第3章 一次方程与方程组（高效培优单元自测·强化卷）数学新教材沪科版七年级上册

**基本信息** 第三章一次方程与方程组单元强化卷，通过基础巩固题、实际应用题及创新情境题（如《孙子算经》问题、阶梯电价模型），全面考查方程与方程组知识，适配单元复习，培养运算能力、模型意识与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|方程定义、方程组求解、古代问题|第6题《孙子算经》问题体现文化传承，考查建模能力| |填空题|4/20|公共解、同解方程组、几何面积|第14题拼图问题培养几何直观，关联空间观念| |解答题|9/90|新定义（成双方程）、动点问题、阶梯电价应用|第23题游戏规则综合题，考查方程应用与推理能力，落实模型意识|

第三章 一次方程与方程组（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D B A B A A B C D B 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11． 12． 13．90 14．12 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 把系数化为1，得：； （2）解： 两边同时乘以，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 把系数化为1，得：． 16．【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把②代入①得，化简得，解得， 把代入②得， 故原方程组的解为； （2）解：， 得，， 得，，解得， 把代入②得，解得， 故原方程组的解为． 17．【详解】(1)代入消元法；加减消元法 (2)美美，正确解答如下： ， 由，得， 由，得，解得， 把代入，得， 原方程组的解为． 18．【答案】(1)（答案不唯一） (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 根据“成双方程”的定义，所求方程的解为， ∴满足条件的一元一次方程可以是（答案不唯一）． （2）解：，解得：， ∵方程和互为“成双方程”， ∴方程的解为， 将代入方程，得， 整理得：， 解得：． 19．【答案】(1)，7 (2)①，；②3 (3)或 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 解得：，， （2）解：①点A表示的数为，点B表示的数为7，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴秒后，点表示的数为；点表示的数为． ②当时， 点P表示的数： 点Q表示的数： ． （3）由题意得： 化简得 分两种情况： ①， ， ， ②， ， ； ， 或均符合题意． 20．【答案】(1)96元 (2)二档电价为0.7元/度，三档电价为0.9元/度 (3)442元 【详解】（1）解：（元）． 答：王先生家5月份应交电费96元． （2）解：设二档电价为x元/度，三档电价为y元/度， 依题意，得， 解得． 答：二档电价为0.7元/度，三档电价为0.9元/度． （3）解：（元）． 答：何女士家5月份应交电费442元． 21．【答案】(1)制作出竖式和横式的箱子分别为10只和20只 (2)n的最小值是35，此时能制作横式箱子5只 【详解】（1）解：由题意由题意由题意由题意可得：竖式纸盒做1个需要1张A，4张B，横式纸盒做1个需要2张A，3张B， 设竖式做个，横式做个， 则，解得：， 答：制作出竖式和横式的箱子分别为10只和20只； （2）解：∵1张的C型板材，全切割为A型可得9张A型，全切割为B型可得3张B型；其中1张已经切割为3张A型、2张B型， 设制作横式箱子只，设余下的张C型中有张切割为A型，剩余张切割为B型（为非负整数）， 已知竖式箱子做20只，总板材需求满足： A型总数：，整理得：，即； B型总数：，整理得：， 将代入，得：， 因为且为整数，所以为正偶数，得为最小奇数（时为负，舍去）； 代入得：，，是最小的正整数， 即的最小值为，此时能制作横式箱子只． 22．【答案】(1)， (2)或． 【详解】（1）解：∵长方形周长为， ∴，，，即， ∵点运动的速度是点运动速度的倍， ∴运动时间相同时点的运动路程是点P运动路程的倍， ∵，两点在点处首次相遇， ∴，即， ∴， 解得：，． （2）解：由（1）得：， 设，则， ∴长方形周长为， 设的速度为，则的速度为， 当运动秒时，的运动路程为，的运动路程为， 如图， ∵线段所在的直线将长方形分成面积相等的两部分，长方形是中心对称图形， ∴， ∴， 解得：， ∴，两点从出发到首次相遇所用的时间为， 如图， ∵，， 当运动到的时间为：， 此时的运动路程为， ∴已经停止运动， ∴当运动秒时，停止，与重合，此时线段所在的直线将长方形分成面积相等的两部分， ∵长方形是中心对称图形， 此时， ∴， ∴，两点从出发到首次相遇所用的时间为， 综上：，两点从出发到首次相遇所用的时间为或． 23．【答案】(1)4 (2) (3)10 【详解】（1）解：； （2）解： 解得且检验符合题意； （3）解：由规则可知：抽到最小卡牌的同学报的数必为偶数， 而甲抽到的数字不是最小的， ∴丁抽到最小数， 设甲乙丙丁分别为，，，， ， ， 为偶数， ，奇偶性相同， 若，则乙报出的数是为偶数， 若，则乙报出的数是也为偶数， 而乙报的数是3，说明的大小必是，之间， 且，中必有一个为，一个是． 代入 解方程组 得 或 经检验，时甲报出的数是，不合题意舍去， ∴甲抽到的数为10． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一次方程与方程组（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知，满足方程组，则的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．解方程时，移项得，这一步实质上是在方程两边同时（     ） A．减去 B．减去 C．加上 D．加上 4．某种商品的进价为每件180元，现按标价的9折销售时，利润率为，设这种商品的标价为每件元，依题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 5．小明解出了关于的二元一次方程组的解为因不小心，有两处被污染，则“”和“”代表的数分别是（     ） A．17，9 B．22，9 C．14，6 D．18，6 6．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：今有三人共车，一车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余一辆车；若每 2 人共乘一车，最终有9人无车可乘．问共有多少人，多少辆车？设有个人，辆车，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 7．若方程是关于x，y的二元一次方程，则nᵐ的值为（     ） A． B．1 C．2026 D． 8．已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 9．如图是2025年10月的月历，任意移动图中“”形框可遮盖七个数，这七个数的和不可能是（    ） A．63 B．77 C．105 D．175 10．若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是三次四项式，则所有满足条件的整数的值之和是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．已知对任意有理数a、b，关于x、y的二元一次方程有一组公共解，则公共解为__________． 12．如果关于，的方程组与有相同的解，那么的值是________． 13．工厂现有500个零件急需包装，甲包装了其中的，乙包装了其中的，丙包装了其中的，剩下由丁包装，那么丁包装了__________个． 14．小明利用8个完全一样的直角三角形，拼成了如图所示的两个正方形，则每个直角三角形的面积为______． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）解方程： (1) (2) 16．（8分）解方程组： (1)代入消元法解； (2)加减消元法解． 17．（8分）下面是两位同学解方程组的做法： 善善的做法： 由方程，得③． 将方程代入，得：， 解得． 把代入，得． 方程组的解为 美美的做法： 由，得． 由，得， 解得． 把代入，得． 方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题： (1)善善的消元方法是__________；美美的消元方法是__________． (2)判断：__________（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，请运用该同学的消元方法进行正确解答． 18．（8分）新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以这两个方程互为“成双方程”． (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”； (2)若关于的方程和互为“成双方程”，求的值． 19．（10分）如图，在数轴上A，B两点对应的数分别为a、b，且a、b满足．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． (1)点A表示的数为___________，点B表示的数为___________； (2)①点P运动t秒后表示的数为___________，点Q运动t秒后表示的数为___________；（用含t的代数式表示） ②当时，求P、Q两点之间的距离； (3)两点同时出发，则当P，Q之间的距离为6时，求t的值． 20．（10分）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表中是某省的电价标准（每月），例如，方女士家5月份用电500度，电费二档电价三档电价元，李先生家5月份用电460度，交费316元． 阶梯 电量 电价 一档 电量 元/度 二档 电量 二档电价 三档 电量 三档电价 请解答下列问题： (1)若王先生家5月份用电160度，则电费多少元？ (2)求二档电价和三档电价分别为多少？ (3)若何女士家5月份用电600度，则电费多少元？ 21．（12分）某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只． (2)若学校新购得n张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是多少？此时能制作横式箱子多少只？ 22．（12分）如图，已知长方形，动点，同时从点出发，点按照方向运动，点按照方向运动．点运动的速度是点运动速度的倍，两点到各自终点后分别停止运动，并且，两点在点处首次相遇． (1)若长方形周长为，求和的长度； (2)当运动秒时，连接，线段所在的直线将长方形分成面积相等的两部分，请直接写出，两点从出发到首次相遇所用的时间． 23．（14分）有一个游戏，规则如下：甲、乙、丙、丁四人围坐一圈，每人各抽取一张数字互不相同的正整数卡牌．每个人分别和左右两位相邻的同学比对卡牌数字，按以下规则计算每一次比对的结果： ①若自身数字小于对方数字，先计算大数减小数，再将差值乘2； ②若自身数字大于对方数字，直接计算大数减小数． 最后，每个人把和左边、右边邻座各自比对算出的结果相加，然后报出相加后的值． 例：如图1，若四位同学分别抽到：、、、，甲同学所报数字为：，乙同学所报数字为：． (1)求图1中丙同学所报的数； (2)如图2，若甲、乙、丙、丁抽到数字分别为：、、、，且．已知乙报出数字7，丙报出数字6，求、的值； (3)如图3，若甲、乙、丙、丁所报数字分别为：、、、，已知四位同学抽到的数字之和为41，且甲抽到的数字不是最小的，问甲同学抽到的卡牌数是多少？ 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一次方程与方程组（高效培优单元自测·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列各式中，属于方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以方程的定义为依据，从是否含未知数、是否为等式两个角度判断各选项． 【详解】解：A、是等式，但不含未知数，不是方程，不符合题意； B、不是等式，不是方程，不符合题意； C、含有未知数，但不是等式，不是方程，不符合题意； D、既含有未知数，又是等式，是方程，符合题意． 2．已知，满足方程组，则的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】观察方程组中与的系数和相等，利用整体思想将两方程相加求解的值． 【详解】解： 则，得 ∴． 3．解方程时，移项得，这一步实质上是在方程两边同时（     ） A．减去 B．减去 C．加上 D．加上 【答案】A 【分析】先明确等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个整式，等式仍然成立．对比原方程和移项后的方程，分析方程两边的变化．因为原方程右边有，移项后右边没有、左边出现，所以判断方程两边同时进行的运算． 【详解】解：两边同时减去， 得， 合并同类项得． 4．某种商品的进价为每件180元，现按标价的9折销售时，利润率为，设这种商品的标价为每件元，依题意列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等量关系，利润售价进价，利润进价利润率，列方程即可． 【详解】解：设这种商品的标价为每件元， ∵商品按标价的9折销售， ∴实际售价为元， 根据题意列方程得：． 5．小明解出了关于的二元一次方程组的解为因不小心，有两处被污染，则“”和“”代表的数分别是（     ） A．17，9 B．22，9 C．14，6 D．18，6 【答案】A 【分析】先利用方程组的解满足方程的性质，先求，再求即可． 【详解】解：把代入，得，解得，即； 把，代入，得． 6．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中有这样一道题：今有三人共车，一车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余一辆车；若每 2 人共乘一车，最终有9人无车可乘．问共有多少人，多少辆车？设有个人，辆车，则可列方程组为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两种乘车情况，分别找出总人数与车辆数的等量关系，即可列出方程组． 【详解】解：设共有个人，辆车， ∵每人共乘一车，最终剩余辆车空车，实际使用车辆为，总人数等于乘实际使用车辆数， ∴， ∵每人共乘一车，最终有个人无车可乘，车上共坐人，加上步行的人等于总人数， ∴， 综上可得方程组． 7．若方程是关于x，y的二元一次方程，则nᵐ的值为（     ） A． B．1 C．2026 D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义，未知数的次数为1且对应系数不为0，求出和的值，再计算得到结果，选出正确选项． 【详解】解：∵方程是关于，的二元一次方程， ∴，，， 解得 ，， ∴． 8．已知关于，的二元一次方程组的解是，则关于，的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用整体换元的思想，将待解方程组变形为与已知方程组结构相同的形式，再利用已知方程组的解得到新的方程，即可求解. 【详解】解：首先整理待解方程组：，将方程组变形得：， ∵已知原方程组的解是 ∴可得，解第一个方程得，即，解第二个方程得， ∴待解方程组的解为，对应选项C． 9．如图是2025年10月的月历，任意移动图中“”形框可遮盖七个数，这七个数的和不可能是（    ） A．63 B．77 C．105 D．175 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设中间的数为，则另外六个数分别为，，，，，，将七个数相加，可得出这七个数的和是，代入各选项中的数，可求出x的值，取不符合题意的选项即可． 【详解】解：设中间的数为，则另外六个数分别为，，，，，， ∴这七个数的和是， A、根据题意得：，解得：， ∴这七个数的和可能是63，选项A不符合题意； B、根据题意得：，解得：， ∴这七个数的和可能是77，选项B不符合题意； C、根据题意得：，解得：， ∴这七个数的和可能是105，选项C不符合题意； D、根据题意得：，解得：， ∴，舍去， ∴这七个数的和不可能是175，选项D符合题意． 故选：D． 10．若关于的方程的解是整数，且关于的多项式是三次四项式，则所有满足条件的整数的值之和是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解方程得到，根据解为整数推出是6的奇数因数，得到整数的可能值，再根据多项式是三次四项式，要求，排除，最后求满足条件的整数之和． 【详解】解∶∵方程， 化简得， 两边同乘10得， 即， ∴， ∴． ∵解为整数， ∴是6的因数，且为奇数（因为整数）， 6的奇数因数有、， ∴时， 时， 时， 时． 多项式是三次四项式， ∵系数， ∴需系数，即， ∴满足条件的为，，， 其和为， 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式的项、项数或次数，解一元一次方程（三）——去分母，已知方程的解，求参数，多项式系数、指数中字母求值，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．已知对任意有理数a、b，关于x、y的二元一次方程有一组公共解，则公共解为__________． 【答案】 【分析】将方程化为，根据该方程对任意有理数、都成立，得到、的系数均为0，列出方程组进行求解即可. 【详解】解：将原方程展开整理，得， ∵该方程对任意有理数、都成立， ∴、的系数均为0， ∴ 解得，即公共解为. 12．如果关于，的方程组与有相同的解，那么的值是________． 【答案】 【分析】根据两个方程组解相同，直接得到公共解；将解代入含的方程，得到关于的二元一次方程组；解方程组求出的值，最后计算 【详解】解：与有相同的解， ，， ∴， ∴， ∴． 13．工厂现有500个零件急需包装，甲包装了其中的，乙包装了其中的，丙包装了其中的，剩下由丁包装，那么丁包装了__________个． 【答案】 【分析】设丁包装了个，根据甲、乙、丙包装的零件数与丁包装的零件数之和等于总零件数，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：设丁包装了个，根据题意得， ， 解得：， 答：丁包装了个． 14．小明利用8个完全一样的直角三角形，拼成了如图所示的两个正方形，则每个直角三角形的面积为______． 【答案】12 【分析】设直角三角形的较长直角边为，较短直角边为，根据图形列出二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设直角三角形的较长直角边为，较短直角边为， 由图可得，， 解得， ∴每个直角三角形的面积为． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（8分）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程去括号，移项，再把系数化为1，即可求解． （2）方程去分母，去括号，移项，再把系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 把系数化为1，得：； （2）解： 两边同时乘以，得： 去括号，得： 移项，得： 合并同类项，得： 把系数化为1，得：． 16．（8分）解方程组： (1)代入消元法解； (2)加减消元法解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把②代入①可得到的值，把的值代入②可得的值； （2）可得③，③包含与①中相同的，可得到的值，把的值代入②可得的值． 【详解】（1）解：， 把②代入①得，化简得，解得， 把代入②得， 故原方程组的解为； （2）解：， 得，， 得，，解得， 把代入②得，解得， 故原方程组的解为． 【点睛】代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：变：将其中一个方程变形，使一个未知数用含另一个未知数的代数式表示；代：用这个代数式代替另一个方程中的相应未知数，得到一个一元一次方程；解：解这个一元一次方程；求：把求得的未知数的值代入代数式，求得另一个未知数的值；写：写出方程组的解． 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：变形：将两个方程中其中一个未知数的系数化成相同（或互为相反数）；加减：通过相减（或相加）消去这个未知数，得到一个一元一次方程；求解：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值；回代：将求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程，求出另一个未知数的值；写解：写出方程组的解． 17．（8分）下面是两位同学解方程组的做法： 善善的做法： 由方程，得③． 将方程代入，得：， 解得． 把代入，得． 方程组的解为 美美的做法： 由，得． 由，得， 解得． 把代入，得． 方程组的解为 请认真阅读并完成下面的问题： (1)善善的消元方法是__________；美美的消元方法是__________． (2)判断：__________（选填“善善”或“美美”）的解答过程有误，请运用该同学的消元方法进行正确解答． 【答案】(1)代入消元法；加减消元法 (2)美美，正确解答如下： ， 由，得， 由，得，解得， 把代入，得， 原方程组的解为． 【分析】（1）善善化简方程，得到，再代入消元解方程，属于代入消元法；美美将两个方程中的系数配平，再进行相加运算消去解方程，属于加减消元法． （2）美美在进行系数配平时等式右边的常数未乘，因此美美的解答过程有误． 【详解】（1）略 （2）略 18．（8分）新定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程互为“成双方程”．例如：方程的解为，方程的解为，因为，所以这两个方程互为“成双方程”． (1)请写出一个一元一次方程，使它与方程互为“成双方程”； (2)若关于的方程和互为“成双方程”，求的值． 【答案】(1) （答案不唯一） (2) 【分析】理解“成双方程”的新定义，先求出已知方程的解，再根据定义得到待求方程的解，代入计算即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， 根据“成双方程”的定义，所求方程的解为， ∴满足条件的一元一次方程可以是（答案不唯一）． （2）解：，解得：， ∵方程和互为“成双方程”， ∴方程的解为， 将代入方程，得， 整理得：， 解得：． 19．（10分）如图，在数轴上A，B两点对应的数分别为a、b，且a、b满足．动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．设运动时间为t秒（）． (1)点A表示的数为___________，点B表示的数为___________； (2)①点P运动t秒后表示的数为___________，点Q运动t秒后表示的数为___________；（用含t的代数式表示） ②当时，求P、Q两点之间的距离； (3)两点同时出发，则当P，Q之间的距离为6时，求t的值． 【答案】(1)，7 (2)①，；②3 (3)或 【分析】（1）根据非负数的性质得到，，解方程即可； （2）①利用数轴距离公式及动点运动规律表示对应数；②把，代入对应数的代数式，然后根据距离公式即可解答； （3）分两种情况列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 解得：，， （2）解：①点A表示的数为，点B表示的数为7，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴秒后，点表示的数为；点表示的数为． ②当时， 点P表示的数： 点Q表示的数： ． （3）由题意得： 化简得 分两种情况： ①， ， ， ②， ， ； ， 或均符合题意． 20．（10分）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省先后出台了居民用电“阶梯价格”制度，下表中是某省的电价标准（每月），例如，方女士家5月份用电500度，电费二档电价三档电价元，李先生家5月份用电460度，交费316元． 阶梯 电量 电价 一档 电量 元/度 二档 电量 二档电价 三档 电量 三档电价 请解答下列问题： (1)若王先生家5月份用电160度，则电费多少元？ (2)求二档电价和三档电价分别为多少？ (3)若何女士家5月份用电600度，则电费多少元？ 【答案】(1)96元 (2)二档电价为0.7元/度，三档电价为0.9元/度 (3)442元 【分析】（1）根据所给收费标准列式求解即可； （2）设二档电价为x元/度，三档电价为y元/度，根据方女士和李先生家的电费建立方程组求解即可； （3）根据所给收费标准列式求解即可． 【详解】（1）解：（元）． 答：王先生家5月份应交电费96元． （2）解：设二档电价为x元/度，三档电价为y元/度， 依题意，得， 解得． 答：二档电价为0.7元/度，三档电价为0.9元/度． （3）解：（元）． 答：何女士家5月份应交电费442元． 21．（12分）某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子． (1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只． (2)若学校新购得n张规格为的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材（不计损耗），用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是多少？此时能制作横式箱子多少只？ 【答案】(1)制作出竖式和横式的箱子分别为10只和20只 (2)n的最小值是35，此时能制作横式箱子5只 【分析】（1）设竖式做个，横式做个，根据现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子，恰好将库存板材用完，再建立方程组求解即可； （2）设制作横式箱子只，设余下的张C型中有张切割为A型，剩余张切割为B型（为非负整数），根据竖式箱子做20只，横式箱子做只，根据总板材需求列出方程，化简得出，再对k，n进行讨论，即可求得． 【详解】（1）解：由题意由题意由题意由题意可得：竖式纸盒做1个需要1张A，4张B，横式纸盒做1个需要2张A，3张B， 设竖式做个，横式做个， 则，解得：， 答：制作出竖式和横式的箱子分别为10只和20只； （2）解：∵1张的C型板材，全切割为A型可得9张A型，全切割为B型可得3张B型；其中1张已经切割为3张A型、2张B型， 设制作横式箱子只，设余下的张C型中有张切割为A型，剩余张切割为B型（为非负整数）， 已知竖式箱子做20只，总板材需求满足： A型总数：，整理得：，即； B型总数：，整理得：， 将代入，得：， 因为且为整数，所以为正偶数，得为最小奇数（时为负，舍去）； 代入得：，，是最小的正整数， 即的最小值为，此时能制作横式箱子只． 22．（12分）如图，已知长方形，动点，同时从点出发，点按照方向运动，点按照方向运动．点运动的速度是点运动速度的倍，两点到各自终点后分别停止运动，并且，两点在点处首次相遇． (1)若长方形周长为，求和的长度； (2)当运动秒时，连接，线段所在的直线将长方形分成面积相等的两部分，请直接写出，两点从出发到首次相遇所用的时间． 【答案】(1)， (2)或． 【分析】（1）根据长方形周长以及，两点在点处首次相遇，可得，，再进一步求解即可； （2）由（1）得：，设，则，可得长方形周长为，设的速度为，则的速度为，再分两种情况讨论． 【详解】（1）解：∵长方形周长为， ∴，，，即， ∵点运动的速度是点运动速度的倍， ∴运动时间相同时点的运动路程是点P运动路程的倍， ∵，两点在点处首次相遇， ∴，即， ∴， 解得：，． （2）解：由（1）得：， 设，则， ∴长方形周长为， 设的速度为，则的速度为， 当运动秒时，的运动路程为，的运动路程为， 如图， ∵线段所在的直线将长方形分成面积相等的两部分，长方形是中心对称图形， ∴， ∴， 解得：， ∴，两点从出发到首次相遇所用的时间为， 如图， ∵，， 当运动到的时间为：， 此时的运动路程为， ∴已经停止运动， ∴当运动秒时，停止，与重合，此时线段所在的直线将长方形分成面积相等的两部分， ∵长方形是中心对称图形， 此时， ∴， ∴，两点从出发到首次相遇所用的时间为， 综上：，两点从出发到首次相遇所用的时间为或． 23．（14分）有一个游戏，规则如下：甲、乙、丙、丁四人围坐一圈，每人各抽取一张数字互不相同的正整数卡牌．每个人分别和左右两位相邻的同学比对卡牌数字，按以下规则计算每一次比对的结果： ①若自身数字小于对方数字，先计算大数减小数，再将差值乘2； ②若自身数字大于对方数字，直接计算大数减小数． 最后，每个人把和左边、右边邻座各自比对算出的结果相加，然后报出相加后的值． 例：如图1，若四位同学分别抽到：、、、，甲同学所报数字为：，乙同学所报数字为：． (1)求图1中丙同学所报的数； (2)如图2，若甲、乙、丙、丁抽到数字分别为：、、、，且．已知乙报出数字7，丙报出数字6，求、的值； (3)如图3，若甲、乙、丙、丁所报数字分别为：、、、，已知四位同学抽到的数字之和为41，且甲抽到的数字不是最小的，问甲同学抽到的卡牌数是多少？ 【答案】(1)4 (2) (3)10 【分析】（1）根据题目的规则列式计算即可； （2）根据题意列二元一次方程组求解即可； （3）由规则可知：抽到最小卡牌的同学报的数必为偶数，而甲抽到的数字不是最小的，则丁抽到最小数，设甲乙丙丁分别为，，，，根据丁报出的数列方程可判定，奇偶性相同，进而由乙报的数是3，说明的大小必是，之间，且，中必有一个为，一个是，代入与四个数和为列方程组求解可得，则可求，验证保留符合题意的解即可． 【详解】（1）解：； （2）解： 解得且检验符合题意； （3）解：由规则可知：抽到最小卡牌的同学报的数必为偶数， 而甲抽到的数字不是最小的， ∴丁抽到最小数， 设甲乙丙丁分别为，，，， ， ， 为偶数， ，奇偶性相同， 若，则乙报出的数是为偶数， 若，则乙报出的数是也为偶数， 而乙报的数是3，说明的大小必是，之间， 且，中必有一个为，一个是． 代入 解方程组 得 或 经检验，时甲报出的数是，不合题意舍去， ∴甲抽到的数为10． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $