 (2)10米/秒 (3) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，函数关系式的建立等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据速度每秒增加1米，则5秒速度增加到（米/秒）； （2）设汽车行驶了x秒，则此时的速度为米/秒，根据“距离=平均速度时间t，”列方程求解； （3）根据“距离=平均速度时间t，”建立函数关系式． 【详解】（1）解：（米/秒）， 故答案为：13； （2）解：设汽车行驶了x秒，则此时的速度为米/秒． 根据题意，得． 解得，（舍去）． 米/秒 答：汽车行驶了18米时的速度为10米/秒． （3）解：由题意得， ∴． 【变式2】. （25-26九年级上·重庆巫山·期末）学校图书馆需将4800本新图书进行整理上架，现有甲、乙两个志愿者报名承担此项工作．已知甲计划每天比乙计划每天多整理100本图书，且甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等 (1)求甲计划每天整理多少本图书？ (2)学校决定由甲承担此项图书整理工作．为赶工期，甲实际每天整理的图书数量比计划每天多本，最终完成所用的时间比甲计划所需的时间少天，求a的值 【答案】(1)600 (2)50 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书，结合甲整理1200本图书与乙整理1000本图书的时间相等，列分式方程求解； （2）先得出计划时间为天，根据实际工作效率和时间关系列一元二次方程求解，即可作答． 【详解】（1）解：设乙计划每天整理x本图书，则甲计划每天整理本图书， 依题意，， 解得， 经检验：当时，， ∴是原分式方程的解， ∴甲计划每天整理（本） （2）解：由（1）得甲计划每天整理600本， ∵总图书4800本， 则计划时间天， 依题意，甲实际每天整理本，实际完成时间天 根据工作量关系，得方程， 展开得， 化简得， 即 解得或， 由于不符合实际意义，故． 【变式3】. （25-26九年级上·福建三明·阶段检测）如图，小岛在码头正东方向的80海里处．已知当轮船甲从码头出发以海里小时的速度向正南方向行驶时，轮船乙同时从小岛出发以海里小时的速度向码头行驶． (1)两艘轮船出发多久后，它们之间的直线距离为海里？ (2)若轮船甲给正南方向的小岛运送物质，当轮船甲到达小岛后，发现运送物质不足，此时行驶到处的轮船乙接到轮船甲发出的补充物质指令后，沿方向前往小岛进行物质补充．若两艘轮船在上午时出发，轮船乙在上午时到达小岛，试通过计算说明轮船甲何时向轮船乙发出需要补充物质的指令？ 【答案】(1)或小时； (2)上午时． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里，根据题意得可，然后解方程即可； （）设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里，根据勾股定理得得，则有，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：设轮船出发小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里，则轮船甲与码头的距离为海里，轮船乙与码头的距离为海里， 根据题意得可， 解得：，， 答：两艘轮船出发或小时后，两艘轮船之间的直线距离为海里； （2）解：设轮船甲出发小时后向轮船乙发出需要补充物质的指令，则海里，海里，海里，海里， 在中，由勾股定理，得， 即， 整理，得， 解得，（不符合题意．舍去）． ∴， 答：轮船甲在上午时向轮船乙发出需要补充物质的指令． 题型09方案决策与最值类应用 先根据题意列方程求解所有可行方案，再结合题目中的限制条件筛选有效解，通过比较结果得出最优方案。 【典例9】. （25-26八年级上·上海杨浦·期末）在“理财小课堂”中，小明了解到某理财产品按年计息，有单利和复利两种不同的计息方式： 单利法是指每年依据最初本金计算利息，不考虑前期利息所产生的利息； 复利法是指每年依据本金和前期利息之和计算利息． 小明准备将10000元购买该理财产品，银行提供如下两种方案（年利率相同）： 方案一：按单利法存2年； 方案二：按复利法存2年． 两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元，请计算年利率． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设年利率为，根据“两年后，方案二得到的本利和比方案一多100元”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设年利率为， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：年利率为． 【变式1】. （25-26八年级上·上海闵行·期末）理财能力是现代社会对人的基本要求之一，掌握基本的理财知识，有助于培养合理的消费观念和对个人未来、家庭的责任心，为一生的行稳致远打好基础． 生活中我们发现，同一笔存款在1年、2年乃至未来年后的金额不同，且会逐年增加．这意味着，对于同一理财计划，不宜将不同时刻的金额直接作比较．在金融业务中需要将不同时刻的金额折算到同一时间点后再作比较，这个时间点，一般选为当前时刻．这种将未来某个时间点上的金额折算成当前时刻的价值的做法，称为折现，其中这个折算的百分比称为折现率．例如：当折现率为时，年后的元折算成当前时刻的价值为元，年后折算成当前时刻的价值为元；同时，合理的折现率应该是能使返回的金额折现后的总金额等于其本金，此时的折现率也称为理财方案的收益率． (1)当折现率为时，年后的元折现成当前时刻的价值可表示为______元（用含，的代数式表示）； (2)表格所列的是一个分年返回的理财方案： 方案 本金（元） 年后返回的金额（元） 年后返回的金额（元） 收益率 请求出此方案的收益率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式，分式方程的应用，解题的关键是理解题意，并正确找出等量关系． （1）根据例题求解即可； （2）由题意得，令，则，求出，进而即可求出． 【详解】（1）解：当折现率为时，年后的元折现成当前时刻的价值可表示为， 故答案为：； （2）解：由题意得， 令，则， 解得，（舍去）， ， 答：此方案的收益率为． 【变式2】. （25-26八年级下·安徽池州·期末）任务型学习： 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机销量的月平均增长率相同，求该款迷你无人机销量的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． (1)解决任务1． (2)解决任务2． 【答案】(1) (2)每架迷你无人机的售价应降低20元 【分析】（1）设该款迷你无人机的月平均增长率为，根据题意列出方程，进而求解即可； （2）设每架迷你无人机降价元，则每天能销售架，根据题意列出方程，进而解方程，结合满足条件可得答案． 【详解】（1）解：设该款迷你无人机的月平均增长率为， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该款迷你无人机的月平均增长率为； （2）解：设每架迷你无人机降价元，则每天能销售架， 由题意得， 整理得， 解得，． ∵需要尽量减少库存， ． 答：每架迷你无人机的售价应降低20元． 【变式3】. （25-26九年级上·福建漳州·阶段检测）综合与实践 用硬纸板制作无盖纸盒 背景 在一次劳动课中，老师准备了一些长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个大小完全相同的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）． 素材 配方法是求解二次多项式最值的常用方法，比如：求的最大值，过程如下：．当时，有最大值． 方案1 甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再沿虚线折起来形成纸盒，其中一个纸盒的底面是正方形． 方案2 乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为的正方形，再在中间裁掉一块正方形，分别沿着虚线折起来形成纸盒，其中一个纸盒的底面是矩形． 任务1 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为________（用含的代数式表示），判断纸盒的底面积能否达到，并说明理由． 任务2 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值． 【答案】任务1：，能，见解析；任务2：纸盒体积有最大值为 【分析】本题考查了列代数式以及一元二次方程的应用,配方法求最值问题等知识的实际应用,根据题意列出代数式是本题的关键． 任务 1：根据题意用含的代数式表示出，即可表示出底面的面积； 任务2：首先表示出方案2中纸盒的体积为含的二次多项式，然后用配方法求二次多项式的最值即可． 【详解】解：任务1：纸盒的底面积能达到， 理由：假设纸盒的底面积能到达， 由题意，得， 即．， 方程存在实数根，且当底面积为900时，，符合题意，（当，，不符合题意，舍去） ， 综上所述，假设成立，纸盒的底面积能到达； 任务2：由题意可知， 方案2中的长为，的长为， 方案2中纸盒的体积为， 当时，纸盒体积有最大值为． 一、单选题 1．现代科技的快速发展和生产力的大幅提高，使人们的生活变得越来越便捷．某公司生产的一款扫地机器人年的销售量为万台，到年销售量达到万台，设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为，可列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“年的年销售量＝年的年销售量×（＋年销售量的平均增长率）”即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设该款扫地机器人的年销售量的平均增长率为， 依题意，得：． 2．南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？其大意是：一块长方形田地的面积为平方步，宽比长小步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？若设长方形的长为步，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所设的长表示出宽，再结合长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：∵设长方形的长为步，宽比长小步， ∴宽为步， ∵长方形面积为平方步，且长方形面积长宽， ∴可得方程． 3．在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问阔长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为平方步，长和宽共步，问：这块长方形田地的长宽各多少步？针对这类问题，杨辉提供了巧妙的几何解法，如图：用四个完全相同的面积为平方步的矩形拼成一个大正方形，若设矩形田地的宽为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设矩形田地的宽为x，表示出长为和小正方形的边长为，根据小正方形面积的两种求法可列方程． 【详解】解：设矩形田地的宽为x，则长为，小正方形的边长为， 根据小正方形面积的两种求法可列方程为． 二、填空题 4．汽车在公路上行驶，它行驶的路程和时间之间的关系式为，那么行驶，需要的时间为______． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意把路程的值代入求解． 根据路程和时间之间的关系，将代入求出t即可． 【详解】解：依题意得， 整理得， 解得(不合题意舍去)，， 即行驶需要． 故答案为： 5．根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：）为．根据物理学规律，物体经过_______秒落回地面．（结果精确到） 【答案】 【分析】根据物体落回地面时高度为0，建立方程，解方程即可． 【详解】解：∵物体落回地面时高度为0， ∴， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴物体经过秒落回地面． 6．一个两位数的个位数字与十位数字之和是9，且个位数字与十位数字的积是20，设这个两位数的个位数字为，则根据题意可列方程为_____． 【答案】（或） 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找到等量关系． 先利用个位数字与十位数字的和为9，用含的代数式表示出十位数字，再根据两者乘积为20的等量关系列出方程． 【详解】解：设这个两位数的个位数字为，则十位数字为． 根据“个位数字与十位数字的积是20”，可列方程为， 将其整理为一元二次方程的一般形式为． 故答案为：（或）． 三、解答题 7．经研究发现，若一人患上甲型流感，经过两轮传染后，共有169人患上流感．按这样的传染速度，若4人患上流感，则第一轮传染后患流感的人数共有多少人？ 【答案】52人 【分析】设每轮传染中平均每人传染人，根据题意列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染人，根据题意得， 解得（舍去）， 第一轮传染后患流感的人数共有（人）， 答：第一轮传染后患流感的人数共有52人． 8．黄岩是东魁杨梅的始祖地，唯一的母树就在江口街道东岙村，因果实特大，肉厚汁多而闻名，其上市时间集中在6月中下旬至7月初．据某采摘基地了解：正常情况下，杨梅售价为每千克20元时，每天可售出300千克，通过市场调查发现，若每千克降价1元，每天可多售出25千克．考虑运营成本，规定每千克售价不低于15元． (1)当杨梅每千克定价为多少元时，每天能获得6300元的销售额？ (2)该采摘基地每天所获得的销售额能否达到6500元？请计算说明． 【答案】(1)18元 (2)解：不能达到，理由如下： 假设杨梅每千克降价元，采摘基地每天所获得的销售额能达到6500元． 由题意得． 整理得． ， ∴方程没有实数根，该采摘基地每天所获得的销售额无法达到6500元． 【分析】（1）根据“销售总价销售单件的价格销售数量”列一元二次方程求解即可； （2）根据“销售总价销售单件的价格销售数量”列一元二次方程，再根据一元二次方程的判别式确定是否有解． 【详解】（1）解：设杨梅每千克降价元． 由题意得． 解得，． 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）． 答：当杨梅每千克定价为18元时，每天能获得6300元的销售额． （2）略 9．一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批”文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤起了广泛而深刻的社会共鸣．截至月初，《给阿嬷的情书》票房已超亿元． (1)已知月日至月日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为万，第三天日票房为万，那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价定为元时，每天约有名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少人，经涨价后发现每天营收增加了元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 【答案】(1)这三天票房的平均增长率为； (2)扛标旗单价上涨了2元或5元． 【分析】（1）设这三天票房的平均增长率为，根据题意列方程解答即可； （2）设单价上涨了元，根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：设这三天票房的平均增长率为 解得：， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为． （2）解：设单价上涨了元， 解得：， 答：扛标旗单价上涨了2元或5元． 1．学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识． (1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？ (2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可； （2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数． 【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲， 依题意，得即， 解得，舍去， 故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲； （2）解：（人）， 故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人． 2．如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)如图，若圈出的4个数、、、中，最小的数，则，________，________．（用含的代数式表示） (2)在小组活动中，小轩通过计算，发现的差恒为常数，请你证明． (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 【答案】(1)，； (2)证明如下： ∵ ， ∴的差恒为常数； (3)7． 【分析】（1）直接根据日历表作答即可； （2）直接计算的值即可； （3）由（1）知最小的数，最大的数，根据“最大的数与最小的数的乘积为105”求出x的值即可． 【详解】（1）解：根据日历表可知，，； （2）略； （3）解：由题意得：， 变形整理得：， 解得：，（舍去）， 即这个最小的数是7． 3．综合与实践 【项目背景】研究玩偶的销售利润与售价之间的关系． 【素材呈现】 素材1：世界杯期间，某商店以每个30元的成本价新进一批玩偶． 素材2：在销售过程中发现，该玩偶的售价定为50元时，每天可卖出100个，在此基础上，售价每降低1元，该玩偶每天可多卖出10个． 素材3：商店准备采用降价销售的方式尽快清空库存，获取合理的利润． 【问题解决】 (1)若该玩偶的售价定为40元，商店每天卖出该玩偶的数量是 个，每天的利润为 元； (2)已知商店每天销售该玩偶的利润是2240元，求该玩偶的售价； (3)商店每天销售该玩偶的利润能否达到2500元？若能，求出该玩偶的售价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)200，2000 (2)该玩偶的售价为44元 (3)商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元；理由： 设该玩偶的售价为x元，此时利润能达到2500元， 由题意可得：， 整理得：， ∵， ∴该一元二次方程没有实数根，∴ 商店每天销售该玩偶的利润不能达到2500元． 【分析】（1）先计算降价后增加的销量，再计算总利润即可； （2）设出售价，根据利润关系列一元二次方程求解即可； （3）设利润能达到2500元，列方程后利用判别式判断方程是否有实根即可解答． 【详解】（1）解： ∵当售价定为50元时，每天卖出100个，售价每降1元多卖10个． ∴当售价为40元时，降价金额为元，增加玩偶的数量为：个，商店每天卖出该玩偶的数量是个， ∴每天的利润为元． （2）解：设该玩偶的售价为x元， 由题意可得：， 整理得：，解得：，均符合． 所以在利润相同的情况下，售价越低销量越高，越有利于尽快清空库存，故舍去售价较高的46元. 答：该玩偶的售价为44元． （3）解：略． 4．如图，在直角坐标系中，平行四边形的边，点以每秒2个单位的速度从点向点运动，同时，点以每秒个单位的速度从点向点运动．当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为． (1)点的坐标为________； (2)当为何值时，的面积是12？ (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点M的坐标为或 【分析】（1）作于点D，则是等腰直角三角形，可求出点C的坐标，再根据平行四边形的性质求点B的坐标； （2）作轴于点，作于点， 延长交的延长线于点， 利用分割法得到，列出方程，可求出此时t的值； （3）根据（2）所求得t的值，再求出的长，以A、P、Q、M为顶点的平行四边形可以为对角线，以此分类讨论，求出所有符合条件的点M的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，作于点D， ， ， ， ， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：作轴于点，作于点， 延长交的延长线于点，    ∵平行四边形， ∴，， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， 由题意，，，则， ∴， ∴， ∴ ， 解得； 此时，， ∴点与点重合，即， 故当时，的面积为12； （3）解：存在， 当平行四边形以为对角线，设交x轴于点E， ， ， ∵点Q以每秒个单位的速度从点O向点C运动， 由（2）得：，， ∴， ∵， ，即， ， 由（2）得：， ， ； 当平行四边形以为对角线，则， ， ； 当平行四边形以为对角线，作交的延长线于点G， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，点M的坐标为，或． 5．综合与实践 【项目主题】科技文创产品的销售利润与定价策略 【素材呈现】 素材1：合肥某科技文创公司依托中科院合肥物质科学研究院“全超导托卡马克（人造太阳）”这一世界级科学装置，新开发了一款“人造太阳”科普拼装模型．该模型每件的生产成本为40元．公司计划采用降价促销的方式，让更多青少年了解可控核聚变这一前沿科技，同时获取合理利润． 素材2：市场调研发现，当这款模型的售价定为60元/件时，每天可售出200件．在此基础上，售价每降低2元，每天的销售量就会增加10件． 素材3：为保证可持续运营，模型的实际售价元不能低于成本价，且为维持品牌科技感，最高不超过60元（即）． 【问题解决】 (1)用含的代数式表示该公司每天售出“人造太阳”模型的数量是_____件； (2)若该公司销售该模型每天的利润恰好为2500元，求此时模型的实际售价； (3)为响应合肥市“科创科普两翼齐飞”的号召，公司决定每售出一件模型，就向市青少年科技创新奖励基金捐赠5元．问扣除捐赠后公司每天获得的实际利润能否达到3800元？若能，求出此时售价；若不能，请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)此时模型的实际售价为50元 (3)扣除捐赠后，每天实际利润不能达到3800元，见解析 【分析】（1）根据题意列出代数式； （2）利用一元二次方程求解； （3）列出一元二次方程，通过根的判别式进行判断． 【详解】（1）解：∵售价60元时销量200件，每降2元增10件， 每降1元，销量增5件， 降价元， 销量； （2）解：每件利润元，销量件，利润2500元，， 整理得， 解得， ， 舍去， 此时模型的实际售价为50元； （3）解：每售出一件捐赠5元， 每件实际利润为元， 假设利润能达到3800元，列方程：， 展开并整理得， ∵此方程中， ， ∴该一元二次方程无实数根， 不存在满足条件的售价 ∴扣除捐赠后，每天实际利润不能达到3800元． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $