专题22.1 成比例线段（高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

本初中数学讲义聚焦成比例线段核心知识点，系统梳理线段的比、成比例线段概念，比例基本性质、合比性质、等比性质，平行线分线段成比例基本事实及推论（A/X型模型），黄金分割定义与应用，构建从概念到性质再到应用的学习支架，为后续相似三角形学习奠定基础。 资料亮点在于分层设计知识点与题型，通过即学即练、典例变式强化理解，突出参数法求值、等比性质分类讨论等思维训练，结合黄金分割在生活中的应用实例，培养几何直观与推理意识，课中助力教师高效教学，课后帮助学生查漏补缺，提升应用能力。

专题22.1 成比例线段 教学目标 1. 认识相似图形，理解线段的比、成比例线段、比例中项的概念，会判断四条线段是否成比例。 2. 掌握比例基本性质、合比性质、等比性质，会使用参数法完成比例求值。 3. 掌握平行线分线段成比例基本事实与三角形推论，能识别 A 型、X 型基本图形进行线段计算。 4. 理解黄金分割定义与黄金比，能完成黄金分割相关计算，了解黄金分割在生活中的应用。 5. 培养几何直观，为后续相似三角形的学习打好基础。 教学重难点 1. 重点 （1）线段的比、成比例线段、比例中项的概念辨析 （2）比例的基本性质，利用参数法进行比例求值 （3）平行线分线段成比例及其推论，基础线段长度计算 （4）黄金分割概念与基础计算 2. 难点 （1）等比性质应用时分母和不为 0 的分类讨论 （2）平行线分线段找准对应线段，A 型、X 型图形识别 （3）比例相关综合求值、多解问题 （4）黄金分割分类讨论，实际情境中的应用计算 知识点 01：线段的比与成比例线段 1. 线段的比：同一长度单位下，两条 的比；比值没有 。 2. 成比例线段定义：四条线段，如果，那么这四条线段叫作 。 3. 相关概念：为比例 ，为比例 ；叫作的第四比例项。 4. 比例中项：若，则，线段叫作线段的 ，线段比例中项取正值。 5. 判断方法：统一单位，把四条线段长度从小到大排序，验证前两项之比等于后两项之比。 【即学即练】 1．下列各组数中，成比例的是（   ） A．3，2，7，6 B．3，5，1，10 C．5，2，4，7 D．2，6，1，3 知识点 02：比例的性质 1. 基本性质：。 2. 合比性质：若，则。 3. 等比性质：若，且，则。 4. 参数法：设，则，用于比例类求值计算。 【即学即练】 1．若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 知识点 03：平行线分线段成比例 1. 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 。 2. 推论：平行于三角形一边的直线，截三角形另外两边（或两边延长线），所得对应线段成比例。 3. 常见模型：A 型、X 型，解题时找准被截直线上的对应线段。 【即学即练】 1．如图，已知，，，那么的长是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 知识点 04：黄金分割 1. 定义：点把线段分成两段（），满足 ，点叫作线段的黄金分割点。 2. 黄金比：。 3. 重要结论：一条线段存在两个黄金分割点；较长线段，较短线段。 【即学即练】 1．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为_____________． 题型 01 判断四条线段是否成比例 统一单位，从小到大排序，验证前两项比值等于后两项比值。 【典例1】.（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）下列各组线段中，、、、成比例的一组是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式1-1】.（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】.（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）下列各组中的四条线段成比例的是(    ) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式1-3】.（25-26九年级上·广西崇左·期末）下列各组线段中，能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 题型 02 比例中项、第四比例项计算 线段比例中项只取正值；依据定义列等式求解。 【典例2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 【变式2-2】.（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 【变式2-3】.（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知线段，，线段是线段，的比例中项，则______． 题型 03 比例式变形正误判断 利用 “交叉相乘化为等积式” 检验，区分合比、等比性质使用条件。 【典例3】.（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）若成立，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】.（25-26八年级下·山东威海·期末）若，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】.（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 题型 04 利用比例性质求值（参数 k 法） 设比值等于，全部字母用含式子代换，再代入化简计算。 【典例4】.（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）若，则的值是______． 【变式4-1】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）若，则的值是________ ． 【变式4-2】.（25-26九年级上·江西景德镇·期末）若，则________． 【变式4-3】.（2026·江苏苏州·三模）若，则___________． 题型 05 等比性质求值（含分类讨论） 优先判断分母总和是否为 0；分母和为 0 时要单独分类计算。 【典例5】.（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）若，则_______． 【变式5-1】.（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（     ） A．10 B．5 C． D． 【变式5-2】.（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）（1）如果，求； （2）如果，求的值． 【变式5-3】.（26-27九年级上·全国·单元复习）解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知a，b，c是的三边，且满足，，请你探索的形状． 题型 06 平行线分线段成比例基础计算 找准被平行线截取的对应线段，严格按对应关系写比例式。 【典例6】.（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是_______． 【变式6-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 【变式6-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【变式6-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 题型 07 A 型、X 型推论应用求线段长 识别模型，平行于三角形一边，对应线段成比例，列方程求解。 【典例7】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知中，点在上，点在上，．，，，则________． 【变式7-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是________． ∴， ∴， 【变式7-2】.（2026·辽宁本溪·二模）如图，，与相交于点，连接，若，，则的长为_____． 【变式7-3】.（25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，在矩形中，若，求的长度． 题型 08 黄金分割基础求值 分清较长线段、较短线段；一条线段有两个黄金分割点，注意多解。 【典例8】.（25-26八年级下·山东威海·期末）已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】.（25-26八年级下·重庆·期末）若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（     ） A． B． C． D．3 【变式8-2】.（2026·江苏宿迁·二模）如图，点是线段上一点，如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图①，点是线段的黄金分割点，若，则__________；（用含根号的式子表示） (2)如图②，在中，，点在斜边上，，点在直角边上，，证明：点是线段的黄金分割点； (3)尺规作图：如图③，作出线段的一个黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法） 【变式8-3】.（25-26九年级上·云南昆明·期中）宽与长的比是（约为）的矩形叫作黄金矩形．如图，现有一张黄金矩形纸片，长，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接．然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形． 题型 09黄金分割实际应用 抓住黄金比，结合题意列式计算。 【典例9】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】.（26-27九年级·全国·暑假作业）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 【变式9-2】.（25-26九年级上·江西赣州·期中）在设计人体雕像时，使雕像上半身（腰部以上）与下半身（腰部以下）的高度比，等于下半身与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计了一座高度为的雷锋雕像． (1)将雕像抽象成线段如图，雕像的上半身为，直接写出，，的数量关系：______； (2)求该雕像的下半身设计高度． 【变式9-3】.（2026·甘肃平凉·二模）黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论，后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，使《几何原本》（如图1）成为最早的有关黄金分割的论著．20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就．下面的作法是由《几何原本》中给出的： 如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 题型 10 阅读理解与比例新定义题型 读懂题目给出新规则，转化为比例线段常规运算进行求解。 【典例10】.（25-26九年级上·广东潮州·期末）定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫作这条线段的黄金分割点．例如：如图1，点是线段上一点，，且，则点是线段的黄金分割点． (1)图1中，若线段，求线段的长． (2)如图2，线段，，是线段的黄金分割点．求证：点是线段的黄金分割点． 【变式10-1】.（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）［知识回顾］同学们，在教材比例线段的章节中，我们学习到比例具有等比性质，即： 如果，则 类似地，有如下推论： 如果，则 ［知识迁移］等比性质可以迁移到某些特殊方程中，现定义：对于某种方程，若它直接（或只通过拆项添项）呈现为（其中A、B、C、D均表示代数式，且，，若C、D代数式中含有未知数，则必须可以直接约分得到一个常数）的形式，那么称这种方程为等比方程． 如方程是等比方程（可看作，，，） 不是等比方程（可看作，，，，，它不是一个常数） ［知识运用］结合定义，方程是某个等比方程在等式某边的分式经过约分一个常数后得到的新方程，求的值． 【变式10-2】.（25-26九年级上·山西临汾·期中）黄金分割是几何学中的瑰宝之一，给人以震撼的美感．课本第56页这样定义“黄金分割点”：如图1，点P将线段分成两部分，若，则称点P为线段的黄金分割点，这个比值称为黄金比． (1)如图1，若，求黄金比的值．（保留根号） (2)某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，如图2，在中，点D是边上一点，将分割成两个三角形（），当满足，则称为的黄金分割线． ①求证：此时点D是线段的黄金分割点； ②若的面积为4，请直接写出的面积． 【变式10-3】.（2026·山西吕梁·模拟预测）阅读与思考 下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务． 黄金分割数一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 如图1，点C为线段上一点，点C把线段分成和两段，其中．若线段之间的关系满足，则点C是线段的一个黄金分割点，k为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程： 设，，则， …… 任务： (1)概念理解：根据材料可知，一条线段有________个黄金分割点； (2)补全材料中求黄金分割数k的解答过程； (3)拓展应用：如图2，利用无刻度的直尺和圆规，作线段的黄金分割点C，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 一、单选题 1．如图，在中，，，，，则的长是（     ） A． B．4 C．6 D．8 2．如图，直线，若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．在地图上量得甲、乙两地的距离是，甲、乙两地的实际距离是，则该张地图的比例尺为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，已知点在的边和上，，，，，则________． 5．已知，则__________． 6．如图，汉字“十”端庄美观，横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，若长，则的长为________． 三、解答题 7．如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线DF分别交、、于点D、E、F．若，，，求线段长． 8．一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比． 如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）的基础上，求的值． 9．如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 1．如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，交直线于点，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形中，和相交于点，点为线段的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 3．宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 4．【知识情境】在研学实践活动中，小安同学认识了一种特殊的长方形——黄金矩形．它比例和谐，外形美观，宽与长的比值为．矩形是我们即将学习的内容，下面运用已学的二次根式知识，对黄金矩形的比例进行解释． 如图，黄金矩形按如下方式构造： 1.作正方形，边长； 2.取的中点； 3.以为圆心，为半径画弧，交延长线于点； 4.过点作的垂线，交延长线于点． 经计算，该黄金矩形的宽与长的比值为：． 【知识回顾】素材1： ；素材2：． 【解决问题】 (1)化简：； (2)根据计算可知【知识情境】中的长方形也是黄金矩形，请通过计算说明理由． 5．阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 年月日  星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在中，平分交于点，求证： 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点作，交的延长线于点． （依据），，． 平分，． ．． ，即． 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在中，外角的平分线与的延长线交于点，那么能不能参照上述方法求出线段，，，之间的比例关系呢？ …… 任务： (1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指__________． (2)如图3，在中，，请你作出边的一个三等分点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (3)求出【拓展探究】中，线段，，，之间的比例关系． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题22.1 成比例线段 教学目标 1. 认识相似图形，理解线段的比、成比例线段、比例中项的概念，会判断四条线段是否成比例。 2. 掌握比例基本性质、合比性质、等比性质，会使用参数法完成比例求值。 3. 掌握平行线分线段成比例基本事实与三角形推论，能识别 A 型、X 型基本图形进行线段计算。 4. 理解黄金分割定义与黄金比，能完成黄金分割相关计算，了解黄金分割在生活中的应用。 5. 培养几何直观，为后续相似三角形的学习打好基础。 教学重难点 1. 重点 （1）线段的比、成比例线段、比例中项的概念辨析 （2）比例的基本性质，利用参数法进行比例求值 （3）平行线分线段成比例及其推论，基础线段长度计算 （4）黄金分割概念与基础计算 2. 难点 （1）等比性质应用时分母和不为 0 的分类讨论 （2）平行线分线段找准对应线段，A 型、X 型图形识别 （3）比例相关综合求值、多解问题 （4）黄金分割分类讨论，实际情境中的应用计算 知识点 01：线段的比与成比例线段 1. 线段的比：同一长度单位下，两条线段长度的比；比值没有单位。 2. 成比例线段定义：四条线段，如果，那么这四条线段叫作成比例线段。 3. 相关概念：为比例外项，为比例内项；叫作的第四比例项。 4. 比例中项：若，则，线段叫作线段的比例中项，线段比例中项取正值。 5. 判断方法：统一单位，把四条线段长度从小到大排序，验证前两项之比等于后两项之比。 【即学即练】 1．下列各组数中，成比例的是（   ） A．3，2，7，6 B．3，5，1，10 C．5，2，4，7 D．2，6，1，3 【答案】D 【分析】根据比例的性质，即最小的数和最大的数相乘与另外两个数相乘的积相等，即可判断． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故不符合题意； D、，故符合题意； 知识点 02：比例的性质 1. 基本性质：。 2. 合比性质：若，则。 3. 等比性质：若，且，则。 4. 参数法：设，则，用于比例类求值计算。 【即学即练】 1．若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可． 【详解】解：由可设，（）， 对选项A，，仅当时结果为，不是对任意成立，故选项A错误； 对选项B，由交叉相乘得，与不符，故选项B错误； 对选项C，，仅当时结果为，不是对任意成立，故选项C错误； 对选项D，，等式一定成立，故选项D正确，符合题意． 知识点 03：平行线分线段成比例 1. 基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2. 推论：平行于三角形一边的直线，截三角形另外两边（或两边延长线），所得对应线段成比例。 3. 常见模型：A 型、X 型，解题时找准被截直线上的对应线段。 【即学即练】 1．如图，已知，，，那么的长是（     ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 知识点 04：黄金分割 1. 定义：点把线段分成两段（），满足，点叫作线段的黄金分割点。 2. 黄金比：。 3. 重要结论：一条线段存在两个黄金分割点；较长线段，较短线段。 【即学即练】 1．如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为_____________． 【答案】/ 【分析】此题考查了黄金分割点的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫作黄金分割，他们的比值叫作黄金比．根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 题型 01 判断四条线段是否成比例 统一单位，从小到大排序，验证前两项比值等于后两项比值。 【典例1】.（26-27九年级上·辽宁沈阳·开学考试）下列各组线段中，、、、成比例的一组是（     ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】利用比例的基本性质，通过验证与是否相等判断四条线段是否成比例． 【详解】解：A、， ，， ， 该组线段不成比例； B、， ，， ， 该组线段成比例； C、， ，， ， 该组线段不成比例； D、， ，， ， 该组线段不成比例． 【变式1-1】.（25-26八年级下·四川成都·期中）下列各组线段中，a、b、c、d成比例的一组是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若四条线段满足，则称这四条线段成比例，据此对各选项逐一验证即可． 【详解】解：A、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． B、， ，， ∴， 这组线段成比例，故本选项正确． C、， ，， ∵， 这组线段不成比例，故本选项错误． D、， ，， ∵， ∴这组线段不成比例，故本选项D错误． 【变式1-2】.（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）下列各组中的四条线段成比例的是(    ) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】线段成比例强调的是线段之间的数量关系，即两条线段的长度之比是否相等，由此计算即可求解． 【详解】解：选项A、 ， ∴ 四条线段不成比例，A错误； 选项B 、，则， ∴ 四条线段成比例，B正确； 选项C 、， ∴ 四条线段不成比例，C错误； 选项D 、， ∴ 四条线段不成比例，D错误； 故选：B． 【变式1-3】.（25-26九年级上·广西崇左·期末）下列各组线段中，能成比例的是（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段． 根据成比例线段的概念，对各组线段按从小到大排序，计算判断即可． 【详解】解：A．排序为，，，，，，，该组线段不成比例，不符合题意； B．排序为，，，，，，，该组线段不成比例，不符合题意； C．排序为，，，，，，，该组线段不成比例，不符合题意； D．排序为，，，，，，，该组线段成比例． 故选：D． 题型 02 比例中项、第四比例项计算 线段比例中项只取正值；依据定义列等式求解。 【典例2】.（26-27九年级上·全国·单元复习）已知线段，，，为成比例线段，其中，，，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按成比例线段的给定顺序列比例式计算的值即可． 【详解】解：∵，，，是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴． 【变式2-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）已知三条线段的长分别是，和，如果再加上一条线段，使这四条线段成比例，那么这条线段的长是________． 【答案】或或 【分析】分类讨论求出比例的值，分别计算即可． 【详解】解：设所求的线段是，根据题意得到， ， 解得． ， 解得． ， 解得． 【变式2-2】.（25-26八年级下·山东泰安·期末）已知线段a、b、c的长度分别为3、6、9，再选取一条线段d，使得这四条线段成比例，这条线段的长度不能是（     ） A．2 B．4.5 C．18 D．8 【答案】D 【分析】根据比例基本性质，两内项之积等于两外项之积，分三种情况计算出线段d的所有可能值，即可判断出不可能的取值． 【详解】解：情况1：若，则，解得，对应选项C，可能； 情况2：若，则，解得，对应选项B，可能； 情况3：若，则，解得，对应选项A，可能； ∴d的可能取值为2，4.5，18，不可能为8，故D不可能． 【变式2-3】.（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）已知线段，，线段是线段，的比例中项，则______． 【答案】 【分析】本题考查了比例中项的概念，熟练掌握“比例中项的平方等于另外两个数的乘积”是解题的关键．直接根据比例中项的公式计算即可． 【详解】解：线段是线段，的比例中项， ， 解得或（舍去）， ． 故答案为：． 题型 03 比例式变形正误判断 利用 “交叉相乘化为等积式” 检验，区分合比、等比性质使用条件。 【典例3】.（26-27九年级上·重庆沙坪坝·开学考试）若，则下列各式中一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例的基本性质，可通过设参数法结合比例性质化简，逐一判断选项即可. 【详解】解：由可设，（）． 选项A，，仅当时等于，不恒成立，故A错误； 选项B，由交叉相乘得，与不符，故B错误； 选项C，，仅当时等于，不恒成立，故C错误； 选项D，，等式恒成立，故D正确． 【变式3-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）若成立，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各选项的比例式转化为等积式，与已知推导的对比，判断等式是否成立； 【详解】解：∵， ∴，且均不为0. ∵， ∴ ，与已知一致， ∴ A成立； 设，则，， 当时， ∴， ∴ B成立； ∵，，， ∴， ∴C成立； ∵， ∴，与不一定相等， ∴ D不成立； 【变式3-2】.（25-26八年级下·山东威海·期末）若，则下列选项正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用设参数法，将，用含同一参数的式子表示，再代入各选项验证即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴设，（）． 对于，根据比例的基本性质，由可得，故错误； 对于，，仅满足比例关系，具体值不固定，因此不一定等于，故错误； 对于，，故错误； 对于，，故正确． 【变式3-3】.（25-26八年级下·山东青岛·期末）已知，则下列各式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可根据已知条件得到a和b的关系，再通过代入或比例变形判断各选项是否成立． 【详解】解：∵，， ∴， 选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：代入得左边，仅当时等式成立，不是恒成立，C错误； 选项D：将等式交叉相乘得 ， 展开得， 化简得，与已知条件一致，等式恒成立，D正确． 题型 04 利用比例性质求值（参数 k 法） 设比值等于，全部字母用含式子代换，再代入化简计算。 【典例4】.（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）若，则的值是______． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，设、，其中，代入所求分式化简计算即可． 【详解】解： 可设，，其中 将，代入得： ． 【变式4-1】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）若，则的值是________ ． 【答案】4 【详解】解：设， ∴， ∴． 【变式4-2】.（25-26九年级上·江西景德镇·期末）若，则________． 【答案】 【分析】设比例系数，用表示和，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：设，其中， ∴ ，， 将，代入得：． 【变式4-3】.（2026·江苏苏州·三模）若，则___________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，通过设参数表示x和y，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴设，， ∴． 题型 05 等比性质求值（含分类讨论） 优先判断分母总和是否为 0；分母和为 0 时要单独分类计算。 【典例5】.（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）若，则_______． 【答案】 【分析】根据比例的性质得到，进而代入计算即可得到结果． 【详解】解：， ∴， ∴． 【变式5-1】.（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）已知a，b，c，d，e，f六条线段满足，若，那么的值为（     ） A．10 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，，． ∵， ∴． 【变式5-2】.（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）（1）如果，求； （2）如果，求的值． 【答案】（1）；（2）的值为1或． 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键． （1）利用比例的性质求解； （2）利用比例的性质求解，注意分与两种情况，分别讨论． 【详解】解：（1） ， ， ， ； （2） ， ，，， ， 即， 当时，； 当时，， ， 综上可知，的值为1或． 【变式5-3】.（26-27九年级上·全国·单元复习）解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知a，b，c是的三边，且满足，，请你探索的形状． 【答案】(1) (2)直角三角形 【分析】（1）把所求分式拆开，利用已知条件求出的值，代入直接计算． （2）利用设参数k的方法表示三边，再根据三边之和列方程求出k，得到三边长，最后用勾股定理逆定理判定三角形形状． 【详解】（1）解：， ． ； （2）解：令． ，，， ，，． 又． ， ． ，，， ，， 是直角三角形． 题型 06 平行线分线段成比例基础计算 找准被平行线截取的对应线段，严格按对应关系写比例式。 【典例6】.（26-27九年级上·吉林长春·开学考试）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是_______． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：∵直线分别交直线，于点，，，，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【变式6-1】.（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，直线，直线m、n与这三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F．若，，则的值为（     ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据的长，用含的代数式表示出，再根据平行线分线段成比例定理即可列比例式方程，解出即可得的值． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是此方程的解， ∴的值为． 【变式6-2】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，直线，分别交直线m于点A，B，C，交直线n于点D，E，F． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据平行线分线段成比例定理进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 即， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【变式6-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知，直线与直线相交于点O．如果，，，则________． 【答案】16 【分析】根据题意列出比例关系求出的长度，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ． 题型 07 A 型、X 型推论应用求线段长 识别模型，平行于三角形一边，对应线段成比例，列方程求解。 【典例7】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，已知中，点在上，点在上，．，，，则________． 【答案】6 【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式，即可求解，再计算出即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ． 【变式7-1】.（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，数轴的原点O对应刻度尺的0刻度线，图中的虚线互相平行，则点M对应的数是________． 【答案】 【分析】根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求出即可． 【详解】解：如图，由题意，得：，，，， ∴， ∴， ∴点M对应的数是：. 【变式7-2】.（2026·辽宁本溪·二模）如图，，与相交于点，连接，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】过点作，由得到，再由平行线分线段成比例得到，得到即可确定答案． 【详解】解：过点作，如图所示： ， ，则， ， ， 由平行线分线段成比例可知， ， ． 【变式7-3】.（25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，在矩形中，若，求的长度． 【答案】1 【分析】根据矩形的性质得到，，根据平行线分线段成比例定理得到，根据勾股定理求出的值，即可得到的长度． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型 08 黄金分割基础求值 分清较长线段、较短线段；一条线段有两个黄金分割点，注意多解。 【典例8】.（25-26八年级下·山东威海·期末）已知，线段，点，是线段的两个黄金分割点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据黄金分割比例求出的长，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵线段，点，是线段的两个黄金分割点， ∴， ∴． 【变式8-1】.（25-26八年级下·重庆·期末）若点P是线段的黄金分割点，且，，则的长度为（     ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查黄金分割的定义，解题思路是根据黄金分割的定义得到与的关系，再代入的长度计算即可． 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，且 ∴ 又∵ ∴． 【变式8-2】.（2026·江苏宿迁·二模）如图，点是线段上一点，如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图①，点是线段的黄金分割点，若，则__________；（用含根号的式子表示） (2)如图②，在中，，点在斜边上，，点在直角边上，，证明：点是线段的黄金分割点； (3)尺规作图：如图③，作出线段的一个黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1) (2)证明：∵在中，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点是线段的黄金分割点； (3)如图所示，即为所求． 【分析】（1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）由勾股定理得，则，，再证明，即可证明结论； （3）如图1，作出线段的中点，过点B作的垂线，并在该垂线上截取，以点C为圆心，的长为半径画弧交于点D，再以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点P，则点P即为所求；同理在图2中作出靠近点A的黄金分割点即可． 【详解】（1）解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（已检验）或（舍去）； （2）略 （3）略 【变式8-3】.（25-26九年级上·云南昆明·期中）宽与长的比是（约为）的矩形叫作黄金矩形．如图，现有一张黄金矩形纸片，长，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接．然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形． 【答案】(1)2 (2) 证明：根据折叠的性质，得四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． 【分析】（1）根据题意，，结合，解答即可； （2）根据定义证明即可． 本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，理解黄金矩形的定义是关键． 【详解】（1）解：∵黄金矩形纸片，， ∴， ∴， 解得． （2）略 题型 09黄金分割实际应用 抓住黄金比，结合题意列式计算。 【典例9】.（25-26八年级下·山东烟台·期末）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点为的黄金分割点（），若，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义：将一条线段分成两部分，使较长部分与全长的比等于较短部分与较长部分的比，比值为 ,根据题意计算即可． 【详解】解：根据黄金分割点的定义，当点为的黄金分割点（）时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式9-1】.（26-27九年级·全国·暑假作业）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 【答案】 【分析】先证明四边形是矩形，求出的长，再根据黄金分割的定义，可得，代入即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， 又 ， ， ， 四边形是矩形， ． 又 ， ， 则的长为． 【变式9-2】.（25-26九年级上·江西赣州·期中）在设计人体雕像时，使雕像上半身（腰部以上）与下半身（腰部以下）的高度比，等于下半身与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计了一座高度为的雷锋雕像． (1)将雕像抽象成线段如图，雕像的上半身为，直接写出，，的数量关系：______； (2)求该雕像的下半身设计高度． 【答案】(1)； (2)该雕像的下半身设计高度为． 【分析】本题考查黄金分割，分式方程的应用，正确列出方程是解题关键． （1）根据雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，即可得出答案；． （2）设，则，根据（1）的结论，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（或）． （2）解：设，则， 依题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该雕像的下半身设计高度为． 【变式9-3】.（2026·甘肃平凉·二模）黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论，后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，使《几何原本》（如图1）成为最早的有关黄金分割的论著．20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就．下面的作法是由《几何原本》中给出的： 如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，点就是线段的黄金分割点： 【分析】本题考查线段中点以及正方形的尺规作图方法． 【详解】设，则， ， ， ， 所以点就是线段的黄金分割点 题型 10 阅读理解与比例新定义题型 读懂题目给出新规则，转化为比例线段常规运算进行求解。 【典例10】.（25-26九年级上·广东潮州·期末）定义：某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫作这条线段的黄金分割点．例如：如图1，点是线段上一点，，且，则点是线段的黄金分割点． (1)图1中，若线段，求线段的长． (2)如图2，线段，，是线段的黄金分割点．求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】(1) (2) 证明：∵，是线段的黄金分割点， ∴， ∵，是线段的黄金分割点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴点是线段的黄金分割点． 【分析】本题考查了黄金分割点的意义，解一元二次方程． （1）设，则，根据，列得一元二次方程，解之取正值即可求解； （2）利用黄金分割点的意义求得和的长，进一步求得和的长，再分别求得和，据此判断即可． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴，即， 解得（舍去负值）， ∴； （2）略 【变式10-1】.（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）［知识回顾］同学们，在教材比例线段的章节中，我们学习到比例具有等比性质，即： 如果，则 类似地，有如下推论： 如果，则 ［知识迁移］等比性质可以迁移到某些特殊方程中，现定义：对于某种方程，若它直接（或只通过拆项添项）呈现为（其中A、B、C、D均表示代数式，且，，若C、D代数式中含有未知数，则必须可以直接约分得到一个常数）的形式，那么称这种方程为等比方程． 如方程是等比方程（可看作，，，） 不是等比方程（可看作，，，，，它不是一个常数） ［知识运用］结合定义，方程是某个等比方程在等式某边的分式经过约分一个常数后得到的新方程，求的值． 【答案】2或 【分析】本题考查了“等比方程”，整式的加减运算，等比性质，分式的基本性质，理解题意是解题的关键．第一种情况，不妨设，即，那么，，不妨设，那么，从而得出答案；同理，第二种情况，不妨设，按第一种情况方法，求得答案即可． 【详解】解：第一种情况，不妨设， 即， ∴，， 不妨设， 那么， ∴， ∴， ∴． 第二种情况，不妨设， 即， ∴，， 不妨设， 那么， ∴， ∴， ∴． 综上所述，或． 【变式10-2】.（25-26九年级上·山西临汾·期中）黄金分割是几何学中的瑰宝之一，给人以震撼的美感．课本第56页这样定义“黄金分割点”：如图1，点P将线段分成两部分，若，则称点P为线段的黄金分割点，这个比值称为黄金比． (1)如图1，若，求黄金比的值．（保留根号） (2)某数学兴趣小组在进行课题研究时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，如图2，在中，点D是边上一点，将分割成两个三角形（），当满足，则称为的黄金分割线． ①求证：此时点D是线段的黄金分割点； ②若的面积为4，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2) ①解：设中边上的高为， ∵， ∴， ∴， ∴点是的黄金分割点． ② 【分析】本题考查了黄金分割，解一元二次方程．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． （1）设，则，由题意，，即，整理得，计算求出满足要求的解，然后代入求黄金分割比即可； （2）①设中边上的高为，可得，即，进而可得点是的黄金分割点； ②解：设的面积为，则的面积为，根据，可得，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：设，则， 由题意，， ∴，整理得， 解得，（不合题意，舍去） ∴， ∴． （2）①略 ②解：设的面积为，则的面积为， ∵， ∴， 整理得， 解得，（不合题意，舍去） ∴的面积为． 【变式10-3】.（2026·山西吕梁·模拟预测）阅读与思考 下面是一篇数学材料，请认真阅读并完成相应的任务． 黄金分割数一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 如图1，点C为线段上一点，点C把线段分成和两段，其中．若线段之间的关系满足，则点C是线段的一个黄金分割点，k为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程： 设，，则， …… 任务： (1)概念理解：根据材料可知，一条线段有________个黄金分割点； (2)补全材料中求黄金分割数k的解答过程； (3)拓展应用：如图2，利用无刻度的直尺和圆规，作线段的黄金分割点C，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】(1)2 (2)解：设，，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴． (3)如图所示，点即为所求．（答案不唯一） 【分析】（1）由于线段有两个方向，从线段的两个端点分别去考虑满足黄金分割条件的点，此时一条线段有2个黄金分割点； （2）根据题意线段比例关系及线段的表达式列出方程求解x即可； （3）作线段的垂直平分线，交线段于点O，过点作的垂线，截取，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，交于点E，最后以点A为圆心，为半径画弧，交于点C，此时点C即为所求． 【详解】（1）解：∵一条线段上有两个不同的点可以将线段分成不相等的两条线段，且满足较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比， ∴一条线段有2个黄金分割点； （2）略 （3）证明：设的长度为， ∵为的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， ∵， ∴． 一、单选题 1．如图，在中，，，，，则的长是（     ） A． B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ 2．如图，直线，若，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例即可进行解答． 【详解】解：， ． ，， ． ． 3．在地图上量得甲、乙两地的距离是，甲、乙两地的实际距离是，则该张地图的比例尺为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解题关键是先统一长度单位. 【详解】解：，该地图比例尺为. 二、填空题 4．如图，已知点在的边和上，，，，，则________． 【答案】9 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∴． 5．已知，则__________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，将，，分别用，，表示，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵，且，，作为分母不为， ∴，，， 将其代入所求分式得： ． 6．如图，汉字“十”端庄美观，横竖笔画交接处点恰好是线段的黄金分割点，若长，则的长为________． 【答案】 【分析】由图可知为较长线段，根据黄金分割点的定义可得，代入数据列一元二次方程求解即可． 【详解】解：由图可知，点是线段的黄金分割点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 三、解答题 7．如图，直线，直线分别交、、于点A、B、C，直线DF分别交、、于点D、E、F．若，，，求线段长． 【答案】 【详解】解：∵，，，， ∴，即， 解得， ∴． 8．一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比． 如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点D，E，使，均为黄金三角形，要求保留作图痕迹，不写作法； (2)在（1）的基础上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角可知，则分别以点B和点C为圆心，为半径画弧交于点D和点E，即可解答； （2）连接，，根据“黄金三角形”的定义得到，，，可知为黄金三角形，根据“黄金三角形”的性质作答即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图，连接，． 由（1）知，，为黄金三角形， ∴，， ∴，，， ∴为黄金三角形，可得， 即， ∴． 9．如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 【答案】(1) (2)证明：过点作交于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 即． 【分析】（1）先过点作交于，从而可得出，于是可列出比例式，再根据点是中点，结合得出结论； （2）先过点作交于，从而可得出，再得出，从而可得，这样就可得到，然后同理可得：，于是可得出结论． 【详解】（1）解：过点作交于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴点是中点， ∴； （2）略 1．如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，交直线于点，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质得出，，根据平行线分线段成比例定理，可得 ，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ， ∴． ． 2．如图，在正方形中，和相交于点，点为线段的中点，连接并延长交于点．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】过点作交于点，利用平行线分线段成比例定理即可求解. 【详解】解：过点作交于点， ∵正方形中，， ∴ ∴， ∵点为线段的中点，， ∴ ∴， ∴， ∵正方形中，， ∴. 3．宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：设的长度是， 矩形是黄金矩形，是， ，即，故①正确； ，即，故④正确； 四边形是正方形， ， ， 矩形是黄金矩形， ，即，故②正确； ， ，故③正确； 故选：D． 4．【知识情境】在研学实践活动中，小安同学认识了一种特殊的长方形——黄金矩形．它比例和谐，外形美观，宽与长的比值为．矩形是我们即将学习的内容，下面运用已学的二次根式知识，对黄金矩形的比例进行解释． 如图，黄金矩形按如下方式构造： 1.作正方形，边长； 2.取的中点； 3.以为圆心，为半径画弧，交延长线于点； 4.过点作的垂线，交延长线于点． 经计算，该黄金矩形的宽与长的比值为：． 【知识回顾】素材1： ；素材2：． 【解决问题】 (1)化简：； (2)根据计算可知【知识情境】中的长方形也是黄金矩形，请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2) 根据作图可知，， 在中，， ， ， 长方形也是黄金矩形． 【分析】（1）根据素材1平方差公式及素材2分母有理化的技巧化简即可； （2）根据黄金矩形的定义及已知条件找到与的长，再求比值即可． 【详解】（1）解：； （2）解：略． 5．阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 年月日  星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在中，平分交于点，求证： 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点作，交的延长线于点． （依据），，． 平分，． ．． ，即． 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在中，外角的平分线与的延长线交于点，那么能不能参照上述方法求出线段，，，之间的比例关系呢？ …… 任务： (1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指__________． (2)如图3，在中，，请你作出边的一个三等分点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (3)求出【拓展探究】中，线段，，，之间的比例关系． 【答案】(1)平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） (2)答案不唯一， 如答图1，点即为所求. (3) 【分析】（1）根据题中证明过程填写依据即可； （2）根据题意，作角平分线即可； （3）过点作，交于点，则，进而证明，即可得出． 【详解】（1）解：平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）； （2）略 （3）如答图2，过点作，交于点.     ，，.     平分， .             . .             . 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $