专题21.2 一元二次方程的解法（高效培优讲义）数学新教材华东师大版九年级上册

本讲义聚焦一元二次方程的解法这一核心知识点，系统梳理直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法四种基本解法，衔接根的判别式及根与系数关系的应用，构建从基础解法到综合运用的学习支架。 资料通过“即学即练”“典例+变式”设计，突出配方法中“一次项系数一半的平方”等操作要点，结合根与系数关系的代数式变形实例，培养学生运算能力与推理意识。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过针对性练习巩固知识、查漏补缺。

专题21.2 一元二次方程的解法 教学目标 1.掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法四种解法，能根据方程特点灵活选择合适的解法解一元二次方程。 2.理解根的判别式的意义，能运用判别式判断一元二次方程根的情况，或根据根的情况求参数的取值范围。 3.掌握一元二次方程根与系数的关系，能运用其进行相关代数式的求值与参数求解。 4.经历解法探究过程，体会“降次转化”的数学思想，提升运算能力。 教学重难点 1.重点 （1）配方法与公式法解一元二次方程 （2）根的判别式的理解与应用 （3）根与系数的关系及相关计算 2.难点 （1）配方法中正确配方的操作要点 （2）根据方程特征灵活选择最优解法 （3）根的判别式与根与系数关系的综合应用 知识点01：直接开平方法 1.基本原理：根据平方根的定义，若（），则。 2.适用方程类型：形如（）、（，）的一元二次方程。 3.注意事项：当时，方程没有实数根；开平方时不要漏掉负根，避免出现漏解。 【即学即练】 1．利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 直接开平方，得， ，； （2）解： 移项，得， 直接开平方，得， ，． 2．若方程的根为整数，则m的值可以是_________．（只填符合条件的一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】将原方程变形可得，根据平方根的性质，若方程的根为整数，则为非负完全平方数，任取一个满足条件的值即可． 【详解】解：原方程移项得， 开平方得， 因为方程的根为整数， 因此为整数， 即为完全平方数， 取，此时方程的根为，均为整数，符合要求． 知识点02：因式分解法 1.基本原理：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0，即若，则或。 2.解题步骤： 移项，使方程右边为0； 将方程左边分解为两个一次因式的乘积； 令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程； 解这两个一元一次方程，得到原方程的根。 3.常用分解方法：提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法、十字相乘法。 4.易错提醒：解方程时，不能在方程两边同时除以含有未知数的代数式，否则会造成丢根。 【即学即练】 1．解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ，． （2）解： 或 ，． 2．解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）对二次三项式十字相乘分解因式； （2）提取公因式分解因式，分别令每个因式等于0即可得到方程的根． 【详解】（1）解： 因式分解得 或 解得， （2）解： 提取公因式得 整理得 或 解得， 知识点03：配方法 1.定义：通过配方将一元二次方程转化为的形式，再利用直接开平方法求解，这种解法叫作配方法。 2.二次项系数为1时的配方步骤： 移项：将常数项移到方程右边； 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 变形：将方程左边写成完全平方式，右边合并常数； 开方：用直接开平方法求解。 3.二次项系数不为1时：先将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1，再按上述步骤配方。 4.核心要点：配方的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方，且必须保证二次项系数为1。 【即学即练】 1．一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法步骤，先移常数项到等号右侧，再在等号两边加上一次项系数一半的平方，即可得到配方结果． 【详解】解：原方程为， 移项得， 一次项系数为，一半的平方为，等式两边同时加得， ， 整理得． 2．解方程： (1)； (2)（用配方法解方程）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 或， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 知识点04：公式法 1.求根公式：对于一元二次方程（），当时，它的根为 2.推导来源：由配方法对一般形式的一元二次方程配方推导得出。 3.解题步骤： 将方程化为一般形式，确定、、的值； 计算判别式，判断根的情况； 当时，代入求根公式计算方程的根。 【即学即练】 1．若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式， 通过比较给定根表达式与求根公式，确定二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值，从而得到方程． 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为 ， 给定根为， ∴，故， ，故， 又， ∴，代入，得，即，故， 因此方程为， 即， 故选：C． 2．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）先去括号，移项，合并同类项，再开平方即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ，； （2）解： ， ， ，． 知识点05：一元二次方程根的判别式 1.定义：我们把叫作一元二次方程（）根的判别式，记作，即。 2.根的情况与判别式的对应关系 判别式取值 一元二次方程根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 3.常见应用：不解方程直接判断根的情况；根据方程根的情况，求参数的取值范围。 【即学即练】 1．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，只需计算根的判别式的值与0的大小关系即可判断方程根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程 可得 ，，， ， ∴ 方程有两个不相等的实数根 2．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】当，即时，原方程为一元一次方程，满足题意；当，即时，原方程是一元二次方程，利用判别式求出此时m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当，即时，此时原方程为，解得，有实数根，符合题意； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵原方程有实数根， ∴， ∴， 解得，即此时满足条件的范围是且， 综上所述，的取值范围是． 知识点06：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1.基本结论：若一元二次方程（）的两个实数根为、，则 2.常用代数式变形 3.注意事项：根与系数的关系成立的前提是方程有实数根，即。 【即学即练】 1．设，分别是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系可直接求出两根之和 【详解】解：一元二次方程为， ，， 2．已知的两个根为，则_______，_______，_______，_______，_______． 【答案】 / 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项， 根据根与系数的关系可得：，， ∴； ； ， ． 题型01用直接开平方法解一元二次方程 先将方程整理为的形式，当时开平方得，再解两个一元一次方程；注意不要漏掉负根，时方程无实根。 【典例1】. （25-26八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可． 【详解】解：， 化简得， 两边直接开平方，得， 解得． 故选：D． 【变式1】. （25-26八年级下·广西崇左·期中）方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴或， 解得，． 【变式2】. （25-26八年级下·北京昌平·期末）一元二次方程的解为_________． 【答案】， 【分析】提取公因式后将原方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 因式分解得：， 可得或， 解得：，． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏苏州·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 题型02用提公因式法解一元二次方程 移项使方程右边为0，提取公因式将左边分解为两个一次因式的乘积，分别令因式为0求解；严禁方程两边同除以含未知数的式子，避免丢根。 【典例2】. （25-26八年级上·上海松江·期末）按要求解答下列问题： 小华与小海两位同学解方程的过程如下： 小华： 解： 两边同时除以，得 ． 解得：． 小海： 解： 提公因式，得， 由此得或． 解得：，． (1)小华的解法是错误的，原因是____________ (2)小海的解法是______（填“正确”或“错误”）．如果小海的解法错误，请写出正确的解题过程． 【答案】(1)可能为0 (2)错误，见解析，， 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是关键． （1）根据除数为零无意义进行解答即可； （2）判断后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：小华的解法是错误的，原因是：两边同时除以，可能为0． 故答案为：可能为0 （2）解：小海的解法是错误的，正确的过程如下：     整理得 解得，． 所以原方程的根是，． 【变式1】. （25-26八年级下·福建莆田·期末）解方程： 【答案】， 【详解】解： ∴或 ， 【变式2】. （25-26八年级下·福建福州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，. (2)，. 【分析】（1）移项后利用直接开平方法求解； （2）移项后提取公因式，用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得， 开平方得， 解得，， （2） 移项得， 提取公因式得， 整理得， 则或， 解得，． 【变式3】. （25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴或， ∴或， ∴，． 题型03用因式分解解一元二次方程 方程符合平方差或完全平方公式结构时，直接套用乘法公式分解因式，转化为两个一次方程后求解。 【典例3】. （26-27九年级·全国·暑假作业）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 因式分解得，， ∴或， 解得：，． （2）解： 因式分解得，， ∴或， 解得：，． 【变式1】. （25-26八年级下·湖南长沙·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】， ， 或， 解得：，． 【变式2】. （25-26八年级下·福建莆田·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解，转化为两个一元一次方程求解； （2）先整理方程，提取公因式因式分解后，转化为两个一元一次方程求解． 【详解】（1）解：， ， ∴或， 解得：，． （2）解：， ， ， ， ∴或， 解得：，． 【变式3】. （25-26八年级下·山东济南·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， 或， ； （2）解：， ， 或， ． 题型04用十字相乘法解一元二次方程 二次项系数为1时，找两数满足“和为一次项系数、积为常数项”，分解为；二次项系数不为1时，拆分二次项与常数项，交叉相乘验证和等于一次项系数。 【典例4】. （25-26八年级下·广东深圳·期末）阅读下面的材料，利用材料解决问题的策略解答下面问题． 内容1：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键核心是“拆两头，凑中间”．例如，分解因式． 方法如下：拆两头，拆为，，拆为，， 然后排列如下：． 交叉相乘，积相加得，凑得中间项， 所以分解为． (1)用因式分解法解方程． 内容2：小远准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． (2)他把“◆”猜成5，请你解方程：； (3)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 【答案】(1)， ， 或， 所以，； (2) (3) 【分析】（1）用因式分解法解方程即可； （2）方程去分母转化成一元一次方程，然后求解检验即可； （3）首先解方程得到，然后得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为； （3）解：设原题中“◆”是， 去分母得：， 由分式方程无解，得到， 把代入整式方程得：． 【变式1】. （25-26八年级下·安徽安庆·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 【变式2】. （25-26八年级下·江苏南通·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1), (2), 【详解】（1）解：， ， 两边开平方得， 即或， 解得，； （2） 因式分解得 即或 解得，． 【变式3】. （25-26八年级下·浙江绍兴·期中）将分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】 (1)分解因式：（ ）（ ） (2)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． 【答案】(1)1，4 (2)①，；②， 【分析】（1）根据十字相乘法分解即可； （2）根据十字相乘法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①， ， ∴， ∴原方程的解为，； ②，     ， ∴， ∴原方程的解为，． 题型05用配方法解一元二次方程 二次项系数不为1时先化为1，移项后两边同时加一次项系数一半的平方，配成完全平方式，再用直接开平方法求解；等式两边需同步配方。 【典例5】. （25-26八年级下·河北张家口·期末）将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到横线上需要填的数. 【详解】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 【变式1】. （25-26八年级下·浙江杭州·期末）用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式配方即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴． 【变式2】. （25-26八年级下·山东威海·期末）用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 因式分解： ； （2）解： 配方法： ． 【变式3】. （25-26八年级下·河北石家庄·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)，； (2)， 【分析】（1）运用配方法求解方程即可； （2）运用十字相乘法求解方程即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ， 解得，． 题型06利用判别式判断方程根的情况 先确定方程的，计算判别式，根据的符号判断根的个数；含参数的方程需先保证二次项系数不为0。 【典例6】. （2026·安徽芜湖·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算方程的判别式，解答即可； 【详解】解：A．，在这里，，得，方程无实数根，不符合要求； B．，在这里，，得，方程有两个相等的实数根，不符合要求； C．，在这里，，得，方程无实数根，不符合要求； D．，在这里，，得，方程有两个不相等的实数根，符合要求； 【变式1】. （2026·广东深圳·模拟预测）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用判别式的值判断根的情况，当时，一元二次方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：A、，，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、，，，方程没有实数根，不符合题意； C、，，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、，，，方程有两个相等的实数根，符合题意． 【变式2】. （25-26八年级下·山东·期末）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【分析】先根据一次函数位置得到、的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数． 【详解】解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 【变式3】. （2026·河南平顶山·三模）定义：，例如：7，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据新定义将方程整理为标准一元二次方程，通过判别式即可判断根的情况． 【详解】解：根据新定义可知， ∴方程整理为， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 题型07用公式法解一元二次方程 先将方程化为一般形式，确定，计算判别式，当时，代入求根公式计算结果。 【典例7】. （25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 【变式1】. （25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：根据求根公式可得， 可得， 所以对应的一元二次方程为． 【变式2】. （25-26九年级上·贵州黔南·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏南通·期末）解方程 (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴， 题型08根据根的情况求参数的取值范围 根据题意列出关于判别式的不等式或方程，结合“二次项系数不为0”的隐含条件，求解参数的取值范围。 【典例8】. （2026·安徽蚌埠·三模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，求出，再根据判别式与根的关系进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，且， 即且， ∴． ∴原一元二次方程可化为， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． ∴． 【变式1】. （25-26八年级下·重庆·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】利用根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【变式2】. （25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程有两个相等实数根得到判别式为0，结合已知条件整理得到a，b，c的关系，进而判断选项． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，且， ， ， 将代入，得， 整理，得， ， ， 将代入，得， ， 故C正确； ， ， 故A错误； ， 故B错误； ，a的值不确定， 不一定等于， 故D错误． 【变式3】. （25-26八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 【答案】证明：关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根， ， ， ， ， ∴是非负数． 【分析】首先根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，然后代入得，即可得出结论． 题型09根与系数关系的代数式求值 直接利用、，将所求代数式恒等变形为含两根和、两根积的形式，整体代入求值。 【典例9】. （25-26八年级下·陕西咸阳·期末）若方程的两个根分别是，则的值为________． 【答案】 【分析】一元二次方程的两个根为，，则，．根据一元二次方程根与系数的关系即可求得答案． 【详解】解：∵方程的两个根分别为，， ∴，， ∴． 【变式1】. （25-26八年级下·浙江杭州·期末）设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解，先确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项，再根据根与系数的关系计算两根和与两根积，即可判断正确选项． 【详解】解：对于一元二次方程，若两根为，则，． ∵一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 则A对应正确结论． 【变式2】. （25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 【变式3】. （25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系，先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴， 将，代入得：． 题型10已知一根求另一根及参数的值 可将已知根代入方程求参数，也可利用两根之和或两根之积直接求出另一根，再计算参数的值。 【典例10】. （25-26八年级下·湖南长沙·期末）若是一元二次方程的一个根，则另一个根为______． 【答案】 【分析】已知一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系中两根乘积等于6，即可求出另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为，对于一元二次方程，根据根与系数的关系可得两根乘积为， ∵ 其中一个根为， ∴ ，解得 ，即另一个根为． 【变式1】. （2026·河南周口·模拟预测）关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵ 一元二次方程 的两个根的乘积为，一个根为3， ∴另一个根为． 【变式2】. （2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是， ， 因此方程的另一个根为2． 【变式3】. （25-26八年级下·山东泰安·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根； (2)设该方程的两个根分别是、，若．求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入方程，即可求解，得到此时的一元二次方程为，再由因式分解法求解另一个根即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵方程的一个根是1， ∴将代入得，， 解得， ∴方程为 解得 ∴方程的另一个根为； （2）解：∵该方程的两个根分别是、， ∴， ∵ ∴， 解得， 而， ∴． 题型11判别式与根与系数关系的综合应用 先由判别式确定参数的取值范围，再结合根与系数的关系对代数式变形求值，或根据根的正负、大小关系列不等式求解。 【典例11】. （25-26八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用判别式求解； （2）根据根与系数的关系（韦达定理）与完全平方式的变形求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个相等的实数根， ， ． （2）解：，是方程的两个实数根，， ，． ． 【变式1】. （25-26八年级下·河北张家口·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)将，整理得 ， ∴， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根 (2)①；②0 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）①把代入方程，即可求解；②利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①把代入方程，得， ． ②将，整理得 ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 【变式2】. （25-26八年级下·山东泰安·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴． 【变式3】. （25-26八年级下·安徽六安·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否是“邻根方程”，并说明理由； (2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； (3)若关于的方程（，是常数，且）是“邻根方程”，试求出代数式的最大值． 【答案】(1)不是“邻根方程” (2)或； (3)的最大值为16 【分析】（1）先解方程，再结合新定义可得答案； （2）先解方程，再利用新定义建立方程，再解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：，， ∵，不符合邻根方程的定义， ∴不是邻根方程； （2）解：∵关于x的方程是邻根方程， ∴解方程可得：， ∴， ∴， 故或； （3）解：∵关于x的方程（a、b是常数）是邻根方程，设两个根分别为、， ∴， 由根与系数的关系：， ∴， ∴， 设， ∴， ∴当时，， 答：代数式的最大值为16． 一、单选题 1．嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设丢掉的常数项为，利用一元二次方程根的判别式得到的取值范围，找出选项中符合条件的最大值即可． 【详解】解：设丢掉的常数项为，则原方程为， ∵这个一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得， 结合选项可知，符合条件的最大值为． 2．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程两边同时加得， 整理为完全平方形式得， 对比，可得． 3．用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式与方程的对应关系，将题目给出的根的表达式与求根公式对比，确定、、的值，从而得到原方程． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为()，其求根公式为． 题目中给出的根的表达式为，与求根公式对比可得： ，故； ，故； ，故． 因此，该一元二次方程为； 故选：C． 二、填空题 4．已知，是方程的两个实数根，则=________． 【答案】5 【分析】利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴ ． 5．把方程化成的形式，则m的值是________． 【答案】3 【详解】解： ， ， ， ， ∴． 6．若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 将，，代入得， 解得， 满足， ∴的值是． 三、解答题 7．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 开平方，得， ∴或， 解得； （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 或， ． 8．已知方程 (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的一个根为，求的值． 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）根据方程根的判别式大于或等于0列出不等式，解不等式即可； （2）将代入方程可得一个关于的一元二次方程，解方程，结合（1）的取值范围即可得． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴方程根的判别式， 解得． （2）解：∵方程的一个根为， ∴，即， 解得或，均符合题意， 即的值为0或． 9．在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则． 根据以上知识点完成下列问题： (1)若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若一元二次方程的两个实数根为， ①计算 ， ； ②求的值； (3)若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 【答案】(1) (2)① ，；② (3) 【分析】（1）利用方程有两个不相等的实数根得判别式大于0，解不等式得到k的取值范围； （2）直接根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再展开所求代数式，整体代入计算结果； （3）先由方程有两个实数根得判别式非负，再利用根与系数关系变形已知等式得到关于的方程，求解后舍去不符合条件的解得到的值． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得：， 的取值范围为； （2）解：①根据题意得：方程， 由根与系数的关系得：，， ② ； （3）解：方程有两个实数根， 判别式， 解得：， 由根与系数的关系得：、， ， ， ， 整理得：， 解得：或， ， ． 1．若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过两根之积计算的值． 【详解】∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 2．某同学解一元二次方程的步骤如下： (1)小张认为解答过程有错误，开始出现错误的是第 步；（填序号） (2)请写出你认为正确的解答过程． 【答案】(1)第②步 (2)或 【分析】不能在不确定的前提下，等式两边同时除以，否则会漏掉这个解，正确做法是移项后因式分解求解方程． 【详解】（1）第②步 （2）解：， ， 或． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)当时，求方程的解． (2)若是方程的一个解，求b的值和方程的另一个解． 【答案】(1)， (2)，方程的另一个解为 【分析】（1）当时，方程为，运用因式分解法求解即可； （2）把代入方程，求出b的值，再解方程即可解答． 【详解】（1）解：当时，方程为， 因式分解，得， 所以或， 解得，． （2）解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴方程为， 因式分解，得， 解得，， ∴方程的另一个解为． 4．现要在关于x的一元二次方程中的“”内填入一个实数． (1)若“”内填入0，请求出方程的根； (2)在“”内填入一个合适的数，使此方程有两个相等的实数根，确定“”内的值及方程的根． 【答案】(1)， (2)“”内的值为1，方程的根 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）设在“”内填入的数为m，利用判别式求出m的值，再解方程求出方程的根即可． 【详解】（1）解：由题意得，原方程为， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：设在“”内填入的数为m， 由题意得，， ∴， ∴原方程为， ∴， 解得． 5．定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【答案】(1) (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． (3)或，或 【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出结论； （3）把分别代入方程①及其“换位方程”可得，根据时两方程相同得出，解方程得出或，分别代入方程①求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． （2）解：略 （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.2 一元二次方程的解法 教学目标 1.掌握直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法四种解法，能根据方程特点灵活选择合适的解法解一元二次方程。 2.理解根的判别式的意义，能运用判别式判断一元二次方程根的情况，或根据根的情况求参数的取值范围。 3.掌握一元二次方程根与系数的关系，能运用其进行相关代数式的求值与参数求解。 4.经历解法探究过程，体会“降次转化”的数学思想，提升运算能力。 教学重难点 1.重点 （1）配方法与公式法解一元二次方程 （2）根的判别式的理解与应用 （3）根与系数的关系及相关计算 2.难点 （1）配方法中正确配方的操作要点 （2）根据方程特征灵活选择最优解法 （3）根的判别式与根与系数关系的综合应用 知识点01：直接开平方法 1.基本原理：根据平方根的定义，若（）， 。 2.适用方程类型：形如（）、（，）的一元二次方程。 3.注意事项：当时，方程 ；开平方时不要漏掉 ，避免出现漏解。 【即学即练】 1．利用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， 直接开平方，得， ，； （2）解： 移项，得， 直接开平方，得， ，． 2．若方程的根为整数，则m的值可以是_________．（只填符合条件的一个即可） 【答案】4（答案不唯一） 【分析】将原方程变形可得，根据平方根的性质，若方程的根为整数，则为非负完全平方数，任取一个满足条件的值即可． 【详解】解：原方程移项得， 开平方得， 因为方程的根为整数， 因此为整数， 即为完全平方数， 取，此时方程的根为，均为整数，符合要求． 知识点02：因式分解法 1.基本原理：若两个因式的 为0，则至少其中一个因式为0，即若，则 或 。 2.解题步骤： 移项，使方程右边为 ； 将方程左边分解为 的乘积； 令每个因式 ，得到两个一元一次方程； 解这两个一元一次方程，得到原方程的根。 3.常用分解方法： 、 、 、 。 4.易错提醒：解方程时，不能在方程两边同时除以含有未知数的代数式，否则会造成丢根。 【即学即练】 1．解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ，． （2）解： 或 ，． 2．解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）对二次三项式十字相乘分解因式； （2）提取公因式分解因式，分别令每个因式等于0即可得到方程的根． 【详解】（1）解： 因式分解得 或 解得， （2）解： 提取公因式得 整理得 或 解得， 知识点03：配方法 1.定义：通过配方将一元二次方程转化为 的形式，再利用直接 求解，这种解法叫做配方法。 2.二次项系数为1时的配方步骤： 移项：将常数项移到方程右边； 配方：方程两边同时加上一次项系数一半的平方； 变形：将方程左边写成完全平方式，右边合并常数； 开方：用直接开平方法求解。 3.二次项系数不为1时：先将方程两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1，再按上述步骤配方。 4.核心要点：配方的关键是方程两边同时加上 ，且必须保证二次项系数为1。 【即学即练】 1．一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法步骤，先移常数项到等号右侧，再在等号两边加上一次项系数一半的平方，即可得到配方结果． 【详解】解：原方程为， 移项得， 一次项系数为，一半的平方为，等式两边同时加得， ， 整理得． 2．解方程： (1)； (2)（用配方法解方程）． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， 或， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 知识点04：公式法 1.求根公式：对于一元二次方程（），当 时，它的根为 2.推导来源：由配方法对一般形式的一元二次方程配方推导得出。 3.解题步骤： 将方程化为一般形式，确定、、的值； 计算判别式，判断根的情况； 当时，代入求根公式计算方程的根。 【即学即练】 1．若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式， 通过比较给定根表达式与求根公式，确定二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值，从而得到方程． 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为 ， 给定根为， ∴，故， ，故， 又， ∴，代入，得，即，故， 因此方程为， 即， 故选：C． 2．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）先去括号，移项，合并同类项，再开平方即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ，； （2）解： ， ， ，． 知识点05：一元二次方程根的判别式 1.定义：我们把 叫作一元二次方程（）根的判别式，记作，即。 2.根的情况与判别式的对应关系 判别式取值 一元二次方程根的情况 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 3.常见应用：不解方程直接判断根的情况；根据方程根的情况，求参数的取值范围。 【即学即练】 1．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（     ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个不相等的实数根 D．有两个相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，只需计算根的判别式的值与0的大小关系即可判断方程根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程 可得 ，，， ， ∴ 方程有两个不相等的实数根 2．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】当，即时，原方程为一元一次方程，满足题意；当，即时，原方程是一元二次方程，利用判别式求出此时m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当，即时，此时原方程为，解得，有实数根，符合题意； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵原方程有实数根， ∴， ∴， 解得，即此时满足条件的范围是且， 综上所述，的取值范围是． 知识点06：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 1.基本结论：若一元二次方程（）的两个实数根为、，则 2.常用代数式变形 3.注意事项：根与系数的关系成立的前提是方程有实数根，即。 【即学即练】 1．设，分别是一元二次方程的两个根，则________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系可直接求出两根之和 【详解】解：一元二次方程为， ，， 2．已知的两个根为，则_______，_______，_______，_______，_______． 【答案】 / 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项， 根据根与系数的关系可得：，， ∴； ； ， ． 题型01用直接开平方法解一元二次方程 先将方程整理为的形式，当时开平方得，再解两个一元一次方程；注意不要漏掉负根，时方程无实根。 【典例1】. （25-26八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键． 利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解，即可． 【详解】解：， 化简得， 两边直接开平方，得， 解得． 故选：D． 【变式1】. （25-26八年级下·广西崇左·期中）方程的根是__________． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴或， 解得，． 【变式2】. （25-26八年级下·北京昌平·期末）一元二次方程的解为_________． 【答案】， 【分析】提取公因式后将原方程转化为两个一元一次方程，即可求解． 【详解】解：， 因式分解得：， 可得或， 解得：，． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏苏州·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 题型02用提公因式法解一元二次方程 移项使方程右边为0，提取公因式将左边分解为两个一次因式的乘积，分别令因式为0求解；严禁方程两边同除以含未知数的式子，避免丢根。 【典例2】. （25-26八年级上·上海松江·期末）按要求解答下列问题： 小华与小海两位同学解方程的过程如下： 小华： 解： 两边同时除以，得 ． 解得：． 小海： 解： 提公因式，得， 由此得或． 解得：，． (1)小华的解法是错误的，原因是____________ (2)小海的解法是______（填“正确”或“错误”）．如果小海的解法错误，请写出正确的解题过程． 【答案】(1)可能为0 (2)错误，见解析，， 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是关键． （1）根据除数为零无意义进行解答即可； （2）判断后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：小华的解法是错误的，原因是：两边同时除以，可能为0． 故答案为：可能为0 （2）解：小海的解法是错误的，正确的过程如下：     整理得 解得，． 所以原方程的根是，． 【变式1】. （25-26八年级下·福建莆田·期末）解方程： 【答案】， 【详解】解： ∴或 ， 【变式2】. （25-26八年级下·福建福州·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1)，. (2)，. 【分析】（1）移项后利用直接开平方法求解； （2）移项后提取公因式，用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， 移项得， 开平方得， 解得，， （2） 移项得， 提取公因式得， 整理得， 则或， 解得，． 【变式3】. （25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴或， ∴或， ∴，． 题型03用因式分解解一元二次方程 方程符合平方差或完全平方公式结构时，直接套用乘法公式分解因式，转化为两个一次方程后求解。 【典例3】. （26-27九年级·全国·暑假作业）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 因式分解得，， ∴或， 解得：，． （2）解： 因式分解得，， ∴或， 解得：，． 【变式1】. （25-26八年级下·湖南长沙·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】， ， 或， 解得：，． 【变式2】. （25-26八年级下·福建莆田·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解，转化为两个一元一次方程求解； （2）先整理方程，提取公因式因式分解后，转化为两个一元一次方程求解． 【详解】（1）解：， ， ∴或， 解得：，． （2）解：， ， ， ， ∴或， 解得：，． 【变式3】. （25-26八年级下·山东济南·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， 或， ； （2）解：， ， 或， ． 题型04用十字相乘法解一元二次方程 二次项系数为1时，找两数满足“和为一次项系数、积为常数项”，分解为；二次项系数不为1时，拆分二次项与常数项，交叉相乘验证和等于一次项系数。 【典例4】. （25-26八年级下·广东深圳·期末）阅读下面的材料，利用材料解决问题的策略解答下面问题． 内容1：分解因式有一种很重要的方法叫“十字交叉相乘法”，方法的关键核心是“拆两头，凑中间”．例如，分解因式． 方法如下：拆两头，拆为，，拆为，， 然后排列如下：． 交叉相乘，积相加得，凑得中间项， 所以分解为． (1)用因式分解法解方程． 内容2：小远准备完成题目：解分式方程：，发现数字◆印刷不清楚． (2)他把“◆”猜成5，请你解方程：； (3)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题目的正确答案是此分式方程无解．”通过计算说明原题中“◆”是几？ 【答案】(1)， ， 或， 所以，； (2) (3) 【分析】（1）用因式分解法解方程即可； （2）方程去分母转化成一元一次方程，然后求解检验即可； （3）首先解方程得到，然后得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解： 去分母得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴分式方程的解为； （3）解：设原题中“◆”是， 去分母得：， 由分式方程无解，得到， 把代入整式方程得：． 【变式1】. （25-26八年级下·安徽安庆·期末）解方程：． 【答案】， 【详解】解：， 移项得：， 分解因式得：， ∴或， 解得：，． 【变式2】. （25-26八年级下·江苏南通·期末）解方程 (1)； (2)． 【答案】(1), (2), 【详解】（1）解：， ， 两边开平方得， 即或， 解得，； （2） 因式分解得 即或 解得，． 【变式3】. （25-26八年级下·浙江绍兴·期中）将分解因式，我们可以按下面方法： ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： ③横向写出两因式：． 我们把这种用十字相乘分解因式的方法叫“十字相乘法”． 根据乘法原理：若，则或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，． 【解决问题】 (1)分解因式：（ ）（ ） (2)试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②． 【答案】(1)1，4 (2)①，；②， 【分析】（1）根据十字相乘法分解即可； （2）根据十字相乘法求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①， ， ∴， ∴原方程的解为，； ②，     ， ∴， ∴原方程的解为，． 题型05用配方法解一元二次方程 二次项系数不为1时先化为1，移项后两边同时加一次项系数一半的平方，配成完全平方式，再用直接开平方法求解；等式两边需同步配方。 【典例5】. （25-26八年级下·河北张家口·期末）将一元二次方程配方，得到方程，其中“”表示的数为（     ） A．16 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据配方法的规则，计算一次项系数一半的平方，即可得到横线上需要填的数. 【详解】解：∵ 对一元二次方程配方时，需要给方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，原方程中一次项系数为， ∴ 一次项系数一半的平方为 ，因此表示的数为. 【变式1】. （25-26八年级下·浙江杭州·期末）用配方法解方程时，若将方程变形为，则_____ ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式配方即可求解． 【详解】解：， ， ， ∴． 【变式2】. （25-26八年级下·山东威海·期末）用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 因式分解： ； （2）解： 配方法： ． 【变式3】. （25-26八年级下·河北石家庄·期末）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)，； (2)， 【分析】（1）运用配方法求解方程即可； （2）运用十字相乘法求解方程即可． 【详解】（1）解： 解得，； （2）解： ， 解得，． 题型06利用判别式判断方程根的情况 先确定方程的，计算判别式，根据的符号判断根的个数；含参数的方程需先保证二次项系数不为0。 【典例6】. （2026·安徽芜湖·三模）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算方程的判别式，解答即可； 【详解】解：A．，在这里，，得，方程无实数根，不符合要求； B．，在这里，，得，方程有两个相等的实数根，不符合要求； C．，在这里，，得，方程无实数根，不符合要求； D．，在这里，，得，方程有两个不相等的实数根，符合要求； 【变式1】. （2026·广东深圳·模拟预测）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用判别式的值判断根的情况，当时，一元二次方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：A、，，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、，，，方程没有实数根，不符合题意； C、，，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、，，，方程有两个相等的实数根，符合题意． 【变式2】. （25-26八年级下·山东·期末）已知一次函数（）的图象不过第三象限，则方程的根的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个 【答案】D 【分析】先根据一次函数位置得到、的取值范围，再分情况讨论方程类型，判断根的个数． 【详解】解：∵一次函数的图象不过第三象限， ∴，， 分两种情况讨论： 当时，原方程化为，是一元一次方程，仅有1个根； 当时，原方程为一元二次方程，计算判别式得， ∵，， ∴， ∴，即方程有2个不相等的实数根， 综上，方程根的个数为1个或2个． 【变式3】. （2026·河南平顶山·三模）定义：，例如：7，则关于x的方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据新定义将方程整理为标准一元二次方程，通过判别式即可判断根的情况． 【详解】解：根据新定义可知， ∴方程整理为， ∴， ∴方程有两个相等的实数根． 题型07用公式法解一元二次方程 先将方程化为一般形式，确定，计算判别式，当时，代入求根公式计算结果。 【典例7】. （25-26八年级下·河北张家口·期末）用公式法解方程时，得，则“”处应填（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，确定的值，再对照求根公式即可得到方框内的数值． 【详解】解： ∵， ∴ 移项得， 此处，，， ， 对比题干给出的式子，可知处应填． 【变式1】. （25-26八年级下·安徽淮南·阶段检测）下列一元二次方程的根可以根据计算得出的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求根公式确定二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：根据求根公式可得， 可得， 所以对应的一元二次方程为． 【变式2】. （25-26九年级上·贵州黔南·期末）某一元二次方程的根用求根公式表示为，则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式，一元二次方程的求根公式为，据此根据题意确定的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， ∴该一元二次方程为， 故选：B． 【变式3】. （25-26八年级下·江苏南通·期末）解方程 (1)； (2) 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： ∴， 题型08根据根的情况求参数的取值范围 根据题意列出关于判别式的不等式或方程，结合“二次项系数不为0”的隐含条件，求解参数的取值范围。 【典例8】. （2026·安徽蚌埠·三模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则c的值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，求出，再根据判别式与根的关系进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，且， 即且， ∴． ∴原一元二次方程可化为， ∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． ∴． 【变式1】. （25-26八年级下·重庆·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】利用根的判别式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 【变式2】. （25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程有两个相等实数根得到判别式为0，结合已知条件整理得到a，b，c的关系，进而判断选项． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，且， ， ， 将代入，得， 整理，得， ， ， 将代入，得， ， 故C正确； ， ， 故A错误； ， 故B错误； ，a的值不确定， 不一定等于， 故D错误． 【变式3】. （25-26八年级下·福建福州·期末）已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 【答案】证明：关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根， ， ， ， ， ∴是非负数． 【分析】首先根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，然后代入得，即可得出结论． 【详解】略 题型09根与系数关系的代数式求值 直接利用、，将所求代数式恒等变形为含两根和、两根积的形式，整体代入求值。 【典例9】. （25-26八年级下·陕西咸阳·期末）若方程的两个根分别是，则的值为________． 【答案】 【分析】一元二次方程的两个根为，，则，．根据一元二次方程根与系数的关系即可求得答案． 【详解】解：∵方程的两个根分别为，， ∴，， ∴． 【变式1】. （25-26八年级下·浙江杭州·期末）设，是一元二次方程的两个根，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解，先确定方程中二次项系数、一次项系数和常数项，再根据根与系数的关系计算两根和与两根积，即可判断正确选项． 【详解】解：对于一元二次方程，若两根为，则，． ∵一元二次方程为， ∴，，， ∴，， 则A对应正确结论． 【变式2】. （25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 【变式3】. （25-26八年级下·浙江宁波·期末）已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用一元二次方程根与系数的关系，先得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系可得：，， ∴， 将，代入得：． 题型10已知一根求另一根及参数的值 可将已知根代入方程求参数，也可利用两根之和或两根之积直接求出另一根，再计算参数的值。 【典例10】. （25-26八年级下·湖南长沙·期末）若是一元二次方程的一个根，则另一个根为______． 【答案】 【分析】已知一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系中两根乘积等于6，即可求出另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为，对于一元二次方程，根据根与系数的关系可得两根乘积为， ∵ 其中一个根为， ∴ ，解得 ，即另一个根为． 【变式1】. （2026·河南周口·模拟预测）关于的一元二次方程的一个根为3，则另一个根为（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵ 一元二次方程 的两个根的乘积为，一个根为3， ∴另一个根为． 【变式2】. （2026·山东·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根是10，则另一个根是________． 【答案】 【分析】利用因式分解法解一元二次方程，先得到方程的两个根，再结合已知一个根为，即可求出另一个根 ． 【详解】解：已知方程为 得 或 ， 解得，， 方程的一个根是， ， 因此方程的另一个根为2． 【变式3】. （25-26八年级下·山东泰安·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根； (2)设该方程的两个根分别是、，若．求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入方程，即可求解，得到此时的一元二次方程为，再由因式分解法求解另一个根即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵方程的一个根是1， ∴将代入得，， 解得， ∴方程为 解得 ∴方程的另一个根为； （2）解：∵该方程的两个根分别是、， ∴， ∵ ∴， 解得， 而， ∴． 题型11判别式与根与系数关系的综合应用 先由判别式确定参数的取值范围，再结合根与系数的关系对代数式变形求值，或根据根的正负、大小关系列不等式求解。 【典例11】. （25-26八年级下·浙江台州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求的值． (2)设，是方程的两个实数根，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用判别式求解； （2）根据根与系数的关系（韦达定理）与完全平方式的变形求解． 【详解】（1）解：∵方程有两个相等的实数根， ， ． （2）解：，是方程的两个实数根，， ，． ． 【变式1】. （25-26八年级下·河北张家口·期末）已知关于x的方程． (1)求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是方程的两根． ①当时，求m的值； ②直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)将，整理得 ， ∴， 无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根 (2)①；②0 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）①把代入方程，即可求解；②利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：①把代入方程，得， ． ②将，整理得 ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 【变式2】. （25-26八年级下·山东泰安·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴． 【变式3】. （25-26八年级下·安徽六安·期中）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． (1)判断方程是否是“邻根方程”，并说明理由； (2)已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； (3)若关于的方程（，是常数，且）是“邻根方程”，试求出代数式的最大值． 【答案】(1)不是“邻根方程” (2)或； (3)的最大值为16 【分析】（1）先解方程，再结合新定义可得答案； （2）先解方程，再利用新定义建立方程，再解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：，， ∵，不符合邻根方程的定义， ∴不是邻根方程； （2）解：∵关于x的方程是邻根方程， ∴解方程可得：， ∴， ∴， 故或； （3）解：∵关于x的方程（a、b是常数）是邻根方程，设两个根分别为、， ∴， 由根与系数的关系：， ∴， ∴， 设， ∴， ∴当时，， 答：代数式的最大值为16． 一、单选题 1．嘉琪在解一元二次方程：时，不小心把常数项丢掉了，已知这个一元二次方程有两个不相等的实数根，则丢掉的常数项的最大值是（     ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】设丢掉的常数项为，利用一元二次方程根的判别式得到的取值范围，找出选项中符合条件的最大值即可． 【详解】解：设丢掉的常数项为，则原方程为， ∵这个一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解得， 结合选项可知，符合条件的最大值为． 2．将一元二次方程配方后变形为，则的值为（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】D 【详解】解：∵方程两边同时加得， 整理为完全平方形式得， 对比，可得． 3．用公式法解关于的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式与方程的对应关系，将题目给出的根的表达式与求根公式对比，确定、、的值，从而得到原方程． 【详解】解：一元二次方程的一般形式为()，其求根公式为． 题目中给出的根的表达式为，与求根公式对比可得： ，故； ，故； ，故． 因此，该一元二次方程为； 故选：C． 二、填空题 4．已知，是方程的两个实数根，则=________． 【答案】5 【分析】利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴ ． 5．把方程化成的形式，则m的值是________． 【答案】3 【详解】解： ， ， ， ， ∴． 6．若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 将，，代入得， 解得， 满足， ∴的值是． 三、解答题 7．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 开平方，得， ∴或， 解得； （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 或， ． 8．已知方程 (1)若方程有实数根，求的取值范围； (2)若方程的一个根为，求的值． 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）根据方程根的判别式大于或等于0列出不等式，解不等式即可； （2）将代入方程可得一个关于的一元二次方程，解方程，结合（1）的取值范围即可得． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴方程根的判别式， 解得． （2）解：∵方程的一个根为， ∴，即， 解得或，均符合题意， 即的值为0或． 9．在复习一元二次方程时，旺仔同学总结了三个知识点： 知识点一：根的判别式； 知识点二：求根公式； 知识点三：若一元二次方程的两个实数根为，，则． 根据以上知识点完成下列问题： (1)若一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围； (2)若一元二次方程的两个实数根为， ①计算 ， ； ②求的值； (3)若一元二次方程的两个实数根为，，且，直接写出的值． 【答案】(1) (2)① ，；② (3) 【分析】（1）利用方程有两个不相等的实数根得判别式大于0，解不等式得到k的取值范围； （2）直接根据根与系数的关系得到两根和与两根积，再展开所求代数式，整体代入计算结果； （3）先由方程有两个实数根得判别式非负，再利用根与系数关系变形已知等式得到关于的方程，求解后舍去不符合条件的解得到的值． 【详解】（1）解：一元二次方程有两个不相等的实数根， 判别式， 解得：， 的取值范围为； （2）解：①根据题意得：方程， 由根与系数的关系得：，， ② ； （3）解：方程有两个实数根， 判别式， 解得：， 由根与系数的关系得：、， ， ， ， 整理得：， 解得：或， ， ． 1．若关于的一元二次方程两根为，，且，则的值为（     ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，利用两根之和与已知条件先求出方程的两个根，再通过两根之积计算的值． 【详解】∵ 方程的两根为、， ∴ 根据根与系数的关系可得 ， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， ∴ ， ∴ ． 2．某同学解一元二次方程的步骤如下： (1)小张认为解答过程有错误，开始出现错误的是第 步；（填序号） (2)请写出你认为正确的解答过程． 【答案】(1)第②步 (2)或 【分析】不能在不确定的前提下，等式两边同时除以，否则会漏掉这个解，正确做法是移项后因式分解求解方程． 【详解】（1）第②步 （2）解：， ， 或． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)当时，求方程的解． (2)若是方程的一个解，求b的值和方程的另一个解． 【答案】(1)， (2)，方程的另一个解为 【分析】（1）当时，方程为，运用因式分解法求解即可； （2）把代入方程，求出b的值，再解方程即可解答． 【详解】（1）解：当时，方程为， 因式分解，得， 所以或， 解得，． （2）解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴方程为， 因式分解，得， 解得，， ∴方程的另一个解为． 4．现要在关于x的一元二次方程中的“”内填入一个实数． (1)若“”内填入0，请求出方程的根； (2)在“”内填入一个合适的数，使此方程有两个相等的实数根，确定“”内的值及方程的根． 【答案】(1)， (2)“”内的值为1，方程的根 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）设在“”内填入的数为m，利用判别式求出m的值，再解方程求出方程的根即可． 【详解】（1）解：由题意得，原方程为， ∴， ∴或， 解得，； （2）解：设在“”内填入的数为m， 由题意得，， ∴， ∴原方程为， ∴， 解得． 5．定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【答案】(1) (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． (3)或，或 【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出结论； （3）把分别代入方程①及其“换位方程”可得，根据时两方程相同得出，解方程得出或，分别代入方程①求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． （2）解：略 （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $