专题08 几何图形初步章末54道压轴题型专训（9大题型）-2025-2026学年沪科版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题08 几何图形初步章末54道压轴题型专训（9大题型） 题型一 动角计算问题 题型二 余角、补角的动角计算 题型三 三角板中角度计算综合 题型四 角的新定义计算 题型五 线段动点中的定值问题 题型六 线段尺规作图问题 题型七 探究线段之间的数量关系 题型八 几何体中的点、棱、面综合 题型九 角平分线的有关计算综合 【经典例题一 动角计算问题】 1．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）已知，射线在的内部，且．射线是平面上绕点O旋转的一条动射线，平分． (1)如图1，射线在的内部． ①的度数为 °； ②若，求的度数； (2)若，求的度数（用含n的式子表示）． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·月考）若两个角的差的绝对值等于，则称这两个角互为“百度角”．例如：，则与互为“百度角”（本题中所有角都是指大于且小于180°的角）． (1)50°角的“百度角”是___________． (2)已知一个角比它的“百度角”的少，求这个角的度数； (3)如图所示，，，射线绕着点从以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为秒，当与互为“百度角”时，直接写出符合条件的的值． 3．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使的度数比度数的2倍还多，将一直角三角板的直角顶点F放在点O处， (1)如图①，将直角三角板的一边在射线上，求的度数； (2)如图②，将直角三角板绕点O顺时针转动到某位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O任意转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 4．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当运动到如图的位置时， (1)求的度数； (2)如图2，射线分别为的平分线，求的度数． (3)如图3，若是外部的两条射线，且平分，平分，当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由． 5．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，，把一块含角（）三角板与摆在同一平面内，且角的顶点与顶点重叠，平分，平分．（本题中的角均大于且小于的角） (1)如图1，当，重合，且三角板的另一边在的外部时，求的度数； (2)如图2，把三角板摆放不同位置时，令．在备用图上画图并完成探究： ①探究的大小是否改变，若有改变，请用含的式子表示；若没有改变，请求出定值．并采用图2说明理由； ②在三角板摆放的不同位置中，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 6．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则   ． (3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ． 【经典例题二 余角、补角的动角计算】 7．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）（1）如图1，和都是直角，试猜想和是相等、互余还是互补的关系，请说明理由． （2）若绕着点O旋转，如图2所示，则（1）中的猜想还成立吗？ 8．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图①，，都是直角． (1)和在数量上是否存在相等、互余或互补关系？你能说明你猜想的正确性吗？ (2)当绕点O旋转到图②所示的位置时，你的猜想还成立吗？请说明理由． 9．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起（）．     观察分析： (1)若，则 ；若，则 ； 猜想探究： (2)请你猜想与有何关系，并说明理由； 拓展应用： (3)如图，若将两个同样的三角板含锐角的顶点A重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由； (4)如图，如果把任意两个锐角、的顶点重合在一起，已知，（都是锐角），请你直接写出和与之间的关系． 10．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图1，已知射线，，，． (1)若，是的平分线，是的平分线，则___________． (2)若，，分别是和的平分线，，求的度数． (3)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． ①若平分，且为的“分余线”，则___________； ②如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数． 11．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）已知点O在直线上，在直线的同侧，作射线，，平分．（注：，，不重合） (1)，，的位置如图1所示． ①若，，补全求的度数的过程； 解：∵， ∴________________． ∵平分， ∴________________， ∴________________． ②已知条件Ⅰ：；条件Ⅱ：．请选择其中一个条件，并说明在此条件下； (2)已知，如图2所示．若和互为余角，直接写出的度数．（用含a的代数式表示） 12．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）【实践操作】三角尺中的数学问题． (1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点A叠放在一起，． ①若，则________；若，则________； ②请直接写出与之间的数量关系________； (2)如图2，若是两个同样的直角三角尺锐角的顶点A重合在一起，试猜想与的数量关系，并给出证明． (3)如图3，已知点O为直线上一点，在直线上方，，，在的内部，在直线下方，则________． 【经典例题三 三角板中角度计算综合】 13．（24-25七年级上·安徽六安·月考）（1）如图1，已知点是线段的中点，，，求的长； （2）如图2，已知两个直角三角形的直角顶点重合，，求的度数． 14．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）定义：我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”． (1)如图，写出的共边角； (2)与是一组“共边角”，共中，直接写出非公共边的两边所夹的角的度数； (3)若一组“共边角”与非公共边的两边所夹的角是分别是，的平分线，请画出图形，求的度数． 15．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）【实践操作】 在数学实践活动课上，同学们准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图①放置，是直角，直角顶点与点O重合，平分． 【问题发现】 （1）若，求的度数； （2）猜想图①中和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【变式探究】 将这一直角三角尺如图②放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．     16．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，在同一平面内将一副透明的三角尺的直角顶点重合在O 处，且 均小于． (1)当两三角尺的位置是图（1）位置时，请填写： ① （填“>”或“<”或“=”）． ②和的数量关系是： ． (2)当两三角尺的位置是图（2）位置时，第（1）问中： ①和 的大小关系是否成立 （填“是”或“否”）． ②和 的数量关系是否成立 （填“是”或“否”）． (3)当两三角尺的位置是图（3）位置时，若分别是 的平分线，求的度数． 17．（24-25七年级上·安徽六安·期末）综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是________，的度数________，的度数是________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 18．（24-25七年级上·安徽合肥·月考）一副三角尺按照如图所示的方式摆放在量角器上，边与量角器0刻度线重合，边与量角器刻度线重合，，．将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动．设三角尺的运动时间为秒． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数（内圈刻度）为__________°． (2)__________时，边平分． (3)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①当为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．                              【经典例题四 角的新定义计算】 19．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）定义：如图①，射线在的内部，图中共有个角：，，．若其中有一个角是另一个角的倍，则称射线是的“巧分线”． (1)如图①，若，且射线是的“巧分线”，则的度数=___________； (2)如图②，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，当与第一次成角时，射线和射线同时停止旋转．设旋转的时间为秒，求为何值时，射线是的“巧分线”． 20．（24-25七年级上·安徽合肥·月考）如图①，在内部画射线，得到． 定义：若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“欢乐线”． (1)角的平分线_______这个角的“欢乐线”；（“是”或“不是”） (2)若，射线为的“欢乐线”，则 ； (3)如图②，已知是内部的一条射线，M，N分别为上的点，线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转．如图②，若分别在内部旋转时，总有，请说明射线为的“欢乐线”． 21．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若是的差余角，求； (2)将直角三角尺按如图2放置，使得直角顶点与点重合，且平分， ①判断和的数量关系，并说明理由； ②图中的差余角有哪些？请说明理由； (3)将直角三角尺自图3位置（三角尺一边在上）开始绕直角顶点顺时针转动，当是的差余角时，请直接写出此时与的数量关系． 22．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）【定义】 从角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将该角分得的两个角中有一个角与该角互为余角，则称该射线为这个角的“分余线”． 【应用】 (1)如图1，，请判断是否为的“分余线”，并说明理由； (2)如图2，射线平分，且为的“分余线”，求的度数； (3)如图3，，在的内部作射线，使为的平分线，为的平分线．当为的“分余线”时，请直接写出的度数． 23．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则_________． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，记为初始位置，将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 24．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）在一次数学实践探究活动中，某小组同学将三角板的直角顶点放置在直线上，且边，不与重合，作射线平分． (1)如图1，当时，则______________； (2)若． ①当三角板绕着点旋转至如图2的位置时，求的度数（用含的代数式表示） ②继续将三角板绕着点旋转可得到如图所示的三种位置，分别写出的度数（用含的代数式表示） 　　_____；         ____；         ____； 【经典例题五 线段动点中的定值问题】 25．（24-25七年级上·安徽蚌埠·月考）如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点． (1)出发3秒后，AM＝　　，PB＝　　．（不必说明理由） (2)出发几秒后，AP＝3BP？ (3)当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点， MN的长度是否为定值，若是，请给出证明；若不是，请说明理由． 26．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长； (2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 27．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 28．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律．例如：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．请利用以上结论解决下列问题． （1）如图1，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为10，则A、B两点间的距离AB＝　 　，线段AB的中点表示的数为　 　； （2）数轴上另有一动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q是线段BP的中点．设运动时间为t秒： ①当t＝2时，求此时点Q表示的数； ②如图2，点P运动至B点右侧，M是线段AQ的中点，若B恰好是QM的中点，求t的值． 29．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）【概念与发现】 当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则； 反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【理解与应用】 (1)如图，点C在线段AB上．若，，则________； 若，则________AB． 【拓展与延伸】 (2)已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）． ①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，则m的值等于________； ②t为何值时，． 30．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）【阅读】我们知道，数轴上原点右侧的数是正数，越往右走，数字越大，原点左侧则相反．于是，我们可以假设：若点P从原点出发，沿数轴的正方向以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是；反之，若点P从原点出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是． 【探究】已知数轴上两点表示的数分别为，且分别为． (1)如图1，若点P和点Q分别从点同时出发，都沿数轴的负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位长度，点Q的运动速度为每秒6个单位长度，设运动的时间为t秒． ①t秒后，点P表示的数是_______，点Q表示的数是________； ②当两点之间的距离为4时，则t的值为_______． (2)如图2，若点P从点A出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动，到点B时停止运动，分别是线段的中点，则在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请直接写出线段的长度；若不是，请说明理由． 【经典例题六 线段尺规作图问题】 31．（25-26七年级上·安徽池州·期中）如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到，使，延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，为的中点，求线段的长． 32．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到，使，延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，为的中点，求线段的长． 33．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知线段． (1)请用尺规按要求作图．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①在线段的延长线上取点，使； ②在线段的延长线上取点，使； (2)在（1）的条件下，图中共有 条线段； (3)在（1）的条件下，若，求线段和的长度； (4)在（1）的条件下，若，点在直线上，且，求线段的长度． 34．（25-26七年级上·安徽滁州·月考）如图，在中，点是边上的一点，按要求完成图形．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)以点为顶点，所在射线为一边，在的右侧作，使，交于点； (2)在上截，连接． 35．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）按下列要求完成画图和计算： (1)已知线段和，求作线段，使(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点若 ①点恰好是中点，则 ． ②若，求的长． ③试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值(小于)，的长不变． 36．（25-26七年级上·安徽亳州·月考）如图，已知平面上有射线，线段和． (1)用无刻度的直尺和圆规完成以下作图：在线段的延长线上截取；以A为顶点，射线为一边，在射线上方作，使它等于；（不写作法，保留作图痕迹）． (2)根据（1）中所作图形：若点E是线段的中点，，，求线段的长度． 【经典例题七 探究线段之间的数量关系】 37．（25-26七年级上·安徽宣城·月考）如图所示，点在线段上，，，点是的中点． (1)如图，求的长度； (2)如图，若是线段上的一点，且，试判断点是否是线段的中点，并说明理由． 38．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）如图，点C在线段上，点M，N分别是，的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，请猜想的长度，并说明理由； (3)若点C在线段的延长线上，且满足，M，N分别为，的中点，请画出图形，猜想的长度，并说明理由． 39．（25-26七年级上·安徽六安·期中）根据题意，补全解题过程（每空只能填一条线段或一个数） 已知点为线段的中点，点在线段上．如图，若，点为中点，，求线段的长． 解：∵点是的中点， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴ ∵， ∴______， ∴， 又∵， ∴， ∴． 40．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）课题学习：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点．如图①，点C是线段的中点，可以写成，或． 学以致用： (1)如图②，点C是线段的中点，点M、N分别是线段、的中点，若，则线段的长为________cm； (2)如图③，点C是线段上的一点，点M、N分别是线段、的中点，若，求线段的长． 41．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图1，将一段长为绳子拉直铺平后折叠绳子无弹性，折叠处长度忽略不计，使绳子与自身一部分重叠．    (1)若将绳子沿、点折，点、分别落在、处． ①如图，若、恰好重合于点处，________；    ②如图3，若点落在点的左侧，且，求的长度：    ③ 若，求的长度．用含n的代数式表示 (2)如图，若将绳子沿点折叠后，点落在处，在重合部分上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为，直接写出所有可能的长度．    42．（25-26七年级上·安徽宣城·月考）综合与实践 【特例感知】 （1）如图1，线段，为线段上的一个动点，分别是和的中点． ①若，则线段 ． ②若，则线段 ． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图2，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 【拓展探究】 （3）如图3，在内部，，，且，，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 【经典例题八 几何体中的点、棱、面综合】 43．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）一个底面为正方形的长方体木块被锯掉一部分，变成如图所示的六面体，其中最长的边厘米，最短的边厘米，求这个六面体的体积． 44．（24-25七年级上·安徽安庆·单元测试）如图是一个圆柱纵向切开后的图形， (1)图中有几个面？有几个平面和曲面？ (2)图中有几条线，他们是直线还是曲线？ (3)图中线与线之间一共有多少交点？ 45．（24-25七年级上·安徽合肥·月考）如图所示，是我们熟悉的三棱柱、五棱柱和六棱柱． (1)填写下表： 顶点数 面数 棱数 三棱柱 __________ __________ 五棱柱      __________ __________ 六棱柱 __________ __________ (2)设棱柱（为正整数，且）的顶点数为、棱数为、面数为，根据表中数据猜想____________． 46．（2025七年级上·安徽六安·专题练习）如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体. (1)根据要求填写表格： 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图1 　　 　　 　　 图2 　　 　　 　　 图3 　　 　　 　　 (2)猜想f、v、e三个数量间有何关系； (3)根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2013个，棱数4023条，试求出它的面数. 47．（24-25七年级上·安徽阜阳·月考）观察下列多面体，并把下表补充完整. 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数 6 棱数 9 面数 5 （1）根据表中的规律判断，十二棱柱有___________个面，共有___________个顶点，共有___________条棱； （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为___________棱柱； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为，则它有___________个侧面，共___________个面，共有___________个顶点，共有___________条棱； （4）观察上表中的结果，请写出，，之间关系式___________． 48．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在着有趣的关系（称欧拉公式）．实际上，足球表面的顶点数（V）、皮块数（F）、棱数（E）也满足欧拉公式． (1)图1的正方体面数，顶点数_______，棱数_______； (2)图2的足球表面有60个顶点，每个顶点处分别有3条棱，2个六边形，1个五边形，小明用算式“”得到棱数为90，用算式“”得到六边形有20块，请用两种不同方法计算该足球表面的五边形块数； (3)图3的足球表面由正方形、六边形、八边形拼成，每个顶点处分别有3条棱，1个正方形，1个六边形，1个八边形．求该足球表面的八边形块数． 【经典例题九 角平分线的有关计算综合】 49．（25-26七年级上·安徽蚌埠·月考）如图，为直线上一点，，是的平分线，设，． (1)若，求的度数； (2)求和的数量关系． 50．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图所示，是的平分线，是的平分线． (1)如果，与互余，求． (2)如果与互补，求． 51．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图1，分别是、的角平分线，已知，，求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 52．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）把一副直角三角板的直角顶点重合于点O，初始时，两三角板中的其中一条直角边在同一直线上（在左，在右）．现让其中一个三角板的边绕点O顺时针以每秒的速度转动，同时另一个三角板的边绕点O逆时针以每秒的速度转动（转动过程中三角板形状不变），设转动时间为t（）秒． (1)基础计算：当时，求的度数； (2)进阶求解：当时，求转动时间t； (3)综合探究：在转动过程中，射线是的平分线，射线是的平分线，请直接写出当t为何值时，与垂直． 53．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 54．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）（分类讨论思想）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同理，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2， ，若射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，射线与射线同时开始转动，当射线与射线重合时，运动停止（设运动时间为）． ①当t的值为 时， 的度数是 ； ②当t的值为 时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 几何图形初步章末54道压轴题型专训（9大题型） 题型一 动角计算问题 题型二 余角、补角的动角计算 题型三 三角板中角度计算综合 题型四 角的新定义计算 题型五 线段动点中的定值问题 题型六 线段尺规作图问题 题型七 探究线段之间的数量关系 题型八 几何体中的点、棱、面综合 题型九 角平分线的有关计算综合 【经典例题一 动角计算问题】 1．（25-26七年级上·安徽合肥·月考）已知，射线在的内部，且．射线是平面上绕点O旋转的一条动射线，平分． (1)如图1，射线在的内部． ①的度数为 °； ②若，求的度数； (2)若，求的度数（用含n的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查了与角平分线的定义有关的计算，几何图中角度的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）①根据以及计算即可得解； ②由角平分线的定义可得，由射线在的内部得出，结合，得出，计算即可得解； （2）分两种情况：当在的内部时，当在的外部时，分别画出图形，结合角平分线的定义计算即可得解． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴； ②∵平分， ∴， ∵射线在的内部， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，当在的内部时， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 如图，当在的外部时， ， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 综上所述，或． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·月考）若两个角的差的绝对值等于，则称这两个角互为“百度角”．例如：，则与互为“百度角”（本题中所有角都是指大于且小于180°的角）． (1)50°角的“百度角”是___________． (2)已知一个角比它的“百度角”的少，求这个角的度数； (3)如图所示，，，射线绕着点从以每秒的速度逆时针旋转一周，旋转时间为秒，当与互为“百度角”时，直接写出符合条件的的值． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【分析】本题考查新定义的角度关系，找到新定义的角度关系是解题的关键． （1）根据新定义，找到角度关系，求解即可； （2）根据定义和给定的关系列方程组解答即可； （3）分情况讨论与的位置关系，根据新定义列出各个角度关于时间t的一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设50°的“百度角”为， ∴， 解得：或， 即：或， 由于角都是指大于且小于180°的角，故． （2）设：设这个角为，这个角的“百度角”为或 根据题意，或 解得：或 或（不符合角的范围，舍去）． 答：所以这个角是． （3）①当，即时，在和之间（含和的位置）， 则，， 根据“百度角”条件得：， 即， 解得：（舍去）或 ②当，即时，在和的反向延长线之间（含的反向延长线位置）， 则，， ∴，即此时无解 ③当，即时，在的反向延长线和的反向延长线之间（含的反向延长线位置）， 则，， 根据“百度角”条件得：，即， 解得： 或， ④当，即时，在的反向延长线和之间（含的位置）， 则，， ∴ ，即此时无解， ⑤当，即时，在和之间（含的位置）， 则，， 根据“百度角”条件得：， 即， 解得： 或（舍去）， 综上所述，或或或． 3．（24-25七年级上·安徽池州·期末）如图，点O为直线上一点，过点O作射线，使的度数比度数的2倍还多，将一直角三角板的直角顶点F放在点O处， (1)如图①，将直角三角板的一边在射线上，求的度数； (2)如图②，将直角三角板绕点O顺时针转动到某位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O任意转动，如果始终在的内部，试猜想和有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，见解析 【分析】此题主要考查角的和差、角平分线的定义、一元一次方程的应用，解题的关键是熟知角平分线的定义及角度的运算法则． （1）设，则，根据得到方程，故可求出x，故可求出的度数； （2）根据平分，得到，再根据故可求解； （3）分别表示出，，由此即可得到和的关系． 【详解】（1）解：设，则 ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ； （3）解：， 理由：当始终在的内部时，， ， ∴． 4．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）已知：如图1，分别为锐角内部的两条动射线，当运动到如图的位置时， (1)求的度数； (2)如图2，射线分别为的平分线，求的度数． (3)如图3，若是外部的两条射线，且平分，平分，当绕着点O旋转时，的大小是否会发生变化，若不变，求出其度数，若变化，说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)的大小不会变化，理由见详解． 【分析】本题考查了角的和差计算、角平分线的定义，整体思想等知识点，掌握这些是解题的关键． （1）根据题目所给条件，结合图形计算，即可得出角度； （2）根据角平分线的定义计算的度数； （3）根据角平分线的定义以及角的和差关系，计算出的度数，即可得出的大小不会变化． 【详解】（1）解： ， ； （2） 射线分别为的平分线， （3） 的大小不会变化，理由如下： 又平分，平分， ． 5．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，，把一块含角（）三角板与摆在同一平面内，且角的顶点与顶点重叠，平分，平分．（本题中的角均大于且小于的角） (1)如图1，当，重合，且三角板的另一边在的外部时，求的度数； (2)如图2，把三角板摆放不同位置时，令．在备用图上画图并完成探究： ①探究的大小是否改变，若有改变，请用含的式子表示；若没有改变，请求出定值．并采用图2说明理由； ②在三角板摆放的不同位置中，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①的大小不变，；②存在使得，或 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）根据角平分线的定义进行计算即可； （2）①根据图2，利用角平分线的定义进行计算即可； ②分二种情况：当时，当时，设，，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：平分，平分，，， ，， ． （2）解：①的大小不变，为，理由如下： 平分，平分， ，， ， ， 又∵， ， ， ∴为定值； ②存在使得，理由如下： 平分，平分， ∴设，， 情况1，如图：当时， ， ∴， ①， ， ， ∴②， 由①②得：， ； 情况2，如图：当时， ， ， ， ①， ， ， ， ②， 由①②得， ， 综上所述，或． 6．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）如图1．点为直线上一点，过点作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)将图1中的三角板绕点处逆时针（箭头所指方向）旋转至图2．使一边在的内部且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点顺时针（箭头所指方向）旋转至图3，使在的内部．则   ． (3)将图1中的三角板绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是 ． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了利用邻补角互补求角度，角平分线的有关计算，熟练掌握角平分线的有关计算并运用分类讨论思想是解题的关键． （1）利用邻补角互补可求出，由平分可得，再根据即可得出答案； （2）由角的和差关系可得，，进而可得，于是可得答案； （3）分三种情况讨论：当平分时；当平分时；当平分时；分别求出旋转的角度，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 恰好平分， ， ； （2）解：， ， ， ， 故答案为：； （3）解：分三种情况讨论： 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 如图，当平分时， ， 旋转的角度是； 综上，当射线中的某一条射线是另外两条射线所夹角的角平分线时，旋转角的度数是或或， 故答案为：或或． 【经典例题二 余角、补角的动角计算】 7．（25-26七年级上·安徽安庆·课后作业）（1）如图1，和都是直角，试猜想和是相等、互余还是互补的关系，请说明理由． （2）若绕着点O旋转，如图2所示，则（1）中的猜想还成立吗？ 【答案】（1）与互补，理由见解析；（2）猜想成立，理由见解析 【分析】本题考查的是余角及补角的定义，掌握补角的定义是解题关键， （1）根据和都是直角求出，，进而求出结论； （2）根据和都是直角求出，进而求出结论． 【详解】解：（1）与互补，理由如下： ∵和都是直角， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴与互补； （2）猜想成立，理由如下： ∵和都是直角， ∴. ∵， ∴， ∴与互补． 8．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图①，，都是直角． (1)和在数量上是否存在相等、互余或互补关系？你能说明你猜想的正确性吗？ (2)当绕点O旋转到图②所示的位置时，你的猜想还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)和在数量上存在互补关系，即，理由见解析 (2)猜想还成立，即，理由见解析 【分析】本题考查了补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据已知并结合图形，利用角的和差关系进行计算即可解答； （2）利用周角是，进行计算即可解答． 【详解】（1）解： 和在数量上存在互补关系， 理由：， ， 和在数量上存在互补关系．； （2）解：猜想还成立，即． 理由：， ， 和在数量上存在互补关系． 9．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图，将一副三角板的直角顶点叠放在一起（）．     观察分析： (1)若，则 ；若，则 ； 猜想探究： (2)请你猜想与有何关系，并说明理由； 拓展应用： (3)如图，若将两个同样的三角板含锐角的顶点A重合在一起，请你猜想与有何关系，请说明理由； (4)如图，如果把任意两个锐角、的顶点重合在一起，已知，（都是锐角），请你直接写出和与之间的关系． 【答案】(1)， (2)，理由见解析； (3)，理由见解析； (4) 【分析】本题主要考查余角和补角的定义，通过角的和差关系来求解各角之间的关系． ()若，根据计算的度数，再利用和计算的度数；若， 同理，反之计算可得结果； ()先计算：，再加上可得结果； ()先计算，再加上可得结果； ()先计算，再加上可得结果． 【详解】（1）解：若， ∵，， ∴， ∵， ∴； 若， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）， 理由：∵，， ∴ ∵， ∴； （3）， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴； （4）， 理由：∵， ， ， ． 10．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）如图1，已知射线，，，． (1)若，是的平分线，是的平分线，则___________． (2)若，，分别是和的平分线，，求的度数． (3)定义：从的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将分得的两个角中有一个角与互为余角，则称该射线为的“分余线”． ①若平分，且为的“分余线”，则___________； ②如图2，，为的平分线，在的内部作射线，使，当为的“分余线”时，求的度数． 【答案】(1)75 (2) (3)①60；②或 【分析】本题考查了角平分线定义，互为余角的概念，角的和差计算，以及新定义的“分余线”的应用，熟练掌握相关知识，对新定义的理解和正确应用是解题的关键． （1）利用角平分线的定义与角的和差进行计算； （2）设，可得则，，，利用角平分线的定义和列方程求解； （3）①根据新定义，结合角平分线的定义求解；②设，根据角平分线的定义和 为的“分余线”，列方程求解． 【详解】（1）是的平分线，， ， 是的平分线， ， ． （2）如图1， 设，则， 若，则，，， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ， ，解得， ． （3）①平分， ， 为的“分余线”， 或， 又， ， 解得． ②设，则， 在的内部作射线，使， ， 为的平分线， ， ， 当为的“分余线”时，或， 或， 解得或， 或． 11．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）已知点O在直线上，在直线的同侧，作射线，，平分．（注：，，不重合） (1)，，的位置如图1所示． ①若，，补全求的度数的过程； 解：∵， ∴________________． ∵平分， ∴________________， ∴________________． ②已知条件Ⅰ：；条件Ⅱ：．请选择其中一个条件，并说明在此条件下； (2)已知，如图2所示．若和互为余角，直接写出的度数．（用含a的代数式表示） 【答案】(1)①；；；；；；②见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度计算、角平分线、余角等知识，确定各角度之间的关系是解题关键． （1）①首先确定，结合角平分的定义可知，进而可得； ②选条件Ⅰ：易得，然后结合即可证明结论；选条件Ⅱ：首先由角平分线的定义可得，结合易得，进而可知，即可证明结论； （2）分当在左侧时和当在右侧时两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：①若，补全求的度数的过程． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：；；；；；； ②选条件Ⅰ，理由如下： ∵平分，， ∴， ∴； 选条件Ⅱ，理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）的度数为或． 分两种情况讨论： ①如下图，当在左侧时， ∵和互为余角，， ∴，， ∴， ∴； ②如下图，当在右侧时， ∵和互为余角，， ∴， ∴ ∴． 12．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）【实践操作】三角尺中的数学问题． (1)如图1，将两块直角三角尺的直角顶点A叠放在一起，． ①若，则________；若，则________； ②请直接写出与之间的数量关系________； (2)如图2，若是两个同样的直角三角尺锐角的顶点A重合在一起，试猜想与的数量关系，并给出证明． (3)如图3，已知点O为直线上一点，在直线上方，，，在的内部，在直线下方，则________． 【答案】(1)①；；②； (2) (3) 【分析】本题考查了余角和补角，与三角板有关的角度求解，解决本题的关键是利用数形结合找出角之间的关系． （1）①根据三角板的角度特征表示出进而得出结果； ②由角度关系从而得出结果； （2）由角度的关系得出进而得出结果； （3）根据角度关系结合题意得到从而求出结果． 【详解】（1）解：①∵， ， ， ； 当， ， ②． 故答案为：；；； （2）解：， 理由：， ， ； （3）解：，，在的内部， ， 故答案为：． 【经典例题三 三角板中角度计算综合】 13．（24-25七年级上·安徽六安·月考）（1）如图1，已知点是线段的中点，，，求的长； （2）如图2，已知两个直角三角形的直角顶点重合，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查线段的中点的定义，角的和差运算，掌握同角的余角相等是解题的关键． （1）先推出，根据中点的定义得，进而即可求解； （2）根据同角的余角相等，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：∵， ． 14．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）定义：我们把有公共顶点和一条公共边的两个角称为“共边角”． (1)如图，写出的共边角； (2)与是一组“共边角”，共中，直接写出非公共边的两边所夹的角的度数； (3)若一组“共边角”与非公共边的两边所夹的角是分别是，的平分线，请画出图形，求的度数． 【答案】(1)或 (2)或 (3)图形见详解；当在的内部，；当在的外部，． 【分析】本题考查了新定义，角平分线的有关计算，画出图形，分类讨论是解题的关键． （1）根据“共边角”定义进行解答即可； （2）分两种情况讨论：当在的内部时，当在的外部时，分别画出图形进行求解即可； （3）分两种情况讨论：当在的内部时，当在的外部时，分别画出图形，求出结果即可； 【详解】（1）解：的共边角为或； （2）当在的内部时，如图所示： ； 当在的外部时，如图所示： ， 综上所述，非公共边的两边所夹的角的度数为或； （3）这一组“共边角”的角平分线所夹的角的度数为或， 如图1，当在的内部， 分别是，的平分线， ， ， ， ； 如图2，当在的外部， 分别是，的平分线， ， ， ， ， 综上所述，这一组“共边角”的角平分线所夹的角的度数为或． 15．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）【实践操作】 在数学实践活动课上，同学们准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图①放置，是直角，直角顶点与点O重合，平分． 【问题发现】 （1）若，求的度数； （2）猜想图①中和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【变式探究】 将这一直角三角尺如图②放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由．     【答案】（1）；（2），理由见解析；变式探究：，理由见解析； 【分析】本题考查了角的和差，角平分线定义，三角板角度特点，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）根据角的和差求出，再结合角平分线定义求出，最后根据计算求解，即可解题； （2）猜想，设，再类比（1）的推理过程整理说明即可． 变式探究：猜想，设，再类比（2）的推理过程整理说明即可． 【详解】解：（1），， ， 平分， ， ； （2），理由如下： 设， ， ， 平分， ， ， ； 变式探究：，理由如下： 设， ， ， 平分， ， ， ； 16．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）如图，在同一平面内将一副透明的三角尺的直角顶点重合在O 处，且 均小于． (1)当两三角尺的位置是图（1）位置时，请填写： ① （填“>”或“<”或“=”）． ②和的数量关系是： ． (2)当两三角尺的位置是图（2）位置时，第（1）问中： ①和 的大小关系是否成立 （填“是”或“否”）． ②和 的数量关系是否成立 （填“是”或“否”）． (3)当两三角尺的位置是图（3）位置时，若分别是 的平分线，求的度数． 【答案】(1)①；② (2)①是；②是 (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义，角度的计算，熟练进行角度的转换，进行计算是解题的关键． （1）①利用角度转换即可解答；②利用角度转换即可解答； （2）①利用角度转换即可解答；②利用角度转换即可解答； （3）根据角平分线的定义，进行角度的计算即可． 【详解】（1）解：①因为, 所以,即； ②因为， 所以， 所以； 故答案为：；； （2）解：①是，理由如下： 因为, 所以,即； ②是，理由如下： 因为, 所以, 所以； （3）解：根据(1)可知， 分别是的平分线， ， ， ， ． 17．（24-25七年级上·安徽六安·期末）综合与探究 【实践操作】三角尺中的数学 数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C． 【问题发现】 （1）①填空：如图1，若，则的度数是________，的度数________，的度数是________． ②如图1，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 （2）如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】（1）①，，；  ②， （2）成立，理由见解析 【分析】本题主要考查了角度的计算，利用几何图形计算角的和与差是解决此题的关键． （1）利用三角板是直角三角形的性质，先计算出，再根据即可求解； （2）根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （3）利用周角定义得，而，即可得到． 【详解】（1）解：①， ， 故答案为：，，； ②∵， ∴， ∵， ∴， （2）解：当与没有重合部分时，上述中发现的结论，依然成立.理由如下， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（24-25七年级上·安徽合肥·月考）一副三角尺按照如图所示的方式摆放在量角器上，边与量角器0刻度线重合，边与量角器刻度线重合，，．将三角尺绕量角器中心点以每秒的速度顺时针旋转，当边与刻度线重合时停止运动．设三角尺的运动时间为秒． (1)当时，边经过的量角器刻度线对应的度数（内圈刻度）为__________°． (2)__________时，边平分． (3)若在三角尺开始旋转的同时，三角尺也绕点以每秒的速度逆时针旋转，当三角尺停止旋转时，三角尺也停止旋转． ①当为何值时，边平分； ②在旋转过程中，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)100 (2)15 (3)①10.5 ；②存在；或 13 【分析】本题主要考查了角的旋转，量角器的识别，表示出与是解本题的关键． （1）当秒时，由旋转知，即可得出结论； （2）由旋转知，旋转角为，进而建立方程，即可得出结论； （3）①由旋转建立方程，即可得出结论； ②分别表示出，用，建立方程即可得出结论． 【详解】（1）解：当秒时，由旋转知，， ∵， ∴开始时边经过量角器刻度对应的度数是， ∴旋转5秒时，边经过量角器刻度对应的度数是， 故答案为：100 ； （2）解：由旋转知，旋转角为， ∵边平分且， ， 秒， 故答案为：15 ； （3）解：①同（2）的方法得，， 秒， ②存在，或13，理由如下： 当边在边左侧时，由旋转知，， 当边在边右侧时，由旋转知，,      ∴， 同理可得：， ， ， 解得：或， 即秒或13秒时，．                                                     【经典例题四 角的新定义计算】 19．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）定义：如图①，射线在的内部，图中共有个角：，，．若其中有一个角是另一个角的倍，则称射线是的“巧分线”． (1)如图①，若，且射线是的“巧分线”，则的度数=___________； (2)如图②，若，射线绕点从位置开始，以每秒的速度顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的速度顺时针旋转，当与第一次成角时，射线和射线同时停止旋转．设旋转的时间为秒，求为何值时，射线是的“巧分线”． 【答案】(1)或或或 (2)或或 【分析】本题考查了新定义，角度的计算，一元一次方程的应用，掌握“巧分线”定义是解答本题的关键． （1）根据“巧分线”定义即可求解； （2）根据“巧分线”定义分种情况：当时，当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：，且射线在的“巧分线”， 或或或， ， 或或或； 故答案为：或或或； （2）根据题意得：当时，则， 解得：； 当时，则， 解得：； 当时，则， 解得：； 当时，则， 解得：． 此时，故不符合题意，舍去； 综上，当为或或时，射线是的“巧分线”； 20．（24-25七年级上·安徽合肥·月考）如图①，在内部画射线，得到． 定义：若这三个角中有一个角是另外一个角的2倍，则称射线为的“欢乐线”． (1)角的平分线_______这个角的“欢乐线”；（“是”或“不是”） (2)若，射线为的“欢乐线”，则 ； (3)如图②，已知是内部的一条射线，M，N分别为上的点，线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转．如图②，若分别在内部旋转时，总有，请说明射线为的“欢乐线”． 【答案】(1)是 (2)或或； (3)见解析 【分析】（1）由角平分线的定义和“欢乐线”的定义可得； （2）分三种情况讨论，由“欢乐线”的定义，列出方程可求出的值； （3）设线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转时间为t秒，由得到，，则，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的2倍， ∴一个角的角平分线是这个角的“欢乐线”； 故答案为：是； （2）有三种情况：①若时，且， ∴； ②若时，且， ∴； ③若时，且， ∴． 故答案为：或或； （3）设线段分别以，的速度绕点O逆时针旋转时间为t秒， 由得到， ， 则， ∴射线为的“欢乐线”． 21．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若是的差余角，求； (2)将直角三角尺按如图2放置，使得直角顶点与点重合，且平分， ①判断和的数量关系，并说明理由； ②图中的差余角有哪些？请说明理由； (3)将直角三角尺自图3位置（三角尺一边在上）开始绕直角顶点顺时针转动，当是的差余角时，请直接写出此时与的数量关系． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②的差余角有，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算： （1）根据差余角的定义得到，再由平角的定义得到，据此建立方程求解即可； （2）①根据平角的定义得到，再由角平分线的定义得到，进一步由平角的定义得到，据此可得结论；②由（2）①的结论得到，根据，得到，据此可得结论； （3）分在左侧，在右侧，在下方三种情况，根据差余角的定义得到，再根据角之间的关系导角求解即可． 【详解】（1）解：∵是的差余角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，即 ∵， ∴； ②的差余角有，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的差余角有； （3）解：如图3-1所示，当在左侧时， ∵是的差余角， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图3-2所示，当在右侧时， ∵是的差余角， ∴， ∵， ∴， ∴此种情况不存在； 如图3-3所示，当在下方时， ∵是的差余角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述，或． 22．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）【定义】 从角的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将该角分得的两个角中有一个角与该角互为余角，则称该射线为这个角的“分余线”． 【应用】 (1)如图1，，请判断是否为的“分余线”，并说明理由； (2)如图2，射线平分，且为的“分余线”，求的度数； (3)如图3，，在的内部作射线，使为的平分线，为的平分线．当为的“分余线”时，请直接写出的度数． 【答案】(1)是的“分余线”，理由见解析 (2)； (3)度数为或． 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角等，理解“分余线”的概念是解题的关键． （1）先求出的度数，根据，即可判断； （2）根据角平分线的定义和“分余线”的定义可知，进一步求解即可； （3）因未指定哪一个角与互余，故需要分类讨论，再根据角平分线定义和“分余线”定义求出． 【详解】（1）解：是的“分余线”，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴是的“分余线”； （2）解：∵平分， ∴， ∵为的“分余线”， ∴， ∴； （3）解：∵为的“分余线”， ∴分两种情况： ①当时， ∵为的平分线，为的平分线． ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当时， 由①知，， ∴； 综上所述，度数为或． 23．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角等于这个角的一半，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内半角．如图①所示，若，则是的内半角． (1)如图①所示，已知，，是的内半角，则_________． (2)如图②，已知，将绕点O按顺时针方向旋转一个角度至，当旋转的角度为何值时，是的内半角？ (3)已知，把一块含有角的三角板如图③叠放，记为初始位置，将三角板绕顶点O以秒的速度按顺时针方向旋转，如图④，问：在旋转一周的过程中，且射线始终在的外部，射线，，，能否构成内半角？若能，请直接写出旋转的时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)当旋转的角度为时，是的内半角，理由见解析 (3)能，秒；30秒；90秒 【分析】（1）由内半角的定义得，再由即可求解； （2）由旋转得：，由角的和差得，，再由内半角的定义得，即可求解； （3）分三种情况讨论，利用内半角的含义，建立一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解∶∵，是的内半角， ∴， ∵， ∴， ； 故答案∶； （2）解：当旋转的角度为时，是的内半角；理由如下： 由旋转得：， ∴ ， ∵ ∴， ， ∵是的内半角， ∴， ∴， 解得：﹔ （3）在旋转一周的过程中，射线，，，能构成内半角，理由如下； 设按顺时针方向旋转一个角度，旋转的时间为t， 如图1：∵是的内半角，， ∴， ∴， 解得：， 如图2，∵是的内半角，， ∴， ∴， 解得：， ， 如图3，是的内半角，， ∴， ∴， 解得：， ， 【点睛】本题考查了新定义，旋转的性质，角的和差，一元一次方程的应用，理解新定义，能根据旋转的过程确定时间范围，进行分类讨论是解题的关键． 24．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）在一次数学实践探究活动中，某小组同学将三角板的直角顶点放置在直线上，且边，不与重合，作射线平分． (1)如图1，当时，则______________； (2)若． ①当三角板绕着点旋转至如图2的位置时，求的度数（用含的代数式表示） ②继续将三角板绕着点旋转可得到如图所示的三种位置，分别写出的度数（用含的代数式表示） 　　_____；         ____；         ____； 【答案】(1)30 (2)①；②；； 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角板中的角度运算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）利用平角的定义求出，再根据角平分线的定义可得，结合图形可知，利用角的和差即可求出的度数； （2）①由可得，再根据角平分线的定义可得，再利用平角的定义即可求出的度数；②仿照①中的方法，分别求出如图所示的三种位置中的度数即可． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， 又， ． 故答案为：30． （2）解：①，， ， 平分， ， ， ， 的度数为； ②位置1： ，， ， 平分， ， ， ； 位置2：同理位置1的方法可得：； 位置3：同理①的方法可得：． 故答案为：；；． 【经典例题五 线段动点中的定值问题】 25．（24-25七年级上·安徽蚌埠·月考）如图，线段AB＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB运动，M为AP的中点． (1)出发3秒后，AM＝　　，PB＝　　．（不必说明理由） (2)出发几秒后，AP＝3BP？ (3)当P在AB延长线上运动时，N为BP的中点， MN的长度是否为定值，若是，请给出证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)3；18 (2)出发9秒或18秒后，AP＝3BP (3)是；理由见解析 【分析】（1）先根据路程＝速度×时间求出AP，再根据中点的定义求出AM，根据线段的和差关系求出PB； （2）分两种情况：①当点P在线段AB上时，②当点P在AB延长线上时，根据题意列出方程求解即可； （3）PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x−24，PN＝PB＝x−12，分别表示出MN，MA＋PN的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：出发3秒后，AM＝2×3÷2＝3，PB＝24−2×3＝18． 故答案为：3；18． （2）解：分两种情况：①当点P在线段AB上时，设出发t秒后，AP＝2t，BP＝24−2t， ∵AP＝3BP， ∴2t＝3（24−2t）， 解得t＝9； ②当点P在AB延长线上时，设出发t秒后，AP＝2t，BP＝2t−24， ∵AP＝3BP， ∴2t＝3（2t−24）， 解得t＝18． 综上分析可知，出发9秒或18秒后，AP＝3BP． （3）解：是，理由如下： 设运动时间为x秒， 则有PA＝2x，AM＝PM＝x，PB＝2x−24，PN＝PB＝x−12， ∴MN＝PM−PN＝x−（x−12）＝12， 即MN的值为定值． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，解答本题的关键是用含时间的式子表示出各线段的长度，有一定难度． 26．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，已知直线l上有两条可以左右移动的线段：，且m，n满足，点M，N分别为中点．    (1)求线段的长； (2)线段以每秒4个单位长度向右运动，线段以每秒1个单位长度也向右运动．若运动6秒后，，求此时线段的长； (3)若，将线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动，在线段向右运动的某一个时间段t内，始终有为定值．求出这个定值，并直接写出t在哪一个时间段内． 【答案】(1)线段的长是4，线段的长是8 (2)10或2； (3)当时，为定值，定值为6 【分析】（1）根据非负数的性质即可得到结论； （2）设点B表示的数为x，点C表示的数为y,则点M表示的数是，点N表示的数是，运动后点M表示的数是，点N表示的数是，由解得或，运动后，即可求出答案； （3）根据题意分类讨论于是得到结果． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， 即线段的长是4，线段的长是8； （2）解：设直线为数轴， ∵，， ∴，， 设点B表示的数为x，点C表示的数为y, ∵点M，N分别为中点． ∴点M表示的数是，点N表示的数是， 运动后点M表示的数是，点N表示的数是， ∵， ∴ 解得，或 运动后 ∴或 即线段的长为10或2； （3）解：∵，，， ∴，， ∵线段固定不动，线段以每秒4个单位速度向右运动， ∴运动t秒后，，， 当时，； 当时，； 当时，； 故当时，为定值，定值为6． 【点睛】本题考查非负数的性质，一元一次方程的应用，线段的和差关系，以及数轴上的动点问题，解题的关键是掌握分类讨论思想． 27．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点． (1)当点在线段上运动时， ①出发多少秒后，？ ②试说明为定值； (2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论： ①长度不变； ②的值不变． 选出一个正确的结论，并求其值； 【答案】(1)①出发6秒后，；②见解析 (2)①长度不变，； 【分析】本题考查了两点间的距离，表示出各线段的长度是解题的关键． （1）①出发秒后，则，，，建立方程，求出的值即可．②设，则，，表示出后，化简即可得出结论． （2）设，则，，，分别表示出，的长度，即可作出判断． 【详解】（1）解：①设出发秒后， 则，， 为中点， ， ， 解得：， 出发6秒后，； ②设，则，， 为定值． （2）解：①长度不变，； 理由：如图 设， 为中点， ，， 为的中点， ①，长度不变； ②，长度变化； ①长度不变，． 28．（24-25七年级上·安徽淮南·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律．例如：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离AB＝|a﹣b|，线段AB的中点表示的数为．请利用以上结论解决下列问题． （1）如图1，数轴上点A表示的数为﹣2，点B表示的数为10，则A、B两点间的距离AB＝　 　，线段AB的中点表示的数为　 　； （2）数轴上另有一动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q是线段BP的中点．设运动时间为t秒： ①当t＝2时，求此时点Q表示的数； ②如图2，点P运动至B点右侧，M是线段AQ的中点，若B恰好是QM的中点，求t的值． 【答案】（1）12；4．（2）①8．②t的值为5． 【分析】（1）根据点A，B表示的数可求出线段AB的长及线段AB的中点表示的数； （2）①根据点P运动的时间、速度及出发点，可找出当t＝2秒时点P表示的数，结合点Q是线段BP的中点，即可求出点Q表示的数； ②当运动时间为t秒时（t＞3），点P表示的数为4t﹣2，点Q表示的数为 ＝2t+4，点M表示的数为＝t+1，结合点B恰好是QM的中点，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：（1）AB＝|﹣2﹣10|＝12，线段AB的中点表示的数为＝4． 故答案为：12；4． （2）①当运动时间为2秒时，点P表示的数为4×2﹣2＝6， ∵点Q是线段BP的中点， ∴点Q表示的数为＝8． ②12÷4＝3（秒）． 当运动时间为t秒时（t＞3），点P表示的数为4t﹣2，点Q表示的数为＝2t+4，点M表示的数为＝t+1． ∵点B恰好是QM的中点， ∴10＝， ∴t＝5． 答：t的值为5． 【点睛】考核知识点：线段中点计算.理解题意，分析线段的数量关系是关键. 29．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）【概念与发现】 当点C在线段AB上，时，我们称n为点C在线段AB上的“点值”，记作． 例如，点C是AB的中点时，即，则； 反之，当时，则有． 因此，我们可以这样理解：“”与“”具有相同的含义． 【理解与应用】 (1)如图，点C在线段AB上．若，，则________； 若，则________AB． 【拓展与延伸】 (2)已知线段，点P以1cm/s的速度从点A出发，向点B运动．同时，点Q以3cm/s的速度从点B出发，先向点A方向运动，到达点A后立即按原速向点B方向返回．当P，Q其中一点先到达终点时，两点均停止运动．设运动时间为t（单位：s）． ①小王同学发现，当点Q从点B向点A方向运动时，的值是个定值，则m的值等于________； ②t为何值时，． 【答案】(1)， (2)①3；②2或6 【分析】（1）根据“点值”的定义即可得出答案； （2）①设运动时间为t，再根据的值是个定值即可得出m的值； ②分点Q从点B向点A方向运动时和点Q从点A向点B方向运动时两种情况加以分析即可 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∴， ∵， ∴ （2）解：①设运动时间为t，则AP=t，AQ=10-3t， 则， ∵的值是个定值， ∴的值是个定值， ∴m=3 ②当点Q从点B向点A方向运动时， ∵ ∴ ∴t=2 当点Q从点A向点B方向运动时， ∵ ∴ ∴t=6 ∴t的值为2或6 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解新定义，并能运用是本题的关键． 30．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）【阅读】我们知道，数轴上原点右侧的数是正数，越往右走，数字越大，原点左侧则相反．于是，我们可以假设：若点P从原点出发，沿数轴的正方向以每秒3个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是；反之，若点P从原点出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度运动，则t秒后点P表示的数是． 【探究】已知数轴上两点表示的数分别为，且分别为． (1)如图1，若点P和点Q分别从点同时出发，都沿数轴的负方向运动，点P的运动速度为每秒2个单位长度，点Q的运动速度为每秒6个单位长度，设运动的时间为t秒． ①t秒后，点P表示的数是_______，点Q表示的数是________； ②当两点之间的距离为4时，则t的值为_______． (2)如图2，若点P从点A出发，沿数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动，到点B时停止运动，分别是线段的中点，则在运动过程中，线段的长度是否为定值？若是，请直接写出线段的长度；若不是，请说明理由． 【答案】(1)①，；②4或2 (2)线段的长度为定值，6 【分析】（1）①根据题意即可直接用t表示出点P所表示的数和点Q所表示的数； ②由①可求出，再根据，即得出，解出t即可； （2）由分别为线段的中点，即得出，即可得出．求出，即可求出； 【详解】（1）①点P表示的数是，点Q表示的数是， 故答案为：，； ②因为点P表示的数为，点Q表示的数为， ∵ ∴， 解得：或2； （2）（2）线段的长度为定值，的长度为6． ∵分别为线段的中点， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，线段的中点以及解绝对值方程．用t表示出点所表示的数和两点之间的距离是解题关键． 【经典例题六 线段尺规作图问题】 31．（25-26七年级上·安徽池州·期中）如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到，使，延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，为的中点，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了尺规作图、线段的和差等知识点，掌握尺规作图的方法并能通过观察图形找到线段之间的数量关系是解题的关键． （1）以B为圆心，a的长度为半径画弧，交延长线于点C；以A为圆心，长为半径画弧交延长线于点D即可完成作图； （2）由（1）的作图求出，由O为的中点可得，再由线段的和差关系即可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，为的中点， ，，， ， 为的中点， ， ． 32．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）如图，已知线段和线段，按照下列要求完成作图和计算． (1)延长线段到，使，延长线段到，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若，，为的中点，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了尺规作图和线段的和差，解决本题的关键是掌握尺规作图的方法并能通过观察图形找到线段之间的数量关系． （1）以为圆心，的长度为半径画弧，交延长线于点，以为圆心，长为半径画弧，交延长线于点，即可得答案； （2）由（1）的作图求出，由为的中点可得，再由线段的和差关系即可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：如图，为的中点， ∵，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 33．（25-26七年级上·安徽蚌埠·期中）如图，已知线段． (1)请用尺规按要求作图．（不要求写作法，但要保留作图痕迹） ①在线段的延长线上取点，使； ②在线段的延长线上取点，使； (2)在（1）的条件下，图中共有 条线段； (3)在（1）的条件下，若，求线段和的长度； (4)在（1）的条件下，若，点在直线上，且，求线段的长度． 【答案】(1)①见详解；②见解析 (2)6 (3) (4)或 【分析】本题考查了简单作图-做线段、线段的等量关系等知识，厘清图中线段的等量关系是解答本题的基础． （1）①以B为圆心为半径画弧交的延长线于点C，即为所求；②以A为圆心，为半径画弧交的延长线于点D，即为所求； （2）任意两个点的连线即是一条线段，据此即可求解； （3）根据（1）中的等量关系即可求解． （4）分两种情况，当点在点左侧时和当点在点右侧时，画出对应的图形分别求解即可． 【详解】（1）解：①如下图：即为所求 ②如下图：即为所求； （2）解：图中的线段有：、、、、、，共计6条， 故答案为：6； （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：6、9． （4）解：当点在点左侧时，如下图： ∵， ∴，， ∴， ∴ 当点在点右侧时，如下图： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 综上：为或． 34．（25-26七年级上·安徽滁州·月考）如图，在中，点是边上的一点，按要求完成图形．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)以点为顶点，所在射线为一边，在的右侧作，使，交于点； (2)在上截，连接． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角．熟悉利用全等三角形的性质来构造两个全等的三角形是解题的关键． （1）利用作图，得到两个全等的三角形．根据全等三角形对应角相等，得到所需要的和已知角相等的角； （2）在上截，连接，即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于两点，以点为圆心，相同长度为半径画弧，交于一点；以该点为圆心，截取前弧与所交的弦长为半径画弧，与已画弧交于一点，过点与此点作射线，交于，即为所求． （2）如图所示，以点为圆心，截取长为半径画弧，交于点；连接、两点，线段即为所求． 35．（24-25七年级上·安徽淮北·期末）按下列要求完成画图和计算： (1)已知线段和，求作线段，使(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) (2)已知线段，点为上的一个动点，点、分别是和的中点若 ①点恰好是中点，则 ． ②若，求的长． ③试利用“字母代替数”的方法，说明不论取何值(小于)，的长不变． 【答案】(1)见解析 (2)①6；②；③不论取何值(小于)，的长不变， 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，线段的和差计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据线段的尺规作图方法作图即可； （2）①由线段中点的定义得到的长，进而得到的长即可得到答案； ②先求出的长，再由线段中点的定义得到的长即可得到答案； ③设，根据②的方法求解，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解：①∵，点C恰好是中点， ∴， ∵点D、E分别是和的中点， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 点D、E分别是和的中点， ∴， ∴． ③设， ∵，， ∴， 点D、E分别是和的中点， ∴， ∴． 不论取何值(小于)，的长不变， 36．（25-26七年级上·安徽亳州·月考）如图，已知平面上有射线，线段和． (1)用无刻度的直尺和圆规完成以下作图：在线段的延长线上截取；以A为顶点，射线为一边，在射线上方作，使它等于；（不写作法，保留作图痕迹）． (2)根据（1）中所作图形：若点E是线段的中点，，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，线段的和与差等知识，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据作一个角等于已知角以及作一条线段等于已知线段的作法画出图形，即可解答； （2）根据题意可得到，再由中点的定义可得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，和即为所求； （2）解：，， ， 点E是线段的中点， ， ． 【经典例题七 探究线段之间的数量关系】 37．（25-26七年级上·安徽宣城·月考）如图所示，点在线段上，，，点是的中点． (1)如图，求的长度； (2)如图，若是线段上的一点，且，试判断点是否是线段的中点，并说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 【分析】本题考查线段的和差计算，线段的中点，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）先根据已知条件求出，再根据，求出，最后根据线段中点的定义求出即可； （2）先根据已知条件求出，再根据，求出，然后根据线段中点的定义求出，再根据，求出，根据线段中点的定义进行判断即可． 【详解】（1）解：，， ， ∴， 点是的中点， ； （2）解：点是的中点，理由如下： ，， ， ∴， 点是的中点， ， ， ， ， ∴， 点是的中点． 38．（25-26七年级上·安徽安庆·期末）如图，点C在线段上，点M，N分别是，的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，请猜想的长度，并说明理由； (3)若点C在线段的延长线上，且满足，M，N分别为，的中点，请画出图形，猜想的长度，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)画图见解析，，理由见解析 【分析】本题考查了线段中点的相关计算，线段中点的定义，熟练掌握线段中点的相关计算是关键． （1）根据线段中点的定义，得到，，，即得答案； （2）根据线段中点的定义，得到，，再将两式相加即可； （3）根据线段中点的定义，得到，，再将两式相减即可． 【详解】（1）解：点M是的中点，， ， 同理可得，， ； （2）解：点M，N分别是，的中点， ，， ， ， ； （3）解：如图所示， 猜想．理由如下： 点M，N分别是，的中点， ，， ， ， ． 39．（25-26七年级上·安徽六安·期中）根据题意，补全解题过程（每空只能填一条线段或一个数） 已知点为线段的中点，点在线段上．如图，若，点为中点，，求线段的长． 解：∵点是的中点， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴ ∵， ∴______， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【答案】,,,,,,,． 【分析】本题考查的知识点是线段的中点性质以及线段的和差关系．通过利用中点将线段进行等分，再结合已知的线段倍数关系，运用线段和差来逐步推导所求线段的长度． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：，，，，，，，． 40．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）课题学习：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点．如图①，点C是线段的中点，可以写成，或． 学以致用： (1)如图②，点C是线段的中点，点M、N分别是线段、的中点，若，则线段的长为________cm； (2)如图③，点C是线段上的一点，点M、N分别是线段、的中点，若，求线段的长． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了两点间距离的计算，熟练掌握两点间的距离计算方法是解题的关键． （1）根据题意，推出，可知，即可求出答案； （2）根据线段中点的性质得到，再根据，代入计算即可． 【详解】（1）解：M是的中点，N是的中点， ， ， ， 故答案为：． （2）解：M是的中点，N是的中点， ，， ， ， ． 41．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）如图1，将一段长为绳子拉直铺平后折叠绳子无弹性，折叠处长度忽略不计，使绳子与自身一部分重叠．    (1)若将绳子沿、点折，点、分别落在、处． ①如图，若、恰好重合于点处，________；    ②如图3，若点落在点的左侧，且，求的长度：    ③ 若，求的长度．用含n的代数式表示 (2)如图，若将绳子沿点折叠后，点落在处，在重合部分上沿绳子垂直方向剪断，将绳子分为三段，若这三段的长度由短到长的比为，直接写出所有可能的长度．    【答案】(1)①30；②；③或 (2)或或或 【分析】（1）①由题意可得：，，再结合图形可求得答案； ②先结合图形可求得，再根据中点性质和线段和差关系计算即可； ③分两种情况分别计算即可：当点落在点的左侧时，当点落在点的右侧时； （2）根据三段的长度由短到长的比为，分别按以下几种情况进行计算：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，⑥当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：①绳子沿、点折叠，点、分别落在、处，、恰好重合于点处，如第（1）小题①图，   ，， ； 故答案为：30． ②，， ． 根据题意得，、分别为、的中点， ，， ， ． ③、分别为、的中点， ，． 当点落在点的左侧时，如第（1）小题②图，    ； 当点落在点的右侧时，如（1）③图，   ． ． ． 综上，的长度为或． （2）解：由于三段的长度由短到长的比为，， 所以可分为以下几种情况： ①当时， ，， ， ②当时，   ，， ， ③当时， ，， ， ④当时， ，， ， ⑤当时， ，， ， ⑥当时， ，， ； 综上所述，所有可能的长度为：或或或． 【点睛】本题考查了中点定义，折叠性质，两点间距离，线段和差倍分计算，一元一次方程的应用和图形的剪拼等，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．注意分类思想的运用． 42．（25-26七年级上·安徽宣城·月考）综合与实践 【特例感知】 （1）如图1，线段，为线段上的一个动点，分别是和的中点． ①若，则线段 ． ②若，则线段 ． 【知识迁移】 （2）我们发现角的很多规律和线段一样．如图2，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，求的度数． 【拓展探究】 （3）如图3，在内部，，，且，，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 【答案】（1）①9；②9；（2）；（3） 【分析】本题主要考查线段中点的计算，角平分线的定义相关的计算，理解图示，掌握中点的定义，数形结合分析思想是解题的关键． （1）①根据线段中点的定义得到，由得到，即可求解；②方法同①； （2）根据角平分线的定义得到，由，得到，由此即可求解； （3）根据角平分线的定义得到，则，由即可求解． 【详解】解：（1）①， ， ∵分别是和的中点， ， ， ， 故答案为：9； ②同理，， 故答案为：9； （2）∵，是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ， ， ， ∴的度数为； （3），， ， ∵在内部，，， ， ． 【经典例题八 几何体中的点、棱、面综合】 43．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）一个底面为正方形的长方体木块被锯掉一部分，变成如图所示的六面体，其中最长的边厘米，最短的边厘米，求这个六面体的体积． 【答案】96立方厘米． 【分析】此题主要考查了长方体的体积，理解题意，再取一个与六面体相同的六面体，将两个六面体拼接在一起，得到一个长方体是解决问题的关键． 再取一个与六面体相同的六面体，将两个六面体拼接在一起，得到一个长方体，依题意得所拼成的长方体的底面是正方形，正方形的边长为4厘米，长方体的高为12厘米，然后求出所拼成的长方体的体积，进而可得六面体的体积． 【详解】解：再取一个与六面体相同的六面体，将两个六面体拼接在一起，得到一个长方体， 最长的边厘米，最短的边厘米， 所得到长方体的底面是正方形，正方形的边长为4厘米，长方体的高为（厘米）， 因此所拼成的长方体的体积为：（立方厘米）， 六面体的体积为：（立方厘米）． 答：这个六面体的体积是96立方厘米． 44．（24-25七年级上·安徽安庆·单元测试）如图是一个圆柱纵向切开后的图形， (1)图中有几个面？有几个平面和曲面？ (2)图中有几条线，他们是直线还是曲线？ (3)图中线与线之间一共有多少交点？ 【答案】(1)图中有个面，有个平面，个曲面 (2)图中有条线，它们是条直线，条曲线 (3)图中线与线之间一共有个交点 【分析】本题主要考查了几何体中的点、棱、面，熟练掌握几何体的定义和基本特征是解题的关键． （1）根据平面和曲面的定义即可求解； （2）根据直线和曲线的定义即可求解； （3）找到图中线与线之间的交点个数即可求解． 【详解】（1）解：根据平面和曲面的定义可以看出： 图中有个面，有个平面，个曲面， 答：图中有个面，有个平面，个曲面； （2）解：根据直线和曲线的定义可以看出： 图中有条线，它们是条直线，条曲线， 答：图中有条线，它们是条直线，条曲线； （3）解：从图中可以看出： 图中线与线之间一共有个交点， 答：图中线与线之间一共有个交点． 45．（24-25七年级上·安徽合肥·月考）如图所示，是我们熟悉的三棱柱、五棱柱和六棱柱． (1)填写下表： 顶点数 面数 棱数 三棱柱 __________ __________ 五棱柱      __________ __________ 六棱柱 __________ __________ (2)设棱柱（为正整数，且）的顶点数为、棱数为、面数为，根据表中数据猜想____________． 【答案】(1)填写表格见解析； (2)． 【分析】（）结合三棱柱、五棱柱和六棱柱的特点，即可填表； （）根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知棱柱一定有个面，个顶点和条棱，根据这个规律得出，，之间的关系； 此题主要考查了棱柱的面，顶点和棱之间的数量关系，熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：棱柱有个面，个顶点和条棱是解题的关键． 【详解】（1）解：根据三棱柱、五棱柱和六棱柱得： 三棱柱：个顶点，个面，条棱； 五棱柱：个顶点，个面，条棱； 六棱柱：个顶点，个面，条棱； 故填写表格如下： 顶点数 面数 棱数 三棱柱 五棱柱 六棱柱 （2）由（）得知棱柱一定有个面，个顶点和条棱， ∴， 故答案为：． 46．（2025七年级上·安徽六安·专题练习）如图1至图3是将正方体截去一部分后得到的多面体. (1)根据要求填写表格： 面数（f） 顶点数（v） 棱数（e） 图1 　　 　　 　　 图2 　　 　　 　　 图3 　　 　　 　　 (2)猜想f、v、e三个数量间有何关系； (3)根据猜想计算，若一个多面体有顶点数2013个，棱数4023条，试求出它的面数. 【答案】(1)7，9，14.6，8，12，7，10，15； (2)； (3)它的面数是2012 【分析】（1）根据图形数出即可； （2）根据（1）中结果得出； （3）代入求出即可； 【详解】（1）图1，面数，顶点数，棱数， 图2，面数，顶点数，棱数， 图3，面数，顶点数，棱数， 故答案为：7，9，14.6，8，12，7，10，15． （2）由表格数据可得：． （3）∵ ∴， ， 即它的面数是2012． 【点睛】本题考查了截一个几何体，图形的变化类的应用，关键是能根据（1）中的结果得出规律 47．（24-25七年级上·安徽阜阳·月考）观察下列多面体，并把下表补充完整. 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形 顶点数 6 棱数 9 面数 5 （1）根据表中的规律判断，十二棱柱有___________个面，共有___________个顶点，共有___________条棱； （2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为___________棱柱； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为，则它有___________个侧面，共___________个面，共有___________个顶点，共有___________条棱； （4）观察上表中的结果，请写出，，之间关系式___________． 【答案】填表见解析；（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】由三棱柱的顶点数为：，棱数为：，面数为：；四棱柱的顶点数为：，棱数为：，面数为：；五棱柱的顶点数为：，棱数为：，面数为：；六棱柱的顶点数为：，棱数为：，面数为：，即可填表． 根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知棱柱一定有个面，个顶点和条棱，进而得出（1）（2）和（3）的答案； （4）根据表格可总结出规律得出之间的关系． 【详解】解：填表如下： 名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱 图形                                     顶点数         棱数 面数 （1）十二棱柱有个面，共有个顶点，共有条棱． 故答案为：14，24，36； （2）某个棱柱由个面构成，则这个棱柱为棱柱． 故答案为：28； （3）若一个棱柱的底面多边形的边数为，则它有个侧面，共有个面，共有个顶点，共有条棱． 故答案为：，，，； （4）之间的关系：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了几何规律型问题，熟记常见棱柱的特征，进而可以总结一般规律：棱柱有个面，个顶点和条棱是解题关键． 48．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在着有趣的关系（称欧拉公式）．实际上，足球表面的顶点数（V）、皮块数（F）、棱数（E）也满足欧拉公式． (1)图1的正方体面数，顶点数_______，棱数_______； (2)图2的足球表面有60个顶点，每个顶点处分别有3条棱，2个六边形，1个五边形，小明用算式“”得到棱数为90，用算式“”得到六边形有20块，请用两种不同方法计算该足球表面的五边形块数； (3)图3的足球表面由正方形、六边形、八边形拼成，每个顶点处分别有3条棱，1个正方形，1个六边形，1个八边形．求该足球表面的八边形块数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查几何体的点、棱、面，有理数的四则运算，一元一次方程的应用等知识，理解多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系并灵活运用． （1）根据正方形的顶点数、面数和棱数直接求解即可； （2）法一：根据多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系求得足球的总块数，进而可求解； 法二：根据一个顶点处有1个五边形求解即可； （3）设该足球表面共有个顶点，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：图1的正方体面数，顶点数，棱数， 故答案为：8，12； （2）解：法1： ， 五边形块数六边形块数（块）； 法2：（块）； （3）解：设该足球表面共有个顶点． ， 解得， ∴八边形块数：． 【经典例题九 角平分线的有关计算综合】 49．（25-26七年级上·安徽蚌埠·月考）如图，为直线上一点，，是的平分线，设，． (1)若，求的度数； (2)求和的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的相关概念及应用： （1）先求出，再求出，最后根据即可求出； （2）根据已知条件即可列出等量关系，化简即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ∵， ； （2）解：由题意可知， 即， ， ， 即． 50．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）如图所示，是的平分线，是的平分线． (1)如果，与互余，求． (2)如果与互补，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线有关的计算，余角、补角有关的计算，掌握相关定义和性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得，由互为余角的特征得到的度数，再由角平分线的定义可得的度数，最后根据角的和差即可解答； （2）由与互补，可得，结合角平分线的定义可得，进一步即可解答． 【详解】（1）解：是的平分线，， ， 与互余， ， 是的平分线， ， ． （2）解：若与互补，则， ，即， 是的平分线，是的平分线， ，， ，即， ， ． 51．（25-26七年级上·安徽淮北·月考）如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图1，分别是、的角平分线，已知，，求的度数； (2)如图2，若，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，角的和与差，弄清角与角间的数量关系，利用方程思想解答是解题的关键． （1）根据、分别是、的角平分线，而，可求，再由即可求解； （2），可得，从而得到，再由，根据角的和差列方程求解，即可求解的度数． 【详解】（1）解：∵、分别是、的角平分线， ∴， ∵，， ∴ ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． 52．（25-26七年级上·安徽阜阳·月考）把一副直角三角板的直角顶点重合于点O，初始时，两三角板中的其中一条直角边在同一直线上（在左，在右）．现让其中一个三角板的边绕点O顺时针以每秒的速度转动，同时另一个三角板的边绕点O逆时针以每秒的速度转动（转动过程中三角板形状不变），设转动时间为t（）秒． (1)基础计算：当时，求的度数； (2)进阶求解：当时，求转动时间t； (3)综合探究：在转动过程中，射线是的平分线，射线是的平分线，请直接写出当t为何值时，与垂直． 【答案】(1) (2)或或 (3)或或 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算等知识点，难度较大，解题的关键是运用分类讨论的思想建立方程求解． （1）计算出，射线的旋转的角度，再由角的和差计算求解即可； （2）由题意得，，再分三种情况讨论，根据角的和差建立方程求解即可； （3）由题意得，，然后分三种情况讨论，根据角平分线的定义以及角的和差建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图， 当时，； （2）解：当未相遇时， 由题意得，， ∵， ∴，解得； 当相遇后，在上方，如图： 由题意得，， ∵， ∴， ∴，解得； 当相遇后，在上方，在下方，如图 ∵， ∴，解得， 综上：当时，转动时间为或或； （3）解：由题意得，， 当未相遇时，如图： ∴， ∵射线是的平分线， ∴ ∵射线是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 当相遇后，如图： ∴， ∵射线是的平分线， ∴ ∵射线是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； 当相遇后，如图： ∴， ∵射线是的平分线， ∴ ∵射线是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上：当或或时，与垂直． 53．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）如图1，已知，，在内，在内，，．（本题中所有角均大于且小于等于） (1)从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，则____； (2)从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了角的计算，分情况画图讨论是解题的关键． （1）当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【详解】（1）解：，， ，， 当从图1中的位置绕点逆时针旋转到与重合时，如图2， ， 故答案为：； （2）解：从图2中的位置绕点顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ， ， ， ， ， ， ； ②当时，如图4， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， ， ， ，， ，， ， ， ，不合题意； 综上所述：的值为或． 54．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）（分类讨论思想）射线是内部的一条射线，若，则我们称射线是射线的伴随线．例如，如图1，，则，称射线是射线的伴随线；同理，由于，称射线是射线的伴随线． (1)如图2， ，若射线是射线的伴随线，则 ； (2)如图3，若，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度逆时针转动，射线与射线重合，并绕点以每秒的速度顺时针转动，射线与射线同时开始转动，当射线与射线重合时，运动停止（设运动时间为）． ①当t的值为 时， 的度数是 ； ②当t的值为 时，射线中恰好有一条射线是其余两条射线中任意一条射线的伴随线． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角的计算，解决本题的关键是利用分类讨论思想． （1）根据伴随线定义即可求解； （2）①利用分类讨论思想，分相遇之前和之后进行列式计算即可； ②利用分类讨论思想，分相遇之前和之后四个图形进行计算即可． 【详解】（1）解：如图2，，射线是射线的伴随线， 则； （2）解：射线与重合时，， ①当的度数是时，有两种可能： 若在相遇之前，则， ； 若在相遇之后，则， ； 所以，综上所述，当或时，的度数是． ②相遇之前： （i）如图1，是的伴随线时， 则， 即， ； （ii）如图2，是的伴随线时， 则， 即， ． 相遇之后： （iii）如图3，是的伴随线时， 则， 即， ； （iv）如图4， 是的伴随线时，则， 即， ， 所以，综上所述，当时，中恰好有一条射线是其余两条射线的伴随线． 学科网（北京）股份有限公司 $