专题强化练3　二次函数与一元二次方程、不等式-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦二次函数在闭区间上的最值问题，通过分层题型系统训练对称轴分析、分类讨论等方法，构建"性质-参数-区间"逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|8题|对称轴位置分析、参数分类讨论、换元法转化、新定义问题转化|以二次函数性质为核心，关联一元二次方程，通过区间变化（含参数）考查最值求法| |解答题|1题|含参数区间分类讨论、最值比较|从具体区间到动态区间，深化二次函数单调性与最值关系的推理应用|

专题强化练(三)　 二次函数与一元二次方程、不等式 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共56分 一、选择题 1．若函数f (x)＝x2－ax＋1(2<x≤4)存在最小值和最大值，则实数a的取值范围是(　　) A．(2，3]　 B．(2，4] C．(4，6]　 D．(4，8] 2．函数f (x)＝x＋，x∈[0，4]的值域为(　　) A．[0，3]　 B．[1，4] C．[0，6]　 D．[0，4] 3．已知函数f (x)＝kx2＋2kx＋1在[－3，2]上的最大值为4，则实数k的值为(　　) A．－3　 B．－3或－ C．3或－　 D．－3或 4．(多选)二次函数y＝x2＋(2a－1)x－3在[－1，3]上的最大值为1，则实数a的值为(　　) A．－　 B．－ C．－　 D．－1 5．已知函数f (x)＝x2－x－5在[－1，m]上的最大值为m，则m＝(　　) A．－2　 B．2 C．5　 D．7 二、填空题 6．函数f (x)＝x2－2x－1，x∈的值域为________． 7．函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域是，则实数m的取值范围是________． 8．对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值等于2a，则称a为这个函数的H数．若二次函数y＝ax2＋4x＋c(a，c为常数且a≠0)有且只有一个H数1，且当0≤x≤m时，函数y＝ax2＋4x＋c－2的最小值为－3，最大值为1，则m的取值范围是________． 三、解答题 9．(15分)已知二次函数y＝x2－6x＋5． (1)求二次函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)当1≤x≤6时，函数的最大值和最小值分别是多少? (3)当t≤x≤t＋3时，函数的最大值为m，最小值为n，若m－n＝3，求t的值． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 专题强化练(三) 1．C　[若函数f (x)＝x2－ax＋1(2<x≤4)存在最小值和最大值， 又f (x)图象的对称轴为直线x＝， 则即则4<a≤6， 则实数a的取值范围为(4，6]． 故选C．] 2．C　[令＝t，∵x∈[0，4]，∴t∈[0，2]， ∴g(t)＝t2＋t＝－，t∈[0，2]， ∴g(t)在[0，2]上单调递增， ∴g(0)≤g(t)≤g(2)，∴g(t)∈[0，6] ∴f (x)∈[0，6]．∴f (x)的值域为[0，6]．] 3．D　[当k＝0时，f (x)＝1，则最大值为1，不符合题意； 当k≠0时，f (x)＝kx2＋2kx＋1图象的对称轴为x＝－1， 当k>0时，f (x)在[－3，－1]上单调递减，在[－1，2]上单调递增， 则f (x)的最大值为f (2)＝8k＋1＝4，则k＝； 当k<0时，f (x)在[－3，－1]上单调递增，在[－1，2]上单调递减， 则f (x)的最大值为f (－1)＝－k＋1＝4，则k＝－3． 综上，k的值为－3或． 故选D．] 4．BD　[y＝x2＋(2a－1)x－3，图象开口向上，对称轴为直线x＝． 当≤1，即a≥－时，函数在x＝3处取得最大值1， 即9＋(2a－1)×3－3＝1，解得a＝－，满足题意； 当>1，即a<－时，函数在x＝－1处取得最大值1， 即1＋(2a－1)×(－1)－3＝1， 解得a＝－1，满足题意， 故a＝－1或a＝－．故选BD．] 5．C　[由f (x)＝x2－x－5，可得f (x)＝(x－1)2－， 所以函数f (x)图象的对称轴为x＝1． 当－1<m≤1时，函数在[－1，m]上单调递减，f ＝f (－1)＝×(－1)2－(－1)－5＝－， 所以－＝m，解得m＝－7(舍去)； 当m>1时，函数在x＝1处取得最小值，在x＝－1或x＝m处取得最大值， 若最大值在x＝－1处取到，则f ＝f (－1)＝×(－1)2－(－1)－5＝－， 所以－＝m，解得m＝－7(舍去)， 若最大值在x＝m处取到， 则f ＝f (m)＝×m2－m－5，所以×m2－m－5＝m， 所以m2－3m－10＝0，所以(m－5)(m＋2)＝0，解得m＝5或m＝－2(舍去)． 故选C．] 6．　[函数f (x)＝x2－2x－1，x∈， 可得函数图象开口向上，对称轴为x＝1，且|2－1|<， 函数在上单调递减，在[1，2)上单调递增， 所以f (x)min＝f (1)＝1－2－1＝－2，f (x)max＝f ＝＋1－1＝， 所以函数的值域为．] 7．　[∵y＝x2－3x－4的图象是开口向上，且以x＝为对称轴的抛物线， ∴当x＝时，函数取最小值－． 又∵f (－1)＝f (4)＝0， ∴当函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域是时，m∈， ∴实数m的取值范围是．] 8．[2，4]　[由题意，令ax2＋4x＋c＝2x，则方程ax2＋2x＋c＝0的解为1，且方程有且只有一个解， 所以解得 故y＝－x2＋4x－1－2＝－(x－2)2＋1， 显然当x＝0时，y＝－3； 当x＝2时，y＝1； 当y＝－3时，x＝0或x＝4． 所以2≤m≤4．] 9．解：(1)∵y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4， ∴对称轴为x＝3，顶点坐标为(3，－4)． (2)∵顶点坐标为(3，－4)， ∴当x＝3时，y最小值＝－4； 当1≤x≤3时，y随着x的增大而减小， 当x＝1时，y＝0； 当3<x≤6时，y随着x的增大而增大， 当x＝6时，y＝5． 综上所述，当1≤x≤6时，函数的最大值为5，最小值为－4． (3)当t≤x≤t＋3时，对t进行分类讨论： ①当0≤t<3时，顶点的横坐标在取值范围内，∴n＝－4， 当0≤t≤时，则当x＝t时，m＝t2－6t＋5， m－n＝t2－6t＋5＋4＝t2－6t＋9，即t2－6t＋9＝3， 解得t1＝3－，t2＝3＋(不符合题意，舍去)； 当<t<3时，则当x＝t＋3时，m＝t2－4， ∴m－n＝t2－4＋4＝t2，即t2＝3， 解得t1＝，t2＝－(不符合题意，舍去)． ②当t＋3<3，即t<0时，y随着x的增大而减小， 当x＝t＋3时，n＝(t＋3)2－6(t＋3)＋5＝t2－4， 当x＝t时，m＝t2－6t＋5， ∴m－n＝t2－6t＋5－(t2－4)＝－6t＋9，∴－6t＋9＝3， 解得t＝1(不符合题意，舍去)． ③当t≥3时，y随着x的增大而增大， 当x＝t时，n＝t2－6t＋5， 当x＝t＋3时，m＝(t＋3)2－6(t＋3)＋5＝t2－4， ∴m－n＝t2－4－t2＋6t－5＝6t－9，即6t－9＝3， 解得t＝2(不符合题意，舍去)． 综上所述，t＝3－或t＝． $