专题01 几何图形（题型专练）数学新教材浙教版七年级上册

专题01 几何图形 （题型突破·举一反三） 题型01 几何体及其构成 题型02 几何体的点、棱、面 题型03 从不同方向看几何体 题型04 点、线、面、体之间的关系 题型05 用七巧板拼图形 题型06 几何体展开图的认识 题型07 由展开图计算几何体的表面积/体积 题型08 正方体展开图的识别 ▌题型01 几何体及其构成 认识生活中的立体图形，能对柱体、锥体、球体正确分类，并说出它们的形状特征，是立体几何入门的第一关。 典例1（25-26七年级上·浙江杭州·期末）下列图形中，表示立体图形的是（    ） A． B． C． D． 变式1（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 变式2（20-21七年级上·浙江杭州·期末）在如图的四个图形中，是平面图形的有______（请填序号）． 变式3（24-25七年级上·浙江·单元测试）将如图几何体分类，柱体有___________，锥体有___________，球体有___________．（填序号） ▌题型02 几何体的点、棱、面 考查从 "点、线、面" 三个维度观察几何体，常以数顶点、棱、面的个数为载体，隐含着欧拉公式的渗透，为后续空间想象打基础。 典例2（24-25七年级上·浙江杭州·期中）小华新买了一个如图所示的笔筒，下列关于这个笔筒的描述错误的是（    ） A．笔简可以近似的看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 变式1（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，若将一个长方体的一个角切去，所得到的几何体的顶点和棱的数量分别为（   ） A．7个顶点，13条棱 B．6个顶点，12条棱 C．7个顶点，12条棱 D．6个顶点，13条棱 变式2（23-24七年级上·浙江台州·期中）一个多面体有7个面，10个顶点，则它的棱数只能是（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 变式3（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）已知一个直棱柱有21条棱，x个面和y个顶点，则的值为（　　） A． B． C．2 D．1 变式4（2024九年级上·浙江金华·竞赛）如图，由12根铅丝焊接成一个正方体框架．现要将每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色．如果已将涂成红色，涂成黄色，涂成蓝色，那么该涂成白色的铅丝有___． 变式5（25-26七年级上·浙江·期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察图中几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据图中的多面体模型，填写表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 正方体 8 6 八面体 8 12 十二面体 20 12 30 (2)根据上面的表格，猜想顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______（用所给的字母表示）． (3)若一个多面体的面数比顶点数少14，且有48条棱，则这个多面体的面数是______． (4)有一个玻璃饰品的外形是简单多面体，它共有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体的面数为，求的值． 变式6（24-25七年级上·浙江台州·期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在着有趣的关系（称欧拉公式）．实际上，足球表面的顶点数（V）、皮块数（F）、棱数（E）也满足欧拉公式． (1)图1的正方体面数，顶点数_______，棱数_______； (2)图2的足球表面有60个顶点，每个顶点处分别有3条棱，2个六边形，1个五边形，小明用算式“”得到棱数为90，用算式“”得到六边形有20块，请用两种不同方法计算该足球表面的五边形块数； (3)图3的足球表面由正方形、六边形、八边形拼成，每个顶点处分别有3条棱，1个正方形，1个六边形，1个八边形．求该足球表面的八边形块数． ▌题型03 从不同方向看几何体 通过从正面、左面、上面三个方向观察几何体画出视图，或由视图还原几何体，考查空间想象与图形转化能力，是中考必考基础题型。 典例3（26-27七年级上·浙江·开学考试）一个立体图形，从上面看到的形状是，从右面看到的形状是，搭这样一个立体图形至少需要（     ）个小正方体． A．10 B．8 C．7 D．6 变式1（22-23七年级上·浙江杭州·开学考试）下列用小方块拼搭成的几何体中，从三个方向看到的形状如右下图的几何体是（     ） A．（1）与（2） B．（1）与（3） C．（2）与（3） D．（2）与（4） 变式2（2022·浙江宁波·模拟预测）下面摆放的几何体中，有一个几何体从正面与从上面看到的形状图不一样，这个几何体是（     ） A．B．C． D． 变式3（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）在下面的几何图形中再添1个，从左面观察不可能看到（     ） A． B． C． D． 变式4（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）从正面、右面都能看到方框中的形状的是下面（   ）图． A． B． C．D． 变式5（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）一个立体图形由5个同样大小的小正方体组成（如下图），如果再摆一个小正方体，从右面看形状不变，有___种摆法． 变式6（25-26七年级上·浙江温州·开学考试）在桌面上摆有一些大小一样的正方体木块，从侧面方向看如图（1），从前面方向看如图（2），要摆出这样的图形至多要( )正方体木块，至少要( )块正方体木块． ▌题型04 点、线、面、体之间的关系 揭示 "点动成线、线动成面、面动成体" 的运动变化规律，常以平面图形旋转形成立体图形为背景，考查动态想象能力。 典例4（2026·浙江绍兴·一模）下列平面图形绕虚线所在直线旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（   ） A．B．C．D． 变式1（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）下面各图形以虚线为轴旋转一周形成几何体，（     ）的体积最大． A． B． C． D． 变式2（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）如图，甲是一个直角三角形，乙是一个长方形，如果将图绕旋转一周，扫过的空间形成立体图形，此时甲和乙的体积比是（    ） A． B． C． D． 变式3（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）如图，四边形是长方形，cm，cm，对角线、相交于点，、分别是、的中点．四边形以为轴旋转一周，则空白部分所形成的立体图形的体积是__________．（取3） 变式4（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）在本学期的数学课上，我们通过操作，知道长方形沿长或宽为轴旋转一周，可以形成圆柱；把直角三角形沿直角边旋转一周，可以形成圆锥．那么，请你思考： (1)如图两个梯形（图1），沿图中的轴旋转一周，形成了什么立体图形，请你试着画一画所形成的立体图形的示意图． (2)如图（图2），有这样一个长方形，，，已知对角线、相交于点．如果图中的阴影部分以为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？ 变式5（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）如图所示，将下面组合图形分别绕轴L、轴P旋转一周形成两个不同的立体图．请问这两个立体图形体积的比是多少？ ▌题型05 用七巧板拼图形 借助七巧板拼摆、分割图形，考查对基本平面图形特征（三角形、正方形、平行四边形）的认识及面积守恒思想，趣味性与操作性并重。 典例5（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，小聪将一副七巧板拼成了一个滑雪者的图案，则的度数为 ________度． 变式1（23-24七年级上·浙江宁波·期中）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．用边长为的正方形，做了如图①所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图②所示的图形，则图②中阴影部分的面积为______． 变式2（22-23七年级上·浙江温州·期中）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．小林将图1的一副七巧板拼成图2的“衣服”（阴影部分），并将它放入方格图中，方格图中的小正方形边长为1，则这件“衣服”的周长为 ____（取1.4）． 变式3（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图1，七巧板是我国传统的智力玩具，它由7块板组成，可以拼出各种图案．已知，． (1)在图1中，与编号④的正方形面积相等的图形有 ；（填写编号） (2)图2是由七巧板拼成的“火箭”图案，思考并解决以下问题： ①请在图2中，分割七巧板，并标上相应的编号； ②该图案的周长为 （用含，的代数式表示） 变式4（22-23七年级上·浙江金华·期末）如图，若正方形网格中每个小正方形的边长为1 (1)如图1，七巧板的小正方形④的面积是，七巧板的平行四边形⑥面积是 ，拼成的大正方形的面积是 ．    (2)点是图中线段的中点，直接写出点到两边的距离． (3)用图2的七巧板可以拼出如图的拱桥，请在图中画出拼图示意图（要求用粗实线画出各块拼板的轮廓线）﹒      ▌题型06 几何体展开图的认识 将立体图形沿棱展开成平面图形，或由展开图判断能否围成几何体，考查立体与平面的相互转化，是培养空间观念的核心题型。 典例6（25-26七年级上·浙江温州·开学考试）将圆柱体的侧面展开，将得不到（   ）． A．平行四边形 B．长方形 C．梯形 D．正方形 变式1（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图是一个立体图形的展开图，则该立体图形是（　　） A．长方体 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥 变式2（22-23七年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，将一块长方形纸板剪去图中的空白部分做成一个无盖纸盒．若求长方形纸板与底面长方形 的周长之差，则只需知道（　　） A．长方形的周长 B．长方形 的周长 C．长方形 的周长 D．长方形 的周长 变式3（2021·浙江杭州·一模）如图，下列图形中经过折叠不能围成一个直四棱柱的是（    ） A．B．C． D． 变式4（25-26七年级上·浙江杭州·期中）某数学兴趣小组进行课题学习：用长方形硬纸板制作长方体纸盒． 材料：长方形硬纸板，长为14，长为4． (1)初步感受：如图1，在长方形硬纸板四个角上剪去四个边长为1的小正方形，将剩下的硬纸板折叠成无盖的长方体纸盒，则该长方体纸盒底面周长为______； (2)深入探究：兴趣小组为了充分利用硬纸板（硬纸板无剩余），采用新的裁剪方法：如图2所示，用把长方形ABCD分成2个长方形，将长方形ABFE折叠成纸盒的侧面，将长方形CDEF做纸盒的下底面，做成一个无盖的长方体纸盒，请你求这个纸盒底面的长和宽； (3)问题解决：在以上操作的启发之下，你能充分利用该长方形硬纸板（硬纸板无剩余），制作一个有盖的长方体纸盒吗？若能，请画出两种裁剪设计图并求出所做纸盒的底面边长，若不能，请说明理由． ▌题型07 由展开图计算几何体的表面积/体积 在展开图与立体图形对应关系的基础上，直接计算圆柱、圆锥、棱柱等的侧面积、表面积与体积，是几何体计算的综合应用。 典例7（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）一个长方体的展开图如图所示，每个面分别标上的了1﹣6六个数字（数字在长方体的内侧），已知3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形．如果2号面是长方体底面，那么 _____号面是长方体上面，这样围成长方体后每相连两个面上的数字之和是质数（可重复）的有 _______组，这个长方体的体积是 _______．    变式1（2023·浙江杭州·一模）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，求此长方体的体积为 ________． 变式2（25-26七年级上·浙江温州·开学考试）一个长方体棱长的总和是60厘米，它正好能被切成三个同样的正方体，原来长方体的表面积是( )平方厘米． 变式3（24-25七年级上·浙江杭州·期中）综合与探究 【主题】制作无盖长方体盒子 【操作】如图1为一块长、宽的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． 【实践探究】 (1)求折成的无盖长方体盒子的体积． (2)若用这样的一块长方形纸板折成一个高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，求该盒子需要涂色的面积． 变式4（23-24七年级上·浙江舟山·期末）有两张长，宽的长方形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个． (1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是________．（填“图1”或“图2”） (2)已知图1中裁去的小正方形边长为，求做成的纸盒体积． (3)已知图1、图2中裁去的小正方形边长分别为和，设为按图1方式裁得的3个纸盒底面周长之和，为按图2方式裁得的8个纸盒底面周长之和，试比较，的大小． ▌题型08 正方体展开图的识别 判断一个平面图形能否折成正方体，并确定相对面，需要熟记 11 种展开图规律与 "间隔""Z 字形 " 判定技巧，是中考高频易错点。 典例8（22-23七年级上·浙江·开学考试）将如图折成一个正方体，点与（    ）会重合．    A．点 B．点 C．点 D．点 变式1（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，一个正方体纸盒的六个面上填有不同的数或式，从不同方向看到的情形如图，如果相对两个面的数或式的值互为相反数，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2025 变式2（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）下图是一块由六个正方形组成的纸板，每个正方形上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，如果把这块纸板折成一个正方体，这个正方体中与标有字母“A”的面相对的面是（   ）． A．标有字母“C”的面 B．标有字母“D”的面 C．标有字母“E”的面 D．标有字母“F”的面 变式3（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）下面是一个正方体纸盒，将它的上半部分涂上颜色后再展开，展开图正确的是（   ） A．B．C．D． 变式4（22-23七年级上·浙江杭州·开学考试）把如图这个展开图折成一个正方体．如果下面是C，右面是A，前面是B，那么上面是( )，后面是( )，左面是( )． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网 典例精析 典例1C E 举一反三 变式1D 变式2 【答案】①④ 变式3 【答案】 ①②③ E 典例精析 典例2C 三 举一反三 变式1C 变式2C 变式3A 变式4 【答案】AB,DH,FG 变式5 【答案】(1)12；6 (2)V+F-E=2 (3)18 (4)14 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01几何图形 (题型突破举一反三) 题型01几何体及其构成 ④ 题型02几何体的点、棱面 1/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 变式6 【答案】(1)8,12 (2)12 (3)6 题型03丛不同方向看几何体 典例精析 典例3B 举一反三 变式1B 变式2C 变式3D 变式4c 变式5 【答案】6 变式6 【答案】 20 题型04点、线、面、体之间的送系 典例精析 典例4A 举一反三 变式1D 变式2B 变式3 【答案】180 变式4 【答案】(1) 画图如下： 2/5 可学科网 6cm 9cm旋转一周是 5cm 6cm 9cm旋转一周是 5cm (2)阴影部分扫过的立体的体积是565.2立方厘米 变式5 【答案】5：4 题型05 典例精析 典例5 【答案】135 举一反三 变式1 5 【答案】8 变式2 【答案】15.6 变式3 【答案】(1)⑥⑦ (2)①如图所示： .zxxk.com 让教与学更高效 用七巧板拼图形 3/5 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ⑦ ① ③ ④ (3 ②8x+6y 变式4 【答案】(1)1,8 (2)点P到AB的距离为V2,点P到BD的距离为1 (3) 如图所示， 题型06几何体展开图的认识 E 典例精析 典例6C 举一反三 变式1c 变式2D 变式3C 变式4 【答案】(1)28 (2)4,2 10 (3)能，纸盒底边的边长为3,2或3,1.5 4/5 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 题型07由展开图计算几何体的表面积体积 典例精析 典例7 【答案】 6 14 81 举一反三 变式1 【答案】224 变式2 【答案】126 变式3 【答案】(1)1296cm (2)656cm 变式4 【答案】(1)图2 (2)72(立方厘米) (3)m≤n 题型08正方体展开图的识别 典例精析 典例8D 三 举一反三 变式1B 变式2B 变式3B 变式4 【答案】 D F 5/5 专题01 几何图形 （题型突破·举一反三） 题型01 几何体及其构成 题型02 几何体的点、棱、面 题型03 从不同方向看几何体 题型04 点、线、面、体之间的关系 题型05 用七巧板拼图形 题型06 几何体展开图的认识 题型07 由展开图计算几何体的表面积/体积 题型08 正方体展开图的识别 ▌题型01 几何体及其构成 认识生活中的立体图形，能对柱体、锥体、球体正确分类，并说出它们的形状特征，是立体几何入门的第一关。 典例1（25-26七年级上·浙江杭州·期末）下列图形中，表示立体图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立体图形和平面图形的定义，立体图形是各部分不在同一平面内的几何图形，平面图形是所有部分都在同一平面内的几何图形，根据立体图形和平面图形的定义逐项分析即可得出结果，熟练掌握立体图形和平面图形的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、是平面图形，故不符合题意； B、是平面图形，故不符合题意； C、是立体图形，故符合题意； D、是平面图形，故不符合题意； 故选：C． 变式1（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）如图是由若干个小正方体组成的，数一数一共有（     ）个这样的小正方体． A．9 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】分别数出每一层小正方体的个数，相加即可． 【详解】解：从下至上，第一层共有9个小正方体，第二层有4个小正方体， ∴一共有个小正方体． 变式2（20-21七年级上·浙江杭州·期末）在如图的四个图形中，是平面图形的有______（请填序号）． 【答案】①④ 【分析】根据平面图形的概念可直接进行解答． 【详解】解：①④是平面图形，②③是立体几何， 故答案为①④． 【点睛】本题主要考查几何图形，熟练掌握几何图形是解题的关键． 变式3（24-25七年级上·浙江·单元测试）将如图几何体分类，柱体有___________，锥体有___________，球体有___________．（填序号） 【答案】 ①②③ ⑤ ④ 【分析】本题考查了认识立体图形，熟练掌握各定义是解题关键．解这类题首先要明确柱体、锥体、球体的概念，然后根据图示进行解答即可． 【详解】解：柱体包括圆柱和棱柱，所以柱体有①②③； 锥体包括圆锥和棱锥，所以锥体有⑤； 球体属于单独的一类，是有且只有一个连续曲面的立体图形，所以球体有④； 故答案为：①②③，⑤，④． ▌题型02 几何体的点、棱、面 考查从 "点、线、面" 三个维度观察几何体，常以数顶点、棱、面的个数为载体，隐含着欧拉公式的渗透，为后续空间想象打基础。 典例2（24-25七年级上·浙江杭州·期中）小华新买了一个如图所示的笔筒，下列关于这个笔筒的描述错误的是（    ） A．笔简可以近似的看成六棱柱 B．它的所有侧棱长都相等 C．它有10个顶点 D．侧面的形状都是长方形 【答案】C 【分析】本题主要考查了六棱柱的相关知识，根据六棱柱所有侧棱长都相等，有12个顶点，侧面的形状都是长方形一一判断即可． 【详解】解：．笔简可以近似的看成六棱柱，说法正确，故该选项不符合题意； ．它的所有侧棱长都相等，说法正确，故该选项不符合题意； ．它有12个顶点，原说法错误，故该选项符合题意； ．侧面的形状都是长方形，说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 变式1（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段检测）如图，若将一个长方体的一个角切去，所得到的几何体的顶点和棱的数量分别为（   ） A．7个顶点，13条棱 B．6个顶点，12条棱 C．7个顶点，12条棱 D．6个顶点，13条棱 【答案】C 【分析】本题考查了截一个几何体，新几何体与原长方体比较，棱的条数没有变化，顶点减少一个． 【详解】解：长方体截去一角变成一个如图的新几何体，这个新几何体有12条棱，7个顶点． 故选C． 变式2（23-24七年级上·浙江台州·期中）一个多面体有7个面，10个顶点，则它的棱数只能是（    ） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】C 【分析】本题考查的是立体图形的基本知识，解题的关键是熟练掌握几何体的基本概念， 根据多面体的顶点数＋面数－棱数=2，即可解答． 【详解】解：多面体有7个面，10个顶点， 棱数为：， 故选：C． 变式3（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）已知一个直棱柱有21条棱，x个面和y个顶点，则的值为（　　） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了棱柱的棱、面和顶点，解题的关键是熟练掌握n棱柱有条棱，个面，个顶点． 【详解】解：由可知，此棱柱是七棱柱， ∴这个七棱柱有个面，有个顶点， ∴，， ∴． 故选：A． 变式4（2024九年级上·浙江金华·竞赛）如图，由12根铅丝焊接成一个正方体框架．现要将每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色．如果已将涂成红色，涂成黄色，涂成蓝色，那么该涂成白色的铅丝有___． 【答案】 【分析】本题考查了正方体框架的涂色问题．先由正方体的特点得出可能涂红色的铅丝，进一步确定涂成红色的铅丝，同理得出涂成蓝色，黄色的铅丝，最后可得涂成白色的铅丝． 【详解】解：∵要将每个正方形的4根铅丝分别涂上红、黄、蓝、白4种颜色，且涂成红色， ∴涂成红色的只可能为， ∵，都不能为红色， ∴若为红色，则面不可能有一条边涂成红色， ∴涂成红色的只有 同理可知涂成涂成蓝色的只有，涂成黄色的有， ∴涂成白色的有， 故答案为：． 变式5（25-26七年级上·浙江·期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察图中几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据图中的多面体模型，填写表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 6 正方体 8 6 八面体 8 12 十二面体 20 12 30 (2)根据上面的表格，猜想顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______（用所给的字母表示）． (3)若一个多面体的面数比顶点数少14，且有48条棱，则这个多面体的面数是______． (4)有一个玻璃饰品的外形是简单多面体，它共有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体的面数为，求的值． 【答案】(1)12；6 (2) (3)18 (4) 【分析】本题主要考查立体图形的相关概念，图形规律的探索，列代数式，实际问题与一元一次方程，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）观察图形即可得出答案； （2）观察图形和表格即可得出规律； （3）根据（2）中的关系式，代入即可求值； （4）根据题意可列方程，再解方程即可． 【详解】（1）解：观察图形，正方体的棱数为12，正八面体的顶点数为6． 故答案为：12；6． （2）解：观察图形和表格可以看出：顶点数＋面数－棱数， 即． 故答案为：． （3）解：由题意得，， 解得，． 故答案为：18． （4）解：因为该多面体的顶点数，且每个顶点处有3条棱， 所以该多面体的棱数． 因为， 所以， 解得，． 答：的值为． 变式6（24-25七年级上·浙江台州·期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在着有趣的关系（称欧拉公式）．实际上，足球表面的顶点数（V）、皮块数（F）、棱数（E）也满足欧拉公式． (1)图1的正方体面数，顶点数_______，棱数_______； (2)图2的足球表面有60个顶点，每个顶点处分别有3条棱，2个六边形，1个五边形，小明用算式“”得到棱数为90，用算式“”得到六边形有20块，请用两种不同方法计算该足球表面的五边形块数； (3)图3的足球表面由正方形、六边形、八边形拼成，每个顶点处分别有3条棱，1个正方形，1个六边形，1个八边形．求该足球表面的八边形块数． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查几何体的点、棱、面，有理数的四则运算，一元一次方程的应用等知识，理解多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系并灵活运用． （1）根据正方形的顶点数、面数和棱数直接求解即可； （2）法一：根据多面体的顶点数、面数和棱数之间的关系求得足球的总块数，进而可求解； 法二：根据一个顶点处有1个五边形求解即可； （3）设该足球表面共有个顶点，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：图1的正方体面数，顶点数，棱数， 故答案为：8，12； （2）解：法1： ， 五边形块数六边形块数（块）； 法2：（块）； （3）解：设该足球表面共有个顶点． ， 解得， ∴八边形块数：． ▌题型03 从不同方向看几何体 通过从正面、左面、上面三个方向观察几何体画出视图，或由视图还原几何体，考查空间想象与图形转化能力，是中考必考基础题型。 典例3（26-27七年级上·浙江·开学考试）一个立体图形，从上面看到的形状是，从右面看到的形状是，搭这样一个立体图形至少需要（     ）个小正方体． A．10 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】根据从上面看到的形状得出最下面一层最少要有6个，根据从右面看到的形状可以得出第二层最少要有2个，从而得出总个数最少需要8个． 【详解】解：（个）， 即搭这样一个立体图形至少需要8个小正方体． 变式1（22-23七年级上·浙江杭州·开学考试）下列用小方块拼搭成的几何体中，从三个方向看到的形状如右下图的几何体是（     ） A．（1）与（2） B．（1）与（3） C．（2）与（3） D．（2）与（4） 【答案】B 【详解】解：（1）从三个方向看到的形状如图 （2）从三个方向看到的形状如图 （3）从三个方向看到的形状如图 （4）从三个方向看到的形状如图 综上，符合条件的几何体是（1）与（3）． 变式2（2022·浙江宁波·模拟预测）下面摆放的几何体中，有一个几何体从正面与从上面看到的形状图不一样，这个几何体是（     ） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解：A、从正面与从上面看到的都是正方形，不符合题意； B、从正面与从上面看到的都是长方形，不符合题意； C、从正面看到的是三角形，从上面看到的是带圆心的圆形，符合题意； D、从正面与从上面看到的都是圆形，不符合题意； 故选：C． 变式3（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）在下面的几何图形中再添1个，从左面观察不可能看到（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先画出从左面看到没有添加小正方体的图形，再添加小正方体逐一判断即可． 【详解】解：从左面看到没有添加小正方体得到的图形为： ， 添1个小正方体后不可能看到： ． 变式4（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）从正面、右面都能看到方框中的形状的是下面（   ）图． A． B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，根据从正面、右面都能看到方框中的形状进行逐项分析，即可作答． 【详解】 解：∵从正面、右面都能看到方框中的形状是， ∴该几何体是， 故选：C 变式5（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）一个立体图形由5个同样大小的小正方体组成（如下图），如果再摆一个小正方体，从右面看形状不变，有___种摆法． 【答案】6 【分析】本题考查了从不同方向观察物体和几何体，解题的关键是明确原立体图形从右面看到的形状，并据此分析新增小正方体的可摆放位置． 先确定原立体图形从右面看到的形状，再分析能保持右面视图不变的新增小正方体的摆放位置，统计摆法数量． 【详解】解析：从右面看到的形状为： 所以可以放在从前往后数第一排上层两端和下层两端， 还可以放在第二排中间小正方体的左右两边， 一共有（种）摆法． 故答案为：6． 变式6（25-26七年级上·浙江温州·开学考试）在桌面上摆有一些大小一样的正方体木块，从侧面方向看如图（1），从前面方向看如图（2），要摆出这样的图形至多要( )正方体木块，至少要( )块正方体木块． 【答案】 20 6 【分析】本题考查了从不同方向观察几何体，从侧面看，可以看出物体的层数与行数（2层4行），从前面看，可以看到物体的列数与层数（2层4列），进一步根据看到的形状，设计出需要的最多块数与最少块数即可． 【详解】解：按如图摆放，至多要20块（左图，摆放方式唯一），至少需要6块（右图，摆放方式不唯一）． ， 故答案为：20，6． ▌题型04 点、线、面、体之间的关系 揭示 "点动成线、线动成面、面动成体" 的运动变化规律，常以平面图形旋转形成立体图形为背景，考查动态想象能力。 典例4（2026·浙江绍兴·一模）下列平面图形绕虚线所在直线旋转一周，可以得到如图所示的立体图形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【详解】 绕虚线所在直线旋转一周，可以得到 变式1（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）下面各图形以虚线为轴旋转一周形成几何体，（     ）的体积最大． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆柱的体积公式：，圆锥的体积公式：，把数据代入公式分别求出它们的体积，然后进行比较即可． 【详解】解：A、旋转一周形成的几何体为圆柱， ∴体积为（立方厘米）； B、旋转一周形成的几何体为两个圆锥的组合体， ∴体积为（立方厘米）； C、旋转一周形成的几何体为圆柱和圆锥的组合体， ∴体积为（立方厘米）； D、旋转一周形成的几何体为外部圆柱挖去内部为圆锥的组合体， ∴体积为（立方厘米）； ∵， ∴D选项的体积最大． 变式2（23-24七年级上·浙江宁波·开学考试）如图，甲是一个直角三角形，乙是一个长方形，如果将图绕旋转一周，扫过的空间形成立体图形，此时甲和乙的体积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆锥，圆柱的体积．根据题意得：将图绕旋转一周，甲扫过的空间形成高为3的圆柱减去高为3的圆锥部分图形，乙扫过的空间形成高为3的圆柱，再由圆锥，圆柱的体积，即可求解． 【详解】解：根据题意得：将图绕旋转一周，甲扫过的空间形成高为3的圆柱减去高为3的圆锥部分图形，乙扫过的空间形成高为3的圆柱， 设甲，乙重合的边长为d，则 此时甲和乙的体积比是， 即此时甲和乙的体积比是． 故选：B 变式3（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）如图，四边形是长方形，cm，cm，对角线、相交于点，、分别是、的中点．四边形以为轴旋转一周，则空白部分所形成的立体图形的体积是__________．（取3） 【答案】180 【分析】本题考查了圆柱和圆锥的体积公式，解决本题的关键是长方体绕轴旋转得到圆柱，阴影部分绕轴旋转得到两个共顶点的圆锥． 根据长方形绕轴旋转得到圆柱，阴影部分绕轴旋转得到两个共顶点的圆锥，则空白部分所形成的立体图形的体积用圆柱的体积减去圆锥的体积求解． 【详解】解：∵长方形绕轴旋转得到圆柱， 又∵，， ∴该圆柱的高为，底面圆的半径为， ∴圆柱的体积为， 又∵阴影部分绕轴旋转得到两个共顶点的圆锥， ∴圆锥的高为，底面圆的半径为， ∴圆锥的体积为， ∴空白部分所形成的立体图形的体积是． 故答案为：180 ． 变式4（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）在本学期的数学课上，我们通过操作，知道长方形沿长或宽为轴旋转一周，可以形成圆柱；把直角三角形沿直角边旋转一周，可以形成圆锥．那么，请你思考： (1)如图两个梯形（图1），沿图中的轴旋转一周，形成了什么立体图形，请你试着画一画所形成的立体图形的示意图． (2)如图（图2），有这样一个长方形，，，已知对角线、相交于点．如果图中的阴影部分以为轴旋转一周，则阴影部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？ 【答案】(1) 画图如下： 旋转一周是； 旋转一周是； (2)阴影部分扫过的立体的体积是565.2立方厘米 【分析】此题考查圆柱和圆锥的展开图的特点以及圆柱的体积公式及圆锥体积公式，做对本题的关键是用对公式，是公式型考查题． （1）根据圆柱和圆锥的特征，可知第一个梯形旋转一周形成的图形是上部是半径为5厘米，高为3厘米的圆锥，下部是半径为5厘米，高为6厘米的圆柱，第二个梯形旋转一周形成的是整体是一个高为9厘米，底面半径为5厘米的圆柱，而上部是一个空心圆锥； （2）阴影部分扫出的立体图形的体积（底面半径为6厘米，高为10厘米的圆锥的体积个底面半径是3厘米，高为5厘米圆锥的体积）． 【详解】（1）略 （2）设三角形以为轴旋转一周所得到的立体图形的体积是立方厘米，则 ， （立方厘米） 答：阴影部分扫过的立体图形的体积是565.2立方厘米． 变式5（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）如图所示，将下面组合图形分别绕轴L、轴P旋转一周形成两个不同的立体图．请问这两个立体图形体积的比是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查立体图形的体积，熟练掌握体积计算公式是解题的关键．分别求出两个图形形成的立体图形的体积即可得到答案． 【详解】解：第一个图形形成的立体图形的体积： ； 第二个图形形成的立体图形的体积： ． 两个立体图形体积的比是． ▌题型05 用七巧板拼图形 借助七巧板拼摆、分割图形，考查对基本平面图形特征（三角形、正方形、平行四边形）的认识及面积守恒思想，趣味性与操作性并重。 典例5（24-25七年级上·浙江温州·期末）如图，小聪将一副七巧板拼成了一个滑雪者的图案，则的度数为 ________度． 【答案】 【分析】本题考查了七巧板，解题的关键是运用平角和等腰直角三角形的内角度数来解答． 根据左图得到，平行四边形较小的角加等腰直角三角形的度角等于度，则求出平行四边形较小角的度数；再根据右图中，与所求的角组成平角，即可求出结果． 【详解】解：结合两个图象可得为平行四边形中的钝角， ∵， 根据第一个图可得， 故答案为：． 变式1（23-24七年级上·浙江宁波·期中）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经过历代演变而成七巧板．用边长为的正方形，做了如图①所示的七巧板．将这个七巧板拼成如图②所示的图形，则图②中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查七巧板各个部分面积特点与阴影部分面积求法，图②中阴影部分形状不规则，不便于求解，将图②中的阴影部分转化为求图①中的阴影部分，图①中阴影部分的面积等于正方形面积的一半减去一个中等大小的等腰直角三角形的面积，根据七巧板各个部分面积特点“大的等腰三角形面积占原正方形面积，中等等腰三角形面积占原正方形面积等”即可解题． 【详解】解：图②所示的图形是由图①所示的七巧板拼成， 图②中阴影部分的面积与图①中阴影部分的面积相等． 图①中阴影部分的面积正方形面积一半中等等腰三角形面积． 又正方形的边长为， 阴影部分面积． 故答案为：． 变式2（22-23七年级上·浙江温州·期中）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被西方人誉为“东方魔板”．小林将图1的一副七巧板拼成图2的“衣服”（阴影部分），并将它放入方格图中，方格图中的小正方形边长为1，则这件“衣服”的周长为 ____（取1.4）． 【答案】 【分析】先依次将原七巧板里面的各个图形的边长求出来，然后根据构成“衣服型”图形的每个图形的边长计算其周长即可． 【详解】解：如图： ∵七巧板里面的各个三角形均为等腰直角三角形， ∴所有锐角都等于45°， ∵方格图中的小正方形边长为1， ∴， ∴， ； 如图，当七巧板拼成“衣服型”时， 则“衣服型”的周长为：． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面图形，求出七巧板里面各个图形的边长是解题关键． 变式3（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图1，七巧板是我国传统的智力玩具，它由7块板组成，可以拼出各种图案．已知，． (1)在图1中，与编号④的正方形面积相等的图形有 ；（填写编号） (2)图2是由七巧板拼成的“火箭”图案，思考并解决以下问题： ①请在图2中，分割七巧板，并标上相应的编号； ②该图案的周长为 （用含，的代数式表示） 【答案】(1)⑥⑦ (2)①如图所示： ② 【分析】本题考查了七巧板、多项式的加减，关键是根据图案用代数式表示相关的量； （1）根据七巧板各部分边长关系来确定与正方形面积相等的图形即可； （2）①依据七巧板各部分的形状特点拼接即可；②将图案各边用代数式表示之后相加即可． 【详解】（1）解：①、②的面积为：； ③、⑤的面积为：； ④、⑥的面积为：；⑦的面积为：； 故答案为：⑥⑦； （2）①略 ②周长为：， 故答案为：． 变式4（22-23七年级上·浙江金华·期末）如图，若正方形网格中每个小正方形的边长为1 (1)如图1，七巧板的小正方形④的面积是，七巧板的平行四边形⑥面积是 ，拼成的大正方形的面积是 ．    (2)点是图中线段的中点，直接写出点到两边的距离． (3)用图2的七巧板可以拼出如图的拱桥，请在图中画出拼图示意图（要求用粗实线画出各块拼板的轮廓线）﹒    【答案】(1)， (2)点到的距离为，点到的距离为 (3) 如图所示， 【分析】（1）根据七巧板的小正方形④的面积是，得出小正方形的边长为，进而根据正方形的面积与平行四边形的面积即可求解； （2）根据算术平方根的性质得出，进而根据点到直线的距离即可求解； （3）根据七巧板的特点，画出拼图示意图即可求解． 【详解】（1）∵七巧板的小正方形④的面积是， ∴小正方形的边长为， ∴七巧板的平行四边形⑥面积是； 拼成的大正方形的面积是； 故答案为：，． （2）∵大正方形的面积为， ∴大正方形边长为，则， ∴ 根据图形可知，，则是点到的距离为，点到的距离为    （3）略 【点睛】本题考查了七巧板，熟练掌握是解题的关键． ▌题型06 几何体展开图的认识 将立体图形沿棱展开成平面图形，或由展开图判断能否围成几何体，考查立体与平面的相互转化，是培养空间观念的核心题型。 典例6（25-26七年级上·浙江温州·开学考试）将圆柱体的侧面展开，将得不到（   ）． A．平行四边形 B．长方形 C．梯形 D．正方形 【答案】C 【分析】本题考查了圆柱体的侧面展开图，掌握圆柱体的侧面展开图是解题的关键； 根据圆柱的侧面展开图沿直线剪开可能为正方形、长方形或平行四边形可得结果． 【详解】围成圆柱的侧面的是一个圆筒，沿高线剪开，会得到长方形或正方形，沿斜直线剪开会得到平行四边形．但是无论怎么沿直线剪开，都不会得到梯形． 故选：C． 变式1（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图是一个立体图形的展开图，则该立体图形是（　　） A．长方体 B．三棱锥 C．圆柱 D．圆锥 【答案】C 【分析】根据题意可得这个几何体的展开图为长方形和圆形，即可求解． 【详解】解：根据题意得：该几何体的展开图为长方形和圆形， 该立体图形是圆柱， 故选：C． 【点睛】本题考查由展开图确定几何体的名称，熟记常见几何体的展开图的特征是解题的关键． 变式2（22-23七年级上·浙江绍兴·阶段检测）如图，将一块长方形纸板剪去图中的空白部分做成一个无盖纸盒．若求长方形纸板与底面长方形 的周长之差，则只需知道（　　） A．长方形的周长 B．长方形 的周长 C．长方形 的周长 D．长方形 的周长 【答案】D 【分析】根据题意得出，结合图形求周长差即可得出结果． 【详解】解：根据题意得将一块长方形纸板剪去图中的空白部分做成一个无盖纸盒， ∴， 长方形纸板与底面长方形 的周长之差表示为：，即为长方形 的周长， 故选：D． 【点睛】题目主要考查几何体的展开图，结合图形求解是解题关键． 变式3（2021·浙江杭州·一模）如图，下列图形中经过折叠不能围成一个直四棱柱的是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】利用平面图形的折叠及长方体的展开图解题即可． 【详解】、、可以围成直四棱柱，不能围成一个棱柱， 故选：． 【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，熟记常见立体图形的表面展开图的特征是解决此类问题的关键． 变式4（25-26七年级上·浙江杭州·期中）某数学兴趣小组进行课题学习：用长方形硬纸板制作长方体纸盒． 材料：长方形硬纸板，长为14，长为4． (1)初步感受：如图1，在长方形硬纸板四个角上剪去四个边长为1的小正方形，将剩下的硬纸板折叠成无盖的长方体纸盒，则该长方体纸盒底面周长为______； (2)深入探究：兴趣小组为了充分利用硬纸板（硬纸板无剩余），采用新的裁剪方法：如图2所示，用把长方形ABCD分成2个长方形，将长方形ABFE折叠成纸盒的侧面，将长方形CDEF做纸盒的下底面，做成一个无盖的长方体纸盒，请你求这个纸盒底面的长和宽； (3)问题解决：在以上操作的启发之下，你能充分利用该长方形硬纸板（硬纸板无剩余），制作一个有盖的长方体纸盒吗？若能，请画出两种裁剪设计图并求出所做纸盒的底面边长，若不能，请说明理由． 【答案】(1)28 (2)4，2 (3)能，纸盒底边的边长为，2或3，． 【分析】本题主要考查了长方体的展开图的认识、一元一次方程的应用等知识点，理解题意是解本题的关键． （1）利用长方形的性质求解底面相邻的两边的长即可得到周长； （2）设，则，而，再建立一元一次方程求解即可； （3）先画出两种裁剪示意图，再结合（2）的方法建立一元一次方程求解底面边长即可． 【详解】（1）解：∵长方形硬纸板，长为14，长为4．在长方形硬纸板四个角上剪去四个边长为1的小正方形， ∴该长方体纸盒底面周长为． （2）解：设，则，而， 根据长方体纸盒的含义，得到，解得：， ∴，， ∴这个纸盒底面的长和宽分别为4，2． （3）能，如图所示的两种示意图， 如图①、②所示，用把长方形分成2个长方形，将长方形折叠成纸盒的侧面，将长方形沿剪成两部分，分别做纸盒的上、下底面，做成一个有盖的长方体纸盒即可． 图①中，设，则，， 根据，得，解得∶， 所以底面的边长为：，2． 图②中，设，而，，， 根据，得，解得， ∴ ∴底面的边长为：3，． 综上，底边的长为，2或3，． ▌题型07 由展开图计算几何体的表面积/体积 在展开图与立体图形对应关系的基础上，直接计算圆柱、圆锥、棱柱等的侧面积、表面积与体积，是几何体计算的综合应用。 典例7（24-25七年级上·浙江杭州·开学考试）一个长方体的展开图如图所示，每个面分别标上的了1﹣6六个数字（数字在长方体的内侧），已知3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形．如果2号面是长方体底面，那么 _____号面是长方体上面，这样围成长方体后每相连两个面上的数字之和是质数（可重复）的有 _______组，这个长方体的体积是 _______．    【答案】 6 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握长方体表面展开图的“相间、端是对面”是解题的关键． 根据长方体表面展开图的“相间、端是对面”判断出相对的面，进而得到相邻的面，再由邻面中数字之和为质数的组数，再根据3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形．求出3、6两个面的长，进而得到长方体的长、宽、高，最后由体积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：根据长方体的面积展开图的“相间、端是对面”可得： “1”与“3”，“2”与“6”，“4”与“5”是对面， “1和3”的邻面有“2、4、5、6”，其中，，，，，即相连两个面上的数字和为质数有5组， “2和6”的邻面有“1、3、4、5”，其中，，，，，即相连两个面上的数字和为质数有5组， “4和5”的邻面有“1、2、3、6”，其中，，，，即相连两个面上的数字和为质数有4组， 综上所述，围成长方体后每相连两个面上的数字之和是质数（可重复）的共有（组）； 由相对的面可知， 当2号面是长方体底面时，则6号面位长方体的上面， 3、5、6三面面积之和是，且5号面是一个边长3厘米的正方形， 5、6号面的较长的边长为， 因此这个长方体可以看作底面是边长为的正方形，高为， 体积为， 故答案为：6，，． 变式1（2023·浙江杭州·一模）如图为一个长方体的展开图，且长方体的底面为正方形．根据图中标示的长度，求此长方体的体积为 ________． 【答案】224 【分析】设展开图的长方形的长为a，宽为b，根据图示中的相关数据列出方程，求出a，b，再根据长方体的体积求解即可； 【详解】解：设展开图的长方形的长为a，宽为b， 则， 解得， ∴长方体的体积为：． 故答案为：224． 【点睛】本题考查了长方体的展开图和长方体体积的计算，弄清展开图中的数据和长方体的长、宽、高之间的关系是解题的关键． 变式2（25-26七年级上·浙江温州·开学考试）一个长方体棱长的总和是60厘米，它正好能被切成三个同样的正方体，原来长方体的表面积是( )平方厘米． 【答案】126 【分析】本题考查了长方体、正方体的性质，熟练掌握长方体、正方体的性质是解题的关键； 由题知，长方体的长、宽、高的比是，根据长方体棱长的总和是60厘米，可求出长方体的长、宽、高，再求其表面积即可． 【详解】由题知，长方体的长、宽、高的比是， 总份数是（份）， （厘米），（厘米）， 原来长方体的表面积是（平方厘米）， 故答案为：126． 变式3（24-25七年级上·浙江杭州·期中）综合与探究 【主题】制作无盖长方体盒子 【操作】如图1为一块长、宽的长方形纸板，要将其四角各剪去一个正方形，折成如图2所示的高为的无盖长方体盒子（纸板厚度忽略不计）． 【实践探究】 (1)求折成的无盖长方体盒子的体积． (2)若用这样的一块长方形纸板折成一个高为的无盖长方体盒子，外表面都涂上色彩，求该盒子需要涂色的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是长方体的展开图的认识，长方体的表面积与体积的计算，熟练的求解体积与表面积是解本题的关键． （1）由长方体的体积公式进行计算即可； （2）根据无盖的长方体的表面积公式计算即可． 【详解】（1） ． 答：折成的无盖长方体盒子的体积为． （2）由题意可得表面积为： ． ∴该盒子需要涂色的面积为． 变式4（23-24七年级上·浙江舟山·期末）有两张长，宽的长方形纸板，分别按照图1与图2两种方式裁去若干小正方形和小长方形，剩余部分（阴影部分）恰好做成无盖和有盖的长方体纸盒各一个． (1)做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是________．（填“图1”或“图2”） (2)已知图1中裁去的小正方形边长为，求做成的纸盒体积． (3)已知图1、图2中裁去的小正方形边长分别为和，设为按图1方式裁得的3个纸盒底面周长之和，为按图2方式裁得的8个纸盒底面周长之和，试比较，的大小． 【答案】(1)图2 (2)72（立方厘米） (3) 【分析】本题考查了认识立体图形的展开图，列代数式，整式的加减运算等知识，理解题意是解题关键． （1）根据长方形展开图的特征，判断即可． （2）根据长方形的体积公式求解即可． （3）根据展开图的特点先表示，，再利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：做成有盖长方体纸盒的裁剪方式是：图2； （2）图1中裁去的小正方形边长为， 做成的纸盒的体积； （3），理由如下： ， ， ， ∴． ▌题型08 正方体展开图的识别 判断一个平面图形能否折成正方体，并确定相对面，需要熟记 11 种展开图规律与 "间隔""Z 字形 " 判定技巧，是中考高频易错点。 典例8（22-23七年级上·浙江·开学考试）将如图折成一个正方体，点与（    ）会重合．    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】根据正方体表面展开图的特点即可求解． 【详解】由正方体表面展开图的特点可知与，重合，与重合，与 重合，与重合， 故选：． 【点睛】此题考查了几何体的展开图，解题的关键是熟知正方体表面展开图的特点． 变式1（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，一个正方体纸盒的六个面上填有不同的数或式，从不同方向看到的情形如图，如果相对两个面的数或式的值互为相反数，则的值为（    ） A．1 B． C．0 D．2025 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体展开图，通过邻面找对面，代数求值，解题的关键是找出对面． 根据图形找出对面，表示出代数式的值，然后代数求值即可． 【详解】解：由两个图可得，的邻面为， ∴的对面为， ∴；① 由第1个和第3个图形可得，的邻面为， ∴的对面为， ∴；② ∴由第1个和第2个图形可得，的邻面为， ∴的对面为， ∴； 由①+②得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 变式2（23-24七年级上·浙江绍兴·开学考试）下图是一块由六个正方形组成的纸板，每个正方形上分别标有A、B、C、D、E、F六个字母，如果把这块纸板折成一个正方体，这个正方体中与标有字母“A”的面相对的面是（   ）． A．标有字母“C”的面 B．标有字母“D”的面 C．标有字母“E”的面 D．标有字母“F”的面 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面展开图．根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答即可． 【详解】解：根据题意得：这个正方体中与标有字母“A”的面相对的面是标有字母“D”的面． 故选：B． 变式3（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）下面是一个正方体纸盒，将它的上半部分涂上颜色后再展开，展开图正确的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何体的展开图，根据几何体的立体图的阴影和白色区域，结合空间想象能力，得出对应的展开图，即可作答． 【详解】 解：的展开图是， 故选：B 变式4（22-23七年级上·浙江杭州·开学考试）把如图这个展开图折成一个正方体．如果下面是C，右面是A，前面是B，那么上面是( )，后面是( )，左面是( )． 【答案】 【分析】首先根据正方体展开图“相间、字端点”等规律确定三组相对面，然后结合题目给定的方位（下面是，前面是），利用相对面关系确定上面和后面，最后通过相邻面的位置关系或空间旋转确定左面； 【详解】解：观察展开图可知： 面“”与面“”相对， 面“”与面“”相对， 面“”与面“”相对， 因为下面是，根据相对面关系，上面是， 因为前面是，根据相对面关系，后面是， 因为为右面，所以面为左面． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $