专题3.1 函数的概念专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以函数概念为核心，通过“知识点-基础题型-提高题型”三级架构，系统整合定义域、值域等核心要素，提炼6大值域求法与抽象函数定义域判定规则，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点|2个核心知识点+即时训练|函数三要素解析、6种值域求法、抽象函数定义域2类法则|从概念（定义/特征）到要素（定义域/值域/对应关系），构建“概念-方法-应用”链条| |基础题型|11类基础题型（每题型含例题+多题型练习）|函数关系判断（定义法）、定义域分层求解（具体/抽象/复合）、函数相等判定（定义域+对应关系）|覆盖函数概念全维度基础考法，题型与方法一一对应| |提高题型|2类提高题型+自我检测|复杂函数定义域综合求解、值域跨方法融合应用（换元+配方法等）|基础方法拔高应用，强化知识迁移与综合解题能力|

专题3.1 函数的概念重难点题型专训 （2个知识点+11大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、函数关系的判断 题型二、求函数值 题型三、已知函数值求自变量或参数 题型四、区间的定义与表示 题型五、区间的关系与运算 题型六、具体函数的定义域 题型七、抽象函数的定义域 题型八、复合函数的定义域 题型九、常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 题型十、复杂(根式型、分式型等)函数的值域 题型十一、判断两个函数是否相等 第二部分·练提高题型 题型一、相关函数的定义域求解 题型二、函数值域的相关求解 第三部分・自我检测 知识点01  函数的概念 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 4．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域. 5．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【即时训练】 1．（25-26高二上·山西晋中·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 知识点02 函数的相等 1．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数.2．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 【即时训练】 1．（25-26高一上·宁夏银川·期中）下列各组函数中，不是同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25高一上·陕西西安·期中）下列四组函数中，表示的是同一个函数有______（填序号）；①；②；③；④. 【基础题型一 函数关系的判断】 【例1】（2026·青海西宁·一模）在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 1．（25-26高一下·广西钦州·开学考试）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 2．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列两个集合间的对应中，是到的函数的有（　　） A．，，： A中数的平方 B．，，：A中的数的开方 C．，，：A中的数的倒数 D．，，：A中的数的2倍 3．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知函数的定义域是，则在同一平面直角坐标系中，函数的图像与直线的交点个数为________. 4．（25-26高一·全国·课堂例题）判断下列对应是否为函数： (1)，，； (2)，这里，，； (3)当x为有理数时，；当x为无理数时，. 【基础题型二 求函数值】 【例2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，.若，则（    ） A． B． C．1 D． 1．（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数满足对于任意实数x，y都有，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（25-26高一上·福建厦门·期中）（多选）下列函数满足的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，则的值为__________. 4．（24-25高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数. (1)求的值； (2)探索； (3)利用（2）中结论，求的值. 【基础题型三 已知函数值求自变量或参数】 【例3】（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．1 C．2 D． 1．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 2．（24-25高二上·安徽·期中）（多选）已知：是集合到集合的函数，如果集合，那么集合可能为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广西贵港·阶段检测）已知函数，若，则________． 4．（24-25高一上·安徽亳州·阶段检测）已知函数， (1)当时，求的值； (2)当时，求x的值． 【基础题型四 区间的定义与表示】 【例4】（25-26高一上·山东济南·期中）区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）集合或用区间表示为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25高一上·全国·单元测试）（多选）下列集合不能用区间形式表示的是（　　） A． B． C．或 D． 3．（25-26高一上·山东济南·期中）不等式的解集用区间表示为______. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【基础题型五 区间的关系与运算】 【例5】（24-25高一上·四川成都·期中）已知，集合，则（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）已知全集U＝R，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（　　）    A． B． C． D． 2．（24-25高一上·辽宁抚顺·期中）已知区间，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，，则______． 4．（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）已知全集，集合，，求，，． 【基础题型六 具体函数的定义域】 【例6】（24-25高一上·广东深圳·期中）函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 1．（2026高二下·湖南·学业考试）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）（多选）下列函数中，定义域不是的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域为________． 4．（25-26高一上·山东德州·开学考试）求下列函数的定义域： (1)； (2). 【基础题型七 抽象函数的定义域】 【例7】（25-26高二下·河北沧州·期末）已知的定义域为，则定义域为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·新疆·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·海南儋州·阶段检测）（多选）有以下判断，其中是正确判断的有（ ） A．与表示同一函数 B．函数的图像与直线的交点最多有1个 C．与是同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 3．（25-26高一上·广东深圳·期中）若函数的定义域为，则的定义域为__________. 4．（24-25高一上·全国·周测）（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 【基础题型八 复合函数的定义域】 【例8】（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·河南郑州·期中）若函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·辽宁·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·四川南充·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 4．（25-26高一上·山西·阶段检测）求函数的定义域． （1）函数的定义域； （2）已知的定义域为，求函数的定义域； （3）已知的定义域为，求函数的定义域． 【基础题型九 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域】 【例9】（25-26高一上·河南新乡·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·四川攀枝花·阶段检测）（多选）下列函数中值域为的是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）函数，的值域是___________. 4．（24-25高一上·江西·期中）求下列函数的值域： (1)； (2)． 【基础题型十 复杂(根式型、分式型等)函数的值域】 【例10】（25-26高一上·北京·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东·期中）（多选）下列四个函数中，值域是的函数是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知，则的值域为__________. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域： (1)； (2) 【基础题型十一 判断两个函数是否相等】 【例11】（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 1．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）（多选）下列各组函数中，是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 3．（24-25高一上·天津和平·期中）下列各组函数为同一个函数的是________． ①， ②， ③， ④，且 4．（25-26高一·全国·课后作业）下列各组中的两个函数是否为同一个函数？ （1），； （2），； （3），； （4），. 【提高题型一 相关函数的定义域求解】 【例1】（25-26高一上·山西朔州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·浙江金华·期末）（多选）已知函数的定义域为，值域为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是 3．（25-26高一上·广西柳州·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域是________． 4．（25-26高一上·四川乐山·阶段检测）求下列函数的定义域 (1)； (2)； (3)（）. 【提高题型二 函数值域的相关求解】 【例2】（25-26高一上·浙江台州·期末）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）（多选）已知，，为大于0的常数，则的值域可能为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为：______． 4．（25-26高一·全国·课后作业）求下列函数的值域： (1)； (2) (3)； (4)． 1．（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数对任意的都有恒成立，且，则等于（   ） A．1 B．62 C．64 D．83 2．（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 4．（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·广西北海·期末）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 6．（25-26高三下·山东菏泽·阶段检测）（多选）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，() 7．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 8．（25-26高一上·广东中山·期中）（多选）有以下判断，其中是正确判断的有（    ） A．与 表示同一函数 B．函数的图象与y轴的交点最多有2个 C．与 是同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 9．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）（多选）下列函数值域是的为（ ） A． B． C． D．， 10．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）下列命题中，正确的有（    ） A．函数与函数表示同一个函数 B．函数的值域为 C．函数的图象与直线最多有一个交点 D．已知，对应关系可以构成关于的函数 11．（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）若为一确定区间，则a的取值范围是________． 12．（25-26高一下·福建漳州·期中）函数的最大值为________． 13．（25-26高一上·四川达州·期中）函数的值域为________. 14．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 15．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 16．（24-25高三上·宁夏中卫·期中）已知函数． (1)求与，与； (2)由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系？证明你的发现； (3)求的值． 17．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 18．（25-26高一上·广东揭阳·期中）（1）求函数 的定义域； （2）求 的定义域； （3）若函数 的定义域为 ，求函数 的定义域 19．（25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）求下列函数的值域 (1)； (2). 学科网（北京）股份有限公司 专题3.1 函数的概念重难点题型专训 （2个知识点+11大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、函数关系的判断 题型二、求函数值 题型三、已知函数值求自变量或参数 题型四、区间的定义与表示 题型五、区间的关系与运算 题型六、具体函数的定义域 题型七、抽象函数的定义域 题型八、复合函数的定义域 题型九、常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域 题型十、复杂(根式型、分式型等)函数的值域 题型十一、判断两个函数是否相等 第二部分·练提高题型 题型一、相关函数的定义域求解 题型二、函数值域的相关求解 第三部分・自我检测 知识点01  函数的概念 1．函数的概念 (1)一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function)，记作y=f(x)，x∈A. (2)函数的四个特征： ①非空性：A，B必须为非空数集，定义域或值域为空集的函数是不存在的. ②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值. ③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应. ④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系. 2．函数的三要素 (1)定义域：函数的定义域是自变量的取值范围． (2)值域：与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域(range). (3)对应关系：对应关系f是函数的核心，它是对自变量x实施“对应操作”的“程序”或者“方法”． 3．求给定解析式的函数定义域的方法 求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义. 4．求抽象函数定义域的方法 (1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域. 5．求函数值域的一般方法 (1)分离常数法； (2)配方法； (3)不等式法； (4)单调性法； (5)换元法； (6)数形结合法. 【即时训练】 1．（25-26高二上·山西晋中·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由有意义，可得且，解得且， 所以函数的定义域为. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数的定义域是，则的定义域为______． 【答案】 【分析】由抽象函数定义域的计算方法求解即可. 【详解】由题意得，则，即的定义域为. 知识点02 函数的相等 1．函数的相等 同一函数：只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时，这两个函数才相等，即是同一个函数.2．区间的概念 设a，b是两个实数，而且a<b.我们规定： (1)满足不等式的实数x的集合叫做闭区间，表示为[a，b]； (2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间，表示为(a，b)； (3)满足不等式或的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为[a，b)，(a，b]. 这里的实数a与b都叫做相应区间的端点. 【即时训练】 1．（25-26高一上·宁夏银川·期中）下列各组函数中，不是同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据题意，结合同一函数的定义，结合选项，先判定定义域，再判定对应关系，即可求解. 【详解】对于A，函数与的定义域都是， 且两个函数的对应关系也相同，所以两个函数是同一函数，所以A不符合题意； 对于B，函数与的定义域都是，且对应关系也相同， 所以两个函数是同一函数，所以B不符合题意； 对于C，函数满足，解得， 即函数的定义域为， 又由满足，解得，即的定义域为， 所以两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，所以C符合题意； 对于D，函数与，所以两个函数的定义域相同， 且两个函数的对应关系也相同，所以两个函数是同一函数，所以D不符合题意. 故选：C. 2．（24-25高一上·陕西西安·期中）下列四组函数中，表示的是同一个函数有______（填序号）；①；②；③；④. 【答案】① 【分析】函数相等当且仅当定义域和对应法则都一样，由此即可逐一判断各个序号. 【详解】对于①，的定义域、对应法则都一样，故①符合题意； 对于②，，两函数的定义域分别是，即它们的定义域不相同，故②不符合题意； 对于③，，两函数的定义域分别是，即它们的定义域不相同，故③不符合题意； 对于④，要使得有意义，则，所以， 故的对应法则不一样，故④不符合题意. 故答案为：①. 【基础题型一 函数关系的判断】 【例1】（2026·青海西宁·一模）在平面直角坐标系中，直线，与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 【答案】C 【详解】根据函数定义可知，当在定义域中时，直线与函数的图象有一个交点， 当不在定义域中时，直线与函数的图象没有交点， 所以直线，与函数的图象的交点个数为0或1. 1．（25-26高一下·广西钦州·开学考试）在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 【答案】C 【分析】由函数的概念，结合函数定义域的范围即可判断. 【详解】由函数的定义可知，对定义域内的任意一个，只有唯一的与之对应， 若在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为1， 若不在函数定义域内，则直线与函数的图象的交点个数为0， 所以函数的图象与直线的交点个数为0或1. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列两个集合间的对应中，是到的函数的有（　　） A．，，： A中数的平方 B．，，：A中的数的开方 C．，，：A中的数的倒数 D．，，：A中的数的2倍 【答案】AD 【详解】选项A，集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，可构成函数关系； 选项B，对于集合中元素，在集合B中有两个元素与之对应，因此不是函数关系； 选项C，中元素的倒数没有意义，在集合中没有元素与之对应，因此不是函数关系； 选项D，集合中的每一个元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，可构成函数关系． 3．（25-26高一上·上海杨浦·期末）已知函数的定义域是，则在同一平面直角坐标系中，函数的图像与直线的交点个数为________. 【答案】1 【分析】根据函数的定义即可得到答案. 【详解】因为函数的定义域是， 则根据函数的定义知函数的图像与直线的交点个数为1. 故答案为：1. 4．（25-26高一·全国·课堂例题）判断下列对应是否为函数： (1)，，； (2)，这里，，； (3)当x为有理数时，；当x为无理数时，. 【答案】(1)是函数 (2)不是函数 (3)是函数 【分析】（1）根据函数定义这个函数可以表示为()进行判断； （2）利用函数定义及特殊值进行判断； （3）可以表示为，是一个函数. 【详解】（1）对于任意一个非零实数x，由x唯一确定，所以当时是函数，这个函数也可以表示为(). （2）考虑输入值为4，即当时输出值y由给出，得和.这里一个输入值与两个输出值对应，所以，（，，）不是函数. （3）由题意知，对于任意的有理数x，总有唯一的元素1与之对应；对于任意的无理数x，总有唯一的元素0与之对应，.因此，根据函数的定义，可知这个对应是函数，可以表示为. 所以（1）是函数；（2）不是函数；（3）是函数. 【基础题型二 求函数值】 【例2】（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数，.若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由条件可知，，即，，得， 解得：. 1．（25-26高一上·山东滨州·期末）已知函数满足对于任意实数x，y都有，且，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用赋值法计算即可. 【详解】由对于任意实数，都有，得 又，则，而，解得， 所以. 故选：D 2．（25-26高一上·福建厦门·期中）（多选）下列函数满足的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用函数恒等式进行赋值证明即可作出判断. 【详解】由可知：，故A正确； 由可知：，故B正确； 由可知：，故C错误； 由可知：，故D错误； 故选：AB. 3．（25-26高一下·贵州毕节·期末）已知函数，，则的值为__________. 【答案】 【详解】因为函数，，所以， 故. 4．（24-25高一上·广东深圳·阶段检测）已知函数. (1)求的值； (2)探索； (3)利用（2）中结论，求的值. 【答案】(1)1;1 (2)1; (3). 【分析】（1）已知函数，根据解析式即可求解； （2）计算可得出定值1； （3）根据（2）的结论，运用到式子中化简即可求值. 【详解】（1）因为函数， 所以， 所以. （2）由函数，可得， 所以. （3）由函数可得. 根据（2）的结论， 所以 . 【基础题型三 已知函数值求自变量或参数】 【例3】（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】应用赋值法已知函数值求自变量即可. 【详解】令，解得， 所以， 因为，所以， 故选：B. 1．（24-25高一上·辽宁辽阳·期中）已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 2．（24-25高二上·安徽·期中）（多选）已知：是集合到集合的函数，如果集合，那么集合可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由题意可得，解出的值，即得答案. 【详解】解：因为：是集合到集合的函数，集合， 令， 解得或, 所以A可以为. 故选：BCD. 3．（25-26高一上·广西贵港·阶段检测）已知函数，若，则________． 【答案】 【分析】由解析式展开求解即可. 【详解】依题意得， 即，解得． 故答案为： 4．（24-25高一上·安徽亳州·阶段检测）已知函数， (1)当时，求的值； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）直接代入计算函数值即可； （2）由函数值建立方程计算即可. 【详解】（1）将代入解析式有：； （2）由题意可知 即． 【基础题型四 区间的定义与表示】 【例4】（25-26高一上·山东济南·期中）区间对应的不等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用区间表示括号的意义即可作出判断. 【详解】根据区间表示括号的意义可知区间对应的不等式是， 故选：A. 1．（24-25高二下·云南昆明·阶段检测）集合或用区间表示为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据区间定义即可得答案. 【详解】由区间定义可知，或. 故选：A 2．（24-25高一上·全国·单元测试）（多选）下列集合不能用区间形式表示的是（　　） A． B． C．或 D． 【答案】ABD 【分析】根据区间的概念及区间形式可以表示连续数集，是无限集，逐个判断即可得出答案. 【详解】区间形式可以表示连续数集，是无限集 A,D是自然数集的子集，都不能用区间形式表示， B选项，Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的， 故只有C可以，区间形式为， 故选：ABD. 3．（25-26高一上·山东济南·期中）不等式的解集用区间表示为______. 【答案】 【分析】利用一次不等式的解法和区间的概念可得出原不等式的解集. 【详解】解不等式得，故原不等式的解集为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】根据集合与区间的关系求得正确答案. 【详解】（1）集合为，对应区间为. （2）集合为，对应区间为. （3）集合为，对应区间为. （4）集合为，对应区间为. （5）集合为或，对应区间为. 【基础题型五 区间的关系与运算】 【例5】（24-25高一上·四川成都·期中）已知，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用区间表示集合的交集. 【详解】，集合，根据交集的定义可知，. 故选：B 1．（25-26高一上·河南郑州·阶段检测）已知全集U＝R，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据图确定集合为，再求集合，即可求解. 【详解】由图可知阴影部分表示的集合为， 因为集合，又全集， 所以，因为， 所以. 故选：B 2．（24-25高一上·辽宁抚顺·期中）已知区间，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用区间交集的定义求解即可. 【详解】因为，，由交集的定义，所以， 故选：C. 3．（24-25高三上·上海·期中）已知集合，，则______． 【答案】 【分析】根据并集定义计算即可. 【详解】集合，， 则． 故答案为：. 4．（25-26高一上·山东聊城·阶段检测）已知全集，集合，，求，，． 【答案】；； 【分析】根据集合的交、并、补的运算，直接求解即可. 【详解】因为全集，集合，， 则，， 所以；；． 【基础题型六 具体函数的定义域】 【例6】（24-25高一上·广东深圳·期中）函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】要使函数有意义，则， 所以函数定义域为. 1．（2026高二下·湖南·学业考试）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由. 所以函数的定义域为. 2．（24-25高一上·安徽阜阳·期中）（多选）下列函数中，定义域不是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】分别求出各选项中函数的定义域即可. 【详解】函数的定义域为； 函数的定义域为； 函数的定义域为； 函数的定义域为. 所以选项ACD 中的函数定义域不是. 故选：ACD. 3．（25-26高一上·上海·期末）函数的定义域为________． 【答案】 【详解】函数，所以，解得. 4．（25-26高一上·山东德州·开学考试）求下列函数的定义域： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】(1)要使函数有意义，只需令，其解集即为函数的定义域. (2)要使函数有意义，需满足,其解集即为的定义域. 【详解】（1）要使函数有意义，只需令，解得：, 所以函数的定义域为：. （2）要使函数有意义，需满足,所以, 所以的定义域为: 【基础题型七 抽象函数的定义域】 【例7】（25-26高二下·河北沧州·期末）已知的定义域为，则定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为的定义域为， 所以由. 所以函数的定义域为. 1．（25-26高一上·新疆·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为，则在函数中，，解得， 所以的定义域为． 2．（24-25高一上·海南儋州·阶段检测）（多选）有以下判断，其中是正确判断的有（ ） A．与表示同一函数 B．函数的图像与直线的交点最多有1个 C．与是同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【分析】根据定义域和对应关系可判断AC；根据函数定义可判断B；由抽象函数的定义域的求法求得定义域可判断D. 【详解】A 选项：定义域为，定义域为，A选项错误； B选项：因为函数的定义可知当时，要么没有定义，要么存在唯一确定的值， 所以函数的图像与直线的交点最多有1个，B选项正确； C选项：和定义域均为且解析式相同，所以是同一个函数，C选项正确； D选项：因为函数的定义域为，所以时，令，即，所以定义域为. 故选：BCD. 3．（25-26高一上·广东深圳·期中）若函数的定义域为，则的定义域为__________. 【答案】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】因为函数的定义域为， 所以要使函数有意义， 则，即，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·周测）（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】（1）{，或}；（2） 【分析】（1）根据的定义域列不等式求解x，即为的定义域； （2）由的定义域可得，求出的范围即为的定义域. 【详解】（1）的定义域为， 要使有意义，须使，即或， 函数的定义域为{，或}. （2）的定义域为，即其中的函数自变量的取值范围是， 令，，的定义域为， 函数的定义域为. 【基础题型八 复合函数的定义域】 【例8】（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测）已知函数的定义域为，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复合函数定义域的求法求函数定义域. 【详解】由. 所以函数的定义域为. 故选：C 1．（25-26高一上·河南郑州·期中）若函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数定义域的概念，以及复合函数定义域的求法，求出结果即可. 【详解】由题意得，可得，解得， 所以的定义域为，解得， 则函数的定义域为，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 2．（25-26高二下·辽宁·阶段检测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数定义域的求法进行求解. 【详解】由题意可知，要使有意义，则，解得， 所以函数的定义域为． 故选：D． 3．（25-26高一上·四川南充·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为______. 【答案】 【分析】根据函数解析式求定义域即可. 【详解】要使函数有意义，则 ， 解得或. 所以函数的定义域为. 故答案为：. 4．（25-26高一上·山西·阶段检测）求函数的定义域． （1）函数的定义域； （2）已知的定义域为，求函数的定义域； （3）已知的定义域为，求函数的定义域． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据二次根式需被开方数大于或等式0，得，再分和两种情况分别求解不等式，再求所得的解集的并集； （2）根据复合函数的定义域的求法：已知的定义域是A,求的定义域，通过解关于的不等式,求出 x的范围的方法得解； （3）根据复合函数的定义域的求法：已知的定义域是B,求的定义域，由时，得的范围的方法得解； 【详解】（1），①时，，即， 或，故. ②时，，即， 或，故. 综上：. 所以函数的定义域是． （2）因为的定义域为，，， ，故. 所以函数的定义域是； （3），，故. 所以函数的定义域是． 【基础题型九 常见(一次函数、二次函数、反比例函数等)的函数值域】 【例9】（25-26高一上·河南新乡·期中）若函数的定义域为，则函数的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数定义域及不等式的性质求解值域即可. 【详解】函数的定义域为， 由，可得， ，即函数的值域为. 故选：A. 1．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知函数的定义域为，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接计算出所有函数值即可. 【详解】因为， 所以函数的值域为. 故选：D 2．（24-25高一上·四川攀枝花·阶段检测）（多选）下列函数中值域为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】求出各选项中的函数值域，即可判断得解． 【详解】对于A，函数的定义域为，值域也为，A正确； 对于B，函数，值域为，B正确； 对于C，函数的定义域为，值域为，C错误； 对于D，函数的定义域为R，值域为，D错误． 故选：AB． 3．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）函数，的值域是___________. 【答案】 【分析】根据自变量取值代入计算即可得出结果. 【详解】将分别代入计算可得. 所以函数的值域为. 故答案为： 4．（24-25高一上·江西·期中）求下列函数的值域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求出所有函数值即可得值域； （2）根据二次函数的性质即可得值域. 【详解】（1）因为 所以， 所以的值域为； （2）因为， 所以的值域为. 【基础题型十 复杂(根式型、分式型等)函数的值域】 【例10】（25-26高一上·北京·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定函数的定义域，分析分母的取值范围，进而得值域． 【详解】函数的定义域为， 当时，，从而，则， 故函数的值域为． 故选：D． 1．（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】换元法，令，得到，从而得到函数值域. 【详解】令，则， 则， 故当时，取得最大值，最大值为， 所以的值域为. 故选：D 2．（24-25高一上·山东·期中）（多选）下列四个函数中，值域是的函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用赋值法可判断A；由可判断B；因为，可判断C；与轴有两交点，可判断D. 【详解】对于A，当时，，故A显然不符合题意； 对于B，因为，所以，故B符合题意； 对于C，因为，所以，故C不符合题意； 对于D，因为与轴有两交点，，故D符合题意． 故选：BD． 3．（25-26高一上·江苏南京·期中）已知，则的值域为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，利用配凑法求出值域. 【详解】函数定义域为，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的值域为. 故答案为： 4．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列函数的值域： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用分离常数法可得解； （2）换元，令，，，再由二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）， 显然，所以， 故函数的值域为： （2）设，则，且， 所以，，    结合函数的图象可得原函数的值域为. 【基础题型十一 判断两个函数是否相等】 【例11】（25-26高一上·河北雄安·期末）下列各组函数不是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】利用相等函数的定义从函数三要素角度分析即可. 【详解】对于A，当为奇数时，， 所以，与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于B，为偶数时，，所以， 与对应关系和定义域相同，故是同一个函数； 对于C，与都可化为， 且定义域均为，故是同一个函数； 对于D，与的定义域都是， 是关于的二次函数，而是关于的函数， 当时为一次函数，当时为常数函数， 两函数对应关系不相同，故不是同一个函数. 故选：D. 1．（25-26高一上·天津武清·阶段检测）下列四组函数中，是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用相同函数的定义逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为R，的定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域均为R，且，即对应法则相同，B是； 对于C，函数的定义域为R，的定义域为，C不是； 对于D，函数的定义域为R，的定义域为，D不是. 故选：B 2．（25-26高一上·新疆克拉玛依·期末）（多选）下列各组函数中，是同一个函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AC 【分析】利用相等函数的定义可判断. 【详解】对于A： 的定义域为 ，对应法则为 ； 定义域也为 ，且 ， 即对应法则相同，因此，两者是同一个函数，故A正确； 对于B： 的定义域为 ， 而 的定义域为 ， 定义域不同，故两者不是同一个函数，故B错误； 对于C： 两者定义域均为 ，对应法则相同， 因此，两者是同一个函数，故C正确； 对于D： 的定义域为 ， 对应法则为 ，值域也为， 而的值域为， 因此，两者不是同一个函数，故D错误. 故选：AC 3．（24-25高一上·天津和平·期中）下列各组函数为同一个函数的是________． ①， ②， ③， ④，且 【答案】③④ 【分析】若为同一个函数，则需要两个函数的三要素，即定义域、值域、对应法则都相等，以此判断即可. 【详解】①的定义域为R，的定义域为，故不是同一个函数； ②的定义域为R，的定义域为，故不是同一个函数； ③ ，且定义域为，值域为， ，且定义域为，值域为， 函数三要素一致，故是同一个函数； ④定义域为，值域为， 定义域为，值域为， 函数三要素一致，故是同一个函数. 故答案为：③④ 4．（25-26高一·全国·课后作业）下列各组中的两个函数是否为同一个函数？ （1），； （2），； （3），； （4），. 【答案】（1）不是；（2）不是；（3）不是；（4）是 【分析】（1）由定义域不同，对应法则也不同判断； （2）由对应法则不同判断； （3）由两函数定义域不同判断； （4）由定义域都为(−∞,0)∪(0,+∞)，且对应法则也相同，判断是同一函数， 【详解】（1）函数的定义域为R,函数定义域为[0,+∞)， 定义域不同，对应关系也不同，不是同一函数； （2）函数，对应法则不同，即解析式不同， 两个函数不是同一函数，函数与不是同一函数； （3），由于的定义域为， 的定义域为R，两函数定义域不同，两个函数不是同一函数； （4）函数与的定义域都为(−∞,0)∪(0,+∞)， 且对应法则也相同，是同一函数. 【提高题型一 相关函数的定义域求解】 【例1】（25-26高一上·山西朔州·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的定义域求解的定义域，再结合函数求解定义域. 【详解】因为函数的定义域为，即，所以， 所以的定义域为，又，则， 所以，因此函数的定义域为， 故选：C． 1．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用抽象函数定义域性质求解. 【详解】由，得， 又，可得，所以函数的定义域为． 故选：C. 2．（24-25高一上·浙江金华·期末）（多选）已知函数的定义域为，值域为，则（    ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C．函数的定义域和值域都是 D．函数的定义域和值域都是 【答案】BC 【解析】根据抽象函数的定义域即可判断选项A，根据值域为，即可判断选项B，令， 求得范围即为定义域，由可得值域，即可判断选项C，由的值域为可得，但无法判断定义域，可判断选项D，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A：令可得，所以函数的定义域为， 故选项A不正确； 对于选项B：因为值域为，，所以的值域为，可得函数的值域为，故选项B正确； 对于选项C：令，因为可得恒成立，所以函数的定义域为，因为，所以函数的值域为，故选项C正确； 对于选项D：若函数的值域是，则，此时无法判断其定义域是否为，故选项D不正确， 故选：BC 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是已知的定义域，可以先求的定义域，再由的定义域求的定义域. 3．（25-26高一上·广西柳州·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域是________． 【答案】 【分析】根据函数的定义域为，可知函数的自变量取值范围为，故对于函数，须满足. 【详解】函数的定义域是，对于函数有， 解得，所以函数的定义域是． 故答案为：. 4．（25-26高一上·四川乐山·阶段检测）求下列函数的定义域 (1)； (2)； (3)（）. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，解不等式组可得答案， （2）由题意得，解不等式组可得答案， （3）由解析式得，解不等式组可得答案， 【详解】（1）因为 所以，解得或 所以函数的定义域为； （2）因为， 所以，解得：或 所以函数的定义域为； （3）因为（） 所以解得： 所以函数（）的定义域为； 【提高题型二 函数值域的相关求解】 【例2】（25-26高一上·浙江台州·期末）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据定义域求出的范围，即可求解. 【详解】函数的定义域为，则,或, 当时，， 当时，, 综上，函数的值域为 故选：D 1．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，则，可得，可得出，利用二次函数的单调性可求出的值域. 【详解】令，则，可得， 所以， 因为二次函数在上为增函数， 当时，，故函数的值域为. 故选：D. 2．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）（多选）已知，，为大于0的常数，则的值域可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对二次函数进行配方，得最低点，计算出，根据二次函数的性质可得结果. 【详解】因为，， 当时，的值域为， 由二次函数的性质可得值域不可能是， 当且满足时，的值域为， 无论取任何正实数，二次函数的最小值定小于，即值域不可能为， 故可得的值域可能为，， 故选：AC. 【点睛】本题主要考查了二次函数的值域问题，考查了数形结合思想，属于中档题. 3．（2026高一·全国·专题练习）函数的值域为：______． 【答案】 【分析】求出函数定义域，再利用判别式法求出函数值域即可. 【详解】由于恒成立，所以原函数定义域为， 由，得， 当时，，符合题意； 当时，由，得恒有实数根， 因此，解得且， 所以函数的值域为 故答案为： 4．（25-26高一·全国·课后作业）求下列函数的值域： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）将代入求解即可； （2）形如的函数常用分离常数法求值域，，其值域是. （3）根据二次函数的顶点式求解值域，再结合根式的定义域求解即可. （4）形如的函数常用换元法求值域，先令，用t表示出x，并注明t的取值范围，再代入原函数将y表示成关于t的二次函数，最后用配方法求值域． 【详解】（1）因为，，，，，所以函数的值域为． （2）因为，且，所以，所以函数的值域为． （3）因为，所以，所以函数的值域为. （4）设（换元），则且，令. 因为，所以，即函数的值域为. 1．（2026高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数对任意的都有恒成立，且，则等于（   ） A．1 B．62 C．64 D．83 【答案】D 【分析】先应用已知得出函数值关系，再结合多次应用计算求解. 【详解】由得，计算得，因此， 2．（25-26高一下·云南昆明·期中）若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 3．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数的定义域是，则函数的定义域是（   ） A． B． C．[1，3] D．(1，3] 【答案】B 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 4．（2026·江西上饶·二模）若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据定义域确定的范围，再结合反比例型函数得到值域即可． 【详解】函数的定义域为， 则或， 当时，， 当时，， 综上，此函数的值域为． 5．（25-26高一上·广西北海·期末）下列各组中的两个函数是同一个函数的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据函数的三要素判断即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数的定义域为，所以两个函数不是同个一函数，所以A错误； 对于B，根据绝对值的含义，，所以与是同一个函数，所以B正确； 对于C，函数，其定义域为，函数的定义域为，所以两个函数不是同一个函数，所以C错误； 对于D，函数与的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以D错误. 故选：B. 6．（25-26高三下·山东菏泽·阶段检测）（多选）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．，() 【答案】ACD 【分析】令即可判断选项A；令即可判断选项B；连续使用赋值法将用表示出来，即可判断选项C；连续使用赋值法将用表示出来，即可判断选项D. 【详解】对于A：令，则，解得，故A正确； 对于B：令，则，即，得，故B错误； 对于C：， 所以，即，故C正确； 对于D： ， 所以，即，故D正确． 7．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（多选）下列各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】CD 【分析】根据题意结合函数相等的定义，分析函数的对应关系和定义域，进而逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：因为，与的对应关系不相同， 所以不是同一个函数，故A错误； 对于选项B：因为的定义域为，的定义域为， 两者的定义域不相同，所以不是同一个函数，故B错误； 对于选项C：因为与，即对应关系相同， 且定义域均为，所以是同一个函数，故C正确； 对于选项D：因为与，即对应关系相同， 且定义域均为，所以是同一个函数，故D正确； 故选：CD. 8．（25-26高一上·广东中山·期中）（多选）有以下判断，其中是正确判断的有（    ） A．与 表示同一函数 B．函数的图象与y轴的交点最多有2个 C．与 是同一函数 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】CD 【分析】对于A，先求出两函数定义域，由两函数定义域不同即可判断；对于B，由函数定义分函数在处有没有定义即可判断；对于C，由函数的定义域和对应关系即可判断；对于D，应用抽象函数定义域计算求解. 【详解】对于A，函数的定义域为，函数定义域为， 故函数和不是同一函数，故A错误； 对于B，若函数在处有定义，则的图象与直线的交点有1个， 若函数在处没有定义，则的图象与直线没有交点； 所以函数的图象与直线的交点最多有1个，故B错误； 对于C，因为函数与的定义域均为， 且两函数对应关系相同，所以函数与是同一函数，故C正确； 对于D，对函数，其定义域为， 所以，故， 所以对函数有，解得， 所以函数的定义域为，故D正确. 故选：CD. 9．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）（多选）下列函数值域是的为（ ） A． B． C． D．， 【答案】AB 【详解】利用函数值域的求解方法求解. 【分析】对A，因为，所以，A正确； 对B，因为，所以，B正确； 对C，，C错误； 对D，， 因为，所以，， 所以，D错误. 故选：AB. 10．（25-26高一上·重庆·阶段检测）（多选）下列命题中，正确的有（    ） A．函数与函数表示同一个函数 B．函数的值域为 C．函数的图象与直线最多有一个交点 D．已知，对应关系可以构成关于的函数 【答案】BCD 【分析】根据函数的定义和同一函数的定义逐一分析可得到正确答案。 【详解】对于选项A，因为函数的定义域是，函数的定义域是，所以两函数的定义域不同，不是同一函数，故选项A错误; 对于选项B，因为函数,所以,则,故选项B正确; 对于选项C，根据函数的定义，对于定义域内的一个值，有且只有一个值与之对应，此时函数图象与直线最多有一个交点，因此若在定义域内，则有唯一的值与之对应，此时函数图象与直线有唯一交点；若不在定义域内，则没有交点，因此函数的图象与直线最多有一个交点，故选项C正确; 对于选项D，因为任意，所以，满足，且每个对应唯一的，符合函数的定义，因此可以构成关于的函数，故选项D正确; 故选:BCD 11．（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）若为一确定区间，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】因为为确定区间，所以右端点大于左端点，列出不等式求解a的取值范围. 【详解】根据区间表示数集的方法原则可知，，解得， 所以a的取值范围是, 故答案为：. 12．（25-26高一下·福建漳州·期中）函数的最大值为________． 【答案】 【详解】由，解得，的定义域为，且. 由柯西不等式得，，当且仅当即时等号成立； ，即的最大值为. 13．（25-26高一上·四川达州·期中）函数的值域为________. 【答案】 【分析】令，转换成二次函数即可求解. 【详解】令，则， 的图像开口向下，对称轴， ∴在上是减函数， ， 所以的值域为. 故答案为： 14．（25-26高一下·河北保定·阶段检测）函数的值域为______. 【答案】 【分析】令，则可得，化简函数解析式，利用二次函数的值域求解即可. 【详解】令，则可得，即， 可得， 当时，取得最大值，即. 所以其值域为. 15．（25-26高一上·湖南长沙·期末）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________. 【答案】 【分析】由已知先求出的定义域，即可求出的定义域. 【详解】因为的定义域为， 则，即得，所以的定义域为， 由可得，解得，所以的定义域为. 故答案为：. 16．（24-25高三上·宁夏中卫·期中）已知函数． (1)求与，与； (2)由（1）中求得的结果，你能发现与有什么关系？证明你的发现； (3)求的值． 【答案】(1)， ；，. (2) 由（1）中求得的结果发现，证明如下： 因为， 所以. (3)0 【分析】（1）根据函数解析式代入数值计算即可； （2）通过（1）化简的函数解析式求出的解析式，相加化简即可； （3）根据（2）的结论，分析原式中一共有多少项数，进行求和即可. 【详解】（1）由， 所以， ； ，. （2）略 （3）由（2）知， 所以. 17．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）求抽象函数的定义域. (1)已知函数，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域为，求的定义域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数解析式可知，可得出函数的定义域，再根据抽象函数的定义域求法，即可求出函数的定义域； （2）根据题意，可知，根据抽象函数的定义域求法，可求出函数的定义域，从而得出的定义域． 【详解】（1）解：由， 得，解得：， ∴函数的定义域为； （2）解：∵函数的定义域为， ∴，则， 即函数的定义域为， 由，得， ∴的定义域为． 18．（25-26高一上·广东揭阳·期中）（1）求函数 的定义域； （2）求 的定义域； （3）若函数 的定义域为 ，求函数 的定义域 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）由根号下的二次式大于零解不等式，得出定义域范围； （2）分别考虑零次幂的底数不为零与分母不为零，联立得到定义域； （3）将代入已知的定义域区间，解出的范围. 【详解】（1）要使函数有意义，即， 解不等式得或， 故函数的定义域为； （2）由题意得，即， 故所求函数的定义域为. （3）由，得， 故的定义域为. 19．（25-26高三·全国·一轮复习）分别求下列函数的值域： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用分离常数法、换元法，以及二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）， ，所以， 故函数的值域为． （2）令（），则， 则（）， 结合二次函数的性质可得，，当时有最大值4， 所以函数的值域为. （3）∵， 则，即原函数值域为， （4）， 因为, 即函数值域为． 20．（25-26高一上·湖北武汉·阶段检测）求下列函数的值域 (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用换元法和二次函数的性质求值域； （2）利用换元法和基本不等式求值域. 【详解】（1）令，则，， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则，， 当时，； 当时，，因为，当且仅当，时等号成立，所以， 所以函数的值域为. $