第4章 几何图形初步全章高频重点题型突破（专项训练）数学新教材沪科版七年级上册

**基本信息** 聚焦几何图形初步全章高频重点，分基础、核心、综合三层次系统归纳题型，覆盖从概念识别到综合应用的完整逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础拿分|11题型（含立体图形识别、线段计算等）|侧重概念辨析与基础计算，夯实空间观念|从立体图形到平面元素（点线面体），构建几何基本认知| |核心提升|6题型（含动点问题、最短路径等）|突出综合应用与思想方法，培养推理意识|从静态计算到动态探究，渗透方程思想与转化思想|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第四章几何图形初步全章高频重点题型突破 基础拿分 高频题型归纳 ◆题型1立体图形识别与分类 1.A 2.B 3.B 4.B 5.c ◆题型2点、线、面、体关系辨析 1.A 2.A 3.点动成线 4.点动成线 ◆题型3直线、射线、线段数量问题 1.B 2.D 3.6 4.10 4条 ◆题型4线段的应用 1.A 2.D 3.6 4.10 1/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型5线段的和与差 1.C 2.C 3.3cm或7cm 4.AC AB BC ◆题型6线段中点相关计算 1.B 2.A 3.1.5 4.8 5. 【详解】(1)解：AW:NC:CB=2:3:4, ∴.设AW=2x,NC=3x,CB=4x, .AB=AN+NC+CB=18cm, .2x+3x+4x=18. ∴.x=2, .AN =4cm,NC=6cm.CB=8cm. .AC=AN+NC=4+6=10cm (2)解：M是AB的中点， AM -AB-9cm, .CM=AC-AM=10-9=1cm ◆题型7角度单位换算（度分秒） 1.B 2.下C 3.35.48 4.18.505 36 22 30 2/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型8角的筒单和差计算 1.C 2.B 3.2450 4. 【详解】解：(1)7742+3445 =(77°+34)+42+45) =111°+87 =111°+127 =11227: (2)10818-5623 =107°78-5623 =(107°-56)+78-23） =5155: (3)180°-(3454+2133） =180°-[(34+21）+(54+33)】 =180°-(55°+87） =180°-5627 =17960-5627 =12333 ◆题型9与方向角有关的计算 1.B 2.C 3.785524 4.101° 3/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型10角平分线基础计算 1.C 2.D 3.115o 4.100 5. 【详解】(1)解：“∠B0C+∠2=180，∠B0C=80°， ∠2=180°-80°=100°： :OE是∠BOC的角平分线， .∠1=40°. :∠1+∠2+∠3=180°， .∠3=180°-∠1-∠2=180°-40°-100°=40°： (2)略 ◆题型11余角补角基础求值 1.B 2.D 3.120° 4.144° 5.111° 核心提升 重难题型归纳 ◆题型1线段多中点综合计算 1.C 2.9cm 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3. (2)画出图形如图所示： y B D C,AB=12 【详解】(1)解：：点D、E分别为线段CB、AC的中点， ∴.AC=2CE,BC=2CD, AB=AC+BC=2CE+2CD=2DE=2×7.5=15: (2)解：点D、E分别为线段CB、AC的中点， .AC=2CE,BC=2CD. .AB=AC-BC, .AB=2CE-2CD=2DE=2×6=12 4. 【详解】(1)解：，点C为线段AB上的点， ...AB=AC+CB, .AC=12cm,CB=8cm, ∴.AB=12+8=20cm, :D、E分别是AC、AB的中点， .AD-AC=6cm,AE=1 AB=10cm, 2 2 DE=AE-AD, .DE=10-6=4(cm) (2)解：点M在直线AB上 ①当点M在点A、B之间时，如图， A D E CM B 由(1)可知AB=20cm,MB=6cm. AB=AM+MB. ∴.AM=AB-MB, .AM=20-6=14cm） ②当点M在直线AB延长线上时，如图， A D E C B M 5/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=20cm,MB=6cm .AM=AB+MB .AM=20+6=26(cm). 综上所述，AM的长度为l4cm或26cm ◆题型2线段动点长度计算 1.c 2.6 3. 【详解】(1)解：根据题意可知，当点C、D运动了3s时，AC=3cm,MD=2×3=6(cm), AB=18cm.AB=AC+CM+MD+DB. ∴.18=3+CM+6+BD .CM+BD=18-3-6=9(cm): (2)解：由(1)可知，MD=2AC, BD=2CM, :.BD+MD=2CM+24C=2(CM+AC),MB=2AM, AM+MB=AB, ∴.AM+2AM=18cm, ∴.3AM=18cm, ∴.AM=6cm, 故答案为：6： (3)解：分两种情况： ①如图所示，当点N在线段AB上时， A CM ND B..AN-BN=MN,AN-AM =MN .AM BN =6cm, ..MN=AB-AM-BN=18-6-6=6(cm) 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .MN-34B, ②如图所示，当点N在线段AB的延长线上时， A CM D B N..AN-BN=MN,AN-BN=AB, .MN =AB=18cm, 综上所述，MN与AB的数量关系为MN=3AB或MN=AB 故答案为：MN=AB或MN=AB 31 4. 【详解1（④）解：出发3秒后，4M=4P=×2x3列=3，PB=AB-AP=24-2×3=18 2 (2)设出发t秒后，AP=3BP,分两种情况： 当P在AB上时，AP=21,BP=AB-AP=24-2t, 则21=324-20， 解得1=9， 当P在AB延长线上时，AP=2I,BP=AP-AB=21-24, 则21=3(2t-24). 解得t=18, 综上，出发9秒或18秒后，AP=3BP (3)选择结论②：MN长度不变 设AP=2xx>12),则BP=AP-AB=2x-24 M是AP中点， :.AM-MP-TAP-x, 2 :N是BP中点， :.NP-1BP-x-12. MN=MP-NP=x-(x-12)=12. 故MN的长度恒为12（定值）. ①中：MA+PN=x+x-l2=2x-12(变化)， 故选②. 7/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3角平分线多步和差综合 1.B 2.B 3.55 4.120° 5. 【详解】解：，OE平分∠BOD, ∴.∠1=∠DOE. ,∠1：∠2=1：4，∠1+∠DOE+∠AOD=180°， ∠1=∠D0B=,1 1+1+ ×180°=30°，∠B0C=∠2=180°-2×30°=120°， .∠C0E=∠C0B+∠1=120°+30°=150°， OF平分∠COE, &∠B0F=<C0E=5x150°-75. .∠B0F=∠E0F-∠1=75°-30°=45° ◆题型4余角补角方程思想解题 1.C 2.A 3.30 4.80° 5. 【详解】1)解：根据题意，得∠ACB=90°， .∠1+∠2=180°-∠ACB=90°： A B Ti中WT 0123456789 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：设∠1=x°，则∠2=(90-x)°， 根据题意，得180-x=2(90-x)+30, 解得x=30 ∴.∠1=30° ◆题型5线段最短路径问题 1.C 2.c 3. 【答案】 如图所示， EF即为所作. A E B 4 如图NM即为修桥地点， 【详解】解：如图，把点P向下平移河的宽度得到P',连接PQ与KL相交于点N,过点N作NM⊥GH 交GH于M,NM即为修桥地点. ◆题型6尺规作图综合 1. 9/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1) EB (2) EB D A (3) EB 2. 【答案】(1)如图，∠A0B=∠a即为所求 0a B (2)如图，0C=2a即为所求， a A a a B 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3. 【详解】解：如图所示，∠CDG即为所求， B F G 14. 【详解】(1)解：如图所示：射线BA即为所求： A B c (2)解：如图所示：线段AD即为所求： D (3)解：如图所示：∠AOE即为所求： (4)解：∠AOE=∠B,∠AOE+∠B=90°. .∠AOE=∠B=45°， ,∠BOE=80°， .∠AOB=∠BOE-∠AOE=80°-45°=35° 题型专练 高频重难特训 1.C 2.D 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.C 4.D 5.A 6.A 7.c 8.6cm 9.∠a>∠y>∠p 10.南偏西25° 11. 【答案】(1)直线AC如图所示： (2)射线BA如图所示； 3)线段BC如图所示. B 12. 【详解】(1)解：，AB=21cm, .BC-4B-7(cm). .AC=AB+BC=21+7=28(cm): (2)解：由(1)知：AC=28cm,BC=7cm, :点O是线段AC的中点， 0c-4c=x28=14(em). :0B=0C-BC=14-7=7(cm) 13. 【详解】(1)解：，∠B0D=40°， .∠B0C=180°-∠BOD=140°， OF平分∠BOC, 12/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BOF 2∠B0C=70, ∠AOF=180°-∠BOF=110°. (2)解：OE⊥CD, .∠C0E=90°， ∴.∠AOC+∠AOE=90°， :∠AOC:∠AOE=1:2, ∴.∠AOE=2∠AOC, :.∠A0C+∠AOE=3∠AOC=90° ∴.∠A0C=30° ∴.∠B0C=180°-∠AOC=150°， ,OF平分∠B0C, 1 .∠COF=。∠B0C=75° 14. 【详解】(1)解：∠COE与∠E0D互余， ∴.∠COE+∠EOD=90°. .∠C0E=40°. ∠E0D=90°-∠COE=50°， :OE平分∠AOD .∠A0D=2∠E0D=2×50°=100° ∴.∠B0D=∠AOB-∠AOD=140°-100°=40° (2)解：∠COE与∠EOD互余， .∠COE+∠EOD=90°， :∠COE=a, ∴.∠E0D=90°-∠C0E=90°-a, ,OE平分∠AOD, .∠A0D=2∠E0D=2(90°-a)=180°-2a, 、.∠B0D=∠A0B-∠A0D=140°-(180°-2a)=2a-40°，即B=2a-40° 15 【答案】 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图所示，点C即为所求， B B (2)证明：~直线I是点B、B的对称轴，点C、C在1上， ..CB=CB',BC'=C'B', .AC+CB=AC+CB'=AB', 在△ACB中， AB'<AC'+C'B', .AC+CB<AC"+BC': (3)如图所示， B D (3)CE=PE,DF=PF 则PE+EF+PF=CE+EF+DF, 根据两点之间线段最短可得路线PE,EF,PF即为所求 14/14 第四章 几何图形初步全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 立体图形识别与分类 题型2 点、线、面、体关系辨析 题型3 直线、射线、线段数量问题 题型4 线段的应用 题型5 线段的和与差 题型6 线段中点相关计算 题型7 角度单位换算（度分秒） 题型8 角的简单和差计算 题型9 与方向角有关的计算 题型10 角平分线基础计算 题型11 余角补角基础求值 核心提升：重难题型归纳 题型1 线段多中点综合计算 题型2 线段动点长度计算 题型3 角平分线多步和差综合 题型4 余角补角方程思想解题 题型5 线段最短路径问题 题型6 尺规作图综合 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 立体图形识别与分类 1．下面几何体中，是圆柱的为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握每个几何体的特征是解题的关键．根据圆柱体的特征判断即可． 【详解】解：A、有两个大小相同的圆形底面，且互相平行，侧面是曲面，符合圆柱的特征，故此选项符合题意； B、只有一个圆形底面，顶点是一个点，是圆锥，故此选项不符合题意； C、底面是三角形，侧面是三角形是三棱锥，故此选项不符合题意； D、是一个完全由曲面构成的球体，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了立体图形，正确理解立体图形的定义是解题关键； 根据立体图形的定义即可求解； 【详解】解：有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形； 可以看到第二个图形和第四个图形是立体图形； 故选：B 3．下列几何体中，不含曲面的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据曲面和平面的定义，结合各个几何体的特点求解即可． 【详解】解：球，圆锥，圆柱均含曲面，正方体不含曲面，故选B． 4．下列几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据面动成体原理，判断各几何体能否由平面图形绕直线旋转一周得到，选出符合条件的选项． 【详解】解：正方体是由平面图形平移得到，不能由平面图形绕直线旋转一周得到，故A选项错误，不符合题意． 圆台可以由直角梯形绕垂直于底的腰所在直线旋转一周得到，故选项正确，符合题意． 三棱柱是由平面图形平移得到，不能由平面图形绕直线旋转一周得到，故C选项错误，不符合题意． 四棱锥不能由平面图形绕直线旋转一周得到，故D选项错误，不符合题意． 5．下列图形是三棱柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常见的立体图形逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该图形为圆柱，不符合题意； B.该图形为圆锥，不符合题意； C.该图形为三棱柱，符合题意； D.该图形为四棱锥，不符合题意． ◆题型2 点、线、面、体关系辨析 1．钢笔在纸上书写出字，是属于______的实际应用（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线段最短 【答案】A 【分析】根据点、线、面、体的关系，并结合钢笔书写的实际场景即可解答． 【详解】解：钢笔的笔尖可看作一个点，书写过程中点不断移动，形成线条组成字，即符合点动成线的规律． 2．“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 【答案】A 【详解】解：烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为点动成线． 3．流星划过，会在夜空中留下一条明亮的光带，这种现象可以用数学原理解释为____________（用点、线、面、体关系说明）． 【答案】点动成线 【分析】本题主要考查了点、线、面之间的关系，将流星视为一个点，其运动轨迹形成一条线，根据点、线、面、体的关系，点移动生成线，因此用“点动成线”解释． 【详解】解：流星在夜空中可抽象为一个点，当点移动时，其轨迹形成一条连续的线，即光带，这符合几何中点动成线的原理． 故答案为：点动成线． 4．诗人张协在《杂诗十首》中用“腾云似涌烟，密雨如散丝”描写雨的细密．其中“密雨如散丝”表现的数学原理是___________（从“点动成线”，“线动成面”，“面动成体”中选一个填入）． 【答案】 点动成线 【分析】本题主要考查了“点线面体”的关系， 根据点、线、面、体的运动关系，雨滴可视为点，散丝表示线，点移动形成线． 【详解】解：诗句“密雨如散丝”中，雨滴是点，散丝是线，数学原理是点动成线． 故答案为：点动成线 ◆题型3 直线、射线、线段数量问题 1．过平面上五个点中的任意两点画一条直线，最多可以画（     ）条． A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】当五个点中任意三点不共线时，画出的直线数量最多，再计算总条数 【详解】解：∵ 要使画出的直线数量最多， ∴ 五个点中任意三点不能共线 ∵ 每个点可与其余4个点各画1条直线，5个点共计算得条 又∵ 每条直线被两个点分别计算1次，存在重复 ∴ 实际最多可画条 2．如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制车票的种类数量是（    ） A．4 B．8 C．10 D．20 【答案】D 【分析】利用线段的数量求解． 【详解】解：该图形中线段的条数为（条）， ∴需印制车票的种类数量是． 3．如图，，，三点在一条直线上，则图中共有射线__________条． 【答案】6 【详解】解：一个点有2条射线， 所以图中共有射线条． 4．在如图所示的图形中，共有 _____条线段，以B为端点的线段有 _____． 【答案】 10 4条 【详解】解：如图所示的图形中，共有线段10条，分别是，，，，，，，，，， 以B为端点的线段有4条，分别是，，，． ◆题型4 线段的应用 1．图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【分析】本题考查了线段的长短比较，正确理解线段的长短是解题的关键． 连接，，，，由图即可判断答案． 【详解】解：如图，连接，，，， 易知，， ∴表示她最好成绩的点是点，即该同学投掷铅球最好的成绩是的长． 故选：A． 2．某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（   ）张车票 A．6 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题考查线段的计数问题，解题的关键在于将该问题抽象为几何问题解决．将不同站点的车票抽象为线段，再结合线段的计数方法和“起点或终点不一样都算不同的车票”求解，即可解题． 【详解】解：将不同站点的车票抽象为线段，如下图所示： 上图共有线段（条）， 因为起点或终点不一样都算不同的车票， 所以所有不同的车票有（张）， 故选：D． 3．如图，从甲地到乙地有两条路线，从乙地到丙地有三条甲路线，那么从甲地到丙地的路线条数是_________． 【答案】6 【分析】根据题意，结合图形求解即可． 【详解】从甲地其中一条线路到丙地有三条路线，从甲地另一条路线到丙地有三条路线，即从甲地到丙地共6条路线， 故答案为：6． 【点睛】此题在线段的基础上，着重培养学生的观察能力，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复． 4．从阳谷开往济南的特快列车，途中要停靠三个站点如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有______种． 【答案】10 【分析】根据题意得出共有车票，根据往返两个站点的票价相同，即可求出有几种票价． 【详解】解：由题意可知共有5个站点， ∴共有种车票， 但往返两个站点的票价相同，即有种票价， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了有关线段、射线、直线的应用，主要考查学生的理解能力，本题用了排列和组合的内容． ◆题型5 线段的和与差 1．如图，，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴． 2．已知A、B、C在同一条直线上，线段，，则线段等于（     ）． A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题未明确点C的位置，需根据点C的不同位置分情况讨论，利用线段和差关系计算的长度即可． 【详解】解：∵A、B、C三点共线，点C位置有两种可能，因此分情况计算： 当点C在线段的延长线上时； 当点C在线段上时； 综上，线段等于或． 3．如果cm，cm，且点，，在同一直线上，那么点，间的距离等于_____． 【答案】或 【分析】由于点的位置未明确，需分两种情况进行讨论，分别计算，两点间的距离． 【详解】解：分两种情况讨论：当点在线段的延长线上时，； 当点在线段上时，． 故答案为或． 4．如图，、、三点在同一条直线上，则关于线段、、有下列等式成立： （1）________； （2）________； （3）________． 【答案】 【分析】观察图形确定线段间的关系即可． 【详解】解：观察图形可知：（1）； （2）； （3）． ◆题型6 线段中点相关计算 1．如图，已知线段，M是的中点，P是线段上一点，N为的中点，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据线段的中点的定义，求出的长，作差即可． 【详解】解：∵，M是的中点，N为的中点，， ∴， ∴． 2．如图，，，三点共线，，分别是、的中点，若，，则（　　） A．7 B．8 C．7.5 D．6 【答案】A 【分析】先根据中点的定义求出线段和的长度，再利用线段和的关系计算出的长度，最后对照选项得出答案． 【详解】解：∵是的中点，， ∴． ∵是的中点，， ∴． ∵， ∴． 3．如图，已知，是线段上的两点，，，点是中点，则线段的长________． 【答案】1.5 【详解】解：，， ， ， 点是中点， ， 4．点C是线段的中点，点D在线段上，且，若，则_______． 【答案】8 【分析】根据线段中点的定义，可得，结合和，可求出的长度，再根据线段的和差关系计算的长度． 【详解】解：点是线段的中点， ， ，， ， 解得， ， ． 故答案为：． 5．如图，线段，点把线段分成三部分，其中，是的中点． (1)求线段的长． (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用线段的比例关系可分别求得线段的长，从而求得线段的长； （2）根据中点的性质可以求得线段的长，从而求得线段的长． 【详解】（1）解：， 设，，， ， ， ， ，，， ． （2）解：是的中点， ， ． ◆题型7 角度单位换算（度分秒） 1．角度化成度、分、秒的形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用度分秒的60进制换算规则，，逐一对选项换算验证即可得到正确结果． 【详解】解：对选项A：，A错误． 对选项B：，B错误． 对选项C：，∴ C正确． 对选项D： ，∴ D错误． 3．计算： __________°． 【答案】 【分析】度分秒换算的核心是60 进制，从秒到分、分到度，依次除以 60，注意逐级换算，避免跳步出错． 度、分、秒的换算规则：，，将分、秒逐级转化为度即可． 【详解】 故答案为：． 4．___________度． ______º_____ _____． 【答案】 18.505 36 22 30 【分析】根据进行转化即可． 【详解】解：∵， ∴， 又， ∴； ∵， ， ∴． ◆题型8 角的简单和差计算 1．计算的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算度、分与乘数的乘积，再根据进率进位即可得到结果． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． ∴的值为． 2．下列式子中错误的是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的度分秒的换算与加减运算，熟练掌握，的换算关系是解题的关键．本题考查角的度分秒的转换与加减运算，解题思路是利用，的换算关系，对每个选项逐一进行计算，判断其正确性，从而找出错误的式子． 【详解】解：∵，， ∴A选项：，，，故A项正确，不符合题意． B选项：，，故B项错误，符合题意． C选项：，故C项正确，不符合题意． D选项：，，故D项正确，不符合题意． 故选：B． 3．，，则___________. 【答案】 【详解】解：∵，， ∴． 4．填空： （1）________； （2）________； （3）________． 【答案】 【分析】度分秒运算规则为，加法满进，减法不够减时借当，有括号先算括号内运算． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． ◆题型9 与方向角有关的计算 1．如图，在学校图书馆处观测到，物理实验室位于点的北偏东的方向，教学楼位于点的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ． 2．如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，可得，故可得从点处观察山脚处的俯角为． 【详解】解：如图，作， ∴， ∵， ∴，即从点处观察山脚处的俯角为． 3．如图，某海域有三个小岛，在小岛处观测到小岛在它的北偏东的方向上，小岛在它的南偏东的方向上，则的度数是____． 【答案】 【分析】根据南北轴线为平角，从平角中减去北偏东、南偏东两个方位角，即可得到中间夹角的值．度分秒减法不够减时，从高位借位：，再计算． 【详解】解：． 4．开州拥有丰富的红色文化和传统文化资源，其中举子园、刘伯承同志纪念馆、刘伯承同志故居都是著名景点．如图，点是举子园，刘伯承同志纪念馆位于举子园的北偏西方向，刘伯承故居位于举子园的南偏西方向，那么__________． 【答案】 【详解】解：由题意得，． ◆题型10角平分线基础计算 1．如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设，根据比例关系表示，利用平角定义及角平分线性质表示，结合已知条件列方程求解． 【详解】解：设， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， 解得， ． 2．如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，进而求出的度数，角的和差关系即可得出结果. 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线，度， ∴，， ∴. 3．如图，，平分，平分，则的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义得出，，根据平角的定义得出，根据角的和差关系即可求出． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 4．如图，与的比是，平分，，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的运用，因为平分，则有，进而可知，，结合与的比是即可求解． 【详解】，平分， ， ， ， 与的比是， , ， , ， ． 5．如图，直线交于O点，且，平分，为的反向延长线． (1)求和的度数 (2)平分吗？为什么？ 【答案】(1)； (2)平分 理由：， ． ， 平分． 【详解】（1）解：， ； 是的角平分线， ． ， ； （2）略 ◆题型11 余角补角基础求值 1．若一个角的余角为，则这个角的补角度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互为余角的两个角的和等于求出这个角，再根据互为补角的两个角的和等于列式计算即可得解． 【详解】解：一个角的余角是， 这个角是， 这个角的补角为． 2．已知和互为余角，且，则的补角是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵与互为余角， ∴， ∵， ∴， ∴的补角为． 3．已知与互余，与互补，，则__________． 【答案】/120度 【分析】先根据互余的定义结合已知条件求出，再根据互补的定义求出即可． 【详解】解：∵与互余，， ∴， ∵与互补， ∴． 4．已知与互余，若，则的补角的度数为_________． 【答案】 【分析】根据互余的定义求出的度数，再根据补角的定义计算的补角度数即可． 【详解】解：与互余， ∴， ∴的补角的度数为． 5．如图，点是直线上一点，与互为余角，是的平分线．若，求的度数． 【答案】 【分析】余角的定义可求出，结合角平分线的定义可得，由平角的定义可得的度数，进而求出的度数． 【详解】解：∵与互为余角， ∴ ．                                              ∵， ∴，                                          又∵是的平分线， ∴， ∵点是直线上一点， ∴ ， ∴，                                          ∴． ◆题型1 线段多中点综合计算 1．如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据点M，N分别是，的中点得到，，从而推出得到结果． 【详解】解：M，N分别是，的中点， ，， ， ，， ． 2．如图，线段被点分成了的三部分，的中点和的中点之间的距离是，则_________． 【答案】 【分析】设，，的长度分别为，，，根据线段中点的定义表示出，利用线段的和差关系表示出，结合已知条件列一元一次方程求出的值，最后计算的长度． 【详解】解：设，，的长度分别为，，， 点是的中点，点是的中点， ，， , , , ，解得, ． 3．完成下列小题 (1)如图所示，点D、E分别为线段的中点，若，求线段的长度． (2)若点C在线段的延长线上，点D、E分别为线段的中点，，画出图形并求的长度． 【答案】(1)15 (2)画出图形如图所示： ， 【分析】（1）根据图象得出，即，进而求出即可； （2）根据已知画出图形，进而利用求出即可． 【详解】（1）解：∵点D、E分别为线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵点D、E分别为线段的中点， ∴， ∵， ∴． 4．如图，已知点为线段上一点， ，， 、分别是、的中点． (1)求的长度． (2)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据和的长度计算的长度，再利用、分别是、的中点计算出和，再算计即可． （2）分类讨论点的位置，分别计算的长度即可． 【详解】（1）解：∵点为线段上的点， ∴， ∵，， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴． （2）解：点在直线上 当点在点、之间时，如图， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴． 当点在直线延长线上时，如图， ∵， ∴ ∴． 综上所述，的长度为或． ◆题型2 线段动点长度计算 1．如图，点为直线上从左到右的四个点，且，动点在直线上，点从点出发向右运动，同时点从点出发向左运动，点的速度是点的速度的2倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，得，设，则，根据线段的长可得，即可求出． 【详解】解： 设，则， ， 点从点出发向右运动，同时点从点出发向左运动，点速度是点的2倍， ， 设则， ， ， ， 知道长度即可知道长度． 2．如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，解题的关键与难点在于正确的表示出数轴上的点所对应的数．先设初始时点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为，设线段和线段的运动速度为，运动时间为，再表示出运动后各点对应的数，最后根据点M，N分别是和的中点，表示出点M，N对应的数，即可解答． 【详解】解：设初始时点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为， 设线段和线段的运动速度为，运动时间为， 则运动后点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为． 点M，N分别是和的中点， 点M表示的数为， 点N表示的数为， 当点B在线段上且未到达中点时， 的长为． 故答案为：6． 3．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从A、M出发以、的速度沿直线向右运动（C在线段上，D在线段上）． (1)当点C、D运动了，求的长度； (2)若点C、D运动时，总有，则 ； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且满足，与的数量关系为 ． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段的和差、两点间的距离． （1）根据题意，由运动时间和速度分别求出、的长，再根据，进而求出的长； （2）根据、的运动速度知，，再由已知，进而求得，再由，即，进而得出答案； （3）分两种情况分析：当点在线段上时；当点在线段的延长线上时，由线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，当点、运动了时，，， ，， ， ； （2）解：由（1）可知，， ， ，即， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分两种情况： 如图所示，当点在线段上时， ，， ， ， ； 如图所示，当点在线段的延长线上时， ，， ， 综上所述，与的数量关系为或， 故答案为：或． 4．如图，线段，动点从出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，为的中点． (1)出发秒后，____________，____________（不必说明理由）； (2)出发几秒后，？ (3)当在延长线上运动时，为的中点，下列两个结论： ①的值不变； ②长度不变，选择一个正确的结论，并求出其值． 【答案】(1)，； (2)秒或秒； (3)选择结论②，． 【分析】本题考查了两点间的距离，一元一次方程的应用，解答本题的关键是设参数并准确表示出各线段的长度． （1）先根据路程=速度×时间求出，再根据中点的定义求出，根据线段的和差关系求出． （2）分两种情况：①当点在线段上时，②当点在延长线上时，根据题意列出方程求解即可． （3）设，根据条件推出，，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：出发秒后，，． （2）设出发秒后，，分两种情况： 当在上时，，， 则， 解得； 当在延长线上时，， ， 则， 解得， 综上，出发秒或秒后，． （3）选择结论②：长度不变 设，则 ∵是中点， ∴， ∵是中点， ∴， 则， 故的长度恒为（定值）． ①中：（变化）． 故选②． ◆题型3 角平分线多步和差综合 1．如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ． ， ． 平分， ． ． 2．如图，是的平分线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，可得的度数，由是的平分线，可得的度数，进而可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 3．如图，点是直线上一点，．平分，于点，则________度． 【答案】 【详解】解：点是直线上一点，， ． 平分， ． ， ． 4．如图，平分，，已知，则的度数为_____________． 【答案】 /120度 【分析】设，则，求出，，得出，即可求出答案． 【详解】解：设，则． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 5．如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 【答案】 【分析】首先根据平分，可得，再根据，计算出和的度数，然后计算出的度数，再根据角平分线的定义可得，最后根据求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． ∴． ◆题型4 余角补角方程思想解题 1．一个角的补角比这个角的余角的3倍少，这个角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设这个角的度数为，根据一个角的补角比这个角的余角的3倍少列一元一次方程求解即可，准确理解余角补角的概念是解题关键． 【详解】解：设这个角为，则这个角的余角为，补角为， ∵补角比这个角的余角的倍少， ∴列方程得：， 展开整理得：， 解得， ∴这个角为． 2．一个角的余角比它本身大，则这个角的补角的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设这个角的度数为未知数，根据余角定义和题干的数量关系列方程求出这个角，再根据补角定义计算所求补角的度数即可． 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意得，列方程得， 解得， 即这个角为， ∴这个角的补角为． 3．如果一个角的余角的3倍比它的补角多，这个角是________度． 【答案】 【分析】设这个角的度数为，根据互余两角和为，互补两角和为，表示出该角的余角和补角，再根据题干的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数为， ∵ 互余两角之和为，互补两角之和为， ∴该角的余角为，补角为， 根据题意列方程得： 展开得： 移项整理得： 解得： 即这个角的度数是 4．一个角的补角比它本身大，则这个角的度数是________． 【答案】/80度 【分析】本题考查补角的定义与一元一次方程的应用．根据补角的数量关系建立一元一次方程求解． 设这个角的度数为，根据补角的定义得到它的补角为，根据题目给出的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个角的度数是，则它的补角为， 根据题意列方程得： ， 整理得：， 解得： 5．一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置． (1)___________°． (2)若的补角比的2倍多，求的度数． 【答案】(1)90 (2) 【分析】（1）根据三角板的性质得，再根据平角定义得出答案； （2）设，则，根据题意列出方程求出解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴； （2）解：设，则， 根据题意，得， 解得， ． ◆题型5 线段最短路径问题 1．如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了线段之和最小值问题，将转化为求的最小值，当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为，由此即可得出答案，解题的关键是学会灵活运用两点之间线段最短解决最小值问题． 【详解】解：， ， 当、、在同一直线上时，有最小值，最小值为， 的最小值为， 故答案为：． 2．已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称的性质以及两点之间线段最短即可解决问题． 【详解】解：∵点A，B在直线l的同侧， ∴作B点关于l的对称点B'，连接AB'与l的交点为P，由对称性可知BP=B'P， ∴PA+PB=PB′+PA=AB′为最小 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称求最短距离，掌握两点在直线同侧时，在直线上找一点到两点距离最短的方法是解题的关键． 3．如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出． 【答案】 如图所示，即为所作． 【分析】本题主要考查最短路径问题，熟练掌握两点之间直线最短进行解答即可．过点作垂直于河岸，且使的长等于河宽，连接与河岸相交于点E，过点E作垂直河岸于点F，则为所建桥的位置． 【详解】略 4．如图：平行河岸两侧各有一村庄，现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄到村庄的路程最短．    【答案】 如图即为修桥地点，    【分析】根据两点之间线段最短，因此要想办法构成两点之间的直线，将点向下平移河的宽度得到，连接与河岸于点，过此点作另一岸的垂线即可得到答案． 【详解】解：如图，把点向下平移河的宽度得到，连接与相交于点，过点作交于，即为修桥地点． 【点睛】本题考查了最短路径问题、两点之间线段最短，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． ◆题型6 尺规作图综合 1．如图，平面上有四个点、、、，根据下列语句画图： (1)画线段、交于点； (2)作射线； (3)尺规作图：在下方作．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据线段的定义画图即可； （2）根据射线的定义画图即可 （3）根据作一个角等于已知角的尺规作图步骤，进行作图即可．（以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交于一点（可记作点），交于另一点（可记作点）；以点为圆心，以的长度为半径画弧，两弧的交点可记作点；连接并延长，即可得到射线，此时．） 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 2．按要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，如图，已知线段和． (1)作； (2)在射线上截取线段． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求， 【详解】（1）略 （2）略 3．如图，，交于． 尺规作图：以点为顶点，射线为一边，在的右侧作，使．（要求：不写作法，但保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】根据尺规作一个角等于已知角的方法，作图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 14．如图，在平面上有四个点，根据要求完成下列各题： (1)画射线； (2)画线段，并延长交射线于点； (3)以点为顶点，以为一边，在的右侧用尺规作，（保留作图痕迹，不写作法）； (4)在（3）的条件下，若，与互余，请直接写出的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了画直线，射线，线段，尺规作图—作一个角等于已知角，关键是熟练掌握作图方法； （1）根据射线的定义画图即可； （2）根据作图语言画图即可； （3）根据尺规作角的方法作图即可； （4）根据角的和差进行计算即可． 【详解】（1）解：如图所示：射线即为所求； （2）解：如图所示：线段即为所求； （3）解：如图所示：即为所求； （4）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 1．如图所示的是小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（     ） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 【答案】C 【详解】解：观察图片可得，该作品中的几何体有球，棱柱，圆锥，不存在圆柱． 2．笔尖在纸上滑动写出汉字“正”，运用数学知识解释这种现象，这可以说（   ） A．线线相交成点 B．面面相交成线 C．线动成面 D．点动成线 【答案】D 【分析】本题考查点，线，面，体之间的关系．根据点动成线，线动成面，面动成体可得答案． 【详解】解：∵笔尖可看作一个点，笔尖滑动是点的运动过程，写出的汉字由线条构成， ∴对应“点动成线”的原理， 故选：D． 3．平面上有个点，其中仅有三个在同一条直线上，过每两个点作一条直线，则一共可以作出的直线的条数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平面内点确定直线的计数问题，核心是处理共线点对直线数量的影响．先计算无共线情况时的直线总数，再修正因三点共线产生的重复计数：首先计算6个点若无三点共线时的直线条数，再分析三点共线时，这三个点实际仅能确定1条直线，相比无共线情况多算了2条，用总数减去多算的部分即可得到实际直线条数． 【详解】解：假设6个点中没有三点共线，那么从每个点出发与其他点连线，不重复的直线总条数为条； ∵有三个点在同一条直线上，这三个点在无共线假设下被计算为3条直线，而实际这三个点只能确定1条直线， ∴多计算条直线， ∴实际可作出的直线条数为条； 故选：C． 4．墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点上，另一端固定在另一点上，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．三角形内角和定理 D．两点确定一条直线 【答案】D 【详解】解：木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点上，另一端固定在另一点上，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线， ∴其蕴含的数学道理是两点确定一条直线． 5．如图，已知，点C在线段上，，点D是线段的中点，则线段的长度为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据点 是线段的中点，得出，因为，所以，则，即可作答． 【详解】解：∵点是线段 的中点，， ∴， ∵， ∴， 则． 6．如图射线，的方向分别为北偏东和南偏西，射线平分，则射线的方向为（     ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【分析】利用角度的和差关系以及角平分线的定义即可求解． 【详解】解：由题意可得： ∵，， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴射线的方向为：北偏西． 7．已知，则的余角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了余角的概念及角度的计算． 两个角的和等于，则这两个角互为余角.掌握余角的概念是解题的关键． 【详解】的余角为. 故选：C 8．若A、B、C在同一直线上，，D为中点，则A、D两点间的距离是________． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系求解即可． 【详解】解：当点C，A在点B异侧时， ， 为中点， 即两点间的距离是． 当点C，A在点B同侧时， ， 为中点， 即两点间的距离是． 综上，两点间的距离是或． 9．如果，，，那么，，的大小关系是_____________． 【答案】 【分析】将三个角统一换算为以度为单位，再进行大小比较． 【详解】解： 因为 ，所以 ． 10．如图，点在点的北偏东，射线与所成的角是，则射线的方向是________． 【答案】南偏西 【分析】根据方向角的定义得到的度数，则可求出的度数，再求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，由题意得，， ∴， ∴， ∴射线的方向是南偏西． 11．如图，已知平面上三点A，B，C． (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段． 【答案】(1)直线如图所示； (2)射线如图所示； (3)线段如图所示． 【分析】（1）直线可向两端无限延伸，没有端点，过点A和点C作向两端无限延伸的直线，即为所求直线； （2）射线只有一个端点，以B为端点，向经过点A的一侧无限延伸，画出图形即为所求射线； （3）线段有两个端点，连接点B和点C，所得图形即为所求线段． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 12．如图，点B是线段上一点，且，． (1)试求出线段的长； (2)如果点O是线段的中点，请求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点B在线段上可知，由，可得，代入计算后即可得到答案； （2）根据O是线段的中点及的长可求出的长，由即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：，， ∵点O是线段的中点， ∴， ∴． 13．如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角的定义求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角的和差关系和数量关系，求出的度数，进而求出的度数，由角平分线的定义，求出的度数. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴. 14．如图，已知，与互余，平分． (1)若，求和的度数． (2)设，，请探究与之间的数量关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由与互余，可得，由平分，可得，即可求解； （2）由与互余，可用表示，由平分，可用表示，即可求解． 【详解】（1）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即． 15．【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】 （1）如图所示，点C即为所求， ； （2）证明：直线是点、的对称轴，点、在上， ，， ， 在中， ， ； （3）如图所示， 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，正确画出图形是解题关键． （1）作点关于直线的对称点连接交于点，点即为所求； （2）先由轴对称的性质得到，，则，再由两点之间线段最短即可证明结论； （3）分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线即为所求. 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）， 则， 根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 几何图形初步全章高频重点题型突破 基础拿分：高频题型归纳 题型1 立体图形识别与分类 题型2 点、线、面、体关系辨析 题型3 直线、射线、线段数量问题 题型4 线段的应用 题型5 线段的和与差 题型6 线段中点相关计算 题型7 角度单位换算（度分秒） 题型8 角的简单和差计算 题型9 与方向角有关的计算 题型10 角平分线基础计算 题型11 余角补角基础求值 核心提升：重难题型归纳 题型1 线段多中点综合计算 题型2 线段动点长度计算 题型3 角平分线多步和差综合 题型4 余角补角方程思想解题 题型5 线段最短路径问题 题型6 尺规作图综合 综合攻坚·知能拔高 ◆题型1 立体图形识别与分类 1．下面几何体中，是圆柱的为（   ） A． B． C． D． 2．下列图形中，立体图形有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列几何体中，不含曲面的是（     ） A． B． C． D． 4．下列几何体中可以由平面图形绕某条直线旋转一周得到的是（     ） A． B． C． D． 5．下列图形是三棱柱的是（   ） A． B． C． D． ◆题型2 点、线、面、体关系辨析 1．钢笔在纸上书写出字，是属于______的实际应用（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．线段最短 2．“赣水欢腾  马跃新春”，南昌市举办了第四届迎春烟花晚会．如图是烟花在天空中形成的美丽弧线，这种现象可以用数学原理解释为（   ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．两点定线 3．流星划过，会在夜空中留下一条明亮的光带，这种现象可以用数学原理解释为____________（用点、线、面、体关系说明）． 4．诗人张协在《杂诗十首》中用“腾云似涌烟，密雨如散丝”描写雨的细密．其中“密雨如散丝”表现的数学原理是___________（从“点动成线”，“线动成面”，“面动成体”中选一个填入）． ◆题型3 直线、射线、线段数量问题 1．过平面上五个点中的任意两点画一条直线，最多可以画（     ）条． A．11 B．10 C．9 D．8 2．如图，是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制车票的种类数量是（    ） A．4 B．8 C．10 D．20 3．如图，，，三点在一条直线上，则图中共有射线__________条． 4．在如图所示的图形中，共有 _____条线段，以B为端点的线段有 _____． ◆题型4 线段的应用 1．图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 2．某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（   ）张车票 A．6 B．10 C．15 D．20 3．如图，从甲地到乙地有两条路线，从乙地到丙地有三条甲路线，那么从甲地到丙地的路线条数是_________． 4．从阳谷开往济南的特快列车，途中要停靠三个站点如果任意两站间的票价都不同，不同的票价有______种． ◆题型5 线段的和与差 1．如图，，，则的长度是（    ） A． B． C． D． 2．已知A、B、C在同一条直线上，线段，，则线段等于（     ）． A． B． C．或 D．不能确定 3．如果cm，cm，且点，，在同一直线上，那么点，间的距离等于_____． 4．如图，、、三点在同一条直线上，则关于线段、、有下列等式成立： （1）________； （2）________； （3）________． ◆题型6 线段中点相关计算 1．如图，已知线段，M是的中点，P是线段上一点，N为的中点，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，，三点共线，，分别是、的中点，若，，则（　　） A．7 B．8 C．7.5 D．6 3．如图，已知，是线段上的两点，，，点是中点，则线段的长________． 4．点C是线段的中点，点D在线段上，且，若，则_______． 5．如图，线段，点把线段分成三部分，其中，是的中点． (1)求线段的长． (2)求线段的长． ◆题型7 角度单位换算（度分秒） 1．角度化成度、分、秒的形式为（     ） A． B． C． D． 2．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 3．计算： __________°． 4．___________度． ______º_____ _____． ◆题型8 角的简单和差计算 1．计算的值为（    ） A． B． C． D． 2．下列式子中错误的是（） A． B． C． D． 3．，，则___________. 4．填空： （1）________； （2）________； （3）________． ◆题型9 与方向角有关的计算 1．如图，在学校图书馆处观测到，物理实验室位于点的北偏东的方向，教学楼位于点的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，从登山电梯上的点处观察山顶处的仰角为与竖直方向的夹角分别为和，则从点处观察山脚处的俯角为（     ） A． B． C． D． 3．如图，某海域有三个小岛，在小岛处观测到小岛在它的北偏东的方向上，小岛在它的南偏东的方向上，则的度数是____． 4．开州拥有丰富的红色文化和传统文化资源，其中举子园、刘伯承同志纪念馆、刘伯承同志故居都是著名景点．如图，点是举子园，刘伯承同志纪念馆位于举子园的北偏西方向，刘伯承故居位于举子园的南偏西方向，那么__________． ◆题型10角平分线基础计算 1．如图，直线和相交于点把分成两部分，且，平分，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，，平分，平分，则的度数为______． 4．如图，与的比是，平分，，则______． 5．如图，直线交于O点，且，平分，为的反向延长线． (1)求和的度数 (2)平分吗？为什么？ ◆题型11 余角补角基础求值 1．若一个角的余角为，则这个角的补角度数为（     ） A． B． C． D． 2．已知和互为余角，且，则的补角是（    ）． A． B． C． D． 3．已知与互余，与互补，，则__________． 4．已知与互余，若，则的补角的度数为_________． 5．如图，点是直线上一点，与互为余角，是的平分线．若，求的度数． ◆题型1 线段多中点综合计算 1．如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 2．如图，线段被点分成了的三部分，的中点和的中点之间的距离是，则_________． 3．完成下列小题 (1)如图所示，点D、E分别为线段的中点，若，求线段的长度． (2)若点C在线段的延长线上，点D、E分别为线段的中点，，画出图形并求的长度． 4．如图，已知点为线段上一点， ，， 、分别是、的中点． (1)求的长度． (2)若在直线上，且，求的长度． ◆题型2 线段动点长度计算 1．如图，点为直线上从左到右的四个点，且，动点在直线上，点从点出发向右运动，同时点从点出发向左运动，点的速度是点的速度的2倍．在运动过程中，若要知道的长，则只要知道下列哪条线段的长，该线段是（　　） A． B． C． D． 2．如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______． 3．已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从A、M出发以、的速度沿直线向右运动（C在线段上，D在线段上）． (1)当点C、D运动了，求的长度； (2)若点C、D运动时，总有，则 ； (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且满足，与的数量关系为 ． 4．如图，线段，动点从出发，以每秒个单位的速度沿射线运动，为的中点． (1)出发秒后，____________，____________（不必说明理由）； (2)出发几秒后，？ (3)当在延长线上运动时，为的中点，下列两个结论： ①的值不变； ②长度不变，选择一个正确的结论，并求出其值． ◆题型3 角平分线多步和差综合 1．如图，点O是直线上一点，，平分，若，则等于（     ） A． B． C． D． 2．如图，是的平分线，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，点是直线上一点，．平分，于点，则________度． 4．如图，平分，，已知，则的度数为_____________． 5．如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． ◆题型4 余角补角方程思想解题 1．一个角的补角比这个角的余角的3倍少，这个角为（ ） A． B． C． D． 2．一个角的余角比它本身大，则这个角的补角的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如果一个角的余角的3倍比它的补角多，这个角是________度． 4．一个角的补角比它本身大，则这个角的度数是________． 5．一块三角板的直角顶点落在直尺上，按如图所示放置． (1)___________°． (2)若的补角比的2倍多，求的度数． ◆题型5 线段最短路径问题 1．如图，，，，点D是平面内一点，且满足，则的最小值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．已知线段AB及直线l，在直线上确定一点，使最小，则下图中哪一种作图方法满足条件（    ）． A． B． C． D． 3．如图A，B两城镇在河流的异侧，架一座桥连通两岸，选择一个架桥点使从A到B距离最短，架桥点选在何处，请在图中画出． 4．如图：平行河岸两侧各有一村庄，现在河上修建一座垂直于河岸的桥，使得村庄到村庄的路程最短．    ◆题型6 尺规作图综合 1．如图，平面上有四个点、、、，根据下列语句画图： (1)画线段、交于点； (2)作射线； (3)尺规作图：在下方作．（保留作图痕迹） 2．按要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，如图，已知线段和． (1)作； (2)在射线上截取线段． 3．如图，，交于． 尺规作图：以点为顶点，射线为一边，在的右侧作，使．（要求：不写作法，但保留作图痕迹） 14．如图，在平面上有四个点，根据要求完成下列各题： (1)画射线； (2)画线段，并延长交射线于点； (3)以点为顶点，以为一边，在的右侧用尺规作，（保留作图痕迹，不写作法）； (4)在（3）的条件下，若，与互余，请直接写出的度数． 1．如图所示的是小文同学的几何体素描作品，该作品中不存在的几何体为（     ） A．棱柱 B．圆锥 C．圆柱 D．球 2．笔尖在纸上滑动写出汉字“正”，运用数学知识解释这种现象，这可以说（   ） A．线线相交成点 B．面面相交成线 C．线动成面 D．点动成线 3．平面上有个点，其中仅有三个在同一条直线上，过每两个点作一条直线，则一共可以作出的直线的条数为（  ） A． B． C． D． 4．墨斗是中国传统木工行业中画直线的常用工具．如图，木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，从墨斗中拉出墨线一端固定在一个点上，另一端固定在另一点上，绷紧并提起墨线中段，过这两点就弹出一条墨线．其蕴含的数学道理是（    ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．三角形内角和定理 D．两点确定一条直线 5．如图，已知，点C在线段上，，点D是线段的中点，则线段的长度为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．如图射线，的方向分别为北偏东和南偏西，射线平分，则射线的方向为（     ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏西 D．北偏西 7．已知，则的余角为（    ） A． B． C． D． 8．若A、B、C在同一直线上，，D为中点，则A、D两点间的距离是________． 9．如果，，，那么，，的大小关系是_____________． 10．如图，点在点的北偏东，射线与所成的角是，则射线的方向是________． 11．如图，已知平面上三点A，B，C． (1)画直线； (2)画射线； (3)画线段． 12．如图，点B是线段上一点，且，． (1)试求出线段的长； (2)如果点O是线段的中点，请求线段的长． 13．如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 14．如图，已知，与互余，平分． (1)若，求和的度数． (2)设，，请探究与之间的数量关系． 15．【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $